Poniższe funkcje są względne. Funkcje stosunków gospodarczych
Zostawiać r Н Х X Y.
związek funkcjonalny jest relacją binarną r, w którym każdy element odpowiada dokładnie jeden taki, że para należy do związku lub takiego w ogóle nie istnieje: lub.
Relacja funkcjonalna - to jest relacja binarna r, dla którego: .
Wszędzie pewna relacja– relacja binarna r, dla którego D r = X(„nie ma samotnych X").
Relacja suriektywna– relacja binarna r, dla którego Jr = Y(„nie ma samotnych tak").
Relacja iniektywna jest relacją binarną, w której różne X odpowiadają różnym w.
Bijection– funkcjonalna, wszędzie zdefiniowana, iniektywna, suriektywna relacja, określa korespondencję zbiorów jeden do jednego.
na przykład:
Zostawiać r= ( (x, y) О R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 ).
Postawa r- funkcjonalny,
nie wszędzie określone („są samotni X"),
nie iniekcyjne (są różne X, w),
nie surjektywna („są samotni w"),
nie bijekcja.
Na przykład:
Niech K= ((x,y) н R 2 | y = x+1)
Relacja à jest funkcjonalna,
Relacja Ã- jest wszędzie zdefiniowana („nie ma samotności X"),
Relacja Ã- jest iniektywna (nie ma różnicy X, które odpowiadają temu samemu w),
Relacja Ã- jest surjektywna („nie ma samotnych”). w"),
Relacja à jest bijektywną, wzajemnie jednorodną korespondencją.
Na przykład:
Niech j=((1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)) będą zdefiniowane na zbiorze N 4.
Relacja j nie jest funkcjonalna, x=1 odpowiada trzem y: (1,2), (1,3), (1,4)
Relacja j - nie wszędzie zdefiniowana D j =(1,2,3)¹ N 4
Relacja j - nie suriektywna I j =(1,2,3)¹ N 4
Relacja j nie jest iniektywna, różne x odpowiadają temu samemu y, na przykład (2,3) i (1,3).
Przydział do pracy laboratoryjnej
1. Zestawy są podane N1 oraz N2. Oblicz zestawy:
(N1 X N2) З (N2 X N1);
(N1 X N2) È (N2 X N1);
(N1 N2) x (N1 N2);
(N1 → N2) x (N1 → N2),
gdzie N1 = ( cyfry numeru księgi metrykalnej, ostatnie trzy };
N2 = ( data i miesiąc numery urodzenia }.
2. Relacje r oraz g ustawić na planie N 6 \u003d (1,2,3,4,5,6).
Opisz relacje r,g,r -1 , r ○g, r- 1 ○g lista par.
Znajdź macierze relacji r oraz g.
Dla każdej relacji określ dziedzinę definicji i zakres wartości.
Zdefiniuj właściwości relacji.
Zidentyfikuj relacje równoważności i skonstruuj klasy równoważności.
Zidentyfikuj relacje zamówień i sklasyfikuj je.
1) r= { (m,n) | m > n)
g= { (m,n) | porównanie modulo 2 }
2) r= { (m,n) | (m-n) podzielna przez 2 }
g= { (m,n) | m rozdzielacz n)
3) r= { (m,n) | m< n }
g= { (m,n) | moduł porównawczy 3 }
4) r= { (m,n) | (m+n)- parzysty }
g= { (m,n) | m 2 \u003d n)
5) r= { (m,n) | m/n- stopień 2 }
g= { (m,n) | m = n)
6) r= { (m,n) | m/n- parzysty }
g = ((m,n) | m³ n)
7) r= { (m,n) | m/n- dziwne }
g= { (m,n) | moduł porównawczy 4 }
8) r= { (m,n) | m*n- parzysty }
g= { (m,n) | m£ n)
9) r= { (m,n) | moduł porównawczy 5 }
g= { (m,n) | m podzielony przez n)
10) r= { (m,n) | m- parzysty, n- parzysty }
g= { (m,n) | m rozdzielacz n)
11) r= { (m,n) | m = n)
g= { (m,n) | (m+n)£ 5 }
12) r={ (m,n) | m oraz n mają taką samą resztę po dzieleniu przez 3 }
g= { (m,n) | (m-n)„2” }
13) r= { (m,n) | (m+n) jest podzielna przez 2 }
g = ((m,n) | £2 (m-n)£4 }
14) r= { (m,n) | (m+n) podzielna przez 3 }
g= { (m,n) | m¹ n)
15) r= { (m,n) | m oraz n mieć wspólny dzielnik }
g= { (m,n) | m2£ n)
16) r= { (m,n) | (m-n) jest podzielna przez 2 }
g= { (m,n) | m< n +2 }
17) r= { (m,n) | moduł porównawczy 4 }
g= { (m,n) | m£ n)
18) r= { (m,n) | m podzielona całkowicie na n)
g= { (m,n) | m¹ n, m- parzysty }
19) r= { (m,n) | moduł porównawczy 3 }
g= { (m,n) | 1 zł (m-n) 3 zł }
20) r= { (m,n) | (m-n) podzielna przez 4 }
g= { (m,n) | m¹ n)
21) r= { (m,n) | m- dziwne, n- dziwne }
g= { (m,n) | m£ n, n- parzysty }
22) r= { (m,n) | m oraz n mają nieparzystą resztę po dzieleniu przez 3 }
g= { (m,n) | (m-n)„1” }
23) r= { (m,n) | m*n- dziwne }
g= { (m,n) | porównanie modulo 2 }
24) r= { (m,n) | m*n- parzysty }
g= { (m,n) | 1 zł (m-n) 3 zł }
25) r= { (m,n) | (m+ n)- parzysty }
g= { (m,n) | m niepodzielne przez n)
26) r= { (m,n) | m = n)
g= { (m,n) | m podzielona całkowicie na n)
27) r= { (m,n) | (m-n)- parzysty }
g= { (m,n) | m rozdzielacz n)
28) r= { (m,n) | (m-n)„2” }
g= { (m,n) | m podzielona całkowicie na n)
29) r= { (m,n) | m2³ n)
g= { (m,n) | m / n- dziwne }
30) r= { (m,n) | m³ n, m - parzysty }
g= { (m,n) | m oraz n mają wspólny dzielnik inny niż 1 }
3. Określ, czy podana relacja to f- funkcjonalny, wszędzie zdefiniowany, injective, surjective, bijection ( R jest zbiorem liczb rzeczywistych). Zbuduj wykres zależności, określ dziedzinę definicji i zakres wartości.
Wykonaj to samo zadanie dla relacji r oraz g z pkt. 3 pracy laboratoryjnej.
1) f=((x, y) Î R 2 | y=1/x +7x )
2) f=((x, y) Î R 2 | x³ y)
3) f=((x, y) Î R 2 | tak³ x )
4) f=((x, y) Î R 2 | tak³ x, x³ 0 }
5) f=((x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1)
6) f=((x, y) Î R 2 | 2 | y | + | x | = 1 )
7) f=((x, y) Î R 2 | x+y£ 1 }
8) f=((x, y) Î R 2 | x = y 2 )
9) f=((x, y) Î R 2 | y = x 3 + 1)
10) f=((x, y) Î R 2 | y = -x 2 )
11) f=((x, y) Î R 2 | | y | + | x | = 1 )
12) f=((x, y) Î R 2 | x = y -2 )
13) f=((x, y) Î R 2 | y2 + x2³ 1, tak> 0 }
14) f=((x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, x> 0 }
15) f=((x, y) Î R 2 | y2 + x2£ 1, x> 0 }
16) f=((x, y) Î R 2 | x = y2 ,x³ 0 }
17) f=((x, y) Î R 2 | y = grzech(3x + p) )
18) f=((x, y) Î R 2 | y = 1/cos x )
19) f=((x, y) Î R 2 | y=2| x | + 3 )
20) f=((x, y) Î R 2 | y=| 2x+1| )
21) f=((x, y) Î R 2 | y = 3 x )
22) f=((x, y) Î R 2 | y=e-x)
23) f =( (x, y)Î R 2 | y=e | x | )
24) f=((x, y) Î R 2 | y = cos(3x) - 2 )
25) f=((x, y) Î R 2 | y = 3x 2 - 2 )
26) f=((x, y) Î R 2 | y = 1 / (x + 2) )
27) f=((x, y) Î R 2 | tak = w(2x) - 2 )
28) f=((x, y) Î R 2 | y=| 4x -1| + 2 )
29) f=((x, y) Î R 2 | y = 1 / (x 2 + 2x-5))
30) f=((x, y) Î R 2 | x = y 3, tak³ - 2 }.
pytania testowe
2. Definicja relacji binarnej.
3. Metody opisu relacji binarnych.
4.Zakres definicji i zakres wartości.
5. Własności relacji binarnych.
6. Relacja równoważności i klasy równoważności.
7. Relacje porządku: ścisłe i nieścisłe, pełne i częściowe.
8. Klasy reszt modulo m.
9. Relacje funkcjonalne.
10. Wtrysk, surjekcja, bijekcja.
Laboratorium #3
Relacje. Podstawowe pojęcia i definicje
Definicja 2.1.zamówiona para<x, tak> jest zbiorem dwóch elementów x oraz tak ułożone w określonej kolejności.
Dwie zamówione pary<x, tak> i<ty, v> są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy x = ty oraz tak= v.
Przykład 2.1.
<a, b>, <1, 2>, <x, 4> są parami uporządkowanymi.
Podobnie możemy rozważyć trójki, czwórki, n-ki elementy<x 1 , x 2 ,…xn>.
Definicja 2.2.Bezpośredni(lub kartezjański)praca dwa zestawy A oraz B jest zbiorem par uporządkowanych w taki sposób, że pierwszy element każdej pary należy do zbioru A, a drugi - do zestawu B:
A ´ B = {<a, b>, ç aÎ ALE oraz bÏ W}.
Ogólnie rzecz biorąc, produkt bezpośredni n zestawy ALE 1 ,ALE 2 ,…Jakiś nazywa się zestawem ALE jeden ALE 2 ´…´ Jakiś składający się z uporządkowanych zestawów elementów<a 1 , a 2 , …,jakiś> długość n, taki, że i- ten ja należy do zestawu A i,ja Î A i.
Przykład 2.2.
Zostawiać ALE = {1, 2}, W = {2, 3}.
Następnie A ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.
Przykład 2.3.
Zostawiać ALE= {x ç0 £ x£1) i B= {takç2 £ tak 3)
Następnie A ´ B = {<x, tak >, ç0 £ x£1&2 £ tak 3 GBP).
Tak więc zestaw A ´ B składa się z punktów leżących wewnątrz i na granicy prostokąta utworzonego przez linie proste x= 0 (oś y), x= 1,tak= 2i tak = 3.
Francuski matematyk i filozof Kartezjusz jako pierwszy zaproponował współrzędną reprezentacji punktów na płaszczyźnie. Jest to historycznie pierwszy przykład pracy bezpośredniej.
Definicja 2.3.dwójkowy(lub podwójnie)stosunek r nazywa się zbiorem uporządkowanych par.
Jeśli para?<x, tak> należy r, to jest napisane w następujący sposób:<x, tak> Î r lub, co jest tym samym, xr y.
Przykład 2.4.
r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}
Podobnie można zdefiniować n-relacja lokalna jako zbiór uporządkowanych n-OK.
Ponieważ relacja binarna jest zbiorem, sposoby określania relacji binarnej są takie same, jak sposoby określania zbioru (patrz Rozdział 1.1). Relację binarną można określić, wyliczając uporządkowane pary lub określając ogólną właściwość uporządkowanych par.
Przykład 2.5.
1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – relacja dana przez wyliczenie par uporządkowanych;
2. r = {<x, tak> ç x+ tak = 7, x, tak są liczbami rzeczywistymi) – stosunek określa się poprzez określenie właściwości x+ tak = 7.
Dodatkowo można podać relację binarną binarna macierz relacji. Zostawiać ALE = {a 1 , a 2 , …, jakiś) jest zbiorem skończonym. binarna macierz relacji C jest kwadratową macierzą porządku n, którego elementy c ij są zdefiniowane w następujący sposób:
Przykład 2.6.
ALE= (1, 2, 3, 4). Zdefiniujmy relację binarną r na trzy wymienione sposoby.
1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – relacja dana jest przez wyliczenie wszystkich uporządkowanych par.
2. r = {<ja, aj> ç ja < aj; ja, ajÎ ALE) – relacja jest określana poprzez określenie właściwości „mniej niż” na zbiorze ALE.
3. - relację podaje macierz relacji binarnej C.
Przykład 2.7.
Rozważmy kilka relacji binarnych.
1. Relacje na zbiorze liczb naturalnych.
a) relacja £ obowiązuje dla par<1, 2>, <5, 5>, ale nie jest zadowolony z pary<4, 3>;
b) relacja „mieć wspólny dzielnik inny niż jeden” obowiązuje dla par<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, ale nie jest zadowolony z pary<3, 28>.
2. Relacje na zbiorze punktów płaszczyzny rzeczywistej.
a) relacja „być w tej samej odległości od punktu (0, 0)” obowiązuje dla punktów (3, 4) i (–2, Ö21), ale nie obowiązuje dla punktów (1, 2) oraz (5, 3);
b) relacja „być symetrycznym względem osi OY" jest wykonywane dla wszystkich punktów ( x, tak) oraz (- x, –tak).
3. Relacje na różnych ludziach.
a) postawa „mieszkać w jednym mieście”;
b) postawa „do nauki w jednej grupie”;
c) postawa „być starszym”.
Definicja 2.4. Dziedziną relacji binarnej r jest zbiór D r = (x ç jest y takie, że xr y).
Definicja 2.5. Zakres relacji binarnej r to zbiór R r = (y çistnieje x takie, że xr y).
Definicja 2.6. Dziedziną relacji binarnej r jest zbiór M r = D r ÈR r .
Korzystając z pojęcia produktu bezpośredniego możemy napisać:
rÎ Dr´ R r
Jeśli Dr= R r = A, wtedy mówimy, że relacja binarna r ustawić na planie A.
Przykład 2.8.
Zostawiać r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.
Następnie D r ={1, 3, 4}, R r = {3, 2}, Pan= {1, 2, 3, 4}.
Operacje na relacjach
Ponieważ relacje są zestawami, wszystkie operacje na zestawach są poprawne dla relacji.
Przykład 2.9.
r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.
r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.
r 1 r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.
r 1 Z r 2 = {<1, 2>}.
r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.
Przykład 2.10.
Zostawiać R to zbiór liczb rzeczywistych. Rozważ następujące relacje na tym zestawie:
r 1 - "Ł"; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 - „³”; r 5 – " > ".
r 1 = r 2 r 3 ;
r 2 = r 1 Z r 4 ;
r 3 = r 1 \ r 2 ;
r 1 = ;
Definiujemy jeszcze dwie operacje na relacjach.
Definicja 2.7. Relacja nazywa się odwrócić do postawy r(oznaczony r- 1) jeśli
r- 1 = {<x, tak> ç< y, x> Î r}.
Przykład 2.11.
r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.
r- 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.
Przykład 2.12.
r = {<x, tak> ç x – tak = 2, x, tak Î R}.
r- 1 = {<x, tak> ç< y, x> Î r} = r- 1 = {<x, tak> ç tak–x = 2, x, tak Î R} = {<x, tak> ç– x+ tak = 2, x, tak Î R}.
Definicja 2.8.Złożenie dwóch stosunków r i s nazywa się stosunkiem
s r= {<x, z> çjest takie tak, Co<x, tak> Î r oraz< y, z> Î s}.
Przykład 2.13.
r = {<x, tak> ç tak = sinx}.
s= {<x, tak> ç tak = Ö x}.
s r= {<x, z> çjest takie tak, Co<x, tak> Î r oraz< y, z> Î s} = {<x, z> çjest takie tak, Co tak = sinx oraz z= Ö tak} = {<x, z> ç z= Ö sinx}.
Definicja złożenia dwóch relacji odpowiada definicji funkcji zespolonej:
tak = f(x), z= g(tak) Þ z= g(f(x)).
Przykład 2.14.
r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.
s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.
Proces wyszukiwania s r zgodnie z definicją składu wygodnie jest przedstawić go jako tabelę, w której zaimplementowane jest wyliczenie wszystkich możliwych wartości x, tak, z. dla każdej pary<x, tak> Î r rozważ wszystkie możliwe pary< y, z> Î s(Tabela 2.1).
Tabela 2.1
| <x, tak> Î r | < y, z> Î s | <x, z> Î s r |
| <1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1> | <1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3> | <1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3> |
Zauważ, że pierwszy, trzeci i czwarty oraz drugi i piąty wiersz ostatniej kolumny tabeli zawierają identyczne pary. Otrzymujemy więc:
s r= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.
Właściwości związku
Definicja 2.9. Postawa r nazywa odblaskowy na planie X, jeśli w ogóle xÎ X wykonywane xr x.
Z definicji wynika, że każdy element<x,x > Î r.
Przykład 2.15.
a) Niech X jest zbiorem skończonym X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Postawa r odruchowo. Jeśli X jest zbiorem skończonym, to główna przekątna macierzy relacji zwrotnej zawiera tylko jedynki. Na nasz przykład
b) Niech X r stosunek równości. Ta relacja jest zwrotna, ponieważ każda liczba jest sobie równa.
c) Niech X- dużo ludzi i r postawa „mieszkać w jednym mieście”. Ta relacja jest zwrotna, ponieważ każdy mieszka ze sobą w tym samym mieście.
Definicja 2.10. Postawa r nazywa symetryczny na planie X, jeśli w ogóle x, takÎ X od xry powinien rok x.
To oczywiste, że r symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy r = r- 1 .
Przykład 2.16.
a) Niech X jest zbiorem skończonym X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Postawa r symetryczny. Jeśli X jest zbiorem skończonym, to symetryczna macierz stosunków jest symetryczna względem głównej przekątnej. Na nasz przykład
b) Niech X jest zbiorem liczb rzeczywistych i r stosunek równości. Ta relacja jest symetryczna, ponieważ jeśli x równa się tak, wtedy i tak równa się x.
c) Niech X- wielu studentów i r postawa „uczenia się w jednej grupie”. Ta relacja jest symetryczna, ponieważ jeśli x nauka w tej samej grupie tak, wtedy i tak nauka w tej samej grupie x.
Definicja 2.11. Postawa r nazywa przechodni na planie X, jeśli w ogóle x, tak,zÎ X od xry oraz yrz powinien xrz.
Jednoczesne spełnienie warunków xry, yrz, xrz oznacza, że para<x,z>należy do kompozycji r r. Dlatego dla przechodniości r konieczne i wystarczające, aby zestaw r r był podzbiorem r, tj. r rÍ r.
Przykład 2.17.
a) Niech X jest zbiorem skończonym X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Postawa r jest przechodnia, ponieważ wraz z parami<x,tak>i<tak,z>ma parę<x,z>. Na przykład wraz z parami<1, 2>, oraz<2, 3>jest para<1, 3>.
b) Niech X jest zbiorem liczb rzeczywistych i r relacja £ (mniejsza lub równa). Ta relacja jest przechodnia, ponieważ jeśli x£ tak oraz tak£ z, następnie x£ z.
c) Niech X- dużo ludzi i r postawa bycia starszym. Ta relacja jest przechodnia, ponieważ jeśli x starszy tak oraz tak starszy z, następnie x starszy z.
Definicja 2.12. Postawa r nazywa relacja równoważności na planie X, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia na zbiorze X.
Przykład 2.18.
a) Niech X jest zbiorem skończonym X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Postawa r jest relacją równoważności.
b) Niech X jest zbiorem liczb rzeczywistych i r stosunek równości. To jest relacja równoważności.
c) Niech X- wielu studentów i r postawa „uczenia się w jednej grupie”. To jest relacja równoważności.
Zostawiać r X.
Definicja 2.13. Zostawiać r jest relacją równoważności na zbiorze X oraz xÎ X. Klasa równoważności, generowany przez element x, nazywana jest podzbiorem zbioru X składający się z tych elementów takÎ X, dla którego xry. Klasa równoważności wygenerowana przez element x, oznaczony przez [ x].
Zatem, [ x] = {takÎ X|xry}.
Forma klas równoważności przegroda zestawy X, tj. system niepustych parami rozłącznych podzbiorów, których połączenie pokrywa się z całym zbiorem X.
Przykład 2.19.
a) Relacja równości na zbiorze liczb całkowitych generuje następujące klasy równoważności: dla dowolnego elementu x z tego zestawu [ x] = {x), tj. każda klasa równoważności składa się z jednego elementu.
b) Klasa równoważności wygenerowana przez parę<x, tak> określa stosunek:
[<x, tak>] = .
Każda klasa równoważności generowana przez parę<x, tak> definiuje jedną liczbę wymierną.
c) Dla stosunku przynależności do jednej grupy uczniów klasą równoważności jest zbiór uczniów jednej grupy.
Definicja 2.14. Postawa r nazywa antysymetryczny na planie X, jeśli w ogóle x, takÎ X od xry oraz rok x powinien x = tak.
Z definicji antysymetrii wynika, że ilekroć para<x,tak> posiadane w tym samym czasie r oraz r- 1, równość x = tak. Innymi słowy, r Ç r- 1 składa się tylko z par postaci<x,x >.
Przykład 2.20.
a) Niech X jest zbiorem skończonym X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Postawa r antysymetryczny.
Postawa s= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) nie jest antysymetryczna. Na przykład,<1, 2> Î s, oraz<2, 1> Î s, ale 1 ¹2.
b) Niech X jest zbiorem liczb rzeczywistych i r relacja £ (mniejsza lub równa). Ta relacja jest antysymetryczna, ponieważ jeśli x £ tak, oraz tak £ x, następnie x = tak.
Definicja 2.15. Postawa r nazywa relacja częściowego porządku(lub tylko częściowe zamówienie) na planie X, jeśli jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia na zbiorze X. Pęczek X w tym przypadku nazywa się ją częściowo uporządkowaną, a relacja ta jest często oznaczana symbolem £, o ile nie prowadzi to do nieporozumień.
Relacją odwrotną do relacji porządku cząstkowego będzie oczywiście relacja porządku cząstkowego.
Przykład 2.21.
a) Niech X jest zbiorem skończonym X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Postawa r
b) Postawa ALEÍ W na zbiorze podzbiorów pewnego zbioru U jest relacją kolejności częściowej.
c) Relacja podzielności na zbiorze liczb naturalnych jest relacją rzędu częściowego.
Funkcje. Podstawowe pojęcia i definicje
W analizie matematycznej przyjmuje się następującą definicję funkcji.
Zmienny tak nazywana jest funkcją zmiennej x, jeśli zgodnie z jakąś zasadą lub prawem każda wartość x odpowiada jednej określonej wartości tak = f(x). Obszar zmienny x nazywa się zakresem funkcji, a zakresem zmiennej tak– zakres wartości funkcji. Jeśli jedna wartość x pasuje do kilku (a nawet nieskończenie wielu) wartości tak), to funkcja nazywa się wielowartościową. Jednak w trakcie analizy funkcji zmiennych rzeczywistych unika się funkcji wielowartościowych i rozważa się funkcje jednowartościowe.
Rozważ inną definicję funkcji w kategoriach relacji.
Definicja 2.16. Funkcjonować to dowolna relacja binarna, która nie zawiera dwóch par z równymi pierwszymi składnikami i różnymi drugimi.
Ta właściwość relacji nazywa się wyjątkowość lub funkcjonalność.
Przykład 2.22.
a) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) jest funkcją.
b) (<x, tak>: x, tak Î R, tak = x 2) jest funkcją.
w) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) jest relacją, a nie funkcją.
Definicja 2.17. Jeśli f jest funkcją, to Df – domena, a Rf – zakres Funkcje f.
Przykład 2.23.
Na przykład 2.22 a) Df – {1, 3, 4, 5}; Rf – {2, 4, 6}.
Na przykład 2.22 b) Df = Rf = (–¥, ¥).
Każdy element x Df dopasowanie funkcji jedyny element tak Rf. Jest to oznaczone dobrze znaną notacją tak = f(x). Element x nazywany argumentem funkcji lub elementem preimage tak z funkcją f i element tak wartość funkcji f na x lub obraz elementu x w f.
Tak więc spośród wszystkich relacji funkcje wyróżnia to, że każdy element z dziedziny definicji ma jedyny obraz.
Definicja 2.18. Jeśli Df = X oraz Rf = Y, wtedy mówimy, że funkcja f określony na X i przyjmuje swoje wartości Y, a f nazywa odwzorowanie zbioru X na Y(X ® Y).
Definicja 2.19. Funkcje f oraz g są równe, jeśli ich domeną definicji jest ten sam zbiór D i dla każdego x Î D sprawiedliwa równość f(x) = g(x).
Definicja ta nie jest sprzeczna z definicją równości funkcji jako równości zbiorów (w końcu zdefiniowaliśmy funkcję jako relację, czyli zbiór): zbiory f oraz g są równe wtedy i tylko wtedy, gdy składają się z tych samych elementów.
Definicja 2.20. Funkcja (wyświetlacz) f nazywa suriektyw lub po prostu surjecja, jeśli dla dowolnego elementu tak Y element istnieje x Î X, taki, że tak = f(x).
Więc każda funkcja f jest odwzorowaniem surjektywnym (surjekcją) Df® Rf.
Jeśli f jest surjekcją i X oraz Y są zbiorami skończonymi, to ³ .
Definicja 2.21. Funkcja (wyświetlacz) f nazywa zastrzyk lub po prostu zastrzyk lub Jeden na jednego jeśli z f(a) = f(b) powinien a = b.
Definicja 2.22. Funkcja (wyświetlacz) f nazywa bijektyw lub po prostu bijekcja jeśli jest zarówno iniektywna, jak i surjektywna.
Jeśli f jest bijekcją i X oraz Y są zbiorami skończonymi, to = .
Definicja 2.23. Jeśli zakres funkcji Df składa się z jednego elementu f nazywa stała funkcja.
Przykład 2.24.
a) f(x) = x 2 to odwzorowanie zbioru liczb rzeczywistych na zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych. Ponieważ f(–a) = f(a), oraz a ¹ – a, to ta funkcja nie jest wtryskiem.
b) Dla każdego x R= (– , ) funkcja f(x) = 5 jest funkcją stałą. Wyświetla wiele R do kompletu (5). Ta funkcja jest surjektywna, ale nie iniektywna.
w) f(x) = 2x+ 1 to zastrzyk i bijection, bo od 2 x 1 +1 = 2x 2+1 obserwuje x 1 = x 2 .
Definicja 2.24. Funkcja realizująca wyświetlacz X jeden X 2 ´...´ X n ® Y nazywa n-lokalne funkcjonować.
Przykład 2.25.
a) Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie to funkcje binarne na zbiorze R liczby rzeczywiste, czyli funkcje typu R 2® R.
b) f(x, tak) = jest funkcją dwumiejscową, która implementuje mapowanie R ´ ( R \ )® R. Ta funkcja nie jest wstrzykiwaniem, ponieważ f(1, 2) = f(2, 4).
c) Tabela wypłat loterii definiuje funkcję dwumiejscową, która ustala zgodność między parami od N 2 (N jest zbiorem liczb naturalnych) i zbiorem wypłat.
Ponieważ funkcje są relacjami binarnymi, możliwe jest znalezienie funkcji odwrotnych i zastosowanie operacji składania. Składanie dowolnych dwóch funkcji jest funkcją, ale nie dla każdej funkcji f postawa f-1 to funkcja.
Przykład 2.26.
a) f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) jest funkcją.
Postawa f –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) nie jest funkcją.
b) g = {<1, a>, <2, b>, <3, c>, <4, D>) jest funkcją.
g -1 = {<a, 1>, <b, 2>, <c, 3>, <D, 4>) jest również funkcją.
c) Znajdź kompozycję funkcji f z przykładu a) i g-1 z przykładu b). Mamy g -1f = {<a, 2>, <b, 3>, <c, 4>, <d, 2>}.
fg-1 = .
Zauważ, że ( g -1f)(a) = f(g -1 (a)) = f(1) = 2; (g -1f)(c) = f(g -1 (c)) = f(3) = 4.
Funkcja elementarna w analizie matematycznej to dowolna funkcja f, który jest złożeniem skończonej liczby funkcji arytmetycznych, a także następujących funkcji:
1) Funkcje ułamkowo-racjonalne, tj. funkcje formy
a 0 + a 1 x + ... + n x n
b 0 + b 1 x + ... + bmxm.
2) funkcja zasilania f(x) = x m, gdzie m jest dowolną stałą liczbą rzeczywistą.
3) funkcja wykładnicza f(x) = były.
4) funkcja logarytmiczna f(x) = log x, a >0, a 1.
5) Funkcje trygonometryczne grzech, cos, tg, ctg, sek, csc.
6) Funkcje hiperboliczne sz, ch, th, ct.
7) Odwrotne funkcje trygonometryczne łuk grzechu, arccos itp.
Na przykład funkcja dziennik 2 (x 3 +sincos 3x) jest elementarny, ponieważ to jest kompozycja funkcji cosx, sinx, x 3 , x 1 + x 2 , logx, x 2 .
Wyrażenie opisujące złożenie funkcji nazywa się formułą.
Dla funkcji wielomiejscowej ważny jest następujący ważny wynik, który został uzyskany przez A.N.Kołmogorowa i V.I.Arnolda w 1957 r. i jest rozwiązaniem 13. problemu Hilberta:
Twierdzenie. Każda ciągła funkcja n zmienne mogą być reprezentowane jako kompozycja ciągłych funkcji dwóch zmiennych.
Sposoby ustawiania funkcji
1. Najłatwiejszym sposobem ustawienia funkcji są tabele (Tabela 2.2):
Tabela 2.2
Jednak funkcje zdefiniowane na zbiorach skończonych można zdefiniować w ten sposób.
Jeśli funkcja zdefiniowana na zbiorze nieskończonym (segment, przedział) jest określona w skończonej liczbie punktów, na przykład w postaci tabel trygonometrycznych, tabel funkcji specjalnych itp., to do obliczania wartości stosuje się reguły interpolacji funkcji w punktach pośrednich.
2. Funkcję można zdefiniować jako formułę, która opisuje funkcję jako zbiór innych funkcji. Formuła określa kolejność obliczania funkcji.
Przykład 2.28.
f(x) = grzech(x + Ö x) jest złożeniem następujących funkcji:
g(tak) = Ö tak; h(ty, v) = ty+v; w(z) = sinz.
3. Funkcję można podać w postaci procedura rekurencyjna. Procedura rekurencyjna definiuje funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, tj. f(n), n= 1, 2,... w następujący sposób: a) wartość f(1) (lub f(0)); b) znaczenie f(n+ 1) jest definiowany przez skład f(n) i inne dobrze znane funkcje. Najprostszym przykładem procedury rekurencyjnej jest obliczenie n!:a) 0! = 1; b) ( n + 1)! = n!(n+ 1). Wiele procedur metod numerycznych to procedury rekurencyjne.
4. Istnieją sposoby definiowania funkcji, które nie zawierają sposobu obliczania funkcji, a jedynie ją opisują. Na przykład:
f M(x) =
Funkcjonować f M(x) jest funkcją charakterystyczną zbioru M.
Tak więc, zgodnie ze znaczeniem naszej definicji, zdefiniuj funkcję f- oznacza ustawienie wyświetlacza X ® Y, tj. zdefiniuj zestaw X´ Y, więc pytanie sprowadza się do określenia jakiegoś zestawu. Możliwe jest jednak zdefiniowanie pojęcia funkcji bez użycia języka teorii mnogości, a mianowicie: funkcja jest uważana za daną, jeśli podana jest procedura obliczeniowa, która przy danej wartości argumentu znajduje odpowiednią wartość funkcji. Tak zdefiniowaną funkcję nazywa się obliczeniowy.
Przykład 2.29.
Procedura oznaczania Liczby Fibonacciego, jest wyrażona przez stosunek
F n= Fn- 1 + Fn- 2 (n³ 2) (2.1)
z wartościami początkowymi F 0 = 1, F 1 = 1.
Wzór (2.1) wraz z wartościami początkowymi definiuje następujący ciąg liczb Fibonacciego:
| n | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … |
| F n | 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 … |
Procedura obliczeniowa do określenia wartości funkcji z podanej wartości argumentu to nic innego jak algorytm.
Pytania zabezpieczające do tematu 2
1. Określ sposoby określenia relacji binarnej.
2. Główna przekątna macierzy, której stosunek zawiera tylko jedynki?
3. W jakim związku? r warunek jest zawsze spełniony r = r- 1 ?
4. W jakim związku? r warunek jest zawsze spełniony r rÍ r.
5. Wprowadzić relacje równoważności i cząstkowego porządku na zbiorze wszystkich prostych na płaszczyźnie.
6. Określ sposoby ustawiania funkcji.
7. Które z poniższych stwierdzeń jest prawidłowe?
a) Każda relacja binarna jest funkcją.
b) Każda funkcja jest relacją binarną.
Temat 3. WYKRESY
Pierwsza praca Eulera na temat teorii grafów pojawiła się w 1736 roku. Na początku teoria ta była związana z zagadkami matematycznymi i grami. Jednak później teoria grafów zaczęła być wykorzystywana w topologii, algebrze i teorii liczb. Obecnie teoria grafów znajduje zastosowanie w wielu różnych dziedzinach nauki, technologii i praktyki. Znajduje zastosowanie w projektowaniu sieci elektrycznych, planowaniu transportu, budowaniu schematów molekularnych. Teoria grafów jest również wykorzystywana w ekonomii, psychologii, socjologii i biologii.
W tym podrozdziale przedstawiamy iloczyny kartezjańskie, relacje, funkcje i wykresy. Badamy właściwości tych modeli matematycznych i powiązania między nimi.
Iloczyn kartezjański i wyliczanie jego elementów
Produkt kartezjański zestawy A oraz B nazywamy zestawem składającym się z uporządkowanych par: A´ B= {(a,b): (aÎ A) & (bÎ B)}.
Do zestawów 1, …, Jakiś iloczyn kartezjański określa się przez indukcję:
W przypadku dowolnego zestawu indeksów I produkt kartezjański rodziny zestawy ( Ai} i Î I definiuje się jako zbiór składający się z takich funkcji f:I® ja , co jest dla wszystkich iÎ I Prawidłowy f(i)Î Ai .
Twierdzenie 1
Zostawiać A iB to zbiory skończone. Wtedy |A´ B| = |A|×| B|.
Dowód
Zostawiać A = (1 , …,jestem), B=(b 1 , …,bn). Elementy produktu kartezjańskiego można ułożyć za pomocą stołu
(a 1 ,b 1), (a 1 ,b 2), …, (a 1 ,b n);
(a 2 ,b 1), (a 2 ,b 2), …, (a 2 ,b n);
(am ,b 1), (am ,b 2),…, (am ,b n),
składający się z n kolumny, z których każda składa się z m elementy. Stąd | A´ B|=mni.
Następstwo 1
Dowód
Za pomocą indukcji na n. Niech formuła będzie prawdziwa dla n. Następnie
Relacje
Zostawiać n„1” jest dodatnią liczbą całkowitą i 1, …, Jakiś są arbitralnymi zestawami. Związek między elementami zbiorów 1, …, Jakiś lub relacja n-argumentowa nazywa się arbitralnym podzbiorem.
Relacje i funkcje binarne
relacja binarna między elementami zbiorów A oraz B(lub w skrócie między A oraz B) nazywa się podzbiorem RÍ A´ B.
Definicja 1
Funkcjonować lub mapowanie nazywana jest trójką składającą się z zestawów A oraz B i podzbiory fÍ A´ B(wykres funkcji) spełniające następujące dwa warunki;
1) dla każdego xÎ A jest taki takÎ f, Co (x,y)Î f;
2) jeśli (x,y)Î f oraz (x,z)Î f, następnie y=z.
Łatwo to zauważyć fÍ A´ B zdefiniuje funkcję wtedy i tylko wtedy, gdy dowolna xÎ A Tam jest tylko jeden takÎ f, Co ( x,tak) Î f. Ten tak oznaczać przez f(x).
Funkcja nazywa się zastrzyk, jeśli w ogóle x,x'Î A, taki Co x¹ x', ma miejsce f(x)¹ f(x'). Funkcja nazywa się surjecja jeśli dla każdego takÎ B jest taki xÎ A, Co f(x) = tak. Jeśli funkcja jest iniekcją i surjekcją, nazywa się ją bijekcja.
Twierdzenie 2
Aby funkcja była bijekcją, konieczne i wystarczające jest, aby istniała taka funkcja, że: fg =ID B oraz gf =ID A.
Dowód
Zostawiać f- bijekcja. Ze względu na suriektywizm f dla wszystkich takÎ B możesz wybrać element xÎ A, dla którego f(x) = tak. Ze względu na wstrzykiwanie f, ten element będzie jedyny i oznaczymy go przez g(tak) = x. Zdobądźmy funkcję.
Według konstrukcji funkcji g, są równouprawnienia f(g(tak)) = tak oraz g(f(x)) = x. Więc to prawda fg =ID B oraz gf =ID A. Odwrotność jest oczywista: jeśli fg =ID B oraz gf =dowód tożsamości A, następnie f– wkroczenie w życie f(g(tak)) = tak, dla wszystkich takÎ B. W takim przypadku od będzie następować 
, co znaczy . Stąd, f- zastrzyk. Stąd wynika, że f- bijekcja.
Obraz i prototyp
Niech będzie funkcją. sposób podzbiory XÍ A nazwany podzbiorem f(X) = (f(x):xÎ x)Í b. Do YÍ B podzbiór f - -1 (T) =(xÎ A:f(x)Î T) nazywa prototyp podzbioryY.
Relacje i wykresy
Relacje binarne można wizualizować za pomocą grafy skierowane.
Definicja 2
Kierowany wykres nazywa się parą zestawów (MI,v) wraz z kilkoma wyświetlaczami s,t:mi® V. Zestaw elementów V są reprezentowane przez punkty na płaszczyźnie i są nazywane szczyty. Przedmioty z E nazywane są krawędziami skierowanymi lub strzałki. Każdy element miÎ mi przedstawiona jako strzałka (prawdopodobnie krzywoliniowa) łącząca wierzchołek s(mi) szczyt t(mi).
Arbitralna relacja binarna RÍ V´ V odpowiada grafowi skierowanemu z wierzchołkami vÎ V, którego strzałki są uporządkowane parami (ty,v)Î R. Wyświetlacze s,t:R® V określają wzory:
s(ty,v) =ty oraz t(ty,v) =v.
Przykład 1
Zostawiać V = (1,2,3,4).
Rozważ relację
R = ((1.1), (1,3) (1,4), (2,2), (2,3) (2.4), (3.3), (4.4)).
Będzie odpowiadał grafowi skierowanemu (ryc. 1.2). Strzałki tego wykresu będą parami (i,j)Î R.
Ryż. 1.2. Ukierunkowany wykres relacji binarnych
W powstałym grafie skierowanym dowolna para wierzchołków jest połączona co najwyżej jedną strzałką. Takie skierowane grafy nazywają się jedyny. Jeśli nie weźmiemy pod uwagę kierunku strzałek, dochodzimy do następującej definicji:
Definicja 3
Prosty (nieskierowany) wykres G = (V,mi) nazywana jest parą składającą się z zestawu V i wiele mi, składający się z kilku nieuporządkowanych par ( w 1 ,v2) elementy w 1 ,v2Î V takie, że v1¹ v2. Te pary nazywają się żebra i elementy z V – szczyty.
Ryż. 1.3. Prosty wykres nieskierowany K 4
Pęczek mi definiuje binarną symetryczną relację antyrefleksyjną składającą się z par ( w 1 ,v2), dla którego ( w 1 ,v2} Î mi. Wierzchołki prostego wykresu są pokazane jako punkty, a krawędzie jako odcinki linii. Na ryc. 1.3 pokazuje prosty wykres z wieloma wierzchołkami
V ={1, 2, 3, 4}
i wiele żeber
E= {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.
Operacje na relacjach binarnych
relacja binarna między elementami zbiorów A oraz B nazwany arbitralnym podzbiorem RÍ A´ B. Nagranie aRb(w aÎ A, bÎ B) oznacza, że (a,b)Î R.
Zdefiniowano następujące operacje relacyjne: RÍ A´ A:
· R-1= ((a,b): (b,a)Î R);
· R° S = ((a, b): ($ xÎ A)(a, x)Î R i (x,b)Î R);
· Rn =R°(Rn-1);
Zostawiać Identyfikator A = ((a,a):aÎ A)- identyczna relacja. Postawa R Í X´ X nazywa:
1) odblaskowy, jeśli (a,a)Î R dla wszystkich aÎ X;
2) antyrefleksyjny, jeśli (a,a)Ï R dla wszystkich aÎ X;
3) symetryczny jeśli dla wszystkich a,bÎ X sugestia jest poprawna aRbÞ biustonosz;
4) antysymetryczny, jeśli aRb &biustonoszÞ a=b;
5) przechodni jeśli dla wszystkich a,b,cÎ X sugestia jest poprawna aRb &bRcÞ łuk;
6) liniowy, dla wszystkich a,bÎ X sugestia jest poprawna a¹ bÞ aRbÚ biustonosz.
Oznaczać ID A poprzez ID. Łatwo zauważyć, że obowiązuje następująca zasada.
Sugestia 1
Postawa RÍ X´ X:
1) odruchowo Û IDÍ R;
2) antyrefleksyjny Û RÇ Id=Æ ;
3) symetrycznie Û R=R-1;
4) antysymetryczna Û RÇ R-1Í ID;
5) przechodnie Û R° RÍ R;
6) liniowo Û RÈ IDÈ R-1=X´ X.
binarna macierz relacji
Zostawiać A= {1, 2, …, jestem) oraz B= {b 1, b 2, …, b n) są zbiorami skończonymi. binarna macierz relacji R Í A ´ B nazywana jest macierzą ze współczynnikami:
Zostawiać A jest zbiorem skończonym, | A| = n oraz B= A. Rozważ algorytm obliczania macierzy składu T= R° S relacje R, S Í A´ A. Oznacz współczynniki macierzy zależności R, S oraz T odpowiednio przez rij, sij oraz tij.
Ponieważ nieruchomość ( ja,K)Î T jest równoznaczne z istnieniem takich ajÎ A, Co ( ja,aj)Î R oraz ( aj,K) Î S, to współczynnik tik będzie równy 1 wtedy i tylko wtedy, gdy taki indeks istnieje j, Co rij= 1 i sjk= 1. W innych przypadkach tik równa się 0. Dlatego tik= 1 wtedy i tylko wtedy, gdy .
Oznacza to, że aby znaleźć macierz składu relacji, konieczne jest pomnożenie tych macierzy iw otrzymanym produkcie macierzy zastąpienie niezerowych współczynników jedynkami. Poniższy przykład pokazuje, w jaki sposób obliczana jest w ten sposób macierz składu.
Przykład 2
Rozważ relację binarną na A = (1,2,3) równy R = ((1,2),(2,3)). Napiszmy macierz relacji R. Z definicji składa się ze współczynników r 12 = 1, r23 = 1 i inni rij= 0. Stąd macierz relacji R jest równe:
Znajdźmy relację R° R. W tym celu mnożymy macierz ilorazów R do siebie:
.
Otrzymujemy macierz relacji:
Stąd, R° R= {(1,2),(1,3),(2,3)}.
Stwierdzenie 1 implikuje następujący wniosek.
Konsekwencja 2
Jeśli A= B, to stosunek R na A:
1) odruchowo wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy głównej przekątnej macierzy relacji R są równe 1;
2) antyrefleksyjny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy głównej przekątnej macierzy relacji R są 0;
3) symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy macierz relacji R symetryczny;
4) przechodnie wtedy i tylko wtedy, gdy każdy współczynnik macierzy relacji R° R nie większy niż odpowiedni współczynnik macierzy stosunku R.
Komunikacja zawsze była postrzegana jako wielofunkcyjny proces. Psychologowie definiują funkcje komunikacji według różnych kryteriów: emocjonalne, informacyjne, socjalizacyjne, łączące, translacyjne, ukierunkowane na samopoznanie (A. V. Mudrik), tworzenie wspólnoty, samostanowienie (A. B. Dobrovich), wyrażanie siebie (A. A. Brudny), spójność itp. Najczęściej w psychologii funkcje komunikacji są rozpatrywane zgodnie z modelem relacji „człowiek-działanie-społeczeństwo”.
Można wyróżnić pięć głównych funkcji: pragmatyczną, kształtującą, potwierdzającą, organizującą i podtrzymującą relacje interpersonalne, intrapersonalną (ryc. 7).
W funkcja pragmatyczna Komunikacja jest najważniejszym warunkiem zbliżania ludzi w procesie wszelkich wspólnych działań. Słynna biblijna opowieść o budowie Wieży Babel opowiada o tragicznych skutkach dla ludzkiej działalności, jeśli ten warunek nie zostanie spełniony.
Ryż. 7.
Duża rola należy funkcja formacyjna Komunikacja. Komunikacja między dzieckiem a dorosłym to nie tylko proces przekazywania pierwszemu sumy umiejętności, umiejętności i wiedzy, których mechanicznie się uczy, ale złożony proces wzajemnego oddziaływania, wzbogacania i zmiany. Istotną rolę komunikacji jasno pokazuje poniższy przykład. W latach 30. XX wiek w Stanach Zjednoczonych przeprowadzono eksperyment w dwóch klinikach, w których leczono dzieci z powodu poważnych, słabo uleczalnych chorób. Warunki w obu klinikach były takie same, ale z pewnymi różnicami: w jednym szpitalu krewni nie mogli oglądać dzieci z obawy przed infekcją, a w drugim, w określonych godzinach, rodzice mogli rozmawiać i bawić się z dzieckiem w specjalnie wyznaczony pokój. Po kilku miesiącach porównano skuteczność leczenia. Na pierwszym oddziale, mimo wysiłków lekarzy, śmiertelność zbliżyła się do jednej trzeciej. Na drugim oddziale, gdzie dzieci były leczone tymi samymi środkami i metodami, ani jedno dziecko nie zmarło.
Funkcja potwierdzenia w procesie komunikacji umożliwia poznanie, afirmację siebie. Chcąc ugruntować swoją egzystencję i swoją wartość, człowiek szuka oparcia w drugim człowieku. Codzienne doświadczenie komunikacji międzyludzkiej obfituje w procedury zorganizowane według zasady konfirmacji: rytuały znajomości, pozdrowienia, nazywanie, dawanie różnych znaków uwagi. Słynny angielski psychiatra R.D. Laing widział w braku potwierdzenia uniwersalne źródło wielu chorób psychicznych, przede wszystkim schizofrenii.
interpersonalny dla każdej osoby wiąże się z oceną ludzi i nawiązaniem pewnych relacji emocjonalnych – pozytywnych lub negatywnych. Dlatego emocjonalny stosunek do drugiego człowieka można wyrazić w kategoriach „sympatia – antypatia”, co odciska swoje piętno nie tylko na komunikacji osobistej, ale także biznesowej.
funkcja intrapersonalna uważany za uniwersalny sposób myślenia człowieka. L. S. Wygotski zauważył w związku z tym, że „osoba, nawet sama ze sobą, zachowuje funkcję komunikacji”.
Wiodące znaczenie komunikacji w życiu człowieka polega więc na tym, że jest środkiem organizowania wspólnych działań ludzi i sposobem na zaspokojenie potrzeby drugiej osoby, jej żywego kontaktu.
Komunikacja jako zjawisko społeczno-psychologiczne to kontakt między ludźmi, który odbywa się poprzez język i mowę, ma różne formy manifestacji. Język to system znaków słownych, środek komunikacji między ludźmi. Używanie języka do komunikowania się między ludźmi nazywa się mową. W zależności od cech komunikacji rozróżnia się jej różne typy (ryc. 8).
Poprzez kontakt z rozmówcą komunikacja może być bezpośrednia i pośrednia.
Komunikacja bezpośrednia (bezpośrednia) - jest to komunikacja naturalna, gdy podmioty interakcji znajdują się w pobliżu i komunikują się za pomocą mowy, mimiki i gestów.
Ryż. osiem.
Ten rodzaj komunikacji jest najbardziej kompletny, ponieważ w jego trakcie jednostki otrzymują o sobie nawzajem maksimum informacji.
Zapośredniczona (pośrednia) komunikacja przeprowadzane w sytuacjach, gdy jednostki są od siebie oddzielone czasem lub odległością. Na przykład: rozmowa przez telefon, korespondencja. Zapośredniczona komunikacja to niepełny kontakt psychologiczny, gdy informacja zwrotna jest trudna.
Komunikacja może być interpersonalna lub masowa. Komunikacja masowa reprezentuje wielokrotne kontakty nieznajomych, a także komunikację za pośrednictwem różnego rodzaju środków masowego przekazu. Może być bezpośredni oraz za pośrednictwem. bezpośrednia komunikacja masowa obserwowane na wiecach, spotkaniach, demonstracjach, we wszystkich dużych grupach społecznych: tłumie, publiczność, publiczność. Zapośredniczona komunikacja masowa ma charakter jednostronny i kojarzy się z kulturą masową i mediami masowymi.
Zgodnie z kryterium równości partnerów w komunikacji interpersonalnej (ryc. 9) wyróżnia się dwa typy: dialogiczny i monolog.
Komunikacja dialogowa- równe interakcje podmiotowo-podmiotowe, mające na celu wzajemne poznanie, chęć osiągnięcia celów każdego partnera.
komunikacja monologowa jest realizowany z nierównymi pozycjami partnerów i reprezentuje relację podmiot-przedmiot. Może być imperatywem i manipulacją. imperatyw komunikacji- autorytarna, dyrektywna forma interakcji z partnerem w celu uzyskania kontroli nad jego zachowaniem, postawami, myślami i przymusu do określonych działań lub decyzji. Co więcej, ten cel nie jest zawoalowany. komunikacja manipulacyjna- forma komunikacji interpersonalnej, w której wpływ na partnera komunikacji odbywa się w ukryciu w celu osiągnięcia jego intencji.
Ryż. dziewięć.
Istnieją dwa rodzaje komunikacji – rola i osobista. W rola komunikacja ludzie działają w oparciu o swój status. Na przykład komunikacja między nauczycielem a uczniami, kierownikiem sklepu z pracownikami itp. będzie odgrywaniem ról. Komunikację ról regulują przyjęte w społeczeństwie zasady i specyfika leczenia. komunikacja personalna zależy od indywidualnych cech ludzi i relacji między nimi.
Komunikacja może być krótkotrwała lub długoterminowa, w zależności od celów, treści działania, indywidualnych cech rozmówców, ich upodobań, niechęci itp.
Wymiana informacji może odbywać się poprzez interakcję werbalną i niewerbalną. Komunikacja werbalna dzieje się poprzez mowę niewerbalne- przy pomocy paralingwistycznych środków przekazu informacji (głośność mowy, barwa głosu, gesty, mimika, postawy).
Komunikacja odbywa się na różnych poziomach. Poziomy komunikacji są określone przez ogólną kulturę obiektów wchodzących w interakcje, ich indywidualne i osobiste cechy, specyfikę sytuacji, kontrolę społeczną, orientacje wartości tych, którzy się komunikują, ich wzajemne relacje (ryc. 10).
Ryż. dziesięć.
Najbardziej prymitywny poziom komunikacji phatic(od łac. fatuus - głupie). Polega na prostej wymianie uwag w celu podtrzymania rozmowy, nie ma głębokiego sensu. Taka komunikacja jest konieczna w znormalizowanych warunkach lub jest zdeterminowana normami etykiety.
Informacyjne poziom komunikacji polega na wymianie interesujących nowych informacji dla rozmówców, co jest źródłem emocjonalnej, umysłowej, behawioralnej aktywności osoby.
osobisty poziom komunikacji charakteryzuje taką interakcję, w której podmioty są zdolne do głębokiego ujawnienia się i zrozumienia istoty drugiej osoby, siebie i otaczającego ich świata. Opiera się na pozytywnym nastawieniu do siebie, innych ludzi i otaczającego Cię świata jako całości. To jest najwyższy duchowy poziom komunikacji.
Ładowanie...