Нульове математичне очікування. Математичне очікування та дисперсія

Математичне очікування - це визначення

Мат очікування - цеодне з найважливіших понятьв математичної статистикиі теорії ймовірностей, що характеризує розподіл значень або ймовірностей випадкової величини. Зазвичай виражається як середньозважене значенняможливих параметрів випадкової величини. Широко застосовується під час проведення технічного аналізу, дослідження числових рядів, вивченні безперервних та тривалих процесів Має важливе значення при оцінці ризиків, прогнозуванні цінових показників при торгівлі на фінансових ринках, використовується при розробці стратегій та методів ігрової тактики теорії азартних ігор.

Мат очікування- цесереднє значення випадкової величини, розподіл ймовірностейвипадкової величини у теорії ймовірностей.

Мат очікування - цеміра середнього значення випадкової величини теоретично ймовірності. Мат очікування випадкової величини xпозначається M(x).

Математичне очікування ( Population mean) - це

Мат очікування - це

Мат очікування - цетеоретично ймовірності середньозважена величина всіх можливих значень, які може набувати ця випадкова величина.

Мат очікування - цесума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень.

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування - цесередня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції.

Мат очікування - цев теорії азартних ігор сума виграшу, яку може заробити чи програти спекулянт, у середньому за кожною ставкою. Мовою азартних спекулянтівце іноді називається «перевагою спекулянта(якщо воно позитивне для спекулянта) або «перевагою казино» (якщо воно негативне для спекулянта).

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування - цепрофіту на виграш, помножений на середню прибуток, мінус збитку, помножений на середній збиток

Математичне очікування випадкової величини у математичній теорії

Однією з важливих числових характеристик випадкової величини є очікування. Введемо поняття системи випадкових величин. Розглянемо сукупність випадкових величин, що є результатами однієї й тієї ж випадкового експерименту. Якщо - одне з можливих значень системи, то події відповідає певна ймовірність, що задовольняє аксіомам Колмогорова. Функція, визначена за будь-яких можливих значеннях випадкових величин, називається спільним законом розподілу. Ця функція дозволяє обчислювати ймовірності будь-яких подій. Зокрема, спільний законрозподілу випадкових величин і, які приймають значення з множини та, задається ймовірностями.

Термін «мат. очікування» введений П'єром Сімоном маркізом де Лапласом (1795) і походить від поняття «очікуваного значення виграшу», що вперше з'явився в 17 столітті в теорії азартних ігор у працях Блеза Паскаля і Християна Гюйгенса. Проте перше повне теоретичне осмислення та оцінка цього поняття дано Пафнутиєм Львовичем Чебишевим (середина 19 століття).

Законрозподіл випадкових числових величин (функція розподілу і ряд розподілу або щільність ймовірності) повністю описують поведінку випадкової величини. Але в ряді завдань достатньо знати деякі числові характеристики досліджуваної величини (наприклад, її середнє значення та можливе відхилення від нього), щоб відповісти на поставлене запитання. Основними числовими характеристиками випадкових величин є мат очікування, дисперсія, мода та медіана.

Мат очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів її можливих значень відповідні їм ймовірності. Іноді мат. очікування називають зваженим середнім, так як воно приблизно дорівнює середньому арифметичному спостерігаються значень випадкової величини при великому числідослідів. З визначення мат очікування слід, що його значення не менше за найменше можливого значення випадкової величини і не більше за найбільше. Мат очікування випадкової величини є невипадковою (постійною) величиною.

Мат очікування має простий фізичний сенс: якщо на прямий розмістити одиничну масу, помістивши в деякі точки деяку масу (для дискретного розподілу), або «розмазавши» її з певною щільністю (для абсолютно безперервного розподілу), то точка, що відповідає мат очікування, буде координатою «центру тяжкості» прямої.

Середнє значення випадкової величини є деяке число, що є хіба що її «представником» і замінює її за грубо орієнтовних розрахунках. Коли ми говоримо: «середній час роботи лампи дорівнює 100 годин» або «середня точка влучення зміщена щодо мети на 2 м вправо», ми цим вказуємо певну числову характеристику випадкової величини, що описує її місце розташування на числовій осі, тобто. «Характеристику становища».

З показників становища теорії ймовірностей найважливішу роль грає мат очікування випадкової величини, яке іноді називають просто середнім значенням випадкової величини.

Розглянемо випадкову величину Х, що має можливі значення х1, х2, …, хnз ймовірностями p1, p2, …, pn. Нам потрібно охарактеризувати якимось числом положення значень випадкової величини на осі абсцис з облікомте, що ці значення мають різні ймовірності. Для цієї мети природно скористатися так званим «середнім виваженим» із значень xi, причому кожне значення xi при середовищі має враховуватися з «вагою», пропорційним до ймовірності цього значення. Таким чином, ми обчислимо середню випадкову величину X, яке ми позначимо M | X |:

Це середнє зважене значення називається мат очікуванням випадкової величини. Таким чином, ми ввели у розгляді одне з найважливіших понять теорії ймовірностей – поняття матюки. очікування. Мат. очікуванням випадкової величини називається сума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.

Мат. очікування випадкової величини Хпов'язано своєрідною залежністю із середнім арифметичним наглядом значень випадкової величини при великій кількості дослідів. Ця залежність того ж типу, як залежність між частотою і ймовірністю, а саме: при великій кількості дослідів середнє арифметичне спостереження значень випадкової величини наближається (сходиться за ймовірністю) до її мат. очікування. З наявності зв'язку між частотою та ймовірністю можна вивести як наслідок наявність подібного ж зв'язку між середнім арифметичним та математичним очікуванням. Справді, розглянемо випадкову величину Х, що характеризується поруч розподілу:

Нехай проводиться Nнезалежних дослідів, у кожному з яких величина Xнабуває певного значення. Припустимо, що значення x1з'явилося m1раз, значення x2з'явилося m2раз, взагалі значення xiз'явилося mi разів. Обчислимо середнє арифметичне спостереження значень величини Х, яке, на відміну від мат очікування М | X |ми позначимо M*|X|:

При збільшенні кількості дослідів Nчастоти piбудуть наближатися (збігатися ймовірно) до відповідних ймовірностей. Отже, і середнє арифметичне спостерігання значень випадкової величини M | X |зі збільшенням кількості дослідів наближатися (збігається ймовірно) до її мат очікування. Сформульований вище зв'язок між середнім арифметичним та мат. очікуванням становить зміст однієї з форм закону великих чисел.

Ми вже знаємо, що всі форми закону великих чисел констатують факт стійкості деяких середніх за великої кількості дослідів. Тут йдеться про стійкість середнього арифметичного із низки спостережень однієї й тієї самої величини. При невеликій кількості дослідів середнє арифметичне їх результатів випадково; при достатньому збільшенні кількості дослідів воно стає «майже випадковим» і, стабілізуючись, наближається до постійної величині - мат. очікування.

Властивість стійкості середніх за великої кількості досвідів легко перевірити експериментально. Наприклад, зважуючи якесь тіло в лабораторії на точних терезах, ми в результаті зважування отримуємо щоразу нове значення; щоб зменшити помилку спостереження, ми зважуємо тіло кілька разів і користуємося середнім арифметичним отриманим значенням. Легко переконатися, що при подальшому збільшенні кількості дослідів (зважувань) середнє арифметичне реагує на це збільшення дедалі менше і при досить великій кількості дослідів практично перестає змінюватися.

Слід зазначити, що найважливіша характеристика положення випадкової величини – мат. очікування – існує не для всіх випадкових величин. Можна скласти приклади таких випадкових величин, котрим мат. очікування немає, оскільки відповідна сума чи інтеграл розходяться. Однак для практики такі випадки суттєвого інтересу не становлять. Зазвичай випадкові величини, з якими ми маємо справу, мають обмежену область можливих значень і, безумовно, мають мат очікуванням.

Крім найважливішої з характеристик становища випадкової величини - мат очікування, - практично іноді застосовуються й інші характеристики становища, зокрема, мода і медіана випадкової величини.

Модою випадкової величини називається її найімовірніше значення. Термін «найбільш ймовірне значення», строго кажучи, застосовується тільки до перервних величин; для безперервної величини модою є значення, у якому щільність ймовірності максимальна. На малюнках показана мода відповідно для перервної та безперервної випадкових величин.

Якщо багатокутник розподілу (крива розподілу) має більше одного максимуму, розподіл називається полімодальним.

Іноді зустрічаються розподіли, що мають посередині не максимум, а мінімум. Такі розподіли називають «антимодальними».

У випадку мода і мат очікування випадкової величини не збігаються. В окремому випадку, коли розподіл є симетричним і модальним (тобто має моду) і існує мат. очікування, воно збігається з модою і центром симетрії розподілу.

Часто застосовується ще одна характеристика становища – так звана медіана випадкової величини. Цією характеристикою користуються зазвичай лише безперервних випадкових величин, хоча формально можна її визначити й у перервної величини. Геометрично медіана - це абсцис точки, в якій площа, обмежена кривою розподілу, ділиться навпіл.

У разі симетричного модального розподілу медіана збігається із мат. очікуванням та модою.

Мат очікування є середнє значення, випадкової величини - числова характеристика розподілу ймовірностей випадкової величини. Найзагальнішим чином мат очікування випадкової величини Х(w)визначається як інтеграл Лебега по відношенню до імовірнісної міри Ру вихідному імовірнісному просторі:

Мат. очікування може бути обчислено і як інтеграл Лебега від хщодо розподілу ймовірностей рхвеличини X:

Звичайно можна визначити поняття випадкової величини з нескінченним мат очікуванням. Типовим прикладомслужать часи репатріації у деяких випадкових блуканнях.

З допомогою мат. очікування визначаються багато числових і функціональних характеристик розподілу (як мат. очікування відповідних функцій від випадкової величини), наприклад, що виробляє функція, характеристична функція, моменти будь-якого порядку, зокрема дисперсія, коваріація.

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування є характеристикою розташування значень випадкової величини (середнє значення її розподілу). У цьому ролі математичне очікування служить деяким " типовим " параметром розподілу та її роль аналогічна ролі статичного моменту - координати центру тяжкості розподілу маси - у механіці. Від інших характеристик розташування, за допомогою яких розподіл описується в загальних рисах, - медіан, мод, мат очікування відрізняється тим більшим значенням, яке воно і відповідна йому характеристика розсіювання - дисперсія - мають граничні теореми теорії ймовірностей. З найбільшою повнотою сенс мат очікування розкривається законом великих чисел (нерівність Чебишева) і посиленим законом великих чисел.

Математичне очікування (Population mean) – це

Математичне очікування дискретної випадкової величини

Нехай є деяка випадкова величина, яка може прийняти одне з декількох числових значень (припустимо, кількість очок при кидку кістки може бути 1, 2, 3, 4, 5 або 6). Часто на практиці для такої величини виникає питання: а яке значення вона набуває "в середньому" при велику кількістьтестів? Яким буде наш середній дохід (або збиток) від кожної із ризикованих операцій?

Скажімо, є якась лотерея. Ми хочемо зрозуміти, вигідно чи ні в ній взяти участь (або навіть брати участь неодноразово, регулярно). Допустимо, виграшний кожен четвертий квиток, приз складе 300 руб., а будь-якого квитка – 100 руб. За нескінченно великої кількості участі виходить ось що. У трьох чвертях випадків ми програємо, кожні три програші коштуватимуть 300 руб. У кожному четвертому випадку ми виграємо 200 руб. (Приз мінус вартість), тобто за чотири участі ми в середньому втрачаємо 100 руб., За одну – у середньому 25 руб. Разом у середньому темпи нашого руйнування становитимуть 25 крб./квиток.

Кидаємо гральну кістку. Якщо вона не шахрайська (без усунення центру тяжкості тощо), то скільки ми в середньому матимемо очок за раз? Оскільки кожен варіант рівноймовірний, беремо тупо середнє арифметичне та отримуємо 3,5. Оскільки це СЕРЕДНІШЕ, то нема чого обурюватися, що 3,5 очок ніякий конкретний кидок не дасть - ну немає у цього куба грані з таким числом!

Тепер узагальним наші приклади:

Звернемося до щойно наведеної картинки. Зліва табличка розподілу випадкової величини. Величина X може набувати одне з n можливих значень (наведені у верхньому рядку). Жодних інших значень не може бути. Під кожним можливим значенням знизу підписано його можливість. Справа наведена формула, де M(X) і називається мат. очікуванням. Сенс цієї величини в тому, що при великій кількості випробувань (при великій вибірці) середнє значення буде прагнути цього самого мат очікування.

Повернемося знову до того ж грального куба. Мат. очікування кількості очок при кидку дорівнює 3,5 (порахуйте самі за формулою, якщо не вірите). Скажімо, ви кинули його кілька разів. Випали 4 та 6. У середньому вийшло 5, тобто далеко від 3,5. Кинули ще раз, випало 3, тобто в середньому (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Якось далеко від мат. очікування. А тепер проведіть божевільний експеримент – киньте куб 1000 разів! І якщо в середньому не буде рівно 3,5, то буде близько до того.

Порахуємо мат. очікування вище описаної лотереї. Табличка виглядатиме ось так:

Тоді мат очікування складе, як ми встановили вище.

Інша справа, що так само "на пальцях", без формули, було б важкувато, якби було більше варіантів. Ну скажімо, було б 75% програшних квитків, 20% виграшних квитків та 5% особливо виграшних.

Тепер деякі властивості мат очікування.

Мат. очікування є лінійним.Довести це просто:

Постійний множник можна виносити за знак мат. очікування, тобто:

Це окремий випадок якості лінійності мат очікування.

Інше наслідок лінійності мат. очікування:

тобто мат. очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань випадкових величин.

Нехай X, Y – незалежні випадкові величинитоді:

Це теж нескладно довести) XYсамо є випадковою величиною, при цьому якщо вихідні величини могли приймати nі mзначень відповідно, то XYможе набувати nm значень. кожного з значень обчислюється, виходячи з того, що ймовірності незалежних подій перемножуються. У результаті отримуємо ось що:

Математичне очікування безперервної випадкової величини

У безперервних випадкових величин є така характеристика, як густина розподілу (щільність ймовірності). Вона, по суті, характеризує ситуацію, що деякі значення з множини дійсних чисел випадкова величина набуває частіше, деякі - рідше. Наприклад, розглянемо ось який графік:

Тут X- Власне випадкова величина, f(x)- Щільність розподілу. Судячи з даного графіку, при дослідах значення Xчасто буде числом, близьким до нуля. Шанси ж перевищити 3 або виявитися менше -3 скоріше чисто теоретичні.

Якщо відома щільність розподілу, то очікування мат шукається так:

Нехай, наприклад, є рівномірний розподіл:

Знайдемо мат. очікування:

Це цілком відповідає інтуїтивному розумінню. Скажімо, якщо ми отримуємо при рівномірному розподілі багато випадкових дійсних чисел, кожне з відрізків |0; 1| , то середнє арифметичне має бути близько 0,5.

Властивості мат очікування - лінійність і т.д., застосовні для дискретних випадкових величин, застосовні тут.

Взаємозв'язок математичного очікування з іншими статистичними показниками

В статистичномуаналізі поряд з мат очікуванням існує система взаємозалежних показників, що відображають однорідність явищ та стійкість процесів. Часто показники варіації немає самостійного сенсу і використовуються подальшого аналізу даних. Винятком є ​​коефіцієнт варіації, що характеризує однорідність даних, що є цінною статистичноїхарактеристикою.

Ступінь мінливості чи стійкості процесіву статистичній науці можна виміряти з допомогою кількох показників.

Найбільш важливим показником, що характеризує мінливістьвипадкової величини, є Дисперсія, яка найтіснішим і безпосереднім чином пов'язана з мат. очікуванням. Цей параметр активно використовується в інших видах статистичного аналізу(перевірка гіпотез, аналіз причинно-наслідкових зв'язків та ін.). Як і середнє лінійне відхилення, дисперсія також відображає міру розкиду данихдовкола середньої величини.

Мова знаків корисно перекласти мовою слів. Вийде, що дисперсія – це середній квадрат відхилень. Тобто спочатку розраховується середнє значення, потім береться різниця між кожним вихідним та середнім значенням, зводиться у квадрат, складається і потім поділяється на кількість значень у даній сукупності. Різницяміж окремим значенням та середньою відображає міру відхилення. У квадрат зводиться для того, щоб усі відхилення стали виключно позитивними числамиі щоб уникнути взаємознищення позитивних та негативних відхилень при їх підсумовуванні. Потім, маючи квадрати відхилень, ми просто розраховуємо середню арифметичну. Середній – квадрат – відхилень. Відхилення зводяться до квадрата, і вважається середня. Розгадка магічного слова «дисперсія» полягає лише у трьох словах.

Однак у чистому вигляді, як, наприклад, середня арифметична, або дисперсія не використовується. Це швидше допоміжний та проміжний показник, який використовується для інших видів статистичного аналізу. У неї навіть одиниці виміру нормальної немає. Судячи з формули, це квадрат одиниці виміру вихідних даних.

Математичне очікування (Population mean) – це

Нехай ми вимірюємо випадкову величину Nразів, наприклад, десять разів вимірюємо швидкість вітру та хочемо знайти середнє значення. Як пов'язане середнє значення із функцією розподілу?

Або кидатимемо гральний кубиквелику кількість разів. Кількість очок, яке випаде на кубику при кожному кидку, є випадковою величиною і може набувати будь-яких натуральних значень від 1 до 6. Середнє арифметичне випалих очок, підрахованих за всі кидки кубика, теж є випадковою величиною, проте при великих Nвоно прагне цілком конкретного числа - мат. очікування Mx. У разі Mx = 3,5.

Яким чином вийшла ця величина? Нехай у Nвипробуваннях n1раз випало 1 очко, n2разів - 2 очки і так далі. Тоді кількість наслідків, у яких випало одне очко:

Аналогічно для результатів, коли випало 2, 3, 4, 5 та 6 очок.

Припустимо тепер, що знаємо розподілу випадкової величини x, тобто знаємо, що випадкова величина x може набувати значення x1, x2,..., xk з ймовірностями p1, p2,..., pk.

Мат очікування Mx випадкової величини x дорівнює:

Мат очікування не завжди є розумною оцінкою якоїсь випадкової величини. Так, для оцінки середньої заробітної плати розумніше використовувати поняття медіани, тобто такої величини, що кількість людей, які отримують меншу, ніж медіана, зарплатуі велику, збігаються.

Імовірність р1 того, що випадкова величина х виявиться меншою за х1/2, і ймовірність р2 того, що випадкова величина x виявиться більшою за х1/2, однакові й рівні 1/2. Медіана визначається однозначно задля всіх розподілів.

Стандартним або Середньоквадратичним відхиленняму статистиці називається ступінь відхилення даних спостережень чи множин від СЕРЕДНЬОГО значення. Позначається літерами s чи s. Невелике стандартне відхилення вказує на те, що дані групуються навколо середнього значення, а значне - що початкові дані розташовані далеко від нього. Стандартне відхилення одно квадратного коренявеличини, яка називається дисперсією. Вона є середня кількість суми зведених у квадрат різниць початкових даних, що відхиляються від середнього значення. Середньоквадратичним відхиленням випадкової величини називається корінь квадратний із дисперсії:

приклад. В умовах випробувань при стрільбі по мішені обчислити дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини:

Варіація- коливання, змінність величини ознаки в одиниць сукупності. Окремі числові значенняознаки, що у досліджуваної сукупності, називають варіантами значень. Недостатність середньої величини для повної характеристики сукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання (варіації) ознаки, що вивчається. Коефіцієнт варіації обчислюють за такою формулою:

Розмах варіації(R) являє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки в досліджуваній сукупності. Цей показник дає саме загальне уявленняпро коливання досліджуваного ознаки, оскільки показує різницюлише між граничними значеннями варіантів. Залежність крайніх значень ознаки надає розмаху варіації нестійкий, випадковий характер.

Середнє лінійне відхиленняявляє собою середнє арифметичне з абсолютних (за модулем) відхилень всіх значень аналізованої сукупності від їхньої середньої величини:

Математичне очікування теорії азартних ігор

Мат очікування - цесередня кількість грошей, яку спекулянт в азартні ігри може виграти чи програти на даній ставці. Це дуже важливе поняття для спекулянта, тому що воно є основним для оцінки більшості ігрових ситуацій. Мат очікування – це також оптимальний інструмент для аналізу основних карткових розкладів та ігрових ситуацій.

Допустимо, ви граєте з другом у монетку, щоразу роблячи ставку порівну по $1 незалежно від того, що випаде. Решка – ви виграли, орел – програли. Шанси на те, що випаде решка один до одного, і ви ставите $1 до $1. Таким чином, мат очікування у вас рівне нулю, т.к. з точки зору математики ви не можете знати ви будете вести або програвати після двох кидків або після 200.

Ваш годинний виграш дорівнює нулю. Часовий виграш - це кількість грошей, яку ви очікуєте виграти за годину. Ви можете кидати монету 500 разів протягом години, але не виграєте і програєте, т.к. Ваші шанси ні позитивні, ні негативні. Якщо дивитися, з погляду серйозного спекулянта, така система ставок непогана. Але це просто втрата часу.

Але припустимо, хтось хоче поставити $2 проти вашого $1 у цю гру. Тоді ви одразу ж маєте позитивне мотоочікування в 50 центів з кожної ставки. Чому 50 центів? У середньому одну ставку ви виграєте, другу програєте. Поставте перший – і втратите $1, ставите другий – виграєте $2. Ви двічі зробили ставку $1 і йдете попереду на $1. Таким чином кожна з ваших однодоларових ставок дала вам 50 центів.

Якщо за годину монета випаде 500 разів, ваш годинний виграш складе вже $250, т.к. в середньому ви втратили по одному долару 250 разів і виграли по два долара 250 разів. $500 мінус $250 і $250, що і становить сумарний виграш. Зверніть увагу, що маточування, що є сумою, яку в середньому ви виграли на одній ставці, дорівнює 50 центам. Ви виграли $250, роблячи ставку за доларом 500 разів, що дорівнює 50 центам зі ставки.

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат. очікування немає нічого спільного з короткочасним результатом. Ваш опонент, який вирішив ставити проти вас $2 міг обіграти вас на перших десяти кидках поспіль, але ви, володіючи перевагою ставок 2 до 1 за інших рівних, за будь-яких обставин заробляєте 50 центів з кожної ставки в $1. Немає різниці, ви виграєте або програєте одну ставку або кілька ставок, але тільки за умови, що у вас вистачить готівки, щоб спокійно компенсувати витрати. Якщо ви продовжуватимете ставити так само, то за тривалий час ваш виграш підійде до суми маточень в окремих кидках.

Щоразу, роблячи ставку з кращим результатом (ставка, яка може виявитися вигідною на довгій дистанції), коли шанси на вашу користь, ви обов'язково щось виграєте на ній, і не важливо чи ви втрачаєте її чи ні в даній роздачі. І навпаки, якщо ви зробили ставку з найгіршим результатом (ставка, яка невигідна на довгій дистанції), коли шанси не на вашу користь, ви щось втрачаєте незалежно від того, виграли ви або програли в даній роздачі.

Математичне очікування (Population mean) – це

Ви робите ставку з найкращим результатом, якщо маточування у вас позитивне, а воно є позитивним, якщо шанси на вашому боці. Роблячи ставку з найгіршим результатом, у вас негативне маточування, яке буває, коли шанси проти вас. Серйозні спекулянти роблять ставки тільки з найкращим результатом, за гіршого - вони пасують. Що означає шанси на вашу користь? Ви можете зрештою виграти більше, ніж приносять реальні шанси. Реальні шанси на те, що випаде решка 1:1, але у вас виходить 2:1 за рахунок співвідношення ставок. У цьому випадку шанси на вашу користь. Ви точно отримуєте найкращий результат із позитивним очікуванням у 50 центів за одну ставку.

Ось складніший приклад мат. очікування. Приятель пише цифри від одного до п'яти і робить ставку $5 проти $1 на те, що ви не визначите загадану цифру. Чи погоджуватись вам на таке парі? Яке тут маточкування?

У середньому чотири рази ви помилитеся. Виходячи з цього, шанси проти того, що ви відгадаєте цифру, складуть 4 до 1. Шанси за те, що при одній спробі ви втратите долар. Тим не менш, ви виграєте 5 до 1, при можливості програти 4 до 1. Тому шанси на вашу користь ви можете приймати парі і сподіватися на кращий результат. Якщо ви зробите таку ставку п'ять разів, в середньому ви програєте чотири рази $1 і один раз виграєте $5. Виходячи з цього, за всі п'ять спроб ви заробите $1 з позитивним математичним очікуванням 20 центів за одну ставку.

Спекулянт, який має намір виграти більше, ніж ставить, як у прикладі вище, - ловить шанси. І навпаки, він губить шанси, коли має намір виграти менше, ніж ставить. Спекулянт, який робить ставку може мати або позитивне, або негативне маточування, яке залежить від того, ловить він чи губить шанси.

Якщо ви поставите $50 для того, щоб виграти $10 за ймовірності виграшу 4 до 1, то ви отримаєте негативне маточування $2, т.к. в середньому ви виграєте чотири рази по $10 і один раз програєте $50, з чого видно, що втрата за одну ставку становитиме $10. Але якщо ви поставите $30 для того, щоб виграти $10, при тих же шансах виграшу 4 до 1, то в даному випадку ви маєте позитивне очікування $2, т.к. ви знову виграєте чотири рази по $10 і один раз програєте $30, що становитиме прибуток$10. Дані приклади показують, перша ставка погана, а друга - хороша.

Мат. очікування є центром будь-якої ігрової ситуації. Коли букмекер закликає футбольних уболівальників ставити $11, щоб виграти $10, то він має позитивне мотоочкування з кожних $10 у розмірі 50 центів. Якщо казино виплачує рівні гроші з пасової лінії в крепсі, то позитивне очікування казино становитиме приблизно $1.40 з $100, т.к. ця гра побудована так, що кожен, хто поставив на цю лінію, в середньому програє 50.7% та виграє 49.3% загального часу. Безперечно, саме це начебто мінімальне позитивне маточування і приносить колосальні профіти власникам казино по всьому світу. Як зауважив господар казино Vegas World Боб Ступак, одна тисячна відсотканегативної ймовірності на досить довгій дистанції розорить найбагатшу людину у світі».

Математичне очікування під час гри в Покер

Гра в Покер є найбільш показовим і наочним прикладом з точки зору використання теорії та властивостей мат очікування.

Мат. очікування (англ. Expected Value) в Покер - середня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції. Успішна гра в покер полягає в тому, щоб завжди приймати ходи лише з позитивним математичним очікуванням.

Математичне очікування (Population mean) – це

Математичне значення мат. очікування при грі в покер полягає в тому, що ми часто стикаємося з випадковими величинами при прийнятті рішення (ми не знаємо, які карти на руках у опонента, які карти прийдуть на наступних колах торгівлі). Ми повинні розглядати кожне з рішень з точки зору теорії великих чисел, яка говорить, що при досить великій вибірці середнє значення випадкової величини буде прагнути її мат очікування.

Серед приватних формул для обчислення мат очікування, в покер найбільш застосовна наступна:

Під час гри в покер мат. очікування можна розраховувати як ставок, так коллов. У першому випадку до уваги слід брати фолд-еквіті, у другому – власні шанси банку. Оцінюючи мат. очікування тієї чи іншої ходи слід пам'ятати, що фолд завжди має нульове маточування. Таким чином, скидання карт завжди буде більш вигідним рішенням, ніж будь-який негативний хід.

Математичне очікування (Population mean) – це

Очікування говорить вам про те, що ви можете очікувати (або збиток) на кожен ризикований вами. Казино заробляють гроші, оскільки матюча очікування від всіх гри, які практикуються в них, на користь казино. При досить довгій серії гри можна очікувати, що клієнт втратить свої гроші, Оскільки «імовірність» на користь казино Однак професійні спекулянти в казино обмежують свої ігри короткими проміжками часу, тим самим збільшуючи ймовірність своєї користі. Те саме стосується й інвестування. Якщо ваше очікування є позитивним, ви можете заробити більше грошей, здійснюючи багато угод у короткий періодчасу. Очікування це ваш відсоток профіту на виграш, помножений на середній прибуток, мінус ваша можливість збитку, помножена на середній збиток.

Покер також можна розглянути з погляду мат очікування. Ви можете припустити, що певний хід вигідний, але в деяких випадках він може виявитися далеко не найкращим, тому що вигідніший інший хід. Допустимо, ви зібрали фул-хаус у п'ятикартковому покері з обміном. Ваш суперник робить ставку. Ви знаєте, що, якщо підвищите ставку, він відповість. Тому підвищення виглядає найкращою тактикою. Але якщо ви все ж таки підніміть ставку, що залишилися двоє спекулянтів, точно скинуть карти. Але якщо ви зрівняєте ставку, то повністю впевнені, що двоє інших спекулянтів після вас надійдуть також. При підвищенні ставки ви отримуєте одну одиницю, а просто зрівнюючи дві. Таким чином, вирівнювання дає вам більш високе позитивне математичне очікування, і буде найкращою тактикою.

Мат. очікування також може дати поняття про те, яка в покер тактика менш вигідна, а яка - більше. Наприклад, граючи на певній руці, ви вважаєте, що ваші втрати в середньому становитимуть 75 центів, включаючи анте, таку руку слід грати, т.к. це краще, ніж скинутися, коли анте дорівнює $1.

Іншою важливою причиною для розуміння суті є мат. очікування є те, що воно дає вам почуття спокою незалежно від того, чи ви виграли ставку чи ні: якщо ви зробили хорошу ставку або вчасно рятували, ви знатимете, що ви заробили або зберегли певну кількість грошей, яку спекулянт слабше не зміг вберегти. Набагато складніше скинути карти, якщо ви засмучені тим, що суперник на обміні зібрав сильнішу комбінацію. При цьому, які ви заощадили, не граючи, замість того, щоб ставити, додаються до вашого виграшу за ніч або за місяць.

Просто пам'ятайте, що якщо поміняти ваші руки, ваш суперник відповів би вам, і як ви побачите у статті «фундаментальна покерна теорема» це лише одна з ваших переваг. Ви повинні радіти, коли це станеться. Вам навіть можна навчитися отримувати задоволення від програної роздачі, тому що ви знаєте, що інші спекулянти на вашому місці програли б набагато більше.

Як говорилося в прикладі з грою в монетку на початку, часовий коефіцієнт профіту взаємопов'язаний з мат очікуванням, і це поняттяособливо важливо для професійних спекулянтів. Коли ви збираєтеся грати в покер, ви повинні подумки прикинути, скільки ви зможете виграти за годину гри. У більшості випадків вам необхідно буде ґрунтуватися на вашій інтуїції та досвіді, але ви також можете користуватися деякими математичними викладками. Наприклад, ви граєте в лоуболл з обміном, і спостерігаєте, що три учасники роблять ставки по $10, а потім змінюють дві карти, що є дуже поганою тактикою, ви можете порахувати для себе, що кожен раз, коли вони ставлять $10, вони втрачають близько $2. Кожен з них робить це вісім разів на годину, а значить, усі троє втрачають за годину приблизно $48. Ви один з чотирьох спекулянтів, що залишилися, які приблизно рівні, відповідно ці чотири спекулянти (і ви серед них) повинні розділити $48, і прибуток кожного складе $12 на годину. Ваш часовий коефіцієнт у цьому випадку просто дорівнює вашій долі від суми грошей, програної трьома поганими спекулянтами за годину.

Математичне очікування (Population mean) – це

За великий період сумарний виграш спекулянта становить суму його математичних очікувань в окремих роздачах. Чим більше ви граєте з позитивним очікуванням, тим більше виграєте, і навпаки, чим більше роздач з негативним очікуванням ви зіграєте, тим більше ви програєте. Внаслідок цього, слід віддавати перевагу грі, яка зможе максимально збільшити ваше позитивне очікування або зведе нанівець негативне, щоб ви змогли підняти до максимуму ваш часовий виграш.

Позитивне математичне очікування в ігровій стратегії

Якщо ви знаєте, як рахувати карти, у вас може бути перевага перед казино, якщо вони не помітять цього і не викинуть вас. Казино люблять п'яних спекулянтів і не переносять карт, що вважають. Перевага дозволить вам з часом виграти більше разів, ніж програти. Хороше керуваннякапіталом при використанні розрахунків мат очікування може допомогти отримати більше профіту з вашої переваги і скоротити втрати. Без переваги вам найкраще віддати гроші на благодійність. У грі на біржі перевагу дає система гри, що створює більший прибуток, ніж втрати, різниця цінта комісійні. Жодне управління капіталомне врятує погану ігрову систему.

Позитивне очікування визначається значенням, що перевищує нуль. Чим більше це число, тим більше статистичне очікування. Якщо значення менше за нуль, то мат. очікування також буде негативним. Чим більший модуль негативного значення, тим гірша ситуація. Якщо результат дорівнює нулю, то очікування є беззбитковим. Ви можете виграти тільки тоді, коли у вас є позитивне математичне очікування, розумна система гри. Гра інтуїції призводить до катастрофи.

Математичне очікування та

Мат очікування – досить широко затребуваний та популярний статистичний показник при здійсненні біржових торгів на фінансових ринках. Насамперед цей параметр використовують для аналізу успішності торгівлі. Не складно здогадатися, що чим більше це значення, тим більше підстав вважати торгівлю успішною. Звичайно, аналіз роботитрейдера не може здійснюватися тільки за допомогою даного параметра. Тим не менш, обчислюване значення у сукупності з іншими способами оцінки якості роботи, може значно підвищити точність аналізу.

Мат очікування часто обчислюється у сервісах моніторингів торгових рахунків, що дозволяє швидко оцінювати роботу, що здійснюється на депозиті. Як виняток можна навести стратегії, у яких використовується "пересиджування" збиткових угод. Трейдеруможе деякий час супроводжувати удача, тому, у його роботі може виявитися збитків взагалі. У такому разі, орієнтуватися тільки по мотоочікуванню не вдасться, адже не буде враховано ризики, що використовуються в роботі.

У торгівлі на ринкумат очікування найчастіше застосовують при прогнозуванні доходності будь-якої торгової стратегії або прогнозуванні доходів трейдерана основі статистичних даних його попередніх торгів.

Математичне очікування (Population mean) – це

Щодо управління капіталом дуже важливо розуміти, що при скоєнні угод із негативним очікуванням немає схеми управліннягрошима, яка може однозначно принести високий прибуток. Якщо ви продовжуєте грати на біржіу цих умовах, то незалежно від способу управліннягрошима ви втратите весь ваш рахунок, хоч би яким великим він був на початку.

Ця аксіома правильна не тільки для гри або угод з негативним очікуванням, вона дійсна також для гри з рівними шансами. Тому єдиний випадок, коли ви маєте шанс отримати вигоду в довгостроковій перспективі, — це укладання угод з позитивним математичним очікуванням.

Відмінність між негативним очікуванням і позитивним очікуванням - це різницю між життям і смертю. Не має значення, наскільки позитивне чи наскільки негативне очікування; важливо лише те, позитивне воно чи негативне. Тому до розгляду питань управління капіталомви повинні знайти гру з позитивним очікуванням.

Якщо у вас такої гри немає, тоді жодне управління грошима у світі не врятує вас. З іншого боку, якщо у вас є позитивне очікування, то можна за допомогою правильного управління грошима перетворити його на функцію експоненційного зростання. Не має значення, як мало це позитивне очікування! Іншими словами, не має значення, наскільки прибутковою є торгова система на основі одного контракту. Якщо у вас є система, яка виграє 10 доларів на контракт в одній угоді (після відрахування комісійних та прослизання), можна використовувати методи управління капіталомтаким чином, щоб зробити її більш прибутковою, ніж систему, яка показує середній прибуток 1000 доларів за угоду (після відрахування комісійних та прослизання).

Має значення не те, наскільки прибуткова система була, а те, наскільки точно можна сказати, що система покаже, принаймні, мінімальний прибуток у майбутньому. Тому найбільш важливе приготування, яке може зробити, це переконатися в тому, що система покаже позитивне математичне очікування в майбутньому.

Щоб мати позитивне математичне очікування у майбутньому, дуже важливо не обмежувати ступеня свободи вашої системи. Це досягається не тільки скасуванням або зменшенням кількості параметрів, що підлягають оптимізації, але також шляхом скорочення якомога більшої кількості правил системи. Кожен параметр, який ви додаєте, кожне правило, яке ви вносите, кожна дрібна зміна, яку ви робите в системі, скорочує кількість ступенів свободи. В ідеалі, вам потрібно побудувати досить примітивну та просту систему, яка постійно приноситиме невеликий прибуток майже на будь-якому ринку. І знову важливо, щоб ви зрозуміли, — не має значення, наскільки прибутковою є система, поки вона прибуткова. , які ви заробите в торгівлі, будуть зароблені за допомогою ефективного управліннягрошима.

Математичне очікування (Population mean) – це

Торгова система - це просто засіб, який дає вам позитивне математичне очікування, щоб можна було керувати грошима. Системи, які працюють (показують принаймні мінімальний прибуток) тільки на одному або декількох ринках або мають різні правила або параметри для різних ринків, найімовірніше, не працюватимуть у режимі реального часу досить довго. Проблема більшості технічно орієнтованих трейдерів полягає в тому, що вони витрачають дуже багато часу та зусиль на оптимізацію різних правил та значень параметрів торгової системи. Це дає протилежні результати. Замість того, щоб витрачати сили та комп'ютерний час на збільшення профітів торгової системи, спрямуйте енергію на збільшення рівня надійності отримання мінімального профіту.

Знаючи, що управління капіталом- це лише числова гра, яка вимагає використання позитивних очікувань, трейдер може припинити пошуки "священного Грааля" торгівлі на біржі. Натомість він може зайнятися перевіркою свого торгового методу, з'ясувати, наскільки цей метод логічно обґрунтований, чи дає він позитивні очікування. Правильні методи управління капіталом, що застосовуються до будь-яких, навіть дуже посередніх методів ведення торгівлі, самі зроблять решту роботи.

Будь-якому трейдеру для успіху у своїй роботі необхідно вирішити три найважливіші завдання. Досягти, щоб кількість вдалих угод перевищувала неминучі помилки та прорахунки; Налаштувати свою систему торгівлі так, щоб можливість заробітку була якнайчастіше; Досягти стабільності позитивного результату своїх операцій.

І тут нам, працюючим трейдерам, непогану допомогу може надати матюка. очікування. Цей термін теоретично ймовірності одна із ключових. З його допомогою можна дати усереднену оцінку деякому випадковому значенню. Мат очікування випадкової величини подібно до центру тяжкості, якщо уявити всі можливі ймовірності точками з різною масою.

Що стосується торгової стратегії з метою оцінки її ефективності найчастіше використовують мат очікування профита (чи збитку). Цей параметр визначають як суму творів заданих рівнів профіту і втрат і ймовірності їх появи. Наприклад, розроблена стратегія торгівлі передбачає, що 37% всіх операцій принесуть прибуток, а частина, що залишилася, - 63% - буде збитковою. При цьому середній дохідвід вдалої угоди складе 7 доларів, а середній програш дорівнюватиме 1,4 долара. Розрахуємо мат. очікування торгівлі за такою системою:

Що означає це число? Воно говорить про те, що, дотримуючись правил цієї системи, в середньому ми отримуватимемо 1,708 долара від кожної закритої угоди. Оскільки отримана оцінка ефективності більша за нуль, то таку систему цілком можна використовувати для реальної роботи. Якщо ж в результаті розрахунку мат очікування вийде негативним, то це вже говорить про середні збитки і така призведе до руйнування.

Розмір профіту однією угоду то, можливо виражений і відносної величиною як %. Наприклад:

Відсоток доходу на 1 угоду – 5%;

Відсоток успішних торгових операцій – 62%;

Відсоток збитку для 1 угоду - 3%;

Відсоток невдалих угод – 38%;

І тут мат. очікування складе:

Тобто середня угода принесе 1,96%.

Можна розробити систему, яка незважаючи на переважання збиткових угод даватиме позитивний результат, оскільки її МО>0.

Втім, одного очікування мало. Важко заробити, якщо система дає дуже мало торгових сигналів. У цьому випадку її можна порівняти з банківським відсотком. Нехай кожна операція дає в середньому лише 0,5 долара, але що якщо система передбачає 1000 операцій на рік? Це буде дуже серйозна сума за порівняно короткий час. Із цього логічно випливає, що ще одним відмітною ознакоюХорошої торгової системи вважатимуться короткий термін утримання позицій.

Джерела та посилання

dic.academic.ru - академічний інтернет-словник

mathematics.ru - освітній сайт з математики

nsu.ru - освітній веб-сайт Новосибірського державного університету

webmath.ru - освітній порталдля студентів, абітурієнтів та школярів.

exponenta.ru освітній математичний сайт

ru.tradimo.com - безкоштовна онлайн школа трейдингу

crypto.hut2.ru - багатопрофільний інформаційний ресурс

poker-wiki.ru - вільна енциклопедія покеру

sernam.ru - Наукова бібліотекавибраних природничо-наукових видань

reshim.su - інтернет сайт РЕШИМО задачі контрольні курсові

unfx.ru - Forex на UNFX: навчання, торгові сигнали, довірче управління

- математичне очікування Одна з чисельних характеристик випадкової величини, яка часто називається її теоретичною середньою. Для дискретної випадкової величини X математичне. Довідник технічного перекладача

МАТЕМАТИЧНЕ ОЧІКУВАННЯ- (expected value) Середнє значення розподілу економічної змінної, які вона може приймати. Якщо рt – ціна товару на момент часу t, її математичне очікування позначається – Ept. Для вказівки моменту часу, до якого належить … Економічний словник

Математичне очікування- Середнє значення випадкової величини. Математичне очікування є детермінованою величиною. Середнє арифметичне значенняз реалізацій випадкової величини є оцінкою математичного очікування. Середнє арифметичне… … Офіційна термінологія – (середнє значення) випадкової величини числова характеристика випадкової величини. Якщо випадкова величина, задана на імовірнісному просторі (див. ймовірностей теорія), то її M. о. MX (або EX) визначається як інтеграл Лебега: де … Фізична енциклопедія

МАТЕМАТИЧНЕ ОЧІКУВАННЯ- Випадкової величини є її числова характеристика. Якщо випадкова величина X має функцію розподілу F(x), її М. о. буде: . Якщо розподіл X дискретний, то М.о.: , де x1, х2, ... можливі значення дискретної випадкової величини X; p1 … Геологічна енциклопедія

МАТЕМАТИЧНЕ ОЧІКУВАННЯ- англ. expected value; ньому. Erwartung mathematische. Стохастична середня або центр розсіювання випадкової величини. Антіназі. Енциклопедія соціології, 2009. Енциклопедія соціології

Математичне очікування- Див. також: Умовне математичне очікування Математичне очікування середнє значення випадкової величини, розподіл ймовірностей випадкової величини, що розглядається в теорії ймовірностей. В англомовній літературі та в математичних ... Вікіпедія

Математичне очікування- 1.14 Математичне очікування Е (X) де xi значення дискретної випадкової величини; р = Р (Х = xi); f(x) щільність безперервної випадкової величини * Якщо цей вираз існує в сенсі абсолютної збіжності. Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Книжки

Ви використовуєте cookies для найбільшого використання нашого сайту. Continuing to use this site, you agree with this. OK

Характеристики ДСВ та їх властивості. Математичне очікування, дисперсія, СКО

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак, коли неможливо знайти закон розподілу, або це не потрібно, можна обмежитися знаходженням значень, званих числовими характеристиками випадкової величини. Ці величини визначають деяке середнє значення, навколо якого групуються значення випадкової величини, і рівень їх розкиданості навколо цього середнього значення.

Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називається сума творів всіх можливих значень випадкової величини з їхньої ймовірності.

Математичне очікування існує, якщо ряд, що стоїть у правій частині рівності, сходиться абсолютно.

З погляду ймовірності можна сказати, що математичне очікування наближено до середнього арифметичного значень випадкової величини, що спостерігаються.

приклад. Відомий закон розподілу дискретної випадкової величини. Знайти математичне очікування.

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Рішення:

9.2 Властивості математичного очікування

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій.

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування.

3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.

Ця властивість є справедливою для довільного числа випадкових величин.

4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків.

Ця властивість також справедлива довільного числа випадкових величин.

Нехай виробляється n незалежних випробувань, ймовірність появи події А яких дорівнює р.

Теорема.Математичне очікування М(Х) числа появи події А в n незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події у кожному випробуванні.

приклад. Знайти математичне очікування випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування X та Y: M(Х)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Рішення:

9.3 Дисперсія дискретної випадкової величини

Проте, математичне очікування неспроможна повністю характеризувати випадковий процес. Крім математичного очікування треба запровадити величину, яка характеризує відхилення значень випадкової величини від математичного очікування.

Це відхилення дорівнює різниці між випадковою величиною та її математичним очікуванням. При цьому математичне очікування відхилення дорівнює нулю. Це тим, що одні можливі відхилення позитивні, інші негативні, й у їх взаємного погашення виходить нуль.

Дисперсією (розсіюванням)Дискретна випадкова величина називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.

Насправді такий спосіб обчислення дисперсії незручний, т.к. наводить при великій кількості значень випадкової величини до громіздких обчислень.

Тому застосовується інший спосіб.

Теорема. Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х та квадратом її математичного очікування.

Доказ. З огляду на те, що математичне очікування М(Х) та квадрат математичного очікування М 2 (Х) – величини постійні, можна записати:

приклад. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини заданої законом розподілу.

Х
Х 2
р	0.2	0.3	0.1	0.4

Рішення: .

9.4 Властивості дисперсії

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю. .

2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат. .

3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. .

4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. .

Теорема. Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і непояви події в кожному випробуванні.

9.5 Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини

Середнім квадратичним відхиленнямвипадкової величини Х називається квадратний корінь із дисперсії.

Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми кінцевого числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню із суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин.

Завдання 1.Імовірність схожості насіння пшениці дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що з чотирьох посіяних насіння зійдуть не менше трьох?

Рішення. Нехай подія А– із 4 насіння зійдуть не менше 3 насіння; подія В– із 4 насіння зійдуть 3 насіння; подія З– із 4 насіння зійдуть 4 насіння. За теоремою складання ймовірностей

Ймовірності
і
визначимо за формулою Бернуллі, що застосовується в наступному випадку. Нехай проводиться серія пнезалежних випробувань, при кожному з яких ймовірність настання події стала і дорівнює р, А ймовірність ненастання цієї події дорівнює
. Тоді ймовірність того, що подія Ав пвипробуваннях з'явиться рівно раз, обчислюється за формулою Бернуллі

,

де
- Число поєднань з пелементів по . Тоді

Шукана ймовірність

Завдання 2.Імовірність схожості насіння пшениці дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 400 посіяних насіння зійдуть 350 насінин.

Рішення. Обчислити ймовірність
за формулою Бернуллі важко через громіздкість обчислень. Тому застосуємо наближену формулу, що виражає локальну теорему Лапласа:

,

де
і
.

З умови завдання. Тоді

.

З таблиці 1 додатків знаходимо. Шукана ймовірність дорівнює

Завдання 3.Серед насіння пшениці 0,02% бур'янів. Якою є ймовірність того, що при випадковому відборі 10000 насіння буде виявлено 6 насіння бур'янів?

Рішення. Застосування локальної теореми Лапласа через малу ймовірність
призводить до значного відхилення ймовірності від точного значення
. Тому при малих значеннях рдля обчислення
застосовують асимптотичну формулу Пуассона

де .

Ця формула використовується при
, причому чим менше рі більше п, Тим результат точніше.

За умовою завдання
;
. Тоді

Завдання 4.Відсоток схожості насіння пшениці дорівнює 90%. Знайти ймовірність того, що з 500 посіяних насіння зійдуть від 400 до 440 насінин.

Рішення. Якщо ймовірність настання події Ау кожному з пвипробувань постійна і рівна р, то ймовірність
того, що подія Ау таких випробуваннях настане не менше раз і не більше раз визначається по інтегральній теоремі Лапласа наступною формулою:

, де

,
.

Функція
називається функцією Лапласа. У додатках (табл. 2) дано значення цієї функції для
. При
функція
. при негативних значеннях хчерез непарність функції Лапласа
. Використовуючи функцію Лапласа, маємо:

За умовою завдання. За наведеними вище формулами знаходимо
і :

Завдання 5.Задано закон розподілу дискретної випадкової величини Х:

2. Знайти: 1) математичне очікування; 2) дисперсію; 3) середнє квадратичне відхилення.

Рішення. 1) Якщо закон розподілу дискретної випадкової величини заданий таблицею

2. Де у першому рядку дано значення випадкової величини х, а у другому – ймовірності цих значень, то математичне очікування обчислюється за формулою

2) Дисперсія
дискретної випадкової величини Хназивається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини з її математичного очікування, тобто.

Ця величина характеризує середнє очікуване значення квадрата відхилення Хвід
. З останньої формули маємо

Дисперсію
можна знайти іншим способом, виходячи з наступної її властивості: дисперсія
дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Хта квадратом її математичного очікування
, тобто

Для обчислення
складемо наступний закон розподілу величини
:

3) Для характеристики розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення запроваджується середнє квадратичне відхилення
випадкової величини Х, рівне квадратному кореню з дисперсії
, тобто

.

З цієї формули маємо:

Завдання 6.Безперервна випадкова величина Хзадана інтегральною функцією розподілу

Знайти: 1) диференціальну функцію розподілу
; 2) математичне очікування
; 3) дисперсію
.

Рішення. 1) Диференціальною функцією розподілу
безперервної випадкової величини Хназивається похідна від інтегральної функції розподілу
, тобто

.

Шукана диференціальна функція має такий вигляд:

2) Якщо безперервна випадкова величина Хзадана функцією
, то її математичне очікування визначається формулою

Оскільки функція
при
і при
дорівнює нулю, то з останньої формули маємо

.

3) Дисперсію
визначимо за формулою

Завдання 7.Довжина деталі є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним очікуванням 40 мм і середнім квадратичним відхиленням 3 мм. Знайти: 1) ймовірність того, що довжина довільно взятої деталі буде більшою за 34 мм і меншою за 43 мм; 2) ймовірність того, що довжина деталі відхилиться від її математичного очікування не більше ніж на 1,5 мм.

Рішення. 1) Нехай Х- Довжина деталі. Якщо випадкова величина Хзадана диференціальною функцією
, то ймовірність того, що Хприйме значення, що належать відрізку
, визначається за формулою

.

Імовірність виконання строгих нерівностей
визначається тією самою формулою. Якщо випадкова величина Хрозподілено за нормальним законом, то

, (1)

де
- функція Лапласа,
.

У задачі. Тоді

2) За умовою завдання , де
. Підставивши в (1) , маємо

. (2)

Із формули (2) маємо.

Тобто, якщо сл. величина має закон розподілу, то

називаєтьсяїї математичним очікуванням. Якщо сл. величина має нескінченну кількість значень, то математичне очікування визначається сумою нескінченного ряду , за умови, що цей ряд абсолютно сходиться (інакше кажуть, що математичне очікування не існує) .

Для безперервний сл. величини, заданої функцією щільності імовірності F(x), математичне очікування визначається у вигляді інтегралу

за умови, що цей інтеграл існує (якщо інтеграл розходиться, то кажуть, що математичне очікування не існує).

Приклад 1. Визначимо математичне очікування випадкової величини розподіленої по закону Пуассона. За визначенням

або позначимо

Значить, параметр , визначальний закон розподілу пуассонівської випадкової величини дорівнює середньому значенню цієї величини.

Приклад 2. Для випадкової величини, що має показовий закон розподілу , математичне очікування дорівнює

(В інтегралі межі взяти, з врахуванням того. що f (x) відмінна від нуля тільки при позитивних x).

Приклад 3. Випадкова величина, розподілена за законом розподілу Коші, немає середнього значення. Дійсно

Властивості математичного очікування.

Властивість 1. Математичне очікування постійної дорівнює самій цій постійній.

Постійна приймає це значення з ймовірністю одиниця і за визначенням М(С)=С×1=С

Властивість 2. Математичне очікування суми алгебри випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі їх математичних очікувань.

Обмежимося підтвердженням цієї якості лише суми двох дискретних випадкових величин, тобто. доведемо, що

Під сумою двох дискретних сл. Величин розуміється сл. Величина, яка набуває значення з ймовірностями

За визначенням

де ймовірність події , обчислена за умови, що . У правій частині останньої рівності перераховані всі випадки появи події, тому дорівнює повної ймовірностіпояви події, тобто. . Аналогічно. Остаточно маємо

Властивість 3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.

У			…
Q			…
Х			…
Р			…

Наведемо докази цієї якості лише дискретних величин. Для безперервних випадкових величин вона доводиться аналогічно.

Нехай Х та У незалежні та мають закони розподілу

Добутком цих випадкових величин буде випадкова величина, яка приймає значення з ймовірностями рівними, з незалежності випадкових величин, . Тоді

Слідство. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування. Так постійна З не залежить від того яке значення прийме сл. величина X, то за якістю 3. маємо

М(СХ)=М(С)×М(Х)=С×М(Х)

Приклад. Якщо a і b постійні, М(ах+b)=аМ(х)+b.

Математичне очікування кількості появи події у схемі незалежних випробувань.

Нехай виробляється n незалежних дослідів, імовірність появи події у кожному з яких дорівнює Р. Число появ події в цих n дослідах є випадковою величиною Х розподіленою по біноміальному закону. Проте, безпосереднє обчислення її середнього значення є громіздким. Для спрощення скористаємося розкладанням, яким будемо користуватися надалі неодноразово: Число появи події в n дослідах складається з числа появ події в окремих дослідах, тобто.

де має закон розподілу (приймає значення 1, якщо подія у цьому досвіді відбулося, і значення 0, якщо подія у цьому досвіді не з'явилося).

Р	1-р	р

Тому

тобто. середня кількість появи події в n незалежних дослідах дорівнює добутку числа дослідів на ймовірність появи події в одному досвіді.

Наприклад, якщо ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,1, то середня кількість влучення в 20 пострілах дорівнює 20×0,1=2.

Математичне очікування – це середнє значення випадкової величини.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірності:

приклад.

X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5

Рішення: Математичне очікування дорівнює сумі творів всіх можливих значень X на їх ймовірності:

М (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 +10 * 0,5 = 6.

Для обчислення математичного очікування зручно розрахунки проводити Excel (особливо коли даних багато), пропонуємо скористатися готовим шаблоном ().

Приклад для самостійного рішення(можна застосувати калькулятор).
Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4

Математичне очікування має такі властивості.

Властивість 1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій: М(С)=С.

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: М(СХ)=СМ(Х).

Властивість 3. Математичне очікування твору взаємно незалежних випадкових величин дорівнює твору математичних очікувань співмножників: М (Х1Х2 ... Хп) = М (X1) М (Х2) *. ..*М (Xn)

Властивість 4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М(Хn).

Завдання 189. Знайти математичне очікування випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування X н Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Рішення: Використовуючи властивості математичного очікування (математичне очікування суми дорівнює сумі математичних очікувань доданків; постійний множник можна винести за знак математичного очікування), отримаємо M(Z)=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M (Y) = 5 + 2 * 3 = 11.

190. Використовуючи властивості математичного очікування, довести, що: а) М(Х - Y) = M(X)-М(Y); б) математичне очікування відхилення X-M(Х) дорівнює нулю.

191. Дискретна випадкова величина X набуває трьох можливих значень: x1= 4 З ймовірністю р1 = 0,5; xЗ = 6 З ймовірністю P2 = 0,3 та x3 з ймовірністю р3. Знайти: x3 і р3, знаючи, що М(Х)=8.

192. Даний перелік можливих значень дискретної випадкової величини X: x1 = -1, х2 = 0, x3 = 1 також відомі математичні очікування цієї величини та її квадрата: M(Х) = 0,1, М(Х^2)=0 ,9. Знайти ймовірності p1, p2, p3, що відповідають можливим значенням xi

194. У партії з 10 деталей міститься три нестандартні. Навмання відібрано дві деталі. Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X – числа нестандартних деталей серед двох відібраних.

196. Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини X числа таких кидань п'яти гральних кісток, у кожному з яких на двох кістках з'явиться по одному очку, якщо загальна кількість кидань дорівнює двадцяти.

Математичне очікування біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні: