Решете задачата за неравенство 15 изпит. Работата на Манов "логаритмични неравенства в изпита"
ЛОГАРИТМИЧНИ НЕРАВЕНСТВА В ИЗПОЛЗВАНЕТО
Сечин Михаил Александрович
Малка академия на науките за студенти на Република Казахстан "Търсач"
МБОУ "Съветско средно училище № 1", 11 клас, гр. Съветски съветски окръг
Гунко Людмила Дмитриевна, учител в MBOU "Съветско средно училище № 1"
Съветски район
Обективен:изследване на механизма на решението логаритмични неравенства C3 с помощта на нестандартни методи, откриване интересни фактилогаритъм.
Предмет на изследване:
3) Научете се да решавате специфични логаритмични C3 неравенства с помощта на нестандартни методи.
Резултати:
Съдържание
Въведение…………………………………………………………………………………………………….4
Глава 1. Предистория……………………………………………………………………5
Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства ………………………… 7
2.1. Еквивалентни преходи и обобщения метод на интервалите…………… 7
2.2. Метод на рационализация ……………………………………………………………………… 15
2.3. Нестандартна замяна…………………………………………………………………………………………………………………………. ..... 22
2.4. Задачи с капани…………………………………………………… 27
Заключение……………………………………………………………………………… 30
Литература………………………………………………………………………………. 31
Въведение
Аз съм 11 клас и смятам да вляза в университета, където профилна темае математика. И затова работя много със задачите от част C. В задача C3 трябва да решите нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. Докато се подготвях за изпита, се сблъсках с проблема с липсата на методи и техники за решаване на изпитните логаритмични неравенства, предлагани в C3. Методи, които се изучават в училищна програмапо тази тема, не предоставят основа за решаване на задачи C3. Учителката по математика ми предложи да работя самостоятелно със задачите C3 под нейно ръководство. Освен това ме интересуваше въпросът: има ли логаритми в живота ни?
Имайки предвид това, темата беше избрана:
"Логаритмични неравенства в изпита"
Обективен:изследване на механизма за решаване на C3 задачи с помощта на нестандартни методи, разкриващи интересни факти за логаритъма.
Предмет на изследване:
1) Намерете необходимата информацияза нестандартни методи за решаване на логаритмични неравенства.
2) Намерете допълнителна информация за логаритмите.
3) Научете се да решавате конкретни задачи C3, използвайки нестандартни методи.
Резултати:
Практическото значение е в разширяването на апарата за решаване на задачи C3. Този материал може да се използва в някои уроци, за провеждане на кръгове, извънкласни дейностиматематика.
Продуктът на проекта ще бъде колекцията „Логаритмични C3 неравенства с решения”.
Глава 1. Предистория
През 16-ти век броят на приблизителните изчисления бързо нараства, главно в астрономията. Усъвършенстването на инструментите, изучаването на планетарните движения и друга работа изискваха колосални, понякога много години, изчисления. Астрономията беше в реална опасност да се удави в неизпълнени изчисления. Трудности възникнаха и в други области, например в застрахователния бизнес бяха необходими таблици със сложни лихви за различни значенияпроцента. Основната трудност беше умножение, деление многоцифрени числа, особено тригонометрични величини.
Откриването на логаритмите се основава на добре познатите свойства на прогресиите от края на 16 век. Относно комуникацията между членовете геометрична прогресия q, q2, q3, ... и аритметична прогресиятехните показатели са 1, 2, 3, ... Архимед говори в "Псалмита". Друга предпоставка беше разширяването на концепцията за степен до отрицателни и дробни показатели. Много автори посочват, че умножението, делението, повишаването на степен и извличането на корен експоненциално съответстват в аритметиката – в същия ред – събиране, изваждане, умножение и деление.
Тук беше идеята за логаритъма като степен.
В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.
Етап 1
Логаритмите са изобретени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Нейпиер (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бурги (1552-1632). И двамата искаха да предоставят ново удобно средство за аритметични изчисления, въпреки че подходиха към този проблем по различни начини. Napier кинематично изрази логаритмичната функция и по този начин влезе в нея нова зонатеория на функциите. Bürgi остана въз основа на разглеждането на дискретни прогресии. Дефиницията на логаритъма и за двете обаче не е подобна на съвременната. Терминът "логаритъм" (логаритъм) принадлежи на Нейпиер. Възникна от комбинация от гръцки думи: logos - "връзка" и ariqmo - "число", което означава "брой отношения". Първоначално Нейпиър използва различен термин: numeri artificiales - "изкуствени числа", за разлика от numeri naturalts - "естествени числа".
През 1615 г., в разговор с Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика в Gresh College в Лондон, Нейпиър предлага да се вземе нула за логаритъм на едно и 100 за логаритъм на десет, или каквото е същото , само 1. Ето как са отпечатани десетичните логаритми и Първите логаритмични таблици. По-късно таблиците на Бригс са допълнени от холандския книжар и математик Андриан Флак (1600-1667). Нейпиър и Бригс, въпреки че стигнаха до логаритмите преди всеки друг, публикуваха своите таблици по-късно от други - през 1620 г. Знаците дневник и дневник са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът "естествен логаритъм" е въведен от Менголи през 1659 г., последван от Н. Меркатор през 1668 г., а лондонският учител Джон Спадел публикува таблици с естествени логаритми на числа от 1 до 1000 под името "Нови логаритми".
На руски език първите логаритмични таблици са публикувани през 1703 г. Но във всички логаритмични таблици бяха направени грешки при изчислението. Първите таблици без грешки са публикувани през 1857 г. в Берлин при обработката на немския математик К. Бремикер (1804-1877).
Етап 2
По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широко приложение на аналитичната геометрия и безкрайно малките смятане. По това време е установена връзката между квадратурата на равностранна хипербола и естествения логаритъм. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.
Германският математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в своето есе
"Логаритмотехника" (1668) дава серия, която дава разширението на ln(x + 1) по отношение на
мощности х:
Този израз отговаря точно на хода на неговата мисъл, въпреки че, разбира се, той не използва знаците d, ..., а по-тромави символи. С откриването на логаритмичните редове техниката за изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни серии. В лекциите си "Елементарна математика от по-висока гледна точка", прочетени през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага да се използва формулата като отправна точка за изграждане на теорията на логаритмите.
Етап 3
Дефиниране на логаритмична функция като функция на обратната
експонента, логаритъм като степен на дадена основа
не е формулиран веднага. Работата на Леонард Ойлер (1707-1783)
„Въведение в анализа на безкрайно малките“ (1748 г.) послужи като по-нататък
развитие на теорията на логаритмичната функция. По този начин,
Изминаха 134 години от въвеждането на логаритмите
(от 1614 г.), преди математиците да излязат с определение
концепцията за логаритъма, която сега е в основата на училищния курс.
Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства
2.1. Еквивалентни преходи и обобщения метод на интервалите.
Еквивалентни преходи
ако а > 1
ако 0 <
а <
1
Метод на обобщения интервал
Този метод е най-универсалният при решаване на неравенства от почти всякакъв тип. Схемата на решението изглежда така:
1. Приведете неравенството до такъв вид, където функцията се намира от лявата страна 
и 0 вдясно.
2. Намерете обхвата на функцията .
3. Намерете нулите на функция , тоест реши уравнението 
(и решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).
4. Начертайте областта на дефиниция и нулите на функцията върху реална права.
5. Определете знаците на функцията на получените интервали.
6. Изберете интервалите, през които функцията приема необходимите стойности, и запишете отговора.
Пример 1
Решение:
Приложете интервалния метод
където
За тези стойности всички изрази под знаците на логаритмите са положителни.
Отговор:
Пример 2
Решение:
1-во начин . ODZ се определя от неравенството х> 3. Вземане на логаритми за такива хв база 10 получаваме
Последното неравенство може да бъде решено чрез прилагане на правилата за декомпозиция, т.е. сравняване на фактори с нула. В този случай обаче е лесно да се определят интервалите на постоянство на функцията
така че може да се приложи интервалният метод.
Функция е(х) = 2х(х- 3,5)lgǀ х- 3ǀ е непрекъснато за х> 3 и изчезва в точки х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 = 4. Така определяме интервалите на постоянство на функцията е(х):
Отговор:
2-ри начин . Нека приложим идеите на метода на интервалите директно към първоначалното неравенство.
За това припомняме, че изразите аб- ав и ( а - 1)(б- 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство за х> 3 е еквивалентно на неравенството
или
Последното неравенство се решава чрез интервалния метод
Отговор:
Пример 3
Решение:
Приложете интервалния метод
Отговор:
Пример 4
Решение:
От 2 х 2 - 3х+ 3 > 0 за всички реални х, тогава
За да решим второто неравенство, използваме интервалния метод
В първото неравенство правим промяната
тогава стигаме до неравенството 2y 2 - г - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те г, които удовлетворяват неравенството -0,5< г < 1.
Откъде, защото
получаваме неравенството
която се извършва с х, за което 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Сега, като вземем предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме
Отговор:
Пример 5
Решение:
Неравенството е еквивалентно на набор от системи
или
Приложете интервалния метод или
Отговор:
Пример 6
Решение:
Неравенството е равносилно на система
Нека бъде
тогава г > 0,
и първото неравенство
системата приема формата
или разширяване
квадратен триномза множители,
Прилагайки интервалния метод към последното неравенство,
виждаме, че неговите решения удовлетворяват условието г> 0 ще бъде всичко г > 4.
По този начин първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:
И така, решенията на неравенството са всички
2.2. рационализиращ метод.
Преди това методът за рационализиране на неравенството не беше решен, не беше известен. Това е новото модерно ефективен методрешения на експоненциални и логаритмични неравенства" (цитат от книгата на Колесникова S.I.)
И дори учителят да го познаваше, имаше страх - но знае ли Експерт по ИЗПОЛЗВАНЕЗащо не го дават в училище? Имаше ситуации, когато учителят казваше на ученика: "Откъде го взе? Седни - 2."
Сега методът се популяризира навсякъде. И за експертите има насокисвързани с този метод, и в „Най-пълните издания стандартни опции..." решение C3 използва този метод.
МЕТОДА Е СТРАХОТЕН!
"Вълшебна маса"
В други източници
ако a >1 и b >1, след това log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;
ако а >1 и 0 ако 0<а<1 и b
>1, след това регистрирайте a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ако 0<а<1 и 00 и (a -1)(b -1)>0. Горните разсъждения са прости, но забележимо опростяват решението на логаритмичните неравенства. Пример 4
log x (x 2 -3)<0
Решение:
Пример 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Решение: Пример 6
За да разрешим това неравенство, пишем (x-1-1) (x-1) вместо знаменателя и произведението (x-1) (x-3-9 + x) вместо числителя. Пример 7
Пример 8
2.3. Нестандартна замяна. Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Пример 7
log 4 (3 x -1) log 0,25 Нека направим заместването y=3 x -1; тогава това неравенство приема формата log 4 log 0,25 Защото log 0,25 Нека направим заместване t =log 4 y и получим неравенството t 2 -2t +≥0, чието решение е интервалите - По този начин, за да намерим стойностите на y, имаме набор от две най-прости неравенства Следователно, първоначалното неравенство е еквивалентно на множеството от две експоненциални неравенства, Решението на първото неравенство от това множество е интервалът 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Пример 8
Решение:
Неравенството е равносилно на система Решението на второто неравенство, което определя ODZ, ще бъде множеството от тези х,
за което х > 0.
За да решим първото неравенство, правим промяната Тогава получаваме неравенството или Множеството от решения на последното неравенство се намира по метода интервали: -1< т < 2. Откуда, возвращаясь к переменной х, получаваме или Много от тях х, които удовлетворяват последното неравенство принадлежи на ОДЗ ( х> 0), следователно, е решение на системата, а оттам и първоначалното неравенство. Отговор: 2.4. Задачи с капани. Пример 1
Решение. ODZ на неравенството е всички x, удовлетворяващи условието 0 Пример 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Отговор. (0; 0,5) U.
Отговор :
(3;6)
.
= -дневник 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , тогава пренаписваме последното неравенство като 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Решението на тази колекция са интервалите 0<у≤2 и 8≤у<+.
тоест агрегати 
. По този начин първоначалното неравенство важи за всички стойности на x от интервалите 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Следователно всички x от интервала 0
Заключение
Не беше лесно да се намерят специални методи за решаване на C3 задачи от голямо разнообразие от различни образователни източници. В хода на извършената работа успях да изучавам нестандартни методи за решаване на сложни логаритмични неравенства. Това са: еквивалентни преходи и обобщения метод на интервалите, методът на рационализацията , нестандартно заместване , задачи с капани на ОДЗ. Тези методи липсват в училищната програма.
Използвайки различни методи, реших 27 неравенства, предложени в USE в част C, а именно C3. Тези неравенства с решения по методи залегнаха в основата на сборника „Логаритмични C3 неравенства с решения“, който стана проектен продукт на моята дейност. Хипотезата, която изложих в началото на проекта, се потвърди: проблемите C3 могат да бъдат ефективно решени, ако тези методи са известни.
Освен това открих интересни факти за логаритмите. Беше ми интересно да го направя. Продуктите на моя проект ще бъдат полезни както за ученици, така и за учители.
заключения:
Така целта на проекта е постигната, проблемът е решен. И получих най-пълното и многостранно преживяване в проектните дейности на всички етапи на работа. В хода на работата по проекта основното ми въздействие върху развитието беше върху умствената компетентност, дейностите, свързани с логически мисловни операции, развитието на творческата компетентност, личната инициативност, отговорност, постоянство и активност.
Гаранция за успех при създаване на изследователски проект за станах: значителен училищен опит, способност за извличане на информация от различни източници, проверка на нейната надеждност, класиране по значимост.
В допълнение към непосредствените предметни знания по математика, той разшири практическите си умения в областта на компютърните науки, придоби нови знания и опит в областта на психологията, установи контакти със съученици и се научи да си сътрудничи с възрастни. В хода на дейностите по проекта се развиват организационни, интелектуални и комуникативни общообразователни умения и способности.
литература
1. Корянов А. Г., Прокофиев А. А. Системи от неравенства с една променлива (типични задачи C3).
2. Малкова А. Г. Подготовка за Единния държавен изпит по математика.
3. С. С. Самарова, Решение на логаритмични неравенства.
4. Математика. Сборник от учебни работи, редактиран от A.L. Семьонов и И.В. Яшченко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.-
раздели: математика
Често при решаване на логаритмични неравенства има проблеми с променлива база на логаритъма. И така, неравенство на формата
е стандартно училищно неравенство. Като правило, за решаването му се използва преход към еквивалентен набор от системи:
Недостатъкът на този метод е необходимостта от решаване на седем неравенства, без да се броят две системи и един набор. Дори при дадени квадратични функции решението на популацията може да изисква много време.
Може да се предложи алтернативен, по-малко отнемащ време начин за решаване на това стандартно неравенство. За да направим това, ние вземаме предвид следната теорема.
Теорема 1. Нека непрекъснато нарастваща функция върху множество X. Тогава на това множество знакът на приращението на функцията ще съвпада със знака на приращението на аргумента, т.е. , където 
.
Забележка: ако непрекъсната намаляваща функция на множеството X, тогава .
Да се върнем към неравенството. Нека преминем към десетичния логаритъм (можете да отидете на всеки с константна основа, по-голяма от единица).
Сега можем да използваме теоремата, като забелязваме в числителя нарастването на функциите 
и в знаменателя. Значи е вярно
В резултат на това броят на изчисленията, водещи до отговора, се намалява с около половината, което спестява не само време, но и ви позволява потенциално да правите по-малко аритметични и невнимателни грешки.
Пример 1
Сравнявайки с (1) намираме 
, 
, .
Преминавайки към (2), ще имаме:
Пример 2
Сравнявайки с (1) намираме , , .
Преминавайки към (2), ще имаме:
Пример 3
Тъй като лявата част на неравенството е нарастваща функция за и 
, тогава отговорът е зададен.
Наборът от примери, в които може да се приложи Terme 1, може лесно да се разшири, ако се вземе предвид Terme 2.
Нека на снимачната площадка хфункциите , , , са дефинирани и на това множество знаците и съвпадат, т.е. тогава ще бъде справедливо.
Пример 4
Пример 5
При стандартния подход примерът се решава по схемата: произведението е по-малко от нула, когато факторите са с различни знаци. Тези. разглеждаме набор от две системи от неравенства, в които, както беше посочено в началото, всяко неравенство се разпада на още седем.
Ако вземем предвид теорема 2, тогава всеки от факторите, като се вземе предвид (2), може да бъде заменен с друга функция, която има същия знак в този пример на O.D.Z.
Методът за замяна на приращение на функция с приращение на аргумента, като се вземе предвид теорема 2, се оказва много удобен при решаване на типични задачи за C3 USE.
Пример 6
Пример 7
. Да обозначим . Вземи
. Имайте предвид, че подмяната предполага: . Връщайки се към уравнението, получаваме
.
Пример 8
В теоремите, които използваме, няма ограничение за класовете функции. В тази статия, като пример, теоремите бяха приложени към решението на логаритмичните неравенства. Следващите няколко примера ще демонстрират обещанието на метода за решаване на други видове неравенства.
Статията е посветена на анализа на задачи 15 от профилния изпит по математика за 2017 г. В тази задача на учениците се предлага да решават неравенства, най-често логаритмични. Въпреки че те могат да бъдат показателни. Тази статия предоставя анализ на примери за логаритмични неравенства, включително тези, съдържащи променлива в основата на логаритъма. Всички примери са взети от отворената банка от задачи за USE по математика (профил), така че е много вероятно такива неравенства да ви срещнат на изпита като задача 15. Идеален за тези, които искат да научат как да решават задача 15 от втората част от профила ИЗПОЛЗВАЙТЕ за кратък период от време по математика, за да получите по-високи резултати на изпита.
Анализ на задачи 15 от профилния изпит по математика
| Пример 1. Решете неравенството: |
В задачи 15 от Единния държавен изпит по математика (профил) често се срещат логаритмични неравенства. Решаването на логаритмичните неравенства започва с дефинирането на диапазона от приемливи стойности. В този случай няма променлива в основата на двата логаритма, има само числото 11, което значително опростява задачата. Следователно единственото ограничение, което имаме тук, е, че и двата израза под знака на логаритъма са положителни:
Title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com">!}
Първото неравенство в системата е квадратното неравенство. За да го решим, наистина би било добре да разложим на множители лявата страна. Мисля, че знаете, че всеки квадратен трином от формата 
То е факторизирано, както следва:
където и са корените на уравнението . В този случай коефициентът е 1 (това е числовият коефициент пред ). Коефициентът също е равен на 1, а коефициентът е свободен член, равен на -20. Корените на тринома се определят най-лесно с помощта на теоремата на Виета. Дадено е нашето уравнение, което означава сумата от корените и ще бъде равно на коефициента с противоположен знак, тоест -1, а произведението на тези корени ще бъде равно на коефициента, тоест -20. Лесно е да се предположи, че корените ще бъдат -5 и 4.
Сега лявата страна на неравенството може да бъде разложена на множители: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} хв точки -5 и 4. Следователно, желаното решение на неравенството е интервалът . За тези, които не разбират какво пише тук, можете да видите подробностите във видеото, като се започне от сега. Там ще намерите и подробно обяснение как се решава второто неравенство на системата. То се решава. Освен това отговорът е абсолютно същият като за първото неравенство на системата. Тоест, множеството, написано по-горе, е областта на допустимите стойности на неравенството.
И така, като се вземе предвид факторизацията, първоначалното неравенство приема формата:
Използвайки формулата, нека добавим 11 към степента на израза под знака на първия логаритъм и преместим втория логаритъм от лявата страна на неравенството, като същевременно променим знака му на обратния:
След намаляване получаваме:
Последното неравенство, поради увеличаването на функцията, е еквивалентно на неравенството 
, чието решение е интервалът 
. Остава да го пресечете с областта на допустимите стойности на неравенството и това ще бъде отговорът на цялата задача.
И така, желаният отговор на задачата има формата:
Разбрахме тази задача, сега преминаваме към следващия пример за задача 15 на USE по математика (профил).
| Пример 2. Решете неравенството:
|
Започваме решението, като определяме диапазона на допустимите стойности на това неравенство. Основата на всеки логаритъм трябва да е положително число, което не е равно на 1. Всички изрази под знака на логаритъма трябва да са положителни. Знаменателят на дроб не трябва да е нула. Последното условие е еквивалентно на , тъй като само в противен случай и двата логаритма в знаменателя изчезват. Всички тези условия определят диапазона на допустимите стойности на това неравенство, което се дава от следната система от неравенства:
Title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com">!}
В диапазона от приемливи стойности можем да използваме формули за логаритъм за преобразуване, за да опростим лявата част на неравенството. Използване на формулата 
отървете се от знаменателя:
Сега имаме само основни логаритми. Вече е по-удобно. След това използваме формулата, а също и формулата, за да приведем израза, който заслужава слава, в следната форма:
При изчисленията използвахме това, което е в диапазона на допустимите стойности. Използвайки заместването, стигаме до израза:
Нека използваме още една замяна: . В резултат на това стигаме до следния резултат:
Така че постепенно се върнете към първоначалните променливи. Първо към променливата:
Зареждане...