Що називається лінійним рівнянням. лінійні рівняння

1. Поняття рівняння з однією змінною

2. Рівносильні рівняння. Теореми про равносильности рівнянь

3. Рішення рівнянь з однією змінною

Рівняння з однією змінною

Візьмемо два вирази зі змінною: 4 хі 5 х + 2. Поєднавши їх знаком рівності, отримаємо пропозицію 4х= 5 х + 2. Воно містить змінну і при підстановці значень змінної звертається в висловлювання. Наприклад, при х \u003d-2 пропозицію 4х= 5 х + 2 звертається в справжнє числове рівність 4 · (-2) \u003d 5 · (-2) + 2, а при х \u003d1 - в помилкове 4 · 1 \u003d 5 · 1 + 2. Тому пропозиція 4х \u003d 5х + 2є висказивательной форма. її називають рівнянням з однієї змінної.

В загалом вигляді рівняння з однією змінною можна визначити так:

Визначення. Нехай f (х) і g (х) - два вирази зі змінною х і областю визначення X. Тоді висказивательной форма виду f (х) \u003d g (х) називається рівнянням з однієї змінної.

значення змінної хз безлічі X,при якому рівняння звертається в справжнє числове рівність, називається коренем рівняння(Або його рішенням). Розв'язати рівняння -це означає знайти безліч його коренів.

Так, коренем рівняння 4х \u003d 5х+ 2, якщо розглядати його на безлічі R дійсних чисел, є число -2. Інших коренів це рівняння не має. Значить безліч його коренів є (-2).

Нехай на множині дійсних чисел задано рівняння ( х - 1) (х+ 2) \u003d 0. Воно має два кореня - числа 1 і -2. Отже, безліч коренів даного рівняння таке: (-2, -1).

рівняння (3х +1)-2 = 6 х + 2, заданий на множині дійсних чисел, звертається в справжнє числове рівність при всіх дійсних значеннях змінної х: Якщо розкрити дужки в лівій частині, то отримаємо 6х + 2 \u003d 6х + 2.У цьому випадку говорять, що його коренем є будь-яке дійсне число, а безліччю коренів безліч всіх дійсних чисел.

рівняння (3х+ 1) · 2 \u003d 6 х + 1, заданий на множині дійсних чисел, не звертається до справжнє числове рівність ні при одному дійсному значенні х:після розкриття дужок в лівій частині отримуємо, що 6 х + 2 = 6х +1, що неможливо ні при одному х.У цьому випадку говорять, що дане рівняння не імееткорней і що безліч його коренів порожньо.

Щоб вирішити будь-яке рівняння, його спочатку перетворюють, замінюючи іншим, більш простим; отримане рівняння знову перетворюють, замінюючи більш простим, і т.д. Цей процес продовжують до тих пір, поки не отримують рівняння, коріння якого можна знайти відомим способом. Але щоб ці корені були корінням заданого рівняння, необхідно, щоб в процесі перетворень вийшли рівняння, безлічі коренів яких збігаються. Такі рівняння називають рівносильними.

клас: 7

Урок № 1.

Тип уроку: закріплення пройденого матеріалу.

Мета уроку:

освітні:

формування навички рішення рівняння з одним невідомим зведенням його до лінійного рівняння з допомогою властивостей равносильности.

Розвиваючі:

формування ясності і точності думки, логічного мислення, елементів алгоритмічної культури;
розвиток математичної мови;
розвиток уваги, пам'яті;
формування навичок саме і взаимопроверки.

виховні:

формування вольові якості;
формування комунікабельність;
вироблення об'єктивної оцінки своїх досягнень;
формування відповідальності.

устаткування: інтерактивна дошка, дошка для фломастерів, картки із завданнями для самостійної роботи, картки для корекції знань для слабоуспевающих учнів, підручник, робочий зошит, Зошит для домашніх робіт, зошит для самостійних робіт.

Хід уроку

2. Перевірка домашнього завдання - 4 хв.

Учні перевіряють домашню роботу, рішення якої виведено зі зворотного боку дошки одним з учнів.

3. Усна робота-6 хв.

(1) Поки йде усний рахунок, слабоуспевающие учні отримують картку для корекції знань і виконують 1), 2), 4) і 6) завдання за зразком. (Див. Додаток 1.)

Картка для корекції знань.

(2) Для інших учнів завдання проектуються на інтерактивну дошку: (Див. презентацію: слайд 2)

Замість зірочки постав знак "+" або "-", а замість точок - числа:
а) (* 5) + (* 7) \u003d 2;
б) (* 8) - (* 8) \u003d (* 4) -12;
в) (* 9) + (* 4) \u003d -5;
г) (-15) - (* ...) \u003d 0;
д) (* 8) + (* ...) \u003d -12;
е) (* 10) - (* ...) \u003d 12.
Склади рівняння, рівносильні рівняння:
а) х - 7 \u003d 5;
б) 2х - 4 \u003d 0;
в) х -11 \u003d х - 7;
г) 2 (х -12) \u003d 2х - 24.

3. Логічна задача:Віка, Наташа і Олена в магазині купили капусту, яблука та моркву. Все купили різні продукти. Віка купила овоч, Наташа - яблука або моркву, Лена купив не овоч. Хто що купив? (Один з учнів, який виконав завдання виходить до дошки і заповнює таблицю.) (Слайд 3)

	Віка	Наташа	Лена
До
Я
М

Заповнити таблицю

	Віка	Наташа	Лена
До	+	–	–
Я	–	–	+
М	–	+	–

4. Узагальнення вміння розв'язувати рівняння зведенням їх до лінійного рівняння -9 хв.

Колективна робота з класом. (Слайд 4)

вирішимо рівняння

12 - (4х - 18) \u003d (36 + 5х) + (28 - 6х). (1)

для цього слід виконати такі перетворення:

1. Розкриємо дужки. Якщо перед дужками стоїть знак "плюс", то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданка, укладеного в дужки. Якщо перед дужками стоїть знак "мінус", то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданка, укладеного в дужки:

12 - 4х + 18 \u003d 36 + 5х + 28 - 6х. (2)

Рівняння (2) і (1) рівносильні:

2. Перенесемо з протилежними знаками невідомі члени так, щоб вони були тільки в одній частині рівняння (або в лівій, або в правій). Одночасно перенесемо відомі члени з протилежними знаками так, щоб вони були тільки в іншій частині рівняння.

Наприклад, перенесемо з протилежними знаками невідомі члени в ліву, а відомі - в праву частину рівняння, тоді отримаємо рівняння

- 4х - 5х + 6х \u003d 36 + 28 - 18 - 12, (3)

рівносильне рівнянню (2) , А отже, і рівняння (1) .

3. Наведемо подібні доданки:

-3х \u003d 34. (4)

рівняння (4) рівносильне рівнянню (3) , А отже, і рівняння (1) .

4. Розділимо обидві частини рівняння (4) на коефіцієнт при невідомому.

отримане рівняння х \u003d буде рівносильне рівнянню (4), а отже, і рівнянням (3), (2), (1)

Тому коренем рівняння (1) буде число

За цією схемою (алгоритмом) вирішуємо рівняння на сьогоднішньому уроці:

Розкрити дужки.
Зібрати члени, що містять невідомі, в одній частині рівняння, а інші члени в інший.
Привести подібні члени.
Розділити обидві частини рівняння на коефіцієнт при невідомому.

Примітка: слід зазначити, що наведена схема не є обов'язковою, так як часто зустрічаються рівняння, для вирішення яких деякі із зазначених етапів виявляються непотрібними. При вирішенні ж інших рівнянь буває простіше відступити від цієї схеми, як, наприклад, в рівнянні:

7 (х - 2) \u003d 42.

5. тренувальні вправи - 8 хв.

№ № 132 (а, г), 135 (а, г), 138 (б, г) - з коментарем і записом на дошці.

6. Самостійна робота - 14 хв. (Виконується в зошитах для самостійних робіт з подальшою взаємоперевіркою перевіркою; відповіді будуть відображені на інтерактивній дошці)

перед самостійною роботою учням буде запропоновано завдання на кмітливість - 2 хв.

Не відриваючи олівець від паперу і не проходячи двічі по одному і тому ж ділянці лінії, накресліть роздруковане лист. (Слайд 5)

(Учні використовують пластикові листи і фломастери.)

1. Вирішити рівняння (на картках) (Див. Додаток 2)

Додаткове завдання №135 (б, в).

7. Підведення підсумків уроку - 1 хв.

Алгоритм відомості рівняння до лінійного рівняння.

8. Повідомлення домашнього завдання - 2 хв.

п.6, № № 136 (а-г), 240 (а), 243 (а, б), 224 (Роз'яснити зміст домашнього завдання).

Урок № 2.

Мета уроку:

освітні:

повторення правил, систематизація, поглиблення і розширення ЗУНов учнів за рішенням лінійних рівнянь;
формування вміння застосовувати отримані знання при вирішенні рівнянь різними способами.

Розвиваючі:

розвиток інтелектуальних умінь: аналізу алгоритму рішення рівняння, логічного мислення при побудові алгоритму рішення рівняння, варіативності вибору способу розв'язання, систематизації рівнянь щодо способів вирішення;
розвиток математичної мови;
розвиток зорової пам'яті.

виховні:

виховання пізнавальної активності;
формування навичок самоконтролю, взаємоконтролю і самооцінки;
виховання почуття відповідальності, взаємодопомоги;
прищеплення акуратності, математичної грамотності;
виховання почуття товариства, ввічливості, дисциплінованості, відповідальності;
Здоров'язбереження.

а) освітня: повторення правил, систематизація, поглиблення і розширення ЗУНов учнів за рішенням лінійних рівнянь;

б) розвиваюча: розвиток гнучкості мислення, пам'яті, уваги і кмітливості;

в) виховна: прищеплення інтересу до предмета і до історії рідного краю.

устаткування: інтерактивна дошка, сигнальні картки (зелена і червона), листи з тестової роботою, підручник, робочий зошит, зошит для домашніх робіт, зошит для самостійних робіт.

Форма роботи: індивідуальна, колективна.

Хід уроку

1. організаційний момент - 1 хв.

Привітати учнів, перевірити їх готовність до уроку, оголосити тему уроку і мета уроку.

2. Усна робота - 10 хв.

(Завдання для усного рахунку виводяться на інтерактивну дошку.) (Слайд 6)

1) Вирішіть завдання:

а) Мама старше дочки на 22 роки. Скільки років мамі, якщо їм разом 46 років
б) У родині троє братів і кожен наступний молодше попереднього в два рази. Разом всім братам 21 рік. Скільки років кожному?

2) Вирішіть рівняння:(Пояснити)

4) Пояснити завдання з домашньої роботи, Що викликали утруднення.

3. Виконання вправ - 10 хв. (Слайд 8)

(1) Якому нерівності задовольняє корінь рівняння:

а) x\u003e 1;
б) x< 0;
в) x\u003e 0;
г) x< –1.

(2) При якому значенні вираженні у значення виразу 2у - 4 в 5 разів менше значення вираження 5у - 10?

(3) При якому значенні k рівняння kx - 9 \u003d 0 має корінь рівний - 2?

Подивися і запам'ятай (7 секунд). (Слайд 9)

Через 30 секунд учні відтворюють малюнок на пластикових аркушах.

4. Фізкультхвилинка - 1,5 хв.

Вправа для очей і для рук

(Учні дивляться і повторюють вправи, які проектуються на інтерактивну дошку.)

5. Самостійна тестова робота - 15 хв.

(Учні виконують тестову роботу в зошитах для самостійних робіт, дублюючи відповіді в робочих зошитах. Здавши тести, учні звіряють відповіді з відповідями, відображеними на дошці)

Учні, що впоралися з роботою раніше всіх, допомагають слабоуспевающім учням.

6. Підведення підсумків уроку - 2 хв.

- Яке рівняння з однією змінною називається лінійним?

- Що називається коренем рівняння?

- Що значить "вирішити рівняння"?

- Скільки коренів може мати рівняння?

7. Повідомлення домашнього завдання. - 1 хв.

п.6, № № 294 (а, б), 244, 241 (а, в), 240 (г) - Рівень А, В

п.6, № № 244, 241 (б, в), 243 (в), 239, 237- Рівень С

(Роз'яснити зміст домашнього завдання.)

8. Рефлексія - 0,5 хв.

- Ви задоволені своєю роботою на уроці?

- Який вид діяльності вам сподобався найбільше на уроці.

література:

Алгебра 7. / Ю.Н. Макаричєв, Н.Г. Мандюк, К.І. Пєшков, С.В. Суворова. Під редакцією С.А. Теляковского. / М .: Просвещение, 1989 - 2006.
Збірник тестових завдань для тематичного та підсумкового контролю. Алгебра 7 клас / Гусєва І.Л., Пушкін С.А., Рибакова Н.В.. Загальна ред .: Татур А.О. - М .: "Інтелект-Центр" 2009 - 160 с.
поурочні планування з алгебри. / Т.Н.Еріна. Посібник для вчителів / М: Изд. "Іспит", 2008. - 302, с.
Картки для корекції знань з математики для 7 класу. / Левітас Г.Г. / М .: Ілекса, 2000. - 56 с.

Рівність зі змінною f (х) \u003d g (х) називається рівнянням з однієї змінної х. Будь-яке значення змінної, при якому f (х) і g (х) приймають рівні числові значення, називається коренем такого рівняння. Отже, вирішити рівняння - означає знайти всі корені рівняння або довести, що їх немає.

Рівняння x 2 + 1 \u003d 0 не має дійсних коренів, але має коріння уявні: в даному випадку це коріння х 1 \u003d i, х 2 \u003d -i. Надалі нас же будуть цікавити лише дійсні корені рівняння.

Якщо рівняння мають однакові корені, то вони називаються рівносильними. Ті рівняння, які коріння не мають, відносяться до рівносильним.

Визначимо, рівносильні чи рівняння:

а) х + 2 \u003d 5 і х + 5 \u003d 8

1. Вирішимо перше рівняння

2. Вирішимо друге рівняння

Коріння рівнянь збігаються, тому х + 2 \u003d 5 і х + 5 \u003d 8 рівносильні.

б) x 2 + 1 \u003d 0 і 2x 2 + 5 \u003d 0

Обидва даних рівняння не мають дійсних коренів, тому є рівносильними.

в) х - 5 \u003d 1 і x 2 \u003d 36

1. Знайдемо коріння першого рівняння

2. Знайдемо коріння другого рівняння

х 1 \u003d 6, х 2 \u003d -6

Коріння рівнянь не збігаються, тому х - 5 \u003d 1 і x 2 \u003d 36 нерівносильні.

При вирішенні рівняння його намагаються замінити рівносильним, але більш простим рівнянням. Тому важливо знати, в результаті яких перетворень дане рівняння переходить в рівнянь, рівносильне йому.

Теорема 1. Якщо в рівнянні з однієї частини в іншу перенести будь-яке доданок, змінивши при цьому знак, то вийде рівняння, рівносильне даному.

Наприклад, рівняння x 2 + 2 \u003d 3х рівносильне рівнянню x 2 + 2 - 3х \u003d 0.

Теорема 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число (не рівне нулю), то вийде рівняння, рівносильне даному.

Наприклад, рівняння (x 2 - 1) / 3 \u003d 2х рівносильне рівнянню x 2 - 1 \u003d 6х. Обидві частини першого рівняння ми помножили на 3.

Лінійним рівнянням з однієї змінної називається рівняння виду ах \u003d b, де а і b - дійсні числа, причому а називається коефіцієнтом при змінної, а b - вільним членом.

Розглянемо три випадки для лінійного рівняння ах \u003d b.

1. а ≠ 0. У такому випадку х \u003d b / а (тому що а відмінно від нуля).

2. а \u003d 0, b \u003d 0. Рівняння набуде вигляду: 0 ∙ х \u003d 0. Це рівняння вірно при будь-якому х, тобто корінь рівняння - будь-яке дійсне число.

3. а \u003d 0, b ≠ 0. В даному випадку рівняння не буде мати коренів, тому що поділ на нуль заборонено (0 ∙ х \u003d b).

В результаті перетворень багато рівняння зводяться до лінійних.

вирішимо рівняння

а) (1/5) х + 2/15 \u003d 0

1. Перенесемо компонент 2/15 з лівої частини рівняння в праву з протилежним знаком. Таке перетворення регламентується теоремою 1. Отже, рівняння набуде вигляду: (1/5) х \u003d -2/15.

2. Щоб позбутися від знаменника, домножимо обидві частини рівняння на 15. Зробити це дозволяє нам теорема 2. Отже, рівняння набуде вигляду:

(1/5) х ∙ 15 \u003d - 2/15 ∙ 15

Т.ч., корінь рівняння дорівнює -2/3.

б) 2/3 + х / 4 + (1 - х) / 6 \u003d 5х / 12 - 1

1. Щоб позбутися від знаменника, домножимо обидві частини зрівняний ия на 12 (по теоремі 2). Рівняння прийме вигляд:

12 (2/3 + х / 4 + (1 - х) / 6) \u003d 12 (5х / 12 - 1)

8 + 3х + 2 - 2х \u003d 5х - 12

10 + х \u003d 5х - 12

2. Користуючись теоремою 1, «зберемо» все числа праворуч, а компоненти з х - зліва. Рівняння прийме вигляд:

10 +12 \u003d 5х - х

Т.ч., корінь рівняння дорівнює 5,5.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Рівність зі змінною називають рівнянням.
Вирішити рівняння - означає знайти безліч його коренів. Рівняння може мати один, два, кілька, безліч коренів або не мати їх зовсім.
Кожне значення змінної, при якому дане рівняння перетворюється в правильну рівність, називається коренем рівняння.
Рівняння, які мають одні і ті ж коріння, називаються рівносильними рівняннями.
Будь-яке доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний.
Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

Приклади. Розв'язати рівняння.

1. 1,5х + 4 \u003d 0,3х-2.

1,5х-0,3х \u003d -2-4. Зібрали складові, що містять змінну, в лівій частині рівності, а вільні члени - в правій частині рівності. При цьому застосовували властивість:

1,2х \u003d -6. Привели подібні доданки за правилом:

х \u003d -6 : 1,2. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінної, так як

х \u003d -5. Ділили за правилом ділення десяткового дробу на десяткову дріб:

щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно перенести коми в подільному і дільнику на стільки цифр вправо, скільки їх стоїть після коми в дільнику, а потім виконати поділ на натуральне число:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

відповідь: 5.

2. 3∙ (2х-9) \u003d 4 ∙ (Х-4).

6х-27 \u003d 4х-16. Розкрили дужки, використовуючи розподільний закон множення щодо вирахування: (A-b) ∙ c \u003d a ∙ c-b ∙ c.

6х-4х \u003d -16 + 27. Зібрали складові, що містять змінну, в лівій частині рівності, а вільні члени - в правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-який доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний.

2х \u003d 11. Привели подібні доданки за правилом: щоб привести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і отриманий результат помножити на їх загальну буквенную частина (тобто до отриманого результату приписати їх загальну буквенную частина).

х \u003d 11 : 2. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінної, так як якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

відповідь: 5,5.

3. 7х- (3 +2 х) \u003d х-9.

7х-3-2х \u003d х-9. Розкрили дужки за правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак «-»: якщо перед дужками стоїть знак «-», то прибираємо дужки, знак «-» і записуємо складові, які стояли в дужках, з протилежними знаками.

7х-2х-х \u003d -9 + 3. Зібрали складові, що містять змінну, в лівій частині рівності, а вільні члени - в правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-який доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний.

4х \u003d -6. Привели подібні доданки за правилом: щоб привести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і отриманий результат помножити на їх загальну буквенную частина (тобто до отриманого результату приписати їх загальну буквенную частина).

х \u003d -6 : 4. Обидві частини рівності розділили на коефіцієнт при змінної, так як якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

відповідь: -1,5.

3 ∙ (Х-5) \u003d 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Помножили обидві частини рівності на 12 - найменший спільний знаменник для знаменників даних дробів.

3х-15 \u003d 84-8х + 44. Розкрили дужки, використовуючи розподільний закон множення щодо вирахування: щоб різниця двох чисел помножити на третє число, можна окремо зменшуване і окремо від'ємник помножити на третє число, а потім з першого результату відняти другий результат, тобто (A-b) ∙ c \u003d a ∙ c-b ∙ c.

3х + 8х \u003d 84 + 44 + 15. Зібрали складові, що містять змінну, в лівій частині рівності, а вільні члени - в правій частині рівності. При цьому застосовували властивість: будь-який доданок рівняння можна перенести з однієї частини рівності в іншу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний.

лінійне рівняння - це рівняння алгебри. У цьому рівнянні повна ступінь складових його многочленів дорівнює одиниці.

Лінійні рівняння представляють у такому вигляді:

У загальній формі: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b = 0

У канонічної формі: a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n \u003d b.

Лінійне рівняння з однією змінною.

Лінійне рівняння з 1-ої змінної приводиться до вигляду:

ax+ b=0.

наприклад:

2х + 7 \u003d 0. де а \u003d 2, b \u003d 7;

0,1 х - 2,3 \u003d 0. де а \u003d 0,1, b \u003d -2,3;

12х + 1/2 \u003d 0. де а \u003d 12, b \u003d 1/2.

Число коренів залежно від a і b:

коли a= b=0 , Значить, у рівняння є необмежене число рішень, так як.

коли a=0 , b≠ 0 , Значить, у рівняння немає коренів, так як.

коли a ≠ 0 , Значить, у рівняння є тільки один корінь.

Лінійне рівняння з двома змінними.

Рівнянням зі змінною x є рівність типу A (x) \u003d B (x), де A (x) і B (x) - вираження від x. При підстановці безлічі T значень xв рівняння отримуємо справжнє числове рівність, яке називається безліччю істинності цього рівняння або рішення заданого рівняння, А всі такі значення змінної - корені рівняння.

Лінійні рівняння 2-х змінних представляють в такому вигляді:

У загальній формі: ax + by + c \u003d 0,

У канонічної формі: ax + by \u003d -c,

У формі лінійної функції: y \u003d kx + m, де .

Рішенням або корінням цього рівняння є така пара значень змінних (X; y), Яка перетворює його в тотожність. Цих рішень (коренів) у лінійного рівняння з 2-ма змінними необмежену кількість. Геометричною моделлю (графіком) даного рівняння є пряма y \u003d kx + m.

Якщо в рівнянні є ікс в квадраті, то таке рівняння називається