Б. В. Булюбаш,
, МДТУ ім. Р.Є.Алексєєва, м. Нижній Новгород

Крапки Лагранжа

Близько 400 років тому у розпорядженні астрономів опинився новий інструментдля вивчення світу планет та зірок – телескоп Галілео Галілея. Пройшло зовсім небагато часу, і до нього додалися відкриті ІсаакомНьютоном закон всесвітнього тяжіння та три закони механіки. Але тільки після смерті Ньютона були розроблені математичні методи, що дозволили ефективно використати відкриті ним закони та робити точний розрахунок траєкторій небесних тіл. Авторами цих методів стали французькі математики. Ключовими постатями були П'єр Симон Лаплас (1749–1827) та Жозеф Луї Лагранж (1736–1813). Значною мірою саме їхніми зусиллями було створено нову науку – небесну механіку. Саме так назвав її Лаплас, для якого небесна механіка стала обґрунтуванням філософії детермінізму. Зокрема, широку популярність набув образ описаної Лапласом вигаданої істоти, яка, знаючи швидкості та координати всіх частинок у Всесвіті, могла однозначно передбачити її стан у будь-який момент часу. Ця істота – «демон Лапласа» – уособлювала головну ідеюфілософії детермінізму А зоряний час нової наукинастав 23 вересня 1846 р., з відкриттям восьмої планети Сонячної системи – Нептуна. Німецький астроном Йоганн Галле (1812–1910) виявив Нептун саме там, де той і мав перебувати згідно з розрахунками, виконаними французьким математиком Урбеном Левер'є (1811–1877).

Одним із видатних досягненьнебесної механіки стало відкриття Лагранжем у 1772 р. так званих точок лібрації.Згідно з Лагранжем, у системі двох тіл є в цілому п'ять точок (називаються зазвичай точками Лагранжа), у яких сума сил, що діють на поміщене в точку третє тіло (маса якого істотно менша за маси двох інших), дорівнює нулю. Природно, мова йде про систему відліку, що обертається, в якій на тіло, крім сил тяжіння, буде також діяти відцентрова сила інерції. У точці Лагранжа, таким чином, тіло перебуватиме у стані рівноваги. У системі Сонце-Земля точки Лагранжа розташовані в такий спосіб. На прямій, що сполучає Сонце та Землю, розташовані три точки з п'яти. Точка, крапка L 3 розташована на протилежній щодо Сонця стороні земної орбіти. Точка, крапка L 2 розташована з тієї ж сторони від Сонця, як і Земля, але у ній, на відміну L 3, Сонце закрито Землею. А точка L 1 знаходиться на прямій, що з'єднує L 2 та L 3, але між Землею та Сонцем. Крапки L 2 та L 1 відокремлює від Землі однакову відстань – 1,5 млн км. Через свої особливості точки Лагранжа привертають увагу письменників-фантастів. Так, у книзі Артура Кларка та Стівена Бакстера «Сонячна буря» саме у точці Лагранжа L 1 космічні будівельники зводять величезний екран, покликаний загородити Землю від надпотужної сонячної бурі.

Дві точки, що залишилися – L 4 та L 5 – знаходяться на орбіті Землі, одна – перед Землею, інша – позаду. Дві ці точки дуже істотно відрізняються від інших, оскільки рівновага небесних тіл, що опинилися в них, буде стійкою. Саме тому серед астрономів настільки популярна гіпотеза про те, що на околицях точок L 4 та L 5 можуть бути залишки газопилової хмари епохи формування планет Сонячної системи, що завершилася 4,5 млрд років тому.

Після того, як Сонячну систему почали досліджувати автоматичні міжпланетні станції, інтерес до точок Лагранжа різко зріс. Так, на околиці точки L 1 проводять дослідження сонячного вітру космічні апарати NASA: SOHO (Solar and Heliospheric Observatory)і Wind(в пров. з англ. - вітер).

Ще один апарат NASA– зонд WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe)- знаходиться в околиці точки L 2 та досліджує реліктове випромінювання. По напрямку до L 2 рухаються космічні телескопи «Планк» та «Гершель»; Незабаром до них приєднається телескоп «Вебб», який має змінити знаменитий космічний довгожитель телескоп «Хаббл». Що ж до точок L 4 та L 5 , то 26–27 вересня 2009 р. зонди-близнюки STEREO-Aі STEREO-Bпередали на Землю численні зображення активних процесівна поверхні Сонця. Початкові плани проекту STEREOбули нещодавно суттєво розширені, і в даний час зонди передбачається також використовувати для вивчення околиці точок Лагранжа щодо наявності там астероїдів. Головна мета такого дослідження – перевірка комп'ютерних моделей, що передбачають наявність астероїдів у «стійких» точках Лагранжа.

У зв'язку з цим слід сказати, що у другій половині XX ст., коли з'явилася можливість вирішувати чисельно на комп'ютері складні рівняннянебесної механіки, образ стабільної та передбачуваної Сонячної системи (а разом з ним і філософія детермінізму) остаточно пішов у минуле. Комп'ютерне моделюванняпоказало, що з неминучої неточності в чисельних значеннях швидкостей і координат планет у цей час випливають дуже істотні розбіжності у моделях еволюції Сонячної системи. Так, згідно з одним із сценаріїв, Сонячна система через сотні мільйонів років може навіть втратити одну зі своїх планет.

При цьому комп'ютерні моделі надають унікальну можливість реконструювати події, що відбувалися у віддалену від нас епоху молодості Сонячної системи. Так, широку популярність здобула модель математика Е. Бельбруно та астрофізика Р. Готта (Принстонський університет), згідно з якою в одній із точок Лагранжа ( L 4 або L 5) у далекому минулому сформувалася планета Тея ( Teia). Гравітаційний вплив з боку інших планет змусило Тею в якийсь момент залишити точку Лагранжа, вийти на траєкторію руху до Землі і в результаті зіткнутися з нею. Модель Готта та Бельбруно наповнює деталями гіпотезу, яку поділяють багато астрономів. Відповідно до неї, Місяць складається з речовини, що утворилася близько 4 млрд років тому після зіткнення із Землею космічного об'єктурозміром із Марс. У цієї гіпотези є, однак, уразливе місце: питання, де саме міг утворитися такий об'єкт. Якщо місцем його народження були віддалені від Землі ділянки Сонячної системи, то тоді його енергія була б дуже великою і результатом зіткнення із Землею стало б не створення Місяця, але руйнування Землі. Отже, подібний об'єкт мав утворитися неподалік Землі, і околиці однієї з точок Лагранжа цілком придатні для цього.

Але якщо події могли так розвиватися в минулому, що забороняє їм знову статися в майбутньому? Чи не зросте, іншими словами, на околицях точок Лагранжа ще одна Тея? Проф. П. Вейгерт (Університет Зап. Онтаріо, Канада) вважає, що це неможливо, оскільки в Сонячної системиВ даний час пилових частинок для формування таких об'єктів явно недостатньо, а 4 млрд років тому, коли планети утворювалися з частинок газопилових хмар, ситуація була іншою. На думку Р. Готта, в околицях точок Лагранжа цілком можуть бути виявлені астероїди – залишки «будівельної речовини» планети Теї. Такі астероїди можуть стати для Землі помітним фактором ризику. Дійсно, гравітаційний вплив з боку інших планет (і насамперед Венери) може виявитися достатнім для того, щоб астероїд залишив околицю точки Лагранжа, а в цьому випадку він цілком може вийти на траєкторію зіткнення із Землею. У гіпотези Готта є передісторія: ще 1906 р. М. Вольфом (Німеччина, 1863–1932) у точках Лагранжа системи Сонце–Юпітер було виявлено астероїди, перші поза пояса астероїдів між Марсом і Юпітером. Згодом на околиці точок Лагранжа системи Сонце-Юпітер їх було виявлено понад тисячу. Не такими успішними виявилися спроби знайти астероїди поблизу інших планет Сонячної системи. Очевидно, їх все ж таки немає біля Сатурна, і тільки в останньому десятилітті вони були виявлені неподалік Нептуна. З цієї причини, цілком природно, питання наявності чи відсутності астероїдів у точках Лагранжа системи Земля–Сонце надзвичайно хвилює сучасних астрономів.

П. Вейгерт за допомогою телескопа на Мауна-Кеа (Гаваї, США) вже намагався на початку 90-х років. ХХ ст. Знайти ці астероїди. Його спостереження відрізнялися скрупульозністю, проте успіху не принесли. Порівняно недавно стартували програми автоматичного пошуку астероїдів, зокрема, Лінкольнівський проект пошуку близьких до Землі астероїдів. (Lincoln Near Earth Asteroid Research project). Однак і вони поки що результату не дали.

Передбачається, що зонди STEREOвиведуть подібні пошуки на принципово інший рівень точності. Проліт зондами околиць точок Лагранжа був запланований на початку проекту, а після включення в проект програми пошуку астероїдів обговорювалася навіть можливість назавжди залишити їх на околиці цих точок.

Розрахунки, однак, показали, що зупинка зондів зажадала б занадто велику витрату палива. Враховуючи цю обставину, керівники проекту STEREOзупинилися на варіанті повільного прольоту цих областей простору. На це підуть місяці. На борту зондів розміщені геліосферні реєстратори, і саме з їхньою допомогою шукатимуть астероїди. Навіть у цьому випадку завдання залишається дуже складним, оскільки на майбутніх знімках астероїди будуть лише точками, що переміщуються на тлі тисяч зірок. Керівники проекту STEREOрозраховують на активну допомогу у пошуках з боку астрономів-аматорів, які переглядатимуть отримані знімки в Інтернеті.

Експерти дуже стурбовані проблемою безпеки пересування зондів на околиці точок Лагранжа. Справді, зіткнення з «пилинками» (які можуть виявитися дуже значними за своїми розмірами) може пошкодити зонди. У своєму польоті зонди STEREOвже неодноразово стикалися з частинками пилу – від кількох тисяч за добу.

Головна інтрига майбутніх спостережень полягає у повній невизначеності питання про те, скільки астероїдів повинні побачити зонди. STEREO(Якщо побачать взагалі). Нові комп'ютерні моделі не зробили ситуацію більш передбачуваною: з них випливає, що гравітаційна дія Венери може не лише «витягувати» астероїди з точок Лагранжа, а й сприяти переміщенню астероїдів у ці точки. Загальна кількість астероїдів на околиці точок Лагранжа не дуже велика («не йдеться про сотні»), і їх лінійні розміри на два порядки менше розмірів астероїдів з пояса між Марсом і Юпітером. Чи підтвердяться його прогнози? Чекати залишилося зовсім небагато.

За матеріалами статті (пер. з англ.)
S. Clark. Living in weightlessness //New Scientist. 21 February 2009

> Крапки Лагранжа

Як виглядають і де шукати точки Лагранжау космосі: історія виявлення, система Земля та Місяць, 5 L-точок системи двох масивних тіл, вплив гравітації.

Будемо відвертими: ми застрягли на Землі. Варто подякувати гравітації за те, що нас не викинуло в космічний простір і ми можемо ходити поверхнею. Але, щоб вирватися, доводиться прикладати величезну кількість енергії.

Однак у Всесвіті є певні регіони, де розумна система збалансувала гравітаційний вплив. При правильному підході це можна використовуватиме більш продуктивного і швидкого освоєння простору.

Ці місця називають точками Лагранжа(L-крапки). Найменування отримали від Жозефа Луї Лагранжа, який описав їх у 1772 році. Фактично йому вдалося розширити математику Леонарда Ейлера. Вчений першим відкрив три такі точки, а Лагранж заявив про наступні дві.

Крапки Лагранжа: Про що йдеться?

Коли ви маєте два масивні об'єкти (наприклад, Сонце і Земля), їх гравітаційний контакт чудово збалансований в конкретних 5 ділянках. У кожному з них можна розташувати супутник, який утримуватиметься на місці за мінімальних зусиль.

Найбільш примітна перша точка Лагранжа L1, збалансована між гравітаційним тяжінням двох об'єктів. Наприклад, можна встановити супутник над поверхнею Місяця. Земний тягар вштовхує його в Місяць, але сила супутника також чинить опір. Отже, апарату не доведеться витрачати багато палива. Важливо розуміти, що ця точка є між усіма об'єктами.

L2 знаходиться на одній лінії з масою, але з іншого боку. Чому ж поєднана гравітація не притягує супутник до Землі? Вся справа в орбітальних траєкторіях. Супутник у точці L2 розташується на вищій орбіті і відстає від Землі, оскільки переміщається навколо зірки повільніше. Але земна гравітація підштовхує його і допомагає закріпитися дома.

L3 потрібно шукати на протилежному боці від системи. Гравітація між об'єктами стабілізується і апарат легко маневрує. Такий супутник завжди закривався б Сонцем. Варто зазначити, що три описані точки не вважаються стійкими, тому будь-який супутник рано чи пізно відхилиться. Тож без робочих двигунів там робити нічого.

Є також L4 та L5, розташовані спереду та ззаду нижнього об'єкта. Між масами створюється рівносторонній трикутник, однією зі сторін якого буде L4. Якщо перевернете ногами вгору, то отримаєте L5.

Останні дві точки вважають за стабільні. Це підтверджують знайдені астероїди на великих планетах, як Юпітер. Це троянці, які потрапили в гравітаційну пастку між гравітаціями Сонця та Юпітера.

Як використати такі місця? Важливо розуміти, що є безліч різновидів космічного освоєння. Наприклад, у точках Земля-Сонце та Земля-Місяць вже розташовані супутники.

Сонце-Земля L1 – чудове місце для проживання сонячного телескопа. Апарат максимально підійшов до зірки, але не втрачає зв'язку з рідною планетою.

У точці L2 планують розмістити майбутній телескоп Джеймса Вебба (1,5 мільйона кілометрів від нас).

Земля-Луна L1 – відмінна точка для місячної станціїз дозаправки, що дозволяє економити на доставці палива.

Найбільш фантастичною ідеєю буде бажання поставити в L4 та L5 космічну станцію Острів III, бо там вона була б абсолютно стабільною.

Давайте все ж таки подякуємо гравітації та її дивовижній взаємодії з іншими об'єктами. Адже це дозволяє розширити засоби освоєння простору.

З боку двох перших тіл може залишатися нерухомим щодо цих тіл.

Більш точно точки Лагранжа є окремий випадокпри вирішенні так званої обмеженого завдання трьох тіл- коли орбіти всіх тіл є круговими і маса одного з них набагато менша за масу будь-якого з двох інших. В цьому випадку можна вважати, що два масивні тіла звертаються навколо їхнього загального центру мас з постійною кутовою швидкістю . У просторі навколо них існують п'ять точок, у яких третє тіло з малою масою, що знехтує, може залишатися нерухомим у обертовій системі відліку, пов'язаної з масивними тілами. У цих точках гравітаційні сили, що діють на мале тіло, врівноважуються відцентровою силою.

Крапки Лагранжа отримали свою назву на честь математика Жозефа Луї Лагранжа, який першим в 1772 привів рішення математичного завдання, з якого випливало існування цих особливих точок.

Всі точки Лагранжа лежать у площині орбіт масивних тіл і позначаються великою латинською літерою L з числовим індексом від 1 до 5. Перші три точки розташовані на лінії, що проходить через обидва масивні тіла. Ці точки Лагранжа називаються колінеарнимиі позначаються L 1 L 2 і L 3 . Точки L4 і L5 називаються трикутними або троянськими. Точки L 1 , L 2 , L 3 є точками нестійкої рівноваги, у точках L 4 і L 5 стійка рівновага.

L 1 знаходиться між двома тілами системи, ближче до менш потужного тіла; L 2 - зовні, менш масивним тілом; і L 3 - за масивнішим. У системі координат з початком відліку в центрі мас системи та з віссю, спрямованої від центру мас до менш масивного тіла, координати цих точок у першому наближенні α розраховуються за допомогою наступних формул :

Точка, крапка L 1лежить на прямій, що з'єднує два тіла з масами M 1 і M 2 (M 1 > M 2), і знаходиться між ними поблизу другого тіла. Її наявність обумовлена ​​тим, що гравітація тіла M2 частково компенсує гравітацію тіла M1. При цьому чим більше M 2 тим далі від нього буде розташовуватися ця точка.

Місячна точка L 1(в системі Земля - ​​Місяць; віддалена від центру Землі приблизно на 315 тис.км) може стати ідеальним місцем для будівництва космічної пілотованої орбітальної станції, яка, розташовуючись на шляху між Землею та Місяцем, дозволила б легко дістатися до Місяця з мінімальними витратами палива та стати ключовим вузлом вантажного потоку між Землею та її супутником.

Точка, крапка L 2лежить на прямій, що з'єднує два тіла з масами M 1 і M 2 (M 1 > M 2), і знаходиться за тілом із меншою масою. Крапки L 1і L 2розташовуються на одній лінії і в межі M 1 M2 симетричні відносно M 2 . У точці L 2гравітаційні сили, що діють на тіло, компенсують дію відцентрових сил у системі відліку, що обертається.

Точка, крапка L 2в системі Сонце – Земля є ідеальним місцем для будівництва орбітальних космічних обсерваторій та телескопів. Оскільки об'єкт у точці L 2здатний тривалий часзберігати свою орієнтацію щодо Сонця та Землі, проводити його екранування та калібрування стає набагато простіше. Однак ця точка розташована трохи далі за земну тінь (в області півтіні) [прим. 1], так що сонячна радіація блокується не повністю. На гало-орбітах навколо цієї точки на даний момент (2020 рік) знаходяться апарати Gaia та Спектр-РГ. Раніше там діяли такі телескопи як «Планк» та «Гершель», надалі туди планується направити ще кілька телескопів, включаючи Джеймс Вебб (2021 року).

Точка, крапка L 2в системі Земля-Місяць може бути використана для забезпечення супутникового зв'язку з об'єктами на зворотній стороніМісяця, а також бути зручним місцем для розміщення заправної станції для забезпечення вантажопотоку між Землею та Місяцем

Якщо M 2 багато менше за масою, ніж M 1 то точки L 1і L 2знаходяться на приблизно однаковій відстані rвід тіла M 2 , що дорівнює радіусу сфери Хілла :

Точка, крапка L 3лежить на прямій, що з'єднує два тіла з масами M 1 і M 2 (M 1 > M 2 ), і знаходиться за тілом з більшою масою. Так само, як для точки L 2У цій точці гравітаційні сили компенсують дію відцентрових сил.

До початку космічної ери серед письменників-фантастів була дуже популярна ідея про існування на протилежному боці земної орбіти у точці L 3іншої аналогічної їй планети, званої «Протиземель», яка через своє розташування була недоступна для прямих спостережень. Проте насправді через гравітаційний вплив інших планет точка L 3в системі Сонце – Земля є вкрай нестійкою. Так, під час геліоцентричних з'єднань Землі та Венери по різні сторони Сонця, які трапляються кожні 20 місяців, Венера знаходиться всього в 0,3 а.о.від крапки L 3і таким чином дуже серйозно впливає на її розташування щодо земної орбіти. Крім того, через незбалансованість [ прояснити] центру тяжкості системи Сонце - Юпітер щодо Землі та еліптичності земної орбіти, так звана «Протиземля» все одно час від часу була б доступна для спостережень і обов'язково була б помічена. Ще одним ефектом, що видає її існування, була її власна гравітація: вплив тіла розміром вже близько 150 км і більше на орбіти інших планет було б помітно. З появою можливості проводити спостереження за допомогою космічних апаратів та зондів було достовірно показано, що у цій точці немає об'єктів розміром понад 100 м .

Орбітальні космічні апарати та супутники, розташовані поблизу точки L 3, можуть постійно стежити за різними формами активності на поверхні Сонця - зокрема, за появою нових плям або спалахів, - та оперативно передавати інформацію на Землю (наприклад, у рамках системи раннього попередження про космічній погоді NOAA). Крім того, інформація з таких супутників може бути використана для забезпечення безпеки далеких пілотованих польотів, наприклад, до Марсу або астероїдів. У 2010 році було вивчено кілька варіантів запуску подібного супутника

Якщо на основі лінії, що з'єднує обидва тіла системи, побудувати два рівносторонній трикутник, дві вершини яких відповідають центрам тіл M 1 і M 2 , то точки L 4і L 5будуть відповідати положенню третіх вершин цих трикутників, розташованих у площині орбіти другого тіла у 60 градусах попереду та позаду нього.

Наявність цих точок та їх висока стабільність обумовлюється тим, що оскільки відстані до двох тіл у цих точках однакові, то сили тяжіння з боку двох масивних тіл співвідносяться в тій же пропорції, що їх маси, і таким чином результуюча сила спрямована на центр мас системи ; крім того, геометрія трикутника сил підтверджує, що результуюче прискорення пов'язане з відстанню до центру мас тієї ж пропорцією, що і для двох масивних тіл. Так як центр мас є одночасно і центром обертання системи, результуюча сила точно відповідає тій, яка потрібна для утримання тіла у точці Лагранжа в орбітальній рівновазі з рештою системи. (Насправді, маса третього тіла і не повинна бути дуже малою). Ця трикутна конфігурація була виявлена ​​Лагранжем під час роботи над завданням трьох тіл. Крапки L 4і L 5називають трикутними(На відміну від колінеарних).

Також точки називають троянськими: ця назва походить від троянських астероїдів Юпітера, які є найяскравішим прикладом прояву цих точок. Вони були названі на честь героїв Троянської війни з «Іліади» Гомера, причому астероїди у точці L 4отримують імена греків, а точці L 5- захисників Трої; тому їх тепер так і називають «греками» (або «ахейцями») та «троянцями».

Відстань від центру мас системи до цих точок у координатній системі з центром координат у центрі мас системи розраховуються за такими формулами:

Тіла, вміщені в колінеарних точках Лагранжа, перебувають у нестійкій рівновазі. Наприклад, якщо об'єкт у точці L 1 злегка зміщується вздовж прямої, що з'єднує два масивних тіла, сила, що притягує його до того тіла, до якого воно наближається, збільшується, а сила тяжіння з боку іншого тіла, навпаки, зменшується. В результаті об'єкт все більше віддалятиметься від положення рівноваги.

Така особливість поведінки тіл на околицях точки L 1 грає важливу рольу тісних подвійних зоряних системах. Порожнини Роша компонент таких систем стикаються в точці L 1 тому, коли одна з зірок-компаньйонів у процесі еволюції заповнює свою порожнину Роша, речовина перетікає з однієї зірки на іншу саме через околиці точки Лагранжа L 1 .

Незважаючи на це, існують стабільні замкнуті орбіти (в системі координат, що обертається) навколо колінеарних точок лібрації, принаймні, у разі завдання трьох тіл. Якщо на рух впливають і інші тіла (як це відбувається в Сонячній системі), замість замкнутих орбіт об'єкт рухатиметься по квазіперіодичним орбітам, що мають форму фігур Ліссажу. Незважаючи на нестійкість такої орбіти,

Крапки Лагранжа - це області в системі двох космічних тіл з великою масою, в яких третє тіло з невеликою масою може бути нерухомим протягом тривалого часу щодо цих тіл.

В астрономічній науці точки Лагранжа називають ще точками лібрації (лібрація від лат. librātiō – розгойдування) або L-точками. Вперше вони були виявлені в 1772 відомим французьким математиком Жозефом Луї Лагранжем.

Крапки Лагранжа найчастіше згадуються при вирішенні обмеженого завдання трьох тіл. У цьому задачі три тіла мають кругові орбіти, але маса одного з них менша за масу будь-якого з двох інших об'єктів. Два великі тіла в цій системі звертаються навколо загального центрумас, маючи постійну кутову швидкість. В області навколо цих тіл знаходиться п'ять точок, в яких тіло, маса якого менша за масу будь-якого з двох великих об'єктів, може залишатися нерухомим. Це відбувається за рахунок того, що сили гравітації, що діють на тіло, компенсуються відцентровими силами. Ці п'ять точок і називаються точками Лагранжа.

Крапки Лагранжа лежать у площині орбіт масивних тіл. У сучасній астрономії вони позначаються латинською літерою "L". Також залежно від свого розташування кожна з п'яти точок має свій порядковий номер, який позначається числовим індексом від 1 до 5. Перші три точки Лагранжа називають колінеарними, решта дві - троянськими або трикутними.

Розташування найближчих точок Лагранжа та приклади точок

Незалежно від типу масивних небесних тіл, точки Лагранжа завжди матимуть однакове місце розташування у просторі між ними. Перша точка Лагранжа знаходиться між двома масивними об'єктами, ближче до того, що має меншу масу. Друга точка Лагранжа знаходиться за менш потужним тілом. Третя точка Лагранжа знаходиться на значній відстані за тілом, що має більшою масою. Точне місце розташування цих трьох точок розраховується за допомогою спеціальних математичних формуліндивідуально для кожної космічної подвійної системи з огляду на її фізичні характеристики.

Якщо говорити про найближчі до нас точки Лагранжа, то перша точка Лагранжа в системі Сонце-Земля перебуватиме на відстані півтора мільйона кілометрів від нашої планети. У цій точці тяжіння Сонця буде на два відсотки сильніше, ніж на орбіті нашої планети, тоді як зменшення необхідної відцентрової сили буде вдвічі менше. Обидва ці ефекти у цій точці будуть врівноважені гравітаційним тяжінням Землі.

Перша точка Лагранжа у системі Земля-Сонце є зручним наглядовим пунктом за головною зіркою нашої планетарної системи – Сонцем. Саме тут вчені-астрономи прагнуть розмістити космічні обсерваторії для спостереження цієї зіркою. Так, наприклад, в 1978 поблизу цієї точки розташувався космічний апарат ISEE-3, призначений для спостереження за Сонцем. У наступні роки в район цієї точки були запущені космічні апарати, DSCOVR, WIND та ACE.

Друга та третя точки Лагранжа

Гайя, телескоп, що розташувався у другій точці Лагранжа

Друга точка Лагранжа знаходиться в подвійній системі масивних об'єктів за тілом, що має меншу масу. Застосування цієї точки в сучасній астрономічній науці зводиться до розміщення у її районі космічних обсерваторій та телескопів. На даний момент у цій точці знаходяться такі космічні апарати, як "Гершель", "Планк", WMAP та . У 2018 році туди має вирушити ще один космічний апарат – «Джемс Вебб».

Третя точка Лагранжа знаходиться у подвійній системі на значній відстані за масивнішим об'єктом. Якщо говорити про систему Сонце-Земля, то така точка перебуватиме за Сонцем, на відстані трохи більшій, ніж на якій знаходиться орбіта нашої планети. Пов'язано це з тим, що, незважаючи на свої малі розміри, Земля все ж таки має незначний гравітаційний вплив на Сонце. Супутники, розміщені в цій галузі космосу, можуть передавати на Землю точну інформацію про Сонце, появу нових плям на зірці, а також передавати дані про космічну погоду.

Четверта та п'ята точки Лагранжа

Четверта та п'ята точки Лагранжа називаються трикутними. Якщо в системі, що складається з двох масивних космічних об'єктів, що обертаються навколо загального центру мас, на основі лінії, що з'єднує ці об'єкти, подумки накреслити два рівносторонні трикутники, вершини якого будуть відповідати положенню двох масивних тіл, то четверта і п'ята точки Лагранжа будуть знаходитися в місці третіх вершин цих трикутників. Тобто вони будуть знаходитися в площині орбіти другого масивного об'єкта в 60 градусах ззаду і попереду нього.

Трикутні точки Лагранжа також називають ще й "троянськими". Друга назва точок походить від троянських астероїдів Юпітера, які є найяскравішим наочним проявом четвертої та п'ятої точок Лагранжа у нашій Сонячній системі.

На даний момент четверта і п'ята точки Лагранжа в подвійній системі Сонце-Земля не використовуються. У 2010 році у четвертій точці Лагранжа цієї системи вчені виявили досить великий астероїд. У п'ятій точці Лагранжа на даному етапі жодних великих космічних об'єктів не спостерігається, проте останні дані говорять нам про те, що там знаходиться велике скупчення міжпланетного пилу.

1. У 2009 році два космічні апарати STEREO пролетіли через четверту та п'яту точки Лагранжа.
2. Крапки Лагранжа часто використовуються у науково-фантастичних творах. Часто в цих областях простору, навколо подвійних систем, письменники-фантасти вміщують свої вигадані космічні станції, сміттєзвалища, астероїди і навіть інші планети.
3. У 2018 році у другій точці Лагранжа у подвійній системі Сонце-Земля вчені планують розмістити космічний телескоп «Джеймс Вебб». Цей телескоп повинен замінити космічний телескоп « », який знаходиться в цій точці. 2024 року вчені планують помістити в цій точці ще один телескоп «PLATO».
4. Перша точка Лагранжа в системі Місяць-Земля могла б стати чудовим місцем для розміщення пілотованої орбітальної станціїяка могла б значно зменшити витрати ресурсів, необхідних для того, щоб дістатися з Землі на Місяць.
5. Два космічні телескопи «Планк» і «», які були запущені в космос у 2009 році, наразі перебувають у другій точці Лагранжа у системі Сонце-Земля.

Яку б мету ви перед собою не ставили, хоч би яку місію не планували — однією з найбільших перешкод на вашому шляху в космосі буде паливо. Очевидно, якась його кількість потрібна вже для того, щоб покинути Землю. Що більше вантажу потрібно вивести межі атмосфери, то більше потрібно пального. Але через це ракета стає ще важчою, і все це перетворюється на замкнене коло. Саме це заважає нам відправляти кілька міжпланетних станцій на різні адреси на одній ракеті — на ній просто не вистачить місця для палива. Однак ще в 80-х роках минулого століття вчені знайшли лазівку - спосіб подорожувати Сонячною системою, майже не використовуючи пальне. Він називається "Міжпланетна транспортна мережа".

Нинішні методи космічних польотів

Сьогодні переміщення між об'єктами Сонячної системи, наприклад, подорож із Землі на Марс, зазвичай вимагає так званого перельоту еліпсом Гомана. Носій запускається, а потім прискорюється доти, доки виявляється далі орбіти Марса. Біля червоної планети ракета гальмує і починає обертатися навколо мети свого призначення. І для прискорення, і для гальмування вона спалює багато палива, але при цьому еліпс Гомана залишається одним із самих ефективних способівпереміщення між двома об'єктами у космосі.

Елліпс Гомана-Дуга I - переліт із Землі на Венеру. Дуга II-переліт з Венери на Марс Дуга III-повернення з Марса на Землю.

Використовуються також і гравітаційні маневри, які можуть бути ефективнішими. Здійснюючи їх, космічний корабельприскорюється, використовуючи силу тяжіння великого небесного тіла. Надбавка у швидкості виходить дуже значною майже без використання пального. Ми застосовуємо ці маневри щоразу, коли відправляємо свої станції в далеку дорогу від Землі. Однак якщо кораблю після гравітаційного маневру потрібно вийти на орбіту якоїсь планети, йому все одно доводиться сповільнюватись. Ви, звичайно, пам'ятайте, що це потребує палива.

Тому наприкінці минулого століття деякі вчені вирішили підійти до вирішення проблеми з іншого боку. Вони поставилися до гравітації не як до пращі, бо як до географічного ландшафту, і сформулювали ідею міжпланетної транспортної мережі. Вхідними та вихідними трамплінами до неї стали точки Лагранжа — п'ять районів поряд із небесними тілами, де гравітація та сили обертання приходять у рівновагу. Вони існують у будь-якій системі, в якій одне тіло крутиться навколо іншого і без претензій на оригінальність пронумеровані від L1 до L5.

Якщо ми помістимо космічний корабель в точку Лагранжа, він висітиме там нескінченно, оскільки гравітація не тягне його в один бік сильніше, ніж будь-який інший. Проте чи всі ці точки, фігурально висловлюючись, створені рівними. Деякі з них стабільні – якщо ви, перебуваючи всередині, зрушите трохи убік, гравітація поверне вас на місце – як м'яч на дні гірської долини. Інші точки Лагранжа нестабільні - варто трохи переміститися, і вас почне забирати звідти. Об'єкти, що знаходяться тут, нагадують м'яч на вершині пагорба — він триматиметься там, якщо добре встановлений або якщо його там притримують, але навіть легкого вітерцю вистачає, щоб він, набираючи швидкість, покотився вниз.

Пагорби та долини космічного ландшафту

Космічні кораблі, що літають за Сонячною системою, враховують усі ці «пагорби» та «долини» під час польоту та на стадії прокладання маршруту. Проте міжпланетна транспортна мережа змушує їх працювати для суспільства. Як ви вже знаєте, кожна стабільна орбіта має п'ять точок Лагранжа. Це і система Земля-Місяця, і система Сонце-Земля, і системи всіх супутників Сатурна з самим Сатурном... Можете продовжити самі, врешті-решт, у Сонячній системі багато чого крутиться навколо чогось.

Крапки Лагранжа скрізь і всюди, хоч вони і постійно змінюють своє конкретне місце в просторі. Вони завжди йдуть по орбіті за меншим об'єктом системи обертання, і це створює ландшафт гравітаційних пагорбів і долин, що постійно змінюється. Іншими словами, розподіл гравітаційних силу Сонячній системі згодом змінюється. Іноді тяжіння в тих чи інших просторових координатах спрямоване в бік Сонця, в інший момент часу — у бік будь-якої планети, а буває і так, що по них проходить точка Лагранжа, і в цьому місці запанує рівновага, коли ніхто нікуди нікого не тягне. .

Метафора з пагорбами та долинами допомагає нам краще уявити цю абстрактну ідею, тому ми ще кілька разів скористаємося нею. Іноді в космосі відбувається так, що один пагорб проходить поряд з іншим пагорбом або іншою долиною. Вони можуть навіть накладатися один на одного. І ось у цей момент космічні переміщення стають особливо ефективними. Наприклад, якщо ваш гравітаційний пагорб накладається на долину, ви можете «скататися» до неї. Якщо на пагорб накладається інший пагорб, ви можете перескочити з вершини на вершину.

Як використовувати міжпланетну транспортну мережу?

Коли точки Лагранжа різних орбіт наближаються одна до одної, не потрібно майже жодних зусиль, щоб переміститися з однієї в іншу. Це означає, що якщо ви нікуди не поспішайте і готові зачекати на їх зближення, то зможете перестрибувати з орбіти на орбіту, наприклад, за маршрутом Земля-Марс-Юпітер і далі майже не витрачаючи палива. Легко зрозуміти, що саме цю ідею використовує міжпланетна транспортна мережа. Мережа точок Лагранжа, що постійно змінюється, схожа на звивисту дорогу, що дозволяє переміщатися між орбітами з мізерною витратою пального.

У науковому середовищі ці переміщення з точки в точку називаються низьковитратними перехідними траєкторіями, і вони вже були кілька разів використані на практиці. Одним із найвідоміших прикладів є відчайдушна, але успішна спроба порятунку японської місячної станції у 1991 році, коли космічний апарат мав надто мало палива, щоб завершити свою місію традиційним способом. На жаль, ми не можемо використовувати цей прийом на регулярній основі, тому що сприятливого поєднання точок Лагранжа можна чекати десятиліттями, століттями і навіть довше.

Але, якщо час не квапить, ми можемо дозволити собі відправити в космос зонд, який буде спокійно чекати потрібних суміщень, а решту часу збирати інформацію. Дочекавшись, він перескакуватиме на іншу орбіту, і здійснюватиме спостереження, перебуваючи вже на ній. Цей зонд зможе подорожувати Сонячною системою необмежену кількість часу, реєструючи все, що відбувається поблизу нього, і поповнюючи науковий багаж людської цивілізації. Зрозуміло, що це буде принципово відрізнятися від того, як ми досліджуємо космос зараз, але цей спосіб виглядає перспективно навіть для майбутніх довготривалих місій.