Fundamentos de la teoría de oscilaciones de sistemas mecánicos. Fundamentos de la teoría de las oscilaciones

Ministerio de Educación de la Federación Rusa
Estado de Ukhta Universidad Tecnica

CV. Khegay, D.N. Levitsky,
ÉL. Kharin, A. S. Popov

Fundamentos de la teoría de las oscilaciones
sistemas mecánicos
Tutorial

Aprobado por la asociación educativa y metodológica de universidades
para la educación superior de petróleo y gas como una educación
manuales para estudiantes de universidades de petróleo y gas que estudian
especialidad 090800, 170200, 553600

CDU 534.01
X-35
Fundamentos de la teoría de las oscilaciones de los sistemas mecánicos / V.K. khegai,
D.N. Levitsky, O. N. Kharin, A. S. Popov. - Ukhta: USTU, 2002. - 108 p.
ISBN 5-88179-285-8
El libro de texto analiza los conceptos básicos de la teoría de las oscilaciones de los sistemas mecánicos, que se basan en curso general mecánica teórica. Se presta especial atención a la aplicación de las ecuaciones de Lagrange de la segunda
hilera. El manual consta de seis capítulos, cada uno de los cuales está dedicado a un determinado tipo de oscilación. Un capítulo está dedicado a los fundamentos de la teoría de la estabilidad del movimiento y el equilibrio de los sistemas mecánicos.
Para un mejor aprendizaje material teorico, en el manual, se da
una gran cantidad de ejemplos y tareas de varios campos de la tecnología.
El libro de texto está destinado a estudiantes de especialidades mecánicas que cursan el curso de mecánica teórica en su totalidad,
también puede ser útil para estudiantes de otras especialidades.
Revisores: Departamento de Mecánica Teórica de San Petersburgo
Academia Forestal Estatal (Jefe del Departamento, Doctor en Ciencias Técnicas, Profesor Yu.A. Dobrynin); Jefe del Departamento de Perforación del Complejo, SeverNIPIGAz, Candidato a Ciencias Técnicas, Profesor Asociado Yu.M. Gerzhberg.

© Universidad Técnica Estatal de Ukhta, 2002
© Khegay V.K., Levitsky D.N., Kharin O.N., Popov A.S., 2002
ISBN 5-88179-285-8

3
Tabla de contenido
Prólogo .................................................. ............... ................................... ............................................... 4
Capítulo I Breve información de la mecánica analítica .......................................... 5
1.1 Energía potencial del sistema ............................................... ........ .................................. 5
1.2. Energía cinética del sistema .............................................. .................................................. 6
1.3. Función disipativa .................................................. .................. ................................ ............ ocho
1.4. Ecuación de Langrange ................................................. ... ............................................................. 9
1.5. Ejemplos para compilar ecuaciones de Langrange del segundo tipo ............................... 11
Capitulo dos. Estabilidad de movimiento y equilibrio de sistemas conservativos .......... 20
2.1. Introducción .................................................. . .................................................. .. ................. veinte
2.2. Funciones de Lyapunov. El criterio de Silvestre .................................................. ... ............. 21
2.3. Ecuación del movimiento perturbado .............................................. .................................................. 23
2.4. El teorema de Lyapunov sobre la estabilidad del movimiento ........................................... ......... .......... 26
2.5. Teorema de Lagrange sobre la estabilidad del equilibrio
sistema conservativo .................................................. .................. ................................ .......... 29
2.6. La estabilidad del equilibrio de un sistema conservativo con una
grado de libertad ............................................... ............... ................................... .............. ........... treinta
2.7. Ejemplos de la estabilidad del equilibrio de un sistema conservativo........................... 31
Capítulo III. Vibraciones libres de un sistema con un grado de libertad ................................ 39
3.1. Vibraciones libres de un sistema conservativo
con un grado de libertad ............................................. .................................................. .......... 39
3.2. Vibraciones libres de un sistema con un grado de libertad en presencia de
fuerzas de resistencia proporcionales a la velocidad ............................................. ........... ............ 42
3.3. Ejemplos de vibraciones libres de un sistema con un grado de libertad ........ 46
Capítulo IV. Oscilaciones forzadas de un sistema con un grado de libertad ...................... 59
4.1. Oscilaciones forzadas de un sistema con un grado de libertad
en el caso de una fuerza perturbadora periódica ....................................... ............................... 59
4.2. Fenómeno de resonancia .................................................. .................. ................................ ........... .... 63
4.3. El fenómeno del latido .................................................. ..... ............................................. .... ........ 66
4.4. Factor dinámico .................................................. .................. ................................ ... 68
4.5. Ejemplos de oscilaciones forzadas del sistema
con un grado de libertad ............................................. .................................................. .......... 70
Capítulo V. Vibraciones libres de un sistema con dos grados de libertad ..................................
5.1. Ecuaciones diferenciales de oscilaciones libres de un sistema con dos
grados de libertad y su solución general ............................................... ... ....................... 78
5.2. Formularios Propios .................................................. .................. ................................ .......... 80
5.3. Ejemplos de oscilación libre de un sistema con dos grados de libertad ...................... 81
Capítulo VI. Oscilaciones forzadas de un sistema con dos grados de libertad ........ 93
6.1. Ecuaciones diferenciales de oscilaciones forzadas del sistema y sus
decisión común ................................................. .................................................. . .......... 93
6.2. Amortiguador dinámico de vibraciones ............................................... .................................................... 95
6.3. Ejemplos de oscilaciones forzadas de un sistema con dos grados de libertad ..... 98
Lista bibliográfica .............................................. .................. ................................ ........ 107

4
Prefacio
En la etapa actual de desarrollo escuela secundaria Las formas de educación basadas en problemas y de investigación se están introduciendo cada vez más en la práctica docente.
Los procesos dinámicos en máquinas y mecanismos tienen una importancia decisiva tanto para el cálculo en la etapa de diseño de nuevas estructuras como para determinar modos tecnológicos durante la operación. Es difícil nombrar un campo de la tecnología en el que no habría
problemas de actualidad del estudio de las vibraciones elásticas y la estabilidad del equilibrio y el movimiento de los sistemas mecánicos. representan un especial
importancia para los ingenieros mecánicos que trabajan en el campo de la ingeniería mecánica, el transporte y otros campos de la tecnología.
El manual discute algunos temas individuales de la teoría.
vibraciones y estabilidad de sistemas mecánicos. Información teórica
explicado con ejemplos.
El propósito principal de este manual metodologico− enlace
area de aplicacion de la mecanica teorica y analitica con problemas
departamentos especiales que capacitan a los ingenieros mecánicos.

5
Capítulo I. BREVE INFORMACIÓN DE LA ANALÍTICA
MECÁNICA
yo Energía potencial del sistema
La energía potencial de un sistema con s grados de libertad, siendo
la energía de posición depende solo de las coordenadas generalizadas

П = П (q1 , q2 ,....., qs) ,
donde qj

(j = 1, 2, K , s) son las coordenadas generalizadas del sistema.

Considerando pequeñas desviaciones del sistema desde la posición de un establo
equilibrio, las coordenadas generalizadas qj pueden considerarse como cantidades del primer orden de pequeñez. Suponiendo que la posición de equilibrio del sistema
corresponde al origen de las coordenadas generalizadas, desarrollamos la expresión de la energía potencial P en la serie de Maclaurin en potencias de qj

∂P
1 S S ∂2 P
PAG = PAG (Ο) + ∑ (
)0 q j + ∑∑ (
)0 qi q j + K .
∂
q
2
∂
q
∂
q
j=1
yo=1 j=1
j
I
j
S

Teniendo en cuenta que la energía potencial se determina con una precisión
hasta alguna constante aditiva, la energía potencial en la posición de equilibrio puede tomarse igual a cero
P(0) = 0.

En el caso de fuerzas conservativas, las fuerzas generalizadas se definen mediante la fórmula

∂P
∂qj

(j = 1, 2, K, s) .

Ya que cuando el sistema de fuerzas está en equilibrio

(j = 1, 2, K , s) ,

Entonces las condiciones de equilibrio para un sistema conservativo de fuerzas tienen la forma

⎛ ∂П
⎜⎜
⎝ ∂qj

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2, K , s) ,

⎛ ∂П
∑⎜
j =1 ⎜ ∂q
⎝j

⎞
⎟⎟ q j = 0 .
⎠0

Por eso,
s

6
Entonces la igualdad (1.2.), hasta términos del segundo orden de pequeñez, toma la forma

1 S S ⎛ ∂2 П
PAG = ∑∑⎜
2 yo =1 j =1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ qi q j .
⎠0

Denotar

⎛ ∂2 П
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂qj

⎞
⎟⎟ = cij = cji ,
⎠0

Donde cij son los coeficientes de rigidez generalizados.
La expresión final de la energía potencial es

1 S S
П = ∑∑cij qi q j .
2 i=1 j=1

De (1.9.) se puede ver que la energía potencial del sistema es homogénea función cuadrática coordenadas generalizadas.
1.2. Energía cinética del sistema.
La energía cinética de un sistema formado por n puntos materiales,
es igual a

1n
T = ∑mk vk2 ,
2k=1

Donde mk y vk son la masa y la velocidad del k-ésimo punto del sistema.
Al pasar a coordenadas generalizadas, tendremos en cuenta que
_

(k = 1, 2,..., n) ,

Rk (q1, q2,..., qs)

Donde r k es el radio vector del k-ésimo punto del sistema.
−

Usamos la identidad vk2 = v k ⋅ v k y reemplazamos el vector de velocidad
−

V k su valor
_

∂rk
∂q1

∂rk
∂q2

∂rk
∂qs

Entonces la expresión de la energía cinética (1.10) toma la forma

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1,S q S −1 q S),(1.13)
2

⎛ _
∂rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k=1
⎝
norte

⎛ _
∂rk
Culo = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k=1
⎝
norte

⎞
⎛ _
norte
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k=1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ metro k ⋅ k ,...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

Como −1,s = ∑mk
k=1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

Expandiendo cada uno de estos coeficientes en una serie de Maclaurin en potencias de coordenadas generalizadas, obtenemos

⎛ ∂Aij
Aij = (Aij)0 + ∑ ⎜
⎜
j =1 ⎝ ∂A j
S

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2,..., s) .

El índice 0 corresponde a los valores de las funciones en la posición de equilibrio. Dado que se consideran pequeñas desviaciones del sistema de la posición
equilibrio, entonces en la igualdad (1.14) nos limitamos a los primeros términos constantes

(i = j = 1, 2,..., s) .

Aij = (Aij)0 = aij

Entonces la expresión de la energía cinética (1.13) toma la forma
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

o en general

1S
T=∑
2 yo = 1

Las constantes aij son los coeficientes de inercia generalizados.
De (1.16) se puede ver que la energía cinética del sistema T es homogénea
función cuadrática de velocidades generalizadas.

8
1.3. función disipativa
En condiciones reales, las oscilaciones libres del sistema se amortiguan, por lo que
cómo actúan las fuerzas de resistencia en sus puntos. En presencia de fuerzas de resistencia, la energía mecánica se disipa.
−

Supongamos que las fuerzas de resistencia R k (k = 1, 2,..., n) actúan
a puntos del sistema, proporcionales a sus velocidades
_

R k = − µk v k

(k = 1, 2,..., n) ,

Donde µk es el coeficiente de proporcionalidad.
Las fuerzas de resistencia generalizadas para el sistema holonómico están determinadas por las fórmulas
norte

Q j R = ∑ Rk
k=1

∂rk
∂r
= −∑ µ k vk k
∂qj
∂qj
k=1
norte

(j = 1, 2,..., s) .

Porque
_

∂rk
∂rk
∂rk
q1 +
q2 + ... +
qS,
∂q1
∂q2
∂qS

∂rk
.
∂qj

Teniendo en cuenta (1.18), reescribimos las fuerzas de resistencia generalizadas (1.17) en la forma
norte

Q = −∑ µκ vκ
R
j

(j = 1, 2,..., s) .

Introduzcamos una función disipativa, que se define mediante la fórmula
norte

Entonces las fuerzas de resistencia generalizadas están determinadas por las fórmulas

(j = 1, 2,..., s) .

La función disipativa, por analogía con la energía cinética del sistema, se puede representar como una función cuadrática homogénea
velocidades generalizadas

1 S S
Φ = ∑∑ вij q yo q j ,
2 i=1 j=1

Donde Вij son los coeficientes de disipación generalizados.
1.4. Ecuación de Lagrange de segundo tipo
La posición de un sistema holonómico con s grados de libertad está determinada por s coordenadas generalizadas qj (j = 1, 2,..., s) .
Para derivar las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo, usamos el general
ecuación dinámica
S

Q y j)δ q j = 0 ,

Donde Qj es la fuerza generalizada de fuerzas activas correspondiente a la j-ésima coordenada generalizada;
Q uj es la fuerza generalizada de fuerzas de inercia correspondiente a la j-ésima coordenada generalizada;
δ q j es el incremento de la j-ésima coordenada generalizada.
Teniendo en cuenta que todos los δ q j (j = 1, 2,..., s) son independientes entre sí,
la igualdad (1.23) será válida solo en el caso en que cada uno de los coeficientes en δ q j por separado sea igual a cero, es decir

Q j + Q y j = 0 (j = 1, 2,..., s)
o

(j = 1, 2,..., s) .

Expresemos Q uj en términos de la energía cinética del sistema.
Por definición de la fuerza generalizada, tenemos

Q y j = ∑ Φ k
k=1

∂rk
re vk ∂ r k
= −∑mk
⋅
1
=
k
∂qj
dt ∂q j
norte

(j = 1, 2, K , s) ,

Dvk
donde Φ k = − mk a k = − mk
es la fuerza de inercia en el -ésimo punto del sistema.
dt
_

⎛_ _
re vk ∂ r k re ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂qj
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ − vk ⋅ re ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂qj
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1 , q2 ,..., qs) ,
_

Dr rk ∂ rk
∂rk
∂rk
vk =
=
q1 +
q2 + ... +
qs,
dt
∂q1
∂q2
∂qs
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂qj
⎝

_
_
⎞
∂
D
r
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂qj
⎠

Sustituyendo los valores (1.27) y (1.28) en la igualdad (1.26), encontramos
_
⎛_
∂ vk ∂ r k re ⎜
∂vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂vk2
∂
v
D
k
⎜
⎟ − vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝

⎞
2
⎟ − ∂vk.
⎟⎟ 2∂qj
⎠

Teniendo en cuenta la igualdad (1.29), reescribimos la expresión (1.25) en la forma

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
y
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k=1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
norte

∂
−
∂qj

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k=1
j
⎝
norte

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂qj
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k=1
⎠
norte

11
Aquí se tiene en cuenta que la suma de derivadas es igual a la derivada de la suma,
nm v2
y ∑ k k = T es la energía cinética del sistema.
k=1
2
Teniendo en cuenta las igualdades (1.24), finalmente encontramos

⎛
d ⎜ ∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝j

⎞
⎟ − ∂Τ = Q
j
⎟⎟ ∂qj
⎠

(j = 1, 2, K, s) .

Las ecuaciones (1.30) se denominan ecuaciones de Lagrange de segunda clase.
El número de estas ecuaciones es igual al número de grados de libertad.
Si las fuerzas que actúan sobre los puntos del sistema tienen un potencial, entonces
para fuerzas generalizadas, la fórmula

∂P
∂qj

(j = 1, 2, K , s) ,

Donde P es la energía potencial del sistema.
Así, para un sistema conservativo de ecuaciones de Lagrange

El libro introduce al lector a propiedades comunes procesos oscilatorios que ocurren en ingeniería de radio, óptica y otros sistemas, así como con diversos métodos cualitativos y cuantitativos para su estudio. Se presta una atención considerable a la consideración de sistemas paramétricos, autooscilantes y otros sistemas oscilatorios no lineales.
El estudio de los sistemas y procesos oscilatorios descritos en el libro está dado por métodos conocidos de la teoría de oscilaciones sin una presentación detallada y justificación de los métodos mismos. Se presta atención principal a la elucidación de las características fundamentales de los modelos oscilatorios estudiados de sistemas reales utilizando los métodos de análisis más adecuados.

Oscilaciones libres en un circuito con una inductancia no lineal.
Consideremos ahora otro ejemplo de un sistema conservativo no lineal eléctrico, a saber, un circuito con una inductancia que depende de la corriente que fluye a través de él. Este caso no tiene un análogo mecánico no relativista ilustrativo y simple, ya que la dependencia de la autoinducción de la corriente es equivalente para la mecánica al caso de la dependencia de la masa de la velocidad.

Nos encontramos con sistemas eléctricos de este tipo cuando se utilizan núcleos de material ferromagnético en inductores. En tales casos, para cada núcleo dado, es posible obtener una relación entre el campo magnético y el flujo de inducción magnética. La curva que representa esta dependencia se denomina curva de magnetización. Si ignoramos el fenómeno de la histéresis, entonces su curso aproximado se puede representar mediante el gráfico que se muestra en la Fig. 1.13. Dado que la magnitud del campo H es proporcional a la corriente que fluye en la bobina, la corriente se puede representar directamente en el eje de abscisas en la escala apropiada.

Descarga gratis libro electronico en un formato conveniente, vea y lea:
Descargue el libro Fundamentos de la teoría de las oscilaciones, Migulin V.V., Medvedev V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, descarga rápida y gratuita.

• Principios de física teórica, mecánica, teoría de campos, elementos de la mecánica cuántica, Medvedev B.V., 2007
• Curso de física, Ershov A.P., Fedotovich G.V., Kharitonov V.G., Pruwell E.R., Medvedev D.A.
• Termodinámica técnica con los conceptos básicos de transferencia de calor e hidráulica, Lashutina N.G., Makashova O.V., Medvedev R.M., 1988

Ya hemos considerado el origen de la mecánica clásica, la resistencia de los materiales y la teoría de la elasticidad. El componente más importante de la mecánica es también la teoría de las vibraciones. Las vibraciones son la principal causa de destrucción de máquinas y estructuras. Ya a finales de la década de 1950. El 80% de los accidentes de equipos ocurrieron debido al aumento de las vibraciones. Las fluctuaciones también tienen un efecto nocivo en las personas asociadas con el funcionamiento de la maquinaria. También pueden hacer que los sistemas de control fallen.

A pesar de todo esto, la teoría de las oscilaciones surgió como una ciencia independiente solo a principios del siglo XIX. Sin embargo, los cálculos de máquinas y mecanismos hasta el principio siglo XX se celebraron en un escenario estático. El desarrollo de la ingeniería mecánica, el aumento de la potencia y la velocidad de las máquinas de vapor al tiempo que se reduce su peso, la aparición de nuevos tipos de motores: motores de combustión interna y turbinas de vapor, llevaron a la necesidad de cálculos de resistencia teniendo en cuenta las cargas dinámicas. Por regla general, nuevos problemas en la teoría de las oscilaciones surgieron en la tecnología bajo la influencia de accidentes o incluso catástrofes resultantes del aumento de las vibraciones.

Oscilaciones es un movimiento o cambio de estado, que tiene cierto grado de repetición.

La teoría de las oscilaciones se puede dividir en cuatro períodos.

Iperíodo- el surgimiento de la teoría de las oscilaciones en el marco de la mecánica teórica (finales del siglo XVI - finales del siglo XVIII). Este período se caracteriza por el surgimiento y desarrollo de la dinámica en las obras de Galileo, Huygens, Newton, d"Alembert, Euler, D. Bernoulli y Lagrange.

Leonhard Euler se convirtió en el fundador de la teoría de las oscilaciones. En 1737, L. Euler, en nombre de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, comenzó a investigar sobre el equilibrio y el movimiento del barco, y en 1749 se publicó en San Petersburgo su libro "Ciencia del barco". Fue en esta obra de Euler donde se sentaron las bases de la teoría de la estabilidad estática y la teoría de las oscilaciones.

Jean Leron d "Alembert, en sus numerosos trabajos, consideró problemas individuales, como pequeñas oscilaciones de un cuerpo alrededor del centro de masa y alrededor del eje de rotación en relación con el problema de la precesión y nutación de la Tierra, oscilaciones de un péndulo , un cuerpo flotante, resortes, etc. Pero teoría general Vacilación d "Alamber no creó.

La aplicación más importante de los métodos de la teoría de vibraciones fue la determinación experimental de la rigidez torsional del alambre, realizada por Charles Coulomb. Empíricamente, Coulomb también estableció la propiedad de isocronismo de pequeñas oscilaciones en este problema. Investigando la amortiguación de vibraciones, este gran experimentador llegó a la conclusión de que su causa principal no es la resistencia del aire, sino las pérdidas por fricción interna en el material del alambre.

Una gran contribución a los fundamentos de la teoría de las oscilaciones fue realizada por L. Euler, quien sentó las bases de la teoría de la estabilidad estática y la teoría de las pequeñas oscilaciones, d "Alembert, D. Bernoulli y Lagrange. En sus obras, el se formaron los conceptos de período y frecuencia de las oscilaciones, se formó la forma de las oscilaciones, se empezó a utilizar el término pequeñas oscilaciones, se formuló el principio de superposición de soluciones, se intentó expandir la solución a una serie trigonométrica.

Las primeras tareas de la teoría de las oscilaciones fueron los problemas de oscilaciones de un péndulo y una cuerda. Ya hemos hablado de las oscilaciones del péndulo: el resultado práctico de resolver este problema fue la invención del reloj por parte de Huygens.

En cuanto al problema de las vibraciones de las cuerdas, este es uno de los problemas más importantes en la historia del desarrollo de las matemáticas y la mecánica. Considerémoslo con más detalle.

cuerda acustica es un hilo ideal liso, delgado y flexible de una longitud finita de material duro, estirado entre dos puntos fijos. V interpretación moderna el problema de las vibraciones transversales de una cuerda de longitud yo se reduce a encontrar una solución a la ecuación diferencial (1) en derivadas parciales. Aquí X es la coordenada del punto de la cuerda a lo largo de la longitud, y y- su desplazamiento transversal; H- tensión de la cuerda - su masa corriente. a es la velocidad de la onda. Una ecuación similar también describe las oscilaciones longitudinales de la columna de aire en la tubería.

En este caso, se debe especificar la distribución inicial de las desviaciones de los puntos de la cuerda con respecto a una línea recta y sus velocidades, es decir la ecuación (1) debe satisfacer las condiciones iniciales (2) y las condiciones de contorno (3).

Los primeros estudios experimentales fundamentales de las vibraciones de las cuerdas fueron realizados por el matemático y mecánico holandés Isaac Beckmann (1614-1618) y M. Mersenne, quienes establecieron una serie de regularidades y publicaron sus resultados en 1636 en el "Libro de las consonancias":

Las regularidades de Mersenne fueron teóricamente confirmadas en 1715 por Brooke Taylor, estudiante de Newton. Considera la cuerda como un sistema de puntos materiales y hace las siguientes suposiciones: todos los puntos de la cuerda pasan simultáneamente por sus posiciones de equilibrio (coinciden con el eje X) y la fuerza que actúa sobre cada punto es proporcional a su desplazamiento y sobre el eje X. Esto significa que reduce el problema a un sistema con un grado de libertad - ecuación (4). Taylor recibió correctamente la primera frecuencia natural (tono fundamental) - (5).

D "Alembert en 1747 para este problema aplicó el método de reducir el problema de la dinámica al problema de la estática (principio d" Alembert) y obtuvo una ecuación diferencial para vibraciones de una cuerda homogénea en derivadas parciales (1) - la primera ecuación de física matemática. Estaba buscando la solución de esta ecuación en la forma de la suma de dos funciones arbitrarias (6)

donde y son funciones periódicas de periodo 2 yo. Al aclarar la cuestión de la forma de las funciones y d'Alembert tiene en cuenta las condiciones de contorno (1.2), suponiendo que en
la cuerda coincide con el eje X. El significado es
no especificado en la instrucción de la tarea.

Euler considera un caso especial cuando
la cuerda se desvía de la posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Es esencial que Euler no imponga ninguna restricción sobre la forma inicial de la cuerda, es decir no requiere que pueda darse analíticamente, considerando cualquier curva que "pueda dibujarse a mano". El resultado final obtenido por el autor: si
la forma de la cuerda está descrita por la ecuación
, entonces las oscilaciones se ven así (7). Euler revisó sus puntos de vista sobre el concepto de función, en contraste con la idea anterior de ella solo como una expresión analítica. Por lo tanto, la clase de funciones a estudiar en el análisis se amplió y Euler llegó a la conclusión de que "dado que cualquier función definirá una cierta línea, lo contrario también es cierto: las líneas curvas se pueden reducir a funciones".

Las soluciones obtenidas por d "Alembert y Euler representan la ley de vibraciones de cuerdas en forma de dos ondas que corren una hacia la otra. Al mismo tiempo, no estaban de acuerdo en la forma de la función que define la línea de flexión.

D. Bernoulli, al estudiar las vibraciones de una cuerda, tomó un camino diferente, descomponiendo la cuerda en puntos materiales, cuyo número consideraba infinito. Introduce el concepto de una oscilación armónica simple de un sistema, es decir tal su movimiento, en el que todos los puntos del sistema oscilan sincrónicamente con la misma frecuencia, pero amplitudes diferentes. Los experimentos realizados con cuerpos sonoros llevaron a D. Bernoulli a la idea de que el movimiento más general de una cuerda consiste en la ejecución simultánea de todos los movimientos disponibles para ella. Esta es la llamada superposición de soluciones. Así, en 1753, basándose en consideraciones físicas, obtuvo una solución general para las vibraciones de las cuerdas, presentándola como una suma de soluciones parciales, para cada una de las cuales la cuerda se dobla en forma de una curva característica (8).

En esta serie, la primera forma de oscilación es la mitad de una sinusoide, la segunda es una sinusoide completa, la tercera consta de tres semisinusoides, y así sucesivamente. Sus amplitudes se representan como funciones del tiempo y, en esencia, son las coordenadas generalizadas del sistema bajo consideración. Según la solución de D. Bernoulli, el movimiento de la cuerda es una serie infinita de vibraciones armónicas con periodos
. En este caso, el número de nodos (puntos fijos) es uno menos que el número de frecuencia natural. Restringiendo la serie (8) a un número finito de términos, obtenemos un número finito de ecuaciones para el sistema continuo.

Sin embargo, la solución de D. Bernoulli contiene una imprecisión: no tiene en cuenta que el cambio de fase de cada armónico de oscilaciones es diferente.

D. Bernoulli, al presentar la solución en forma de serie trigonométrica, utilizó el principio de superposición y expansión de la solución en términos de un sistema completo de funciones. Con razón creía que con la ayuda de varios términos de la fórmula (8) es posible explicar los tonos armónicos que emite la cuerda simultáneamente con su tono fundamental. Consideró esto como una ley general, válida para cualquier sistema de cuerpos que realiza pequeñas vibraciones. Sin embargo, la motivación física no puede reemplazar la prueba matemática, que no se presentó entonces. Debido a esto, los colegas no entendieron las soluciones de D. Bernoulli, aunque ya en 1737 C. A. Clairaut usó la expansión de funciones en una serie.

tener dos varias maneras resolviendo el problema de las vibraciones de las cuerdas causadas entre los principales científicos del siglo XVIII. tormentosa controversia - "argumento sobre la cuerda". Esta disputa se refería principalmente a cuestiones sobre la forma de las soluciones admisibles del problema, sobre la representación analítica de una función y si es posible representar una función arbitraria en forma de serie trigonométrica. En el "argumento sobre la cuerda" uno de los más conceptos importantes análisis - el concepto de función.

D "Alamber y Euler no estaban de acuerdo en que la solución propuesta por D. Bernoulli pudiera ser general. En particular, Euler no podía estar de acuerdo en que esta serie pudiera representar cualquier "curva dibujada libremente", como él mismo definió ahora el concepto de función.

Joseph Louis Lagrange, entrando en controversia, partió la cuerda en pequeños arcos de la misma longitud con la masa concentrada en el centro, e investigó la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con un número finito de grados de libertad. Pasando entonces al límite, Lagrange obtuvo un resultado análogo al de D. Bernoulli, sin, sin embargo, postular de antemano que la solución general debe ser una suma infinita de soluciones particulares. Al mismo tiempo, refina la solución de D. Bernoulli, llevándola a la forma (9), y también deriva fórmulas para determinar los coeficientes de esta serie. Aunque la solución del fundador de la mecánica analítica no cumple con todos los requisitos de rigor matemático, fue un notable paso adelante.

En cuanto a la expansión de la solución en una serie trigonométrica, Lagrange creía que la serie diverge bajo condiciones iniciales arbitrarias. Después de 40 años, en 1807, J. Fourier encontró nuevamente la expansión de la función en una serie trigonométrica por tercera vez y mostró cómo se puede usar esto para resolver el problema, confirmando así la corrección de la solución de D. Bernoulli. Una prueba analítica completa del teorema de Fourier sobre la expansión de una función periódica de un solo valor en una serie trigonométrica se proporcionó en el cálculo integral de Todgenter y en el "Tratado de filosofía natural" de Thomson (Lord Kelvin) y Tait.

La investigación sobre las vibraciones libres de una cuerda estirada duró dos siglos, contados desde el trabajo de Beckmann. Este problema sirvió como un poderoso estímulo para el desarrollo de las matemáticas. Teniendo en cuenta las oscilaciones de los sistemas continuos, Euler, d "Alembert y D. Bernoulli crearon una nueva disciplina: la física matemática. La matematización de la física, es decir, presentarla a través de un nuevo análisis, es el mayor mérito de Euler, gracias al cual se abrieron nuevos caminos en la ciencia. . desarrollo lógico resultados de Euler y Fourier fue la conocida definición de la función de Lobachevsky y Lejeune Dirichlet, basada en la idea de una correspondencia biunívoca de dos conjuntos. Dirichlet también demostró la posibilidad de expansión en una serie de Fourier de funciones monótonas y continuas por partes. También se obtuvo una ecuación de onda unidimensional y se estableció la igualdad de sus dos soluciones, lo que confirmó matemáticamente la conexión entre oscilaciones y ondas. El hecho de que una cuerda vibrante genere sonido llevó a los científicos a pensar en la identidad del proceso de propagación del sonido y el proceso de vibración de una cuerda. También se reveló el papel más importante de las condiciones iniciales y de contorno en tales problemas. Para el desarrollo de la mecánica, un resultado importante fue la aplicación del principio d "Alembert para escribir ecuaciones diferenciales de movimiento, y para la teoría de las oscilaciones esta tarea también desempeñó un papel muy importante, a saber, el principio de superposición y expansión de la Se aplicaron soluciones en términos de modos naturales de oscilaciones, se formularon los conceptos básicos de la teoría de las oscilaciones: frecuencia natural y forma de vibraciones.

Los resultados obtenidos para vibraciones libres de una cuerda sirvieron de base para crear la teoría de vibraciones de sistemas continuos. El estudio adicional de las vibraciones de cuerdas, membranas y varillas no homogéneas requirió encontrar métodos especiales para resolver las ecuaciones hiperbólicas más simples de segundo y cuarto orden.

El problema de las vibraciones libres de una cuerda estirada interesó a los científicos, por supuesto, no por su aplicación práctica, las leyes de estas vibraciones eran conocidas en mayor o menor medida por los artesanos que fabricaban instrumentos musicales. Esto se evidencia en los instrumentos de cuerda sin igual de maestros como Amati, Stradivari, Guarneri y otros, cuyas obras maestras fueron creadas en el siglo XVII. Los intereses de los más grandes científicos que se ocuparon de este problema, muy probablemente, residían en el deseo de aportar una base matemática a las leyes ya existentes de vibración de cuerdas. En esta pregunta se manifestó el camino tradicional de cualquier ciencia, a partir de la creación de una teoría que explica ya hechos conocidos para luego encontrar y explorar fenómenos desconocidos.

Yoperíodo - analítico(finales del siglo XVIII - finales del siglo XIX). El paso más importante en el desarrollo de la mecánica lo dio Lagrange, quien creó una nueva ciencia: la mecánica analítica. El comienzo del segundo período en el desarrollo de la teoría de las oscilaciones está asociado con el trabajo de Lagrange. En el libro Mecánica analítica, publicado en París en 1788, Lagrange resumió todo lo que se había hecho en mecánica en el siglo XVIII y formuló un nuevo enfoque para resolver sus problemas. En la doctrina del equilibrio, abandonó los métodos geométricos de la estática y propuso el principio de los desplazamientos posibles (principio de Lagrange). En dinámica, Lagrange, aplicando simultáneamente el principio de d"Alembert y el principio de los posibles desplazamientos, obtuvo una ecuación variacional general de la dinámica, que también se denomina principio de d"Alembert - Lagrange. Finalmente, introdujo el concepto de coordenadas generalizadas en uso y obtuvo las ecuaciones de movimiento en la forma más conveniente: las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo.

Estas ecuaciones se convirtieron en la base para crear la teoría de las pequeñas oscilaciones descritas por lineal ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. La linealidad rara vez es inherente a un sistema mecánico y, en la mayoría de los casos, es el resultado de su simplificación. Considerando pequeñas fluctuaciones cerca de la posición de equilibrio, que se realizan a bajas velocidades, es posible descartar términos de segundo y orden superior en las ecuaciones de movimiento con respecto a coordenadas y velocidades generalizadas.

Aplicación de las ecuaciones de Lagrange de segunda especie para sistemas conservativos

obtenemos el sistema s ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes

, (11)

donde I y C son, respectivamente, matrices de inercia y rigidez, cuyas componentes serán los coeficientes inercial y elástico.

La solución particular (11) se busca en la forma

y describe un régimen oscilatorio monoarmónico con una frecuencia k, que es el mismo para todas las coordenadas generalizadas. Derivando (12) dos veces con respecto a t y sustituyendo el resultado en las ecuaciones (11), obtenemos un sistema de ecuaciones lineales homogéneas para encontrar las amplitudes en forma matricial

. (13)

Dado que durante las oscilaciones del sistema todas las amplitudes no pueden ser iguales a cero, el determinante es igual a cero

. (14)

La ecuación de frecuencia (14) se denominó ecuación secular, ya que fue considerada por primera vez por Lagrange y Laplace en la teoría de las perturbaciones seculares de los elementos de las órbitas planetarias. es la ecuacion s-ésimo grado relativo a , el número de sus raíces es igual al número de grados de libertad del sistema. Estas raíces suelen estar dispuestas en orden ascendente, mientras forman el espectro de frecuencias naturales. A cada raíz corresponde a una solución particular de la forma (12), el conjunto s las amplitudes representan la forma de onda, y la solución general es la suma de estas soluciones.

Lagrange dio la afirmación de D. Bernoulli de que el movimiento oscilatorio general de un sistema de puntos discretos consiste en la ejecución simultánea de todas sus oscilaciones armónicas, la forma de un teorema matemático, utilizando la teoría de integración de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, creado por Euler en los años 40 del siglo XVIII. y los logros de d "Alembert, quien mostró cómo se integran los sistemas de tales ecuaciones. Al mismo tiempo, era necesario demostrar que las raíces de la ecuación secular son reales, positivas y no iguales entre sí.

Así, en "Mecánica analítica" Lagrange obtuvo la ecuación de frecuencias en forma general. Al mismo tiempo, repite el error cometido por d "Alembert en 1761, de que las raíces múltiples de la ecuación secular corresponden a una solución inestable, ya que supuestamente en este caso aparecen términos seculares o seculares en la solución que contiene t no bajo el signo de seno o coseno. En este sentido, tanto d'Alembert como Lagrange creían que la ecuación de frecuencia no puede tener múltiples raíces (paradoja de d'Alembert-Lagrange). A Lagrange le bastó considerar al menos un péndulo esférico o las oscilaciones de una barra cuya sección transversal sea, por ejemplo, redonda o cuadrada, para asegurarse de que son posibles múltiples frecuencias en sistemas mecánicos conservadores. El error cometido en la primera edición de Analytical Mechanics se repitió en la segunda edición (1812), que apareció en vida de Lagrange, y en la tercera (1853). La autoridad científica de d "Alembert y Lagrange era tan alta que este error fue repetido tanto por Laplace como por Poisson, y fue corregido solo después de casi 100 años independientemente el uno del otro en 1858 por K. Weierstrass y en 1859 por Osip Ivanovich Somov , quien hizo una gran contribución al desarrollo de la teoría de las oscilaciones de los sistemas discretos.

Así, para determinar las frecuencias y modos de oscilaciones libres de un sistema lineal sin resistencia, es necesario resolver la ecuación secular (13). Sin embargo, las ecuaciones de grado superior al quinto no tienen solución analítica.

El problema no era sólo la solución de la ecuación secular, sino también, en más, compilándolo, ya que el determinante expandido (13) tiene
términos, por ejemplo, para un sistema con 20 grados de libertad, el número de términos es 2.4 10 18, y el tiempo que lleva abrir tal determinante para la computadora más poderosa de la década de 1970, realizando 1 millón de operaciones por segundo, es aproximadamente 1,5 millones de años, y para una computadora moderna "solo" unos pocos cientos de años.

El problema de determinar las frecuencias y modos de las oscilaciones libres también puede considerarse como un problema de álgebra lineal y resolverse numéricamente. Reescribiendo la igualdad (13) como

, (14)

tenga en cuenta que la matriz de columna es propio matriz vectorial

, (15)

a su propio significado.

Resolver el problema de los valores propios y los vectores es uno de los problemas más atractivos del análisis numérico. Al mismo tiempo, es imposible proponer un solo algoritmo para resolver todos los problemas encontrados en la práctica. La elección del algoritmo depende del tipo de matriz, así como de si es necesario determinar todos los autovalores o solo el más pequeño (mayor) o cercano a un número dado. En 1846, Carl Gustav Jacob Jacobi propuso un método de rotación iterativo para resolver el problema de valor propio completo. El método se basa en tal secuencia infinita de rotaciones elementales que, en el límite, transforma la matriz (15) en una diagonal. Los elementos diagonales de la matriz resultante serán los valores propios deseados. En este caso, para determinar los autovalores, se requiere
operaciones aritméticas y para vectores propios
operaciones. En este sentido, el método en el siglo XIX. no encontró aplicación y fue olvidado durante más de cien años.

El siguiente paso importante en el desarrollo de la teoría de las oscilaciones fue el trabajo de Rayleigh, especialmente su obra fundamental The Theory of Sound. En este libro, Rayleigh considera los fenómenos oscilatorios en mecánica, acústica y sistemas eléctricos desde un punto de vista unificado. Rayleigh posee una serie de teoremas fundamentales de la teoría lineal de las oscilaciones (teoremas sobre estacionariedad y propiedades de las frecuencias naturales). Rayleigh también formuló el principio de reciprocidad. Por analogía con la energía cinética y potencial, introdujo una función disipativa, recibió el nombre de Rayleigh y representa la mitad de la tasa de disipación de energía.

En The Theory of Sound, Rayleigh también ofrece un método aproximado para determinar la primera frecuencia natural de un sistema conservativo.

, (16)

donde
. En este caso, se toma alguna forma de vibraciones para calcular los valores máximos de las energías potencial y cinética. Si coincide con el primer modo del sistema, obtendremos el valor exacto de la primera frecuencia natural, en caso contrario este valor siempre se sobrestima. El método da una precisión bastante aceptable para la práctica, si se toma como primer modo de vibración la deformación estática del sistema.

Así, allá por el siglo XIX, en los trabajos de Somov y Rayleigh, se formó una técnica para construir ecuaciones diferenciales que describen pequeños movimientos oscilatorios de sistemas mecánicos discretos usando las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo.

donde en la fuerza generalizada
deben incluirse todos los factores de fuerza, a excepción de los elásticos y disipativos, cubiertos por funciones R y P.

Las ecuaciones de Lagrange (17) en forma matricial, que describen las vibraciones forzadas de un sistema mecánico, después de sustituir todas las funciones, quedan así

. (18)

Aquí es la matriz de amortiguamiento, y
son vectores columna de coordenadas, velocidades y aceleraciones correspondientemente generalizadas. decisión común de esta ecuación consiste en oscilaciones libres y acompañantes, que siempre están amortiguadas, y oscilaciones forzadas que ocurren con la frecuencia de la fuerza perturbadora. Nos limitamos a considerar sólo una solución particular correspondiente a oscilaciones forzadas. Como excitación, Rayleigh consideró fuerzas generalizadas que cambian según una ley armónica. Muchos atribuyeron esta elección a la simplicidad del caso bajo consideración, pero Rayleigh da una explicación más convincente: expansión en una serie de Fourier.

Así, para un sistema mecánico con más de dos grados de libertad, la solución de un sistema de ecuaciones presenta ciertas dificultades, que aumentan como una avalancha con el aumento del orden del sistema. Incluso con cinco o seis grados de libertad, el problema de las oscilaciones forzadas no se puede resolver manualmente de la forma clásica.

En la teoría de las oscilaciones de los sistemas mecánicos, las pequeñas oscilaciones (lineales) de los sistemas discretos han jugado un papel especial. La teoría espectral desarrollada para sistemas lineales ni siquiera requiere la construcción de ecuaciones diferenciales, y para obtener una solución, uno puede escribir inmediatamente sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Aunque los métodos para determinar vectores propios y valores propios (Jacobi) y para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (Gauss) se desarrollaron a mediados del siglo XIX, su aplicación práctica incluso para sistemas con un número pequeño de grados de libertad estaba descartada. de la pregunta Por lo tanto, antes de la llegada de las computadoras suficientemente potentes, se desarrollaron muchos métodos diferentes para resolver el problema de las oscilaciones libres y forzadas de los sistemas mecánicos lineales. Muchos científicos destacados, matemáticos y mecánicos, se ocuparon de estos problemas, se discutirán a continuación. El advenimiento de la poderosa tecnología informática hizo posible no solo resolver problemas lineales de grandes dimensiones en una fracción de segundo, sino también automatizar el proceso de compilación de sistemas de ecuaciones.

Así, durante el siglo XVIII. en la teoría de pequeñas oscilaciones de sistemas con un número finito de grados de libertad y oscilaciones de sistemas elásticos continuos, se desarrollaron los esquemas físicos básicos y los principios esenciales para Análisis matemático problemas. Sin embargo, para crear la teoría de las oscilaciones mecánicas como ciencia independiente, no había suficiente enfoque unificado para resolver problemas de dinámica, y no había demandas técnicas para su desarrollo más rápido.

El crecimiento de la industria a gran escala a fines del siglo XVIII y principios del XIX, causado por la introducción generalizada de la máquina de vapor, llevó a la separación de la mecánica aplicada en una disciplina separada. Pero hasta finales del siglo XIX, los cálculos de resistencia se realizaban en una formulación estática, ya que las máquinas aún eran de baja potencia y de lento movimiento.

A fines del siglo XIX, con el aumento de las velocidades y la disminución de las dimensiones de las máquinas, se hizo imposible despreciar las vibraciones. Numerosos accidentes que ocurrieron desde el inicio de la resonancia o la falla por fatiga durante las vibraciones obligaron a los ingenieros a prestar atención a los procesos oscilatorios. De los problemas que surgieron durante este período, cabe señalar los siguientes: el colapso de puentes por el paso de trenes, vibraciones torsionales de ejes y vibraciones de cascos de barcos, excitados por las fuerzas de inercia de partes móviles de máquinas desequilibradas.

terceroperíodo– formación y desarrollo de la teoría aplicada de las oscilaciones (1900-1960). Desarrollo de la ingeniería mecánica, mejora de locomotoras y barcos, aparición de turbinas de vapor y de gas, motores de combustión interna de alta velocidad, automóviles, aviones, etc. exigió un análisis más preciso de las tensiones en las piezas de la máquina. Esto fue dictado por los requisitos de un uso más económico del metal. El aligeramiento de las estructuras ha dado lugar a problemas de vibraciones, que cada vez son más determinantes en cuestiones de resistencia de las máquinas. A principios del siglo XX, numerosos accidentes muestran de manera convincente las catastróficas consecuencias que puede acarrear el descuido de las vibraciones o el desconocimiento de las mismas.

El advenimiento de nueva tecnología, por regla general, plantea nuevos problemas para la teoría de las oscilaciones. Así que en los años 30 y 40. Surgieron nuevos problemas, como el aleteo y el zigzagueo en pérdida en la aviación, las vibraciones de flexión y flexión-torsión de los ejes giratorios, etc., que requirieron el desarrollo de nuevos métodos para el cálculo de vibraciones. A fines de la década de 1920, primero en física y luego en mecánica, se inició el estudio de las oscilaciones no lineales. En relación con el desarrollo de sistemas de control automático y otras demandas técnicas, desde la década de 1930, la teoría de la estabilidad del movimiento se ha desarrollado y aplicado ampliamente, cuya base fue la tesis doctoral de A. M. Lyapunov "El problema general de la estabilidad del movimiento".

La ausencia de una solución analítica para los problemas de la teoría de las oscilaciones, incluso en una formulación lineal, por un lado, y de la tecnología informática, por el otro, ha llevado al desarrollo de un gran número de métodos numéricos diversos para resolver ellos.

La necesidad de calcular vibraciones para varios tipos de equipos hizo que en la década de 1930 aparecieran los primeros cursos de formación La teoría de las vibraciones.

Transición a IVperíodo(principios de la década de 1960 - presente) se asocia con la era de la revolución científica y tecnológica y se caracteriza por la aparición de nuevas tecnologías, principalmente la aviación y el espacio, los sistemas robóticos. Además, el desarrollo de la ingeniería eléctrica, el transporte, etc. planteó los problemas de resistencia dinámica y fiabilidad en primer lugar. Esto se debe a un aumento en las velocidades de operación y una disminución en el consumo de material con un deseo simultáneo de aumentar el recurso de las máquinas. En la teoría de las oscilaciones, cada vez más problemas se resuelven en una formulación no lineal. En el campo de las oscilaciones de los sistemas continuos, bajo la influencia de las demandas de la tecnología aeronáutica y espacial, surgen problemas en la dinámica de placas y capas.

La mayor influencia en el desarrollo de la teoría de las oscilaciones en este período es la aparición y el rápido desarrollo de la tecnología informática electrónica, que condujo al desarrollo de métodos numéricos para calcular las oscilaciones.

movimiento oscilante Se denomina a todo movimiento o cambio de estado, caracterizado por uno u otro grado de repetición en el tiempo de los valores de las magnitudes físicas que determinan dicho movimiento o estado. Las fluctuaciones son características de todos los fenómenos naturales: la radiación de los pulsos de las estrellas; los planetas giran con un alto grado de periodicidad sistema solar; los vientos excitan vibraciones y olas en la superficie del agua; dentro de cualquier organismo vivo, ocurren continuamente varios procesos que se repiten rítmicamente, por ejemplo, el corazón humano late con una fiabilidad asombrosa.

En física, las vibraciones se distinguen mecánico y electromagnético. Con la ayuda de propagar fluctuaciones mecánicas en la densidad y presión del aire, que percibimos como sonido, así como fluctuaciones muy rápidas en los campos eléctricos y magnéticos, que percibimos como luz, recibimos una gran cantidad de información directa sobre el mundo. a nuestro alrededor. Ejemplos de movimiento oscilatorio en mecánica pueden ser vibraciones de péndulos, cuerdas, puentes, etc.

Las fluctuaciones se llaman periódico, si los valores de cantidades físicas que cambian en el proceso de oscilaciones se repiten a intervalos regulares. El tipo más simple de oscilaciones periódicas son las oscilaciones armónicas. Las oscilaciones se denominan armónicas, en las que el cambio en la cantidad oscilante a lo largo del tiempo se produce de acuerdo con la ley del seno (o coseno):

donde x es el desplazamiento desde la posición de equilibrio;

A - amplitud de oscilación - desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio;

- frecuencia cíclica;

- la fase inicial de la oscilación;

- fase de oscilación; determina el desplazamiento en cualquier punto en el tiempo, es decir, determina el estado del sistema oscilatorio.

En el caso de oscilaciones estrictamente armónicas del valor A, y no dependas del tiempo.

Frecuencia cíclica está relacionado con el período T de oscilaciones y frecuencia proporción:

(2)

Período T oscilaciones se llama el período de tiempo más pequeño después del cual se repiten los valores de todas las cantidades físicas que caracterizan las oscilaciones.

Frecuencia oscilaciones se denomina número de oscilaciones completas por unidad de tiempo, medido en hercios (1 Hz = 1
).

Frecuencia cíclica numéricamente igual al número de oscilaciones realizadas en 2 segundos.

Una oscilación que ocurre en un sistema que no está sujeto a la acción de fuerzas externas variables, como resultado de cualquier desviación inicial de este sistema de un estado de equilibrio estable, se llama gratis(o propia).

Si el sistema es conservativo, no se produce disipación de energía durante las oscilaciones. En este caso, las vibraciones libres se llaman sin amortiguar.

Velocidad Las fluctuaciones puntuales se definen como la derivada del cambio de tiempo:

(3)

Aceleración punto de oscilación es igual a la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

(4)

La ecuación (4) muestra que la aceleración durante las oscilaciones armónicas es variable, por lo tanto, la oscilación se debe a la acción de una fuerza variable.

La segunda ley de Newton te permite escribir en términos generales la relación entre la fuerza F y la aceleración con vibraciones armónicas rectilíneas punto material con masa
:

donde
, (6)

k es el coeficiente de elasticidad.

Así, la fuerza que provoca las vibraciones armónicas es proporcional al desplazamiento y dirigida contra el desplazamiento. En este sentido, podemos dar una definición dinámica de una oscilación armónica: una oscilación armónica se denomina oscilación causada por una fuerza que es directamente proporcional al desplazamiento x y dirigida contra el desplazamiento.

La fuerza restauradora puede ser, por ejemplo, una fuerza elástica. Las fuerzas de naturaleza diferente a las fuerzas elásticas, pero que también satisfacen la condición (5), se denominan cuasi-elástico.

En el caso de oscilaciones rectilíneas a lo largo del eje x, la aceleración es igual a:

.

Sustituyendo esta expresión por la aceleración y el significado de fuerza
en la segunda ley de Newton, obtenemos la ecuación básica de las oscilaciones armónicas rectilíneas:

o
(7)

La solución a esta ecuación es la ecuación (1).

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA

ESTADO DE KABARDINO-BALKARIAN

UNIVERSIDAD ellos. S. M. BERBEKOVA

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LAS OSCILACIONES

FUNDAMENTOS DE LA TEORIA, TAREAS PARA LA TAREA,

EJEMPLOS DE SOLUCIONES

Para estudiantes de especialidades mecánicas de universidades

Nálchik 2003

Revisores:

- Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas, Profesor, Director del Instituto de Investigación de Matemáticas Aplicadas y Automatización de la Academia Rusa de Ciencias, Honorable. trabajador de la ciencia de la Federación Rusa, académico de AMAN.

Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas, Profesor, Jefe del Departamento de Matemáticas Aplicadas de la Academia Estatal de Agricultura de Kabardino-Balkaria.

Teoría de las oscilaciones de Kulterbaev. Fundamentos de la teoría, tareas para la tarea, ejemplos de soluciones.

Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación técnica superior que cursan las áreas de formación de egresados ​​657800 - Diseño y soporte tecnológico de industrias de construcción de maquinaria, 655800 Ingeniería de alimentos. -Nalchik: editorial de KBGU que lleva el nombre de A.I. , 20s.

El libro describe los fundamentos de la teoría de las oscilaciones de los sistemas mecánicos lineales, así como tareas para hacer en casa con ejemplos de su solución. El contenido de la teoría y los trabajos están dirigidos a estudiantes de especialidades mecánicas.

Se consideran tanto sistemas discretos como distribuidos. La cantidad de opciones no coincidentes para la tarea permite que se utilicen para un gran flujo de estudiantes.

La publicación también puede ser de utilidad para docentes, estudiantes de posgrado y especialistas en diversos campos de la ciencia y la tecnología que estén interesados ​​en las aplicaciones de la teoría de las vibraciones.

© Kabardino-Balkarian Universidad Estatal ellos.

Prefacio

El libro está basado en el curso. leído por el autor en la Facultad de Ingeniería y Tecnología de la Universidad Estatal de Kabardino-Balkaria para estudiantes de especialidades mecánicas.

Mecanismos y estructuras tecnología moderna a menudo operan bajo condiciones de carga dinámicas complejas, por lo que el interés constante en la teoría de las oscilaciones está respaldado por las demandas de la práctica. La teoría de las oscilaciones y sus aplicaciones cuentan con una extensa bibliografía, que incluye un número considerable de libros de texto y material didáctico. Algunos de ellos se enumeran en la bibliografía al final de este tutorial. Casi toda la literatura educativa existente está destinada a lectores que estudian este curso en un gran volumen y se especializan en áreas de actividad de ingeniería, de una forma u otra, significativamente relacionadas con la dinámica de estructuras. Mientras tanto, en la actualidad, todos los ingenieros de especialidades mecánicas sienten la necesidad de dominar la teoría de las vibraciones a un nivel bastante serio. Un intento de cumplir con tales requisitos conduce a la introducción de cursos especiales a pequeña escala en los programas educativos de muchas universidades. Esta guía de estudio está diseñada para satisfacer precisamente tales solicitudes y contiene los conceptos básicos de teoría, tareas para hacer en casa y ejemplos para resolverlas. Esto justifica el volumen limitado del libro de texto, la elección de su contenido y el título: “Fundamentos de la Teoría de Oscilaciones”. De hecho, el libro de texto describe solo los principales problemas y métodos de la disciplina. El lector interesado puede consultar monografías científicas conocidas y material didáctico dado al final de esta publicación para estudio en profundidad teoría y sus múltiples aplicaciones.

El libro está destinado a un lector que ha sido formado en el volumen de los cursos ordinarios de educación superior. Matemáticas avanzadas, mecánica teórica y resistencia de materiales.

En el estudio de dicho curso, se ocupa una cantidad significativa de tareas en forma de trabajos de curso, control, cálculo y diseño, cálculo y gráficos y otros trabajos que requieren una cantidad de tiempo bastante grande. Los libros de problemas existentes y los manuales para resolver problemas no están destinados a estos fines. Además, existe una clara conveniencia en combinar la teoría y los deberes en una sola edición, unidos por un contenido común, un enfoque temático y que se complementen entre sí.

Al realizar y completar las tareas asignadas, el estudiante se enfrenta a muchas interrogantes que no están planteadas o no suficientemente explicadas en la parte teórica de la disciplina; tiene dificultad para presentar los avances en la solución del problema, formas de argumentar decisiones, estructurar y formalizar registros.

Dificultades experimentadas y docentes, pero de carácter organizativo. A menudo tienen que revisar el volumen, el contenido y la estructura de las tareas asignadas, redactar numerosas variantes de tareas, garantizar la entrega oportuna de tareas que no coinciden en masa, realizar numerosas consultas, aclaraciones, etc.

Este manual está destinado, entre otras cosas, a reducir y eliminar dificultades y dificultades naturaleza enumerada en condiciones de educación masiva. Contiene dos tareas que cubren los temas más importantes y básicos del curso en su temática:

1. Oscilaciones de sistemas con un grado de libertad.

2. Oscilaciones de sistemas con dos grados de libertad.

Estas tareas, en cuanto a su alcance y contenido, pueden convertirse en trabajos de diseño y cálculo para estudiantes a tiempo completo, a tiempo parcial y a tiempo parcial o pruebas para estudiantes. formulario de ausencia aprendiendo.

Para la comodidad de los lectores, el libro utiliza la numeración fuera de línea de fórmulas (ecuaciones) y figuras dentro de cada párrafo utilizando el habitual número decimal entre paréntesis. Una referencia dentro del párrafo actual se hace simplemente indicando dicho número. Si es necesario referirse a la fórmula de los párrafos anteriores, se indica el número del párrafo y luego, mediante un punto, el número de la fórmula misma. Entonces, por ejemplo, la notación (3.2.4) corresponde a la fórmula (4) en el párrafo 3.2 de este capítulo. La referencia a la fórmula de los capítulos anteriores se hace de la misma forma, pero con el número de capítulo y el período en primer lugar.

El libro es un intento de satisfacer las necesidades Entrenamiento vocacional estudiantes en ciertos campos. El autor es consciente de que, aparentemente, no estará exento de carencias, por lo que aceptará con agradecimiento las posibles críticas y comentarios de los lectores para la mejora de las ediciones posteriores.

El libro también puede ser útil para los especialistas interesados ​​en las aplicaciones de la teoría de las oscilaciones en Varias áreas física, tecnología, construcción y otras áreas del conocimiento y actividades productivas.

CapítuloI

INTRODUCCIÓN

1. El objeto de la teoría de las oscilaciones

Algunos sistemas se mueven en el espacio de modo que su estado en cada momento t se describe mediante un determinado conjunto de parámetros: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif" width="31" height ="23 src =">.gif" width="48" height="24"> e influencias externas. Y luego la tarea es predecir la evolución posterior del sistema en el tiempo: (Fig. 1).

Sea una de las características cambiantes del sistema , . Puede haber varias variedades características de su cambio en el tiempo: monótono (Fig. 2), no monótono (Fig. 3), esencialmente no monótono (Fig. 4).

El proceso de cambio de un parámetro, que se caracteriza por una alternancia múltiple de aumentos y disminuciones del parámetro en el tiempo, se denomina proceso oscilatorio o simplemente fluctuaciones Las fluctuaciones están muy extendidas en la naturaleza, la tecnología y la actividad humana: ritmos cerebrales, oscilaciones de péndulo, latidos del corazón, oscilaciones de estrellas, oscilaciones de átomos y moléculas, fluctuaciones de corriente en un circuito eléctrico, fluctuaciones de temperatura del aire, fluctuaciones de precios de alimentos, vibración de sonido, cuerdas de vibración de un musical instrumento.

El temario de este curso es vibraciones mecánicas, es decir, oscilaciones en sistemas mecánicos.

2. Clasificación de los sistemas oscilatorios

Dejar tu(X, t) es el vector de estado del sistema, F(X, t) es el vector de acciones sobre el sistema de ambiente(Figura 1). La dinámica del sistema se describe mediante la ecuación del operador

L tu(X, t) = F(X, t), (1)

donde el operador L viene dado por las ecuaciones de oscilación y condiciones adicionales(límite, inicial). En tal ecuación, u y f también pueden ser escalares.

La clasificación más simple de los sistemas oscilatorios se puede hacer de acuerdo con su número de grados de libertad. El número de grados de libertad es el número de parámetros numéricos independientes que determinan de manera única la configuración del sistema en cualquier tiempo t. Sobre esta base, los sistemas oscilatorios se pueden atribuir a una de tres clases:

1)Sistemas con un grado de libertad.

2)Sistemas con un número finito de grados de libertad. También suelen llamarse sistemas discretos.

3)Sistemas con un número infinito e incontable de grados de libertad (sistemas continuos, distribuidos).

En la fig. 2 muestra una serie de ejemplos ilustrativos para cada una de sus clases. Para cada esquema, los círculos indican el número de grados de libertad. El último diagrama muestra un sistema distribuido en forma de viga elástica deformable. Para describir su configuración se requiere la función u(x, t), es decir, un conjunto infinito de valores de u.

Cada clase de sistemas oscilatorios tiene su propio modelo matemático. Por ejemplo, un sistema con un grado de libertad se describe mediante una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, sistemas con un número finito de grados de libertad, mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas distribuidos, mediante ecuaciones diferenciales parciales.

Dependiendo del tipo de operador L en el modelo (1), los sistemas oscilatorios se dividen en lineal y no lineal. El sistema es considerado lineal, si el operador que le corresponde es lineal, es decir, cumple la condición

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif" ancho="20 altura=24" altura="24">.jpg" ancho="569" altura="97">
Para sistemas lineales, principio de superposición(principio de independencia de acción de las fuerzas). Su esencia en el ejemplo (Fig..gif" width="36" height="24 src="> es la siguiente..gif" width="39" height="24 src=">..gif" width= " 88"altura="24">.

Sistemas estacionarios y no estacionarios. En sistemas estacionarios en el intervalo de tiempo considerado, las propiedades no cambian en el tiempo. De lo contrario, el sistema se llama no estacionario. Las siguientes dos figuras demuestran claramente las oscilaciones en tales sistemas. En la fig. 4 muestra oscilaciones en un sistema estacionario en estado estacionario, en la fig. 5 - oscilaciones en un sistema no estacionario.

Procesos en sistemas estacionarios se describen mediante ecuaciones diferenciales con coeficientes que son constantes en el tiempo, en sistemas no estacionarios, con coeficientes variables.

Sistemas autónomos y no autónomos. V sistemas autónomos no hay influencias externas. Los procesos oscilatorios en ellos pueden ocurrir solo debido a fuentes internas de energía o debido a la energía impartida al sistema en el momento inicial. En la ecuación del operador (1), el lado derecho no depende del tiempo, es decir, F(X, t) = F(X). El resto de los sistemas son no autónomo.

Sistemas conservativos y no conservativos. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg" align="left hspace=12" width="144" height="55"> Vibraciones libres. vibraciones libres se realizan en ausencia de una influencia externa variable, sin una entrada de energía del exterior. Tales fluctuaciones solo pueden ocurrir en sistemas autónomos (Fig. 1).

Vibraciones forzadas. Tales fluctuaciones tienen lugar en sistemas no autónomos y sus fuentes son influencias externas variables (Fig. 2).

Vibraciones paramétricas. Los parámetros del sistema oscilatorio pueden cambiar con el tiempo, y esto puede convertirse en una fuente de oscilaciones. Tales fluctuaciones se llaman paramétrico. El punto de suspensión superior del péndulo físico (Fig..gif" width="28" height="23 src=">), que provoca oscilaciones paramétricas transversales (Fig. 5).

Auto-oscilaciones(oscilaciones autoexcitadas). Para tales oscilaciones, las fuentes tienen una naturaleza no oscilatoria y las propias fuentes están incluidas en el sistema oscilatorio. En la fig. 6 muestra una masa sobre un resorte que descansa sobre una correa en movimiento. Dos fuerzas actúan sobre él: la fuerza de fricción y la fuerza de tensión elástica del resorte, y cambian con el tiempo. El primero depende de la diferencia entre las velocidades de la cinta y la masa, el segundo de la magnitud y el signo de la deformación del resorte, por lo tanto la masa está bajo la influencia de una fuerza resultante dirigida hacia la izquierda o hacia la derecha. y oscila.

En el segundo ejemplo (Fig. 7), el extremo izquierdo del resorte se mueve hacia la derecha con una velocidad constante v, como resultado, el resorte mueve la carga a lo largo de una superficie fija. Se forma una situación similar a la descrita para el caso anterior y la carga comienza a oscilar.

4. Cinemática de procesos oscilatorios periódicos

Deje que el proceso se caracterice por una variable escalar, que es, por ejemplo, el desplazamiento. Entonces - velocidad, - aceleración..gif" width="11 height=17" height="17"> se cumple la condición

,

entonces las vibraciones se llaman periódico(Figura 1). El menor de estos números se llama período de oscilación. La unidad de medida para el período de oscilación es, en la mayoría de los casos, el segundo, denotado s o seg. Se utilizan más unidades de medida en minutos, horas, etc. Otra característica también importante de un proceso oscilatorio periódico es frecuencia de oscilación

cuantificando ciclos completos oscilaciones por 1 unidad de tiempo (por ejemplo, por segundo). Tal frecuencia se mide en o hercios (Hz), por lo que significa 5 ciclos completos de oscilación en un segundo. En los cálculos matemáticos de la teoría de oscilaciones resulta más conveniente frecuencia angular

,

medido en https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif" width="115 height=24" height="24">.

Las más simples de las oscilaciones periódicas, pero extremadamente importantes para construir la base teórica de la teoría de las oscilaciones, son las oscilaciones armónicas (sinusoidales) que cambian según la ley

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif" width="17" height="17 src="> – amplitud, - fase de oscilación, - fase inicial..gif" width=" 196" altura="24">,

y luego aceleración

En lugar de (1), a menudo se usa una notación alternativa

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif" width="80" height="21 src=">. Las descripciones (1) y (2) también se pueden presentar en el formulario

Entre las constantes de las fórmulas (1), (2), (3) existen relaciones fácilmente demostrables

El uso de métodos y representaciones de la teoría de funciones de variables complejas simplifica enormemente la descripción de las oscilaciones. En este caso, el lugar central lo ocupa fórmula de Euler

.

Aquí https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif" width="111" height="28">. (4)

Las fórmulas (1) y (2) están contenidas en (4). Por ejemplo, las oscilaciones sinusoidales (1) se pueden representar como un componente imaginario (4)

y (2) - en forma de un componente real

vibraciones poliarmónicas. La suma de dos oscilaciones armónicas con la misma frecuencia será una oscilación armónica con la misma frecuencia

Los términos también podrían tener diferentes frecuencias.

Entonces la suma (5) será una función periódica con período , sólo si , , donde y son números enteros, y la fracción irreducible, número racional. En general, si dos o más oscilaciones armónicas tienen frecuencias con relaciones en la forma fracciones racionales, entonces sus sumas son oscilaciones periódicas, pero no armónicas. Tales fluctuaciones se llaman poliarmónico.

Si las oscilaciones periódicas no son armónicas, a menudo es ventajoso representarlas como una suma de oscilaciones armónicas usando series de Fourier

Aquí https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif" width="15" height="19"> – el número armónico caracteriza el valor medio de las desviaciones, https://pandia.ru/ text /78/502/images/image077_14.gif" width="139 height=24" height="24"> – el primer armónico fundamental, (https://pandia.ru/text/78/502/images/ image080_11.gif" width="207" height="24"> formularios espectro de frecuencia fluctuaciones

Nota: La justificación teórica de la posibilidad de representar la función de un proceso oscilatorio en una serie de Fourier es el teorema de Dirichlet para una función periódica:

Si se da una función en un segmento y es continua por tramos, monótona por tramos y acotada en él, entonces su serie de Fourier converge en todos los puntos del segmento https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif " width= "28" height="23 src="> es la suma de la serie trigonométrica de Fourier de la función f(t), entonces en todos los puntos de continuidad de esta función

y en todos los puntos de discontinuidad

.

Es más,

.

Obviamente, los procesos oscilatorios reales satisfacen las condiciones del teorema de Dirichlet.

En el espectro de frecuencias, cada frecuencia corresponde a la amplitud Ak y la fase inicial https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif" width="125" height="33"> .

Ellos forman espectro de amplitud https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif" width="35" height="24">. La figura 2 ofrece una representación visual del espectro de amplitud.

La definición del espectro de frecuencias y los coeficientes de Fourier se llama análisis espectral. A partir de la teoría de las series de Fourier, se conocen las fórmulas