Naziva se konjunktivan normalan oblik logičke funkcije. Konjuktivni oblici logičkih funkcija

Običan konjunkcija nazvan konjunkcija jedan ili nekoliko varijable, za to je svaki varijabla susret ne više jedan puta (ili sebe, ili nju negacija).

Na primjer, je jednostavan konjunkcija,

Sklapanje normalan oblik (DNF) nazvan disjunkcija jednostavan konjunkcije.

Na primjer, izraz je DNF.

Savršen sklapanje normalan oblik (SDNF) nazvan takve. sklapanje normalan oblik, w. koji u sVAKI konjunkcija unesi sve varijable ovaj popis (ili sebe, ili ih poricanje), povrh toga u jedan i tom istinarudžba.

Na primjer, izraz je DNF, ali ne i sdnf. Izraz je cdnf.

Slične definicije (uz zamjenu konjunkcije za disjunkciju i obrnuto) su istinite za PFF i SCFF. Dajemo točnu formular.

Običan disjunkcija nazvan disjunkcija jedan ili nekoliko varijable, za to je svaki varijabla uključen ne više jedan puta (ili sebe, ili nju negacija). Na primjer, izraz je jednostavan disjunkcija,

Vezivni normalan oblik (KNF) nazvan konjunkcija jednostavan disjunkcije (Na primjer, izraz - PFF).

Savršen konjunktivni normalni oblik (SCPF) naziva se takav QFO, u kojem svaka jednostavna disjunkcija uključuje sve varijable ovog popisa (sama ili njihovo poricanje), i na isti način.

Na primjer, izraz je SKPF.

Predstavljamo prijelazne algoritme iz jednog oblika na drugi. Naravno, u određenim slučajevima (s određenim kreativnim pristupom), korištenje algoritama je više vremena nego jednostavna transformacije koja koriste određenu vrstu ovog obrasca:

a) Prijelaz iz DNF-a do KNF-a

Algoritam ove tranzicije je kako slijedi: Stavite DNF dvaju odbijanja i uz pomoć De Morgan pravila (ne dirljivi gornji poricijski) daju DNF poricanje opet u DNF. U isto vrijeme, potrebno je otkriti nosače primjenom apsorpcijskog pravila (ili pravila Blakea). Poricanje dobivenog DNF-a (opet prema pravilu de Morgan) odmah nam daje CNF:

Imajte na umu da se CNF može dobiti od početnog izraza, ako napravite w. za zagrade;

b) Prijelaz s KNF-a na DNF

Ovaj prijelaz obavlja se jednostavnim otkrivanjem nosača (s ponovnom, koristi se apsorpcijsko pravilo)

Tako su primili DNF.

Obrnuti prijelaz (iz SDNF do DNF) povezan je s problemom minimiziranja DNF-a. To će biti rečeno u odjeljku. 5, Ovdje ćemo pokazati kako pojednostaviti DNF (ili SDNF) prema pravilu Blake. Takav DNF se zove skraćen Dnf;

c) smanjenje DNF-a (ili SDNF) pravilo Blake

Primjena ovog pravila sastoji se od dva dijela:

Ako postoje temelji među disjoint uvjetima u DNF-u , zatim dodajte koncepciju na svu disjunkciju DO 1 DO 2. Mi radimo ovu operaciju nekoliko puta (može biti uzastopno, možete istovremeno) za sve moguće parove pojmova, a zatim, primijeniti uobičajenu apsorpciju;

Ako je pojam dodao već bio zadržan u DNF-u, može se odbaciti na primjer, na primjer,

ili

Naravno, skraćeno DNF nije određen potplatom, ali svi sadrže isti broj slova (na primjer, postoji DNF Nakon nanošenja na njega, mogu se postići Blakeova pravila u DNF, ekvivalentno ovim):

c) Prijelaz iz DNF-a u SDNF

Ako u nekoj jednostavnoj konjunkciji nedostaje varijabla, na primjer, z, umetnite izraz u njega, nakon čega otkrivamo zagrade (s ponavljajućim disjunktivnim uvjetima ne piše). Na primjer:

d) Prijelaz s KNF-a na SKFF

Ovaj prijelaz se provodi na način sličan prethodnom: ako nema dovoljno varijable u jednostavnoj disjunkciji (na primjer, z, Dodajem joj izraz (to ne mijenja samog razrjeđivanja), nakon čega otkrivamo zagrade pomoću Zakona o distribuciji):

Dakle, SKFF je dobio od PFF-a.

Imajte na umu da se minimalni ili skraćeni PFF obično dobiva iz odgovarajućeg DNF-a.

Normalni oblici logičkih funkcija Zastupljenost funkcije mlijeka u obliku disjunkcije konjunktivnih pojmova u sastavu jedinice KI 2.7 naziva se disjunktivni normalni oblik DNF-a ove funkcije. Sadrži upravo jednu od svih svih logičkih varijabli snimljenih s odbijanjem ili bez njih, ovaj oblik prikaza funkcije naziva se savršen disjunktivni normalan oblik SDNF ove funkcije. Kao što se može vidjeti u pripremi funkcije SDNF, potrebno je napraviti disjunkciju svih minerala u kojima funkcija uzima vrijednost 1.

Ako se ovaj posao ne pojavi na dnu stranice nalazi se popis sličnih djela. Možete koristiti i gumb za pretraživanje.

Predavanje 1.xx

Normalni oblici logičkih funkcija

Zastupanje boolejske funkcije u obliku disjunkcije konjunktivnih pojmova (sastojak jedinica)K I.

, (2.7)

nazvan disjunktivni normalan oblik (DNF) ove funkcije.

Ako su svi konjunktivni pojmovi u DNF-uminerma , tj. sadrže točno jednu od svih logičkih varijabli snimljenih sa ili bez poricanja, tada se naziva takav oblik prikaza funkcijesavršen disjunktivni normalni oblik (SDNF. ) Ova funkcija. Sdnf se zovesavršen jer svaki pojam u disjunkciji uključuje sve varijable;sklapanje Budući da je glavna operacija u formuli disjunkcija. Koncept "normalan oblik"" Znači nedvosmislenu metodu za snimanje formule koja implementira navedenu funkciju.

Uzimajući u obzir gore navedeno, slijedi sljedeći teorem iz teorema 2.1.

Teorem 2. Bilo koju boolean značajku(nije jednak identično 0) može se prikazati u SDNF-u, .

Primjer 3. Neka imamo određenu funkciju tablicef (X1, X2, X3) (Tablica 10).

Tablica 10.

Na temelju formule (2.6) dobivamo:

Kao što se može vidjeti, kada kompilira SDNF, funkcije moraju biti disjunkcija svih MINEMS-a, u kojima funkcija je vrijednost 1.

Zastupanje mliječne funkcije u obliku konjunkcije disjunktivnih pojmova (sastojak nula)D I.

, (2.8)

nazvan konjunktivni normalni oblik (PFF) ove funkcije.

Ako su svi disjunktivni uvjeti PFF-amastermami , tj. sadrže točno jednu logičku varijabilna funkcijasnimljeno s poricanjem ili bez njih, tada se takav CNF zovesavršen konjunktivan normalan oblik (SKFF) ove funkcije.

Teorem 3. Bilo koju boolean značajku(nije jednak identično 1) može se prikazati u SKFF-u, I takva predstavljanja je jedina.

Dokaz teorema može se provesti slično dokaz teorema 2.1 na temelju sljedeće Shannonske leme na konjunktivnoj razgradnji.

Lemma shannon , Bilo koju boolean značajkuf (x 1, x 2, ..., x m) od m varijable se mogu prikazati tako:

. (2.9)

Treba napomenuti da su oba oblika predstavljanja logičke funkcije (DNF i PFF) teoretski jednaki u svojim mogućnostima: svaka logička formula može biti predstavljena iu DNF (osim identične nule) i u KNF (osim za identična jedinica). Ovisno o situaciji, zastupljenost funkcije u jednom ili drugom obliku može biti kraće.

U praksi se DNF najčešće koristi., Budući da je ovaj oblik više poznat za osobu: od djetinjstva, on je upoznat s radom nego umnožavajući količine (u posljednji slučaj Intuitivno se pojavljuje želja da otkrijete zagrade i prolaze kroz DNF).

Primjer 4. Za funkciju F (x 1, X2, X 3 ) Navedena tablica. 10, napišite svoj SCFF.

Za razliku od SDNF-a, prilikom sastavljanja SKFF-a u tablici istine, morate gledati kombinacije varijabli u kojima funkcija uzima vrijednost 0 i čine konjunkciju odgovarajućih macsterss,ali varijable se moraju uzeti s inverznim inverzijom:

Treba napomenuti da je nemoguće kretati se izravno iz SDNF-a u njegov SCBF ili obrnuto. Kada pokušate isprobati takve transformacije, dostupne su funkcije inverziranja na željeni željeni. Izrazi za SDNF i SCFF funkciju mogu se dobiti samo iz tablice istine.

Primjer 5. Za funkciju f (x 1, x 2, x 3 ) Navedena tablica. 10, pokušajte se kretati od SDNF na SKFF.

Pomoću rezultata iz primjera 2.3 ćemo dobiti:

Kao što se može vidjeti, prema ukupnoj inverziji, dobiven je SCFF logičke funkcije, koji je obrnut u odnosu na funkciju dobivenu u primjeru 2.4:

od toga. Sadrži sve majstore koji nisu u izrazu za SCFF od dotičnog funkcije.

1. Korištenje svojstava operacija (vidi tablicu 9) identiteta (), zbroj modula 2 (), implikacije (), idite na operacije i, ili, ne (u Bulla).

2. Koristeći svojstva odricanja i zakona de Morgana (vidi tablicu 9) postižemo uskraćivanje operacija samo za odvojene varijable, a ne na cijeli izrazi.

3. Koristeći svojstva logičkih operacija i ili ili (vidi tablicu 9), dobivamo normalan oblik (DNF ili PFF).

4. Ako je potrebno, prijeđite na savršene obrasce (SDNF ili SCPF). Na primjer, za dobivanje SCPF-a često je potrebno koristiti imovinu :.

Primjer 6. Pretvoriti logičku funkciju na SKFF

Izvođenje kako bi se gore navedeni koraci iznad gore navedenog algoritma, dobivamo:

Koristeći nekretninu apsorpcije, dobivamo:

Tako smo dobili PFF funkcijuf (x 1, x 2, x 3 ). Da biste ga dobili SKKF, trebate svaku disjunkciju, što nedostaje bilo kakve varijable, ponovite dvaput - s ovom varijablom i sa svojim poricanjem:

2.2.6. Minimiziranje logičkih funkcija

Budući da je ista logička funkcija može biti predstavljenaz osobne formule, a zatim pronalaze najjednostavniji PHOr mazge, koje definiraju boolean funkciju, pojednostavljuje logičku shemu koja provodi boolean zabavuuobičajen Minimalni oblik L.oko funkcija ghee U određenoj osnovi, može se smatrati takav da sadrži minimalni broj superpozicija zabavedo osnova, dopuštajući i zagrade. Međutim, teško je izgraditi učinkovit al. goriti takva minimizacija za dobivanje minimalne zagrader mi.

Razmotrite jednostavniji problem minimiziranja u sintezi kombiniranih krugova, u kojem se traži minimalni oblik nosača funkcije i minimalni DNF. Za ovaj zadatak postoje jednostavni učinkoviti algoritmi.

Metoda qwaina

Minimizirana funkcija prikazana je u SDNF-u, a na njega se primjenjuju sve moguće nepotpune operacije lijepljenja.

, (2.10)

i onda apsorpcija

, (2.11)

i ovaj par koraka se više puta koristi. Dakle, moguće je smanjiti rang pojmova. Ovaj postupak se ponavlja sve dok nijedan pojam ne dopušta lijepljenje s bilo kojim drugim termalnim.

primijeti da lijevo dio Jednadžbe (2.10) mogu odmah minimizirati jednostavniji i očitiji način:

Ova metoda je loša u tome, s tako izravnim minimiziranjem, konjuktivnim uvjetima ili nestaju, iako još uvijek postoje slučajevi njihove uporabe za lijepljenje i apsorpciju s preostalim terminima.

Treba napomenuti da je Kwain metoda prilično dugotrajna, stoga je vjerojatnost pretpostavke o pogreškama tijekom transformacija prilično velika. Ali njegova prednost je da se teoretski, može se koristiti za bilo koji broj argumenata i, s povećanjem broja varijabli, transformacije nisu toliko komplicirane.

Kartična metoda Carno

Metoda kartica (tablica) Carno je vizualniji, manje dugotrajan i pouzdan način za minimiziranje logičkih funkcija, ali je njegova uporaba praktički ograničena na funkcije 3-4 varijabli, maksimalno - 5-6 varijabli.

Karta carno - Ovo je dvodimenzionalni tablični oblik prezentacijske tablice istine mliječne funkcije, dopuštajući grafički vizualnom obliku da lako pronađe minimalni DNF logičkih funkcija. Svaka stanica tablice uspoređena je s MIMERM od SDNF minimizirane funkcije, tako da u bilo kojoj osi simetrije tablice odgovara zonama, međusobno inverzno za bilo koju varijablu. Ovo mjesto stanica u tablici olakšava određivanje uvjeta lijepljenja CDNF-a (karakterizirano samo inverzijskim znakom samo jednu varijablu): nalaze se u stolu simetrično.

Trod stolovi i Carno kartica za funkcije i dva poe. promjene su prikazane na sl. 8. U svakom kavezu kartice se bilježiali funkcija na odgovarajućem skupu vrijednosti arguman tov.

A) i b) ili

Sl. osam. Primjer karte carnosa za funkcije dvije varijable

Na karti karti za funkciju i samo jedan 1, tako da se ne može plijeniti bilo što. Izraz minimalne funkcije bit će samo izraz koji odgovara ovome 1:

f \u003d x y.

Carnot karta za funkciju ili već tri i možete napraviti dva vezna parova, s 1 odgovarajućim njihovimxY. , Koristi se dva puta. U izrazu za minimalnu funkciju, morate zapisati uvjete za lijepljenu paru, ostavljajući sve varijable u njima, koje se za ovaj par ne mijenjaju i uklonite varijable koje mijenjaju njihovu vrijednost. Za horizontalno lijepljenje dobivamox. i za vertikalno -y. , na kraju dobivamo izraz

f \u003d x + y.

Na sl. 9 prikazuje tablice istine dvije funkcije triju varijabli (ali ) i njihove karte Carno (b i c). Funkcija F 2. Razlikuje se od prve činjenice da se ne definira na tri seta varijabli (u tablici označeno je zastojno vrijeme).

Prilikom određivanja minimalne DNF funkcije koriste se sljedeća pravila. Sve stanice koje sadrže 1 se kombiniraju u zatvorene pravokutne površinek -Kubami, gdje k \u200b\u200b\u003d log 2 K, k - broj 1 u pravokutnom području. U isto vrijeme, svaka regija treba biti pravokutnik s brojem stanica 2k, gdje je k \u003d 0, 1, 2, 3, .... Za k \u003d 1 Pravokutnik zovejedan kubični i sadrži 2 1 \u003d 2 jedinice; Za k \u003d 2 Pravokutnik sadrži 22 \u003d 4 jedinice i nazvanedva kubična; na k \u003d 3 regiji od 2 3 \u003d 8 jedinica zovetrobojni ; itd. Jedinice koje se ne mogu kombinirati u pravokutnike, možete nazvatinula-kocke koji sadrže samo jednu jedinicu (20 \u003d 1). Kao što se može vidjeti kadak. područja mogu imati kvadratni oblik (ali ne nužno), a s neparnimk. - samo pravokutnici.

Sl. devet. Primjer Karta carno-a za tri varijabilne funkcije

Ta se područja mogu presijecati, tj. Iste stanice mogu ući različita područja, Tada se minimalna funkcija DNF bilježi kao disjunkcija svih konjunktivnih uvjeta koji odgovarajuk - kocke.

Svako od navedenih područja na karti Carno prikazana je u minimalnom dnf zajedno, broj argumenata u kojimak. manje od ukupnog broja argumenata funkcijem. , tj. Ovaj broj je jednakm - K. , Svaki spoj minimalne DNF-a je sastavljen samo iz onih argumenata koji imaju vrijednosti za odgovarajuće područje karte ili bez inverzije, ili samo s inverzijom, tj. Nemojte mijenjati njihovu vrijednost.

Dakle, kada pokrivaju stanice karte, zatvorene regije trebaju nastojati osigurati da je broj područja minimalan, a svaka regija sadrži veći broj stanica, budući da će biti minimalni broj članova u minimalnom DNF-u i broj argumenata u odgovarajućoj konjunkciji bit će minimalni.

Za funkciju na karti karno na sl. devet,b

jer za gornje varijable zatvorenih područjax 1 i x 2 mate bez inverzije za nižex 1 Važno je s inverzijom ix 3 - bez inverzije.

Nerazumne vrijednosti na karti na slici. devet,u Možete odobriti, zamjenjujući nulu ili jedinicu. Za ovu značajku jasno je da su i neizvjesne vrijednosti profitabilnije zamijeniti 1. U isto vrijeme, formiraju se dva područja koja su razne vrste 2 kocke. Tada će izraz minimalne DNF funkcije biti kako slijedi:

Prilikom izgradnje zatvorenih područja, preklopna kartica u cilindru je dopušteno i horizontalno ir osi tikalne osi s udrugom suprotnih licar vi, tj. Jedinice smještene na rubovima karte karno simetrijec. ali, također se može kombinirati.

Karanfil kartice mogu se crtati na različite načine (sl. 10).

a B.

Sl. 10. Različiti načini fotografije Carno
Za funkciju 3 varijable

No, najpogodnije varijante Carno kartica za funkcije 2-4 varijable prikazane su na Sl. 11 stolova, jer u njima za svaku stanicuali sve varijable u izravnom ili inverznom obliku.

a B.

Sl. jedanaest. Najpogodnija slika carnovnih karata
Za funkcije 3 (a) i 4 (b) varijable

Za funkcije 5 i 6 varijabli, metoda prikazana na Sl. 10,u.

Sl. 12. Image Card Carno za funkciju 5 varijabli

Sl. 13. Karta slike carno za funkciju 6 varijabli

Normalan oblik logička formula Ne sadrži oznake implikacije, ekvivalentnost i uskraćivanje ne-elementarne formule.

Normalni oblik postoji u dvije vrste:

konjuktivni normalni oblik (KNF) - konjunkcija nekoliko disjunkcija, na primjer, $ lijevo (vee repline (b) te vee c re desno) lijevo (vee c re) $;

normalni oblik dilunkcioniranja (DNF) - disjunkcija nekoliko veznika, na primjer, $ lijevo (klin granica (b) clodge c rečenica lijevo (B CEDGE C) $.

Skaf

Perfect konjunktivni normalni oblik (SCFF) - Ovo je CNF, zadovoljavajući tri uvjeta:

ne sadrži istu elementarnu disjunkciju;

nijedno od disjunkcija ne sadrži iste varijable;

svaka elementarna disjunkcija sadrži svaku varijablu od onih koji su uključeni u ovaj PFF.

Svaka boolean formula, koja nije identična, može biti predstavljena u SKWF-u.

Pravila za izgradnju SCFF-a na tablici istine

Za svaki skup varijabli u kojima je funkcija 0, količina se zapisuje, a varijable koje imaju 1 se uzimaju s negacijom.

Sdnf.

Savršen disjunktivni normalni oblik (SDNF) - Ovo je DNF koji zadovoljava tri uvjeta:

ne sadrži iste elementarne konjuncije;

nijedna od konjuncija ne sadrži iste varijable;

svaka elementarna konjunkcija sadrži svaku varijablu od onih koji su uključeni u ovaj DNF, osim u istom redoslijedu.

Bilo koja boolean formula, koja nije identično netočna, može biti predstavljena u SDNF, osim jedinog načina.

Pravila za izgradnju SDNF-a na tablici istine

Za svaki skup varijabli u kojima je funkcija 1, proizvod je napisan, a varijable koje imaju vrijednost 0 se uzimaju s negacijom.

Primjeri pronalaženja SCPF-a i SDNF-a

Primjer 1.

Snimite logičku funkciju svojim tablicom istine:

Slika 1.

Odluka:

Koristimo pravilo izgradnje SDNF-a:

Slika 2.

Primit ćemo SDNF:

Koristimo pravilo izgradnje SCFF-a.

Uvodimo koncept elementarne disjunkcije.

Elementarna disjunkcija se naziva izraz

Konjuktivni normalni oblik (PFF) logičke funkcije je povezivanje bilo kakvog konačnog skupa parova različitih elementarnih disjunkcija. Na primjer, logičke funkcije

predstavljaju veznike elementarnih disjunkcija. Prema tome, oni su zabilježeni u konjunktivnom normalnom obliku.

Proizvodno logičku funkciju navedenu analitičkom izrazom može se dati PFF-u izvršavanjem sljedećih operacija:

Korištenje pravila inverzije, ako se postupak negacije primjenjuje na logički izraz;

Upotreba raspodjele aksioma u vezi s umnožavanjem:

Korištenje operacije apsorpcije:

Iznimke u disjunkciji ponavljajućih varijabli ili njihovih poricanja;

Uklanjanje svih identičnih elementarnih disjunkcija, osim jednog;

Uklanjanje svih disjunkcija, koje istovremeno ulaze u varijablu i njegovo poricanje.

Pravda uvrštenih operacija slijedi iz glavnih osi i identičan odnos logičke algebre.

Konjunktivni normalni oblik naziva se savršeno ako svaka dolazna elementarna disjunkcija sadrži u izravnom ili inverznom obliku sve varijable na kojima funkcija ovisi o tome.

Transformacija CNF-a na savršenu CNF provodi se izvođenjem sljedećih operacija:

Dodavanje svakoj osnovnoj disjunkciji konjunktura varijabli i njihovih poricanja, ako nisu uključeni u ovu elementarnu disjunkciju;

Korištenje raspodjele aksioma;

Uklanjanje svih identičnih elementarnih disjunkcija, osim jednog.

U savršenom CNF-u može se prikazati svaka logička funkcija, osim

identičan jednaka jedinica (). Posebnost savršenog KNF-a je da je zastupljenost logičke funkcije jedinstvena.

Elementarne disjunkcije uključene u savršenu PFF funkciju nazivaju se sastojak nule. Svaki sastavni dio nule, koji je uključen u savršeno KNF, pretvara se na nulu na jedini skup varijabli, što je nulti skup funkcije. Slijedom toga, broj nultih skupova logičke funkcije podudara se s brojem sastojka nule uključenih u njegov savršeni PFF.

Logička funkcija nulte konstanta u savršenom KNF-u je spojiti 2Nkonstituent Zero. Formuliramo pravilo kompilacije SCFF logičke funkcije na odgovarajućem tablici.

Za svaki redak tablice korespondencije, u kojem je funkcija nula, elementarna disjunkcija svih varijabli se sastoji. U isto vrijeme, sama varijabla ulazi u disjunkciju ako je njegova vrijednost nula ili poricanje ako je njezina vrijednost jedan. Dobivene elementarne disjnosti se kombiniraju spojenim znakom.

Primjer 3.4.Za logičku funkciju z (X), određenu tablicu sukladnosti 2.2, definiramo savršen konjunktivni oblik.

Za prvi red tablice, koji odgovara nultom skupu funkcije 000, nalazimo sastavni dio nule. Izvođenjem sličnih operacija za drugu, treću i petu linije, definiramo željenu savršenu PFF funkciju:

Treba napomenuti da za funkcije, broj pojedinačnih kompleta premašuje broj nula setova, više kompaktni je njihov unos u obliku SCFF-a i obrnuto.