15 perfil de examen cómo resolver con logaritmos. El trabajo de Manov "desigualdades logarítmicas en el examen"

“SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES LOGARITMICAS (TAREA №15 PERFIL USO). APLICACIÓN DE LOGARITMOS EN DIFERENTES ESFERAS DE LA VIDA HUMANA "

El epígrafe de la lección serán las palabras de Maurice Kline “La música puede elevar o pacificar el alma, la pintura puede complacer la vista, la poesía puede despertar sentimientos, la filosofía puede satisfacer las necesidades de la mente, la ingeniería puede mejorar el lado material de la vida de las personas ylas matemáticas son capaces de lograr todos estos objetivos »

¡Ahora creemos el estado de ánimo del éxito!

Responderemos las siguientes preguntas:

Práctica de verificación exámenes, y soy un experto en matemáticas de la USE desde 2005 demuestra que la mayor dificultad para los escolares es la solución de las desigualdades trascendentales, especialmente desigualdades logarítmicas con base variable.

Por lo tanto, propongo considerar, en primer lugar, el método de racionalización (el método de descomposición de Modenov), o de otro modo llamado, el método de sustitución de los multiplicadores de Golubev, que nos permite reducir las desigualdades complejas, en particular, logarítmicas, a un sistema de racionalidad más simple. desigualdades.

Entonces, por ejemplo, al resolver la desigualdad
en la versión evaluativa, propuesta a los examinadores del examen, se dio la siguiente solución:

Sugiero usar el método de racionalización:

Resolviendo la primera desigualdad por el método de intervalos y teniendo en cuenta que obtenemos

Solución de la siguiente desigualdad

Lo vi así:

Y les expliqué a los alumnos que a veces una solución gráfica es más sencilla.

Y como resultado, la solución a esta desigualdad tiene la forma:

Considere la desigualdad

Resolviendo esta desigualdad, se puede usar la fórmula

pero para ir a la base es un número, y absolutamente cualquiera:

y resuelve la desigualdad resultante por el método de intervalos:

ODZ:

y resolver la desigualdad resultante por el método de intervalos

y teniendo en cuenta la ODZ obtenemos:

Y, al resolver el siguiente tipo de desigualdad, los estudiantes, al escribir la respuesta, generalmente pierden una de las soluciones. Definitivamente deberías prestar atención a esto.

Busquemos la ODZ:

y realizamos el reemplazo: obtenemos:

Llamo su atención sobre el hecho de que a menudo los estudiantes que resuelven esto, la desigualdad resultante, descartan el denominador, perdiendo así una de las soluciones:

Teniendo en cuenta ODZ obtenemos: y

Y al final de la lección, ofrezco a los estudiantes datos interesantes sobre la aplicación de logaritmos en varios campos.

Siempre que hay procesos que cambian con el tiempo, se utilizan logaritmos.

Los logaritmos son un concepto matemático que se utiliza en todas las ramas de la ciencia: química, biología, física, geografía, informática y muchas otras, pero la aplicación más amplia de los logaritmos se encuentra en la economía.

El artículo está dedicado al análisis de las tareas 15 de examen de perfil en matemáticas para 2017. En esta tarea, se ofrece a los estudiantes para resolver desigualdades, la mayoría de las veces logarítmicas. Aunque puede ser indicativo. Este artículo proporciona un análisis de ejemplos de desigualdades logarítmicas, incluidas las que contienen una variable en la base del logaritmo. Todos los ejemplos se toman de banco abierto tareas del USE en matemáticas (perfil), por lo que es probable que tales desigualdades te encuentres en el examen como tarea 15. Ideal para aquellos que, en un corto período de tiempo, quieren aprender a resolver la tarea 15 a partir de la segunda parte del perfil USE en matemáticas con el fin de obtener más puntos en el examen.

Análisis de 15 tareas del examen de perfil en matemáticas

En las tareas del 15 USE en matemáticas (perfil), a menudo se encuentran desigualdades logarítmicas. La solución de desigualdades logarítmicas comienza con la definición del área valores aceptables... En este caso, no hay una variable en la base de ambos logaritmos, solo está el número 11, lo que simplifica enormemente la tarea. Por tanto, la única limitación que tenemos aquí es que ambas expresiones bajo el signo del logaritmo son positivas:

Título = "(! LANG: renderizado por QuickLaTeX.com">!}

La primera desigualdad en el sistema es la desigualdad al cuadrado. Para solucionarlo, realmente no estaría de más descomponernos lado izquierdo por factores. Creo que sabes que alguien trinomio cuadrado del tipo factorizado de la siguiente manera:

donde y son las raíces de la ecuación. En este caso, el coeficiente es 1 (este es el coeficiente numérico delante de). El coeficiente también es 1, y el coeficiente es una intersección, es -20. Las raíces de un trinomio se determinan más fácilmente mediante el teorema de Vieta. La ecuación que hemos dado, entonces la suma de las raíces será igual al coeficiente con el signo opuesto, es decir, -1, y el producto de estas raíces será igual al coeficiente, es decir, -20. Es fácil adivinar que las raíces serán -5 y 4.

Ahora se puede factorizar el lado izquierdo de la desigualdad: title = "(! LANG: renderizado por QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X en los puntos -5 y 4. Por tanto, la solución deseada de la desigualdad es un intervalo. Para quienes no entiendan lo que está escrito aquí, pueden ver los detalles en el video, a partir de este momento. Allí también encontrarás una explicación detallada de cómo se resuelve la segunda desigualdad del sistema. Se está resolviendo. Además, la respuesta es exactamente la misma que para la primera desigualdad del sistema. Es decir, el conjunto escrito arriba es el rango de valores admisibles de desigualdad.

Entonces, teniendo en cuenta la factorización, la desigualdad original toma la forma:

Usando la fórmula, introducimos 11 a la potencia de la expresión bajo el signo del primer logaritmo, y movemos el segundo logaritmo al lado izquierdo de la desigualdad, mientras cambiamos su signo al opuesto:

Después de la reducción obtenemos:

La última desigualdad, por el aumento de la función, es equivalente a la desigualdad , cuya solución es el intervalo ... Queda por cruzarlo con el rango de valores permisibles de desigualdad, y esta será la respuesta a toda la tarea.

Entonces, la respuesta deseada a la tarea es:

Descubrimos esta tarea, ahora pasamos al siguiente ejemplo de la tarea 15 USE en matemáticas (perfil).

Comenzamos la solución determinando el rango de valores admisibles de esta desigualdad. En la base de cada logaritmo debería haber numero positivo, que no es igual a 1. Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo deben ser positivas. No debe haber cero en el denominador de la fracción. La última condición es equivalente a eso, ya que solo en caso contrario ambos logaritmos en el denominador desaparecen. Todas estas condiciones determinan el rango de valores admisibles de esta desigualdad, que se define por el siguiente sistema de desigualdades:

Título = "(! LANG: renderizado por QuickLaTeX.com">!}

En el rango de valores válidos, podemos usar las fórmulas de transformación de los logaritmos para simplificar el lado izquierdo de la desigualdad. Usando la fórmula deshacerse del denominador:

Ahora solo tenemos logaritmos base. Esto ya es más conveniente. A continuación, usamos la fórmula, así como la fórmula, para llevar la expresión digna de gloria a la siguiente forma:

En los cálculos, usamos lo que está en el rango de valores aceptables. Usando el reemplazo, llegamos a la expresión:

Usamos un reemplazo más :. Como resultado, llegamos al siguiente resultado:

Entonces, volvemos gradualmente a las variables originales. Primero a la variable:

DESIGUALDADES LOGARITMICAS EN EL USO

Sechin Mikhail Alexandrovich

Pequeña Academia de Ciencias de jóvenes estudiantes de la República de Kazajstán "Buscador"

MBOU "Escuela secundaria n ° 1 de Sovetskaya", grado 11, ciudad. Distrito de Sovetsky Sovetsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor de MBOU "Escuela soviética №1"

Distrito soviético

Objeto del trabajo: investigación del mecanismo para resolver las desigualdades logarítmicas C3 utilizando métodos no estándar, identificando datos interesantes logaritmo.

Tema de estudio:

3) Aprenda a resolver desigualdades logarítmicas específicas C3 utilizando métodos no estándar.

Resultados:

Contenido

Introducción ……………………………………………………………………… .4

Capítulo 1. Antecedentes ………………………………………………… ... 5

Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas ………………………… 7

2.1. Transiciones equivalentes y el método generalizado de intervalos …………… 7

2.2. Método de racionalización ………………………………………………… 15

2.3. Sustitución no estándar ……………… ........................................ .. ..... 22

2.4. Misiones de trampas …………………………………………………… 27

Conclusión ………………………………………………………………… 30

Literatura……………………………………………………………………. 31

Introducción

Estoy en el 11 ° grado y planeo ingresar a una universidad, donde sujeto de perfil es matemática. Por lo tanto, trabajo mucho con los problemas de la parte C. En la tarea C3, necesitas resolver una desigualdad no estándar o un sistema de desigualdades, generalmente asociado con logaritmos. Mientras me preparaba para el examen, me enfrenté al problema de la falta de métodos y técnicas para resolver las desigualdades logarítmicas del examen, que se ofrecen en C3. Métodos que se aprenden en currículum escolar sobre este tema, no proporcionan una base para resolver las tareas C3. La profesora de matemáticas me invitó a trabajar con las tareas de C3 por mi cuenta, bajo su guía. Además, me interesaba la pregunta: ¿ocurren los logaritmos en nuestra vida?

Con esto en mente, se eligió el tema:

"Desigualdades logarítmicas en el examen"

Objeto del trabajo: investigación del mecanismo de resolución de problemas C3 utilizando métodos no estándar, revelando datos interesantes del logaritmo.

Tema de estudio:

1) Encontrar Información necesaria sobre métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas.

2) Encuentre más información sobre logaritmos.

3) Aprende a resolver Tareas específicas C3 utilizando métodos no estándar.

Resultados:

La importancia práctica radica en la expansión del aparato para resolver problemas C3. Este material se puede utilizar en algunas lecciones, para realizar círculos, actividades extracurriculares matemáticas.

El producto del proyecto será la colección “Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones”.

Capítulo 1. Antecedentes

Durante el siglo XVI, el número de cálculos aproximados aumentó rápidamente, principalmente en astronomía. La mejora de los instrumentos, el estudio de los movimientos planetarios y otros trabajos requirieron cálculos colosales, a veces muchos años. La astronomía estaba en peligro real de ahogarse en cálculos incumplidos. Surgieron dificultades en otras áreas, por ejemplo, en el negocio de seguros, se necesitaban tablas de interés compuesto para diferentes significados por ciento. La principal dificultad fue la multiplicación, la división. números de varios dígitos, especialmente valores trigonométricos.

El descubrimiento de los logaritmos se basó en las conocidas propiedades de las progresiones a finales del siglo XVI. Sobre la comunicación entre miembros progresión geométrica q, q2, q3, ... y progresión aritmética sus indicadores 1, 2, 3, ... dice en el "Salmo" de Arquímedes. Otro requisito previo fue la extensión del concepto de grado a indicadores negativos y fraccionarios. Muchos autores han señalado que la multiplicación, la división, la elevación a una potencia y la extracción de una raíz se corresponden exponencialmente en aritmética - en el mismo orden - suma, resta, multiplicación y división.

Esta era la idea detrás del logaritmo como exponente.

Varias etapas han pasado en la historia del desarrollo de la doctrina de los logaritmos.

Nivel 1

Los logaritmos fueron inventados a más tardar en 1594 de forma independiente por el barón escocés Napier (1550-1617) y diez años más tarde por el mecánico suizo Burghi (1552-1632). Ambos querían proporcionar un nuevo medio conveniente de cálculos aritméticos, aunque abordaron este problema de diferentes maneras. Napier expresó cinemáticamente la función logarítmica y así entró en NUEVA Área teoría de la función. Burghi se mantuvo sobre la base de considerar progresiones discretas. Sin embargo, la definición del logaritmo para ambos no se parece a la moderna. El término "logaritmo" (logaritmo) pertenece a Napier. Surgió de una combinación de palabras griegas: logos - "relación" y ariqmo - "número", que significaba "número de relaciones". Inicialmente, Napier usó un término diferente: numeri artificiales - "números artificiales", en contraposición a numeri naturalts - "números naturales".

En 1615, en una conversación con Henry Briggs (1561-1631), profesor de matemáticas en el Gresch College de Londres, Napier propuso tomar cero para el logaritmo de uno y 100 para el logaritmo de diez, o, que se reduce a la lo mismo, simplemente 1. Así aparecieron los logaritmos decimales y se imprimieron las primeras tablas logarítmicas. Más tarde, el librero y matemático holandés Andrian Flakk (1600-1667) complementó las tablas de Briggs. Napier y Briggs, aunque llegaron a los logaritmos antes que nadie, publicaron sus tablas más tarde que otros, en 1620. Los letreros de troncos y troncos fueron introducidos en 1624 por I. Kepler. El término "logaritmo natural" fue introducido por Mengoli en 1659, seguido por N. Mercator en 1668, y el profesor de Londres John Speidel publicó tablas de logaritmos naturales de números del 1 al 1000 bajo el título "Nuevos logaritmos".

En ruso, las primeras tablas logarítmicas se publicaron en 1703. Pero en todas las tablas logarítmicas se cometieron errores en el cálculo. Las primeras tablas libres de errores se publicaron en 1857 en Berlín, procesadas por el matemático alemán K. Bremiker (1804-1877).

Etapa 2

Un mayor desarrollo de la teoría de los logaritmos se asocia con una aplicación más amplia de la geometría analítica y el cálculo de infinitesimal. El establecimiento de una conexión entre la cuadratura de una hipérbola equilátera y el logaritmo natural se remonta a esa época. La teoría de los logaritmos de este período está asociada con los nombres de varios matemáticos.

El matemático, astrónomo e ingeniero alemán Nikolaus Mercator en la composición

"Logaritmología" (1668) da una serie que da la expansión de ln (x + 1) en

poderes de x:

Esta expresión corresponde exactamente a la línea de su pensamiento, aunque él, por supuesto, no usó los signos d, ..., sino símbolos más engorrosos. Con el descubrimiento de las series logarítmicas, la técnica de cálculo de los logaritmos cambió: se empezaron a determinar mediante series infinitas. En sus conferencias "Matemáticas elementales desde el punto de vista más elevado", dictadas en 1907-1908, F. Klein sugirió usar la fórmula como punto de partida para construir la teoría de los logaritmos.

Etapa 3

Definición de una función logarítmica en función de la inversa

exponencial, logaritmo como indicador del grado de una base dada

no fue formulado de inmediato. Composición de Leonard Euler (1707-1783)

Una introducción al análisis del infinitesimal (1748) sirvió como un

desarrollo de la teoría de la función logarítmica. Por lo tanto,

Han pasado 134 años desde que se introdujeron por primera vez los logaritmos

(contando desde 1614) antes de que los matemáticos llegaran a la definición

el concepto de logaritmo, que ahora es la base del curso escolar.

Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas

2.1. Transiciones equivalentes y método generalizado de intervalos.

Transiciones equivalentes

si a> 1

si 0 < а < 1

Método de intervalo generalizado

Este método es el más versátil para resolver desigualdades de casi cualquier tipo. El esquema de la solución se ve así:

1. Reducir la desigualdad a la forma donde se encuentra la función en el lado izquierdo
, y a la derecha 0.

2. Encuentra el dominio de la función
.

3. Encuentra los ceros de la función.
, es decir, para resolver la ecuación
(y resolver una ecuación suele ser más fácil que resolver una desigualdad).

4. Dibuja el dominio y los ceros de la función en la recta numérica.

5. Determina los signos de la función.
a los intervalos obtenidos.

6. Seleccione los intervalos en los que la función toma los valores requeridos y escriba la respuesta.

Ejemplo 1.

Solución:

Apliquemos el método de espaciado.

dónde

Para estos valores, todas las expresiones bajo el signo de los logaritmos son positivas.

Respuesta:

Ejemplo 2.

Solución:

1er camino . ODZ se define por la desigualdad X> 3. Tomando el logaritmo para tal X base 10, obtenemos

La última desigualdad podría resolverse aplicando las reglas de descomposición, es decir comparando los factores a cero. Sin embargo, en este caso, es fácil determinar los intervalos de constancia de la función

por lo tanto, se puede aplicar el método de espaciado.

Función F(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ es continuo en X> 3 y desaparece en puntos X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Así, definimos los intervalos de constancia de la función F(X):

Respuesta:

2do camino . Apliquemos las ideas del método de intervalos directamente a la desigualdad original.

Para hacer esto, recuerde que las expresiones a B - a c y ( a - 1)(B- 1) tener un letrero. Entonces nuestra desigualdad para X> 3 es equivalente a la desigualdad

o

La última desigualdad se resuelve mediante el método de intervalos.

Respuesta:

Ejemplo 3.

Solución:

Apliquemos el método de espaciado.

Respuesta:

Ejemplo 4.

Solución:

Desde 2 X 2 - 3X+ 3> 0 para todo real X, luego

Para resolver la segunda desigualdad, usamos el método de intervalos

En la primera desigualdad, hacemos el reemplazo

luego llegamos a la desigualdad 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y que satisfacen la desigualdad -0.5< y < 1.

Donde, desde

obtenemos la desigualdad

que se lleva a cabo con aquellos X para los cuales 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Ahora, teniendo en cuenta la solución de la segunda desigualdad del sistema, finalmente obtenemos

Respuesta:

Ejemplo 5.

Solución:

La desigualdad es equivalente a un conjunto de sistemas

o

Apliquemos el método de intervalos o

Respuesta:

Ejemplo 6.

Solución:

La desigualdad es equivalente al sistema

Permitir

luego y > 0,

y la primera desigualdad

el sistema toma la forma

o expandiendo

trinomio cuadrado por factores,

Aplicando el método de intervalos a la última desigualdad,

vemos que sus soluciones satisfacen la condición y> 0 será todo y > 4.

Por tanto, la desigualdad original es equivalente al sistema:

Entonces, las soluciones a la desigualdad son todas

2.2. Método de racionalización.

Anteriormente, el método de racionalizar la desigualdad no se resolvía, no se conocía. Esto es "nuevo y moderno método efectivo soluciones de desigualdades exponenciales y logarítmicas "(cita del libro de S. I. Kolesnikova)
E incluso si el maestro lo conocía, había aprensión, pero ¿sabe él? experto en exámenes, ¿por qué no lo dan en la escuela? Hubo situaciones en las que el maestro le dijo al alumno: "¿Dónde lo conseguiste? Siéntate - 2."
El método ahora se promueve ampliamente. Y para los expertos hay pautas relacionados con este método, y en "Las ediciones más completas opciones estándar... "La solución C3 utiliza este método.
¡MÉTODO MARAVILLOSO!

"Mesa mágica"

En otras fuentes

si a> 1 y b> 1, luego log a b> 0 y (a -1) (b -1)> 0;

si a> 1 y 0

si 0<a<1 и b >1, luego registre a b<0 и (a -1)(b -1)<0;