Нарича се свързаната нормална форма на логическа функция. Конюнктивни форми на логически функции

Обикновен съчетание наречен съчетание един или няколко променливи, за то е всеки променлива среща не повече ▼ един време (или себе си, или неяс отрицание).

Например, е проста връзка,

График нормално формуляр (DNF) наречен disjuncing. прост съюза.

Например изразът е DNF.

Съвършенство график нормално формуляр (SDNF) наречен такива график нормално формата, w. който в всеки съчетание inter. всичко променливи това . \\ T (или себе си, или тях отричане), освен това в един и том същотопоръчка.

Например изразът е DNF, но не и SDNF. Изразяване е CDNF.

Подобни определения (с подмяната на връзка за дизюнкция и обратно) са верни за PFF и SCFF. Ние даваме точна формулировка.

Обикновен disjuncing. наречен disjuncing. един или няколко променливи, за то е всеки променлива включен не повече ▼ един време (или себе си, или неяс отрицание). Например изразът е прост дискерсия,

Конюнктивен нормално формуляр (KNF) наречен съчетание прост разширения (например изразът - PFF).

Перфектната конюнктивна форма (SCPF) се нарича такава QFF, в която всяка проста дисама функция включва всички променливи на този списък (или сами, или от отричане) и по същия начин.

Например изразяване е SKPF.

Представяме всички преходни алгоритми от една форма в друга. Естествено, в конкретни случаи (с определен творчески подход), използването на алгоритми е повече време, отколкото прости трансформации, които използват специфичен вид на този формуляр:

а) Преход от DNF към KNF

Алгоритъмът на този преход е следният: поставен върху DNF два отричания и с помощта на правилата на de Morgan (не докосваща горна отричане) дайте отново dnf отново на DNF. В същото време е необходимо да разкривате скоби, като използвате правилото за абсорбция (или правилата на Блейк). Отричането на получените DNF (отново според правилото de morgan) незабавно ни дава CNF:

Имайте предвид, че CNF може да бъде получен от първоначалния израз, ако направите w. за скоби;

б) преход от KNF към DNF

Този преход се извършва чрез просто разкриване на скобите (отново се използва правилото за абсорбция)

Така те получиха DNF.

Обратният преход (от SDNF към DNF) е свързан с проблема за минимизиране на DNF. Това ще бъде разказано в раздел. 5, тук ще покажем как да опростим DNF (или SDNF) според правилото на Блейк. Такъв DNF се нарича съкратено DNF;

в) намаляване на DNF (или SDNF) правило Блейк

Прилагането на това правило се състои от две части:

Ако има основи сред разочарованието в DNF , след това добавете концепция за всички disjunction ДА СЕ 1 ДА СЕ 2. Ние правим тази операция няколко пъти (може да бъде последователно, можете едновременно) за всички възможни двойки условия и след това да приложите обичайната абсорбция;

Ако добавеният термин вече беше запазен в DNF, той може да бъде изхвърлен изобщо, например,

или

Разбира се, съкратеният DNF не се определя от единствения, но всички те съдържат същия брой букви (например, има DNF След като се приложим към него, правилата на Блейк могат да бъдат достигнати до DNF, еквивалентни на това):

в) преход от DNF към SDNF

Ако в някаква проста връзка липсва променлива, например, z., поставете изразяването в него, след което разкриваме скобите (с повтарящите се дисжинктивни условия не пишат). Например:

г) Преход от KNF към Skff

Този преход се извършва по начин, подобен на предишния: ако няма достатъчно променлива в проста дисавация (например, z., Аз добавям израз на него (това не променя самото дизговор), след което разкриваме скоби, използвайки закона за разпространение):

Така Skff се получава от PFF.

Имайте предвид, че минималният или съкратеният PFF обикновено се получава от съответния DNF.

Нормални форми на логически функции Представянето на млечната функция под формата на дизюнкция на конюнктивни термини състав на единицата Ki 2.7 се нарича дисунктивна нормална форма на DNF на тази функция. Съдържа точно една от всички логически променливи, приети с откази или без тях, тази форма на функционално представяне се нарича персозна дисунктивна нормална форма на SDNF на тази функция. Както може да се види при приготвянето на функцията SDNF, е необходимо да се направи дискрункция на всички Minerms, в които функцията отнема стойност 1.

Ако тази работа не се появи в долната част на страницата, има списък с подобни произведения. Можете също да използвате бутона за търсене.

Лекция 1.xx.

Нормални форми на логически функции

Представителство на булевата функция под формата на дизюнкция на конюнктивните термини (съставна част на единици)К I.

, (2.7)

наречен дисунктивна нормална форма. (DNF) на тази функция.

Ако всички съединителни термини в DNF саminerma. , т.е. съдържат точно един от всички логически променливи, взети с или без да отрича, тогава се нарича такава форма на представяне на функцияперсективна нормална форма (SDNF. ) Тази функция. SDNF се наричасъвършенство Защото всеки термин в дизюнкцията включва всички променливи;график Тъй като основната операция във формулата е disjuncount. Концепция "нормална форма."Означава недвусмислен метод за записване на формула, която изпълнява определената функция.

Като се има предвид горното, следната теорема следва от теорема 2.1.

Теорема 2. Всяка булева функция(не е еднаква идентично 0) може да бъде представен в SDNF, .

Пример 3. Нека имаме функция за таблицаf (x 1, x 2, x 3) (Таблица 10).

Таблица 10.

Въз основа на формула (2.6) получаваме:

Както може да се види, когато се компилира от SDNF, функциите трябва да бъдат дизюнкции на всички minerms, в които функцията отнема стойност 1.

Представяне на млечна функция под формата на връзка с дисжидтивни термини (нулева съставка)D I.

, (2.8)

наречен конюнктивна нормална форма. (Pff) на тази функция.

Ако всички дисунктивни условия на PFF саmastermami. , т.е. съдържа точно един логичен променлива функциявзети с откази или без тях, тогава такъв CNF се наричаперфектна нормална форма (SKFF) на тази функция.

Теорема 3. Всяка булева функция(не са равни идентично 1) може да бъде представен в Skff, И такова представителство е единственото.

Доказателството на теорема може да се извърши подобно на доказателството на теорема 2.1 въз основа на следната Шанън лема върху конюнктивното разлагане.

Лема Шанън . Всяка булева функцияf (x 1, x 2, ..., x m) от m Променливите могат да бъдат представени така:

. (2.9)

Трябва да се отбележи, че и двете форми на представляване на логическата функция (DNF и PFF) са теоретично равни в техните възможности: всяка логична формула може да бъде представена както в DNF (с изключение на идентичната нула) и в KNF (с изключение на. \\ T идентична единица). В зависимост от ситуацията, представянето на функцията в една или друго може да бъде по-кратка.

На практика най-често се използва DNF., тъй като този формуляр е по-познат за човек: от детството, той е познат на поставяне на работи, отколкото умножават сумите (в последен случай Той интуитивно изглежда желанието да разкрие скобите и да премине през DNF).

Пример 4. За функция F (x 1, x 2, x 3 ) Посочена таблица. 10, напишете своята SCFF.

За разлика от SDNF, когато компилирате Skff в таблицата с истината, трябва да гледате комбинациите от променливи, в които функцията отнема стойност 0 и направете свързването на съответните MacStersms,но променливите трябва да бъдат взети с обратна инверсия:

Трябва да се отбележи, че е невъзможно да се движи директно от SDNF към неговия SCBF или обратно. Когато се опитате да опитате такива трансформации, функциите, които се получават, се получават. Експресията за SDNF и SCFF функция могат да бъдат получени само от нейната таблица за истината.

Пример 5. За функция F (x 1, x 2, x 3 ) Посочена таблица. 10, опитайте се да се движите от SDNF към Skff.

Използвайки резултата от Пример 2.3 Ще получим:

Както може да се види, при общото инверсия, се получава SCFF на логическа функция, която е обратна по отношение на функцията, получена в Пример 2.4:

тъй като. Съдържа всички майстори, които не са в израза за SCFF на въпросната функция.

1. Използване на свойствата на операциите (виж Таблица 9) идентичност (), сумата на модула 2 (), импликация (), отидете на операции и, или, не (в була).

2. Използване на свойствата на отричане и закони de morgan (виж Таблица 9) Ние постигаме отречените операции само за отделни променливи, а не на цели изрази.

3. Използване на свойствата на логическите операции и или (виж Таблица 9), получаваме нормална форма (DNF или PFF).

4. Ако е необходимо, продължете към перфектни форми (SDNF или SCPF). Например, за да получите SCPF, често е необходимо да се използва имотът :.

Пример 6. Конвертиране на логическа функция в Skff

Изпълнявате, за да направите стъпките над алгоритъма, дадени по-горе, получаваме:

Използване на абсорбционния имот, ние получаваме:

Така че имаме функцията PFFf (x 1, x 2, x 3 ). За да го получите SKKF, имате нужда от всяко нарушение, което няма променлива, повторете два пъти - с тази променлива и с отказа:

2.2.6. Минимизиране на логическите функции

Тъй като една и съща логическа функция може да бъде представена отz. лични формули, след това намиране на най-простия PHOr. мулета, която определя булева функция, опростява логическата схема, която прилага Boolean Funчесто срещани Минимална форма L.относно функция на горите На някаква основа тя може да се счита за такава, която съдържа минималния брой суперпозиции на забавлениеда се основа, позволяваща и скоби. Въпреки това е трудно да се изгради ефективнол. gorite такова минимизиране, за да се получи минималната скобаr ние.

Помислете за по-опростен минимум проблем в синтеза на комбинирани вериги, в които се търси минималната форма на функцията и неговия минимален DNF. За тази задача има прости ефективни алгоритми.

Метод на qwaina.

Минимизираната функция е представена в SDNF и всички възможни непълни лепене се прилагат към него.

, (2.10)

и след това абсорбцията

, (2.11)

и тази двойка стъпки се използва многократно. Така е възможно да се намали рангът на термини. Тази процедура се повтаря, докато не е нито един термин, който позволява лепене с други термични.

забележи това лявата част Уравнения (2.10) биха могли незабавно да намалят по-прост и очевиден начин:

Този метод е лош в това, с такова пряко минимизиране, конюнктивно термини или изчезват, въпреки че все още има случаи на тяхното използване за залепване и абсорбиране с останалите термиони.

Трябва да се отбележи, че методът на Kwain е доста време, поради което вероятността за предположение за грешка по време на трансформациите е доста голяма. Но предимството му е, че теоретично, може да се използва за произволен брой аргументи и с увеличаване на броя на променливите, трансформациите не са сложни толкова много.

Метод Карно

Метод на карти (таблици) CARNO е по-визуален, по-малко време и надежден начин за минимизиране на логическите функции, но използването му е практически ограничено до функциите на 3-4 променливи, максимум - 5-6 променливи.

Карта Carno. - Това е двуизмерна таблична форма на представяне на истината на млечната функция, което позволява в графично визуална форма да се намери лесно минималната DNF на логическите функции. Всяка клетка на таблицата се сравнява с миньор на SDNF на минимизирана функция, така че при всякакви оси на симетрията на таблицата съответстват на зоните, взаимно обратна за всяка променлива. Това клетъчно място в таблицата улеснява определянето на лепене на CDNF (характеризиращ се с инверсия само една променлива): те са разположени в таблицата симетрично.

Таблични маси и карнанова карта за функции и или два над. промените са представени на фиг. 8. Във всяка клетка на картата се записвано функция на подходящия набор от стойности на аргумn tov.

А) и б) или

Фиг. осем. Примерна карта на CARNO за функции на две променливи

На картата карта за функция и само един 1, така че не може да се залепи с нищо. Изразът за минималната функция ще бъде само терминът, съответстващ на това 1:

f \u003d x y.

Carnot карта за функция или вече три 1 и можете да направите два лепене двойки, с 1, съответстваща на технитеxy. Използва се два пъти. В израза за минималната функция трябва да запишете термините за залепена пара, оставяйки всички променливи в тях, които за тази двойка не се променят и премахват променливите, които променят стойността си. За хоризонтално залепване получавамех. и за вертикално -y. , в крайна сметка получаваме изразяване

f \u003d x + y.

На фиг. 9 показва истинните таблици на две функции на три променливи (но ) и техните карти на CARNO (b и c). Функция F 2. Той се различава от първия факт, че той не е дефиниран на три групи променливи (в таблицата той е обозначен с престой).

При определяне на минималната DNF функция се използват следните правила. Всички клетки, съдържащи 1, са комбинирани в затворени правоъгълни зони, наречениk -kubami, където k \u003d log 2 k, k - номер 1 в правоъгълна област. В същото време всеки регион трябва да бъде правоъгълник с броя на клетките 2k, където k \u003d 0, 1, 2, 3, .... За k \u003d 1 правоъгълник, нареченедин кубичен и съдържа 2 1 \u003d 2 единици; За k \u003d 2 правоъгълник съдържа 22 \u003d 4 единици и извиканидве кубични; при K \u003d 3 от региона 2 3 \u003d 8 наречени единицитри кубически Шпакловка и т.н. Единици, които не могат да бъдат комбинирани в правоъгълници, можете да се обадитенулеви кубчета които съдържат само една единица (20 \u003d 1). Както може да се види, когаток. областите могат да имат квадратна форма (но не непременно) и с нечетнок. - само правоъгълници.

Фиг. девет. Примерна карта на CARNO за три променливи функции

Тези зони могат да се пресичат, т.е. същите клетки могат да влязат различни области. След това минималната DNF функция се записва като дизюнкция на всички конюнктивни термини, съответстващи нак - кубчета.

Всяка от посочените области на картата на CARNO е представена в минималната DNF връзка, броя на аргументите, в коиток. по-малко от общия брой аргументи на функциятам. , т.е. този брой е равенm - К. . Всяка връзка на минималния DNF се съставя само от тези аргументи, които имат стойности за съответната област на картата или без инверсии, или само с инверсия, т.е. не променят стойността си.

Така, когато обхващат клетките на картата, затворените региони трябва да се стремят да гарантират, че броят на зони е минимален и всеки регион съдържа по-голям брой клетки, тъй като той ще бъде минималният брой членове в минималния DNF и номера на аргументи в съответната връзка ще бъде минимална.

За функция на картата на CARNO на фиг. девет,b Намиране

защото за горните затворени променливиx 1 и x 2 материя без инверсии за по-нискиx 1. Има значение с инверсия иx 3 - без инверсия.

Неразумни стойности в картата на фиг. девет,в Можете да одобрите, подменяте нула или единица. За тази характеристика е ясно, че и двете несигурни стойности са по-изгодни за заместване 1. В същото време се формират две зони, които са различни видове 2-кубчета. След това изразът за минималната функция на DNF ще бъде както следва:

При изграждането на затворени зони, сгъваемата карта в цилиндъра е позволена и хоризонтална иr. тикалски оси с асоциацията на противоположните лицаr. вие, т.е. единици, разположени по ръбовете на картата на Carno Symmetry° С. но може да се комбинира.

Карналните карти могат да се рисуват по различни начини (фиг. 10).

а Б.

Фиг. 10. Различни начини на картите карти CARNO
За функция 3 променливи

Но най-удобните варианти на carno карти за функции 2-4 променливи са показани на фиг. 11 маси, защото в тях за всяко клетъчно шоуно всички променливи в пряка или обратна форма.

а Б.

Фиг. единадесет. Най-удобният образ на картите на Carno
За функции 3 (а) и 4 б) променливи

За функции 5 и 6 променливи, методът, показан на фиг. 10,в.

Фиг. 12. Image карта Carno за функция 5 променливи

Фиг. 13. Image Карта на CARNO за функция 6 Променливи

Нормална форма. логическа формула Не съдържа знаци за импликация, еквивалентност и отказ на нееплични формули.

Нормалната форма съществува в два вида:

конюнктивна нормална форма (KNF) - Съединение на няколко диверсации, например, $ лява (a, vee ourline (b) vee c вдясно) клин отляво (a, vee c вдясно) $;

фактивна форма (DNF) - disjunction на няколко съюза, например, $ лява (a kedge overline (b) клин c вдясно) vee остави (b leged c вдясно) $.

Наклек

Перфектна нормална форма (SCFF) - Това е CNF, удовлетворяваща три условия:

не съдържа същата елементарна дизюнкция;

нито една от disjunction не съдържа същите променливи;

всяка елементарна дисавация съдържа всяка променлива от включените в тази PFF.

Всяка булева формула, която не е идентично вярна, може да бъде представена в Skff.

Правила за изграждане на SCFF на таблицата за истината

За всеки набор от променливи, в които функцията е 0, сумата се записва и променливите, които имат 1, се вземат с отрицание.

SDNF.

Персективна нормална форма (SDNF) - Това е DNF, удовлетворяваща три условия:

не съдържа същите елементарни съюзи;

нито един от съединенията не съдържа същите променливи;

всяка елементарна връзка съдържа всяка променлива от тези, включени в този DNF, освен в същия ред.

Всяка булева формула, която не е идентично невярна, може да бъде представена в SDNF, освен единствения начин.

Правила за изграждане на SDNF на таблицата за истината

За всеки набор от променливи, в които функцията е 1, продуктът е написан и променливите, които имат стойност 0, се вземат с отрицание.

Примери за намиране на SCPF и SDNF

Пример 1.

Запишете логическа функция чрез таблицата на истината:

Снимка 1.

Решение:

Използваме правилото за изграждане на SDNF:

Фигура 2.

Ще получим SDNF:

Използваме правилото за изграждане на SCFF.

Въвеждаме концепцията за елементарна дизюнкция.

Елементарната дизюнкция се нарича израз

Конюнктивната нормална форма (pff) на логическата функция е свързването на всеки краен набор от двойки различни елементарни нарушения. Например логически функции

представляват съединенията на елементарни нарушения. Следователно те се записват в конюнктивна нормална форма.

Производствената логическа функция, определена от аналитичния израз, може да бъде дадена на PFF, като изпълнява следните операции:

Използване на правилото за инверсия, ако операцията по отрицание се прилага към логически израз;

Използване на разпределителни аксиоми по отношение на умножаването:

Използване на операцията по абсорбция:

Изключения при нарушения на повтарящи се променливи или техните откази;

Отстраняване на всички идентични елементарни нарушения, с изключение на един;

Отстраняването на всички нарушения, които едновременно влизат в променливата и нейната отричане.

Правосъдието на изброените операции следва от основните оси и идентичната връзка на логическата алгебра.

Конюнктивната нормална форма се нарича перфектно, ако всяка входяща елементарна разлика съдържа в пряка или обратна форма всички променливи, на които зависи функцията.

Преобразуването на CNF към перфектното CNF се извършва чрез извършване на следните операции:

Добавяне към всяка елементарна дизюнкция на конюнктури на променливи и техните отричания, ако те не са включени в тази елементарна дизюнкция;

Използване на разпределителни аксиоми;

Отстраняване на всички идентични елементарни нарушения, с изключение на един.

В перфектното CNF може да бъде представена всяка логическа функция, с изключение на

идентичен равна единица (). Отличителна черта на перфектната КНФ е, че представянето на логическа функция е уникално.

Елементарните прекъсвания, включени в перфектната функция на PFF, се наричат \u200b\u200bсъставка на нула. Всяка съставка на нула, която е включена в перфектната KNF, превръща се на нула върху единствения набор от променливи, което е нулев набор от функция. Следователно броят на нулевите набори от логическа функция съвпада с броя на съставната част на нула, включена в перфектната си PFF.

Логическата функция на нулевата константа в перфектната KNF е комбинация 2NonstustuN Zero. Ние формулираме правило за компилиране на логическа функция на SCFF на масивната таблица.

За всеки ред от таблицата за кореспонденция, в която функцията е нула, е съставена елементарната дизюнкция на всички променливи. В същото време самата променлива влиза в дизюнкцията, ако стойността му е нула, или отказ, ако стойността му е една. Получените елементарни диверсии се комбинират чрез знака за свързване.

Пример 3.4.За логическата функция Z (x), дадена таблица на съответствие 2.2, ние определяме перфектна конюнктивна форма.

За първия ред на таблицата, който съответства на нулевия набор от функции 000, намираме съставната част на нула. Чрез извършване на подобни операции за втората, третата и петата линии, ние определяме желаната перфектна функция на PFF:

Трябва да се отбележи, че за функции броят на единичните групи надвишава броя на нулевите комплекти, по-компактният е тяхното влизане под формата на SCFF и обратно.