Stereometria jest ważną częścią kurs ogólny Geometria, która uważa cechy danych przestrzennych. Jedna z tych figur jest czworokątny pryzmat. Ten artykuł opisuje pytanie bardziej szczegółowo, jak obliczyć objętość pryzmatu czworokątnego.

Jaki jest pryzmat czworokątny?

Oczywiście, przed wprowadzeniem formuły objętości pryzmatu czworokątnego, konieczne jest podanie jasnej definicji tego geometrycznego kształtu. W takich pryzmatach rozumiany jest trójwymiarowy polihedron, który jest ograniczony przez dwa arbitralne identyczne czworoboty leżące w równoległych płaszczyznach i cztery równoległe.

Nored równoległe czworokąt są nazywane podstawami figury, a cztery równoległobok są bokami. Należy tutaj wyjaśnić, że równoległoki są również czworobocze, ale bazy nie zawsze są równoległe. Przykładem nieregularnego czworoboku, który może być podstawą pryzmatu, jest pokazany poniżej na rysunku.

Każdy czworokątny pryzmat składa się z 6 stron, 8 wierzchołków i 12 żeber. Są czworokątne pryzmaty różne gatunki. Na przykład rysunek może być nachylony lub prosty, nieprawidłowy i poprawny. Ponadto w artykule pokazujemy, w jaki sposób objętość pryzmatu jest quadrancal, biorąc pod uwagę jego typ.

Nachylony pryzmat z nieprawidłową podstawą

Jest to najbardziej asymetryczna postać pryzmatu czworokątnego, więc obliczenie jego objętości będzie stosunkowo trudne. Określ objętość liczby pozwala na następującą ekspresję:

Symbol tutaj jest wskazany przez obszar bazowy. Jeśli ta baza jest rombem, równoległobokiem lub prostokąta, a następnie oblicz wartość tak jest łatwa. Tak więc na romb i równoległobok o wzorze:

w przypadku gdy strona podstawy, Ha jest długością podstawy wysokości z górnej części podstawy.

Jeśli podstawa nie jest prawy wielokąt. (patrz wyżej), a następnie jego obszar należy podzielić na więcej proste figury (Na przykład trójkąty), oblicz ich obszar i znajdź swoją sumę.

W wzorze objętości symbol H jest wskazywany przez wysokość pryzmatu. Jest to długość segmentu prostopadłego między dwiema bazami. Ponieważ pryzmat jest nachylony, to obliczenie wysokości H należy przeprowadzić przy użyciu długości bokowej krawędzi B i kątów karetrani między bocznymi powierzchniami a podstawą.

Właściwa liczba i jego objętość

Jeśli podstawa pryzmatu czworokątnego jest kwadrat, a sama postać będzie prosta, to jest właściwe. Należy wyjaśnić, że bezpośredni pryzmat jest wywoływany, gdy wszystkie jego boczne strony są prostokąty, a każda z nich jest prostopadła na tereny. Prawidłowy rysunek jest pokazany poniżej.

Objętość prawidłowego czworokątnego pryzmatu można obliczyć przez tę samą formułę, co objętość nieprawidłowego kształtu. Ponieważ podstawa jest kwadratem, a następnie jego obszar jest obliczany po prostu:

Wysokość pryzmatu H jest równa długości bokowej krawędzi B (strona prostokąta). Następnie objętość właściwego pryzmatu czworokątnego można obliczyć zgodnie z następującym wzorem:

Właściwy pryzmat z podstawą kwadratową jest nazywany prostokątny równoległy. Ta równoległa w przypadku równości stron A i B staje się kostką. Objętość tego ostatniego jest obliczana:

Nagrane wzory do objętości V wskazują, że wyższa symetria figury, tym mniej parametry liniowe. wymagane do obliczenia tej wartości. Tak więc, w przypadku prawidłowego pryzmatu wymagana liczba parametrów jest dwa, aw przypadku Kuby - jedna.

Zadanie z właściwą figurą

Uznając kwestię znalezienia objętości pryzmatu czworokątnego od punktu widzenia teorii, stosujemy wiedzę zdobytą w praktyce.

Wiadomo, że prawidłowy równoległy ma przekątną długość podstawy, równej 12 cm. Długość przekątnej jej boku wynosi 20 cm. Konieczne jest obliczenie ilości równoległego.

Oznacz podstawową przekątną z symbolem Da, a przekątną z bocznej twarzy - symbol DB. W przypadku wyrażeń uczciwych Diagonal Da:

Jeśli chodzi o wartość dB, jest prostokąt przekątną z bokami A i B. Dla niej możesz zapisać następujące równości:

dB2 \u003d A2 + B2 \u003d\u003e

b \u003d √ (DB2 - A2)

Zastępowanie wyrażenia znalezionego ostatniej równości na a, otrzymujemy:

b \u003d √ (DB2 - DA2 / 2)

Teraz możesz zastąpić powstałe formuły w wyrażeniu, aby objętość prawidłowej liczby:

V \u003d A2 * B \u003d DA2 / 2 * √ (DB2 - DA2 / 2)

Wymiana numerów DA i DB z powodu problemu, przyjeżdżamy do odpowiedzi: V ≈ 1304 cm3.

Definicja.

To jest sześciokąt, z których fundamenty są dwa równe kwadratya twarze boczne są równymi prostokątów

Boczne żeberka - Jest to wspólna strona dwóch sąsiednich stóp bocznych

Pryzmat wysokości - Jest to segment, prostopadle do przyczyn pryzmatu

Diagonalny pryzmat. - Wytnij łączenie dwóch wierzchołków baz, które nie należą do jednej twarzy

Płaszczyzna ukośna - samolot, który przechodzi przez przekątną pryzmatu i jego boczne żebra

Sekcja przekątna - Granice skrzyżowania pryzmatu i przekątnej płaszczyzny. Przekątna sekcja właściwego czworokątnego pryzmatu jest prostokąt

Prostopadły przekrój poprzeczny (sekcja ortogonalna) - To jest skrzyżowanie pryzmatu i płaszczyzny przeprowadzonej prostopadle do jego krawędzi bocznych

Elementy prawego czworogarnego pryzmatu

Figura pokazuje dwa odpowiednie pryzmaty czworokątne, które są wskazane przez odpowiednie litery:

• Podstawy ABCD i 1 B 1 C1 D 1 są równe i równoległe do siebie
• Story boczne AA 1 D1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C1 C i CC 1 D 1 D, z których każdy jest prostokąt
• Powierzchnia boczna - suma obszaru wszystkich bocznych twarzy pryzmatu
• Pełna powierzchnia - suma obszarów wszystkich baz i bocznych twarzy (suma powierzchni bocznej powierzchni i obszaru bazowego)
• Boczne krawędzie AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Związany diagonalny bd.
• Sekcja przekątna BB 1 D 1 D
• Sekcja prostopadła A 2 B 2 C2 D2.

Właściwości prawego pryzmatu czworokątnego

• Tereny to dwa równe kwadraty.
• Podstawy są równoległe do siebie
• Sidelights to prostokątki
• Stawy boczne są równe sobie nawzajem
• Stogi boczne prostopadłe na tereny
• Boczne krawędzie są równoległe między sobą i równi
• Prostopadły przekrój poprzeczny prostopadle do wszystkich krawędzi bocznych i równoległych do podstaw
• Narożniki sekcji prostopadłych - bezpośredni
• Przekątna sekcja właściwego czworokątnego pryzmatu jest prostokąt
• Prostopadle (sekcja ortogonalna) równolegle do podstaw

Wzory na właściwy czworokątny pryzmat

Instrukcje dotyczące rozwiązywania problemów

Podczas rozwiązywania zadań na ten temat " właściwy czworokątny pryzmat."Rozumie się to jako:

Właściwy pryzmat. - Prism u podstawy, z której leży odpowiedni wielokąt, a żebra boczne są prostopadłe do płaszczyzn bazowych. Oznacza to, że właściwy czworokątny pryzmat zawiera w swojej podstawie. kwadrat. (Patrz powyżej właściwości właściwego pryzmatu czworokątnego) Uwaga. Jest to część lekcji z zadaniami geometrii (sekcja stereometrii - pryzmat). Oto zadania powodujące trudności w rozwiązywaniu. Jeśli musisz rozwiązać zadanie geometrii, która nie jest tutaj - pisz o tym na forum. Aby wyznaczyć ekstrakcję korzenia kwadratowego w rozwiązaniach zadań, używany jest symbol.√ .

Zadanie.

W prawym cztery stopni pryzmat powierzchnia bazowa wynosi 144 cm 2, a wysokość wynosi 14 cm. Znajdź przekątną pryzmat i pełną powierzchnię.

Decyzja.
Prawidłowy czworokąt jest kwadratem.
W związku z tym strona baza będzie równa

√144 \u003d 12 cm.
Z miejsca, w którym podstawowa przekątna prawidłowego prostokątnego pryzmatu będzie równa
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Przekątna prawidłowego pryzmatu tworzy przekątną podstawy i wysokość pryzmatu trójkąt prostokątny. Odpowiednio, zgodnie z twierdzeniem Pythagora, przekątna danego prywatyzacji czworokątnego będzie równa:
√ ((12√2) 2 + 14 2) \u003d 22 cm

Odpowiedź: 22 cm

Zadanie

Określ pełną powierzchnię prawidłowego czworokątnego pryzmatu, jeśli jej przekątna wynosi 5 cm, a przekątna boku powierzchni wynosi 4 cm.

Decyzja.
Ponieważ u podstawy prawidłowego pryzmatu czworokątnego znajduje się kwadrat, a następnie bok bazy (oznaczamy jako a) znajdziemy na twierdzeniu Pitagora:

A 2 + A 2 \u003d 5 2
2a 2 \u003d 25
a \u003d √12.5.

Wysokość bocznej powierzchni (oznaczamy, jak H) będzie równy:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
H 2 + 12,5 \u003d 16
H 2 \u003d 3,5
H \u003d √3,5.

Całkowita powierzchnia będzie równa sumie boku powierzchni bocznej i podwójnego obszaru podstawy

S \u003d 2A 2 + 4AH
S \u003d 25 + 4√12,5 * √3,5
S \u003d 25 + 4√43,75
S \u003d 25 + 4√ (175/4)
S \u003d 25 + 4√ (7 * 25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odpowiedź: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Prism jest geometryczną figurą luzem, których cechy i właściwości są badane w szkołach szkół średnich. Z reguły, studiując, uważa, że \u200b\u200btakie wartości, jak objętość i powierzchnia. W tym artykule ujawnimy nieco inne pytanie: Dajemy metodę określania długości przekątnych pryzmatu na przykładzie kwadrostarnej figury.

Jaką postać nazywa się pryzmatem?

W geometrii jest podana następna definicja PROM: Jest to figura zbiorcza, ograniczona dwoma wielokątnymi identyfikuje, które są równoległe do siebie, a pewna liczba równoległobokami. Poniższy rysunek pokazuje odpowiedni przykład pryzmatu ta definicja..

Widzimy, że dwa czerwone pentagon są równe sobie nawzajem i są w dwóch równoległych płaszczyznach. Pięć różowych równoległów łączy te pentagony w stałym obiekcie - pryzmat. Dwa pentagony nazywane są podstawy postaci, a jej równoległoki są twarze boczne.

Prisms są proste i nachylone, które są również nazywane prostokątnym i ricol. Różnica między nimi leży w rogach między powierzchniami bazowymi i bocznymi. Dla pryzmatu prostokątnego wszystkie te narożniki są 90 o.

W liczbie imprez lub wierzchołków wielokątu mówią o pryzmatach trójkątnych, pięciokątnych, czworokątnych i tak dalej. Ponadto, jeśli ten wielokąt jest poprawny, a sama pryzmat jest prosta, taka liczba jest nazywana poprawnym.

Prism podany w poprzednim rysunku jest pentagonalny nachylony. Niższy pentagonalny bezpośredni pryzmat, który jest prawidłowy.

Wszystkie obliczenia, w tym metoda określania przekątnych pryzmatu, wygodna do wykonania precyzyjnie dla odpowiednich danych.

Jakie elementy charakteryzują pryzmat?

Elementy rysunku wywołają elementy, które go tworzą. W szczególności można wyróżnić trzy główne typy przedmiotów dla pryzmatu:

• wierzchołki;
• twarz lub bok;
• żebra.

Tereny i samoloty boczne reprezentujące równoległoki w ogólnym przypadku są uważane za twarze. W prymieniu każda strona odnosi się do jednego z dwóch typów: albo to jest wielokąt lub równoległobok.

Żeberki Proms to te segmenty ograniczające każdą stronę figury. Podobnie jak twarz, żebra mają również dwa typy: należące do powierzchni bazy i bocznej lub odnoszące się tylko do powierzchni bocznej. Najpierw zawsze dwa razy większy niż drugi, niezależnie od rodzaju pryzmatu.

Wierzchołki są punktami przecięcia trzech krawędzi pryzmatu, z których dwa leżą w płaszczyźnie fundamentu, a trzeci - należy do dwóch stóp. Wszystkie szczyty pryzmatu są w płaszczyznach podstawy figury.

Numery opisanych elementów są związane z pojedynczą równością mającą następującą formę:

P \u003d b + C - 2.

Tutaj jest liczba żeber, wierzchołków, od boków. Ta równość nazywa się twierdzeniem Eulera dla wielościennego.

Figura przedstawia trójkątny pryzmat. Każdy może obliczyć, że ma 6 wierzchołków, 5 stron i 9 żeber. Figury te są zgodne z twierdzeniem Eulera.

Diagonalny pryzmat.

Po takich właściwościach, jak objętość i powierzchnia, informacje o długości jednej lub innej przekątnej przekątnej rozważanej figury, która jest albo podana, często występuje w zadaniach geometrii, które są podane lub należy je znaleźć inne znane parametry. Rozważ, co są ukośnie z pryzmatu.

Wszystkie przekątne można podzielić na dwa typy:

1. Migające twarze. Podłączają nie szczyty albo wielokąta u podstawy pryzmatu lub równoległobok powierzchniowy boczny. Wartość długości takich przekątnych określa się na podstawie wiedzy o długościach odpowiednich żeber i kątów między nimi. Właściwości trójkątów są zawsze używane do określenia przekątnych równoległych.
2. Leżący wewnątrz objętości pryzmatu. Te przekątne łączą niehopowe wierzchołki dwóch baz. Te przekątne okazują się całkowicie wewnątrz figury. Ich obliczanie długości są nieco bardziej skomplikowane niż dla poprzedniego typu. Technika obliczeniowa obejmuje rekordy długości żeber i podstawy oraz równoległobokami. W przypadku bezpośredniego i poprawnego pryzmaty, obliczenia jest stosunkowo proste, ponieważ przeprowadza się stosując twierdzenie Pitagorów i właściwości funkcji trygonometrycznych.

Ukośne boki czworokątnego bezpośredniego pryzmatu

Rysunek powyżej pokazuje cztery identyczne bezpośrednie pryzmaty, a parametry ich żeber. Na pryzmatach przekątnej A, przekątnej B i przekątnej, przekątna trzech różnych twarzy jest przedstawiona z linią bar-czerwoną. Ponieważ pryzmat jest linią prostą o wysokości 5 cm, a jej podstawa jest reprezentowana przez prostokąt z bokami 3 cm i 2 cm, to nie jest trudne do znalezienia oznaczonych przekątnych. Aby to zrobić, użyj twierdzenia Pitagora.

Przekątna długość bazy pryzmatu (przekątna A) jest równa:

D A \u003d √ (3 2 +2 2) \u003d √13 ≈ 3,606 cm.

Dla bocznej powierzchni więzienia przekątna jest równa (patrz Diagonal B):

D b \u003d √ (3 2 +5 2) \u003d √34 ≈ 5,831 cm.

Wreszcie, długość innej przekątnej bocznej jest równa (patrz Diagonal C):

D C \u003d √ (2 2 +5 2) \u003d √29 ≈ 5,385 cm.

Długość wewnętrznej przekątnej

Teraz obliczamy długość przekątnej pryzmatu czworokątnego, który jest przedstawiony na poprzednim rysunku (Diagonal D). Nie jest tak trudny do zrobienia, jeśli zauważymy, że jest to trójkąt hipotenetoise, w którym elewacja pryzmatu (5 cm) i przekątna D A, przedstawiona na figurze na górze lewego (przekątna A). Potem dostajemy:

D D D \u003d √ (D A 2 +5 2) \u003d √ (2 2 +3 2 +5 2) \u003d √38 ≈ 6,164 cm.

Właściwy czworokątny pryzmat.

Przekątna prawidłowego pryzmatu, której podstawa jest kwadrat, jest obliczana w taki sam sposób jak w powyższym przykładzie. Odpowiedni wzór ma formularz:

D \u003d √ (2 * A 2 + C2).

Gdzie A i C są odpowiednio długością boku bazy i żeberka bocznego.

Zauważ, że przy obliczaniu używaliśmy tylko twierdzenia Pitagore. Aby określić długości przekątnych pryzmatów z dużą liczbą wierzchołków (pięciokątne, sześciokątne i tak dalej), jest już konieczne stosowanie funkcji trygonometrycznych.

W program szkolny W stawce stereometrii badania liczb objętości zwykle zaczyna się od prostego ciała geometrycznego - pryzmat polihedronowy. Rola jej fundamentów jest wykonywana 2 równy wielokątLeżący w płaszczyznach równoległych. Specjalną okazją jest właściwy czterorodzinny pryzmat. Jego podstawy są 2 identyczne regularne czcionki, które są prostopadle do boków o postaci równoległobokami (lub prostokątów, jeśli pryzmat nie jest ukośny).

Jak wygląda pryzmat

Prawidłowe pryzmaty czterapierowe nazywane jest sześciokątem, w bazach, z których są 2 kwadraty, a powierzchnie boczne są reprezentowane przez prostokąty. Podobna nazwa tego kształtu geometrycznego jest prosta równoległy.

Rysunek, który pokazuje pryzmat cztery wyzwalacza, jest pokazany poniżej.

Na zdjęciu można również zobaczyć najważniejsze elementy składają się ciało geometryczne . Są brane pod uwagę:

Czasami koncepcja sekcji można znaleźć w zadaniach geometrii. Definicja będzie brzmiała tak: sekcja jest wszystkimi punktami ciała objętości należącego do płaszczyzny zabezpieczającej. Przekrój jest prostopadle (przekroja żebra kształtu pod kątem 90 stopni). Dla pryzmatu prostokątnego rozważa się również przekątną przekrój (maksymalna liczba sekcji, które można skonstruować - 2), przechodząc przez 2 żebra i przekątna podstawy.

Jeśli przekrój poprzeczny jest narysowany w taki sposób, że płaszczyzna zabezpieczająca nie jest równoległa do ani podstaw, ani stóp stacji, w wyniku czego otrzymano obcięty pryzmat.

Aby znaleźć dane elementy pryzmatyczne, stosowane są różne stosunki i formuły. Niektóre z nich są znane z tempa planymetrii (na przykład, aby znaleźć obszar pryzmatu, wystarczy przypomnieć kwadrat kwadratu kwadratu).

Powierzchnia i objętość

Aby określić objętość pryzmatu w formule, musisz znać obszar jej fundamentu i wysokości:

V \u003d sosn · h

Ponieważ podstawa prawidłowego czterogłowego pryzmatu jest kwadrat partii zamożesz nagrywać formułę bardziej szczegółową:

V \u003d a² · h

Jeśli mówimy o Kubie - prawidłowa nagroda o równej długości, szerokości i wysokości, objętość jest obliczana w następujący sposób:

Aby zrozumieć, jak znaleźć obszar boczną pryzmatu, konieczne jest wyobrazić sobie jej debot.

Od rysunku widać, że powierzchnia boczna składa się z 4 równe prostokąty. Jego obszar jest obliczany jako produkt obwodu podstawy do wysokości rysunku:

SBOK \u003d POSH · H

Biorąc pod uwagę, że obwód kwadratu jest równy P \u003d 4a,formuła ma formularz:

Sbok \u003d 4a · h

Dla Kuby:

SBOK \u003d 4AA²

Aby obliczyć obszar pełnej powierzchni pryzmatu, musisz dodać 2 obszary bazowe do obszaru bocznego:

Spl \u003d SBO + 2SH

W odniesieniu do czterorartowej poprawnej prime, formuła ma formularz:

SPEF \u003d 4A · H + 2A²

Na Kuba Powierzchnia Square:

SPEP \u003d 6A²

Znając objętość lub powierzchnię, można obliczyć poszczególne elementy korpusu geometrycznego.

Znalezienie elementów pryzmat.

Często zadania, w których rozmiar powierzchni bocznej jest podawana lub znana, gdzie konieczne jest określenie długości boku podstawy lub wysokości. W takich przypadkach można wyświetlić formuły:

• długość strony fundamentowej: a \u003d SBOK / 4H \u003d √ (V / H);
• długość wysokości lub żeberek bocznych: h \u003d sbok / 4a \u003d v / a²;
• obszar fundamentowy: Sosn \u003d v / h;
• boczna strona: Sbo. Gr \u003d sbo / 4.

Aby określić, który obszar znajduje się przekątna sekcja, musisz znać długość przekątnej i wysokości figury. Na plac d \u003d a√2. W związku z tym:

Sadiag \u003d ah√2.

Aby obliczyć przekątną pryzmatu, stosuje się formuła:

driz \u003d √ (2a² + h²)

Aby zrozumieć, jak zastosować wynikowe relacje, możesz praktykować i rozwiązywać kilka prostych zadań.

Przykłady zadań z rozwiązaniami

Oto kilka zadań napotkanych w rządowych egzaminach końcowych w matematyce.

Ćwiczenie 1.

Pudełko o postaci właściwego pryzmatu czterapierowego, piasek jest posłańcem. Wysokość jego poziomu wynosi 10 cm. Jaki jest poziom piasku, jeśli przeniesiesz go do pojemnika o tej samej formie, ale z długością podstawy 2 razy więcej?

Należy kłócić się w następujący sposób. Ilość piasku w pierwszym i drugim pojemniku nie zmieniła się, tj. Zbiega się z nimi. Może wyznaczyć długość podstawy ZA.. W tym przypadku, na pierwsze pudełko, objętość substancji będzie:

V₁ \u003d ha² \u003d 10a²

W drugim polu długość podstawy jest 2a.Ale wysokość poziomu piasku jest nieznana:

V₂ \u003d h (2a) ² \u003d 4HA²

ISOFAR AS. V₁ \u003d v₂., Możesz równać wyrażenia:

10A² \u003d 4HA²

Po wycięciu obu części równania w określony sposób, okazuje się:

W rezultacie nowy poziom Piasek będzie h \u003d 10/4 \u003d 2,5 cm.

Zadanie 2.

Abcda₁b₁c₁d₁ - właściwy pryzmat. Wiadomo, że bd \u003d ab₁ \u003d 6√2. Znajdź obszar powierzchni całego ciała.

Aby ułatwić zrozumienie, które elementy są znane, możesz przedstawić rysunek.

Ponieważ mówimy o właściwym pryzmatu, możemy stwierdzić, że istnieje kwadrat z przekątną 6√2 u podstawy. Przekątna boku twarzy ma taką samą wielkość, dlatego powierzchnia boczna ma również kształt kwadratu równy bazy. Okazuje się, że wszystkie trzy wymiary - długość, szerokość i wysokość są równe. Można stwierdzić, że abcda₁b₁c₁d₁ jest sześcianem.

Długość dowolnej krawędzi jest określona przez słynną przekątną:

a \u003d d / √2 \u003d 6√2 / √2 \u003d 6

Całkowita powierzchnia znajduje się przy formule do kostki:

SPEP \u003d 6A² \u003d 6 · 6² \u003d 216

Zadanie 3.

Pokój jest naprawiony w pokoju. Wiadomo, że jego podłoga ma kwadratowy kształt o powierzchni 9 m². Wysokość pokoju wynosi 2,5 m. Jakie jest najmniejsze koszty wklejania z tapetą, jeśli 1 m² kosztuje 50 rubli?

Ponieważ podłoga i sufit to kwadraty, czyli prawidłowe cztery wyzwalacze, a jego ściany są prostopadłe do powierzchni poziomych, można stwierdzić, że jest właściwy pryzmat.. Konieczne jest określenie obszaru swojej powierzchni bocznej.

Długość pokoju jest a \u003d √9 \u003d 3 m.

Tapeta zostanie zapisana obszarem SBOK \u003d 4 · 3 · 2,5 \u003d 30 m².

Najmniejszy koszt tapet dla tego pokoju będzie 50 · 30 \u003d 1500 rubli.

Tak więc, aby rozwiązać problemy na pryzmat prostokątny, wystarczy, aby móc obliczyć obszar i obwód kwadratu oraz prostokąta, a także posiadać wzory do znalezienia objętości i powierzchni.

Jak znaleźć obszar kostki

W tym filmie wszyscy będą mogli niezależnie zapoznać się z tematem "Koncepcja wielościennego. Pryzmat. Prism powierzchni powierzchniowej. Podczas okupacji nauczyciel powie, że istnieją takie geometryczne kształty jak polihedron i pryzmat, podają odpowiednie definicje i wyjaśni ich istotę na konkretnych przykładach.

Dzięki tej lekcji każdy będzie mógł samodzielnie zapoznać się z tematem "Koncepcja wieloślawego. Pryzmat. Prism powierzchni powierzchniowej.

Definicja. Powierzchnia składająca się z wielokątów i ograniczająca niektóre korpus geometryczny będzie nazywany wieloaspektową powierzchnią lub polihedronem.

Rozważ następujące przykłady polihedry:

1. Tetraedron. ABCD. - To jest powierzchnia składająca się z czterech trójkątów: ABC, Adb., BDC. i ADC.(Rys. 1).

Figa. jeden

2. równoległy ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - Jest to powierzchnia składająca się z sześciu równoległobokami (rys. 2).

Figa. 2.

Główne elementy wielościanu są aspekty, żebra, wierzchołki.

Twarze są wielokąty stanowiące polihedron.

Żebra to facelights.

Wierzchołki są końcami żeber.

Rozważ Tetrahedron. ABCD.(Rys. 1). Wskazujemy swoje główne elementy.

Twarz: Trójkąty. ABC, ADB, BDC, ADC.

Żebra: AU, AU, Słońce, DC, OGŁOSZENIE, Bd..

Vershins.: A, B, C, D.

Rozważ równoległą ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Rys. 2).

Twarz: Pollogram. AA 1 D1 D, D1 DSS 1, BB 1 C1 C, AA 1 w 1 V, ABCD, A 1 B 1 C1 D 1.

Żebra: Aa. 1 , nocleg ze śniadaniem 1 , Ss. 1 , DD 1, AD, 1 D 1, B 1 C1, BC, AB, A 1 B 1, D 1 C1, DC.

Vershins.: A, B, C, D, A 1, B 1, C1, D 1.

Ważnym prywatnym przypadku wielościanu jest pryzmat.

ABSE 1 w 1 C 1 (Rys. 3).

Figa. 3.

Równe trójkąty ABC i 1 w 1 s 1 znajduje się w równoległych płaszczyznach α i β, aby żebra AA 1, BB 1, SS 1 Równolegle.

To znaczy ABSE 1 w 1 C 1- trójkątny pryzmat, jeśli:

1) trójkąty. ABC i 1 w 1 s 1 równy.

2) trójkąty. ABC i 1 w 1 s 1 Znajduje się w równoległych płaszczyznach α i β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) żeberka AA 1, BB 1, SS 1 Równolegle.

ABC i 1 w 1 s 1 - założenie pryzmatu.

AA 1, BB 1, SS 1 - pryzmat boczny żeber.

Jeśli z dowolnego punktu H 1. jedna płaszczyzna (na przykład β) pomiń prostopadle Nn 1. W samolocie α, to prostopadle nazywa się wysokością pryzmatu.

Definicja. Jeśli żebra boczne są prostopadłe do zasad, pryzmat jest nazywany prostym i w inny sposób nachylony.

Rozważ trójkątny pryzmat ABSE 1 w 1 C 1 (Rys. 4). Ten pryzmat jest prosty. Oznacza to, że jej boczne żebra są prostopadłe na terenie.

Na przykład żebro AA 1. Prostopadle do samolotu ABC. Brzeg AA 1. jest wysokością tego pryzmatu.

Figa. cztery

Zauważ, że strona AA 1 w 1 V Prostopadle na tereny ABC i 1 w 1 s 1Ponieważ przechodzi przez prostopadły AA 1. na terenie.

Teraz rozważ nachylony pryzmat ABSE 1 w 1 C 1 (Rys. 5). Tutaj bokowa krawędź nie jest prostopadła do samolotu fundamentowego. Jeśli wyrzucisz się z punktu A 1. prostopadły 1 N. na ABCTa prostopadła będzie wysokością pryzmatu. Zauważ, że segment Na. - To jest projekcja segmentu AA 1. W samolocie ABC.

Następnie kąt między bezpośrednim AA 1. i samolot ABC Jest kątem między prostym AA 1. i jej Na. rzut na płaszczyźnie, czyli kąt 1 an..

Figa. pięć

Rozważmy czworogłowy pryzmat ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Rys. 6). Rozważ, jak się okazuje.

1) czworokątny ABCD. równy czworowi A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Cztery ABCD.i A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Cztery ABCD.i A 1 B 1 C 1 D 1znajduje się tak, że żebra boczne są równoległe, czyli: AA 1 ║vv 1 ║ss 1 ║dd 1.

Definicja. Prism Diagonal jest segmentem łączącym dwa wierzchołki, które nie należą do jednej twarzy.

Na przykład, AC 1. - przekątna pryzmatu czworokątnego ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Definicja. Jeśli boczne żebro AA 1. Prostopadły do \u200b\u200bpłaszczyzny bazy, wtedy taki pryzmat jest nazywany prostym.

Figa. 6.

Specjalny przypadek pryzmatu cztery stopni jest wcześniej znanym równoległym. Równoległościan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1przedstawia na FIG. 7.

Rozważ, jak działa:

1) W bazach są równe dane. W tym przypadku równe równoległoki ABCD. i A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD. = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) równoległobok. ABCD. i A 1 B 1 C 1 D 1 LA w równoległych płaszczyznach α i β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Polgogram. ABCD. i A 1 B 1 C 1 D 1 Znajduje się w taki sposób, że boczne żebra są równoległe między sobą: AA 1 ║vv 1 ║ss 1 ║dd 1.

Figa. 7.

Z punktu A 1. Niższy prostopadły Na. W samolocie ABC. Sekcja 1 N. jest wysokością.

Zastanów się, jak zorganizowany jest sześciokątny pryzmat (rys. 8).

1) Na podstawie równych sześciokątów ALFABET. i A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ALFABET.= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) płaszczywy sześciokątne ALFABET. i A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1równolegle, czyli podstawy leżą w równoległych płaszczyznach: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Hexagons. ALFABET. i A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1znajduje się tak, że wszystkie żebra boczne są równoległe do: AA 1 ║vv 1 ... ║FF 1.

Figa. osiem

Definicja. Jeśli pewna krawędź boczna prostopadła do płaszczyzny fundamentowej, wtedy taki sześciokątny pryzmat jest nazywany prostym.

Definicja. Bezpośredni pryzmat jest nazywany poprawnym, jeśli jego podstawy są odpowiednimi wielokątami.

Rozważ właściwy trójkątny pryzmat ABSE 1 w 1 C 1.

Figa. dziewięć

Trójkątny pryzmat ABSE 1 w 1 C 1- Właściwe, oznacza to, że w terenie są regularne trójkąty, czyli wszystkie strony tych trójkątów są równe. Również ten pryzmat jest prosty. Więc krawędź boczna prostopadła do płaszczyzny bazowej. Oznacza to, że wszystkie twarze boczne są równymi prostokątów.

Więc jeśli trójkątny pryzmat ABSE 1 w 1 C 1- Prawo, to:

1) krawędź boczna prostopadła do płaszczyzny fundamentowej, która jest, wysokość: AA 1. ⊥ ABC.

2) Na podstawie właściwego trójkąta: Δ ABC - poprawne.

Definicja. Całkowita powierzchnia pryzmatu jest suma obszaru wszystkich jego twarzy. Oznaczać S pełny.

Definicja. Powierzchnia boczna jest sumą powierzchni wszystkich stron bocznych. Oznaczać S bok..

Prism ma dwie podstawy. Następnie obszar pełnej powierzchni pryzmatu:

S FULT \u003d S Side + 2s Land.

Powierzchnia boczna bezpośredniego pryzmatu jest równa produktowi obwodu podstawy do wysokości pryzmatu.

Dowód spędzamy na przykładzie trójkątnego pryzmatu.

Dano.: ABSE 1 w 1 C 1 - Bezpośredni pryzmat, tj. AA 1. ⊥ ABC.

Aa 1 \u003d h.

Okazać się: S bock \u003d r ∙ h.

Figa. 10.

Dowód.

Trójkątny pryzmat ABSE 1 w 1 C 1 - Bezpośredni, oznacza to AA 1 w 1 V, AA 1 z 1 C, BB 1 C1 C -prostokąty.

Znajdujemy bokową powierzchnię jako sumę obszaru prostokątów AA 1 w 1 V, AA 1 z 1 s, BB 1 1 s:

S Side \u003d AB ∙ H + Sun ∙ H + SA ∙ H \u003d (AB + Sun + Ca) ∙ H \u003d P OSP ∙ H.

Dostajemy S bok \u003d p osa ∙ h,co było do okazania

Spotkaliśmy się z polihedrą, pryzmatem, jego odmianami. Udowodnił twierdzenie o bocznej powierzchni pryzmatu. W następnej lekcji rozwiążemy zadania pryzmatu.

1. Geometria. 10-11 Klasa: Podręcznik dla studentów ogólne instytucje edukacyjne. (Podstawowy I. poziomy profilu.) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. edycja, poprawiona i uzupełniona - m.: Mnemozina, 2008. - 288 p. : Il.
2. Geometria. 10-11 Klasa: Podręcznik do edukacji ogólnej instytucje edukacyjne / Sharygin I. F. - M.: Drop, 1999. - 208 C.: Il.
3. Geometria. Klasa 10: Podręcznik do instytucji kształcenia ogólnego z badaniem dogłębnym i profilem matematyki / e. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. edycja, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 p. : Il.

1. Yaclass ().
2. Shkolo.ru ().
3. Stara szkoła ().
4. Wikihów ().

1. Jaka jest minimalna liczba twarzy może mieć pryzmat? Ile wierzchołków żebra mają taki pryzmat?
2. Czy istnieje pryzmat, który dokładnie ma 100 żeber?
3. Krawędź boczna jest skłonna do płaszczyzny podstawowej pod kątem 60 °. Znajdź wysokość pryzmatu, jeśli krawędź boczna wynosi 6 cm.
4. Pośredni trójkątny pryzmat Wszystkie żebra są równe. Obszar jego powierzchni bocznej wynosi 27 cm2. Znajdź pełną powierzchnię pryzmatu.