Рух тіл під дією гравітаційних сил. Рух тіл під дією сили тяжіння

Рух тіла під дією сили тяжіння є однією з центральних тем в динамічної фізики. Про те, що розділ динаміки базується на трьох знає навіть звичайний школяр. Давайте спробуємо розібрати цю тему досконально, а стаття, докладно описує кожен приклад, допоможе нам зробити вивчення руху тіла під дією сили тяжіння максимально корисним.

Трохи історії

Люди з цікавістю спостерігали за різними явищами, Що відбуваються в нашому житті. Людство довгий час не могло зрозуміти принципи і пристрій багатьох систем, однак тривалий шлях вивчення навколишнього світу привів наших предків до наукового перевороту. У наші дні, коли технології розвиваються з неймовірною швидкістю, люди майже не замислюються про те, яким чином працюють ті чи інші механізми.

А тим часом наші предки завжди цікавилися загадками природних процесів і пристроєм світу, шукали відповіді на найскладніші питання і не переставали вивчати, поки не знаходили на них відповіді. Так, наприклад, відомий вчений Галілео Галілей ще в 16 столітті задався питаннями: "Чому тіла завжди падають вниз, яка ж сила притягує їх до землі?" У 1589 році він поставив ряд дослідів, результати яких виявилися вельми цінними. Він докладно вивчав закономірності вільного падіння різних тіл, скидаючи предмети зі знаменитою вежі в місті Пізі. Закони, які він вивів, були покращені і більш детально описані формулами ще одним відомим англійським вченим - сером Ісааком Ньютоном. Саме йому належать три закони, на яких заснована практично вся сучасна фізика.

Той факт, що закономірності руху тіл, описані більше 500 років тому, актуальні й донині, означає, що наша планета підпорядковується незмінним законам. сучасній людині необхідно хоча б поверхово вивчити основні принципи облаштування світу.

Основні і допоміжні поняття динаміки

Для того щоб повністю зрозуміти принципи подібного руху, слід спочатку ознайомитися з деякими поняттями. Отже, самі необхідні теоретичні терміни:

• Взаємодія - це вплив тіл один на одного, при якому відбувається зміна або початок їх руху відносно один одного. Розрізняють чотири види взаємодії: електромагнітне, слабке, сильне і гравітаційне.
• Швидкість - це фізична величина, Що позначає швидкість, з якою рухається тіло. Швидкість є вектором, тобто має не тільки значення, але також і напрямок.
• Прискорення - та величина, яка показує нам швидкість зміни швидкості тіла в проміжок часу. Вона також є
• Траєкторія шляху - це крива, а іноді - пряма лінія, яку окреслює тіло при русі. при рівномірному прямолінійній русі траєкторія може збігатися зі значенням переміщення.
• Шлях - це довжина траєкторії, тобто рівно стільки, скільки пройшло тіло за певну кількість часу.
• Інерціальна система відліку - це середовище, в якому виконується перший закон Ньютона, тобто тіло зберігає свою інерцію, за умови, що повністю відсутні всі зовнішні сили.

Вищевказаних понять цілком достатньо для того, щоб грамотно накреслити або представити в голові моделювання руху тіла під дією сили тяжіння.

Що значить сила?

Давайте перейдемо до основного поняття нашої теми. Отже, сила - це величина, сенс якої полягає у впливі або вплив одного тіла на інше кількісно. А сила тяжіння - це та сила, яка діє абсолютно на кожне тіло, що знаходиться на поверхні або поблизу нашої планети. Виникає питання: звідки ж береться ця сама сила? Відповідь полягає в законі всесвітнього тяжіння.

А що таке сила тяжіння?

На будь-яке тіло з боку Землі впливає гравітаційна сила, яка повідомляє йому деяке прискорення. Сила тяжіння завжди має вертикальний напрямок вниз, до центру планети. Інакше кажучи, сила тяжіння притягує предмети до Землі, ось чому предмети завжди падають вниз. Виходить, що сила тяжіння - це окремий випадок сили всесвітнього тяжіння. Ньютон вивів одну з головних формул для знаходження сили тяжіння між двома тілами. Виглядає вона таким чином: F \u003d G * (m 1 х m 2) / R 2.

Чому дорівнює прискорення вільного падіння?

Тіло, яке відпустили з деякої висоти, завжди летить вниз під дією сили тяжіння. Рух тіла під дією сили тяжіння вертикально вгору і вниз можна описати рівняннями, де основний константою буде значення прискорення "g". Ця величина обумовлена \u200b\u200bвиключно дією сили тяжіння, і її значення приблизно дорівнює 9,8 м / с 2. Виходить, що тіло, кинуте з висоти без початкової швидкості, буде рухатися вниз з прискоренням рівним значенню "G".

Рух тіла під дією сили тяжіння: формули для вирішення завдань

Основна формула знаходження сили тяжіння виглядає наступним чином: F тяжкості \u003d m х g, де m - це маса тіла, на яке діє сила, а "g" - прискорення вільного падіння (для спрощення завдань його прийнято вважати рівним 10 м / с 2) .

Є ще кілька формул, що використовуються для знаходження того чи іншого невідомого при вільному русі тіла. Так, наприклад, для того щоб обчислити пройдений тілом шлях, необхідно підставити відомі значення в цю формулу: S \u003d V 0 х t + a х t 2/2 (шлях дорівнює сумі творів початкової швидкості помноженої на час і прискорення на квадрат часу, поділеній на 2).

Рівняння для опису вертикального руху тіла

Рух тіла під дією сили тяжіння по вертикалі можна описати рівнянням, яке виглядає так: x \u003d x 0 + v 0 х t + a х t 2 / 2. Використовуючи цей вислів, можна знайти координати тіла в відомий момент часу. Необхідно просто підставити відомі в завданні величини: початкове місце розташування, початкову швидкість (якщо тіло не просто відпустили, а штовхнули з деякою силою) і прискорення, в нашому випадку воно буде дорівнює прискоренню g.

Таким же чином можна знайти і швидкість тіла, яке рухається під дією сили тяжіння. Вираз для знаходження невідомої величини в будь-який момент часу: v \u003d v 0 + g х t (значення початкової швидкості може бути рівним нулю, тоді швидкість буде дорівнює добутку прискорення вільного падіння на значення часу, за який тіло робить рух).

Рух тіл під дією сили тяжіння: завдання і способи їх рішень

При вирішенні багатьох завдань, пов'язаних з силою тяжіння, рекомендуємо скористатися наступним планом:

1. Визначити для себе зручну інерційну систему відліку, зазвичай прийнято вибирати Землю, тому як вона відповідає багатьом вимогам до ІСО.
2. Намалювати невеличке креслення або малюнок, на якому зображені основні сили, що діють на тіло. Рух тіла під дією сили тяжіння на увазі нарис або схему, на якій вказано, в якому напрямку рухається тіло, якщо на нього діє прискорення, рівне g.
3. Потім слід вибрати напрямок для проектування сил і отриманих прискорень.
4. Записати невідомі величини і визначити їх напрямок.
5. І нарешті, використовуючи зазначені вище формули для вирішення завдань, обчислити всі невідомі величини, підставивши дані в рівняння для знаходження прискорення або пройденого шляху.

Готове рішення легкої завдання

Коли мова йде про таке явище, як рух тіла під дією того, яким способом практичніше вирішувати поставлену задачу, може бути складним. Однак є кілька хитрощів, використовуючи які, можна з легкістю вирішити навіть саме складне завдання. Отже, розберемо на живих прикладах, як слід вирішувати ту чи іншу задачу. Почнемо з легкої для розуміння завдання.

Деякий тіло відпустили з висоти 20 м без початкової швидкості. Визначити, за яку кількість часу воно досягне поверхні землі.

Рішення: нам відомий шлях, пройдений тілом, відомо, що початкова швидкість дорівнювала 0. Також можемо визначити, що на тіло діє тільки сила тяжіння, виходить, що це рух тіла під дією сили тяжіння, і тому слід скористатися цією формулою: S \u003d V 0 х t + a х t 2/2. Так як в нашому випадку a \u003d g, то після деяких перетворень отримуємо наступне рівняння: S \u003d g х t 2 / 2. Тепер залишилося тільки висловити час через цю формулу, отримуємо, що t 2 \u003d 2S / g. Підставами відомі величини (при цьому вважаємо, що g \u003d 10 м / с 2) t 2 \u003d 2 х 20/10 \u003d 4. Отже, t \u003d 2 с.

Отже, наша відповідь: тіло впаде на землю за 2 секунди.

Трюк, що дозволяє швидко вирішити завдання, полягає в наступному: можна помітити, що описане рух тіла в наведеній задачі відбувається в одному напрямку (вертикально вниз). Воно дуже схоже з рівноприскореному рухом, так як на тіло не діє ніяка сила, окрім сили тяжіння (силою опору повітря нехтуємо). Завдяки цьому можна скористатися легкої формулою для знаходження шляху при рівноприскореному русі, минаючи зображення креслень з розстановкою діючих на тіло сил.

Приклад рішення більш складного завдання

А тепер давайте подивимося, як краще вирішувати завдання на рух тіла під дією сили тяжіння, якщо тіло рухається не вертикально, а має більш складний характер переміщення.

Наприклад, наступне завдання. Деякий предмет масою m рухається з невідомим прискоренням вниз по похилій площині, коефіцієнт тертя якої дорівнює k. Визначити значення прискорення, яке є при русі даного тіла, якщо кут нахилу α відомий.

Рішення: Слід скористатися планом, який описаний вище. В першу чергу накреслити малюнок похилій площині з зображенням тіла і всіх діючих на нього сил. Вийде, що на нього діють три складові: сила тяжіння, тертя і сила реакції опори. виглядає загальне рівняння одно діючих сил так: F тертя + N + mg \u003d ma.

Головною родзинкою завдання є умова нахили під кутом α. При ox і вісь oy необхідно врахувати дану умову, тоді у нас вийде такий вираз: mg х sin α - F тертя \u003d ma (для осі ох) і N - mg х cos α \u003d F тертя (для осі oy).

F тертя легко обчислити по формулі знаходження сили тертя, вона дорівнює k х mg (коефіцієнт тертя, помножений на твір маси тіла і прискорення вільного падіння). Після всіх обчислень залишається тільки підставити знайдені значення в формулу, вийде спрощене рівняння для обчислення прискорення, з яким рухається тіло уздовж похилій площині.

Виходячи з трактування другого закону Ньютона, можна зробити висновок, що зміна руху відбувається посредствам сили. Механіка розглядає сили різної фізичної природи. Багато з них визначаються за допомогою дії сил тяжіння.

У 1862 році був відкритий закон всесвітнього тяжіння І. Ньютоном. Він припустив, що сили, які утримують Місяць, тієї ж природи, що і сили, що змушують яблуко падати на Землю. Сенс гіпотези полягає в наявності дії сил тяжіння, спрямованих по лінії і з'єднують центри мас, як зображено на малюнку 1. 10. 1. Шаровидне тіло має центр маси, що співпадає з центром кулі.

малюнок 1 . 10 . 1 . Гравітаційні сили тяжіння між тілами. F 1 → \u003d - F 2 →.

визначення 1

При відомих напрямках рухів планет Ньютон намагався з'ясувати, які сили діють на них. Цей процес отримав назву оберненої задачі механіки.

Основне завдання механіки - визначення координат тіла відомої маси з його швидкістю в будь-який момент часу за допомогою відомих сил, що діють на тіло, і заданим умовою (пряма задача). Зворотній ж виконується з визначенням діючих сил на тіло з відомим її оприлюдненням. Такі завдання привели вченого до відкриття визначення закону всесвітнього тяжіння.

Всі тіла притягуються одне до одного із силою, прямо пропорційною їх масам і обернено пропорційною квадрату відстані між ними.

F \u003d G m 1 m 2 r 2.

Значення G визначає коефіцієнт пропорційності всіх тіл в природі, зване гравітаційної постійної і позначається за формулою G \u003d 6, 67 · 10 - 11 Н · м 2 / к г 2 (С І).

Більшість явищ в природі пояснюються наявністю дії сили всесвітнього тяжіння. Рух планет, штучних супутників Землі, траєкторії польоту балістичних ракет, рух тіл поблизу поверхні Землі - все пояснюється законом тяжіння і динаміки.

визначення 3

Прояві сили тяжіння характеризується наявністю сили тяжіння. Так називається сила тяжіння тіл до Землі і поблизу її поверхні.

Коли М позначається як маса Землі, R З - радіус, m - маса тіла, то формула сили тяжіння набирає вигляду:

F \u003d G M R З 2 m \u003d m g.

Де g - прискорення вільного падіння, що дорівнює g \u003d G M R З 2.

Сила тяжіння спрямована до центру Землі, як показано в прикладі Луна-Земля. При відсутності дії інших сил тіло рухається з прискоренням вільного падіння. Його середнє значення дорівнює 9, 81 м / с 2. При відомому G і радіусі R 3 \u003d 6, 38 · 10 6 м виробляються обчислення маси Землі М за формулою:

M \u003d g R 3 2 G \u003d 5, 98 х 10 24 к р

Якщо тіло віддаляється від поверхні Землі, тоді дія сили тяжіння і прискорення вільного падіння змінюються обернено пропорційно квадрату відстані r до центру. Малюнок 1 . 10. 2 показує, як змінюється сила тяжіння, що діє на космонавта корабля, при видаленні від Землі. Очевидно, що F притягання його до Землі дорівнює 700 Н.

малюнок 1 . 10 . 2 . Зміна сили тяжіння, що діє на космонавта при видаленні від Землі.

приклад 1

Земля-Місяць підходить в якості прикладу взаємодії системи двох тіл.

Відстань до Місяця - r Л \u003d 3, 84 · 10 6 м. Воно в 60 разів більше радіуса Землі R З. Значить, при наявності земного тяжіння, прискорення вільного падіння α Л орбіти Місяця складе α Л \u003d g R З r Л 2 \u003d 9, 81 м / с 2 60 2 \u003d 0, 0027 м / с 2.

Воно спрямоване до центру Землі і отримало назву центростремительного. Розрахунок здійснюється за формулою a Л \u003d υ 2 r Л \u003d 4 π 2 r Л T 2 \u003d 0, 0027 м / с 2, де Т \u003d 27, 3 діб - період обертання Місяця навколо Землі. Результати і розрахунки, виконані різними способами, говорять про те, що Ньютон був правий у своєму припущенні єдиної природи сили, що утримує Місяць на орбіті, і сили тяжіння.

Місяць має власне гравітаційне поле, яке визначає прискорення вільного падіння g Л на поверхні. Маса Місяця в 81 разів менше маси Землі, а радіус в 3, 7 рази. Звідси видно, що прискорення g Л слід визначати з виразу:

g Л \u003d G M Л R Л 2 \u003d G M З 3, 7 2 T 3 2 \u003d 0, 17 g \u003d 1, 66 м / с 2.

Така слабка гравітація характерна для космонавтів, що знаходяться на Місяці. Тому можна здійснювати величезні стрибки і кроки. Стрибок вгору на метр на Землі відповідає семиметрового на Місяці.

Рух штучних супутників зафіксовано за межами земної атмосфери, тому на них чинять дію сили тяжіння Землі. Траєкторія космічного тіла може змінюватися в залежності від початкової швидкості. Рух штучного супутника по навколоземній орбіті наближено приймається в якості відстані до центру Землі, що дорівнює радіусу R З. Вони літають на висотах 200 - 300 до м.

визначення 4

Звідси слідує що доцентровийприскорення супутника, яке повідомляється силами тяжіння, дорівнює прискоренню вільного падіння g. Швидкість супутника прийме позначення υ 1. її називають першою космічною швидкістю.

Застосувавши кінематичну формулу для центростремительного прискорення, отримуємо

a n \u003d υ 1 2 R З \u003d g, υ 1 \u003d g R З \u003d 7, 91 · 10 3 м / с.

При такій швидкості супутник зміг облетіти Землю за час, що дорівнює T 1 \u003d 2 πR З υ 1 \u003d 84 м і н 12 с.

Але період обертання супутника по круговій орбіті поблизу Землі набагато більше, ніж вказано вище, так як існує відмінність між радіусом реальної орбіти і радіусом Землі.

Супутник рухається за принципом вільного падіння, віддалено схоже на траєкторію снаряда або балістичної ракети. Різниця полягає в великій швидкості супутника, причому радіус кривизни його траєкторії досягає довжини радіуса Землі.

Супутники, які рухаються по кругових траєкторіях на великих відстанях, мають ослаблене земне тяжіння, назад пропорційне квадрату радіуса r траєкторії. Тоді знаходження швидкості супутника слід за умовою:

υ 2 к \u003d g R 3 2 r 2, υ \u003d g R 3 R З r \u003d υ 1 R 3 r.

Тому, наявність супутників на високих орбітах говорить про меншу швидкості їх руху, ніж з навколоземної орбіти. Формула періоду звернення дорівнює:

T \u003d 2 πr υ \u003d 2 πr υ 1 r R З \u003d 2 πR з υ 1 r R 3 3/2 \u003d T 1 2 π R З.

T 1 приймає значення періоду обертання супутника по навколоземній орбіті. Т зростає з розмірами радіуса орбіти. Якщо r має значення 6, 6 R 3 то Т супутника дорівнює 24 годинам. При його запуску в площині екватора, буде спостерігатися, як висить над деякою точкою земної поверхні. Застосування таких супутників відомо в системі космічного радіозв'язку. Орбіту, має радіус r \u003d 6, 6 R З, називають геостаціонарній.

малюнок 1 . 10 . 3 . Модель руху супутників.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Гравітація, вона ж тяжіння або тяжіння, - це універсальна властивість матерії, яким володіють всі предмети і тіла у Всесвіті. Суть гравітації залучается в тому, що всі матеріальні тіла притягують до себе всі інші тіла, що знаходяться навколо.

земне тяжіння

Якщо гравітація - це загальне поняття і якість, яким володіють всі предмети у Всесвіті, то земне тяжіння - це окремий випадок цього всеосяжного явища. Земля притягує до себе всі матеріальні об'єкти, що знаходяться на ній. Завдяки цьому люди і тварини можуть спокійно переміщатися по землі, річки, моря і океани - залишатися в межах своїх берегів, а повітря - не літати по безкрайніх просторах Космосу, а утворювати атмосферу нашої планети.

Виникає справедливе запитання: якщо всі предмети мають гравітацією, чому Земля притягує до себе людей і тварин, а не навпаки? По-перше, ми теж притягуємо до себе Землю, просто, в порівнянні з її силою тяжіння наша гравітація мізерно мала. По-друге, сила гравітації прямо пропорційно залежить від маси тіла: чим менше маса тіла, тим нижче його гравітаційні сили.

Другий показник, від якого залежить сила тяжіння - це відстань між предметами: чим більше відстань, тим менше дію гравітації. У тому числі завдяки цьому, планети рухаються на своїх орбітах, а не падають один на одного.

Примітно, що своєю сферичною формою Земля, Місяць, Сонце і інші планети зобов'язані саме силі тяжіння. Вона діє в напрямку центру, підтягуючи до нього речовину, що складає «тіло» планети.

Гравітаційне поле Землі

Гравітаційне поле Землі - це силове енергетичне поле, яке утворюється навколо нашої планети завдяки дії двох сил:

• гравітації;
• відцентрової сили, яка своїм поява зобов'язана обертання Землі навколо своєї осі (добове обертання).

Оскільки і гравітація, і відцентрова сила діють постійно, то і гравітаційне поле є постійним явищем.

Незначний вплив на поле надають сили тяжіння Сонця, Місяця і деяких інших небесних тіл, А також атмосферних мас Землі.

Закон всесвітнього тяжіння і сер Ісаак Ньютон

англійський фізик, Сер Ісаак Ньютон, згідно відомій легенді, одного разу гуляючи по саду днем, побачив на небі Місяць. В цей же час з гілки впало яблуко. Ньютон тоді займався вивченням закону руху і знав, що яблуко падає під впливом гравітаційного поля, а Місяць обертається по орбіті навколо Землі.

І тут в голову геніальному вченому, осяяну инсайтом, спало на думку, що, можливо, яблуко падає на землю, підкоряючись тій же силі, завдяки якій Місяць перебуває на своїй орбіті, а не носиться безладно по всій галактиці. Так був відкритий закон всесвітнього тяжіння, він же Третій закон Ньютона.

Мовою математичних формул цей закон виглядає так:

F= GMm / D 2 ,

де F - сила взаємного тяжіння між двома тілами;

M - маса першого тіла;

m - маса другого тіла;

D 2 - відстань між двома тілами;

G - гравітаційна стала, рівна 6,67х10 -11.

Чому випущений з рук величезний тягар падає на Землю? Тому що його притягує Земля, скаже кожен з вас. Справді, камінь падає на Землю з прискоренням вільного падіння. Отже, на камінь з боку Землі діє сила, спрямована до Землі.

Згідно з третім законом Ньютона і камінь діє на Землю з такої ж по модулю силою, спрямованої до каменя. Іншими словами, між Землею і каменем діють сили взаємного тяжіння.

гіпотеза Ньютона

Ньютон був першим, хто спочатку здогадався, а потім і строго довів, що причина, що викликає падіння каменя на Землю, рух Місяця навколо Землі і планет навколо Сонця, одна і та ж. Це сила тяжіння, що діє між будь-якими тілами Всесвіту. Ось хід його міркувань, наведених в головній праці Ньютона « математичні начала натуральної філософії »:« Кинутий горизонтально камінь відхилиться під дією тяжкості від прямолінійного шляху і, описавши криву траєкторію, впаде нарешті на Землю. Якщо його кинути з більшою швидкістю, То він впаде далі »(рис. 3.2). Продовжуючи ці міркування, Ньютон приходить до висновку, що якби не спротив повітря, то траєкторія каменя, кинутого з високої гори з певною швидкістю, могла б стати такою, що він взагалі ніколи не досяг би поверхні Землі, а рухався навколо неї «подібно до того , як планети описують в небесному просторі свої орбіти ».

Мал. 3.2

Зараз нам стало настільки звичним рух супутників навколо Землі, що роз'яснювати думка Ньютона докладніше немає необхідності.

Отже, на думку Ньютона, рух Місяця навколо Землі або планет навколо Сонця - це теж вільне падіння, але тільки падіння, яке триває, які не припиняючись, мільярди років. Причиною такого «падіння» (чи йдеться справді про падіння звичайного каменю на Землю або про рух планет по їх орбітах) є сила всесвітнього тяжіння. Від чого ж ця сила залежить?

Залежність сили тяжіння від маси тіл

У § 1.23 говорилося про вільне падіння тіл. Згадувалися досліди Галілея, які довели, що Земля повідомляє всім тілам в даному місці один і той же прискорення незалежно від їх маси. Це можливо лише в тому випадку, якщо сила тяжіння до Землі прямо пропорційна масі тіла. Саме в цьому випадку прискорення вільного падіння, яке дорівнює відношенню сили земного тяжіння до маси тіла, є постійною величиною.

Дійсно, в цьому випадку збільшення маси m, наприклад, удвічі призведе до збільшення модуля сили теж удвічі, а прискорення, що дорівнює відношенню, залишиться незмінним.

Узагальнюючи цей висновок для сил тяжіння між будь-якими тілами, робимо висновок, що сила всесвітнього тяжіння прямо пропорційна масі тіла, на яке ця сила діє. Але у взаємному тяжінні беруть участь щонайменше два тіла. На кожне з них, відповідно до третього закону Ньютона, діють однакові по модулю сили тяжіння. Тому кожна з цих сил повинна бути пропорційна як масі одного тіла, так і масі іншого тіла.

Тому сила всесвітнього тяжіння між двома тілами прямо пропорційна добутку їх мас:

Від чого ще залежить сила тяжіння, що діє на дане тіло з боку іншого тіла?

Залежність сили тяжіння від відстані між тілами

Можна припустити, що сила тяжіння повинна залежати від відстані між тілами. Щоб перевірити правильність цього припущення і знайти залежність сили тяжіння від відстані між тілами, Ньютон звернувся до руху супутника Землі - Місяця. Її рух було в ті часи вивчено набагато точніше, ніж рух планет.

Звернення Місяця навколо Землі відбувається під дією сили тяжіння між ними. Наближено орбіту Місяця можна вважати окружністю. Отже, Земля повідомляє Місяці доцентровийприскорення. Воно обчислюється за формулою

де R - радіус місячної орбіти, рівний приблизно 60 радіусів Землі, Т \u003d 27 сут 7 ч 43 хв \u003d 2,4 10 6 с - період обертання Місяця навколо Землі. З огляду на, що радіус Землі R 3 \u003d 6,4 10 6 м, отримаємо, що доцентровийприскорення Місяця дорівнює:

Знайдене значення прискорення менше прискорення вільного падіння тіл на поверхні Землі (9,8 м / с 2) приблизно в 3600 \u003d 60 2 разів.

Таким чином, збільшення відстані між тілом і Землею в 60 разів призвело до зменшення прискорення, що повідомляється земним тяжінням, а отже, і самої сили тяжіння в 60 2 раз (1).

Звідси випливає важливий висновок: прискорення, яке повідомляє тілам сила тяжіння до Землі, зменшується обернено пропорційно квадрату відстані до центру Землі:

де C 1 - постійний коефіцієнт, однаковий для всіх тіл.

закони Кеплера

Дослідження руху планет показало, що цей рух викликано силою тяжіння до Сонця. Використовуючи ретельні багаторічні спостереження датського астронома Тихо Браге, німецький вчений Йоганн Кеплер в початку XVII в. встановив кінематичні закони руху планет - так звані закони Кеплера.

Перший закон Кеплера

Всі планети рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

Еліпсом (рис. 3.3) називається плоска замкнута крива, сума відстаней від будь-якої точки якої до двох фіксованих точок, які називаються фокусами, постійна. Ця сума відстаней дорівнює довжині великої осі АВ еліпса, т. Е.

де F 1 і F 2 - фокуси еліпса, а b \u003d - його велика піввісь; Про - центр еліпса. Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, а найдальша від нього точка - афелием. Якщо Сонце перебуває у фокусі F 1 (див. Рис. 3.3), то точка А - перигелій, а точка В - афелій.

Мал. 3.3

Другий закон Кеплера

Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі . Так, якщо заштриховані сектори (рис. 3.4) мають однакові площі, то шляху s 1, s 2, s 3 будуть пройдені планетою за рівні проміжки часу. З малюнка видно, що s 1\u003e s 2. Отже, лінійна швидкість руху планети в різних точках її орбіти неоднакова. У перигелії швидкість планети найбільша, в афелії - найменша.

Мал. 3.4

Третій закон Кеплера

Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих піввісь їх орбіт. Позначивши велику піввісь орбіти і період обертання однієї з планет через b 1 і T 1 а інший - через b 2 і Т 2, третій закон Кеплера можна записати так:

На підставі законів Кеплера можна зробити певні висновки про прискорення, що повідомляються планет Сонцем. Ми для простоти будемо вважати орбіти еліптичними, а круговими. для планет сонячної системи ця заміна не є занадто грубим наближенням.

Тоді сила тяжіння з боку Сонця в цьому наближенні повинна бути спрямована для всіх планет до центру Сонця.

Якщо через Т позначити періоди обертання планет, а через R - радіуси їх орбіт, то, відповідно до третього закону Кеплера, для двох планет можна записати

Нормальне прискорення при русі по колу а \u003d ω 2 R. Тому ставлення прискорень планет

Використовуючи рівняння (3.2.4), отримаємо

Так як третій закон Кеплера справедливий для всіх планет, то прискорення кожної планети обернено пропорційно квадрату відстані її до Сонця:

Постійна З 2 однакова для всіх планет, але не збігається з постійною З 1 у формулі для прискорення, що повідомляється тіл земною кулею.

Вирази (3.2.2) і (3.2.6) показують, що сила тяжіння в обох випадках (тяжіння до Землі і тяжіння до Сонця) повідомляє всім тілам прискорення, яке залежить від їх маси і зменшуються обернено пропорційно квадрату відстані між ними:

Закон всесвітнього тяжіння

Існування залежностей (3.2.1) і (3.2.7) означає, що сила всесвітнього тяжіння

У 1667 р Ньютон остаточно сформулював закон всесвітнього тяжіння:

Сила взаємного тяжіння двох тіл прямо пропорційна добутку мас цих тіл і обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Коефіцієнт пропорційності G називається гравітаційної (2) постійної.

Взаємодія точкових і протяжних тіл

Закон всесвітнього тяжіння (3.2.8) справедливий тільки для таких тіл, розміри яких нехтує малі в порівнянні з відстанню між ними. Інакше кажучи, він справедливий тільки для матеріальних точок. При цьому сили гравітаційної взаємодії спрямовані уздовж лінії, що з'єднує ці точки (рис. 3.5). Подібного роду сили називаються центральними.

Мал. 3.5

Для знаходження сили тяжіння, що діє на дане тіло з боку іншого, в разі, коли розмірами тіл знехтувати не можна, надходять у такий спосіб. Обидва тіла подумки поділяють на такі малі елементи, щоб кожен з них можна було вважати точковим. Складаючи сили тяжіння, що діють на кожен елемент даного тіла з боку всіх елементів іншого тіла, отримують силу, діючу на цей елемент (рис. 3.6). Проробивши таку операцію для кожного елемента даного тіла і склавши отримані сили, знаходять повну силу тяжіння, що діє на це тіло. Завдання це складна.

Мал. 3.6

Є, однак, один практично важливий випадок, коли формула (3.2.8) може бути застосована до протяжним тіл. Можна довести, що сферичні тіла, щільність яких залежить тільки від відстаней до їх центрів, при відстанях між ними, великих суми їх радіусів, притягуються з силами, модулі яких визначаються формулою (3.2.8). У цьому випадку R - це відстань між центрами куль.

І нарешті, так як розміри падаючих на Землю тіл багато менше розмірів Землі, то ці тіла можна розглядати як точкові. Тоді під R у формулі (3.2.8) слід розуміти відстань від даного тіла до центру Землі.

Питання для самоперевірки

1. Відстань від Марса до Сонця на 52% більше відстані від Землі до Сонця. Яка тривалість року на Марсі?
2. Як зміниться сила тяжіння між кулями, якщо алюмінієві кулі (рис. 3.7) замінити сталевими кулями тієї ж маси? того ж обсягу?

Мал. 3.7

(1) Цікаво, що, будучи студентом, Ньютон зрозумів, що Місяць рухається під впливом тяжіння до Землі. Але в той час радіус Землі був відомий неточно, і розрахунки не привели до правильного результату. Лише через 16 років з'явилися нові, виправлені дані, і закон всесвітнього тяжіння був опублікований.

(2) Від латинського слова gravitas - тяжкість.

Дією сил всесвітнього тяжіння в природі пояснюються багато явищ: рух планет в Сонячній системі, штучних супутників Землі, траєкторії польоту балістичних ракет, рух тіл поблизу поверхні Землі - всі вони знаходять пояснення на основі закону всесвітнього тяжіння і законів динаміки.

Закон всесвітнього тяжіння пояснює механічний пристрій Сонячної системи, і закони Кеплера, що описують траєкторії руху планет, можуть бути виведені з нього. Для Кеплера його закони носили чисто описовий характер - вчений просто узагальнив свої спостереження в математичній формі, не підвівши під формули ніяких теоретичних підстав. У великій же системі світоустрою по Ньютону закони Кеплера стають прямим наслідком універсальних законів механіки і закону всесвітнього тяжіння. Тобто ми знову спостерігаємо, як емпіричні висновки, отримані на одному рівні, перетворюються в строго обґрунтовані логічні висновки при переході на наступний щабель поглиблення наших знань про світ.

Ньютон перший висловив думку про те, що гравітаційні сили визначають не тільки рух планет Сонячної системи; вони діють між будь-якими тілами Всесвіту. Одним з проявів сили всесвітнього тяжіння є сила тяжіння - так прийнято називати силу тяжіння тіл до Землі поблизу її поверхні.

Якщо M - маса Землі, RЗ - її радіус, m - маса даного тіла, то сила тяжіння дорівнює

де g - прискорення вільного падіння;

у поверхні Землі

Сила тяжіння спрямована до центру Землі. За відсутності інших сил тіло вільно падає на Землю з прискоренням вільного падіння.

Середнє значення прискорення вільного падіння для різних точок поверхні Землі одно 9,81 м / с2. Знаючи прискорення вільного падіння і радіус Землі (RЗ \u003d 6,38 · 106 м), можна обчислити масу Землі

Картину пристрою сонячної системи, яка з цих рівнянь і об'єднує земну і небесну гравітацію, можна зрозуміти на простому прикладі. Припустимо, ми стоїмо на краю прямовисної скелі, поруч гармата і гірка гарматних ядер. Якщо просто скинути ядро \u200b\u200bз краю обриву по вертикалі, воно почне падати вниз прямовисно і рівноприскореному. Його рух буде описуватися законами Ньютона для рівноприскореного руху тіла з прискоренням g. Якщо тепер випустити ядро \u200b\u200bз гармати в напрямку горизонту, воно полетить - і буде падати по дузі. І в цьому випадку його рух буде описуватися законами Ньютона, тільки тепер вони застосовуються до тіла, що рухається під впливом сили тяжіння і володіє якоюсь початковою швидкістю в горизонтальній площині. Тепер, раз по раз заряджаючи в пушку все більш важке ядро \u200b\u200bі стріляючи, ви виявите, що, оскільки кожне наступне ядро \u200b\u200bвилітає зі ствола з більшою початковою швидкістю, ядра падають все далі і далі від підніжжя скелі.

Тепер уявімо, що ми забили в пушку стільки пороху, що швидкості ядра вистачає, щоб облетіти навколо земної кулі. Якщо знехтувати опором повітря, ядро, облетівши навколо Землі, повернеться в вихідну точку точно з тією ж швидкістю, з якою воно спочатку вилетіло з гармати. Що буде далі, зрозуміло: ядро \u200b\u200bна цьому не зупиниться і буде і продовжувати намотувати коло за колом навколо планети.

Іншими словами, ми отримаємо штучний супутник, Що обертається навколо Землі по орбіті, подібно до природного супутника - Місяця.

Так поетапно ми перейшли від опису руху тіла, що падає виключно під впливом «земної» гравітації (ньютоновского яблука), до опису руху супутника (Місяця) по орбіті, не змінюючи при цьому природи гравітаційного впливу з «земної» на «небесну». Ось це-то прозріння і дозволило Ньютону зв'язати воєдино вважалися до нього різними за своєю природою дві сили гравітаційного тяжіння.

При видаленні від поверхні Землі сила земного тяжіння і прискорення вільного падіння змінюються обернено пропорційно квадрату відстані r до центру Землі. Прикладом системи двох взаємодіючих тіл може служити система Земля-Місяць. Місяць знаходиться від Землі на відстані Rл \u003d 3,84 · 106 м. Це відстань приблизно в 60 разів перевищує радіус Землі RЗ. Отже, прискорення вільного падіння AЛ, обумовлене земним тяжінням, на орбіті Місяця становить

З таким прискоренням, спрямованим до центру Землі, Місяць рухається по орбіті. Отже, це прискорення є доцентровим прискоренням. Його можна розрахувати за кінематичною формулою для центростремительного прискорення

де T \u003d 27,3 сут - період обертання Місяця навколо Землі.

Збіг результатів розрахунків, виконаних різними способами, підтверджує припущення Ньютона про єдину природу сили, що утримує Місяць на орбіті, і сили тяжіння.

Власне гравітаційне поле Місяця визначає прискорення вільного падіння Gл на її поверхні. Маса Місяця в 81 разів менше маси Землі, а її радіус приблизно в 3,7 рази менше радіуса Землі.

Тому прискорення Gл визначиться виразом

В умовах такої слабкої гравітації виявилися космонавти, що висадилися на Місяці. Людина в таких умовах може здійснювати гігантські стрибки. Наприклад, якщо людина в земних умовах підстрибує на висоту 1 м, то на Місяці він міг би підстрибнути на висоту понад 6 м.

Розглянемо питання про штучні супутники Землі. Штучні супутники Землі рухаються за межами земної атмосфери, і на них діють тільки сили тяжіння з боку Землі.

Залежно від початкової швидкості траєкторія космічного тіла може бути різною. Розглянемо випадок руху штучного супутника по круговій навколоземній орбіті. Такі супутники літають на висотах близько 200-300 км, і можна наближено прийняти відстань до центру Землі рівним її радіусу RЗ. Тоді доцентровийприскорення супутника, повідомляє йому силами тяжіння, приблизно дорівнює прискоренню вільного падіння g. Позначимо швидкість супутника на навколоземній орбіті через υ1 - така швидкість називають першою космічною швидкістю. Використовуючи кінематичну формулу для центростремительного прискорення, отримаємо

Рухаючись з такою швидкістю, супутник облітав би Землю за час

Насправді період обертання супутника по круговій орбіті поблизу поверхні Землі трохи перевищує вказане значення через відмінності між радіусом реальної орбіти і радіусом Землі. Рух супутника можна розглядати як вільне падіння, подібне руху снарядів або балістичних ракет. Різниця полягає лише в тому, що швидкість супутника настільки велика, що радіус кривизни його траєкторії дорівнює радіусу Землі.

Для супутників, що рухаються по кругових траєкторіях на значній відстані від Землі, земне тяжіння слабшає назад пропорційно квадрату радіусу r траєкторії. Таким чином, на високих орбітах швидкість руху супутників менше, ніж на навколоземній орбіті.

Період обертання супутника зростає зі збільшенням радіуса орбіти. Неважко підрахувати, що при радіусі r орбіти, що дорівнює приблизно 6,6 RЗ, період обертання супутника виявиться рівним 24 годинам. Супутник з таким періодом обертання, запущений в площині екватора, буде нерухомо висіти над деякою точкою земної поверхні. Такі супутники використовуються в системах космічного радіозв'язку. Орбіта з радіусом r \u003d 6,6 RЗ називається геостаціонарній.

Другою космічною швидкістю називається мінімальна швидкість, яку потрібно повідомити космічному кораблю біля поверхні Землі, щоб він, подолавши земне тяжіння, перетворився в штучний супутник Сонця (штучна планета). При цьому корабель буде віддалятися від Землі по параболічної траєкторії.

Малюнок 5 ілюструє космічні швидкості. якщо швидкість космічного корабля дорівнює υ1 \u003d 7.9 · 103 м / с і спрямована паралельно поверхні Землі, то корабель буде рухатися по круговій орбіті на невеликій висоті над Землею. При початкових швидкостях, що перевищують υ1, але менших υ2 \u003d 11,2 · 103 м / с, орбіта корабля буде еліптичної. При початковій швидкості υ2 корабель буде рухатися по параболі, а при ще більшій початковій швидкості - по гіперболі.

космічні швидкості

Вказані швидкості поблизу поверхні Землі: 1) υ \u003d υ1 - кругова траєкторія;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ \u003d υ2 - параболічна траєкторія; 5) υ\u003e υ2 - гіперболічна траєкторія;

6) траєкторія Місяця

Таким чином, ми з'ясували, що всі рухи в Сонячній системі підкоряються закону всесвітнього тяжіння Ньютона.

Виходячи з малої маси планет і тим більше інших тіл Сонячної системи, можна наближено вважати, що руху в околосолнечном просторі підкоряються законам Кеплера.

Всі тіла рухаються навколо Сонця по еліптичних орбітах, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце. Чим ближче до Сонця небесне тіло, тим швидше його швидкість руху по орбіті (планета Плутон, найдальша з відомих, рухається в 6 разів повільніше Землі).

Тіла можуть рухатися і по розімкненим орбітах: параболі або гіперболі. Це трапляється в тому випадку, якщо швидкість тіла дорівнює або перевищує значення другої космічної швидкості для Сонця на даному видаленні від центрального світила. Якщо мова йде про супутнику планети, то і космічну швидкість треба розраховувати щодо маси планети і відстані до її центру.