Lección en video “Fórmula de movimiento simultáneo. La velocidad del movimiento conjunto con la organización de Dios Tareas para el flujo

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A partir del quinto grado, los estudiantes a menudo se encuentran con estos problemas. También en escuela primaria a los estudiantes se les da el concepto de "velocidad general". Como resultado, forman ideas no del todo correctas sobre la velocidad de convergencia y la velocidad de eliminación (esta terminología no está disponible en la escuela primaria). La mayoría de las veces, al resolver un problema, los estudiantes encuentran la cantidad. Lo mejor es comenzar a resolver estos problemas con la introducción de los conceptos: "tasa de convergencia", "tasa de eliminación". Para mayor claridad, puede usar el movimiento de las manos, explicando que los cuerpos pueden moverse en una dirección y en diferentes direcciones. En ambos casos, puede haber tanto la velocidad de aproximación como la velocidad de remoción, pero en diferentes casos se encuentran de diferentes formas. Después de eso, los estudiantes escriben la siguiente tabla:

Tabla 1.

Métodos para encontrar la velocidad de convergencia y la velocidad de remoción.

Al analizar el problema, se dan las siguientes preguntas.

Con la ayuda de los movimientos de las manos, descubrimos cómo se mueven los cuerpos entre sí (en la misma dirección, en diferentes direcciones).

Descubrimos qué acción es la velocidad (suma, resta)

Determine qué velocidad es (acercamiento, remoción). Anotamos la solución al problema.

Ejemplo 1. Desde las ciudades A y B, la distancia entre las cuales es de 600 km, al mismo tiempo, camiones y automóviles salieron uno hacia el otro. La velocidad del automóvil de pasajeros es de 100 km / h y la velocidad de la carga es de 50 km / h. ¿En cuántas horas se encontrarán?

Los estudiantes usan movimientos de manos para mostrar cómo se mueven los autos y sacar las siguientes conclusiones:

los coches se mueven en diferentes direcciones;

se agregará la velocidad;

dado que se están moviendo el uno hacia el otro, esta es la velocidad de convergencia.

100 + 50 = 150 (km / h) - velocidad de aproximación.

600: 150 = 4 (h) - tiempo de viaje antes de la reunión.

Respuesta: en 4 horas

Ejemplo No. 2. El hombre y el niño salieron de la finca estatal hacia el huerto al mismo tiempo y caminaron por el mismo camino. La rapidez del hombre es de 5 km / hy la del niño de 3 km / h. ¿Cuál es la distancia entre ellos en 3 horas?

Con la ayuda de los movimientos de la mano, descubrimos:

un niño y un hombre se mueven en la misma dirección;

la velocidad se encuentra por la diferencia;

el hombre camina más rápido, es decir, se aleja del niño (velocidad de distancia).

Relevante sobre educación:

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En los problemas anteriores sobre el movimiento en una dirección, el movimiento de los cuerpos comenzaba simultáneamente desde el mismo punto. Consideremos la solución de problemas de movimiento en una dirección, cuando el movimiento de los cuerpos comienza simultáneamente, pero desde diferentes puntos.

Deje que un ciclista y un peatón salgan de los puntos A y B, cuya distancia entre ellos es de 21 km, y caminen en la misma dirección: un peatón a una velocidad de 5 km por hora, un ciclista a 12 km por hora

12 km por hora 5 km por hora

A B

La distancia entre un ciclista y un peatón en el momento de su salida es de 21 km. Por su hora movimiento articular en una dirección, la distancia entre ellos disminuirá en 12-5 = 7 (km). 7 km por hora - velocidad de convergencia de un ciclista y un peatón:

A B

Conociendo la velocidad de convergencia de un ciclista y un peatón, es fácil saber cuántos kilómetros disminuirá la distancia entre ellos después de 2 horas, 3 horas de su movimiento en la misma dirección.

7 * 2 = 14 (km) - la distancia entre el ciclista y el peatón disminuirá en 14 km después de 2 horas;

7 * 3 = 21 (km) - la distancia entre el ciclista y el peatón disminuirá en 21 km después de 3 horas.

Cada hora disminuye la distancia entre ciclista y peatón. Después de 3 horas, la distancia entre ellos se vuelve igual a 21-21 = 0, es decir el ciclista alcanzará al peatón:

A B

En los problemas de puesta al día, nos ocupamos de las cantidades:

1) la distancia entre los puntos a partir de los cuales comienza el movimiento simultáneo;

2) la velocidad de convergencia

3) el tiempo desde el momento del inicio del movimiento hasta el momento en que uno de los móviles adelanta al otro.

Conociendo el significado de dos de estas tres cantidades, se puede encontrar el significado de la tercera cantidad.

La tabla contiene las condiciones y soluciones de problemas que un ciclista y un peatón pueden compilar para "ponerse al día":

Expresemos la relación entre estos valores mediante la fórmula. Denotemos por la distancia entre los puntos y, - la velocidad de aproximación, el tiempo desde el momento de la salida hasta el momento en que un cuerpo alcanza a otro.

En los problemas de "puesta al día", la velocidad de aproximación a menudo no se da, pero se puede encontrar fácilmente a partir de los datos del problema.

Tarea. El ciclista y el peatón partieron simultáneamente en la misma dirección desde dos granjas colectivas, cuya distancia es de 24 km. Un ciclista viajaba a una velocidad de 11 km por hora y un peatón caminaba a una velocidad de 5 km por hora. ¿Cuántas horas después de salir el ciclista adelantará al peatón?

Para saber cuánto tiempo después de su salida el ciclista alcanzará al peatón, debe dividir la distancia que había entre ellos al comienzo del movimiento por la velocidad de aproximación; la velocidad de aproximación es igual a la diferencia entre las velocidades del ciclista y del peatón.

Fórmula de solución: = 24: (11-5); = 4.

Respuesta. Después de 4 horas, el ciclista adelantará al peatón. Las condiciones y soluciones de problemas inversos se escriben en la tabla:

Cada una de estas tareas se puede resolver de otras formas, pero serán irracionales en comparación con estas soluciones.

§ 1 Fórmula de movimiento simultáneo

Nos topamos con las fórmulas del movimiento simultáneo a la hora de resolver problemas de movimiento simultáneo. La capacidad de resolver un problema de movimiento en particular depende de varios factores. En primer lugar, es necesario distinguir entre los principales tipos de tareas.

Las tareas para el movimiento simultáneo se dividen convencionalmente en 4 tipos: tareas para el movimiento que se aproxima, tareas para el movimiento en direcciones opuestas, tareas para el movimiento en la persecución y tareas para el movimiento con retraso.

Los principales componentes de este tipo de tareas son:

distancia recorrida - S, velocidad - ʋ, tiempo - t.

La relación entre ellos se expresa mediante las fórmulas:

S = ʋ t, ʋ = S: t, t = S: ʋ.

Además de los componentes principales mencionados anteriormente, al resolver problemas de movimiento, podemos encontrar componentes tales como: la velocidad del primer objeto - ʋ1, la velocidad del segundo objeto - ʋ2, la velocidad de aproximación - ʋsbl., La La velocidad del levantamiento - sp., El tiempo del encuentro - tintr., La distancia inicial - S0, etc.

§ 2 Tareas para el tráfico que se aproxima

Al resolver problemas de este tipo se utilizan los siguientes componentes: la velocidad del primer objeto es ʋ1; la velocidad del segundo objeto es ʋ2; velocidad de aproximación - ʋsbl.; tiempo antes de la reunión - tvstr.; ruta (distancia) recorrida por el primer objeto - S1; la ruta (distancia) recorrida por el segundo objeto - S2; todo el camino recorrido por ambos objetos - S.

La relación entre los componentes de las tareas de tráfico que se aproximan se expresa mediante las siguientes fórmulas:

1. La distancia inicial entre objetos se puede calcular usando las siguientes fórmulas: S = ʋsbl. · Tvr. o S = S1 + S2;

2.La velocidad de aproximación se calcula mediante las fórmulas: ʋsbl. = S: tintr. o ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2;

3.La hora de la reunión se calcula de la siguiente manera:

Dos barcos navegan uno hacia el otro. La velocidad de los barcos a motor es de 35 km / hy 28 km / h. ¿Cuánto tiempo se encontrarán si la distancia entre ellos es de 315 km?

ʋ1 = 35 km / h, ʋ2 = 28 km / h, S = 315 km, tintr. =? h.

Para encontrar el tiempo de encuentro, necesita conocer la distancia inicial y la velocidad de aproximación, ya que tvr. = S: ʋsbl. Dado que la distancia se conoce por el enunciado del problema, hallamos la velocidad de aproximación. ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2 = 35 + 28 = 63 km / h. Ahora podemos encontrar la hora de reunión requerida. tinte = S: ʋsbl = 315: 63 = 5 horas Conseguimos que los barcos se encontrarán en 5 horas.

§ 3 Tareas para el movimiento en persecución

Al resolver problemas de este tipo, se utilizan los siguientes componentes: la velocidad del primer objeto - ʋ1; la velocidad del segundo objeto es ʋ2; velocidad de aproximación - ʋsbl.; tiempo antes de la reunión - tvstr.; ruta (distancia) recorrida por el primer objeto - S1; la ruta (distancia) recorrida por el segundo objeto - S2; la distancia inicial entre objetos es S.

El esquema para tareas de este tipo es el siguiente:

La relación entre los componentes de las tareas de seguimiento se expresa mediante las siguientes fórmulas:

1.La distancia inicial entre objetos se puede calcular utilizando las siguientes fórmulas:

S = ʋsbl. Tintr. O S = S1 - S2;

2.La velocidad de aproximación se calcula mediante las fórmulas: ʋsbl. = S: tintr. o ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2;

3.La hora de la reunión se calcula de la siguiente manera:

tinte = S: sl., Tintr. = S1: ʋ1 o tintr. = S2: ʋ2.

Consideremos la aplicación de estas fórmulas en el ejemplo del siguiente problema.

El tigre persiguió al ciervo y lo alcanzó después de 7 minutos. ¿Cuál es la distancia inicial entre ellos si la rapidez del tigre es de 700 m / min y la rapidez del venado es de 620 m / min?

ʋ1 = 700 m / min, ʋ2 = 620 m / min, S =? m, tvstr. = 7 minutos

Para encontrar la distancia inicial entre un tigre y un venado, es necesario conocer el tiempo de encuentro y la velocidad de convergencia, ya que S = tstr. · Sbl. Dado que el tiempo de encuentro se conoce a partir del enunciado del problema, encontramos la velocidad de aproximación. ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2 = 700 - 620 = 80 m / min. Ahora podemos encontrar la distancia inicial deseada. S = tintr. · Sbl = 7 · 80 = 560 m Obtenemos que la distancia inicial entre el tigre y el venado era de 560 metros.

§ 4 Problemas de movimiento en direcciones opuestas

Al resolver problemas de este tipo, se utilizan los siguientes componentes: la velocidad del primer objeto - ʋ1; la velocidad del segundo objeto es ʋ2; tasa de eliminación - ʋud; tiempo de viaje - t.; ruta (distancia) recorrida por el primer objeto - S1; la ruta (distancia) recorrida por el segundo objeto - S2; distancia inicial entre objetos - S0; la distancia que habrá entre los objetos después de cierto tiempo es S.

El esquema para tareas de este tipo es el siguiente:

La relación entre los componentes de las tareas para el movimiento en direcciones opuestas se expresa mediante las siguientes fórmulas:

1.La distancia final entre objetos se puede calcular utilizando las siguientes fórmulas:

S = S0 + ʋsp. T o S = S1 + S2 + S0; y la distancia inicial - según la fórmula: S0 = S - sp. · T.

2.La tasa de eliminación se calcula mediante las fórmulas:

ʋud. = (S1 + S2): toʋud. = ʋ1 + ʋ2;

3. El tiempo de viaje se calcula de la siguiente manera:

t = (S1 + S2): sp., t = S1: ʋ1 o t = S2: ʋ2.

Consideremos la aplicación de estas fórmulas en el ejemplo del siguiente problema.

Dos coches salieron de los aparcamientos simultáneamente en direcciones opuestas. La velocidad de una es de 70 km / h, la otra de 50 km / h. ¿Cuál es la distancia entre ellos en 4 horas si la distancia entre las flotas es de 45 km?

ʋ1 = 70 km / h, ʋ2 = 50 km / h, S0 = 45 km, S =? km, t = 4 h.

Para encontrar la distancia entre los autos al final del camino, necesita conocer el tiempo de viaje, la distancia inicial y la velocidad de remoción, ya que S = sp. · T + S0 Dado que el tiempo y la distancia inicial se conocen a partir del enunciado del problema, encontramos la tasa de remoción. ʋud. = ʋ1 + ʋ2 = 70 + 50 = 120 km / h. Ahora podemos encontrar la distancia requerida. S = ud. T + S0 = 120 4 + 45 = 525 km. Conseguimos que en 4 horas habrá una distancia de 525 km entre coches.

§ 5 Tareas para movimiento con retraso

Al resolver problemas de este tipo, se utilizan los siguientes componentes: la velocidad del primer objeto - ʋ1; la velocidad del segundo objeto es ʋ2; tasa de eliminación - ʋud; tiempo de viaje - t.; distancia inicial entre objetos - S0; la distancia que se convertirá entre los objetos después de una cierta cantidad de tiempo - S.

El esquema para tareas de este tipo es el siguiente:

La relación entre los componentes de las tareas rezagadas se expresa mediante las siguientes fórmulas:

1. La distancia inicial entre objetos se puede calcular mediante la siguiente fórmula: S0 = S - sp. · T; y la distancia que se convertirá entre los objetos después de un cierto tiempo, de acuerdo con la fórmula: S = S0 + sp. · T;

2. La velocidad de remoción se calcula mediante las fórmulas: sp. = (S - S0): to sp. = ʋ1 - ʋ2;

3. El tiempo se calcula de la siguiente manera: t = (S - S0): sp.

Consideremos la aplicación de estas fórmulas usando el ejemplo del siguiente problema:

Dos coches salieron de dos ciudades en la misma dirección. La velocidad del primero es de 80 km / h, la velocidad del segundo es de 60 km / h. ¿En cuántas horas habrá 700 km entre automóviles si la distancia entre ciudades es de 560 km?

ʋ1 = 80 km / h, ʋ2 = 60 km / h, S = 700 km, S0 = 560 km, t =? h.

Para encontrar el tiempo, necesita conocer la distancia inicial entre los objetos, la distancia al final del camino y la velocidad de remoción, ya que t = (S - S0): sp. Dado que ambas distancias se conocen por la condición del problema, encontramos la velocidad de remoción. ʋud. = ʋ1 - ʋ2 = 80 - 60 = 20 km / h. Ahora podemos encontrar el tiempo requerido. t = (S - S0): ʋsp = (700 - 560): 20 = 7 h. Conseguimos que en 7 horas habrá 700 km entre coches.

§ 6 Breve resumen sobre el tema de la lección

Con un movimiento y una persecución simultáneos, la distancia entre dos objetos en movimiento disminuye (antes de la reunión). Por unidad de tiempo, disminuye en ʋsbl., Y durante todo el tiempo de movimiento antes del encuentro, disminuirá en la distancia inicial S. Por lo tanto, en ambos casos, la distancia inicial es igual a la velocidad de aproximación multiplicada por el tiempo de movimiento antes de la reunión: S = ʋsbl. · Tvstr .. La única diferencia es que con el tráfico en sentido contrario ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2, y cuando se mueve después de ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2.

Al moverse en direcciones opuestas y con retraso, la distancia entre objetos aumenta, por lo que no se producirá el encuentro. Durante una unidad de tiempo aumentará en ud., Y durante todo el tiempo de movimiento aumentará en el valor del producto ud. · T. Esto significa que en ambos casos la distancia entre los objetos al final del camino es igual a la suma de la distancia inicial y el producto ʋsp. · T. S = S0 + sp. · T. La única diferencia es que con el movimiento opuesto sp. = ʋ1 + ʋ2, y cuando se mueve con un retraso ʋud. = ʋ1 - ʋ2.

Lista de literatura usada:

1. Peterson L.G. Matemáticas. Cuarto grado. Parte 2. / L.G. Peterson. - M.: Juventa, 2014 .-- 96 p .: Ill.
2. Matemáticas. Cuarto grado. Pautas al libro de texto de matemáticas "Aprender a aprender" para el grado 4 / L.G. Peterson. - M .: Juventa, 2014 .-- 280 p .: Ill.
3. Zak S.M. Todas las tareas para el libro de texto de matemáticas para el cuarto grado L.G. Peterson y un conjunto de obras de control... FSES. - M.: YUNVES, 2014.
4. CD ROM. Matemáticas. Cuarto grado. Guiones de lecciones para el libro de texto de la parte 2 Peterson L.G. - M .: Juventa, 2013.

Imágenes utilizadas:

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2. VELOCIDAD CORPORAL MOVIMIENTO RECTO Y UNIFORME.

Velocidad Es una característica cuantitativa del movimiento corporal.

velocidad media- este es cantidad física, que es igual a la relación entre el vector de desplazamiento del punto y el intervalo de tiempo Δt durante el cual se produjo este desplazamiento. La dirección del vector de velocidad promedio coincide con la dirección del vector de desplazamiento. velocidad media determinado por la fórmula:

Velocidad instantánea, es decir, la velocidad en un momento dado es una cantidad física igual al límite al que tiende la velocidad media con una disminución infinita del intervalo de tiempo Δt:

En otras palabras, la velocidad instantánea en un momento dado es la relación entre un movimiento muy pequeño y un período de tiempo muy pequeño durante el cual ocurrió este movimiento.

El vector de velocidad instantánea se dirige tangencialmente a la trayectoria del movimiento del cuerpo (figura 1.6).

Arroz. 1.6. Vector de velocidad instantánea.

En el sistema SI, la velocidad se mide en metros por segundo, es decir, se considera que la unidad de velocidad es la velocidad de un movimiento rectilíneo tan uniforme en el que un cuerpo recorre una trayectoria de un metro en un segundo. La unidad de velocidad se denota Sra... La velocidad a menudo se mide en otras unidades. Por ejemplo, al medir la velocidad de un automóvil, tren, etc. La unidad más utilizada es el kilómetro por hora:

1 km / h = 1000 m / 3600 s = 1 m / 3,6 s

1 m / s = 3600 km / 1000 h = 3,6 km / h

Adición de velocidad (quizás no necesariamente la misma pregunta estará en 5).

Las velocidades del movimiento corporal en diferentes marcos de referencia están vinculadas por la clásica ley de adición de velocidad.

Relativa de velocidad corporal marco de referencia fijo es igual a la suma de las velocidades del cuerpo en marco de referencia móvil y el marco de referencia más móvil en relación con el estacionario.

Por ejemplo, un tren de pasajeros viaja en una vía férrea a una velocidad de 60 km / h. Una persona camina a lo largo del vagón de este tren a una velocidad de 5 km / h. Si consideramos el ferrocarril estacionario y lo tomamos como un sistema de referencia, entonces la velocidad de una persona en relación con el sistema de referencia (es decir, relativa ferrocarril), será igual a la suma de las velocidades del tren y la persona, es decir

60 + 5 = 65 si la persona va en la misma dirección que el tren

60 - 5 = 55 si la persona y el tren se mueven en direcciones diferentes

Sin embargo, esto solo es cierto si la persona y el tren se mueven en la misma línea. Si una persona se mueve en ángulo, entonces este ángulo deberá tenerse en cuenta, recordando que la velocidad es cantidad vectorial.

El ejemplo está resaltado en rojo + La ley de la suma del desplazamiento (creo que esto no necesita ser aprendido, pero para el desarrollo general puedes leerlo)

Ahora veamos el ejemplo descrito anteriormente con más detalle, con detalles e imágenes.

Entonces, en nuestro caso, el ferrocarril es marco de referencia fijo... El tren que mueve este camino es marco de referencia móvil... El vagón en el que camina la persona es parte del tren.

La velocidad de una persona en relación con el carro (en relación con el marco de referencia en movimiento) es de 5 km / h. Denotémoslo con la letra Ch.

La velocidad del tren (y por tanto del vagón) con respecto al marco de referencia estacionario (es decir, con respecto al ferrocarril) es de 60 km / h. Denotémoslo con la letra B. En otras palabras, la velocidad del tren es la velocidad del marco de referencia en movimiento en relación con el marco de referencia estacionario.

Todavía desconocemos la velocidad de una persona en relación con el ferrocarril (en relación con un marco de referencia estacionario). Designémoslo con una letra.

Conectemos el sistema de coordenadas XOY con el sistema de referencia estacionario (Fig. 1.7), y el sistema de coordenadas XP О PYP con el sistema de referencia en movimiento. Ahora intentemos encontrar la velocidad de una persona en relación con el sistema de referencia estacionario, es decir, relativo al ferrocarril.

Durante un breve intervalo de tiempo Δt, ocurren los siguientes eventos:

Luego, durante este período de tiempo, el movimiento de una persona en relación con el ferrocarril:

eso ley de suma de desplazamientos... En nuestro ejemplo, el movimiento de una persona en relación con el ferrocarril es igual a la suma de los movimientos de una persona en relación con el vagón y el vagón con respecto al ferrocarril.

Arroz. 1.7. La ley de la suma de los desplazamientos.

La ley de la suma de los desplazamientos se puede escribir de la siguiente manera:

= Δ H Δt + Δ B Δt

La velocidad de una persona en relación con el ferrocarril es:

Velocidad de la persona en relación con el automóvil:

Δ H = H / Δt

Velocidad del automóvil en relación con el ferrocarril:

Por lo tanto, la velocidad de una persona en relación con el ferrocarril será igual a:

Esta es la leyadición de velocidad:

Movimiento uniforme- este es un movimiento con velocidad constante, es decir, cuando la velocidad no cambia (v = constante) y no se produce aceleración o desaceleración (a = 0).

Movimiento recto- este es un movimiento en línea recta, es decir, la trayectoria del movimiento rectilíneo es una línea recta.

Movimiento rectilíneo uniforme Es un movimiento en el que el cuerpo realiza los mismos movimientos durante intervalos de tiempo iguales. Por ejemplo, si dividimos algún intervalo de tiempo en segmentos de un segundo, entonces, con un movimiento uniforme, el cuerpo se moverá la misma distancia para cada uno de estos segmentos de tiempo.

La velocidad del movimiento rectilíneo uniforme no depende del tiempo y en cada punto de la trayectoria se dirige de la misma forma que el movimiento del cuerpo. Es decir, el vector de desplazamiento coincide en dirección con el vector de velocidad. En este caso, la velocidad media para cualquier período de tiempo es igual a la velocidad instantánea:

Velocidad de movimiento recto uniforme Es una cantidad vectorial física igual a la relación entre el desplazamiento del cuerpo en cualquier intervalo de tiempo y el valor de este intervalo t:

Por tanto, la velocidad del movimiento rectilíneo uniforme muestra cuánto se mueve un punto material por unidad de tiempo.

Moviente con movimiento rectilíneo uniforme está determinado por la fórmula:

Distancia viajada en movimiento rectilíneo, es igual al módulo de desplazamiento. Si la dirección positiva del eje OX coincide con la dirección del movimiento, entonces la proyección de la velocidad sobre el eje OX es igual a la magnitud de la velocidad y es positiva:

v x = v, es decir, v> 0

La proyección de desplazamiento sobre el eje OX es igual a:

s = vt = x - x 0

donde x 0 es la coordenada inicial del cuerpo, x es la coordenada final del cuerpo (o la coordenada del cuerpo en cualquier momento)

Ecuación de movimiento, es decir, la dependencia de las coordenadas del cuerpo en el tiempo x = x (t) toma la forma:

Si la dirección positiva del eje OX es opuesta a la dirección del movimiento del cuerpo, entonces la proyección de la velocidad del cuerpo sobre el eje OX es negativa, la velocidad es menor que cero (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид.