Lo que se llama ecuación lineal. Ecuaciones lineales

1. El concepto de una ecuación con una variable

2. Ecuaciones equivalentes. Teoremas de igualdad para ecuaciones

3. Resolver ecuaciones en una variable

Ecuaciones en una variable

Tomemos dos expresiones variables: 4 NS y 5 NS+ 2. Conectándolos con un signo igual, obtenemos la oración 4x= 5NS+ 2. Contiene una variable y, al sustituir los valores de la variable, se convierte en un enunciado. Por ejemplo, para x =-2 oferta 4x= 5NS+ 2 se convierte en la verdadera igualdad numérica 4 (-2) = 5 (-2) + 2, y para x = 1 - falso 4 1 = 5 1 + 2. Por lo tanto, la oración 4x = 5x + 2 hay una forma de expresión. Ellos la llaman ecuación con una variable.

V vista general una ecuación con una variable se puede definir de la siguiente manera:

Definición. Sean f (x) y g (x) dos expresiones con variable x y dominio X. Entonces, una forma de enunciado de la forma f (x) = g (x) se llama ecuación con una variable.

Valor variable NS de la multitud X, en el que la ecuación se convierte en una verdadera igualdad numérica se llama raíz de la ecuación(o su decisión). Resuelve la ecuación - significa encontrar muchas de sus raíces.

Entonces, la raíz de la ecuación 4x = 5x+ 2, si lo consideramos en el set R los números reales es el número -2. Esta ecuación no tiene otras raíces. Esto significa que el conjunto de sus raíces es (-2).

Deje que la ecuación ( NS - 1) (x+ 2) = 0. Tiene dos raíces: los números 1 y -2. Por tanto, el conjunto de raíces esta ecuación es este: (-2, -1).

La ecuacion (3x + 1)-2 = 6NS+ 2, dado en el conjunto de números reales, se convierte en una verdadera igualdad numérica para todos los valores reales de la variable. NS: si expande los corchetes de la izquierda, obtenemos 6x + 2 = 6x + 2. En este caso, dicen que su raíz es cualquier número real, y el conjunto de raíces es el conjunto de todos los números reales.

La ecuacion (3 veces+ 1) 2 = 6 NS+ 1 dado en un conjunto de números reales no se convierte en una verdadera igualdad numérica para ningún valor real NS: después de expandir los corchetes de la izquierda, obtenemos 6 NS + 2 = 6x + 1, que es imposible para cualquier NS. En este caso, dicen que la ecuación dada no tiene raíces y que el conjunto de sus raíces está vacío.

Para resolver una ecuación, primero se transforma, reemplazándola por otra más simple; la ecuación resultante se transforma nuevamente, reemplazándola por una más simple, y así sucesivamente. Este proceso se continúa hasta que se obtiene una ecuación, cuyas raíces se pueden encontrar de manera conocida. Pero para que estas raíces sean las raíces de una ecuación dada, es necesario que en el proceso de transformaciones se obtengan ecuaciones cuyos conjuntos de raíces coinciden. Tales ecuaciones se llaman equivalente.

Clase: 7

Lección número 1.

Tipo de lección: consolidación del material pasado.

Objetivos de la lección:

Educativo:

desarrollo de habilidades soluciones de la ecuación con una reducción desconocida de la misma a una ecuación lineal usando las propiedades de equivalencia.

Desarrollando:

formación de claridad y precisión de pensamiento, pensamiento lógico, elementos de cultura algorítmica;
desarrollo del habla matemática;
desarrollo de la atención, memoria;
la formación de habilidades por autoexamen y examen mutuo.

Educativo:

la formación de cualidades volitivas;
la formación de la sociabilidad;
desarrollo de una evaluación objetiva de sus logros;
formación de responsabilidad.

Equipo: una pizarra interactiva, una pizarra para marcadores, tarjetas con asignaciones para trabajo independiente, tarjetas para corregir conocimientos para estudiantes de bajo rendimiento, un libro de texto, libro de trabajo, cuaderno para deberes, cuaderno para trabajo independiente.

Durante las clases

2. Verificación tarea- 4 minutos

Los estudiantes verifican la tarea, cuya solución se muestra en la parte posterior de la pizarra por uno de los estudiantes.

3. Trabajo oral - 6 min.

(1) Durante el proceso de conteo, los estudiantes de bajo rendimiento reciben una tarjeta para la corrección de conocimientos y realizar 1), 2), 4) y 6) tareas según la muestra. (Cm. Anexo 1.)

Ficha para la corrección de conocimientos.

(2) Para el resto de los estudiantes, las tareas se proyectan en la pizarra interactiva: (Ver. Presentación: Diapositiva 2)

En lugar de un asterisco, coloque un signo "+" o "-" y, en lugar de puntos, números:
a) (* 5) + (* 7) = 2;
b) (* 8) - (* 8) = (* 4) –12;
c) (* 9) + (* 4) = –5;
d) (–15) - (* ...) = 0;
e) (* 8) + (* ...) = –12;
f) (* 10) - (* ...) = 12.
Haga ecuaciones equivalentes a la ecuación:
a) x - 7 = 5;
b) 2x - 4 = 0;
c) x –11 = x - 7;
d) 2 (x –12) = 2x - 24.

3. Tarea lógica: Vika, Natasha y Lena compraron repollo, manzanas y zanahorias en la tienda. Todos compraron productos diferentes. Vika compró una verdura, Natasha compró manzanas o zanahorias, Lena no compró una verdura. ¿Quién compró qué? (Uno de los estudiantes que completó la tarea va a la pizarra y llena la tabla) (Diapositiva 3)

	Vika	Natasha	Lena
PARA
YO SOY
METRO

Completar la tabla

	Vika	Natasha	Lena
PARA	+	–	–
YO SOY	–	–	+
METRO	–	+	–

4. Generalización de la capacidad para resolver ecuaciones reduciéndolas a una ecuación lineal –9 min.

Trabajo en equipo con la clase. (Diapositiva 4)

Resolvamos la ecuación

12 - (4x - 18) = (36 + 5x) + (28 - 6x). (1)

para ello realizaremos las siguientes transformaciones:

1. Expandamos los corchetes. Si hay un signo más delante de los corchetes, entonces los corchetes se pueden omitir, manteniendo el signo de cada término entre corchetes. Si hay un signo menos delante de los corchetes, entonces los corchetes se pueden omitir cambiando el signo de cada término entre corchetes:

12 - 4x + 18 = 36 + 5x + 28 - 6x. (2)

Las ecuaciones (2) y (1) son equivalentes:

2. Mueva los términos desconocidos con signos opuestos para que estén solo en un lado de la ecuación (ya sea a la izquierda o a la derecha). Simultáneamente, transferimos los términos conocidos con signos opuestos para que estén solo en el otro lado de la ecuación.

Por ejemplo, transferimos los términos desconocidos con signos opuestos a la izquierda y los conocidos al lado derecho de la ecuación, luego obtenemos la ecuación

- 4x - 5x + 6x = 36 + 28 - 18 - 12, (3)

equivalente a la ecuación (2) y, en consecuencia, la ecuación (1) .

3. Aquí hay términos similares:

–3x = 34. (4)

La ecuacion (4) es equivalente a la ecuación (3) y, en consecuencia, la ecuación (1) .

4. Separa ambos lados de la ecuación. (4) por el coeficiente de lo desconocido.

La ecuación resultante x = será equivalente a la ecuación (4) y, por tanto, a las ecuaciones (3), (2), (1)

Por tanto, la raíz de la ecuación (1) será el número

Usando este esquema (algoritmo), resolvemos las ecuaciones en la lección de hoy:

Expanda los corchetes.
Recopile términos que contengan incógnitas en un lado de la ecuación y los términos restantes en el otro.
Traiga miembros similares.
Divida ambos lados de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.

Nota: Cabe señalar que el esquema anterior no es obligatorio, ya que a menudo existen ecuaciones para cuya solución algunos de los pasos indicados son innecesarios. Al resolver otras ecuaciones, es más fácil desviarse de este esquema, como, por ejemplo, en la ecuación:

7 (x - 2) = 42.

5. Ejercicios de entrenamiento- 8 minutos

No. 132 (a, d), 135 (a, d), 138 (b, d)- con comentarios y escritura en la pizarra.

6. Trabajo independiente - 14 min.(realizado en cuadernos para trabajo independiente con posterior verificación cruzada; las respuestas se mostrarán en una pizarra interactiva)

Parte delantera Trabajo independiente se preguntará a los estudiantes tarea para ingenio rápido - 2 min.

Sin levantar el lápiz del papel o caminar dos veces por la misma sección de la línea, dibuja la letra impresa. (Diapositiva 5)

(Los estudiantes usan láminas de plástico y rotuladores).

1. Resolver ecuaciones (en tarjetas) (Ver. Apéndice 2)

Tarea adicional No.135 (b, c).

7. Resumen de la lección - 1 min.

Algoritmo para reducir una ecuación a una ecuación lineal.

8. Publicar la tarea - 2 min.

pág.6, núm. 136 (a-d), 240 (a), 243 (a, b), 224(Explique el contenido de la tarea).

Lección número 2.

Objetivos de la lección:

Educativo:

repetición de reglas, sistematización, profundización y ampliación de las ZUN de los estudiantes mediante la resolución de ecuaciones lineales;
la formación de la capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos al resolver ecuaciones de diversas formas.

Desarrollando:

desarrollo de habilidades intelectuales: análisis del algoritmo para resolver una ecuación, pensamiento lógico al construir un algoritmo para resolver una ecuación, la variabilidad de la elección de un método de solución, sistematización de ecuaciones por métodos de solución;
desarrollo del habla matemática;
desarrollo de la memoria visual.

Educativo:

educación actividad cognitiva;
la formación de habilidades de autocontrol, control mutuo y autoestima;
fomentar el sentido de la responsabilidad, la asistencia mutua;
inculcar precisión, competencia matemática;
fomentar un sentido de camaradería, cortesía, disciplina, responsabilidad;
Preservación de la salud.

a) educativo: repetición de reglas, sistematización, profundización y ampliación de las ZUN de los estudiantes mediante la resolución de ecuaciones lineales;

b) desarrollar: el desarrollo de la flexibilidad del pensamiento, la memoria, la atención y la inteligencia;

c) educativo: inculcar el interés por el tema y por la historia de la tierra natal.

Equipo: pizarra interactiva, tarjetas de señales (verde y rojo), hojas con trabajo de prueba, libro de texto, cuaderno de trabajo, cuaderno para tareas, cuaderno para trabajo independiente.

Forma de trabajo: individual, colectivo.

Durante las clases

1. Organizando el tiempo- 1 minuto.

Salude a los alumnos, compruebe si están preparados para la lección y anuncie el tema y el propósito de la lección.

2. Trabajo oral - 10 min.

(Misiones para conteo verbal se muestran en la pizarra.)(Diapositiva 6)

1) Resuelve las tareas:

a) Mamá tiene 22 años más que su hija. ¿Qué edad tiene mamá si están juntos durante 46 años?
b) Hay tres hermanos en la familia y cada uno de ellos es dos veces más joven que el anterior. Juntos, todos los hermanos tienen 21 años. ¿Qué edad tiene todo el mundo?

2) Resuelve las ecuaciones:(Explicar)

4) Explique las tareas de tarea que causó la dificultad.

3. Realización de ejercicios - 10 minutos. (Diapositiva 8)

(1) ¿Qué desigualdad satisface la raíz de la ecuación:

a) x> 1;
b) x< 0;
c) x> 0;
d) x< –1.

(2) ¿A qué valor tiene la expresión? a valor de expresión 2 años - 4 5 veces menos valor expresiones 5 años - 10?

(3) A que valor k la ecuacion kx - 9 = 0 tiene una raíz de - 2?

Mira y recuerda (7 segundos). (Diapositiva 9)

Después de 30 segundos, los estudiantes reproducen el dibujo en láminas de plástico.

4. Educación física - 1,5 minutos.

Ejercicio para ojos y manos.

(Los estudiantes miran y revisan las actividades que se proyectan en la pizarra interactiva).

5. Trabajo de prueba independiente - 15 min.

(Los estudiantes completan el trabajo de la prueba en sus libros de trabajo independientes, duplicando las respuestas en los libros de trabajo. Después de aprobar las pruebas, los estudiantes comparan las respuestas con las respuestas que se muestran en la pizarra)

Los estudiantes que hicieron el trabajo antes que nadie ayudan a los estudiantes de bajo rendimiento.

6. Resumen de la lección - 2 min.

- ¿Qué ecuación con una variable se llama lineal?

- ¿Cómo se llama la raíz de la ecuación?

- ¿Qué significa "resolver la ecuación"?

- ¿Cuántas raíces puede tener una ecuación?

7. Publique la tarea. - 1 minuto.

p. 6, No. No. 294 (a, b), 244, 241 (a, c), 240 (d) - Nivel A, B

p. 6, No. No. 244, 241 (b, c), 243 (c), 239, 237 - Nivel C

(Explique el contenido de la tarea).

8. Reflexión - 0,5 min.

- ¿Está satisfecho con su trabajo en la lección?

- ¿Qué tipo de actividad te gustó más de la lección?

Literatura:

Álgebra 7. / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Peshkov, S.V. Suvorov. Editado por S.A. Telyakovsky./ M.: Educación, 1989 - 2006.
Colección elementos de prueba para control temático y final. Álgebra Grado 7 / Guseva I.L., Pushkin S.A., Rybakova N.V.... Dirección general: Tatur A.O.- M.: "Intellect-Center" 2009 - 160 p.
Planificación de las clases en álgebra. / T.N. Erina. Una guía para profesores / M: Ed. "Examen", 2008. - 302, p.
Fichas para la corrección de conocimientos en matemáticas para 7.º grado / Levitas G.G./ M.: Ileksa, 2000.- 56 p.

Igualdad con una variable f (x) = g (x) se llama ecuación con una variable x. Cualquier valor de la variable en el que f (x) y g (x) toman igual valores numéricos, se llama la raíz de dicha ecuación. Por lo tanto, resolver una ecuación significa encontrar todas las raíces de la ecuación o demostrar que no existen.

La ecuación x 2 + 1 = 0 no tiene raíces reales, pero tiene raíces imaginarias: en este caso, estas son las raíces x 1 = i, x 2 = -i. En lo que sigue, solo nos interesarán las raíces reales de la ecuación.

Si las ecuaciones tienen las mismas raíces, entonces se llaman equivalentes. Las ecuaciones que no tienen raíces se consideran equivalentes.

Determina si las ecuaciones son equivalentes:

a) x + 2 = 5 y x + 5 = 8

1. Resolvamos la primera ecuación

2. Resuelve la segunda ecuación

Las raíces de las ecuaciones son las mismas, por lo que x + 2 = 5 y x + 5 = 8 son equivalentes.

b) x 2 + 1 = 0 y 2x 2 + 5 = 0

Ambas ecuaciones no tienen raíces reales, por lo tanto, son equivalentes.

c) x - 5 = 1 y x 2 = 36

1. Encuentra las raíces de la primera ecuación

2. Encuentra las raíces de la segunda ecuación

x 1 = 6, x 2 = -6

Las raíces de las ecuaciones no coinciden, por lo que x - 5 = 1 y x 2 = 36 no son equivalentes.

Al resolver una ecuación, intentan reemplazarla con una ecuación equivalente, pero más simple. Por tanto, es importante saber, como resultado de qué transformaciones, esta ecuación se convierte en ecuaciones equivalentes a ella.

Teorema 1. Si en una ecuación de una parte a otra se transfiere algún término, cambiando el signo, se obtendrá una ecuación equivalente a la dada.

Por ejemplo, la ecuación x 2 + 2 = 3x es equivalente a la ecuación x 2 + 2 - 3x = 0.

Teorema 2. Si ambos lados de la ecuación se multiplican o se dividen por el mismo número (no igual a cero), entonces se obtiene una ecuación que es equivalente a la dada.

Por ejemplo, la ecuación (x 2 - 1) / 3 = 2x es equivalente a la ecuación x 2 - 1 = 6x. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por 3.

Una ecuación lineal con una variable es una ecuación de la forma ax = b, donde ayb son números reales, y a se llama coeficiente de la variable y b es el término libre.

Considere tres casos para la ecuación lineal ax = b.

1. a ≠ 0. En este caso, x = b / a (ya que a es diferente de cero).

2. a = 0, b = 0. La ecuación tomará la forma: 0 ∙ х = 0. Esta ecuación es verdadera para cualquier х, es decir la raíz de la ecuación es cualquier número real.

3. a = 0, b ≠ 0. En este caso, la ecuación no tendrá raíces, ya que está prohibida la división por cero (0 ∙ x = b).

Como resultado de las transformaciones, muchas ecuaciones se reducen a lineales.

Resolvamos las ecuaciones

a) (1/5) x + 2/15 = 0

1. Mueva el componente 2/15 del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho con el signo opuesto. Esta transformación está regulada por el Teorema 1. Entonces, la ecuación tomará la forma: (1/5) x = -2/15.

2. Para deshacernos del denominador, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 15. El teorema 2 nos permite hacer esto. Entonces, la ecuación toma la forma:

(1/5) x ∙ 15 = - 2/15 ∙ 15

Por tanto, la raíz de la ecuación es -2/3.

b) 2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6 = 5x / 12 - 1

1. Para deshacernos del denominador, multiplicamos ambos lados de la ecualización por 12 (por el teorema 2). La ecuación tomará la forma:

12 (2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6) = 12 (5x / 12 - 1)

8 + 3x + 2 - 2x = 5x - 12

10 + x = 5x - 12

2. Utilizando el Teorema 1, "recopilamos" todos los números de la derecha y los componentes con x - a la izquierda. La ecuación tomará la forma:

10 +12 = 5x - x

Por tanto, la raíz de la ecuación es 5,5.

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La igualdad con una variable se llama ecuación.
Resolver una ecuación significa encontrar muchas de sus raíces. Una ecuación puede tener una, dos, varias, muchas raíces o ninguna.
Cada valor de una variable en el que una ecuación dada se convierte en una verdadera igualdad se llama raíz de la ecuación.
Las ecuaciones que tienen las mismas raíces se llaman ecuaciones equivalentes.
Cualquier término de la ecuación se puede transferir de un lado de la igualdad al otro, mientras se cambia el signo del término al opuesto.
Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación que es equivalente a esta ecuación.

Ejemplos. Resuelve la ecuación.

1. 1,5x + 4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Recopilamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los términos libres en el lado derecho de la igualdad. En este caso, se aplicó la propiedad:

1,2x = -6. Trajeron términos similares según la regla:

x = -6 : 1.2. Ambos lados de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que

x = -5. Dividido por la regla de dividir la fracción decimal por decimal:

para dividir un número por una fracción decimal, debe mover las comas en el dividendo y el divisor tantos dígitos hacia la derecha como haya después del punto decimal en el divisor, y luego dividir por un número natural:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Respuesta: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Expanda los paréntesis usando la ley de distribución de multiplicación versus resta: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ C.

6x-4x = -16 + 27. Recopilamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los términos libres en el lado derecho de la igualdad. En este caso, se aplicó la propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de un lado de la igualdad al otro, mientras se cambia el signo del término al opuesto.

2x = 11. Trajo términos similares de acuerdo con la regla: para reducir dichos términos, debe sumar sus coeficientes y multiplicar el resultado por su parte de letra común (es decir, atribuir su parte de letra común al resultado obtenido).

x = 11 : 2. Ambos lados de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación que es equivalente a esta ecuación.

Respuesta: 5,5.

3. 7x- (3 + 2x) = x-9.

7x-3-2x = x-9. Corchetes expandidos de acuerdo con la regla de expansión de paréntesis, precedidos por un signo "-": si hay un signo "-" delante de los corchetes, elimine los corchetes, el signo "-" y escriba los términos entre paréntesis con signos opuestos.

7x-2x-x = -9 + 3. Recopilamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los términos libres en el lado derecho de la igualdad. En este caso, se aplicó la propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de un lado de la igualdad al otro, mientras se cambia el signo del término al opuesto.

4x = -6. Trajeron términos similares según la regla: para reducir dichos términos, debe sumar sus coeficientes y multiplicar el resultado por su parte de letra común (es decir, atribuir su parte de letra común al resultado obtenido).

x = -6 : 4. Ambos lados de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación que es equivalente a esta ecuación.

Respuesta: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Multiplica ambos lados de la igualdad por 12 - el más pequeño común denominador para los denominadores de estas fracciones.

3x-15 = 84-8x + 44. Expanda los paréntesis usando la ley de distribución de multiplicación versus resta: Para multiplicar la diferencia de dos números por el tercer número, puede reducir y restar por separado multiplicado por el tercer número, y luego restar el segundo resultado del primer resultado, es decir(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ C.

3x + 8x = 84 + 44 + 15. Recopilamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los términos libres en el lado derecho de la igualdad. En este caso, se aplicó la propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de un lado de la igualdad al otro, mientras se cambia el signo del término al opuesto.

Ecuación lineal Es una ecuación algebraica. En esta ecuación, el grado total de sus polinomios constituyentes es igual a uno.

Las ecuaciones lineales se representan de la siguiente manera:

En forma general: a 1 X 1 + a 2 X 2 + … + una n x n + B = 0

En forma canónica: una 1 x 1 + una 2 x 2 +… + una norte x norte = b.

Ecuación lineal en una variable.

Una ecuación lineal con la primera variable se reduce a la forma:

hacha+ B=0.

Por ejemplo:

2x + 7 = 0... Dónde a = 2, b = 7;

0,1x - 2,3 = 0. Dónde a = 0,1, b = -2,3;

12x + 1/2 = 0. Dónde a = 12, b = 1/2.

El número de raíces depende de a y B:

Cuando a= B=0 , lo que significa que la ecuación tiene un número ilimitado de soluciones, ya que.

Cuando a=0 , B≠ 0 , lo que significa que la ecuación no tiene raíces, ya que.

Cuando a ≠ 0 , lo que significa que la ecuación tiene una sola raíz.

Ecuación lineal en dos variables.

Ecuación con variable X es una igualdad de tipo A (x) = B (x), dónde A (x) y B (x)- expresiones de X... Al sustituir el conjunto T valores X en la ecuación obtenemos una verdadera igualdad numérica, que se llama una multitud de verdades esta ecuación tampoco solución de una ecuación dada, y todos los valores de estas variables son las raíces de la ecuación.

Las ecuaciones lineales de 2 variables se representan de la siguiente manera:

En forma general: ax + por + c = 0,

En forma canónica: ax + por = -c,

Como función lineal: y = kx + m, dónde .

La solución o raíces de esta ecuación es un par de valores de las variables (x; y) que lo convierte en identidad. Hay un número ilimitado de estas soluciones (raíces) para una ecuación lineal con 2 variables. El modelo geométrico (gráfico) de esta ecuación es la línea recta y = kx + m.

Si la ecuación tiene una x al cuadrado, dicha ecuación se llama