Teoría de la mecánica dinámica dinámica. Mecánica básica para tontos
El curso trata sobre: la cinemática de un punto y un cuerpo rígido (y desde diferentes puntos de vista se propone considerar el problema de la orientación cuerpo solido), problemas clásicos de dinámica de sistemas mecánicos y dinámica de un cuerpo rígido, elementos de mecánica celeste, movimiento de sistemas de composición variable, teoría del impacto, ecuaciones diferenciales de dinámica analítica.
El curso cubre todas las secciones tradicionales de la mecánica teórica, pero se presta especial atención a las secciones más significativas y valiosas para la teoría y las aplicaciones de la dinámica y los métodos de la mecánica analítica; la estática se estudia como una sección de la dinámica, y en la sección de cinemática se introducen en detalle los conceptos necesarios para la sección de dinámica y el aparato matemático.
Recursos informativos
Gantmakher FR Conferencias sobre Mecánica Analítica. - 3ra ed. – M.: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V. F. Fundamentos de la mecánica teórica. - 2ª ed. - M.: Fizmatlit, 2001; 3ra ed. – M.: Fizmatlit, 2008.
Markeev AP Mecánica teórica. - Moscú - Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámicas Regulares y Caóticas", 2007.
Requisitos
El curso está diseñado para estudiantes que poseen el aparato de geometría analítica y álgebra lineal en el ámbito del programa de primer año de una universidad técnica.
programa del curso
1. Cinemática de un punto
1.1. Problemas de cinemática. Sistema de coordenadas Cartesianas. Descomposición de un vector en base ortonormal. Radio vector y coordenadas de puntos. Punto de velocidad y aceleración. Trayectoria del movimiento.
1.2. Triangulares naturales. Expansión de la velocidad y la aceleración en los ejes de un triedro natural (teorema de Huygens).
1.3. Coordenadas de puntos curvilíneos, ejemplos: sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Componentes de velocidad y proyecciones de aceleración en los ejes de un sistema de coordenadas curvilíneas.
2. Métodos para especificar la orientación de un cuerpo rígido
2.1. Sólido. Sistemas de coordenadas fijos y ligados al cuerpo.
2.2. Matrices de rotación ortogonal y sus propiedades. Teorema de los giros finitos de Euler.
2.3. Puntos de vista activos y pasivos sobre la transformación ortogonal. Adición de vueltas.
2.4. Ángulos de rotación finitos: ángulos de Euler y ángulos de "avión". Expresión de una matriz ortogonal en términos de ángulos de rotación finitos.
3. movimiento espacial cuerpo solido
3.1. Movimiento de traslación y rotación de un cuerpo rígido. Velocidad angular y aceleración angular.
3.2. Distribución de velocidades (fórmula de Euler) y aceleraciones (fórmula de Rivals) de puntos de un cuerpo rígido.
3.3. Invariantes cinemáticas. Tornillo cinemático. Eje de tornillo instantáneo.
4. Movimiento plano-paralelo
4.1. El concepto de movimiento plano-paralelo del cuerpo. Velocidad angular y aceleración angular en el caso de movimiento plano-paralelo. Centro instantáneo de velocidad.
5. Movimiento complejo de un punto y un cuerpo rígido
5.1. Sistemas de coordenadas fijas y móviles. Movimiento absoluto, relativo y figurativo de un punto.
5.2. El teorema de la suma de velocidades en el caso de un movimiento complejo de un punto, velocidades relativas y figurativas de un punto. El teorema de Coriolis sobre la suma de aceleraciones para un movimiento complejo de un punto, aceleraciones relativas, de traslación y de Coriolis de un punto.
5.3. Velocidad angular absoluta, relativa y portátil y aceleración angular de un cuerpo.
6. Movimiento de un cuerpo rígido con un punto fijo (presentación de cuaterniones)
6.1. El concepto de números complejos e hipercomplejos. Álgebra de cuaterniones. Producto de cuaternión. Cuaternión conjugado e inverso, norma y módulo.
6.2. Representación trigonométrica cuaternión unidad. Método de cuaternión para especificar la rotación del cuerpo. Teorema de los giros finitos de Euler.
6.3. Relación entre componentes de cuaterniones en diferentes bases. Adición de vueltas. Parámetros de Rodrigues-Hamilton.
7. Trabajo de examen
8. Conceptos básicos de dinámica.
8.1 Cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular (momento cinético), energía cinética.
8.2 Potencia de fuerzas, trabajo de fuerzas, energía potencial y total.
8.3 Centro de masa (centro de inercia) del sistema. El momento de inercia del sistema con respecto al eje.
8.4 Momentos de inercia sobre ejes paralelos; el teorema de Huygens-Steiner.
8.5 Tensor y elipsoide de inercia. Ejes principales de inercia. Propiedades de los momentos axiales de inercia.
8.6 Cálculo del momento angular y la energía cinética del cuerpo mediante el tensor de inercia.
9. Teoremas básicos de la dinámica en marcos de referencia inerciales y no inerciales.
9.1 Teorema sobre el cambio en el momento del sistema en un marco de referencia inercial. El teorema del movimiento del centro de masa.
9.2 Teorema sobre el cambio en el momento angular del sistema en un marco de referencia inercial.
9.3 Teorema sobre el cambio en la energía cinética del sistema en un marco de referencia inercial.
9.4 Fuerzas potenciales, giroscópicas y disipativas.
9.5 Teoremas básicos de la dinámica en marcos de referencia no inerciales.
10. Movimiento de un cuerpo rígido con un punto fijo por inercia.
10.1 Ecuaciones dinámicas de Euler.
10.2 Caso de Euler, primeras integrales de ecuaciones dinámicas; rotaciones permanentes.
10.3 Interpretaciones de Poinsot y Macculag.
10.4 Precesión regular en el caso de simetría dinámica del cuerpo.
11. Movimiento de un cuerpo rígido pesado con un punto fijo.
11.1 Formulación general del problema del movimiento de un cuerpo rígido pesado alrededor.
punto fijo. Ecuaciones dinámicas de Euler y sus primeras integrales.
11.2 Análisis cualitativo del movimiento de un cuerpo rígido en el caso de Lagrange.
11.3 Precesión regular forzada de un cuerpo rígido dinámicamente simétrico.
11.4 La fórmula básica de la giroscopia.
11.5 El concepto de la teoría elemental de los giroscopios.
12. Dinámica de un punto en el campo central.
12.1 Ecuación de Binet.
12.2 Ecuación de órbita. Leyes de Kepler.
12.3 El problema de la dispersión.
12.4 El problema de los dos cuerpos. Ecuaciones de movimiento. Integral de área, integral de energía, integral de Laplace.
13. Dinámica de sistemas de composición variable.
13.1 Conceptos básicos y teoremas sobre el cambio de magnitudes dinámicas básicas en sistemas de composición variable.
13.2 Movimiento punto material masa variable
13.3 Ecuaciones de movimiento de un cuerpo de composición variable.
14. Teoría de los movimientos impulsivos.
14.1 Conceptos básicos y axiomas de la teoría de los movimientos impulsivos.
14.2 Teoremas sobre el cambio de las cantidades dinámicas básicas durante el movimiento impulsivo.
14.3 Movimiento impulsivo de un cuerpo rígido.
14.4 Colisión de dos cuerpos rígidos.
14.5 Teoremas de Carnot.
15. Prueba
Los resultados del aprendizaje
Como resultado del dominio de la disciplina, el estudiante debe:
- Saber:
- conceptos y teoremas básicos de la mecánica y los métodos para estudiar el movimiento de los sistemas mecánicos que surgen de ellos;
- Ser capaz de:
- formular correctamente problemas en términos de mecánica teórica;
- desarrollar modelos mecánicos y matemáticos que reflejen adecuadamente las principales propiedades de los fenómenos bajo consideración;
- aplicar los conocimientos adquiridos para resolver los problemas Tareas específicas;
- Propio:
- habilidades en la resolución de problemas clásicos de mecánica teórica y matemáticas;
- las habilidades para estudiar los problemas de la mecánica y construir modelos mecánicos y matemáticos que describan adecuadamente una variedad de fenómenos mecánicos;
- habilidades en el uso práctico de métodos y principios de la mecánica teórica en la resolución de problemas: cálculo de fuerzas, determinación de las características cinemáticas de los cuerpos en varias maneras tareas de movimiento, determinación de la ley de movimiento de cuerpos materiales y sistemas mecánicos bajo la acción de fuerzas;
- Habilidades para dominar de forma independiente nueva información en el proceso de producción y actividad científica utilizando modernas tecnologías educativas y de información;
Teoremas generales de la dinámica de un sistema de cuerpos. Teoremas sobre el movimiento del centro de masa, sobre la variación de la cantidad de movimiento, sobre la variación del momento principal de la cantidad de movimiento, sobre la variación de la energía cinética. Principios de d'Alembert, y posibles desplazamientos. ecuación general dinámica. Las ecuaciones de Lagrange.
ContenidoEl trabajo realizado por la fuerza, es igual al producto escalar de los vectores fuerza y el desplazamiento infinitesimal del punto de su aplicación :
,
es decir, el producto de los módulos de los vectores F y ds y el coseno del ángulo entre ellos.
El trabajo realizado por el momento de la fuerza., es igual al producto escalar de los vectores del momento y el ángulo infinitesimal de rotación :
.
principio de d'Alembert
La esencia del principio de d'Alembert es reducir los problemas de la dinámica a los problemas de la estática. Para ello se supone (o se sabe de antemano) que los cuerpos del sistema tienen ciertas aceleraciones (angulares). A continuación, se introducen las fuerzas de inercia y (o) los momentos de inercia, que son iguales en magnitud y recíprocos en dirección a las fuerzas y momentos de fuerzas que, según las leyes de la mecánica, crearían determinadas aceleraciones o aceleraciones angulares.
Considere un ejemplo. El cuerpo realiza un movimiento de traslación y sobre él actúan fuerzas externas. Además, suponemos que estas fuerzas crean una aceleración del centro de masa del sistema. Según el teorema del movimiento del centro de masa, el centro de masa de un cuerpo tendría la misma aceleración si sobre el cuerpo actuara una fuerza. A continuación, introducimos la fuerza de inercia:
.
Después de eso, la tarea de la dinámica es:
.
;
.
Para el movimiento de rotación proceda de manera similar. Deje que el cuerpo gire alrededor del eje z y que los momentos externos de las fuerzas M e zk actúen sobre él. Suponemos que estos momentos crean una aceleración angular ε z . A continuación, presentamos el momento de las fuerzas de inercia M И = - J z ε z . Después de eso, la tarea de la dinámica es:
.
Se convierte en una tarea estática:
;
.
El principio de los posibles movimientos.
El principio de los posibles desplazamientos se utiliza para resolver problemas de estática. En algunos problemas, da una solución más corta que escribir ecuaciones de equilibrio. Esto es especialmente cierto para sistemas con conexiones (por ejemplo, sistemas de cuerpos conectados por hilos y bloques), que consisten en muchos cuerpos
El principio de los posibles movimientos..
para el equilibrio sistema mecánico Con conexiones perfectas necesario y suficiente que la suma trabajos elementales de todas las fuerzas activas que actuaban sobre él para cualquier posible desplazamiento del sistema era igual a cero.
Posible reubicación del sistema- este es un pequeño desplazamiento, en el que las conexiones impuestas al sistema no se rompen.
Conexiones perfectas- estos son enlaces que no hacen trabajo cuando se mueve el sistema. Más precisamente, la suma del trabajo realizado por los propios enlaces al mover el sistema es cero.
Ecuación general de la dinámica (d'Alembert - Principio de Lagrange)
El principio de d'Alembert-Lagrange es una combinación del principio de d'Alembert con el principio de los posibles desplazamientos. Es decir, al resolver el problema de la dinámica, introducimos las fuerzas de inercia y reducimos el problema al problema de la estática, que resolvemos utilizando el principio de los posibles desplazamientos.
Principio de d'Alembert-Lagrange.
Cuando un sistema mecánico se mueve con restricciones ideales en cada momento del tiempo, la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas aplicadas y todas las fuerzas de inercia sobre cualquier posible desplazamiento del sistema es igual a cero:
.
Esta ecuación se llama ecuación general de la dinámica.
Ecuaciones de Lagrange
Coordenadas generalizadas q 1 , q 2 , ..., q norte es un conjunto de n valores que determinan de forma única la posición del sistema.
El número de coordenadas generalizadas n coincide con el número de grados de libertad del sistema.
Velocidades generalizadas son las derivadas de las coordenadas generalizadas con respecto al tiempo t.
Fuerzas generalizadas Q 1 , Q 2 , ..., Q n
.
Considere un posible desplazamiento del sistema, en el que la coordenada q k recibirá un desplazamiento δq k . El resto de las coordenadas permanecen sin cambios. Sea δA k el trabajo realizado por fuerzas externas durante dicho desplazamiento. Después
δA k = Q k δq k , o
.
Si, con un posible desplazamiento del sistema, todas las coordenadas cambian, entonces el trabajo realizado por fuerzas externas durante dicho desplazamiento tiene la forma:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q norte δq norte.
Entonces las fuerzas generalizadas son derivadas parciales del trabajo de desplazamiento:
.
Para fuerzas potenciales
con potencial Π,
.
Ecuaciones de Lagrange son las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico en coordenadas generalizadas:
Aquí T es la energía cinética. Es una función de coordenadas generalizadas, velocidades y posiblemente tiempo. Por lo tanto, su derivada parcial también es una función de coordenadas generalizadas, velocidades y tiempo. A continuación, debe tener en cuenta que las coordenadas y las velocidades son funciones del tiempo. Por lo tanto, para encontrar la derivada total con respecto al tiempo, se debe aplicar la regla de diferenciación función compleja:
.
Referencias:
S. M. Targ, Curso Corto de Mecánica Teórica, “ Escuela de posgrado", 2010.
Cinemática
Cinemática de un punto material
Determinación de la velocidad y la aceleración de un punto según las ecuaciones dadas de su movimiento
Dado: Ecuaciones de movimiento de un punto: x = 12 pecado(πt/6), cm; y= 6 cos 2 (πt/6), cm.
Establezca el tipo de su trayectoria y para el momento de tiempo t = 1 s encontrar la posición de un punto en la trayectoria, su velocidad, total, tangente y aceleración normal, así como el radio de curvatura de la trayectoria.
Movimiento de traslación y rotación de un cuerpo rígido.
Dado:
t = 2 s; r1 = 2 cm, R1 = 4 cm; r2 = 6 cm, R2 = 8 cm; r 3 \u003d 12 cm, R 3 \u003d 16 cm; s 5 \u003d t 3 - 6t (cm).
Determine en el tiempo t = 2 las velocidades de los puntos A, C; aceleración angular de la rueda 3; Aceleración del punto B y aceleración de cremallera 4.
Análisis cinemático de un mecanismo plano.
Dado:
R 1 , R 2 , L, AB, ω 1 .
Encuentre: ω 2 .
El mecanismo plano consta de las varillas 1, 2, 3, 4 y la corredera E. Las varillas están conectadas por medio de bisagras cilíndricas. El punto D está ubicado en el medio de la barra AB.
Dado: ω 1 , ε 1 .
Encuentre: velocidades V A , V B , V D y V E ; velocidades angulares ω 2 , ω 3 y ω 4 ; aceleración a B ; aceleración angular ε AB del eslabón AB; posiciones de los centros instantáneos de velocidades P 2 y P 3 de los eslabones 2 y 3 del mecanismo.
Determinación de la velocidad absoluta y la aceleración absoluta de un punto
Una placa rectangular gira alrededor de un eje fijo de acuerdo con la ley φ = 6 de 2 - 3 de 3. La dirección positiva de lectura del ángulo φ se muestra en las figuras mediante una flecha de arco. Eje de rotación OO 1 se encuentra en el plano de la placa (la placa gira en el espacio).
El punto M se mueve a lo largo de la línea recta BD a lo largo de la placa. Se da la ley de su movimiento relativo, es decir, la dependencia s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s - en centímetros, t - en segundos). Distancia b = 20 centímetros. En la figura, el punto M se muestra en la posición donde s = AM > 0 (para s< 0 el punto M está al otro lado del punto A).
Encuentre la velocidad absoluta y la aceleración absoluta del punto M en el tiempo t 1 = 1 segundo.
Dinámica
Integración de ecuaciones diferenciales de movimiento de un punto material bajo la acción de fuerzas variables
Una carga D de masa m, habiendo recibido una velocidad inicial V 0 en el punto A, se mueve en un tubo curvo ABC ubicado en un plano vertical. En la sección AB, cuya longitud es l, la carga se ve afectada por una fuerza constante T (su dirección se muestra en la figura) y la fuerza R de la resistencia del medio (el módulo de esta fuerza es R = μV 2, el vector R está dirigido en sentido opuesto a la velocidad V de la carga).
La carga, habiendo completado su movimiento en la sección AB, en el punto B de la tubería, sin cambiar el valor de su módulo de velocidad, pasa a la sección BC. Sobre la sección BC, una fuerza variable F actúa sobre la carga, cuya proyección F x sobre el eje x está dada.
Considerando la carga como un punto material, encuentre la ley de su movimiento en la sección BC, es decir x = f(t), donde x = BD. Ignore la fricción de la carga en la tubería.
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Teorema sobre el cambio en la energía cinética de un sistema mecánico
El sistema mecánico consta de pesos 1 y 2, un rodillo cilíndrico 3, poleas de dos etapas 4 y 5. Los cuerpos del sistema están conectados por hilos enrollados en poleas; secciones de hilos son paralelas a los planos correspondientes. El rodillo (cilindro sólido homogéneo) rueda a lo largo del plano de apoyo sin deslizarse. Los radios de los escalones de las poleas 4 y 5 son respectivamente R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m La masa de cada polea se considera uniformemente distribuida a lo largo de su borde exterior . Los planos de apoyo de las pesas 1 y 2 son rugosos, el coeficiente de rozamiento por deslizamiento de cada pesa es f = 0,1.
Bajo la acción de la fuerza F, cuyo módulo cambia según la ley F = F(s), donde s es el desplazamiento del punto de su aplicación, el sistema comienza a moverse desde un estado de reposo. Cuando el sistema se mueve, las fuerzas de resistencia actúan sobre la polea 5, cuyo momento relativo al eje de rotación es constante e igual a M 5 .
Determine el valor de la velocidad angular de la polea 4 en el momento en que el desplazamiento s del punto de aplicación de la fuerza F se hace igual a s 1 = 1,2 m. 
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Aplicación de la ecuación general de la dinámica al estudio del movimiento de un sistema mecánico
Para un sistema mecánico, determine la aceleración lineal a 1 . Considere que para bloques y rodillos las masas se distribuyen a lo largo del radio exterior. Los cables y cinturones se consideran ingrávidos e inextensibles; no hay deslizamiento. Ignore la fricción por rodadura y deslizamiento. 
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Aplicación del principio de d'Alembert a la determinación de las reacciones de los apoyos de un cuerpo en rotación
Un eje vertical AK que gira uniformemente con una velocidad angular ω = 10 s-1 está fijo con un cojinete de empuje en el punto A y un cojinete cilíndrico en el punto D.
Una barra sin peso 1 con una longitud de l 1 = 0,3 m está unida rígidamente al eje, en cuyo extremo libre hay una carga de masa m 1 = 4 kg, y una barra homogénea 2 con una longitud de l 2 = 0,6 m, con una masa de m 2 = 8 kg. Ambas varillas se encuentran en el mismo plano vertical. Los puntos de unión de las varillas al eje, así como los ángulos α y β se indican en la tabla. Dimensiones AB=BD=DE=EK=b, donde b = 0,4 m.Tome la carga como punto material.
Despreciando la masa del eje, determine las reacciones del cojinete de empuje y el cojinete.
Por estado de equilibrio, en estática, se entiende el estado en el que todas las partes del sistema mecánico están en reposo con respecto a algún sistema de coordenadas inercial. Uno de los objetos básicos de la estática son las fuerzas y los puntos de su aplicación.
La fuerza que actúa sobre un punto material con un radio vector desde otros puntos es una medida de la influencia de otros puntos sobre el punto considerado, como resultado de lo cual recibe aceleración en relación con el marco de referencia inercial. Valor fuerza está determinada por la fórmula:
,
donde m es la masa del punto, un valor que depende de las propiedades del punto mismo. Esta fórmula se llama segunda ley de Newton.
Aplicación de la estática en la dinámica.
Una característica importante de las ecuaciones de movimiento de un cuerpo absolutamente rígido es que las fuerzas se pueden convertir en sistemas equivalentes. Con tal transformación, las ecuaciones de movimiento conservan su forma, pero el sistema de fuerzas que actúan sobre el cuerpo puede transformarse en un sistema más simple. Así, el punto de aplicación de la fuerza puede moverse a lo largo de su línea de acción; las fuerzas se pueden expandir de acuerdo con la regla del paralelogramo; las fuerzas aplicadas en un punto pueden ser reemplazadas por su suma geométrica.
Un ejemplo de tales transformaciones es la gravedad. Actúa sobre todos los puntos de un cuerpo rígido. Pero la ley del movimiento del cuerpo no cambiará si la fuerza de gravedad distribuida sobre todos los puntos se reemplaza por un solo vector aplicado en el centro de masa del cuerpo.
Resulta que si agregamos un sistema equivalente al sistema principal de fuerzas que actúan sobre el cuerpo, en el que las direcciones de las fuerzas se invierten, entonces el cuerpo, bajo la acción de estos sistemas, estará en equilibrio. Así, la tarea de determinar sistemas de fuerzas equivalentes se reduce al problema del equilibrio, es decir, al problema de la estática.
La tarea principal de la estática. es el establecimiento de leyes para la transformación de un sistema de fuerzas en sistemas equivalentes. Así, los métodos de la estática se utilizan no sólo en el estudio de cuerpos en equilibrio, sino también en la dinámica de un cuerpo rígido, en la transformación de fuerzas en sistemas equivalentes más simples.
Estática puntual de material
Considere un punto material que está en equilibrio. Y sean n fuerzas las que actúen sobre él, k = 1, 2, ..., norte.
Si el punto material está en equilibrio, entonces la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero:
(1)
.
En balance suma geométrica fuerzas que actúan sobre un punto es cero.
Interpretación geométrica. Si el comienzo del segundo vector se coloca al final del primer vector, y el comienzo del tercero se coloca al final del segundo vector, y luego se continúa este proceso, entonces el final del último, n-ésimo vector será combinarse con el comienzo del primer vector. Es decir, obtenemos una figura geométrica cerrada, cuyas longitudes de los lados son iguales a los módulos de los vectores. Si todos los vectores se encuentran en el mismo plano, entonces obtenemos un polígono cerrado.
A menudo es conveniente elegir sistema de coordenadas rectangulares Oxyz. Entonces las sumas de las proyecciones de todos los vectores de fuerza en los ejes de coordenadas son iguales a cero:
Si elige cualquier dirección definida por algún vector, entonces la suma de las proyecciones de los vectores de fuerza en esta dirección es igual a cero:
.
Multiplicamos la ecuación (1) escalarmente por el vector:
.
Aquí está el producto escalar de los vectores y .
Tenga en cuenta que la proyección de un vector sobre la dirección del vector está determinada por la fórmula:
.
Estática de cuerpo rígido
Momento de fuerza respecto a un punto
Determinación del momento de fuerza
Momento de fuerza, aplicado al cuerpo en el punto A, relativo al centro fijo O, se llama vector igual al producto vectorial de los vectores y:(2) .
Interpretación geométrica
El momento de la fuerza es igual al producto de la fuerza F y el brazo OH.
Deje que los vectores y estén ubicados en el plano de la figura. Según la propiedad del producto vectorial, el vector es perpendicular a los vectores y, es decir, perpendicular al plano de la figura. Su dirección está determinada por la regla del tornillo derecho. En la figura, el vector de momento está dirigido hacia nosotros. El valor absoluto del momento:
.
Desde entonces
(3)
.
Usando la geometría, se puede dar otra interpretación del momento de la fuerza. Para hacer esto, dibuje una línea recta AH a través del vector de fuerza. Desde el centro O dejamos caer la perpendicular OH a esta línea. La longitud de esta perpendicular se llama hombro de fuerza. Después
(4)
.
Como , las fórmulas (3) y (4) son equivalentes.
De este modo, valor absoluto del momento de fuerza con respecto al centro O es producto de fuerza sobre el hombro esta fuerza relativa al centro elegido O .
Al calcular el par, suele ser conveniente descomponer la fuerza en dos componentes:
,
dónde . La fuerza pasa por el punto O. Por lo tanto, su cantidad de movimiento es cero. Después
.
El valor absoluto del momento:
.
Componentes de momento en coordenadas rectangulares
Si elegimos un sistema de coordenadas rectangulares Oxyz con centro en el punto O, entonces el momento de la fuerza tendrá las siguientes componentes:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
.
Aquí están las coordenadas del punto A en el sistema de coordenadas seleccionado:
.
Los componentes son los valores del momento de fuerza sobre los ejes, respectivamente.
Propiedades del momento de fuerza con respecto al centro.
El momento con respecto al centro O, de la fuerza que pasa por este centro, es igual a cero.
Si el punto de aplicación de la fuerza se mueve a lo largo de una línea que pasa por el vector de fuerza, entonces el momento, durante tal movimiento, no cambiará.
El momento de la suma vectorial de las fuerzas aplicadas en un punto del cuerpo es igual a la suma vectorial de los momentos de cada una de las fuerzas aplicadas en el mismo punto:
.
Lo mismo se aplica a las fuerzas cuyas líneas de extensión se cruzan en un punto.
Si la suma vectorial de las fuerzas es cero:
,
entonces la suma de los momentos de estas fuerzas no depende de la posición del centro, con respecto al cual se calculan los momentos:
.
pareja de poder
pareja de poder- son dos fuerzas iguales en valor absoluto y de direcciones opuestas, aplicadas en diferentes puntos del cuerpo.
Un par de fuerzas se caracteriza por el momento en que se crean. Dado que la suma vectorial de las fuerzas incluidas en el par es cero, el momento creado por el par no depende del punto con respecto al cual se calcula el momento. Desde el punto de vista del equilibrio estático, la naturaleza de las fuerzas en el par es irrelevante. Un par de fuerzas se usa para indicar que un momento de fuerzas actúa sobre el cuerpo, teniendo un cierto valor.
Momento de fuerza sobre un eje dado
A menudo, hay casos en los que no necesitamos conocer todos los componentes del momento de fuerza sobre un punto seleccionado, sino que solo necesitamos conocer el momento de fuerza sobre un eje seleccionado.
El momento de la fuerza con respecto al eje que pasa por el punto O es la proyección del vector del momento de la fuerza con respecto al punto O, en la dirección del eje.
Propiedades del momento de fuerza con respecto al eje.
El momento sobre el eje de la fuerza que pasa a través de este eje es igual a cero.
El momento alrededor de un eje de una fuerza paralela a este eje es cero.
Cálculo del momento de fuerza alrededor de un eje.
Deje que una fuerza actúe sobre el cuerpo en el punto A. Encontremos el momento de esta fuerza con respecto al eje O′O′′.
Construyamos un sistema de coordenadas rectangulares. Deje que el eje de Oz coincida con O′O′′. Del punto A bajamos la perpendicular OH a O′O′′ . Por los puntos O y A trazamos el eje Ox. Dibujamos el eje Oy perpendicular a Ox y Oz. Descomponemos la fuerza en componentes a lo largo de los ejes del sistema de coordenadas:
.
La fuerza cruza el eje O′O′′. Por lo tanto, su cantidad de movimiento es cero. La fuerza es paralela al eje O′O′′. Por lo tanto, su momento también es cero. Por la fórmula (5.3) encontramos:
.
Nótese que la componente está dirigida tangencialmente a la circunferencia cuyo centro es el punto O . La dirección del vector está determinada por la regla del tornillo derecho.
Condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido
En equilibrio, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero y la suma vectorial de los momentos de estas fuerzas con respecto a un centro fijo arbitrario es igual a cero:
(6.1)
;
(6.2)
.
Hacemos hincapié en que el centro O , con respecto al cual se calculan los momentos de las fuerzas, se puede elegir arbitrariamente. El punto O puede pertenecer al cuerpo o estar fuera de él. Por lo general, se elige el centro O para facilitar los cálculos.
Las condiciones de equilibrio se pueden formular de otra manera.
En equilibrio, la suma de las proyecciones de fuerzas en cualquier dirección dada por un vector arbitrario es igual a cero:
.
La suma de momentos de fuerzas alrededor de un eje arbitrario O′O′′ también es igual a cero:
.
A veces estas condiciones son más convenientes. Hay ocasiones en las que, eligiendo ejes, se pueden simplificar los cálculos.
Centro de gravedad del cuerpo
Considere una de las fuerzas más importantes: la gravedad. Aquí, las fuerzas no se aplican en ciertos puntos del cuerpo, sino que se distribuyen continuamente sobre su volumen. Para cada parte del cuerpo con un volumen infinitesimal ∆V, actúa la fuerza gravitacional. Aquí ρ es la densidad de la sustancia del cuerpo, es la aceleración de caída libre.
Sea la masa de una parte infinitamente pequeña del cuerpo. Y sea el punto Ak el que define la posición de esta sección. Encontremos las cantidades relacionadas con la fuerza de gravedad, que están incluidas en las ecuaciones de equilibrio (6).
Encontremos la suma de las fuerzas de gravedad formadas por todas las partes del cuerpo:
,
donde es la masa del cuerpo. Por lo tanto, la suma de las fuerzas de gravedad de las partes infinitesimales individuales del cuerpo puede reemplazarse por un vector de gravedad de todo el cuerpo:
.
Encontremos la suma de los momentos de las fuerzas de gravedad, relativas al centro O elegido de forma arbitraria:
.
Aquí hemos introducido el punto C que se llama centro de gravedad cuerpo. La posición del centro de gravedad, en un sistema de coordenadas centrado en el punto O, está determinada por la fórmula:
(7)
.
Entonces, al determinar el equilibrio estático, la suma de las fuerzas de gravedad de las secciones individuales del cuerpo puede reemplazarse por la resultante
,
aplicado al centro de masa del cuerpo C , cuya posición está determinada por la fórmula (7).
La posición del centro de gravedad para varios formas geométricas se pueden encontrar en las guías correspondientes. Si el cuerpo tiene un eje o plano de simetría, entonces el centro de gravedad se encuentra en este eje o plano. Entonces, los centros de gravedad de una esfera, círculo o círculo están ubicados en los centros de los círculos de estas figuras. Centros de gravedad cuboides, rectángulo o cuadrado también se encuentran en sus centros, en los puntos de intersección de las diagonales.
Carga distribuida uniformemente (A) y linealmente (B).
También existen casos similares a la fuerza de gravedad, cuando las fuerzas no se aplican en determinados puntos del cuerpo, sino que se distribuyen de forma continua sobre su superficie o volumen. Tales fuerzas se llaman fuerzas distribuidas o .
(Figura A). Además, como en el caso de la gravedad, puede ser reemplazada por la fuerza resultante de magnitud , aplicada en el centro de gravedad del diagrama. Dado que el diagrama de la figura A es un rectángulo, el centro de gravedad del diagrama está en su centro, el punto C: | CA | = | BC |. (foto B). También puede ser reemplazada por la resultante. El valor de la resultante es igual al área del diagrama:.
El punto de aplicación está en el centro de gravedad del diagrama. El centro de gravedad de un triángulo, de altura h, está a una distancia de la base. Es por eso .
Fuerzas de fricción
Fricción de deslizamiento. Deja que el cuerpo esté sobre una superficie plana. Y sea una fuerza perpendicular a la superficie con la que la superficie actúa sobre el cuerpo (fuerza de presión). Entonces la fuerza de fricción por deslizamiento es paralela a la superficie y dirigida hacia un lado, impidiendo que el cuerpo se mueva. Su mayor valor es:
,
donde f es el coeficiente de fricción. El coeficiente de fricción es una cantidad adimensional.
fricción de rodadura. Deje que el cuerpo redondeado ruede o pueda rodar sobre la superficie. Y sea la fuerza de presión perpendicular a la superficie con la que la superficie actúa sobre el cuerpo. Luego, sobre el cuerpo, en el punto de contacto con la superficie, actúa el momento de las fuerzas de fricción, que impide el movimiento del cuerpo. Valor más grande momento de fricción es igual a:
,
donde δ es el coeficiente de fricción de rodadura. Tiene la dimensión de longitud.
Referencias:
S. M. Targ, Curso Corto de Mecánica Teórica, Escuela Superior, 2010.
20ª edición. - M.: 2010.- 416 págs.
El libro expone los fundamentos de la mecánica de un punto material, el sistema de puntos materiales y un cuerpo sólido en un volumen correspondiente a los programas de las universidades técnicas. Se dan muchos ejemplos y tareas, cuyas soluciones van acompañadas de los correspondientes pautas. Para estudiantes de universidades técnicas de tiempo completo y por correspondencia.
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TABLA DE CONTENIDO
Prefacio a la decimotercera edición 3
Introducción 5
SECCIÓN PRIMERA ESTÁTICA DEL ESTADO SÓLIDO
Capítulo I. Conceptos básicos Disposiciones iniciales de los artículos 9
41. Cuerpo absolutamente rígido; fuerza. Tareas de estática 9
12. Disposiciones iniciales de estática » 11
$ 3. Conexiones y sus reacciones 15
Capitulo dos. Composición de fuerzas. Sistema de fuerzas convergentes 18
§cuatro. ¡Geométricamente! Método de combinación de fuerzas. Resultante de fuerzas convergentes, descomposición de fuerzas 18
f 5. Proyecciones de fuerza en el eje y en el plano, Método analítico para establecer y sumar fuerzas 20
16. Equilibrio del sistema de fuerzas convergentes_. . . 23
17. Resolución de problemas de estática. 25
Capítulo III. Momento de fuerza con respecto al centro. Pareja de poder 31
i 8. Momento de fuerza con respecto al centro (o punto) 31
| 9. Un par de fuerzas. momento de pareja 33
f10*. Teoremas de equivalencia y suma de pares 35
Capítulo IV. Llevar el sistema de fuerzas al centro. Condiciones de equilibrio... 37
f 11. Teorema de transferencia de fuerzas en paralelo 37
112. Llevando el sistema de fuerzas a un centro dado - . .38
§ 13. Condiciones para el equilibrio de un sistema de fuerzas. Teorema del momento de la resultante 40
Capítulo V. Sistema plano de fuerzas 41
§ 14. Momentos algebraicos de fuerza y pares 41
115. Reducción de un sistema plano de fuerzas a la forma más simple.... 44
§ 16. Equilibrio de un sistema plano de fuerzas. El caso de las fuerzas paralelas. 46
§ 17. Resolución de problemas 48
118. Equilibrio de sistemas de cuerpos 63
§ 19*. Sistemas de cuerpos (estructuras) estáticamente determinados y estáticamente indeterminados 56"
f 20*. Definición de fuerzas internas. 57
§ 21*. Fuerzas distribuidas 58
E22*. Cálculo de cerchas planas 61
Capítulo VI. Fricción 64
! 23. Leyes del rozamiento por deslizamiento 64
: 24. Reacciones de enlace áspero. Ángulo de fricción 66
: 25. Equilibrio en presencia de fricción 66
(26*. Rosca de fricción en una superficie cilíndrica 69
1 27*. Fricción de rodadura 71
Capítulo VII. Sistema espacial de fuerzas 72
§28. Momento de fuerza alrededor del eje. Cálculo del vector principal
y el momento principal del sistema de fuerzas 72
§ 29*. Reducción del sistema espacial de fuerzas a la forma más simple 77
§treinta. Equilibrio de un sistema espacial arbitrario de fuerzas. El caso de las fuerzas paralelas
Capítulo VIII. Centro de gravedad 86
§31. Centro de Fuerzas Paralelas 86
§ 32. Campo de fuerza. Centro de gravedad de un cuerpo rígido 88
§ 33. Coordenadas de los centros de gravedad de cuerpos homogéneos 89
§ 34. Métodos para determinar las coordenadas de los centros de gravedad de los cuerpos. 90
§ 35. Centros de gravedad de algunos cuerpos homogéneos 93
SECCIÓN SEGUNDA CINEMÁTICA DE UN PUNTO Y UN CUERPO RÍGIDO
Capítulo IX. Punto de cinemática 95
§ 36. Introducción a la cinemática 95
§ 37. Métodos para especificar el movimiento de un punto. . 96
§38. Vector de velocidad de punto,. 99
§ 39
§40. Determinación de la velocidad y la aceleración de un punto con el método de coordenadas para especificar el movimiento 102
§41. Resolución de problemas de cinemática puntual 103
§ 42. Ejes de un triedro natural. Valor numérico velocidad 107
§ 43. Aceleración tangente y normal de un punto 108
§44. Algunos casos especiales de movimiento de un punto en software
§45. Gráficas de movimiento, velocidad y aceleración del punto 112
§ 46. Resolución de problemas< 114
§47*. Velocidad y aceleración de un punto en coordenadas polares 116
Capítulo X. Movimientos de traslación y rotación de un cuerpo rígido. . 117
§48. Movimiento de traslación 117
§ 49. movimiento de rotación cuerpo rígido alrededor de un eje. Velocidad angular y aceleración angular 119
§cincuenta. Rotación uniforme y uniforme 121
§51. Velocidades y aceleraciones de puntos de un cuerpo giratorio 122
Capítulo XI. Movimiento plano-paralelo de un cuerpo rígido 127
§52. Ecuaciones de movimiento plano-paralelo (movimiento de una figura plana). Descomposición del movimiento en traslacional y rotacional 127
§53*. Determinación de trayectorias de puntos de un plano figura 129
§54. Determinación de las velocidades de puntos en un plano figura 130
§ 55. El teorema de las proyecciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo 131
§ 56. Determinación de las velocidades de los puntos de una figura plana utilizando el centro instantáneo de velocidades. El concepto de centroides 132
§57. Resolución de problemas 136
§58*. Determinación de aceleraciones de puntos de un plano figura 140
§59*. Centro instantáneo de aceleración "*"*
Capítulo XII*. Movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo y movimiento de un cuerpo rígido libre 147
§ 60. Movimiento de un cuerpo rígido que tiene un punto fijo. 147
§61. Ecuaciones cinemáticas de Euler 149
§62. Velocidades y aceleraciones de los puntos del cuerpo 150
§ 63. Caso general de movimiento de un cuerpo rígido libre 153
Capítulo XIII. Movimiento de punto complejo 155
§ 64. Mociones relativas, figurativas y absolutas 155
§ 65, Teorema de la suma de velocidades » 156
§66. El teorema de la suma de aceleraciones (teorema de Coriols) 160
§67. Resolución de problemas 16*
Capítulo XIV*. Movimiento complejo de un cuerpo rígido 169
§68. La adición de movimientos de traslación 169
§69. Suma de rotaciones sobre dos ejes paralelos 169
§70. Engranajes cilíndricos 172
§ 71. Adición de rotaciones alrededor de ejes que se cruzan 174
§72. Adición de movimientos de traslación y rotación. Movimiento de tornillo 176
SECCIÓN TRES DINÁMICA DE UN PUNTO
Capítulo XV: Introducción a la dinámica. Leyes de la dinámica 180
§ 73. Conceptos básicos y definiciones 180
§ 74. Leyes de la dinámica. Problemas de la dinámica de un punto material 181
§ 75. Sistemas de unidades 183
§76. Tipos básicos de fuerzas 184
Capítulo XVI. Ecuaciones diferenciales movimiento de puntos Resolución de problemas de dinámica puntual 186
§ 77. Ecuaciones diferenciales, movimientos de un punto material No. 6
§ 78. Solución del primer problema de dinámica (determinación de fuerzas a partir de un movimiento dado) 187
§ 79. Solución del problema principal de la dinámica para movimiento rectilíneo puntos 189
§ 80. Ejemplos de resolución de problemas 191
§81*. Caída de un cuerpo en un medio resistente (en el aire) 196
§82. Solución del problema principal de dinámica, con movimiento curvilíneo de un punto 197
Capítulo XVII. Teoremas generales de dinámica puntual 201
§83. La cantidad de movimiento del punto. Impulso de fuerza 201
§ S4. Teorema sobre el cambio en el momento de un punto 202
§ 85. El teorema sobre el cambio en el momento angular de un punto (teorema de los momentos) "204
§86*. Movimiento bajo la acción de una fuerza central. Ley de áreas.. 266
§ 8-7. Trabajo de fuerza. Poder 208
§88. Ejemplos de cálculo de trabajo 210
§89. Teorema del cambio de energía cinética de un punto. ". . . 213J
Capítulo XVIII. Movimiento no libre y relativo de un punto 219
§90. Movimiento no libre de un punto. 219
§91. Movimiento relativo de un punto 223
§ 92. Influencia de la rotación de la Tierra sobre el equilibrio y movimiento de los cuerpos... 227
Artículo 93*. Desviación del punto incidente de la vertical debido a la rotación de la Tierra "230
Capítulo XIX. Fluctuaciones rectilíneas de un punto. . . 232
§ 94. Vibraciones libres sin tener en cuenta las fuerzas de resistencia 232
§ 95. Oscilaciones libres con resistencia viscosa (oscilaciones amortiguadas) 238
§96. Vibraciones forzadas. resonancia 241
Capítulo XX*. Movimiento de un cuerpo en el campo de gravedad 250
§ 97. Movimiento de un cuerpo lanzado en el campo gravitatorio de la Tierra "250
§98. satélites artificiales Tierra. Trayectorias elípticas. 254
§ 99. El concepto de ingravidez ". Sistemas de referencia locales 257
SECCIÓN CUARTA DINÁMICA DE UN SISTEMA Y UN CUERPO RÍGIDO
G i a v a XXI. Introducción a la dinámica de sistemas. Momentos de inercia. 263
§ 100. Sistema mecánico. Fuerzas externas e internas 263
§ 101. Masa del sistema. Centro de gravedad 264
§ 102. Momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje. Radio de inercia. . 265
$ 103. Momentos de inercia de un cuerpo respecto a ejes paralelos. Teorema de Huygens 268
§ 104*. Momentos centrífugos de inercia. Conceptos sobre los principales ejes de inercia del cuerpo 269
$105*. Momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje arbitrario. 271
Capítulo XXIII. El teorema sobre el movimiento del centro de masa del sistema 273
$ 106. Ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema 273
§ 107. El teorema sobre el movimiento del centro de masa 274
$ 108. Ley de conservación del movimiento del centro de masa 276
§ 109. Resolución de problemas 277
Capítulo XXIII. Teorema sobre el cambio en la cantidad de un sistema móvil. . 280
$ PERO. Número de sistema de movimiento 280
§111. Teorema sobre el cambio de cantidad de movimiento 281
§ 112. Ley de conservación de la cantidad de movimiento 282
$113*. Aplicación del teorema al movimiento de un líquido (gas) 284
§ 114*. Cuerpo de masa variable. Movimiento de cohetes 287
Gdawa XXIV. El teorema sobre el cambio en el momento de la cantidad de movimiento del sistema 290
§ 115. El momento principal de las cantidades de movimiento del sistema 290
$ 116. Teorema sobre el cambio del momento principal de la cantidad de movimiento del sistema (teorema de los momentos) 292
$117. La ley de conservación del momento principal de la cantidad de movimiento. . 294
$ 118. Resolución de problemas 295
$119*. Aplicación del teorema del momento al movimiento de un líquido (gas) 298
§ 120. Condiciones de equilibrio para un sistema mecánico 300
Capítulo XXV. Teorema sobre el cambio en la energía cinética del sistema. . 301.
§ 121. Energía cinética del sistema 301
$122. Algunos casos de cálculo de trabajo 305
$ 123. Teorema sobre el cambio en la energía cinética del sistema 307
$ 124. Resolución de problemas 310
$125*. Tareas mixtas "314
$ 126. Campo de fuerza potencial y función de fuerza 317
$127, energía potencial. Ley de conservación de la energía mecánica 320
Capítulo XXVI. "Aplicación de teoremas generales a la dinámica de un cuerpo rígido 323
$12&. Movimiento de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo ". 323"
$ 129. Péndulo físico. Determinación experimental de momentos de inercia. 326
$130. Movimiento plano-paralelo de un cuerpo rígido 328
$ 131*. teoría elemental giroscopio 334
$132*. Movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo y movimiento de un cuerpo rígido libre 340
Capítulo XXVIII. principio de d'Alembert 344
$ 133. Principio de d'Alembert para un punto y un sistema mecánico. . 344
$ 134. Vector principal y Punto principal fuerzas de inercia 346
$ 135. Resolución de problemas 348
$136*, Reacciones didémicas que actúan sobre el eje de un cuerpo giratorio. Equilibrado de cuerpos giratorios 352
Capítulo XXVIII. El principio de los posibles desplazamientos y la ecuación general de la dinámica 357
§ 137. Clasificación de conexiones 357
§ 138. Posibles desplazamientos del sistema. Número de grados de libertad. . 358
§ 139. El principio de los movimientos posibles 360
§ 140. Resolución de problemas 362
§ 141. Ecuación general de la dinámica 367
Capítulo XXIX. Condiciones de equilibrio y ecuaciones de movimiento del sistema en coordenadas generalizadas 369
§ 142. Coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas. . . 369
§ 143. Fuerzas generalizadas 371
§ 144. Condiciones de equilibrio para un sistema en coordenadas generalizadas 375
§ 145. Ecuaciones de Lagrange 376
§ 146. Resolución de problemas 379
Capítulo XX*. Pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de la posición de equilibrio estable 387
§ 147. El concepto de equilibrio estabilidad 387
§ 148. Pequeñas vibraciones libres de un sistema con un grado de libertad 389
§ 149. Pequeñas oscilaciones amortiguadas y forzadas de un sistema con un grado de libertad 392
§ 150. Pequeñas oscilaciones sumarias de un sistema con dos grados de libertad 394
Capítulo XXXI. Teoría del impacto elemental 396
§ 151. Ecuación básica de la teoría del impacto 396
§ 152. Teoremas generales de la teoría del impacto 397
§ 153. Factor de recuperación de impacto 399
§ 154. Impacto del cuerpo sobre una barrera fija 400
§ 155. Impacto central directo de dos cuerpos (impacto de bolas) 401
§ 156. Pérdida de energía cinética durante un impacto inelástico de dos cuerpos. Teorema de Carnot 403
§ 157*. Un golpe a un cuerpo giratorio. Centro de Impacto 405
Índice 409
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