Metoda zmienności stałych dowolnych. Metoda zmienności dowolnych stałych do konstruowania rozwiązania liniowego niejednorodnego równania różniczkowego

Metoda zmienności dowolnych stałych służy do rozwiązywania niejednorodnych równań różniczkowych. Ta lekcja przeznaczony dla tych studentów, którzy są już mniej lub bardziej dobrze zorientowani w temacie. Jeśli dopiero zaczynasz poznawać DU, tj. Jeśli jesteś czajniczkiem, polecam zacząć od pierwszej lekcji: Równania różniczkowe pierwszego rzędu. Przykłady rozwiązań... A jeśli już kończysz, odrzuć ewentualne z góry przyjęte przekonanie, że metoda jest trudna. Bo to proste.

W jakich przypadkach stosowana jest metoda zmienności dowolnych stałych?

1) Do rozwiązania można zastosować metodę zmienności dowolnej stałej liniowe niejednorodne DE I rzędu... Ponieważ równanie jest pierwszego rzędu, to stała (stała) również jest jedynką.

2) Metoda zmienności dowolnych stałych służy do rozwiązywania niektórych liniowe niejednorodne równania drugiego rzędu... Różnią się tutaj dwie stałe.

Logiczne jest założenie, że lekcja będzie składać się z dwóch akapitów…. Napisałem to zdanie i przez 10 minut boleśnie zastanawiałem się, jakie inne sprytne bzdury mógłbym dodać, aby płynne przejście do praktyczne przykłady... Ale z jakiegoś powodu po wakacjach nie ma myśli, chociaż wydawało się, że niczego nie nadużywa. Dlatego przejdźmy od razu do pierwszego akapitu.

Metoda wariacyjna dowolnej stałej
dla liniowego niejednorodnego równania pierwszego rzędu

Przed rozważeniem metody zmienności dowolnej stałej warto zapoznać się z artykułem Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu... Na tej lekcji ćwiczyliśmy pierwsze rozwiązanie niejednolite DE pierwszego rzędu. Przypomnę, że to pierwsze rozwiązanie nazywa się metoda wymiany lub Metoda Bernoulliego(nie mylić z Równanie Bernoulliego!!!)

Teraz rozważymy drugie rozwiązanie- metoda zmienności dowolnej stałej. Podam tylko trzy przykłady i zaczerpnę je z powyższej lekcji. Dlaczego tak mało? Ponieważ w rzeczywistości rozwiązanie w drugim sposobie będzie bardzo podobne do rozwiązania w pierwszym. Ponadto, zgodnie z moimi obserwacjami, metoda zmienności dowolnych stałych jest stosowana rzadziej niż metoda zastępowania.

Przykład 1

(różnica od przykładu nr 2 lekcji Liniowy niejednorodny DE pierwszego rzędu)

Rozwiązanie: To równanie jest liniowe niejednorodne i ma znajomą postać:

Pierwszym krokiem jest rozwiązanie prostszego równania:
Oznacza to, że głupio wyzerujemy prawą stronę - zamiast pisać zero.
Równanie zadzwonię równanie pomocnicze.

V ten przykład musisz rozwiązać następujące równanie pomocnicze:

Przed nami równanie rozłączne, którego rozwiązanie (miejmy nadzieję) nie jest już dla Ciebie trudne:

W ten sposób:
– wspólna decyzja równanie pomocnicze.

W drugim kroku wymienić stała niektórych już nieznana funkcja zależna od „x”:

Stąd nazwa metody - zmieniamy stałą. Alternatywnie, stała może być jakąś funkcją, którą musimy teraz znaleźć.

V oryginał równanie niejednorodne wymienimy:

Zastąp i do równania :

Moment kontrolny - dwa terminy po lewej stronie znikają... Jeśli tak się nie stanie, powinieneś poszukać powyższego błędu.

W wyniku zamiany otrzymuje się równanie ze zmiennymi separowalnymi. Oddziel zmienne i integruj.

Co za błogosławieństwo, wystawcy również spadają:

Dodaj „normalną” stałą do znalezionej funkcji:

Na ostatni etap pamiętając o naszym zastępstwie:

Funkcja właśnie znaleziona!

Więc ogólne rozwiązanie to:

Odpowiedź: wspólna decyzja:

Jeśli wydrukujesz dwa rozwiązania, łatwo zauważysz, że w obu przypadkach znaleźliśmy te same całki. Jedyna różnica polega na algorytmie rozwiązania.

Teraz po coś bardziej skomplikowanego skomentuję drugi przykład:

Przykład 2

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
(Różnica z przykładu nr 8 lekcji Liniowy niejednorodny DE pierwszego rzędu)

Rozwiązanie: Sprowadźmy równanie do postaci :

Wyzerujmy prawą stronę i rozwiążmy równanie pomocnicze:

Ogólne rozwiązanie równania pomocniczego:

W równaniu niejednorodnym dokonujemy zamiany:

Zgodnie z zasadą różnicowania produktów:

Zastąp i do pierwotnego niejednorodnego równania:

Dwa terminy po lewej stronie skreślają się, co oznacza, że ​​jesteśmy na dobrej drodze:

Integrujemy na części. W rozwiązaniu zastosowano już smaczną literkę z wzoru na całkowanie przez części, dlatego używamy np. liter „a” i „be”:

Teraz przypominamy o przeprowadzonej wymianie:

Odpowiedź: wspólna decyzja:

I jeden przykład dla niezależna decyzja:

Przykład 3

Znajdź konkretne rozwiązanie równania różniczkowego odpowiadające danemu warunkowi początkowemu.

,
(różnica od przykładu nr 4 lekcji Liniowy niejednorodny DE pierwszego rzędu)
Rozwiązanie:
Ten DE jest liniowy niejednorodny. Stosujemy metodę zmienności dowolnych stałych. Rozwiążmy równanie pomocnicze:

Oddziel zmienne i integruj:

Wspólna decyzja:
W równaniu niejednorodnym zamienimy:

Wykonajmy podstawienie:

Więc ogólne rozwiązanie to:

Znajdźmy konkretne rozwiązanie odpowiadające danemu warunkowi początkowemu:

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Rozwiązanie na końcu lekcji może służyć jako przybliżony przykład do zakończenia zadania.

Metoda zmienności dowolnych stałych
dla liniowego niejednorodnego równania drugiego rzędu
o stałych współczynnikach

Często słyszeliśmy opinię, że metoda zmienności dowolnych stałych dla równania drugiego rzędu nie jest rzeczą łatwą. Ale moje przypuszczenie jest następujące: najprawdopodobniej metoda wydaje się trudna dla wielu, ponieważ nie jest tak powszechna. Ale w rzeczywistości nie ma szczególnych trudności - przebieg decyzji jest jasny, przejrzysty, zrozumiały. I piękny.

Aby opanować tę metodę, pożądana jest umiejętność rozwiązywania niejednorodnych równań drugiego rzędu poprzez wybór konkretnego rozwiązania w postaci prawej strony. Ta metoda została szczegółowo omówiona w artykule. Niejednorodny DE drugiego rzędu... Przypomnijmy, że liniowe niejednorodne równanie drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać:

Metoda selekcji, która była rozważana w powyższej lekcji, działa tylko w: ograniczona liczba przypadki, w których prawa strona zawiera wielomiany, wykładniki, sinusy, cosinusy. Ale co zrobić, gdy po prawej stronie np. ułamek, logarytm, tangens? W takiej sytuacji z pomocą przychodzi metoda zmienności stałych.

Przykład 4

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego drugiego rzędu

Rozwiązanie: Po prawej stronie to równanie jest ułamek, więc od razu możemy powiedzieć, że metoda wyboru konkretnego rozwiązania nie działa. Stosujemy metodę zmienności dowolnych stałych.

Nic nie zapowiada burzy, początek rozwiązania jest zupełnie zwyczajny:

Znajdować wspólna decyzja odpowiedni jednorodny równania:

Skomponujmy i rozwiążmy równanie charakterystyczne:


- otrzymany koniugat złożone korzenie więc ogólne rozwiązanie to:

Zwróć uwagę na zapis rozwiązania ogólnego - jeśli są nawiasy, to je rozwijamy.

Teraz robimy praktycznie tę samą sztuczkę, co w przypadku równania pierwszego rzędu: zmieniamy stałe, zastępując je nieznanymi funkcjami. To jest, ogólne rozwiązanie heterogenicznych będziemy szukać równań w postaci:

Gdzie - już nieznane funkcje.

Wygląda na złomowisko Odpady z gospodarstw domowych, ale teraz wszystko posortujemy.

Pochodne funkcji działają jak niewiadome. Naszym celem jest znalezienie pochodnych, a znalezione pochodne muszą spełniać zarówno pierwsze, jak i drugie równanie układu.

Skąd pochodzą „gry”? Przynosi je bocian. Przyglądamy się otrzymanemu wcześniej ogólnemu rozwiązaniu i zapisujemy:

Znajdźmy pochodne:

Po uporządkowaniu lewych części. Co jest po prawej?

Jest prawą stroną oryginalnego równania, w tym przypadku:

Współczynnik jest współczynnikiem przy drugiej pochodnej:

W praktyce prawie zawsze, a nasz przykład nie jest wyjątkiem.

Wszystko się wyjaśniło, teraz możesz stworzyć system:

System jest zwykle rozstrzygany według wzorów Cramera przy użyciu standardowego algorytmu. Jedyna różnica polega na tym, że zamiast liczb mamy funkcje.

Znajdźmy główny wyznacznik systemu:

Jeśli zapomniałeś, jak ujawnia się wyznacznik „dwa na dwa”, zapoznaj się z lekcją Jak obliczyć wyznacznik? Link prowadzi do tablicy wstydu =)

A więc: oznacza to, że system ma unikalne rozwiązanie.

Znajdź pochodną:

Ale to nie wszystko, do tej pory znaleźliśmy tylko pochodną.
Sama funkcja zostaje przywrócona przez integrację:

Zajmijmy się drugą funkcją:

Tutaj dodajemy „normalną” stałą

W końcowej fazie rozwiązania przypominamy sobie, w jakiej postaci szukaliśmy ogólnego rozwiązania równania niejednorodnego? W takich:

Funkcje, których szukasz, właśnie zostały znalezione!

Pozostaje wykonać podstawienie i zapisać odpowiedź:

Odpowiedź: wspólna decyzja:

W zasadzie nawiasy można rozszerzyć w odpowiedzi.

Pełna weryfikacja odpowiedzi odbywa się według standardowego schematu, który został omówiony na lekcji Niejednorodny DE drugiego rzędu... Ale weryfikacja nie będzie łatwa, ponieważ konieczne jest znalezienie dość ciężkich pochodnych i przeprowadzenie uciążliwej substytucji. Jest to nieprzyjemna cecha, gdy masz do czynienia z taką dyfuzją.

Przykład 5

Rozwiąż równanie różniczkowe, zmieniając dowolne stałe

To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”. W rzeczywistości prawa strona to także ułamek. Pamiętając wzór trygonometryczny, nawiasem mówiąc, będzie musiał zostać zastosowany w trakcie orzekania.

Metoda zmienności dowolnych stałych jest najbardziej wszechstronną metodą. Mogą rozwiązać dowolne rozwiązane równanie metodą wyboru konkretnego rozwiązania przez widok z prawej strony... Powstaje pytanie, dlaczego i tam nie zastosować metody zmienności dowolnych stałych? Odpowiedź jest oczywista: wybór rozwiązania prywatnego, który był rozważany na lekcji Niejednorodne równania drugiego rzędu, znacznie przyśpiesza rozwiązanie i skraca pisanie - bez pieprzenia się z wyznacznikami i całkami.

Rozważ dwa przykłady z problem Cauchy'ego.

Przykład 6

Znajdź konkretne rozwiązanie równania różniczkowego odpowiadające danym warunkom początkowym

,

Rozwiązanie: Ponownie ułamek i wykładnik w interesujące miejsce.
Stosujemy metodę zmienności dowolnych stałych.

Znajdować wspólna decyzja odpowiedni jednorodny równania:



- otrzymuje się różne pierwiastki rzeczywiste, więc ogólne rozwiązanie to:

Ogólne rozwiązanie heterogenicznych szukamy równań w postaci:, gdzie - już nieznane funkcje.

Skomponujmy system:

W tym przypadku:
,
Znajdź pochodne:
,

W ten sposób:

Układ rozwiązujemy za pomocą wzorów Cramera:
, co oznacza, że ​​system posiada unikalne rozwiązanie.

Przywracamy funkcję integrując:

Używane tutaj metoda sprowadzenia funkcji pod znak różniczkowy.

Przywracamy drugą funkcję integrując:

Taka całka jest rozwiązana zmienna metoda zastępowania:

Od samego zamiennika wyrażamy:

W ten sposób:

Tę całkę można znaleźć metodą wyboru pełnego kwadratu, ale w przykładach z differs wolę rozwinąć ułamek metoda niezdefiniowane współczynniki :

Znaleziono obie funkcje:

W rezultacie ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania to:

Znajdźmy konkretne rozwiązanie spełniające warunki początkowe .

Technicznie poszukiwanie rozwiązania odbywa się w standardowy sposób, o czym była mowa w artykule Niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu.

Poczekaj, teraz znajdziemy pochodną znalezionego wspólnego rozwiązania:

Oto taka hańba. Nie trzeba go upraszczać, łatwiej jest od razu skomponować układ równań. Zgodnie z warunkami początkowymi :

Zastąp znalezione wartości stałych w rozwiązanie ogólne:

W odpowiedzi logarytmy mogą być trochę upakowane.

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Jak widać, trudności mogą pojawić się w całkach i pochodnych, ale nie w samym algorytmie metody zmienności dowolnych stałych. To nie ja cię onieśmielałem, to cała kolekcja Kuzniecowa!

Dla relaksu ostatni, prostszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 7

Rozwiąż problem Cauchy'ego

,

Przykład jest prosty, ale kreatywny, kiedy robisz system, przyjrzyj mu się uważnie przed podjęciem decyzji ;-),




W rezultacie ogólne rozwiązanie to:

Znajdźmy konkretne rozwiązanie odpowiadające warunkom początkowym .



Zastąpmy znalezione wartości stałych do ogólnego rozwiązania:

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Rozważmy teraz liniowe niejednorodne równanie
. (2)
Niech y 1, y 2, .., y n będą podstawowym układem rozwiązań i będą ogólnym rozwiązaniem odpowiedniego jednorodnego równania L (y) = 0. Podobnie jak w przypadku równań pierwszego rzędu, będziemy szukać rozwiązania równania (2) w postaci
. (3)
Upewnijmy się, że istnieje rozwiązanie w tej formie. Aby to zrobić, podstawiamy funkcję do równania. Aby podstawić tę funkcję do równania, znajdujemy jej pochodne. Pierwsza pochodna to
. (4)
Przy obliczaniu drugiej pochodnej cztery wyrazy pojawią się po prawej stronie (4), przy obliczaniu trzeciej pochodnej pojawi się osiem wyrazów i tak dalej. Dlatego, dla wygody dalszych obliczeń, pierwszy składnik w (4) przyjmuje wartość zero. Mając to na uwadze, druga pochodna to
. (5)
Z tych samych powodów, co poprzednio, w (5) również pierwszy składnik ustalamy na zero. Wreszcie n-ta pochodna to
. (6)
Podstawiając uzyskane wartości pochodnych do pierwotnego równania, mamy
. (7)
Drugi człon w (7) jest równy zero, ponieważ funkcje y j, j = 1,2, .., n są rozwiązaniami odpowiedniego jednorodnego równania L (y) = 0. W połączeniu z poprzednim otrzymujemy układ równań algebraicznych do znajdowania funkcji C "j (x)
(8)
Wyznacznikiem tego układu jest wyznacznik Wrońskiego podstawowego układu rozwiązań y 1, y 2, .., y n odpowiedniego jednorodnego równania L(y) = 0, a zatem nie jest równy zero. Dlatego istnieje unikalne rozwiązanie systemu (8). Po znalezieniu otrzymujemy funkcje C "j (x), j = 1,2, ..., n, a zatem C j (x), j = 1,2, ..., n Zastępując je wartości w (3) otrzymujemy rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego.
Opisywana metoda nazywana jest metodą zmienności dowolnej stałej lub metodą Lagrange'a.

Przykład 1. Znajdź ogólne rozwiązanie równania y „” + 4y „+ 3y = 9e -3 x. Rozważ odpowiednie jednorodne równanie y” „+ 4y” + 3y = 0. Pierwiastki jego charakterystycznego równania r 2 + 4r + 3 = 0 są równe -1 i -3. Dlatego podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego składa się z funkcji y 1 = e - x oraz y 2 = e -3 x. Szukamy rozwiązania niejednorodnego równania w postaci y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Aby znaleźć pochodne C "1, C" 2, tworzymy układ równań (8)
C ′ 1 e -x + C ′ 2 e -3x = 0
-C ′ 1 e -x -3C ′ 2 e -3x = 9e -3x
rozwiązywanie które znajdujemy, całkując otrzymane funkcje, mamy
W końcu dostajemy

Przykład nr 2. Rozwiąż liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach metodą zmienności dowolnych stałych:

y (0) = 1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Rozwiązanie:
To równanie różniczkowe odnosi się do liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach.
Poszukamy rozwiązania równania w postaci y = erx. Aby to zrobić, tworzymy równanie charakterystyczne liniowego jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Pierwiastki równania charakterystycznego: r 1 = 4, r 2 = 2
W konsekwencji podstawowy układ rozwiązań składa się z funkcji: y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego to: y = C 1 e 4x + C 2 e 2x
Szukaj konkretnego rozwiązania metodą zmienności dowolnej stałej.
Aby znaleźć pochodne C "i, tworzymy układ równań:
C ′ 1 e 4x + C ′ 2 e 2x = 0
C ′ 1 (4e 4x) + C ′ 2 (2e 2x) = 4 / (2 + e -2x)
Wyraźmy C "1 z pierwszego równania:
C "1 = -c 2 e -2x
i zastąpić w drugim. W rezultacie otrzymujemy:
C "1 = 2 / (e 2x + 2e 4x)
C "2 = -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Całkujemy uzyskane funkcje C "i:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2

Ponieważ y = C 1 e 4x + C 2 e 2x, to otrzymane wyrażenia zapisujemy w postaci:
C 1 = (2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2) e 2x = e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
Zatem ogólne rozwiązanie równania różniczkowego ma postać:
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
lub
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Znajdźmy konkretne rozwiązanie przewidziane:
y (0) = 1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Podstawiając x = 0 do znalezionego równania, otrzymujemy:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Znajdź pierwszą pochodną otrzymanego rozwiązania ogólnego:
y ’= 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln (e -2x +2) + ln (2e 2x +1) -2)
Podstawiając x = 0, otrzymujemy:
y ’(0) = 2 (2C 1 + C 2 +4 ln (3) + ln (3) -2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3

Otrzymujemy układ dwóch równań:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3
lub
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
lub
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Skąd: C 1 = 0, C * 2 = 2
Rozwiązanie prywatne zostanie napisane jako:
y = 2e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

Metoda zmienności dowolnych stałych

Metoda zmienności dowolnych stałych do konstruowania rozwiązania liniowego niejednorodnego równania różniczkowego

a n (T)z (n) (T) + a n − 1 (T)z (n − 1) (T) + ... + a 1 (T)z"(T) + a 0 (T)z(T) = F(T)

polega na zastąpieniu dowolnych stałych C k w ogólnym rozwiązaniu

z(T) = C 1 z 1 (T) + C 2 z 2 (T) + ... + C n z n (T)

odpowiadające równanie jednorodne

a n (T)z (n) (T) + a n − 1 (T)z (n − 1) (T) + ... + a 1 (T)z"(T) + a 0 (T)z(T) = 0

do funkcji pomocniczych C k (T) których pochodne spełniają liniowy system algebraiczny

Wyznacznikiem systemu (1) jest wroński współczynnik funkcji z 1 ,z 2 ,...,z n , co zapewnia jej wyjątkową rozstrzygalność w odniesieniu do.

Jeżeli są pierwiastkami pierwotnymi dla, przyjętymi przy stałych wartościach stałych całkowania, to funkcja

jest rozwiązaniem pierwotnego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego. Całkowanie niejednorodnego równania w obecności ogólnego rozwiązania do odpowiedniego jednorodnego równania jest w ten sposób zredukowane do kwadratur.

Metoda wariacyjna stałych dowolnych do konstruowania rozwiązań układu równań różniczkowych liniowych w postaci wektorowej normalnej

polega na zbudowaniu konkretnego rozwiązania (1) w postaci

gdzie Z(T) jest podstawą rozwiązań odpowiedniego równania jednorodnego, zapisanego w postaci macierzy, a funkcja wektorowa, która zastąpiła wektor dowolnych stałych, jest określona relacją. Pożądane rozwiązanie szczególne (przy zerowych wartościach początkowych w T = T 0 ma formę

Dla układu o stałych współczynnikach ostatnie wyrażenie jest uproszczone:

Matryca Z(T)Z- 1 (x) nazywa macierz Cauchy'ego operator L = A(T) .

Wykład 44. Równania liniowe niejednorodne drugiego rzędu. Metoda zmienności stałych dowolnych. Równania liniowe niejednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach. (specjalna prawa strona).

Przemiany społeczne. Państwo i Kościół.

Polityka społeczna bolszewików była w dużej mierze podyktowana ich podejściem klasowym. Dekretem z 10 listopada 1917 r. zniszczono ustrój stanowy, zniesiono przedrewolucyjne stopnie, tytuły i nagrody. Ustanowiono elekcyjność sędziów; nastąpiła sekularyzacja państw cywilnych. Ustanowiono bezpłatną edukację i opiekę medyczną (dekret z 31 października 1918 r.). Kobietom zrównano prawa z mężczyznami (dekrety z 16 i 18 grudnia 1917 r.). Dekret małżeński wprowadził instytucję małżeństwa cywilnego.

Dekretem Rady Komisarzy Ludowych z dnia 20 stycznia 1918 r. kościół został oddzielony od państwa i systemu oświaty. Większość majątku kościelnego została skonfiskowana. Patriarcha Moskwy i Wszechrusi Tichon (wybrany 5 listopada 1917 r.) 19 stycznia 1918 r. wyklęty Władza sowiecka i wezwał do walki z bolszewikami.

Rozważmy liniowe niejednorodne równanie drugiego rzędu

Strukturę ogólnego rozwiązania takiego równania określa następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1. Ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania (1) jest reprezentowane jako suma określonego rozwiązania tego równania i ogólnego rozwiązania odpowiedniego równania jednorodnego

Dowód... Konieczne jest udowodnienie, że suma

jest ogólnym rozwiązaniem równania (1). Udowodnijmy najpierw, że funkcja (3) jest rozwiązaniem równania (1).

Podstawiając sumę do równania (1) zamiast w, będzie miał

Ponieważ istnieje rozwiązanie równania (2), wyrażenie w pierwszych nawiasach jest identycznie równe zero. Ponieważ istnieje rozwiązanie równania (1), wyrażenie w drugim nawiasie jest równe f (x)... Dlatego równość (4) jest tożsamością. W ten sposób udowodniono pierwszą część twierdzenia.

Udowodnijmy drugie stwierdzenie: wyrażenie (3) to ogólny rozwiązanie równania (1). Musimy udowodnić, że dowolne stałe zawarte w tym wyrażeniu można dobrać tak, aby spełnione były warunki początkowe:

bez względu na liczby x 0, y 0 i (jeśli tylko x 0 został zaczerpnięty z obszaru, na którym działa 1, 2 oraz f (x) ciągły).

Zauważenie, co można przedstawić w formularzu. Następnie, w oparciu o warunki (5), będziemy mieli

Rozwiążmy ten system i zdefiniujmy C 1 oraz C 2... Przepiszmy system jako:

Zauważ, że wyznacznikiem tego systemu jest wyznacznik Wrońskiego dla funkcji o 1 oraz o 2 w punkcie x = x 0... Ponieważ te funkcje są liniowo niezależne według hipotezy, wyznacznik Wrońskiego nie jest równy zero; dlatego system (6) ma określone rozwiązanie C 1 oraz C 2, tj. są takie wartości C 1 oraz C 2, dla którego wzór (3) definiuje rozwiązanie równania (1) spełniające podane warunki początkowe. co było do okazania

Przejdźmy do ogólnej metody znajdowania konkretnych rozwiązań równania niejednorodnego.

Napiszmy ogólne rozwiązanie równania jednorodnego (2)

Poszukamy konkretnego rozwiązania niejednorodnego równania (1) w postaci (7), biorąc pod uwagę C 1 oraz C 2 jak niektóre jeszcze nieznane funkcje z X.

Rozróżnijmy równość (7):

Pozwól nam wybrać wymagane funkcje C 1 oraz C 2 aby równość

Biorąc to pod uwagę dodatkowy warunek, to pierwsza pochodna przyjmuje postać

Rozróżniając teraz to wyrażenie, znajdujemy:

Podstawiając do równania (1), otrzymujemy

Wyrażenia w pierwszych dwóch nawiasach znikają, ponieważ r 1 oraz r 2- rozwiązania równania jednorodnego. W konsekwencji ostatnia równość przybiera postać

Zatem funkcja (7) będzie rozwiązaniem niejednorodnego równania (1), jeśli funkcje C 1 oraz C 2 spełniają równania (8) i (9). Skomponujmy układ równań z równań (8) i (9).

Ponieważ wyznacznikiem tego układu jest wyznacznik Wrońskiego dla rozwiązań liniowo niezależnych r 1 oraz r 2 równanie (2), to nie jest równe zero. Dlatego rozwiązując system, znajdujemy jako określone funkcje x:

Rozwiązując ten system, znajdujemy gdzie w wyniku integracji otrzymujemy. Następnie podstawiamy znalezione funkcje do wzoru, otrzymujemy ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego, gdzie są dowolne stałe.