• 1. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (9 \ pi) (2); \ frac (14 \ pi) (3); \ frac (16 \ pi) (3); \ frac (11 \ pi) (2) \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (6) \ right) + \ cos x = \ sqrt (3) \ sin (2x) -1 \).
     b) Znajdź jego rozwiązania należące do luki \ (\ left \).
  2. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (\ pi) (3) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (11 \ pi) (3) \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (6) \ right) - \ cos x = \ sqrt (3) \ sin (2x) -1 \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ prawy] \).
  3. a)
     b)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (3 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (4) \) a) Rozwiąż równanie \ (\ sqrt (2) \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (4) \ right) + \ sqrt (2) \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
     b) Znajdź jego rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewo [- \ frac (5 \ pi) (2); - \ pi \ prawo] \).
  4. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (7 \ pi) (6); \ frac (3 \ pi) (2); \ frac (5 \ pi) (2) \) a) Rozwiąż równanie \ (\ sqrt (2) \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (4) \ right) + \ sqrt (3) \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [\ pi; \ frac (5 \ pi) (2) \ prawy] \).
  5. a)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (11 \ pi) (2); - \ frac (16 \ pi) (3); - \ frac (14 \ pi) (3); - \ frac (9 \ pi) (2) \ ) a) Rozwiąż równanie \ (\ sqrt (2) \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (4) \ right) + \ cos x = \ sin (2x) -1 \).
     b) Znajdź jego rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [- \ frac (11 \ pi) (2); -4 \ pi \ prawy] \).
  6. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (23 \ pi) (6); - \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (2) \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (3) \ right) -3 \ cos x = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ prawy] \).
  7. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \, \ pm \ frac (3 \ pi) (4) +2 \ pi k; \, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (13 \ pi) (4); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (9 \ pi) (2) \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (3) \ right) + \ sqrt (6) \ cos x = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
     b) Znajdź jego rozwiązania należące do luki \ (\ left \).
• 1. a)\ ((- 1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (13 \ pi) (4) \) a) Rozwiąż równanie \ (\ sqrt (2) \ sin x + 2 \ sin \ left (2x- \ frac (\ pi) (6) \ right) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     b)
  2. a)
     b)\ (2 \ pi; 3 \ pi; \ frac (7 \ pi) (4) \) a) Rozwiąż równanie \ (\ sqrt (2) \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (4) \ right) - \ sqrt (2) \ sin x = \ sin (2x) +1 \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewo [\ frac (3 \ pi) (2); 3 \ pi \ prawo] \).
  3. a)\ (\ pi k, (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (3) \) a) Rozwiąż równanie \ (\ sqrt (3) \ sin x + 2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (6) \ right) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ prawy] \).
  4. a)\ (\ pi k; (-1) ^ (k) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k; k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (19 \ pi) (6); -3 \ pi; -2 \ pi \) a) Rozwiąż równanie \ (\ sin x + 2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (6) \ right) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ prawy] \).
  5. a)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k; k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (19 \ pi) (6); 3 \ pi; 2 \ pi \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin \ left (2x + \ frac (\ pi) (3) \ right) - \ sqrt (3) \ sin x = \ sin (2x) + \ sqrt (3) \).
     b) Znajdź jego rozwiązania należące do luki \ (\ left \).
  6. a)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 3 \ pi; - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (9 \ pi) (4); -2 \ pi \) a) Rozwiąż równanie \ (\ sqrt (6) \ sin x + 2 \ sin \ left (2x- \ frac (\ pi) (3) \ right) = \ sin (2x) - \ sqrt (3) \).
     b) Znajdź jego rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [- \ frac (7 \ pi) (2); - 2 \ pi \ prawy] \).
• 1. a)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (2 \ pi) (3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (7 \ pi) (2); \ frac (9 \ pi) (2); \ frac (14 \ pi) (3) \) a) Rozwiąż równanie \ (\ sqrt (2) \ sin (x + \ frac (\ pi) (4)) + \ cos (2x) = \ sin x -1 \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [\ frac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ prawy] \).
  2. a)\ (\ pm \ frac (\ pi) (2) +2 \ pi k; \ pm \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (3 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (17 \ pi) (6) \)a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin (x + \ frac (\ pi) (3)) + \ cos (2x) = \ sin x -1 \).
     b)
  3. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (5 \ pi) (3); - \ frac (7 \ pi) (3) \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin (x + \ frac (\ pi) (3)) - \ sqrt (3) \ cos (2x) = \ sin x + \ sqrt (3) \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ prawy] \).
  4. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (4) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (15 \ pi) (4) \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sqrt (2) \ sin (x + \ frac (\ pi) (6)) - \ cos (2x) = \ sqrt (6) \ sin x +1 \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewo [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi; \ prawo] \).
• 1. a)\ ((- 1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k; \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (11 \ pi) (3); 4 \ pi; 5 \ pi \) a) Rozwiąż równanie \ (\ sqrt (6) \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (4) \ right) -2 \ cos ^ (2) x = \ sqrt (3) \ cos x-2 \ ).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [\ frac (7 \ pi) (2); 5 \ pi \ prawy] \).
  2. a)\ (\ pi k; (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (7 \ pi) (4) \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sqrt (2) \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (3) \ right) +2 \ cos ^ (2) x = \ sqrt (6) \ cos x + 2 \) ...
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [-3 \ pi; \ frac (-3 \ pi) (2) \ prawy] \).
  3. a)\ (\ frac (3 \ pi) (2) +2 \ pi k, \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k, \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ w \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (5 \ pi) (2); - \ frac (11 \ pi) (6); - \ frac (7 \ pi) (6) \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (6) \ right) -2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 x = \ cos x - \ sqrt (3) \).
     b)
  4. a)\ (2 \ pi k; \ frac (\ pi) (2) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (7 \ pi) (2) ;; - \ frac (5 \ pi) (2); -4 \ pi \) a) Rozwiąż równanie \ (\ cos ^ 2 x + \ sin x = \ sqrt (2) \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (4) \ po prawej) \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ prawy] \).
  5. a)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 2 \ pi; - \ pi; - \ frac (13 \ pi) (6) \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (6) \ right) -2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 x = \ cos x -2 \ sqrt (3) \) .
     b) Znajdź jego rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewo [- \ frac (5 \ pi) (2); - \ pi \ prawo] \).
• 1. a)\ (\ pi k; - \ frac (\ pi) (6) +2 \ pi k; - \ frac (5 \ pi) (6) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (5 \ pi) (6); - 2 \ pi; - \ pi \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin ^ 2 x + \ sqrt (2) \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (4) \ right) = \ cos x \).
     b)
  2. a)\ (\ pi k; \ frac (\ pi) (4) +2 \ pi k; \ frac (3 \ pi) (4) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (\ frac (17 \ pi) (4); 3 \ pi; 4 \ pi \) a) Rozwiąż równanie \ (\ sqrt (6) \ sin ^ 2 x + \ cos x = 2 \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (6) \ right) \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [-2 \ pi; - \ frac (\ pi) (2) \ prawy] \).
• 1. a)\ (\ pi k; \ pm \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (3 \ pi; \ frac (10 \ pi) (3); \ frac (11 \ pi) (3); 4 \ pi; \ frac (13 \ pi) (3) \) a) Rozwiąż równanie \ (4 \ sin ^ 3 x = 3 \ cos \ left (x- \ frac (\ pi) (2) \ right) \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [3 \ pi; \ frac (9 \ pi) (2) \ prawy] \).
  2. a)
     b)\ (\ frac (5 \ pi) (2); \ frac (11 \ pi) (4); \ frac (13 \ pi) (4); \ frac (7 \ pi) (2); \ frac (15 \ pi) (4) \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin ^ 3 \ left (x + \ frac (3 \ pi) (2) \ right) + \ cos x = 0 \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [\ frac (5 \ pi) (2); 4 \ pi \ prawy] \).
• 1. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k, \ pm \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (15 \ pi) (4); - \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (13 \ pi) (4); - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (5 \ pi) (2); \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ cos ^ 3 x = \ sin \ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ right) \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [-4 \ pi; - \ frac (5 \ pi) (2) \ prawy] \).
  2. a)\ (\ pi k, \ pm \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (19 \ pi) (6); - 3 \ pi; - \ frac (17 \ pi) (6); - \ frac (13 \ pi) (6); - 2 \ pi; \) a) Rozwiąż równanie \ (4 \ cos ^ 3 \ left (x + \ frac (\ pi) (2) \ right) + \ sin x = 0 \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ prawy] \).
• 1. a)\ (\ frac (\ pi) (2) + \ pi k; \ frac (\ pi) (4) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- \ frac (7 \ pi) (2); - \ frac (11 \ pi) (4); - \ frac (9 \ pi) (4) \) a) Rozwiąż równanie \ (\ sin 2x + 2 \ sin \ left (2x- \ frac (\ pi) (6) \ right) = \ sqrt (3) \ sin (2x) +1 \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [- \ frac (7 \ pi) (2); -2 \ pi \ prawy] \).
• 1. a)\ (\ pi k; (-1) ^ k \ cdot \ frac (\ pi) (6) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 3 \ pi; -2 \ pi; - \ frac (11 \ pi) (6) \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (3) \ right) + \ cos (2x) = 1 + \ sqrt (3) \ cos x \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ prawy] \).
  2. a)\ (\ pi k; (-1) ^ (k + 1) \ cdot \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, k \ in \ mathbb (Z) \)
     b)\ (- 3 \ pi; - \ frac (8 \ pi) (3); - \ frac (7 \ pi) (3); -2 \ pi \) a) Rozwiąż równanie \ (2 \ sqrt (3) \ sin \ left (x + \ frac (\ pi) (3) \ right) - \ cos (2x) = 3 \ cos x -1 \).
     b) Znajdź rozwiązania należące do przedziału \ (\ lewy [-3 \ pi; - \ frac (3 \ pi) (2) \ prawy] \).

14 : Kąty i odległości w przestrzeni

• 1. \ (\ frac (420) (29) \)
     a)
     b) Znajdź odległość od punktu \ (B \) do linii \ (AC_1 \), jeśli \ (AB = 21, B_1C_1 = 16, BB_1 = 12 \).
  2. 12
     a) Udowodnij, że kąt \ (ABC_1 \) jest prosty.
     b) Znajdź odległość od punktu \ (B \) do linii \ (AC_1 \), jeśli \ (AB = 15, B_1C_1 = 12, BB_1 = 16 \).
  3. \ (\ frac (120) (17) \) W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \) i \ (B \) są wybrane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkty \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na okręgu drugiej podstawy oraz \ ( BB_1 \) jest generatorem cylindra, a odcinek \ (AC_1 \) przecina oś cylindra.
     a) Udowodnij, że kąt \ (ABC_1 \) jest prosty.
     b) Znajdź odległość od punktu \ (B \) do linii \ (AC_1 \), jeśli \ (AB = 8, B_1C_1 = 9, BB_1 = 12 \).
  4. \ (\ frac (60) (13) \) W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \) i \ (B \) są wybrane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkty \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na okręgu drugiej podstawy oraz \ ( BB_1 \) jest generatorem cylindra, a odcinek \ (AC_1 \) przecina oś cylindra.
     a) Udowodnij, że kąt \ (ABC_1 \) jest prosty.
     b) Znajdź odległość od punktu \ (B \) do linii \ (AC_1 \), jeśli \ (AB = 12, B_1C_1 = 3, BB_1 = 4 \).
• 1. \ (\ arctan \ frac (17) (6) \) W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \) i \ (B \) są wybrane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkty \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na okręgu drugiej podstawy oraz \ ( BB_1 \) jest generatorem cylindra, a odcinek \ (AC_1 \) przecina oś cylindra.
     a) Udowodnij, że kąt \ (ABC_1 \) jest prosty.
     b) Znajdź kąt między linią prostą \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), jeśli \ (AB = 8, B_1C_1 = 15, BB_1 = 6 \).
  2. \ (\ arctan \ frac (2) (3) \) W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \) i \ (B \) są wybrane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkty \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na okręgu drugiej podstawy oraz \ ( BB_1 \) jest generatorem cylindra, a odcinek \ (AC_1 \) przecina oś cylindra.
     a) Udowodnij, że kąt \ (ABC_1 \) jest prosty.
     b) Znajdź kąt między linią prostą \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), jeśli \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
• 1. 7.2 W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \) i \ (B \) są wybrane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkty \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na okręgu drugiej podstawy oraz \ ( BB_1 \) jest generatorem cylindra, a odcinek \ (AC_1 \) przecina oś cylindra.
     a)
     b) Znajdź odległość między liniami prostymi \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), jeśli \ (AB = 12, B_1C_1 = 9, BB_1 = 8 \).
  2. W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \) i \ (B \) są wybrane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkty \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na okręgu drugiej podstawy oraz \ ( BB_1 \) jest generatorem cylindra, a odcinek \ (AC_1 \) przecina oś cylindra.
     a) Wykazać, że proste \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) są prostopadłe.
     b) Znajdź odległość między liniami prostymi \ (AC_1 \) i \ (BB_1 \), jeśli \ (AB = 3, B_1C_1 = 4, BB_1 = 1 \).
• 1. W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \) i \ (B \) są wybrane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkty \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na okręgu drugiej podstawy oraz \ ( BB_1 \) jest generatorem cylindra, a odcinek \ (AC_1 \) przecina oś cylindra.
     a) Wykazać, że proste \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) są prostopadłe.
     b) Znajdź obszar bocznej powierzchni cylindra, jeśli \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
• 1. W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \) i \ (B \) są wybrane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkty \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na okręgu drugiej podstawy oraz \ ( BB_1 \) jest generatorem cylindra, a odcinek \ (AC_1 \) przecina oś cylindra.
     a) Wykazać, że proste \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) są prostopadłe.
     b) Znajdź całkowitą powierzchnię cylindra, jeśli \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
• 1. W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \) i \ (B \) są wybrane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkty \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na okręgu drugiej podstawy oraz \ ( BB_1 \) jest generatorem cylindra, a odcinek \ (AC_1 \) przecina oś cylindra.
     a) Wykazać, że proste \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) są prostopadłe.
     b) Znajdź objętość cylindra, jeśli \ (AB = 6, B_1C_1 = 8, BB_1 = 15 \).
  2. W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \) i \ (B \) są wybrane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkty \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na okręgu drugiej podstawy oraz \ ( BB_1 \) jest generatorem cylindra, a odcinek \ (AC_1 \) przecina oś cylindra.
     a) Wykazać, że proste \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) są prostopadłe.
     b) Znajdź objętość cylindra, jeśli \ (AB = 7, B_1C_1 = 24, BB_1 = 10 \).
  3. W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \) i \ (B \) są wybrane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkty \ (B_1 \) i \ (C_1 \) na okręgu drugiej podstawy oraz \ ( BB_1 \) jest generatorem cylindra, a odcinek \ (AC_1 \) przecina oś cylindra.
     a) Wykazać, że proste \ (AB \) i \ (B_1C_1 \) są prostopadłe.
     b) Znajdź objętość cylindra, jeśli \ (AB = 21, B_1C_1 = 15, BB_1 = 20 \).
• 1. \ (\ sqrt (5) \) W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \), \ (B \) i \ (C \) są wybierane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkt \ (C_1 \) jest wybierany na okręgu drugiej podstawy, a \ (CC_1 \) to generator cylindra, a \ (AC \) - średnica podstawy. Wiadomo, że kąt \ (ACB \) jest równy 30 stopni.
     a) Udowodnij, że kąt między liniami \ (AC_1 \) i \ (BC_1 \) wynosi 45 stopni.
     b) Znajdź odległość od punktu B do linii prostej \ (AC_1 \) if \ (AB = \ sqrt (6), CC_1 = 2 \ sqrt (3) \).
• 1. \ (4 \ pi \) W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \), \ (B \) i \ (C \) są wybierane na obwodzie jednej z podstaw walca, a punkt \ (C_1 \) jest wybierany na obwodzie drugiej podstawy, a \ (CC_1 \) to generator cylindra, a \ (AC \) - średnica podstawy. Wiadomo, że kąt \ (ACB \) jest równy 30 °, \ (AB = \ sqrt (2), CC_1 = 2 \).
     a) Udowodnij, że kąt między liniami \ (AC_1 \) i \ (BC_1 \) wynosi 45 stopni.
     b) Znajdź objętość cylindra.
  2. \ (16 \ pi \) W cylindrze tworząca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Punkty \ (A \), \ (B \) i \ (C \) są wybierane na okręgu jednej z podstaw cylindra, a punkt \ (C_1 \) jest wybierany na okręgu drugiej podstawy, a \ (CC_1 \) to generator cylindra, a \ (AC \) - średnica podstawy. Wiadomo, że kąt \ (ACB \) jest równy 45 °, \ (AB = 2 \ sqrt (2), CC_1 = 4 \).
     a) Udowodnij, że kąt między prostymi \ (AC_1 \) i \ (BC \) wynosi 60 stopni.
     b) Znajdź objętość cylindra.
• 1. \ (2 \ sqrt (3) \) W sześcianie \ (ABCDA_1B_1C_1D_1 \) wszystkie krawędzie to 6.
     a) Udowodnij, że kąt między liniami \ (AC \) i \ (BD_1 \) wynosi 60 °.
     b) Znajdź odległość między liniami prostymi \ (AC \) i \ (BD_1 \).
• 1. \ (\ frac (3 \ sqrt (22)) (5) \)
     a)
     b) Znajdź \ (QP \), gdzie \ (P \) jest punktem przecięcia płaszczyzny \ (MNK \) i krawędzi \ (SC \), jeśli \ (AB = SK = 6 \) i \ (SA = 8 \).
• 1. \ (\ frac (24 \ sqrt (39)) (7) \) W regularnym ostrosłupie \ (SABC \) punkty \ (M \) i \ (N \) są odpowiednio środkami krawędzi \ (AB \) i \ (BC \). Na bocznej krawędzi \ (SA \) zaznaczony jest punkt \ (K \). Przekrój piramidy przy płaszczyźnie \ (MNK \) jest czworobokiem, którego przekątne przecinają się w punkcie \ (Q \).
     a) Udowodnij, że punkt \ (Q \) leży na wysokości piramidy.
     b) Znajdź objętość piramidy \ (QMNB \), jeśli \ (AB = 12, SA = 10 \) i \ (SK = 2 \).
• 1. \ (\ arctan 2 \ sqrt (11) \) W regularnym ostrosłupie \ (SABC \) punkty \ (M \) i \ (N \) są odpowiednio środkami krawędzi \ (AB \) i \ (BC \). Na bocznej krawędzi \ (SA \) zaznaczony jest punkt \ (K \). Przekrój piramidy przy płaszczyźnie \ (MNK \) jest czworobokiem, którego przekątne przecinają się w punkcie \ (Q \).
     a) Udowodnij, że punkt \ (Q \) leży na wysokości piramidy.
     b) Znajdź kąt między płaszczyznami \ (MNK \) i \ (ABC \), jeśli \ (AB = 6, SA = 12 \) i \ (SK = 3 \).
• 1. \ (\ frac (162 \ sqrt (51)) (25) \) W regularnym ostrosłupie \ (SABC \) punkty \ (M \) i \ (N \) są odpowiednio środkami krawędzi \ (AB \) i \ (BC \). Na bocznej krawędzi \ (SA \) zaznaczony jest punkt \ (K \). Przekrój piramidy przy płaszczyźnie \ (MNK \) jest czworobokiem, którego przekątne przecinają się w punkcie \ (Q \).
     a) Udowodnij, że punkt \ (Q \) leży na wysokości piramidy.
     b) Znajdź obszar przekroju piramidy przy płaszczyźnie \ (MNK \), jeśli \ (AB = 12, SA = 15 \) i \ (SK = 6 \).

15 : Nierówności

• 1. \ ((- \ infty; -12] \ filiżanka \ lewa (- \ frac (35) (8); 0 \ prawy] \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _ (11) (8x ^ 2 + 7) - \ log _ (11) \ left (x ^ 2 + x + 1 \ right) \ geq \ log _ (11) \ left (\ frac (x) (x + 5) +7 \ prawy) \).
  2. \ ((- \ infty; -50] \ kubek \ lewy (- \ frac (49) (8); 0 \ prawy] \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _ (5) (8x ^ 2 + 7) - \ log _ (5) \ left (x ^ 2 + x + 1 \ right) \ geq \ log _ (5) \ left (\ frac (x) (x + 7) +7 \ prawy) \).
  3. \ ((- \ infty; -27] \ kubek \ lewy (- \ frac (80) (11); 0 \ prawy] \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _7 (11x ^ 2 + 10) - \ log _7 \ left (x ^ 2 + x + 1 \ right) \ geq \ log _7 \ left (\ frac (x) (x + 8) + 10 \ po prawej) \).
  4. \ ((- \ infty; -23] \ puchar \ lewy (- \ frac (160) (17); 0 \ prawy] \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _2 (17x ^ 2 + 16) - \ log _2 \ left (x ^ 2 + x + 1 \ right) \ geq \ log _2 \ left (\ frac (x) (x + 10) + 16 \ prawy) \).
• 1. \ (\ lewo [\ frac (\ sqrt (3)) (3); + \ infty \ prawo) \) Rozwiąż nierówność \ (2 \ log _2 (x \ sqrt (3)) - \ log _2 \ left (\ frac (x) (x + 1) \ right) \ geq \ log _2 \ left (3x ^ 2 + \ frac (1) (x) \ prawy) \).
  2. \ (\ po lewej (0; \ frac (1) (4) \ po prawej] \ puchar \ po lewej [\ frac (1) (\ sqrt (3)); 1 \ po prawej) \) Rozwiąż nierówność \ (2 \ log_3 (x \ sqrt (3)) - \ log_3 \ left (\ frac (x) (1-x) \ right) \ leq \ log_3 \ left (9x ^ (2) + \ frac (1) (x) -4 \ prawy) \).
  3. \ (\ left (0; \ frac (1) (5) \ right] \ cup \ left [\ frac (\ sqrt (2)) (2); 1 \ po prawej) \) Rozwiąż nierówność \ (2 \ log_7 (x \ sqrt (2)) - \ log_7 \ left (\ frac (x) (1-x) \ right) \ leq \ log_7 \ left (8x ^ (2) + \ frac (1) (x) -5 \ prawy) \).
  4. \ (\ left (0; \ frac (1) (\ sqrt (5)) \ right] \ cup \ left [\ frac (1) (2); 1 \ po prawej) \) Rozwiąż nierówność \ (2 \ log_2 (x \ sqrt (5)) - \ log_2 \ left (\ frac (x) (1-x) \ right) \ leq \ log_2 \ left (5x ^ (2) + \ frac (1) (x) -2 \ prawy) \).
  5. \ (\ po lewej (0; \ frac (1) (3) \ po prawej] \ filiżanka \ po lewej [\ frac (1) (2); 1 \ po prawej) \) Rozwiąż nierówność \ (2 \ log_5 (2x) - \ log_5 \ left (\ frac (x) (1-x) \ right) \ leq \ log_5 \ left (8x ^ (2) + \ frac (1) (x ) -3 \ prawy) \).
• 1. \ ((0; 1] \ filiżanka \ filiżanka \ lewa \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _5 (4-x) + \ log _5 \ left (\ frac (1) (x) \ right) \ leq \ log _5 \ left (\ frac (1) (x) -x + 3 \ po prawej) \).
• 1. \ ((1; 1,5] \ kubek \ kubek \ kubek [3,5; + \ infty) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _5 (x ^ 2 + 4) - \ log _5 \ left (x ^ 2-x + 14 \ right) \ geq \ log _5 \ left (1- \ frac (1) (x) \ prawo) \).
  2. \ ((1; 1,5] \ kubek [4; + \ infty) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _3 (x ^ 2 + 2) - \ log _3 \ left (x ^ 2-x + 12 \ right) \ geq \ log _3 \ left (1- \ frac (1) (x) \ prawo) \).
  3. \ (\ po lewej (\ frac (1) (2); \ frac (2) (3) \ po prawej] \ filiżanka \ po lewej [5; + \ infty \ po prawej) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _2 (2x ^ 2 + 4) - \ log _2 \ left (x ^ 2-x + 10 \ right) \ geq \ log _2 \ left (2- \ frac (1) (x) \ prawo) \).
• 1. \ ((- 3; -2] \ filiżanka \) Rozwiąż nierówność \ (\ log_2 \ left (\ frac (3) (x) +2 \ right) - \ log_2 (x + 3) \ leq \ log_2 \ left (\ frac (x + 4) (x ^ 2) \ prawo) \).
  2. \ ([- 2; -1) \ filiżanka (0; 9] \) Rozwiąż nierówność \ (\ log_5 \ left (\ frac (2) (x) +2 \ right) - \ log_5 (x + 3) \ leq \ log_5 \ left (\ frac (x + 6) (x ^ 2) \ prawo) \).
• 1. \ (\ left (\ frac (\ sqrt (6)) (3); 1 \ right) \ cup \ left (1; + \ infty \ right) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _5 (3x ^ 2-2) - \ log _5 x
  2. \ (\ po lewej (\ frac (2) (5); + \ infty \ po prawej) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log_3 (25x ^ 2-4) - \ log_3 x \ leq \ log_3 \ left (26x ^ ​​​​2 + \ frac (17) (x) -10 \ prawy) \).
  3. \ (\ po lewej (\ frac (5) (7); + \ infty \ po prawej) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log_7 (49x ^ 2-25) - \ log_7 x \ leq \ log_7 \ left (50x ^ 2- \ frac (9) (x) +10 \ right) \).
• 1. \ (\ lewy [- \ frac (1) (6); - \ frac (1) (24) \ prawy) \ kubek (0; + \ infty) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log_5 (3x + 1) + \ log_5 \ left (\ frac (1) (72x ^ (2)) + 1 \ right) \ geq \ log_5 \ left (\ frac (1) (24x) + 1 \ prawy) \).
  2. \ (\ lewy [- \ frac (1) (4); - \ frac (1) (16) \ prawy) \ kubek (0; + \ infty) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log_3 (2x + 1) + \ log_3 \ left (\ frac (1) (32x ^ (2)) + 1 \ right) \ geq \ log_3 \ left (\ frac (1) (16x) + 1 \ prawy) \).
• 1. \(1\) Rozwiąż nierówność \ (\ log _2 (3-2x) +2 \ log _2 \ left (\ frac (1) (x) \ right) \ leq \ log _2 \ left (\ frac (1) (x ^ (2 ) ) -2x + 2 \ prawy) \).
  2. \((1; 3] \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ left (2x + \ frac (4) (x-1) \ right) \ geq 2 \ log _2 \ left (\ frac (3x-1 ) (2) \ po prawej) \).
  3. \ (\ lewo [\ frac (1+ \ sqrt (5)) (2); + \ infty \ prawo) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ left (x ^ 2 + \ frac (1) (x-1) \ right) \ leq 2 \ log _2 \ left (\ frac (x ^ 2 + x-1) (2) \ po prawej) \).
  4. \ (\ lewo [2; + \ infty \ prawo) \) Rozwiąż nierówność \ (2 \ log _2 (x) + \ log _2 \ left (x + \ frac (1) (x ^ 2) \ right) \ leq 2 \ log _2 \ left (\ frac (x ^ 2 + x) (2) \ prawy) \).
• 1. \ (\ lewo [\ frac (-5+ \ sqrt (41)) (8); \ frac (1) (2) \ prawo) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _3 (1-2x) - \ log _3 \ left (\ frac (1) (x) -2 \ right) \ leq \ log _3 (4x ^ 2 + 6x-1) \).
• 1. \ (\ po lewej [\ frac (1) (6); \ frac (1) (2) \ po prawej) \) Rozwiąż nierówność \ (2 \ log _2 (1-2x) - \ log _2 \ left (\ frac (1) (x) -2 \ right) \ leq \ log _2 (4x ^ 2 + 6x-1) \) .
• 1. \ ((1; + \ infty) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log _2 (x-1) + \ log _2 \ left (2x + \ frac (4) (x-1) \ right) \ geq \ log _2 \ left (\ frac (3x-1) (2 ) \ po prawej) \).
• 1. \ (\ lewo [\ frac (11 + 3 \ sqrt (17)) (2); + \ infty \ prawo) \) Rozwiąż nierówność \ (\ log_2 (4x ^ 2-1) - \ log_2 x \ leq \ log_2 \ left (5x + \ frac (9) (x) -11 \ right) \).

18 : Równania, nierówności, układy z parametrem

• 1. $$ \ lewo (- \ frac (4) (3); - \ frac (3) (4) \ po prawej) \ puchar \ po lewej (\ frac (3) (4); 1 \ po prawej) \ puchar \ po lewej ( 1; \ frac (4) (3) \ prawy) $$

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) (x + ay-5) (x + ay-5a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 16 \ end (tablica ) \ koniec (matryca) \ prawo. \)

  2. $$ \ left (- \ frac (3 \ sqrt (7)) (7); - \ frac (\ sqrt (7)) (3) \ right) \ cup \ left (\ frac (\ sqrt (7)) (3); 1 \ right) \ cup \ left (1; \ frac (3 \ sqrt (7)) (7) \ right) $$

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) (x + ay-4) (x + ay-4a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 9 \ end (tablica ) \ koniec (matryca) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  3. $$ \ left (- \ frac (3 \ sqrt (5)) (2); - \ frac (2 \ sqrt (5)) (15) \ right) \ cup \ left (\ frac (2 \ sqrt (5 )) (15); 1 \ prawy) \ puchar \ lewy (1; \ frac (3 \ sqrt (5)) (2) \ prawy) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) (x + ay-7) (x + ay-7a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 45 \ end (tablica ) \ koniec (matryca) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  4. $$ \ left (-2 \ sqrt (2); - \ frac (\ sqrt (2)) (4) \ right) \ cup \ left (\ frac (\ sqrt (2)) (4); 1 \ right ) \ kubek \ lewy (1; 2 \ sqrt (2) \ prawy) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) (x + ay-3) (x + ay-3a) = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 8 \ end (tablica ) \ koniec (matryca) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

• 1. $$ (1- \ sqrt (2); 0) \ puchar (0; 1.2) \ puchar (1,2; 3 \ sqrt (2) -3) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2 + 2 (a-3) x-4ay + 5a ^ 2-6a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ end (tablica) \ end (matryca) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  2. $$ (4-3 \ sqrt2; 1- \ frac (2) (\ sqrt5)) \ puchar (1- \ frac (2) (\ sqrt5); 1+ \ frac (2) (\ sqrt5)) \ puchar (\ frac (2) (3) + \ sqrt2; 4 + 3 \ sqrt2) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4ax + 6x- (2a + 2) y + 5a ^ 2-10a + 1 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ koniec (tablica) \ koniec (macierz) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  3. $$ \ left (- \ frac (2+ \ sqrt (2)) (3); -1 \ right) \ cup (-1; -0,6) \ puchar (-0,6; \ sqrt (2) -2) $ $ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4 (a + 1) x-2ay + 5a ^ 2 + 8a + 3 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ koniec (tablica) \ koniec (macierz) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  4. $$ \ lewy (\ frac (2) (9); 2 \ prawy) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-4 (a + 1) x-2ay + 5a ^ 2-8a + 4 = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ koniec (tablica) \ koniec (macierz) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  5. $$ \ left (3- \ sqrt2; \ frac (8) (5) \ right) \ cup \ left (\ frac (8) (5); 2 \ right) \ cup \ left (2; \ frac (3 + \ sqrt2) (2) \ po prawej) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-6 (a-2) x-2ay + 10a ^ 2 + 32-36a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ koniec (tablica) \ koniec (macierz) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  6. $$ (1- \ sqrt2; 0) \ kubek (0; 0,8) \ kubek (0,8; 2 \ sqrt2-2) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 2 + y ^ 2-2 (a-4) x-6ay + 10a ^ 2-8a = 0 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ end (tablica) \ end (matryca) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

• 1. $$ (2; 4) \ kubek (6; + \ infty) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 4-y ^ 4 = 10a-24 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = a \ end (tablica) \ end (macierz ) \ Prawidłowy. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  2. $$ (2; 6-2 \ sqrt (2)) \ filiżanka (6 + 2 \ sqrt (2); + \ infty) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 4-y ^ 4 = 12a-28 \\ x ^ 2 + y ^ 2 = a \ end (tablica) \ end (macierz ) \ Prawidłowy. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

• 1. $$ \ left (- \ frac (3) (14) (\ sqrt2-4); \ frac (3) (5) \ right] \ cup \ left [1; \ frac (3) (14) (\ sqrt2 +4) \ prawo) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 4a-3 | \ end (tablica) \ end (matryca) \ po prawej. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  2. $$ (4-2 \ sqrt (2); \ frac (4) (3)) \ cup (4; 4 + 2 \ sqrt (2)) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 2a-4 | \ end (tablica) \ end (matryca) \ po prawej. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  3. $$ (5- \ sqrt (2); 4) \ cup (4; 5+ \ sqrt (2)) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = 2a-7 \\ x ^ 2 + y = | a-3 | \ end (tablica) \ end (matryca) \ po prawej. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  4. $$ \ left (\ frac (1) (7) (4- \ sqrt2); \ frac (2) (5) \ right) \ cup \ left (\ frac (2) (5); \ frac (1) (2) \ right) \ cup \ left (\ frac (1) (2); \ frac (1) (7) (\ sqrt2 + 4) \ right) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) x ^ 4 + y ^ 2 = a ^ 2 \\ x ^ 2 + y = | 4a-2 | \ end (tablica) \ end (matryca) \ po prawej. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

• 1. $$ \ left (\ frac (-2- \ sqrt (2)) (3); -1 \ right) \ cup (-1; -0,6) \ puchar (-0,6; \ sqrt (2) -2) $ $ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) (x- (2a + 2)) ^ 2+ (ya) ^ 2 = 1 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ end ( tablica) \ koniec (macierz) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  2. $$ (1- \ sqrt (2); 0) \ puchar (0; 1.2) \ puchar (1,2; 3 \ sqrt (2) -3) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) (x- (3-a)) ^ 2+ (y-2a) ^ 2 = 9 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ koniec (tablica) \ koniec (macierz) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

• 1. $$ (- 9,25; -3) \ kubek (-3; 3) \ kubek (3; 9,25) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) y = (a + 3) x ^ 2 + 2ax + a-3 \\ x ^ 2 = y ^ 2 \ end (tablica) \ koniec (matryca) \ prawy. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  2. $$ (- 4,25; -2) \ kubek (-2; 2) \ kubek (2; 4,25) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) y = (a + 2) x ^ 2-2ax + a-2 \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ end (tablica) \ koniec (matryca) \ prawy. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

  3. $$ (- 4,25; -2) \ kubek (-2; 2) \ kubek (2; 4,25) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) y = (a-2) x ^ 2-2ax-2 + a \\ y ^ 2 = x ^ 2 \ end (tablica) \ koniec (matryca) \ prawy. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

• 1. $$ (- \ infty; -3) \ kubek (-3; 0) \ kubek (3; \ frac (25) (8)) $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z których system

     \ (\ left \ (\ begin (macierz) \ begin (tablica) (lcl) ax ^ 2 + ay ^ 2- (2a-5) x + 2ay + 1 = 0 \\ x ^ 2 + y = xy + x \ koniec (tablica) \ koniec (macierz) \ prawo. \)

     Równanie ma dokładnie cztery różne rozwiązania.

• 1. $$ \ lewo [0; \ frac (2) (3) \ prawy] $$ Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których równanie

     \ (\ sqrt (x + 2a-1) + \ sqrt (x-a) = 1 \)

     Ma co najmniej jedno rozwiązanie.

19 : Liczby i ich właściwości

DZIĘKI

Projektowanie

1. „Jagubow.RF” [Nauczyciele]
2. „Jagubow.RF” [Matematyka]

W zadaniu numer 7 profilu poziom egzaminu w matematyce konieczne jest wykazanie się znajomością funkcji pochodnej i pierwotnej. W większości przypadków wystarczy samo zdefiniowanie pojęć i zrozumienie znaczenia pochodnej.

Analiza typowych wariantów dla zadania nr 7 USE w matematyce na poziomie profilu

Pierwszy wariant zadania (wersja demo 2018)

Rysunek przedstawia wykres funkcji różniczkowalnej y = f (x). Na odciętej zaznaczono dziewięć punktów: x 1, x 2,…, x 9. Wśród tych punktów znajdź wszystkie punkty, w których pochodna funkcji y = f (x) jest ujemna. W odpowiedzi podaj liczbę znalezionych punktów.

Algorytm rozwiązania:

1. Rozważ wykres funkcji.
2. Szukamy punktów, w których funkcja maleje.
3. Liczymy ich liczbę.
4. Zapisujemy odpowiedź.

Rozwiązanie:

1. Na wykresie funkcja okresowo wzrasta, okresowo maleje.

2. U tych intelektualistów, w których funkcja maleje, pochodna ma wartości ujemne.

3. Te przedziały zawierają punkty x 3 , x 4 , x 5 , x dziewięć . Są 4 takie punkty.

Drugi wariant zadania (z Yashchenko, nr 4)

Algorytm rozwiązania:

1. Rozważ wykres funkcji.
2. Rozważ zachowanie funkcji w każdym z punktów i znak pochodnej w nich.
3. Znajdź punkty w największa wartość pochodna.
4. Zapisujemy odpowiedź.

Rozwiązanie:

1. Funkcja ma kilka przedziałów zmniejszania i zwiększania.

2. Gdzie funkcja maleje. Pochodna ma znak minus. Wśród wskazanych są takie punkty. Ale na wykresie są punkty, w których funkcja wzrasta. W nich pochodna jest dodatnia. Są to punkty z odciętymi -2 i 2.

3. Rozważ wykres w punktach z x = -2 i x = 2. W punkcie x = 2 funkcja rośnie bardziej stromo, co oznacza, że ​​styczna w tym punkcie ma większe nachylenie. Dlatego w punkcie z odciętą 2. Pochodna ma największą wartość.

Trzeci wariant zadania (z Yashchenko, nr 21)

Algorytm rozwiązania:

1. Zrównajmy równania stycznej i funkcji.
2. Upraszczamy powstałą równość.
3. Znajdujemy wyróżnik.
4. Określ parametr a, w którym rozwiązanie jest wyjątkowe.
5. Zapisujemy odpowiedź.

Rozwiązanie:

1. Współrzędne punktu stycznego spełniają oba równania: styczna i funkcja. Dlatego możemy zrównać równania. Otrzymamy.

Program egzaminu, podobnie jak w latach poprzednich, składa się z materiałów z podstawowych dyscyplin matematycznych. Bilety będą zawierały zadania matematyczne, geometryczne i algebraiczne.

Nie ma zmian w KIM USE 2020 w matematyce na poziomie profilu.

Cechy zadań egzaminacyjnych z matematyki-2020

• Przygotowując się do egzaminu z matematyki (profil), zwróć uwagę na podstawowe wymagania programu egzaminacyjnego. Ma na celu sprawdzenie znajomości szczegółowego programu: modeli wektorowych i matematycznych, funkcji i logarytmów, równań algebraicznych i nierówności.
• Przećwicz rozwiązywanie zadań osobno.
• Ważne jest pokazanie niestandardowego myślenia.

Struktura egzaminu

Zadania UŻYJ profilu matematyka podzielony na dwa bloki.

1. Część - krótkie odpowiedzi, zawiera 8 zadań sprawdzających podstawowe przygotowanie matematyczne oraz umiejętność zastosowania wiedzy matematycznej w życiu codziennym.
2. Część - krótki i szczegółowe odpowiedzi... Składa się z 11 zadań, z których 4 wymagają krótkiej odpowiedzi, a 7 - rozbudowanych o uzasadnienie wykonywanych czynności.

• Zwiększona złożoność- zadania 9-17 z drugiej części KIM.
• Wysoki poziom trudności- problemy 18-19 -. Ta część zadań egzaminacyjnych sprawdza nie tylko poziom wiedzy matematycznej, ale także obecność lub brak kreatywnego podejścia do rozwiązywania suchych zadań „cyfrowych”, a także skuteczność umiejętności wykorzystania wiedzy i umiejętności jako profesjonalnego narzędzia .

Ważny! Dlatego przygotowując się do egzaminu, zawsze wzmacniaj teorię w matematyce, rozwiązując praktyczne problemy.

Jak zostaną rozdzielone punkty?

Zadania pierwszej części KIMs w matematyce są bliskie testy egzaminacyjne Poziom podstawowy, dlatego wysoki wynik nie można na nich zadzwonić.

Punkty za każde zadanie z matematyki na poziomie profilu zostały rozdzielone w następujący sposób:

• za poprawne odpowiedzi na zadania nr 1-12 - po 1 punkcie;
• nr 13-15 - po 2;
• nr 16-17 - po 3;
• nr 18-19 - po 4 szt.

Czas trwania egzaminu i zasady postępowania na egzaminie

Aby ukończyć pracę egzaminacyjną -2020 przydzielony student 3 godziny 55 minut(235 minut).

W tym czasie uczeń nie powinien:

• zachowywać się głośno;
• używać gadżetów i innych środków technicznych;
• odpisać;
• próbując pomóc innym lub prosząc o pomoc dla siebie.

Za takie działania egzaminator może zostać wydalony z widowni.

Na Egzamin państwowy matematyka wolno przynieść mając tylko linijkę, resztę materiałów otrzymasz bezpośrednio przed egzaminem. wydawane lokalnie.

Skuteczne przygotowanie jest rozwiązaniem testy online w matematyce 2020. Wybierz i uzyskaj maksymalny wynik!

Przedstawiam rozwiązanie 7. zadania OGE-2016 w informatyce z projektu demo. W porównaniu z demo 2015 zadanie 7 nie uległo zmianie. Jest to zadanie dotyczące umiejętności kodowania i dekodowania informacji (Kodowanie i dekodowanie informacji). Odpowiedź na zadanie 7 to ciąg liter, które należy wpisać w polu odpowiedzi.

Zrzut ekranu 7 zadania.

Ćwiczenie:

Zwiadowca przesłał do sztabu radiogram
– – – – – – – –
Ten radiogram zawiera ciąg liter, w którym znajdują się tylko litery A, D, ZH, L, T. Każda litera jest zakodowana za pomocą kodu Morse'a. Pomiędzy kodami liter nie ma separatorów. W odpowiedzi zapisz przesłaną sekwencję liter.
Wymagany fragment kodu Morse'a pokazano poniżej.

Odpowiedź: __

To zadanie najlepiej wykonać sekwencyjnie, zamykając każdy możliwy kod.
1. (-) - - - - - - -, dwie pierwsze pozycje mogą być tylko literą A
2.
a) (-) (-) - - - - - -, kolejne trzy pozycje mogą być literą D
b) (-) (-) - - - - - -, lub jedną pozycją jest litera L, ale jeśli przyjmiemy następującą kombinację (-) (-) (-) - - - - -, (litera T) to nie wybieramy już możemy (po prostu nie ma takich kombinacji zaczynających się od dwóch kropek), a więc. jesteśmy w impasie i dochodzimy do wniosku, że ta droga jest zła
3. Powrót do opcji a)
(-) (-) (-) - - - - -, to jest litera Ж
4. (-) (-) (-) (-) - - - -, to jest litera L
5. (-) (-) (-) (-) (-) - - -, to jest litera D
6. (-) (-) (-) (-) (-) (-) - -, a to jest litera L
7. (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) -, litera A
8. (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) litera L
9. Zbieramy wszystkie listy, które otrzymaliśmy: AJLDLAL.

Odpowiedź: AJLDLAL

Średnia ogólne wykształcenie

Linia UMK G.K. Muravina. Algebra i początki analizy matematycznej (10-11) (pogłębione)

Linia UMK Merzlak. Algebra i początki analizy (10-11) (U)

Matematyka

Przygotowanie do egzaminu z matematyki ( poziom profilu): zadania, rozwiązania i wyjaśnienia

Papier egzaminacyjny poziom profilu trwa 3 godziny 55 minut (235 minut).

Minimalny próg- 27 punktów.

Praca egzaminacyjna składa się z dwóch części, różniących się treścią, złożonością i ilością zadań.

Cechą charakterystyczną każdej części pracy jest forma zadań:

• część 1 zawiera 8 zadań (zadania 1-8) z krótką odpowiedzią w postaci liczby całkowitej lub ostatniego ułamka dziesiętnego;
• Część 2 zawiera 4 zadania (zadania 9-12) z krótką odpowiedzią w postaci liczby całkowitej lub ostatniego ułamka dziesiętnego oraz 7 zadań (zadania 13-19) z odpowiedzią szczegółową (pełny zapis rozwiązania z uzasadnieniem działań wykonywane).

Panova Swietłana Anatolijewna, nauczyciel matematyki najwyższej kategorii szkoły, staż pracy 20 lat:

„Aby otrzymać świadectwo ukończenia szkoły, absolwent musi zdać dwa obowiązkowe egzaminy w UŻYJ formularza jednym z nich jest matematyka. Zgodnie z Koncepcją Rozwoju Kształcenia Matematycznego w Federacja Rosyjska Egzamin z matematyki podzielony jest na dwa poziomy: podstawowy i specjalistyczny. Dzisiaj rozważymy opcje poziomu profilu ”.

Zadanie numer 1- sprawdza umiejętność zastosowania przez uczestników USE umiejętności nabytych w klasach 5-9 z matematyki podstawowej, w zajęcia praktyczne... Uczestnik musi posiadać umiejętności obliczeniowe, umieć pracować z liczbami wymiernymi, umieć zaokrąglać ułamki dziesiętne, być w stanie przekonwertować jedną jednostkę miary na inną.

Przykład 1. W mieszkaniu, w którym mieszka Piotr, zainstalowano licznik wydatków zimna woda(licznik). 1 maja licznik wykazał zużycie 172 metrów sześciennych. m wody, a 1 czerwca - 177 metrów sześciennych. m. Ile Piotr powinien zapłacić za zimną wodę w maju, jeśli cena 1 metr sześcienny. m zimnej wody to 34 ruble 17 kopiejek? Podaj odpowiedź w rublach.

Rozwiązanie:

1) Znajdź ilość zużytej wody w miesiącu:

177 - 172 = 5 (metry sześcienne)

2) Sprawdźmy, ile pieniędzy zostanie zapłacona za zużytą wodę:

34,17 5 = 170,85 (pocierać)

Odpowiedź: 170,85.

Zadanie numer 2-jest jednym z najprostszych zadań egzaminacyjnych. Większość absolwentów z powodzeniem sobie z tym radzi, co świadczy o posiadaniu definicji pojęcia funkcji. Rodzaj zadania nr 2 według kodyfikatora wymagań to zadanie dotyczące wykorzystania nabytej wiedzy i umiejętności w działaniach praktycznych oraz Życie codzienne... Zadanie nr 2 składa się z opisu za pomocą funkcji różnych rzeczywistych zależności między wielkościami oraz interpretacji ich wykresów. Zadanie nr 2 sprawdza umiejętność wydobywania informacji przedstawionych w tabelach, diagramach, wykresach. Absolwenci muszą umieć określić wartość funkcji na podstawie wartości argumentu, gdy różne sposoby przypisanie funkcji oraz opisanie zachowania i właściwości funkcji zgodnie z jej harmonogramem. Niezbędna jest również umiejętność odnalezienia największego lub najmniejsza wartość i budować wykresy wyuczonych funkcji. Popełnione błędy są przypadkowe podczas czytania opisu problemu, czytania diagramu.

# ADVERTISING_INSERT #

Przykład 2. Rysunek przedstawia zmianę wartości wymiany jednej akcji spółki górniczej w pierwszej połowie kwietnia 2017 r. 7 kwietnia przedsiębiorca nabył 1000 akcji tej firmy. 10 kwietnia sprzedał trzy czwarte zakupionych akcji, a 13 kwietnia całą resztę. Ile biznesmen stracił w wyniku tych operacji?

Rozwiązanie:

2) 1000 3/4 = 750 (akcji) - stanowią 3/4 wszystkich zakupionych akcji.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubli) - biznesmen otrzymał 1000 akcji po sprzedaży.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (rubli) - biznesmen stracił w wyniku wszystkich operacji.