След предварителна подготовка за изкуство примерите ще бъдат по-малко ужасни, с 3-4-5 прикачени файлове на функции. Може би следващите два примера ще изглеждат някои сложни, но ако ги разберат (някой и пилинг), тогава почти всичко останало в диференциално смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2.

Намерете деривативна функция

Както е отбелязано, когато намирането на дериват комплексна функцияпърво от всички необходими дясноРазбиране на инвестиции. В случаите, когато има съмнения, напомням полезно приемане: ние приемаме експерименталното значение на "X", например и опитвам (умствено или в проект), за да заменим тази стойност в "ужасния израз".

1) Първо, трябва да изчислим израза, това означава, че сумата е най-дълбоката инвестиция.

2) Тогава е необходимо да се изчисли логаритъмът:

4) след това косинус да се изгради в куб:

5) В петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е квадратен корен:

Функция за формула за диференциация Формула Б. обратен редот самата външна функция до най-вътрешния. Ние решаваме:

Изглежда без грешки:

1) Вземете дериват от корен квадратен.

2) Вземете дериват за разликата, използвайки правилото

3) Производството на тройка е нула. Във втория мандат приемаме производно в степен (Куба).

4) Ние приемаме косинусно производно.

6) и най-накрая вземат дериват на най-дълбоките инвестиции.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-бруталният пример. Вземете, например, колекцията Кузнецов и ще оцените красотата и простотата на разглобената дериват. Забелязах, че обичам да дам подобно нещо, за да дам на изпита, за да проверя, разбира студент как да намеря дериват на сложна функция или не разбирам.

Следния пример за самостоятелност.

Пример 3.

Намерете деривативна функция

Съвет: Първо прилагайте правилата за линейност и извличане на работата

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да се преместим в нещо по-компактно и красиво.
Ситуацията не е рядкост, когато примерът е даден продукт от не две, а три функции. Как да намерим производно от работата на трима мултипликатори?

Пример 4.

Намерете деривативна функция

Първо, погледнете и дали е невъзможно да се превърне работата на три функции в работата на две функции? Например, ако имахме два полинома в работата, би било възможно да се разкрият скоби. Но в този пример всички функции са различни: степен, изложител и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователностприлагане на производството на диференциране на правилата два пъти

Фокусът е, че за "y" обозначаваме продукта от две функции: и за "ve" - \u200b\u200bлогаритъм :. Защо може да се направи това? И не - Това не е работа на два мултипликатори и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава вторият път да приложите правилото До скоба:

Все още можете да играете и да вземете нещо зад скобите, но в този случай отговорът е по-добре да напуснете в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Считаният пример може да бъде решен по втория начин:

И двата решения са абсолютно равни.

Пример 5.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение, в извадката той е разрешен в първия начин.

Обмислете подобни примери с фракции.

Пример 6.

Намерете деривативна функция

Тук можете да отидете няколко начина:

Или нещо такова:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако първо използва правилото за частна диференциация , Приемане за целия числител:

По принцип, пример е решен и ако го оставите в този формуляр, той няма да е грешка. Но в присъствието на време винаги е препоръчително да се проверява в проекта и е възможно да се опрости отговора?

Представяме израз на числителя общ знаменател и се отървете от триетажни фракции:

Минусът на допълнителни опростявания е, че съществува риск да се позволи грешка да не е повече, когато производителят вече е основател, но когато са банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често запомнят задачата и искат да "донесат" дериват ".

По-опростен пример за саморешения:

Пример 7.

Намерете деривативна функция

Ние продължаваме да научаваме приеманията на деривата и сега ще разгледаме типичен случай, когато се предлага "страшен" логаритъм за диференциация

Комплексни деривати. Логаритмично производно.
Силова процедура индикативна функция

Продължаваме да увеличаваме техниката на диференциране. На този урок Ние ще консолидираме завършения материал, да разгледаме по-сложни деривати и да се запознаем с нови техники и трикове за намиране на производно, по-специално с логаритмично производно.

Че читателите, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се свържат с статията Как да намерим дериват? Примери за решениякоето ще повиши уменията ви почти от нулата. След това трябва внимателно да научите страницата Деривативна сложна функция, разбирам и прекъсваме всичко Примерите, дадени от мен. Този урок логично трети пореден и след неговото развитие ще разграничите доста сложни функции. Необходимо е да се придържат към позицията "Къде другаде? Да, и достатъчно! ", Тъй като всички примери и техники се вземат от реално тестова работа И често се срещат на практика.

Да започнем с повторението. В урока Деривативна сложна функцияразгледахме редица примери с подробни коментари. По време на изследването на диференциалното мнение и други раздели математически анализ - Необходимо е да се прави много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да рисуват примерите в много подробни. Ето защо ние практикуваме в устната основа на дериватите. Най-подходящите "кандидати" за това са деривати на най-простите сложни функции, например:

Според правилото на диференциацията на сложна функция :

При изучаването на други теми на Матан в бъдеще такъв подробна информация най-често не се изисква, се предполага, че ученикът може да намери подобни производни на автопилотската машина. Представете си, че в 3 часа през нощта имаше телефонно обаждане и хубав глас попита: "Какво е допирателното производно на два х?". Трябва да се спазват почти мигновени и любезни отговори. .

Първият пример ще бъде незабавно предназначен за независимо решение.

Пример 1.

Намерете следните деривати орално, в едно действие, например :. За да изпълните задачата, трябва да използвате само таблица на производни на елементарни функции (Ако все още не е запомнила). Ако е трудно, препоръчвам препрочитане на урока Деривативна сложна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Комплексни деривати

След предварителна подготовка за изкуство примерите ще бъдат по-малко ужасни, с 3-4-5 прикачени файлове на функции. Може би следващите два примера ще изглеждат някои сложни, но ако ги разберат (някой и пилинг), тогава почти всичко останало в диференциално смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2.

Намерете деривативна функция

Както е отбелязано, когато намирането на деривативна сложна функция, преди всичко, е необходимо дясноРазбиране на инвестиции. В случаите, когато има съмнения, напомням полезно приемане: ние приемаме експерименталното значение на "X", например и опитвам (умствено или в проект), за да заменим тази стойност в "ужасния израз".

1) Първо, трябва да изчислим израза, това означава, че сумата е най-дълбоката инвестиция.

2) Тогава е необходимо да се изчисли логаритъмът:

4) след това косинус да се изгради в куб:

5) В петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е квадратен корен:

Функция за формула за диференциация Формула Тя ще бъде приложена в обратен ред, от самата външна функция до най-вътрешния. Ние решаваме:

Изглежда грешка ....

(1) Вземете производно от квадратен корен.

(2) Вземете дериват за разликата, използвайки правилото

(3) Производството на тройката е нула. Във втория мандат приемаме производно в степен (Куба).

(4) Вземете косинусно производно.

(5) Вземете дериват на логаритъм.

(6) И накрая, ние приемаме дериват на най-дълбоките инвестиции.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-бруталният пример. Вземете, например, колекцията Кузнецов и ще оцените красотата и простотата на разглобената дериват. Забелязах, че обичам да дам подобно нещо, за да дам на изпита, за да проверя, разбира студент как да намеря дериват на сложна функция или не разбирам.

Следният пример е за независимо решение.

Пример 3.

Намерете деривативна функция

Съвет: Първо прилагайте правилата за линейност и извличане на работата

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да се преместим в нещо по-компактно и красиво.
Ситуацията не е рядкост, когато примерът е даден продукт от не две, а три функции. Как да намерим производно от работата на трима мултипликатори?

Пример 4.

Намерете деривативна функция

Първо, погледнете и дали е невъзможно да се превърне работата на три функции в работата на две функции? Например, ако имахме два полинома в работата, би било възможно да се разкрият скоби. Но в този пример всички функции са различни: степен, изложител и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователностприлагане на производството на диференциране на правилата два пъти

Фокусът е, че за "y" обозначаваме продукта от две функции: и за "ve" - \u200b\u200bлогаритъм :. Защо може да се направи това? И не - Това не е работа на два мултипликатори и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава вторият път да приложите правилото До скоба:

Все още можете да играете и да вземете нещо зад скобите, но в този случай отговорът е по-добре да напуснете в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Считаният пример може да бъде решен по втория начин:

И двата решения са абсолютно равни.

Пример 5.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение, в извадката той е разрешен в първия начин.

Обмислете подобни примери с фракции.

Пример 6.

Намерете деривативна функция

Тук можете да отидете няколко начина:

Или нещо такова:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако първо използва правилото за частна диференциация , Приемане за целия числител:

По принцип, пример е решен и ако го оставите в този формуляр, той няма да е грешка. Но в присъствието на време винаги е препоръчително да се проверява в проекта и е възможно да се опрости отговора? Даваме израз на числителя на общия знаменател и да се \u200b\u200bотървете от три етажни фракции:

Минусът на допълнителни опростявания е, че съществува риск да се позволи грешка да не е повече, когато производителят вече е основател, но когато са банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често запомнят задачата и искат да "донесат" дериват ".

По-опростен пример за саморешения:

Пример 7.

Намерете деривативна функция

Ние продължаваме да научаваме приеманията на деривата и сега ще разгледаме типичен случай, когато се предлага "страшен" логаритъм за диференциация

Пример 8.

Намерете деривативна функция

Тук можете да отидете дълго, като използвате правилото за диференциация на сложна функция:

Но първата стъпка веднага се превръща в униние - да се вземе неприятно производно на фракционна степен, а след това и от фракцията.

Следователно преди Как да се вземе дериват от "трудния" логаритъм, тя е предварително опростена с помощта на известни училищни имоти:

! Ако ръката ви има тетрадка с практика, пренапишете тези формули точно там. Ако няма тетрадка, преначертайте ги на листовката, тъй като останалите примери за урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да бъде издадено нещо подобно:

Конвертираме функцията:

Намерете дериват:

Предварителната трансформация на самата функция значително опрости разтвора. Така, когато подобен логаритъм се предлага за диференциация, винаги е препоръчително да се "унищожи".

И сега чифт прости примери за независимо решение:

Пример 9.

Намерете деривативна функция

Пример 10.

Намерете деривативна функция

Всички трансформации и отговори в края на урока.

Логаритмично производно

Ако производно на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът и дали е невъзможно да се организира логаритъм в някои случаи? Мога! И дори нужда.

Пример 11.

Намерете деривативна функция

Свързани примери, които наскоро разгледахме. Какво да правя? Възможно е последователно да се прилага правилото за диференциране, а след това правилото за деривация на продукта. Недостатъкът на метода е, че един огромен триетажен изстрел, с който изобщо не искам да се занимавам.

Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмично производно. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, "навигиране" на двете части:

Забележка : Защото Функцията може да отнеме отрицателни стойности, след това като цяло, трябва да използвате модули: което ще изчезне в резултат на диференциация. Въпреки това, сегашната декорация е разрешена, където по подразбиране се взема предвид. комплекс стойности. Но ако с цялата строгост, тогава в това и в друг случай трябва да направите резервация.

Сега трябва да "разкъсате" логаритъма на дясната страна (формула пред очите ви?). Ще попия този процес много подробно:

Всъщност преминете към диференциация.
Ние сключваме и двете части под баркода:

Деривата на дясната страна е доста проста, няма да го коментирам, защото ако прочетете този текст, трябва да успеете да се справите с него.

Как да бъдем с лявата страна?

В лявата част на нас комплексна функция. Предполагам, че въпросът: "Защо има една Букова" Иварек "под логаритъма?".

Факт е, че този "един BUCCH на играта" - Само по себе си е функция (Ако не е много ясно, вижте изделието, получено от функцията, посочена имплицитно). Следователно логаритъмът е външна функция, а "Igrek" е вътрешна функция. И използваме правилото за диференциация на сложна функция :

В лявата страна, като магическа пръчка, деривата "нарисува" рисувана ". Освен това, според правилото на съотношението, ние хвърляме "Igarek" от знаменателя на лявата страна до върха на дясната страна:

И сега си спомням какви са такива "Igrek" - разсъждавахме се с диференциацията? Разглеждаме състоянието:

Окончателен отговор:

Пример 12.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение. Пример за проба дизайн този вид в края на урока.

С помощта на логаритмично производно, всеки от примерите № 4-7 може да бъде решен, друго нещо е, че има по-лесно и може би използването на логаритмично производно не е твърде оправдано.

Производно на постепенната индикативна функция

Все още не сме разглеждали тази функция. Поетапната индикативна функция е функция и степента и основата зависят от "X". Класически пример, който ще бъде даден във всеки учебник или във всяка лекция:

Как да намерим производно от поетапно индикативна функция?

Необходимо е да се използва току-що разгледано от приемането - логаритмичното производно. Поставяне на логаритми на двете части:

По правило в дясната част на логаритъма се прави степен:

В резултат на дясната страна имахме продукт от две функции, които ще бъдат диференцирани по стандартната формула .

Ние намираме дериват, за това сключваме и двете части за докосването:

Следващи стъпки са лесни:

Накрая:

Ако някоя трансформация не е напълно ясна, моля, внимателно прочетете обясненията на пример № 11.

В практически задачи Поетапната индикативна функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания лекционен пример.

Пример 13.

Намерете деривативна функция

Използвайте логаритмичното производно.

В дясната част имаме постоянна и дело на два фактора - "Iksa" и "логаритъм логаритъм" (за логаритъм още един логаритъм). Когато диференцирате постоянна, както си спомняме, по-добре е незабавно да извадите производна знака, така че да не пречи на краката; И, разбира се, прилагаме познато правило :

В този урок ще се научим да намираме деривативна сложна функция. Урокът е логично продължение на класовете Как да намерим дериват?Когато разглобяваме най-простите деривати, и също се запознахме с правилата за диференциация и някои технически техники за намиране на деривати. Така, ако не сте много ясни с деривати на функции, няма да сте напълно ясни, след това първо прочетете горния урок. Моля, задайте на сериозен начин - материалът не е прост, но аз все още се опитвам да го изключите просто и достъпно.

На практика дериват на сложна функция трябва да се изправи много често, дори бих казал, почти винаги, когато задачите да намерите деривати.

Разглеждаме таблицата за правило (№ 5) на диференциация на сложна функция:

Разбираме. На първо място, обърнете внимание на записа. Тук имаме две функции - и освен това функцията, образно казаното, се инвестира във функцията. Функцията от този тип (когато една функция е вградена в друга) и се нарича сложна функция.

Ще се обадя на функцията външна функцияи функция - Вътрешна (или вложена) функция.

! Тези дефиниции не са теоретични и не трябва да се появяват в буталото на задачите. Използвам неформални изрази "външна функция", "вътрешна" функция само за да ви улеснят да разберете материала.

За да се изясни ситуацията, помислете:

Пример 1.

Намерете деривативна функция

Под синуса не сме само буквата "X", но цяло число, така че няма да е възможно да се намери дериват веднага на масата. Също така забелязваме, че тук е невъзможно да се прилагат първите четири правила, изглежда, че има значение, но фактът е, че синусът не е "разделен на части":

В този пример Вече от моите обяснения е интуитивно, че функцията е сложна функция, а полиномът е вътрешна функция (приспособление) и е външна функция.

Първа стъпкада изпълнявате, когато намирането на деривативна комплексна функция е разберете каква функция е вътрешна и каква е външната.

В случай на прости примери, изглежда изглежда, че полиномът се инвестира под синус. Но какво, ако всичко не е очевидно? Как да определим точно каква функция е външна и какво е вътрешното? За да направите това, предлагам да използвам следващото приемане, което може да се извърши психически или върху проекта.

Представете си, че трябва да изчислим стойността на стойността на експресията на калкулатора (вместо единица може да има някакъв номер).

Какво изчисляваме първо? Преди всичко Ще трябва да извършите следното:, следователно, полиномът и ще бъде вътрешна функция:

Второ Ще бъде необходимо да се намери, така синус - това ще бъде външна функция:

След We Са разбрали С вътрешни и външни функции е време да приложите правилото за диференциация на сложна функция.

Започваме да решаваме. От урок Как да намерим дериват? Спомням си, че декорацията на решението на всяко производно винаги започва така - сключваме израз в скобите и поставени вдясно в горната част на баркода:

Първо Намерете производно на външната функция (синус), ние разглеждаме таблицата на дериватите елементарни функции И забелязваме това. Всички таблични формули са приложими и в случая, ако "X" се заменя със сложен израз, в такъв случай:

Обърнете внимание, че вътрешната функция не се промени, ние не я докосваме.

Е, съвсем очевидно е

Резултатът от прилагането на формулата в буталото изглежда така:

Постоянен мултипликатор обикновено издържа на изрази:

Ако остава никакво недоразумение, пренапишете решението за хартия и отново прочетете обясненията.

Пример 2.

Намерете деривативна функция

Пример 3.

Намерете деривативна функция

Както винаги, пишете:

Разбираме къде имаме външна функция и къде е вътрешното. За да направите това, опитайте (умствено или в проект), за да изчислите стойността на израза. Какво трябва да се извърши първо? Преди всичко е необходимо да се брои това, което е равно на базата:, това означава, че полиномът е вътрешна функция:

И едва тогава упражнението се извършва в степента, следователно, функцията на захранването е външна функция:

Според формулата първо трябва да намерите производно от външната функция, в този случай, в степента. Исках в таблицата необходима формула:. Повторете отново: всяка таблична формула е валидна не само за "X", но и за сложна експресия. Така резултатът от прилагането на диференциационния режим на сложна функция е както следва:

Отново подчертавам, че когато вземем производно на външна функция, вътрешната функция не се променя с нас:

Сега остава да се намери напълно просто производно от вътрешната функция и малко "разресване" в резултата:

Пример 4.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).

За да се осигури разбиране на деривативната сложна функция, ще дам пример без коментар, опитвам се да го разбера, боя, където външната и къде е вътрешната функция, защо задачите са решени по този начин?

Пример 5.

а) Намерете дериватна функция

б) Намерете дериватна функция

Пример 6.

Намерете деривативна функция

Тук имаме корен, и за да информираме корена, тя трябва да бъде представена под формата на степен. По този начин първо дайте функцията на правилната форма:

Анализ на функцията, заключаваме, че сумата от трите термина е вътрешна функция, а външната функция е външната функция. Прилагане на правилото за диференциация на сложна функция:

Степента отново представлява под формата на радикал (root) и за производно на вътрешната функция, използвайте просто правило на размера на диференциацията:

Готов. Можете също да поставите израз на генералния знаменател и да запишете с една фракция в скоби. Красива, разбира се, но когато се получават обемисти дълго деривати - по-добре е да не се прави това (лесно е да се обърка, за да позволи ненужна грешка, а учителят ще се провери неудобно).

Пример 7.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).

Интересно е да се отбележи, че понякога вместо процедурата за диференциация на сложна функция можете да използвате правилото за диференциране на съотношение , Но такова решение ще изглежда като измамливо забавление. Ето един характерен пример:

Пример 8.

Намерете деривативна функция

Тук можете да използвате правилото за диференциране на съотношение Но е много по-изгодно да се намери дериват чрез правило за диференциране на сложна функция:

Ние подготвяме функцията за диференциация - вземаме минус на знак на производно, а косинусът в числатора:

Косинусът е вътрешна функция, външната функция е външна функция.
Ние използваме нашето правило:

Ние намираме дериват на вътрешната функция, косинусът изхвърля обратно:

Готов. В изследвания пример е важно да не се бърка в знаци. Между другото, опитайте се да го решите да използвате правилото. Отговорите трябва да съвпадат.

Пример 9.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).

Досега сме разгледали случаи, когато в нашата сложна функция са били само една инвестиция. В практическите задачи често е възможно да се изпълнят производни, където, както MatRyoshki, един към друг, са вградени на веднъж 3, или дори 4-5 функции.

Пример 10.

Намерете деривативна функция

Ние разбираме в инвестициите на тази функция. Опитваме се да изчислим израза, използвайки експерименталната стойност. Как ще вярваме на калкулатора?

Първо трябва да намерите, това означава, че Arksinus е най-дълбоката инвестиция:

Тогава този арксинус трябва да бъде вграден в квадрата:

И накрая, седемте се издигат в степен:

Това е, в този пример, имаме три различни функции и две приставки, докато вътрешната функция е арксинус, а самата външна функция е индикативна функция.

Започваме да решаваме

Според правилото първо трябва да вземете дериват от външната функция. Разглеждаме таблицата на дериватите и намират производно на индикативната функция: единствената разлика е вместо "X" имаме труден израз, който не отменя валидността на тази формула. Така че, резултатът от прилагането на диференциационния режим на сложна функция е както следва:

Под хода отново имаме сложна функция! Но това е по-лесно. Лесно е да се уверите, че вътрешната функция е Arxinus, външната функция е степен. Според диференциацията на сложна функция първо трябва да вземете дериват.

Ако г.(х.) I. е.(улавяне) - диференциални функции на техните аргументи, съответно в точки х. и улавяне= г.(х.), тогава сложната функция също е диференцирана в точката х.и се намира по формулата

Типична грешка в решаването на задачи към дериватите - автоматичното прехвърляне на правилата за диференциация на прости функции на сложни функции. Ще се научим да избягваме тази грешка.

Пример 2.Намерете деривативна функция

Погрешно решение: Изчислете естествения логаритъм на всеки термин в скоби и потърсете количеството производни:

Правилно решение: Отново определяме къде "ябълката" и къде "смляна". Тук естественият логаритъм от израза в скоби е "ябълка", т.е. функцията на междинния аргумент улавянеи изразът в скоби е "смлян", т.е. междинен аргумент улавяне на независима променлива х..

След това (прилагане на формула 14 от таблицата с дериватите)

В много реални задачи изразът с логаритъм е донякъде по-сложен, така че има урок

Пример 3.Намерете деривативна функция

Погрешно решение:

Правилното решение. Още веднъж определяме къде "ябълката" и къде "смляна". Тук косинусът от експресията в скоби (формула 7 в таблицата на производните) е "ябълката", която се приготвя в режим 1, който засяга само върху него и изразът в скоби (производна степен 3 в дериватите) Таблица) е "мляно", приготвя се в 2 режима, засягайки само върху него. И както винаги свързваме две деривати със знака на работата. Резултат:

Производството на сложна логаритмична функция е често срещана задача при тестване, така че ние силно препоръчваме да посетите урока "деривативна логаритмична функция".

Първите примери бяха на сложни функции, при които междинният аргумент за независима променлива е проста функция. Но в практически задачи често е необходимо да се намери производно на сложна функция, където междинният аргумент или сам по себе си е сложна функция или съдържа такава функция. Какво да правите в такива случаи? Намерете деривати на такива функции за таблици и правила за диференциация. Когато е намерено производно на междинния аргумент, той просто е заместен в желаното място с формулата. По-долу са два примера, както е направено.

Освен това е полезно да се знае следното. Ако сложната функция може да бъде представена като верига от три функции

тя трябва да бъде намерена като продукт на деривати на всяка от тези функции:

За да разрешите много от домашните си, може да се наложи да отворите ползите в новите прозорци. Действия с градуси и корени и Действия с фракции .

Пример 4.Намерете деривативна функция

Прилагайте правилото за диференциране на сложна функция, без да забравяте, че в получения продукт на производни междинни аргументи за независима променлива х. не се променя:

Ние подготвяме втората фабрика на работата и прилагаме правилото за диференциране на сумата:

Следователно вторият термин е коренът

Така се получава, че междинен аргумент, който е сумата, като един от тервите съдържа сложна функция: изграждането на сложна функция и факта, че е вграден в диплома - междинен аргумент за независима променлива х..

Следователно, приложите правилото за диференциация на сложна функция:

Степента на първия фактор се трансформира в корена и диференцирането на втория фактор, не забравяйте, че постоянното производно е нула:

Сега можем да намерим производа на междинния аргумент, необходим за изчисляване на проблема, необходим от проблема с деривативната функция y.:

Пример 5.Намерете деривативна функция

Първо използвайте размера на диференциацията на сумата:

Получи количеството деривати на две сложни функции. Намерете първия от тях:

Тук изграждането на синус в степен е сложна функция, а самият синус е междинен аргумент за независима променлива х.. Следователно използваме правилото за диференциране на сложна функция, по пътя разширяване на множител за скоби :

Сега откриваме втория мандат от формирането на функцията y.:

Тук е изграждането на косинус в степен - сложна функция е.и самият косинус е междинен аргумент за независима променлива х.. Ще използваме правилото на диференциацията на комплекса:

Резултатът е желаното производно:

Таблица на производните на някои сложни функции

За сложни функции въз основа на правилото на диференциацията на сложната функция, формулата на производителя на проста функция приема друг вид.

1. Производен комплекс функция на захранванетокъдето улавяне х.
2. Производен корен от изразяване
3. Индикативна функция на деривата
4. Частен случай на индикативна функция
5. Деривативна логаритмична функция с произволна положителна база но
6. Деривативна сложна логаритмична функция, където улавяне - функция за диференциален аргумент х.
7. Синусово производно
8. Косинусно производно
9. Допирателна дериват
10. Дериват на котяните
11. Дериват на Arksinus.
12. Арккосинус дериватив
13. Арктанген производно
14. Дериват на Arkkothangence

Работата на намирането на дериват се нарича диференциация.

В резултат на решаването на проблеми при намирането на деривати от най-простите (и не много прости) функции за определяне на производа като граница на отношението към аргумента, се появиха таблица на дериватите и точно определени правила за диференциация. Isaac Newton (1643-1727) и Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) са първи за сферата на констатациите на дериватите.

Ето защо, в наше време, да се намери производно на всяка функция, не е необходимо да се изчислява горната граница на съотношението на увеличаването на функцията за увеличаване на аргумента и трябва да използвате таблицата на дериватите и правилата за диференциация . За да намерите производа, е подходящ следният алгоритъм.

За да намерите дериватае необходимо за изразяване под знака на инсулта разглобете компонентите на простите функции и определете какви действия (Работа, сума, частна) Тези функции са свързани. След това дериватите на елементарни функции се намират в таблицата на дериватите и формулите на деривати, суми и частни - в правилата за диференциация. Таблица на дериватите и правилата за диференциация се дават след първите два примера.

Пример 1. Намерете деривативна функция

Решение. От правилата на диференциацията разбрахме, че производителят на функциите на функциите е количеството деривати, т.е.

От таблицата на дериватите откриваме, че производителят на "ICCA" е равен на един, а синусовото производно е косинус. Ние заместваме тези стойности в количеството деривати и откриваме необходимото условие на дериват на задачите:

Пример 2. Намерете деривативна функция

Решение. Разграничаване като дериватна сума, в която може да се постигне втория термин с постоянен фактор с дериватен знак:

Ако все още има въпроси, откъдето е взето, те обикновено се изясняват след запознаване с дериватите на таблицата и най-простите правила за диференциация. Сега отиваме при тях.

Таблица на извлечените прости функции

1. Производителна константа (номера). Всеки номер (1, 2, 5, 200 ...), който е в експресията на функцията. Винаги равен на нула. Много е важно да се помни, тъй като е необходимо много често
2. производно на независима променлива. Най-често "iksa". Винаги равен на един. Също така е важно за дълго време.
3. Получена степен. Степента в решаването на задачи, от които се нуждаете, за да конвертирате некуражените корени.
4. Променливо производно към степен -1
5. Квадратно дериват на корен
6. Синусово производно
7. Косинусно производно
8. Деривативна допирателна
9. Дериват на котяните
10. Дериват на Arksinus.
11. Дериват на Arckosinus.
12. Арктанген производно
13. Арккотангенно производно
14. Дериват на естествен логаритъм
15. Деривативна логаритмична функция
16. Изложба на дериват
17. Деривативна индикативна функция

Правила за диференциация

1. Деривативна сума или разлика
2. Деривативна работа
2а. Производно на израза, умножено по постоянен мултипликатор
3. Частна деривация
4. Деривативна сложна функция

Правило 1. Ако функции

различно в някакъв момент, след това в една и съща точка диференцират и функции

и

тези. Производството на алгебричното количество функции е равно на алгебричното количество производни на тези функции.

Следствие. Ако две диференцирани функции се различават по постоянен срок, техните деривати са равни.

Правило 2.Ако функции

различно в някакъв момент, след това в същата точка по различен начин и тяхната работа

и

тези. Производството на двете функции е равно на количеството на произведенията на всяка от тези функции върху различното производно.

Следствие 1. Постоянен множител може да бъде направен за производна оценка:

Следствие 2. Производството на работата на няколко диференцирани функции е равно на количеството на продуктите на производителя на всеки от факторите на всички други.

Например, за трима мултипликатори:

Правило 3.Ако функции

разлика в някакъв момент и , след това в този момент по различен начин и тяхното личноu / v, и

тези. Производството на частните две функции е равно на фракцията, чиято числителят е разликата в продуктите на знаменателя върху производителя на числителя и числителя на производно на знаменател, а знаменателят е квадратът на предишния числатор .

Където какво да търсите на други страници

При намирането на производно на работата и частните в реални задачи винаги могат да се прилагат няколко правила за диференциация, така че повече примери за тези деривати - в статията"Деривативна работа и частни функции".

Коментар.Не трябва да се бърка от постоянна (т.е. броя) като термин в сумата и като постоянен мултипликатор! В случай на основата, производно е нула, а в случай на постоянен мултипликатор, той се представя за признаците на деривати. то типична грешкакойто отговаря на началния етап на изучаване на дериватите, но тъй като няколко едноетапни примера вече са решени, средният ученик не прави тази грешка.

И ако, с диференциацията на работата или частното, се появи термин улавяне"в. , в който улавяне - номер, например, 2 или 5, т.е. постоянно, производно на този брой ще бъде нула и следователно целият термин ще бъде нула (такъв случай се разглобява в пример 10).

Друга честота е механично решение на деривативна сложна функция като производно на проста функция. Следователно деривативна сложна функция Специална отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.

В курса не се правят без трансформации на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите ползите в новите прозорци. Действия с градуси и корени и Действия с фракции .

Ако търсите решения на деривати с градуси и корени, т.е. когато функцията е като вид , Следвайте професията "производно на фракции с градуси и корени".

Ако имате задача , след това сте на "деривати на прости тригонометрични функции".

Стъпка по стъпка примери - как да се намери производно

Пример 3. Намерете деривативна функция

Решение. Определяме частта от изразяването на функцията: цялото изразяване представлява работата и факторите са суми, през които един от термините съдържа постоянен мултипликатор. Използваме извличане на продукта: производно на работата на две функции е равно на размера на произведенията на всяка от тези функции върху различното производно: \\ t

След това прилагайте размера на размера на диференциацията: производно на алгебричното количество функции е равно на алгебричното количество производни на тези функции. В нашия случай всяка сума е вторият термин с минус знак. Във всяка сума виждаме и независима променлива, чието производно е равно на едно, и константата (номер), производно е нула. Така че "X" се превръщаме в едно и минус 5 - в нула. Във втория израз "X" се умножава по 2, така че двете се умножават по едно и също тяло като производно на "IKSA". Получаваме следните стойности на дериватите:

Ние заменяме установените производни в количеството произведения и получаваме необходимото условие за проблема с производителя на цялата функция:

И можете да проверите решението на производно проблема.

Пример 4. Намерете деривативна функция

Решение. Трябва да намерим частна деривация. Използване на формулата за диференциация на частното: производителят на частните две функции е равен на фракцията, чиято число е разликата на продуктите на знаменателя върху производителя на числителя и числителя на деривата на знаменателя и на деноминатора Знаменателят е квадрата на предишния числатор. Получаваме:

Вече намерихме производно на факторите в Numertel в примера 2. Дори няма да забравя, че работата, която е втората фабрика в цифровия номер в текущия пример, се приема с минус знак:

Ако търсите решения на такива задачи, в които е необходимо да се намери деривативна функция, където твърдите раси на корените и степените, като например, , след това добре дошли в професията "Дериват на фракции с градуси и корени" .

Ако трябва да научите повече за синусовите производни, косинус, допирателни и други тригонометрични функции, т.е. когато функцията изглежда тогава сте на урока "Деривати на прости тригонометрични функции" .

Пример 5. Намерете деривативна функция

Решение. В тази функция виждаме работата, един от факторите, чийто е квадратен корен от независима променлива, с производно, на което сме прочели таблицата на производните. Според деривацията на продукта и таблицата на производството на квадратния корен, получаваме:

Проверете решението на проблема на производа може да бъде включен калкулаторни деривати онлайн .

Пример 6. Намерете деривативна функция

Решение. В тази функция виждаме частни, което е квадратен корен от независима променлива. Според правилото на диференциацията на частното, което повторихме и прилагахме в пример 4, получаваме таблета на площадката на производното на корен:

За да се отървете от фракцията в числителя, умножете цифровия и знаменател.