Expectativa matemática cero. Expectativa y varianza
La expectativa matemática es, la definición
La expectativa de pareja es uno de conceptos esenciales v estadística matemática y teoría de la probabilidad, que caracteriza la distribución de valores o probabilidades variable aleatoria... Generalmente expresado como peso promedio de todos los parámetros posibles de la variable aleatoria. Es ampliamente utilizado en análisis técnico, investigación. serie de números, el estudio de procesos continuos y continuos. Es importante para evaluar los riesgos, predecir los indicadores de precios al negociar en los mercados financieros, se utiliza en el desarrollo de estrategias y métodos de tácticas de juego en teoría del juego.
Expectativa de jaque mate- este es valor medio de una variable aleatoria, distribución probabilidades La variable aleatoria se considera en la teoría de la probabilidad.
La expectativa de pareja es una medida del valor medio de una variable aleatoria en la teoría de la probabilidad. Expectativa matemática de una variable aleatoria X denotado M (x).
Valor esperado ( Media poblacional) - eso
La expectativa de pareja es
La expectativa de pareja es en la teoría de la probabilidad, el promedio ponderado de todos los valores posibles que puede tomar esta variable aleatoria.
La expectativa de pareja es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria por las probabilidades de estos valores.
La media de la población es
La expectativa de pareja es el beneficio medio de una solución u otra, siempre que dicha solución pueda considerarse dentro del marco de la teoría de los grandes números y la larga distancia.
La expectativa de pareja es en la teoría del juego, la cantidad de ganancias que un especulador puede ganar o perder, en promedio, por cada apuesta. En el lenguaje de los juegos de azar especuladores esto a veces se llama la "ventaja especulador"(Si es positivo para el especulador) o" ventaja del casino "(si es negativo para el especulador).
La media de la población es
La expectativa de pareja es beneficio por victoria multiplicado por el promedio lucro, menos la pérdida multiplicada por la pérdida promedio.
La expectativa matemática de una variable aleatoria en la teoría matemática.
Una de las características numéricas importantes de una variable aleatoria es el tapete de expectativas. Introduzcamos el concepto de sistema de variables aleatorias. Considere una colección de variables aleatorias que son los resultados del mismo experimento aleatorio. Si - uno de los valores posibles del sistema, entonces el evento corresponde a una cierta probabilidad que satisface los axiomas de Kolmogorov. Una función definida para cualquier valor posible de variables aleatorias se llama ley de distribución conjunta. Esta función le permite calcular las probabilidades de cualquier evento a partir de. En particular, la articulación ley distribuciones de variables aleatorias y, que toman valores del conjunto y, está dada por probabilidades.
El término "mat. expectativa ”fue introducido por Pierre Simon el Marqués de Laplace (1795) y se originó a partir del concepto de“ valor esperado de la ganancia ”, que apareció por primera vez en el siglo XVII en la teoría del juego en los escritos de Blaise Pascal y Christian Huygens. Sin embargo, Pafnutii Lvovich Chebyshev (mediados del siglo XIX) dio la primera comprensión y evaluación teóricas completas de este concepto.
Ley Las distribuciones de valores numéricos aleatorios (función de distribución y serie de distribución o densidad de probabilidad) describen completamente el comportamiento de una variable aleatoria. Pero en una serie de problemas, basta con conocer algunas de las características numéricas de la cantidad investigada (por ejemplo, su valor medio y la posible desviación del mismo) para dar respuesta a la pregunta planteada. Las principales características numéricas de las variables aleatorias son la expectativa, la varianza, la moda y la mediana.
La expectativa de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de sus valores posibles por las probabilidades correspondientes. A veces mate. la expectativa se llama promedio ponderado, ya que es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria en un número grande experimentos. De la definición de la alfombra de expectativas se deduce que su valor no es menor que el valor más pequeño posible de la variable aleatoria y no más que el mayor. La expectativa de una variable aleatoria es una variable no aleatoria (constante).
La expectativa de jaque mate tiene un simple significado físico: si una unidad de masa se coloca en una línea recta, habiendo colocado alguna masa en algunos puntos (para una distribución discreta), o "untada" con una cierta densidad (para una distribución absolutamente continua), entonces el punto correspondiente a la expectativa será la coordenada del "centro de gravedad" de la línea recta.
El valor promedio de una variable aleatoria es un cierto número, que es, por así decirlo, su "representante" y lo reemplaza en cálculos aproximados. Cuando decimos: “el tiempo medio de funcionamiento de la lámpara es igual a 100 horas” o “el punto medio del impacto se desplaza con relación al objetivo 2 m hacia la derecha”, indicamos así una determinada característica numérica de una variable aleatoria que describe su ubicación en el eje numérico, es decir "Caracterización del puesto".
De las características de la posición en la teoría de la probabilidad, el papel más importante lo juega la expectativa de una variable aleatoria, que a veces se denomina simplemente el valor medio de una variable aleatoria.
Considere una variable aleatoria NS con posibles valores x1, x2, ..., xn con probabilidades p1, p2, ..., pn... Necesitamos caracterizar por algún número la posición de los valores de la variable aleatoria en el eje de abscisas con teniendo en cuenta que estos valores tienen diferentes probabilidades. Para ello, es natural utilizar el llamado "promedio ponderado" de los valores xi, y cada valor de xi durante la promediación debe tenerse en cuenta con un "peso" proporcional a la probabilidad de este valor. Por tanto, calcularemos la media de la variable aleatoria X que denotaremos M | X |:
Este promedio ponderado se denomina alfombra de expectativas. Por lo tanto, hemos introducido en consideración uno de los conceptos más importantes de la teoría de la probabilidad: el concepto de mat. Expectativas. Estera. la expectativa de una variable aleatoria es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria por las probabilidades de estos valores.
Estera. expectativa de una variable aleatoria NS asociado a una especie de relación con la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria con un gran número de experimentos. Esta dependencia es del mismo tipo que la dependencia entre frecuencia y probabilidad, a saber: con un gran número de experimentos, la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria se acerca (converge en probabilidad) a su estera. espera. De la presencia de una relación entre frecuencia y probabilidad, se puede deducir como consecuencia la presencia de una relación similar entre la media aritmética y la expectativa matemática. De hecho, considere la variable aleatoria NS caracterizado por una serie de distribución:
Deja que se produzca norte experimentos independientes, en cada uno de los cuales el valor X adquiere un cierto significado. Suponga el valor x1 apareció m1 tiempos, valor x2 apareció m2 tiempos, generalmente significando xi apareció mi veces. Calculemos la media aritmética de los valores observados de la cantidad X, que, en contraste con la expectativa mat M | X | nosotros designaremos M * | X |:
Con un aumento en el número de experimentos. norte frecuencia Pi se acercará (convergerá en probabilidad) a las probabilidades correspondientes. En consecuencia, la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria M | X | con un aumento en el número de experimentos, se acercará (convergerá en probabilidad) a su compañero esperado. La conexión anterior entre la media aritmética y mat. la expectativa constituye el contenido de una de las formas de la ley de los grandes números.
Ya sabemos que todas las formas de la ley de los grandes números establecen el hecho de que ciertos promedios son estables para una gran cantidad de experimentos. Aquí estamos hablando de la estabilidad de la media aritmética a partir de una serie de observaciones de la misma cantidad. Con un pequeño número de experimentos, la media aritmética de sus resultados es aleatoria; con un aumento suficiente en el número de experimentos, se vuelve "casi aleatorio" y, estabilizándose, se acerca a un valor constante - mat. espera.
La propiedad de estabilidad de los promedios con un gran número de experimentos es fácil de verificar experimentalmente. Por ejemplo, al pesar un cuerpo en un laboratorio con una balanza precisa, obtenemos un nuevo valor cada vez como resultado del pesaje; para reducir el error de observación, pesamos el cuerpo varias veces y usamos la media aritmética de los valores obtenidos. Es fácil convencerse de que con un aumento adicional en el número de experimentos (ponderaciones) la media aritmética reacciona cada vez menos a este aumento, y con un número suficientemente grande de experimentos prácticamente deja de cambiar.
Cabe señalar que la característica más importante de la posición de una variable aleatoria es mat. expectativa - no existe para todas las variables aleatorias. Puede componer ejemplos de tales variables aleatorias para las que mat. no hay expectativa ya que la suma o integral correspondiente diverge. Sin embargo, para la práctica, estos casos no son de gran interés. Por lo general, las variables aleatorias con las que tratamos tienen un rango limitado de valores posibles y, por supuesto, tienen una expectativa matemática.
Además de las características más importantes de la posición de una variable aleatoria, el tapete de expectativas, a veces se utilizan en la práctica otras características de la posición, en particular, la moda y la mediana de una variable aleatoria.
La moda de una variable aleatoria es su valor más probable. El término "valor más probable", estrictamente hablando, se aplica sólo a cantidades discontinuas; para una cantidad continua, la moda es el valor en el que la densidad de probabilidad es máxima. Las figuras muestran la moda para las variables aleatorias continuas y discontinuas, respectivamente.
Si el polígono de distribución (curva de distribución) tiene más de un máximo, la distribución se denomina "polimodal".
A veces hay distribuciones que tienen un mínimo, no un máximo, en el medio. Estas distribuciones se denominan "antimodales".
En el caso general, la moda y la expectativa matemática de una variable aleatoria no coinciden. En el caso particular cuando la distribución es simétrica y modal (es decir, tiene un modo) y hay un tapete. expectativa, entonces coincide con la moda y el centro de simetría de la distribución.
A menudo se utiliza otra característica de la posición: la denominada mediana de una variable aleatoria. Esta característica se usa generalmente solo para variables aleatorias continuas, aunque formalmente se puede determinar para una variable discontinua. Geométricamente, la mediana es la abscisa del punto en el que el área delimitada por la curva de distribución se divide a la mitad.
En el caso de una distribución modal simétrica, la mediana coincide con el tapete. expectativa y moda.
El tapete de expectativa es el valor medio de la variable aleatoria, la característica numérica de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. De la forma más general, las matemáticas son la expectativa de una variable aleatoria X (w) se define como la integral de Lebesgue con respecto a la medida de probabilidad R en el espacio de probabilidad original:
Estera. La expectativa también se puede calcular como la integral de Lebesgue de X por distribución de probabilidad px magnitudes X:
De forma natural, puede definir el concepto de variable aleatoria con un valor de expectativa infinito. Ejemplo típico Sirven tiempos de repatriación en algunas caminatas aleatorias.
Usando el tapete. las expectativas están determinadas por muchas características numéricas y funcionales de la distribución (como la expectativa matemática de las funciones correspondientes de una variable aleatoria), por ejemplo, una función generadora, una función característica, momentos de cualquier orden, en particular varianza, covarianza.
La media de la población es
El tapete de expectativa es una característica de la ubicación de los valores de una variable aleatoria (el valor promedio de su distribución). En esta capacidad, la expectativa matemática sirve como un parámetro de distribución "típico" y su papel es similar al papel del momento estático - las coordenadas del centro de gravedad de la distribución de masa - en mecánica. Se diferencia de otras características de la ubicación, con la ayuda de las cuales se describe la distribución en términos generales, - medianas, modos, expectativa, en el mayor valor que tiene y la característica de dispersión correspondiente - dispersión - en los teoremas límite de probabilidad. teoría. Con la mayor completitud, el significado de las expectativas matemáticas se revela mediante la ley de los grandes números (la desigualdad de Chebyshev) y la ley reforzada de los grandes números.
La media de la población es
La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta
Sea alguna variable aleatoria que pueda tomar uno de varios valores numéricos (por ejemplo, el número de puntos al lanzar un dado puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6). A menudo, en la práctica, para tal cantidad, surge la pregunta: ¿qué valor toma "en promedio" para un número grande pruebas? ¿Cuál será nuestro ingreso (o pérdida) promedio de cada una de las operaciones riesgosas?
Digamos que hay una especie de lotería. Queremos saber si es rentable o no participar en él (o incluso participar repetidamente, de forma regular). Digamos que cada cuarto boleto ganador, el premio es de 300 rublos y cualquier boleto, 100 rublos. Con una participación infinitamente grande, esto es lo que sucede. En tres cuartas partes de los casos, perderemos, cada tres pérdidas costará 300 rublos. En cada cuarto caso, ganaremos 200 rublos. (premio menos costo), es decir, por cuatro participaciones perdemos en promedio 100 rublos, por una, en promedio 25 rublos. En total, la tasa promedio de nuestra ruina será de 25 rublos por boleto.
Tiramos los dados. Si no es una trampa (no hay cambios en el centro de gravedad, etc.), ¿cuántos puntos tendremos en promedio a la vez? Dado que cada opción es igualmente probable, tomamos una estúpida media aritmética y obtenemos 3,5. Dado que esto es PROMEDIO, no hay necesidad de estar indignado porque ningún lanzamiento específico dará 3.5 puntos; bueno, ¡este cubo no tiene borde con tal número!
Ahora resumamos nuestros ejemplos:
Veamos la imagen que se acaba de mostrar. A la izquierda hay una tabla de la distribución de una variable aleatoria. El valor X puede tomar uno de n valores posibles (mostrado en la línea superior). No puede haber otros valores. Cada valor posible a continuación está etiquetado con su probabilidad. A la derecha hay una fórmula, donde M (X) se llama tapete. espera. El significado de este valor es que con un gran número de ensayos (con una muestra grande), el valor promedio tenderá a esta misma expectativa.
Volvamos al mismo cubo de juego. Estera. la expectativa de la cantidad de puntos al lanzar es 3.5 (calcule usted mismo usando la fórmula si no lo cree). Digamos que lo arrojaste un par de veces. Bajaron 4 y 6. En promedio, resultó 5, es decir, lejos de 3,5. Lo tiraron una vez más, dejaron caer 3, es decir, en promedio (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... De alguna manera lejos del mate. Expectativas. Ahora haz este loco experimento: ¡rueda el cubo 1000 veces! Y si el promedio no es exactamente 3.5, estará cerca de eso.
Cuentemos el jaque mate. esperando la lotería anterior. La placa se verá así:
Entonces la expectativa será matemática, como hemos establecido anteriormente.:
Otra cosa es que sería difícil usar el mismo “en los dedos”, sin fórmula, si hubiera más opciones. Digamos que tiene el 75% de los boletos perdidos, el 20% de los boletos ganadores y el 5% de los boletos ganadores adicionales.
Ahora, algunas propiedades son expectativas de pareja.
Estera. la expectativa es lineal. Demostrar esto es simple:
Se permite colocar un multiplicador constante fuera del signo de jaque mate. expectativas, es decir:
Este es un caso especial de la propiedad de linealidad del tapete de expectativas.
Otra consecuencia de la linealidad de mat. Expectativas:
es decir, amigo. la expectativa de la suma de las variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de las variables aleatorias.
Sean X, Y variables aleatorias independientes, luego:
Esto también es fácil de probar) XY en sí misma es una variable aleatoria, mientras que si los valores iniciales pudieran tomar norte y metro valores respectivamente, entonces XY puede tomar valores nm. cada uno de los valores se calcula basándose en el hecho de que se multiplican las probabilidades de eventos independientes. Como resultado, obtenemos esto:
La expectativa matemática de una variable aleatoria continua.
Las variables aleatorias continuas tienen características tales como densidad de distribución (densidad de probabilidad). De hecho, caracteriza la situación en que una variable aleatoria toma algunos valores del conjunto de números reales con más frecuencia, algunos con menos frecuencia. Por ejemplo, considere el siguiente gráfico:
Aquí X es una variable aleatoria en sí misma, f (x)- densidad de distribución. A juzgar por este gráfico, en los experimentos, el valor X a menudo será un número cercano a cero. Posibilidades de superar 3 o ser menos -3 más bien puramente teórico.
Si se conoce la densidad de distribución, entonces se busca la matemática de expectativa de la siguiente manera:
Por ejemplo, suponga que hay una distribución uniforme:
Busquemos el tapete. expectativa:
Esto es bastante consistente con la comprensión intuitiva. Digamos, si obtenemos muchos números reales aleatorios con una distribución uniforme, cada segmento |0; 1| , entonces la media aritmética debería ser aproximadamente 0,5.
Las propiedades de la mata de expectativas - linealidad, etc., aplicables para variables aleatorias discretas, también son aplicables aquí.
La relación de la expectativa matemática con otros indicadores estadísticos.
V estadístico análisis, junto con la expectativa mat, existe un sistema de indicadores interdependientes que reflejan la homogeneidad de los fenómenos y la estabilidad procesos... Los indicadores de variación a menudo no tienen un significado independiente y se utilizan para análisis de datos adicionales. La excepción es el coeficiente de variación, que caracteriza la uniformidad datos lo que es valioso estadístico característica.
El grado de variabilidad o estabilidad. procesos en ciencia estadística se puede medir utilizando varios indicadores.
El indicador más importante que caracteriza variabilidad variable aleatoria es Dispersión, que está más cercana y directamente relacionada con mat. espera. Este parámetro se utiliza activamente en otros tipos. análisis estadístico(prueba de hipótesis, análisis de relaciones causa-efecto, etc.). Al igual que la desviación lineal media, la varianza también refleja la medida del diferencial. datos alrededor de la media.
Es útil traducir el lenguaje de los signos al lenguaje de las palabras. Resulta que la varianza es el cuadrado medio de las desviaciones. Es decir, primero se calcula el promedio, luego se toma la diferencia entre cada original y el promedio, se eleva al cuadrado, se suma y luego se divide por el número de valores en la población. Diferencia entre el valor individual y la media refleja la medida de la desviación. Está al cuadrado para que todas las desviaciones se conviertan exclusivamente números positivos y evitar la destrucción mutua de las desviaciones positivas y negativas cuando se resumen. Luego, con los cuadrados de las desviaciones, simplemente calculamos la media aritmética. Desviaciones cuadradas medias. Las desviaciones se elevan al cuadrado y se considera el promedio. La solución a la palabra mágica "varianza" se encuentra en solo tres palabras.
Sin embargo, en su forma pura, como la media aritmética o la varianza, no se utiliza. Es más bien un indicador auxiliar e intermedio que se utiliza para otros tipos de análisis estadístico. Ni siquiera tiene una unidad de medida normal. A juzgar por la fórmula, este es el cuadrado de la unidad de medida de los datos originales.
La media de la población es
Midamos una variable aleatoria norte veces, por ejemplo, medimos la velocidad del viento diez veces y queremos encontrar el valor promedio. ¿Cómo se relaciona la media con la función de distribución?
O tiraremos dado una gran cantidad de veces. El número de puntos que caerán en el dado con cada tirada es una variable aleatoria y puede tomar cualquier valor natural de 1 a 6. La media aritmética de los puntos eliminados, calculada para todas las tiradas de dados, también es un valor aleatorio. , pero para grandes norte tiende a un número muy específico: jaque mate. esperando Mx... En este caso, Mx = 3,5.
¿Cómo surgió este valor? Dejar entrar norte juicios n1 una vez cayó 1 punto, n2 veces - 2 puntos y así sucesivamente. Entonces, el número de resultados en los que se eliminó un punto es:
Lo mismo ocurre con los resultados cuando se lanzan 2, 3, 4, 5 y 6 puntos.
Supongamos ahora que conocemos las distribuciones de la variable aleatoria x, es decir, sabemos que la variable aleatoria x puede tomar valores x1, x2, ..., xk con probabilidades p1, p2, ..., pk.
La expectativa Mx de una variable aleatoria x es:
La expectativa matemática no siempre es una estimación razonable de alguna variable aleatoria. Entonces, para estimar el salario promedio, es más razonable usar el concepto de mediana, es decir, un valor tal que el número de personas que reciben menos que la mediana, salario y grandes, coinciden.
La probabilidad p1 de que la variable aleatoria x sea menor que x1 / 2 y la probabilidad p2 de que la variable aleatoria x sea mayor que x1 / 2 son iguales e iguales a 1/2. La mediana no se determina de forma inequívoca para todas las distribuciones.
Desviación estándar o estándar en estadística, es el grado en que los datos de observación o conjuntos se desvían de la media. Está designado por las letras s o s. Una pequeña desviación estándar indica que los datos están agrupados alrededor de la media, mientras que una gran desviación estándar indica que los datos originales están muy lejos de ella. La desviación estándar es raíz cuadrada una cantidad llamada varianza. Es el promedio de la suma de las diferencias al cuadrado de los datos iniciales que se desvían de la media. La desviación de la raíz cuadrada media de una variable aleatoria se llama raíz cuadrada de la varianza:
Ejemplo. En condiciones de prueba al disparar a un objetivo, calcule la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria:
Variación- variabilidad, variabilidad del valor del rasgo en las unidades de la población. Seleccionado valores numéricos los rasgos encontrados en la población estudiada se denominan opciones de valor. La insuficiencia del valor medio para una característica completa de la población hace necesario complementar los valores medios con indicadores que permitan evaluar la tipicidad de estos promedios midiendo la variabilidad (variación) del rasgo en estudio. El coeficiente de variación se calcula mediante la fórmula:
Variación de deslizamiento(R) es la diferencia entre los valores máximo y mínimo del rasgo en la población estudiada. Este indicador da más Idea general sobre la variabilidad del rasgo en estudio, como muestra diferencia sólo entre los valores límite de las opciones. La dependencia de los valores extremos del rasgo le da al rango de variación un carácter aleatorio e inestable.
Desviación lineal media representa la media aritmética de las desviaciones absolutas (módulo) de todos los valores de la población analizada con respecto a su valor medio:
Valor esperado en la teoría del juego
La expectativa de pareja es la cantidad promedio de dinero que un especulador de juegos de azar puede ganar o perder en una apuesta determinada. Este es un concepto muy esencial para un especulador, porque es fundamental para la evaluación de la mayoría de situaciones de juego. El jaque mate de expectativas también es una herramienta óptima para analizar cartas básicas y situaciones de juego.
Digamos que está jugando una moneda con un amigo, apostando $ 1 por igual cada vez, independientemente de lo que surja. Cruz - ganas, cara - pierdes. Las probabilidades de que salga cruz son uno a uno, y usted apuesta de $ 1 a $ 1. Por lo tanto, mate su expectativa es cero, porque matemáticamente hablando, no puedes saber si liderarás o perderás después de dos lanzamientos o después de 200.
Tu ganancia por hora es cero. Una ganancia por hora es la cantidad de dinero que espera ganar en una hora. Puede lanzar una moneda 500 veces en una hora, pero no ganará ni perderá, porque sus posibilidades no son ni positivas ni negativas. Desde el punto de vista de un especulador serio, este sistema de apuestas no es malo. Pero esto es simplemente una pérdida de tiempo.
Pero suponga que alguien quiere apostar $ 2 contra su $ 1 en el mismo juego. Entonces inmediatamente tiene una expectativa positiva de 50 centavos de cada apuesta. Por qué 50 centavos? En promedio, ganas una apuesta y pierdes la segunda. Apueste el primero y pierda $ 1, apueste el segundo y gane $ 2. Apuesta $ 1 dos veces y tiene $ 1 por delante. Así que cada una de tus apuestas de un dólar te dio 50 centavos.
Si la moneda cae 500 veces en una hora, sus ganancias por hora ya serán de $ 250, porque en promedio perdiste uno a la vez dólar 250 veces y ganó por dos dólar 250 veces. $ 500 menos $ 250 equivalen a $ 250, que es el total de ganancias. Tenga en cuenta que el valor esperado, que es la cantidad que ganó en promedio en una apuesta, es de 50 centavos. Ganó $ 250 haciendo una apuesta en dólares 500 veces, lo que equivale a 50 centavos de la apuesta.
La media de la población es
Estera. esperar no tiene nada que ver con los resultados a corto plazo. Su oponente, que decidió apostar $ 2 en su contra, podría ganarle en los primeros diez lanzamientos seguidos, pero usted, con la ventaja de apostar 2 a 1, en igualdad de condiciones, en todas las circunstancias, gana 50 centavos de cada apuesta de $ 1. No importa si gana o pierde una apuesta o varias apuestas, pero solo si tiene suficiente dinero en efectivo para compensar tranquilamente los costos. Si continúa apostando de la misma manera, durante un largo período de tiempo, sus ganancias alcanzarán la suma de sus expectativas en lanzamientos individuales.
Cada vez que realiza una apuesta con el mejor resultado (una apuesta que puede ser rentable a largo plazo), cuando las probabilidades están a su favor, definitivamente ganará algo, y no importa si la pierde o no. en esta mano. Por el contrario, si realiza una apuesta con el peor resultado (una apuesta que no es rentable a largo plazo) cuando las probabilidades no están a su favor, está perdiendo algo independientemente de si gana o pierde la mano.
La media de la población es
Haces una apuesta con el mejor resultado si tu expectativa es positiva, y es positiva si las probabilidades están de tu lado. Al realizar una apuesta con el peor resultado, tiene una expectativa negativa, lo que sucede cuando las probabilidades están en su contra. Los especuladores serios hacen apuestas solo con el mejor resultado; en el peor de los casos, se retiran. ¿Qué significan las probabilidades a tu favor? Puede terminar ganando más de lo que aportan las probabilidades reales. Las probabilidades reales de que salga cruz son de 1 a 1, pero usted obtiene 2 a 1 debido a la proporción de las apuestas. En este caso, las probabilidades están a su favor. Definitivamente obtendrá el mejor resultado con una expectativa positiva de 50 centavos por apuesta.
Aquí hay un ejemplo de relación de pareja más complejo. Expectativas. Su amigo escribe los números del uno al cinco y apuesta $ 5 contra su $ 1 a que usted no determinará el número oculto. ¿Debería aceptar tal apuesta? ¿Cuál es la expectativa aquí?
En promedio, se equivocará cuatro veces. Con base en esto, las probabilidades en contra de que adivine el número son de 4 a 1. Las probabilidades son que pierda un dólar en un intento. Sin embargo, gana 5 a 1, si puede perder 4 a 1. Así que las probabilidades están a su favor, puede aceptar la apuesta y esperar un mejor resultado. Si realiza esta apuesta cinco veces, en promedio perderá cuatro veces $ 1 y ganará $ 5 una vez. En base a esto, para los cinco intentos, ganará $ 1 con un valor esperado positivo de 20 centavos por apuesta.
Un especulador que va a ganar más de lo que apuesta, como en el ejemplo anterior, está tomando las probabilidades. Por el contrario, arruina las probabilidades cuando espera ganar menos de lo que apuesta. Un especulador que hace una apuesta puede tener una expectativa positiva o negativa, que depende de si está alcanzando o arruinando las probabilidades.
Si apuesta $ 50 para ganar $ 10 con una probabilidad de ganar de 4 a 1, obtendrá una expectativa negativa de $ 2, porque en promedio, gana cuatro veces $ 10 y pierde $ 50 una vez, lo que muestra que la pérdida de una apuesta es de $ 10. Pero si apuesta $ 30 para ganar $ 10, con las mismas posibilidades de ganar 4 a 1, entonces en este caso tiene una expectativa positiva de $ 2, porque gana de nuevo cuatro veces por $ 10 y pierde $ 30 una vez, que es lucro a $ 10. Estos ejemplos muestran que la primera apuesta es mala y la segunda buena.
Estera. esperar es el foco de cualquier situación del juego... Cuando una casa de apuestas anima a los fanáticos del fútbol a apostar $ 11 para ganar $ 10, tienen una expectativa positiva de 50 centavos por cada $ 10. Si el casino paga el mismo dinero de la línea de pase en los dados, entonces la expectativa positiva del casino es de aproximadamente $ 1,40 por cada $ 100, porque Este juego está estructurado de tal manera que todo el que apuesta en esta línea pierde un 50,7% de media y gana el 49,3% del tiempo total. Sin lugar a dudas, es esta expectativa positiva aparentemente mínima la que brinda ganancias colosales a los propietarios de casinos de todo el mundo. Como comentó el propietario del casino Vegas World, Bob Stupak, "una milésima por ciento la probabilidad negativa a una distancia suficientemente larga arruinará al hombre más rico del mundo ".
Expectativa matemática al jugar al póquer
El juego de póquer es el ejemplo más ilustrativo e ilustrativo en términos de uso de la teoría y las propiedades del tapete de expectativas.
Estera. El valor esperado en el póquer es el beneficio promedio de una decisión en particular, siempre que dicha decisión pueda considerarse dentro del marco de la teoría de los grandes números y la larga distancia. Un juego de póquer exitoso consiste en aceptar siempre movimientos con expectativas positivas.
La media de la población es
Significado matemático de mat. Las expectativas al jugar al póquer es que a menudo nos encontramos con variables aleatorias al tomar una decisión (no sabemos qué cartas están en las manos de nuestro oponente, qué cartas vendrán en las rondas siguientes). comercio). Debemos considerar cada una de las soluciones desde el punto de vista de la teoría de los grandes números, que dice que con una muestra suficientemente grande, el valor promedio de una variable aleatoria tenderá a su expectativa.
Entre las fórmulas privadas para calcular la expectativa de pareja, la siguiente es la más aplicable en el póquer:
Al jugar al póquer, jaque mate. La expectativa se puede calcular tanto para apuestas como para llamadas. En el primer caso, se debe tener en cuenta el fold equity; en el segundo, las propias probabilidades del pozo. Al evaluar mat. esperando un movimiento, recuerde que retirarse siempre tiene cero expectativas. Por lo tanto, descartar cartas siempre será una decisión más rentable que cualquier movimiento negativo.
La media de la población es
La expectativa le dice lo que puede esperar (o perder) por cada riesgo que asume. Los casinos ganan dinero dinero ya que el mate es la expectativa de todos los juegos que se practican en ellos, a favor del casino. Con una serie de juegos suficientemente larga, se puede esperar que el cliente pierda su dinero porque la "probabilidad" está a favor del casino. Sin embargo, los especuladores de casinos profesionales limitan sus juegos a cortos períodos de tiempo, lo que aumenta las probabilidades a su favor. Lo mismo ocurre con la inversión. Si su expectativa es positiva, puede ganar más dinero haciendo muchas operaciones cortas. período tiempo. La expectativa es su porcentaje de ganancia al ganar multiplicado por la ganancia promedio menos su probabilidad de perder multiplicada por la pérdida promedio.
El póquer también se puede ver en términos de expectativas de jaque mate. Puede suponer que una determinada mudanza es rentable, pero en algunos casos puede que no sea la mejor porque otra mudanza es más rentable. Digamos que acierta un full en un póquer de cinco cartas. Tu oponente apuesta. Sabes que si subes tu oferta, él responderá. Por lo tanto, levantar parece la mejor táctica. Pero si subes la apuesta, los dos especuladores restantes definitivamente se retirarán. Pero si llama, estará completamente seguro de que los otros dos especuladores después de usted harán lo mismo. Cuando subes la apuesta, obtienes una unidad y simplemente igualas: dos. Por lo tanto, igualar le da una expectativa matemática positiva más alta y es la mejor táctica.
Estera. La espera también puede proporcionar información sobre qué tácticas son menos beneficiosas en el póquer y cuáles son más. Por ejemplo, cuando juega una mano determinada, cree que sus pérdidas promediarán 75 centavos, incluidos los antes, entonces esta mano debe jugarse porque esto es mejor que retirarse cuando la apuesta inicial es de $ 1.
Otra razón importante para comprender la esencia del mate. La expectativa es que te da una sensación de tranquilidad tanto si ganaste la apuesta como si no: si hiciste una buena apuesta o te retiraste a tiempo, sabrás que has ganado o ahorrado una cierta cantidad de dinero que el especulador más débil podría no salvar. Es mucho más difícil retirarse si está molesto porque su oponente ha hecho una combinación más fuerte en el intercambio. Con todo esto, el dinero que ahorraste al no jugar, en lugar de apostar, se suma a tus ganancias por noche o por mes.
Solo recuerda que si cambiaste de manos, tu oponente te igualaría y, como verás en el artículo "El teorema fundamental del póquer", esta es solo una de tus ventajas. Deberías estar feliz cuando esto suceda. Incluso puede aprender a disfrutar de una mano perdedora, porque sabe que otros especuladores en su lugar perderían mucho más.
Como se mencionó en el ejemplo con el juego de monedas al principio, la proporción de ganancias por hora está interconectada con la expectativa de pareja, y este concepto especialmente importante para los especuladores profesionales. Cuando vaya a jugar al póquer, debe estimar mentalmente cuánto puede ganar en una hora de juego. En la mayoría de los casos, necesitará confiar en su intuición y experiencia, pero también puede usar algunas matemáticas. Por ejemplo, estás jugando a draw lowball y ves que tres jugadores apuestan $ 10 y luego intercambian dos cartas, lo cual es una táctica muy mala, podrías pensar que cada vez que apuestan $ 10, pierden alrededor de $ 2. Cada uno de ellos lo hace ocho veces por hora, lo que significa que los tres pierden alrededor de $ 48 por hora. Usted es uno de los cuatro especuladores restantes, que son aproximadamente iguales, por lo que estos cuatro especuladores (y usted entre ellos) deben dividir $ 48, y cada ganancia será de $ 12 por hora. Su tarifa por hora en este caso es simplemente su parte de la cantidad de dinero perdida por tres malos especuladores en una hora.
La media de la población es
Durante un largo período de tiempo, el beneficio total del especulador es la suma de sus expectativas matemáticas en manos individuales. Cuanto más juegue con expectativa positiva, más ganará, y viceversa, mientras más manos juegue con expectativa negativa, más perderá. Como consecuencia, debe elegir un juego que pueda maximizar sus expectativas positivas o anular las negativas para que pueda maximizar sus ganancias por hora.
Expectativa matemática positiva en la estrategia del juego
Si sabe cómo contar cartas, puede tener una ventaja sobre el casino si no lo ven y lo echan. Los casinos adoran a los especuladores borrachos y no soportan los contadores de cartas. La ventaja le permitirá ganar más veces de las que pierde. Buen gobierno El capital al utilizar el cálculo del tapete de expectativas puede ayudarlo a obtener más ganancias de su ventaja y reducir las pérdidas. Sin una ventaja, es mejor donar dinero a organizaciones benéficas. En el juego en la bolsa de valores, la ventaja viene dada por el sistema de juego, que genera más ganancias que pérdidas, la diferencia precios y comisiones. No la gestión del capital no salvará un mal sistema de juego.
Una expectativa positiva se define por un valor mayor que cero. Cuanto mayor sea este número, mayor será la expectativa estadística. Si el valor es menor que cero, entonces jaque mate. la expectativa también será negativa. Cuanto mayor sea el módulo del valor negativo, peor será la situación. Si el resultado es cero, entonces la expectativa es de equilibrio. Solo puedes ganar cuando tienes una expectativa matemática positiva, un sistema de juego razonable. Jugar por intuición conduce al desastre.
La expectativa matemática y
El tapete de expectativas es un indicador estadístico bastante demandado y popular en la implementación del comercio de divisas en el sector financiero. mercados... En primer lugar, este parámetro se utiliza para analizar el éxito. comercio... No es difícil adivinar que cuanto mayor sea el valor dado, más razones para considerar exitoso el comercio estudiado. Por supuesto análisis trabaja trader no se puede realizar utilizando este parámetro solo. Sin embargo, el valor calculado junto con otros métodos de evaluación de la calidad trabaja, puede mejorar significativamente la precisión del análisis.
El tapete de expectativas a menudo se calcula en los servicios de monitoreo de cuentas comerciales, lo que le permite evaluar rápidamente el trabajo realizado en el depósito. Como excepciones, se pueden citar estrategias que utilizan el “no participar” en operaciones no rentables. Comerciante la suerte puede acompañar en algún momento, y por tanto, en su obra puede que no haya pérdidas en absoluto. En este caso, no será posible navegar solo por expectativa, pues no se tomarán en cuenta los riesgos utilizados en la obra.
Al negociar en El mercado El compañero de expectativa se usa con mayor frecuencia al predecir la rentabilidad de una estrategia comercial o al predecir ingresos. comerciante basado en las estadísticas de su anterior vientos alisios.
La media de la población es
En términos de administración del dinero, es muy importante comprender que no existe un esquema al realizar operaciones con expectativas negativas. administración dinero que definitivamente puede generar grandes ganancias. Si sigues jugando intercambio en estas condiciones, entonces, independientemente del método administración con dinero, perderá toda su cuenta, sin importar cuán grande sea al principio.
Este axioma no solo es cierto para juegos o intercambios con expectativas negativas, también es cierto para juegos con probabilidades iguales. Por lo tanto, el único momento en que tiene la oportunidad de beneficiarse a largo plazo es cuando ingresa a operaciones con un valor esperado positivo.
La diferencia entre la expectativa negativa y la expectativa positiva es la diferencia entre la vida y la muerte. No importa cuán positiva o negativa sea la expectativa; lo que importa es si es positivo o negativo. Por lo tanto, antes de considerar cuestiones de gestión capital tienes que encontrar un juego con expectativas positivas.
Si no tienes un juego así, ninguna cantidad de administración de dinero en el mundo te salvará. Por otro lado, si tiene una expectativa positiva, puede, mediante una buena administración del dinero, convertirla en una función de crecimiento exponencial. ¡No importa cuán pequeña sea esa expectativa positiva! En otras palabras, no importa qué tan rentable sea un sistema de negociación por contrato único. Si tiene un sistema que gana $ 10 por contrato en una operación (después de deducir las comisiones y el deslizamiento), se pueden utilizar técnicas de gestión. capital de una manera que lo hace más rentable que un sistema que muestra una ganancia promedio de $ 1,000 por operación (después de deducir las comisiones y el deslizamiento).
Lo que importa no es cuán rentable fue el sistema, sino cuán seguro se puede decir que el sistema mostrará al menos un beneficio mínimo en el futuro. Por lo tanto, la preparación más importante que se puede hacer es asegurarse de que el sistema muestre una expectativa matemática positiva en el futuro.
Para tener una expectativa matemática positiva en el futuro, es muy importante no restringir los grados de libertad de su sistema. Esto se logra no solo eliminando o reduciendo el número de parámetros a optimizar, sino también reduciendo tantas reglas del sistema como sea posible. Cada parámetro que agrega, cada regla que hace, cada pequeño cambio que realiza en el sistema, reduce el número de grados de libertad. Idealmente, necesita construir un sistema bastante primitivo y simple que genere consistentemente pequeñas ganancias en casi cualquier mercado. Nuevamente, es importante que comprenda que no importa qué tan rentable sea el sistema, siempre que sea rentable. que gane en el comercio se obtendrá a través de gestión eficaz dinero.
La media de la población es
Un sistema de comercio es simplemente una herramienta que le brinda una expectativa matemática positiva para que se pueda utilizar la administración del dinero. Los sistemas que funcionan (muestran al menos un beneficio mínimo) en solo uno o unos pocos mercados, o tienen diferentes reglas o parámetros para diferentes mercados, lo más probable es que no funcionen en tiempo real durante el tiempo suficiente. El problema con la mayoría de los comerciantes expertos en tecnología es que dedican demasiado tiempo y esfuerzo a optimizar las diversas reglas y valores de parámetros del sistema comercial. Esto da resultados completamente opuestos. En lugar de desperdiciar energía y tiempo de la computadora en aumentar las ganancias del sistema comercial, concentre su energía en aumentar el nivel de confiabilidad para obtener la ganancia mínima.
Sabiendo que la gestión del capital es solo un juego de números que requiere el uso de expectativas positivas, el comerciante puede dejar de buscar el "santo grial" de la negociación en la bolsa de valores. En su lugar, puede comenzar a probar su método de negociación, averiguar qué tan lógico es este método, si da expectativas positivas... Los métodos correctos de administración del dinero aplicados a cualquier método comercial, incluso mediocre, harán el resto del trabajo por sí mismos.
Para que cualquier comerciante tenga éxito en su trabajo, es necesario resolver las tres tareas más importantes: Asegúrese de que el número de acuerdos exitosos supere los inevitables errores y errores de cálculo; Configure su sistema de operaciones para que la oportunidad de ganar dinero sea lo más frecuente posible; Para lograr la estabilidad del resultado positivo de sus operaciones.
Y aquí, nosotros, los comerciantes en activo, podemos ser de gran ayuda con el jaque mate. expectativa. Este término en la teoría de la probabilidad es uno de los clave. Con su ayuda, puede dar una estimación promedio de un cierto valor aleatorio. Si la expectativa de una variable aleatoria es similar al centro de gravedad, si imaginamos todas las probabilidades posibles como puntos con masas diferentes.
En relación con una estrategia de negociación, para evaluar su eficacia, se utiliza con mayor frecuencia el tapete de expectativa de ganancias (o pérdidas). Este parámetro se define como la suma de los productos de los niveles dados de pérdidas y ganancias y la probabilidad de que ocurran. Por ejemplo, la estrategia comercial desarrollada asume que el 37% de todas las operaciones generarán ganancias y el resto, el 63%, no será rentable. Además, el promedio ingreso de un acuerdo exitoso será de $ 7 y la pérdida promedio será de $ 1,4. Calculemos la alfombra. esperando un intercambio en un sistema de este tipo:
¿Qué significa este número? Dice que, siguiendo las reglas de este sistema, en promedio recibiremos $ 1.708 por cada operación cerrada. Dado que la estimación de la eficiencia obtenida es mayor que cero, dicho sistema se puede utilizar para el trabajo real. Si, como resultado del cálculo del jaque mate, la expectativa resulta ser negativa, entonces esto ya habla de una pérdida promedio y esto conducirá a la ruina.
El tamaño de la ganancia por operación también se puede expresar como un valor relativo en forma de%. Por ejemplo:
Porcentaje de ingresos para 1 transacción - 5%;
El porcentaje de operaciones comerciales exitosas - 62%;
Porcentaje de pérdida por 1 operación - 3%;
El porcentaje de acuerdos fallidos: 38%;
En este caso, jaque mate. la espera será:
Es decir, el comercio promedio generará un 1,96%.
Es posible desarrollar un sistema que, a pesar de la prevalencia de operaciones no rentables, dará un resultado positivo, ya que su MO> 0.
Sin embargo, esperar solo no es suficiente. Es difícil ganar dinero si el sistema proporciona muy pocas señales comerciales. En este caso, será comparable al interés bancario. Deje que cada transacción dé un promedio de solo $ 0.50, pero ¿qué pasa si el sistema asume 1000 transacciones por año? Esta será una cantidad muy seria en un tiempo relativamente corto. De esto se sigue lógicamente que otro contraste Un buen sistema de negociación puede considerarse como un período corto de mantenimiento de posiciones.
Fuentes y enlaces
dic.academic.ru - Diccionario académico de Internet
math.ru - sitio educativo en matemáticas
nsu.ru - sitio web educativo de la Universidad Estatal de Novosibirsk
webmath.ru - portal educativo para estudiantes, solicitantes y escolares.
exponenta.ru sitio web educativo matemático
ru.tradimo.com - escuela de comercio en línea gratuita
crypto.hut2.ru: un recurso de información multidisciplinario
poker-wiki.ru - la enciclopedia libre del póquer
sernam.ru - Biblioteca científica publicaciones seleccionadas de ciencias naturales
reshim.su - sitio web RESOLVEMOS tareas de control del curso
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Valor esperado- el valor medio de la variable aleatoria. La expectativa matemática es un valor determinista. La media valor aritmético de realizaciones de la variable aleatoria es una estimación de la expectativa matemática. Promedio… … Terminología oficial: (valor medio) de una variable aleatoria es una característica numérica de una variable aleatoria. Si una variable aleatoria dada en un espacio de probabilidad (ver Teoría de la probabilidad), entonces su M. o. MX (o EX) se define como la integral de Lebesgue: donde ... Enciclopedia física
VALOR ESPERADO- una variable aleatoria es su característica numérica. Si una variable aleatoria X tiene una función de distribución F (x), entonces su M. o. será: . Si la distribución X es discreta, entonces M. o.:, Donde x1, x2, ... son valores posibles de una variable aleatoria discreta X; p1 ... Enciclopedia geológica
VALOR ESPERADO- Inglés. valor esperado; alemán Erwartung Mathische. Media estocástica o centro de dispersión de una variable aleatoria. Antinazi. Enciclopedia de Sociología, 2009 ... Enciclopedia de sociología
Valor esperado- Ver también: Expectativa condicional La expectativa matemática del valor medio de una variable aleatoria, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria, se considera en la teoría de la probabilidad. En literatura inglesa y en matemática ... ... Wikipedia
Valor esperado- 1.14 Expectativa matemática Е (X) donde xi valores de una variable aleatoria discreta; p = P (X = xi); f (x) densidad de una variable aleatoria continua * Si esta expresión existe en el sentido de convergencia absoluta Fuente ... Diccionario-libro de referencia de términos de documentación normativa y técnica
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Características de DSV y sus propiedades. Expectativa matemática, varianza, desviación estándar
La ley de distribución caracteriza completamente la variable aleatoria. Sin embargo, cuando es imposible encontrar la ley de distribución, o esto no es necesario, uno puede limitarse a encontrar valores, llamados características numéricas de una variable aleatoria. Estos valores determinan algún valor medio alrededor del cual se agrupan los valores de una variable aleatoria y el grado de su dispersión alrededor de este valor medio.
Expectativa matemática Una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria por sus probabilidades.
La expectativa matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.
Desde el punto de vista de la probabilidad, podemos decir que la expectativa matemática es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria.
Ejemplo. Se conoce la ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Encuentra el valor esperado.
| X | ||||
| pag | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Solución:
9.2 Propiedades de la expectativa matemática
1. La expectativa matemática de una constante es igual a la más constante.
2. El factor constante se puede sacar más allá del signo de la expectativa matemática.
3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Esta propiedad es válida para un número arbitrario de variables aleatorias.
4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.
Esta propiedad también es válida para un número arbitrario de variables aleatorias.
Deje que se realicen n pruebas independientes, la probabilidad de que ocurra el evento A en el que es igual ap.
Teorema. La expectativa matemática M (X) del número de ocurrencia del evento A en n ensayos independientes es igual al producto del número de ensayos por la probabilidad de ocurrencia del evento en cada ensayo.
Ejemplo. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M (X) = 3, M (Y) = 2, Z = 2X + 3Y.
Solución:
9.3 Dispersión de una variable aleatoria discreta
Sin embargo, la expectativa matemática no puede caracterizar completamente un proceso aleatorio. Además de la expectativa matemática, es necesario ingresar un valor que caracterice la desviación de los valores de la variable aleatoria de la expectativa matemática.
Esta desviación es igual a la diferencia entre la variable aleatoria y su expectativa matemática. En este caso, la expectativa matemática de la desviación es cero. Esto se debe a que algunas posibles desviaciones son positivas, otras negativas, y como resultado de su amortización mutua se obtiene cero.
Dispersión (dispersión) una variable aleatoria discreta es la expectativa matemática del cuadrado de la desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática.
En la práctica, este método de calcular la varianza es inconveniente, ya que conduce a cálculos engorrosos para una gran cantidad de valores de una variable aleatoria.
Por tanto, se aplica otro método.
Teorema. La varianza es igual a la diferencia entre la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su expectativa matemática..
Prueba. Teniendo en cuenta que la expectativa matemática M (X) y el cuadrado de la expectativa matemática M 2 (X) son valores constantes, podemos escribir:
Ejemplo. Encuentre la varianza de una variable aleatoria discreta dada por la ley de distribución.
| NS | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Solución:.
9.4 Propiedades de la dispersión
1. La varianza de la constante es cero. ...
2. Se puede sacar un factor constante del signo de dispersión elevándolo al cuadrado. ...
3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estos valores. ...
4. La varianza de la diferencia de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estos valores. ...
Teorema. La varianza del número de ocurrencias de un evento A en n ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad p de ocurrencia de un evento es constante, es igual al producto del número de ensayos y las probabilidades de ocurrencia y no ocurrencia. ocurrencia de un evento en cada ensayo.
9.5 Desviación estándar de una variable aleatoria discreta
Desviación cuadrática media una variable aleatoria X se llama raíz cuadrada de la varianza.
Teorema. La desviación estándar de la suma de un número finito de variables aleatorias independientes entre sí es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones estándar de estos valores.
Objetivo 1. La probabilidad de germinación de las semillas de trigo es de 0,9. ¿Cuál es la probabilidad de que de cuatro semillas sembradas, al menos tres broten?
Solución. Deja el evento A- 4 semillas germinarán al menos 3 semillas; evento V- 4 semillas germinarán 3 semillas; evento CON- 4 semillas brotarán de 4 semillas. Por el teorema de la suma de probabilidades
Probabilidades 
y 
determinada por la fórmula de Bernoulli utilizada en siguiente caso... Que haya una serie PAG pruebas independientes, para cada una de las cuales la probabilidad de que ocurra un evento es constante e igual a R, y la probabilidad de que este evento no ocurra es 
... Entonces, la probabilidad de que el evento A v PAG las pruebas aparecerán exactamente 
tiempos, calculados por la fórmula de Bernoulli
,
dónde 
- el número de combinaciones de PAG elementos por 
... Luego
Buscando probabilidad
Objetivo 2. La probabilidad de germinación de las semillas de trigo es de 0,9. Calcule la probabilidad de que broten 350 semillas de 400 semillas sembradas.
Solución. Calcule la probabilidad requerida 
Usar la fórmula de Bernoulli es difícil debido a los cálculos engorrosos. Por lo tanto, aplicamos una fórmula aproximada que expresa el teorema de Laplace local:
,
dónde 
y 
.
Del planteamiento del problema. Luego
.
Encontramos aplicaciones de la tabla 1. La probabilidad buscada es
Objetivo 3. El 0,02% de las semillas de trigo son malas hierbas. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren 6 semillas de malas hierbas si se seleccionan al azar 10,000 semillas?
Solución. Aplicación del teorema de Laplace local debido a la baja probabilidad 
conduce a una desviación significativa de la probabilidad del valor exacto 
... Por tanto, para valores pequeños R calcular 
aplicar la fórmula asintótica de Poisson
, dónde .
Esta fórmula se utiliza cuando 
, y menos R y más PAG, más preciso será el resultado.
Por la condición del problema 
;
... Luego
Tarea 4. La tasa de germinación de las semillas de trigo es del 90%. Calcule la probabilidad de que de 500 semillas sembradas broten de 400 a 440 semillas.
Solución. Si la probabilidad de que ocurra un evento A en cada PAG la prueba es constante e igual R, entonces la probabilidad 
que evento A en tales pruebas, al menos 
veces y no mas 
tiempos está determinado por el teorema de la integral de Laplace mediante la siguiente fórmula:
, dónde
, 
.
Función 
se llama función de Laplace. Los apéndices (Tabla 2) dan los valores de esta función para 
... A 
función 
... Con valores negativos X ya que la función de Laplace es impar 
... Usando la función de Laplace, tenemos:
Según el estado del problema. Usando las fórmulas anteriores, encontramos 
y 
:
Tarea 5. Se da la ley de distribución de una variable aleatoria discreta NS:
Encuentre: 1) expectativa matemática; 2) varianza; 3) desviación estándar.
Solución. 1) Si la ley de distribución de una variable aleatoria discreta viene dada por la tabla
|
| ||||||
Donde en la primera línea se dan los valores de la variable aleatoria x, y en la segunda, las probabilidades de estos valores, la expectativa matemática se calcula mediante la fórmula
2) Dispersión 
variable aleatoria discreta NS es la expectativa matemática del cuadrado de la desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática, es decir
Este valor caracteriza el valor medio esperado del cuadrado de la desviación. NS de 
... De la última fórmula que tenemos
Diferencia 
se puede encontrar de otra manera, basada en la siguiente propiedad: varianza 
es igual a la diferencia entre la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria NS y el cuadrado de su expectativa matemática 
, es decir
Calcular 
compusimos la siguiente ley de distribución de la cantidad 
:
3) Para caracterizar la dispersión de posibles valores de una variable aleatoria alrededor de su valor medio, se introduce la desviación estándar 
variable aleatoria NS igual a la raíz cuadrada de la varianza 
, es decir
.
De esta fórmula tenemos: 
Tarea 6. Variable aleatoria continua NS dado por la función de distribución acumulativa
Encuentre: 1) la función de distribución diferencial 
; 2) expectativa matemática 
; 3) varianza 
.
Solución. 1) Función de distribución diferencial 
variable aleatoria continua NS es la derivada de la función de distribución acumulada 
, es decir
.
La función diferencial buscada es la siguiente:
2) Si una variable aleatoria continua NS dado por la función 
, entonces su expectativa matemática está determinada por la fórmula
Dado que la función 
a 
y en 
es igual a cero, entonces de la última fórmula tenemos
.
3) Dispersión 
definido por la fórmula
Tarea 7. La longitud de la pieza es una variable aleatoria distribuida normalmente con una expectativa matemática de 40 mm y una desviación estándar de 3 mm. Encuentre: 1) la probabilidad de que la longitud de una parte tomada arbitrariamente sea mayor de 34 mm y menor de 43 mm; 2) la probabilidad de que la longitud de la pieza se desvíe de su expectativa matemática en no más de 1,5 mm.
Solución. 1) Deja NS- longitud parcial. Si una variable aleatoria NS dado por la función diferencial 
, entonces la probabilidad de que NS tomará valores pertenecientes al segmento 
, está determinada por la fórmula
.
Probabilidad del cumplimiento de desigualdades estrictas 
se define mediante la misma fórmula. Si una variable aleatoria NS distribuido de acuerdo con la ley normal, entonces
, (1)
dónde 
- función de Laplace, 
.
En la tarea. Luego
2) Por la condición del problema, donde 
... Sustituyendo en (1), tenemos
. (2)
De la fórmula (2) tenemos.
Es decir, si sl. la cantidad tiene una ley de distribución, entonces
llamado su expectativa matemática. Si sl. cantidad tiene un número infinito de valores, entonces la expectativa matemática está determinada por la suma de una serie infinita, siempre que esta serie converja absolutamente (de lo contrario dicen que la expectativa matemática no existe) .
Para continuo sl. valor dado por la función de densidad de probabilidad f (x), la expectativa matemática se determina en la forma de la integral
siempre que esta integral exista (si la integral diverge, entonces dicen que la expectativa matemática no existe).
Ejemplo 1... Determinemos la expectativa matemática de una variable aleatoria distribuida en Ley de Poisson... Priorato
o denotar
Por lo tanto, el parámetro , determinar la ley de distribución de una variable aleatoria de Poisson es igual al valor promedio de esta cantidad.
Ejemplo 2... Para una variable aleatoria con una ley de distribución exponencial, la expectativa matemática es
(tome los límites en la integral, teniendo en cuenta el hecho de que f (x) es diferente de cero solo para x positivo).
Ejemplo 3... Variable aleatoria distribuida según la ley de distribución Cauchy, no tiene valor medio. En realidad
Propiedades de la expectativa matemática.
Propiedad 1... La expectativa matemática de una constante es igual a esta constante en sí.
La constante C toma este valor con probabilidad uno y, por definición, M (C) = C × 1 = C
Propiedad 2... La expectativa matemática de la suma algebraica de variables aleatorias es igual a la suma algebraica de sus expectativas matemáticas.
Nos limitamos a probar esta propiedad solo para la suma de dos variables aleatorias discretas, es decir, Pruebalo
Bajo la suma de dos sl discretos. Las cantidades se entienden como sl. Una cantidad que toma valores con probabilidades.
Priorato
donde es la probabilidad de un evento calculada bajo la condición de que. En el lado derecho de la última igualdad, se enumeran todas las apariciones del evento, por lo que es igual a probabilidad total la ocurrencia de un evento, es decir ... Igualmente. Finalmente, tenemos
Propiedad 3... La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
| Tengo | … | |||||||
| Q | … | |||||||
| NS | … | |||||||
| R | … | |||||||
Damos pruebas de esta propiedad solo para cantidades discretas. Para las variables aleatorias continuas, se demuestra de manera similar.
Sean X e Y independientes y tengan leyes de distribución
El producto de estas variables aleatorias será una variable aleatoria, que toma valores con probabilidades iguales, debido a la independencia de las variables aleatorias. Luego
Consecuencia... El factor constante puede tomarse fuera del signo de la expectativa matemática. Entonces, la constante de siglo C no depende de qué valor tomará. valor X, luego por propiedad 3. tenemos
M (CX) = M (C) × M (X) = C × M (X)
Ejemplo... Si ayb son constantes, entonces M (ax + b) = aM (x) + b.
La expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en el esquema de prueba independiente.
Supongamos que se realizan n experimentos independientes, la probabilidad de que ocurra un evento en cada uno de los cuales es igual a P. El número de ocurrencias de un evento en estos n experimentos es una variable aleatoria X distribuida sobre ley binomial... Sin embargo, el cálculo directo de su valor medio es engorroso. Para simplificar, usaremos la expansión, que usaremos repetidamente en el futuro: El número de ocurrencias de un evento en n experimentos consiste en el número de ocurrencias de un evento en experimentos separados, es decir
donde tiene una ley de distribución (toma el valor 1 si el evento ocurrió en la experiencia dada, y el valor 0 si el evento no apareció en la experiencia dada).
| R | 1-r | R |
Es por eso
aquellos. el número promedio de ocurrencias de un evento en n experimentos independientes es igual al producto del número de experimentos por la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento.
Por ejemplo, si la probabilidad de acertar en un objetivo en un solo disparo es 0.1, entonces el número promedio de impactos en 20 disparos es 20 × 0.1 = 2.
La expectativa matemática es el valor promedio de una variable aleatoria.La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles por sus probabilidades:
Ejemplo.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Solución: La expectativa matemática es igual a la suma de los productos de todos los valores posibles de X por sus probabilidades:
M (X) = 4 * 0.2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 = 6.
Para calcular la expectativa matemática, es conveniente realizar cálculos en Excel (especialmente cuando hay muchos datos), sugerimos usar una plantilla lista para usar ().
Ejemplo para decisión independiente(puede usar una calculadora).
Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta X dada por la ley de distribución:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
La expectativa matemática tiene las siguientes propiedades.
Propiedad 1. La expectativa matemática de un valor constante es igual al más constante: M (C) = C.
Propiedad 2. Se puede tomar un factor constante fuera del signo de expectativa matemática: M (CX) = CM (X).
Propiedad 3. La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes entre sí es igual al producto de las expectativas matemáticas de los factores: M (X1X2 ... Xn) = M (X1) M (X2) *. .. * M (Xn)
Propiedad 4. La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos: M (Xg + X2 + ... + Xn) = M (Xg) + M (X2) +… + M (Xn).
Problema 189. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: Z = X + 2Y, M (X) = 5, M (Y) = 3;
Solución: Usando las propiedades de la expectativa matemática (la expectativa matemática de la suma es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos; el factor constante se puede mover fuera del signo de la expectativa matemática), obtenemos M (Z) = M (X + 2Y) = M (X) + M (2Y) = M (X) + 2M (Y) = 5 + 2 * 3 = 11.
190. Usando las propiedades de la expectativa matemática, demuestre que: a) M (X - Y) = M (X) -M (Y); b) la expectativa matemática de la desviación X-M (X) es cero.
191. La variable aleatoria discreta X toma tres valores posibles: x1 = 4 Con probabilidad p1 = 0.5; xÇ = 6 Con probabilidad P2 = 0.3 y x3 con probabilidad p3. Encuentre: x3 y p3, sabiendo que M (X) = 8.
192. Se da una lista de posibles valores de una variable aleatoria discreta X: x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1, también se conocen las expectativas matemáticas de esta cantidad y su cuadrado: M (X) = 0.1 , M (X ^ 2) = 0, 9. Encuentre las probabilidades p1, p2, p3 correspondientes a los valores posibles xi
194. Un lote de 10 partes contiene tres partes no estándar. Se eligieron dos partes al azar. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta X: el número de partes no estándar entre las dos seleccionadas.
196. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta X-número de tales lanzamientos de cinco dados, en cada uno de los cuales aparece un punto en dos dados, si el número total de lanzamientos es veinte.
La expectativa matemática de la distribución binomial es igual al producto del número de ensayos y la probabilidad de que ocurra un evento en un ensayo:
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