Wywołana jest normalna forma normalnej funkcji logicznej. Spójne formy funkcji logicznych

Równina spójnik nazywa spójnik jeden lub kilka zmienne, dla to jest każdy zmienna spotykać się nie jeszcze jeden czasy (lub samo, lub jej negacja).

Na przykład jest prostym koniunkcją,

Diański normalna formularz (DNF) nazywa dysjunkcja prosty koniunkcje.

Na przykład wyrażenie jest DNF.

Idealny diański normalna formularz (SDNF) nazywa taki diański normalna formularz, w. który w kAŻDY spójnik wchodzić wszystko zmienne to lista (lub my sami, lub im odmowa), co więcej w jeden i tomek podobniezamówienie.

Na przykład wyrażenie jest DNF, ale nie SDNF. Wyrażenie jest CDNF.

Podobne definicje (z wymianą koniunkcji do rozłączenia i odwrotnie) są prawdziwe dla PFF i SCPF. Dajemy dokładne sformułowanie.

Równina dysjunkcja nazywa dysjunkcja jeden lub kilka zmienne, dla to jest każdy zmienna w zestawie nie jeszcze jeden czasy (lub samo, lub jej negacja). Na przykład wyrażenie jest proste rozpraszanie,

Łączący normalna formularz (KNF) nazywa spójnik prosty dysjunkcje (Na przykład wyrażenie - PFF).

Doskonały spójność normalna forma (SCPF) nazywana jest takimi QFF, w którym każda prosta dysejcja obejmuje wszystkie zmienne tej listy (same same lub ich zaprzeczenie) iw ten sam sposób.

Na przykład wyrażenie to skpf.

Przedstawiamy algorytmy przejścia z jednej formy do drugiej. Oczywiście, w szczególnych przypadkach (z pewnym kreatywnym podejściem), stosowanie algorytmów jest bardziej czasochłonne niż proste przemiany, które używają określonego typu tego formularza:

a) przejście od DNF do KNF

Algorytm tego przejścia jest następujący: Umieść DNF dwóch odmów i za pomocą reguł De Morgan (nie dotykającym górnym zaprzeczeniem) nadaj ponownie DNF DNF. Jednocześnie konieczne jest ujawnienie wsporników za pomocą reguły absorpcji (lub reguł Blake). Zaprzeczenie uzyskanego DNF (ponownie zgodnie z zasadą de Morgan) natychmiast daje nam CNF:

Należy pamiętać, że CNF można uzyskać z początkowej ekspresji, jeśli to zrobisz w. na wsporniki;

b) przejście od KNF do DNF

Przejście to jest wykonywane przez proste ujawnienie wsporników (znowu, stosuje się regułę absorpcji)

Tak więc otrzymali DNF.

Odwrotne przejście (z SDNF do DNF) jest związane z problemem minimalizacji DNF. Zostanie to powiedziane w sekcji. 5, pokażemy, jak uprościć DNF (lub SDNF) zgodnie z regułą Blake'a. Taki DNF jest nazywany skrócony Dnf;

c) Redukcja DNF (lub SDNF) reguła Blake.

Zastosowanie tej zasady składa się z dwóch części:

Jeśli istnieją podstawy wśród rozłącznych terminów w DNF , a następnie dodaj koncepcję do wszystkich rozłączenia DO 1 DO 2. Robimy tę operację kilka razy (może być kolejno, można jednocześnie) dla wszystkich możliwych pary terminów, a następnie stosować zwykłą absorpcję;

Jeśli termin dodany już był już przechowywany w DNF, można go odrzucić, na przykład, na przykład,

lub

Oczywiście skrócony DNF nie jest określony przez podeszwy, ale wszystkie zawierają taką samą liczbę liter (na przykład, istnieje DNF Po zastosowaniu do niego reguły Blake'a można dotrzeć do DNF, odpowiednikiem tego):

c) Przejście z DNF do SDNF

Jeśli w niektórych prostej koniunkcji brakuje na przykład zmiennej z., Włóż do niego wyrażenie, po czym ujawniamy wsporniki (z cyklicznych warunków rozłącznych nie piszą). Na przykład:

d) Przejście z KNF do SKFF

Przejście to prowadzi się w sposób podobny do poprzedniego: jeśli nie ma wystarczającej ilości zmiennej w prostej dysjencji (na przykład, z., Dodam do niego wyrażenie (nie zmienia się tym rozłączenia), po czym ujawniamy wsporniki przy użyciu prawa dystrybucyjnego):

W ten sposób SKFF został uzyskany z PFF.

Zauważ, że minimalny lub skrócony PFF jest zwykle uzyskiwany z odpowiedniego DNF.

Normalne formy funkcji logicznych Reprezentacja funkcji mleka w postaci rozłączenia koniunkcyjnego składnika jednostki KI 2.7 nazywana jest niepostępną normalną formą DNF tej funkcji. Zawiera dokładnie jeden z wszystkich zmiennych logicznych pobranych za pomocą zaprzeczeń lub bez nich, ta forma reprezentacji funkcji nazywana jest doskonałą niepokojącą normalną formą SDNF tej funkcji. Jak widać w przygotowaniu funkcji SDNF, konieczne jest wykręcenie wszystkich minermanów, w których funkcja ma wartość 1.

Jeśli ta praca nie pojawia się na dole strony, znajduje się lista podobnych dzieł. Możesz także użyć przycisku wyszukiwania.

Wykład 1.xx.

Normalne formy funkcji logicznych

Reprezentacja funkcji Boolean w formie rozłączenia warunków koniunkcyjnych (składnik jednostek)K I.

, (2.7)

nazywa rozłączny normalny formularz (DNF) tej funkcji.

Jeśli wszystkie terminy koniunkcyjne są w DNFminerka , tj. Zawierać dokładnie jedną z jednej z wszystkich zmiennych logicznych pobranych z lub bez zaprzeczania, wówczas taka forma reprezentacji funkcji jest nazywanaidealna rozłączna normalna forma (SDNF. ) Ta funkcja. SDNF jest nazywanyidealny Ponieważ każda kadencja w dysjence obejmuje wszystkie zmienne;diański Ponieważ główna operacja w formule jest rozczarowa. Koncepcja "normalna forma"Oznacza jednoznaczną metodę nagrywania formuły, która implementuje określoną funkcję.

Biorąc pod uwagę powyższe, następujący twierdzenie wynika z twierdzenia 2.1.

Twierdzenie 2. Dowolna funkcja boolowska(nie równy identycznie 0) można zaprezentować w SDNF, .

Przykład 3. Niech mamy funkcję określoną tabeląf (x 1, x 2, x 3) (tabela 10).

Tabela 10.

Na podstawie formuły (2.6) otrzymujemy:

Jak widać, gdy skompilowane przez SDNF funkcje muszą być rozłączone wszystkich MinerMs, w których funkcja ma wartość 1.

Reprezentacja funkcji mleka w postaci koniunkcji terminów rozłącznych (składnik zerowy)D I.

, (2.8)

nazywa spójnik normalny formularz (Pff) tej funkcji.

Jeśli wszystkie rozłączne warunki PFF sąmastermami. , tj. Zawierać dokładnie jeden logiczny funkcja zmiennejZrobione z odmówami lub bez nich, wtedy taki CNF jest nazywanydoskonała normalna forma spójności (SKFF) tej funkcji.

Twierdzenie 3. Dowolna funkcja boolowska(nie równy identycznie 1) można zaprezentować w SKFF, A taka reprezentacja jest jedyna.

Dowód twierdzenia można przeprowadzić podobnie jak dowód twierdzenia 2.1 na podstawie następującego lematu Shannon na rozkładzie spójności.

Lemma Shannon. . Dowolna funkcja boolowskaf (x 1, x 2, ..., x m) z m Zmienne mogą być reprezentowane:

. (2.9)

Należy zauważyć, że obie formy reprezentujących funkcji logicznej (DNF i PFF) są teoretycznie równe w swoich możliwościach: dowolna formuła logiczna może być reprezentowana zarówno w DNF (z wyjątkiem identycznych zero), jak iw KNF (z wyjątkiem identyczna jednostka). W zależności od sytuacji, reprezentacja funkcji w jednej formie lub innej może być krótsza.

W praktyce najczęściej używany jest DNF., Ponieważ formularz ten jest bardziej znany dla osoby: od dzieciństwa, znany jest wkładanie prac niż pomnożyć kwoty (w ostatni sprawa Intuicyjnie wydaje się pragnienie ujawnienia wsporników i przejść przez DNF).

Przykład 4. Dla funkcji F (x 1, x 2, x 3 ) określona tabela. 10, napisz jego SCFF.

W przeciwieństwie do SDNF, podczas kompilacji SKFF w tabeli prawdy, musisz obejrzeć kombinacje zmiennych, w których funkcja zajmuje wartość 0 i dokonać połączenia odpowiednich macstersms,ale zmienne muszą być pobierane z odwrotną inwersją:

Należy zauważyć, że nie można poruszać się bezpośrednio z SDNF do SCBF lub Vice Versa. Gdy próbujesz wypróbować takie transformacje, uzyskuje się funkcje odwrotne do pożądanego. Wyrażenia dla funkcji SDNF i SCFF można uzyskać tylko z tabeli prawdy.

Przykład 5. Dla funkcji F (x 1, x 2, x 3 ) określona tabela. 10, spróbuj przeprowadzić się z SDNF do SKFF.

Korzystając z wyniku z przykładu 2.3 otrzymamy:

Jak widać, w ramach całkowitej inwersji uzyskano SCH z funkcji logicznej, która jest odwrotna w odniesieniu do funkcji uzyskanej w Przykładzie 2.4:

od tego czasu zawiera wszystkie mastermy, które nie są w wyrażeniu do SCH w danej funkcji.

1. Korzystając z właściwości operacji (patrz tabela 9) tożsamość (), suma modułu 2 (), implikacja (), przejdź do operacji i, a nie (w bulla).

2. Korzystając z właściwości odmawiania i prawa de Morgan (patrz Tabela 9) Osiągamy operacje zaprzeczające tylko do oddzielnych zmiennych, a nie do całego wyrażeń.

3. Korzystanie z właściwości operacji logicznych i lub (patrz tabela 9), otrzymujemy normalny formularz (DNF lub PFF).

4. W razie potrzeby przejdź do doskonałych formularzy (SDNF lub SCPF). Na przykład, aby uzyskać SCPF, często konieczne jest użycie obiektu :.

Przykład 6. Konwertuj funkcję logiczną do SKFF

Wykonywanie w kolejności kroków powyżej algorytmu podanym powyżej, otrzymujemy:

Korzystając z właściwości absorpcji, otrzymujemy:

Więc mamy funkcję PFFf (x 1, x 2, x 3 ). Aby zdobyć SKKF, potrzebujesz każdej dysjencji, która nie ma żadnej zmiennej, powtórz dwukrotnie - z tą zmienną i jej zaprzeczeniem:

2.2.6. Minimalizacja funkcji logicznych

Ponieważ ta sama funkcja logika może być reprezentowana przezz. osobiste formuły, a następnie znajdując najprostszy phor. muły, które definiują funkcję boolowską, upraszcza schemat logiczny, który implementuje zabawę boolowskąwspólny Minimalna forma L.o funkcja Ghee. W pewnym stopniu można go uznać, że zawiera minimalną liczbę superpozycji zabawydo podstawa, pozwalająca i wsporniki. Jednak trudno jest zbudować skutecznel. gorite taka minimalizacja, aby uzyskać minimalną klamręr.

Rozważmy prostszy problem minimalizacji w syntezie obwodów kombinowanych, w którym przeszukiwany jest minimalna forma wspornika funkcji i jego minimalna DNF. W tym zadaniu są proste skuteczne algorytmy.

Metoda QWAI.

Minimalizowana funkcja jest prezentowana w SDNF, a do niego zastosowano wszystkie możliwe niepełne operacje klejenie.

, (2.10)

a potem absorpcja

, (2.11)

a ta para kroków jest używana wielokrotnie. W ten sposób można zmniejszyć rangę. Procedura ta jest powtarzana, aż nie pojedynczy termin umożliwiający klejenie z żadnym innym termicznym.

Zauważ, że lewa część Równania (2.10) można natychmiast zminimalizować prostsze i oczywiste sposoby:

Ta metoda jest w tym zła, z taką bezpośrednią minimalizacją, terminami koniunkcyjnymi lub znikają, chociaż nadal istnieją przypadki ich stosowania do klejenia i absorbowania z pozostałymi rzędami.

Należy zauważyć, że metoda Kwain jest dość czasochłonna, dlatego prawdopodobieństwo założenia błędów podczas transformacji jest dość duże. Jego zaletą jest to, że teoretycznie można go wykorzystać do dowolnej liczby argumentów i ze wzrostem liczby zmiennych, transformacje nie są tak bardzo skomplikowane.

Karta metody Carno.

Metoda kart (tabele) Carno jest bardziej wizualnym, mniejszym czasochłonnym i niezawodnym sposobem zminimalizowania funkcji logicznych, ale jego zastosowanie jest praktycznie ograniczone do funkcji 3-4 zmiennych, maksimum - 5-6 zmiennych.

Mapa Carno. - Jest to dwuwymiarowa tabelowa forma tabeli prezentacji prawdy funkcji mleka, umożliwiająca formularz graficznie wizualny, aby łatwo znaleźć minimalny DNF funkcji logicznych. Każda komórka stołu jest porównywana z minermem SDNF z zminimalizowanej funkcji, a tak, że w jakichkolwiek osiach symetrii stołu odpowiada strefach, wzajemnie odwrotnie dla dowolnej zmiennej. Ta lokalizacja komórki w tabeli ułatwia określenie klejenia CDNF (charakteryzujące się znakiem inwersji tylko jedną zmienną): znajdują się w tabeli symetrycznie.

Tabele tridowe i karta Carno dla funkcji i lub dwóchmI. zmiany są prezentowane na FIG. 8. W każdej klatce karty jest rejestrowaneale funkcja na odpowiednim zestawie wartości arguumn Tov.

A) i b) lub

Figa. osiem. Przykładowa mapa Carno dla funkcji dwóch zmiennych

Na mapie mapy dla funkcji i tylko jednego 1, więc nie może być z niczym klejona. Wyrażenie dla minimalnej funkcji będzie tylko termin odpowiadający temu 1:

f \u003d x y.

Mapa Carnot dla funkcji lub już trzy 1 i możesz wykonać dwie pary wiązania, z 1 odpowiadającym ichxY. , Używane dwa razy. W wyrażeniu funkcji minimalnej należy zapisać warunki do klejonej pary, pozostawiając w nich wszystkie zmienne, które dla tej pary nie zmieniają się i usuń zmienne, które zmieniają ich wartość. Dla poziomego klejenia dostajemyx. i dla pionów -y. , w końcu otrzymujemy wyrażenie

f \u003d x + y.

Na rys. 9 przedstawia stoły prawdy dwóch funkcji trzech zmiennych (ale ) i ich karty Carno (b i c). Funkcja F 2. Różni się od pierwszego faktu, że nie jest zdefiniowany na trzech zestawach zmiennych (w tabeli jest wskazany przez przestój).

Przy określaniu minimalnej funkcji DNF stosuje się następujące zasady. Wszystkie komórki zawierające 1 są łączone w zamknięte obszary prostokątnek -Kubami, gdzie k \u003d dziennik 2 k, k - Numer 1 w prostokątnym obszarze. W tym samym czasie każdy region powinien być prostokąt z liczbą komórek 2k, gdzie k \u003d 0, 1, 2, 3, .... Dla k \u003d. 1 powołany prostokątjeden sześcienny i zawiera 2 1 \u003d 2 jednostki; Dla k \u003d. 2 prostokąt zawiera 22 \u003d 4 jednostki i zwanedwa sześcienne; w K \u003d 3 regionie 2 3 \u003d 8 jednostek zwanychtrzy sześciennik ; Itd. Jednostki, których nie można łączyć w prostokąty, możesz zadzwonićzero-kostki które zawierają tylko jedną jednostkę (20 \u003d 1). Jak widać, kiedyk. Obszary mogą mieć kwadratowy kształt (ale niekoniecznie) i z dziwnymik. - Tylko prostokąty.

Figa. dziewięć. Przykładowa mapa Carno dla trzech funkcji zmiennych

Obszary te mogą się przecinać, tj. Te same komórki mogą wejść różne obszary. Następnie minimalna funkcja DNF jest rejestrowana jako rozłączenie wszystkich kamizelków spójnych odpowiadającychk - kostki.

Każdy z określonych obszarów na mapie Carno jest prezentowany w minimalnej konkuble DNF, liczbie argumentów, w którychk. mniej niż całkowita liczba argumentów funkcjim. , tj. Ta liczba jest równam - K. . Każda koniunkcja minimalnego DNF jest kompilowana wyłącznie z tych argumentów, które mają wartości dla odpowiedniego obszaru mapy bez inwersji, albo tylko z inwersją, tj. Nie zmieniaj ich wartości.

Tak więc, przy zakrywaniu komórek mapy, zamknięte regiony powinny dążyć do zapewnienia, że \u200b\u200bliczba obszarów jest minimalna, a każdy obszar zawiera większą liczbę komórek, ponieważ będzie to minimalna liczba członków w minimalnym DNF i liczbie argumentów w odpowiedniej konkurencji będzie minimalne.

Dla funkcji na mapie Carno na FIG. dziewięć,b znalezienie

ponieważ dla górnych zmiennych obszaru zamkniętegox 1 i x 2 materia bez inwersji na niższyx 1. Ma znaczenie z inwersją ix 3 - Bez inwersji.

Nieuzasadnione wartości na mapie na rys. dziewięć,w Możesz zatwierdzić, zastępując zero lub jednostkę. Dla tej funkcji jasne jest, że oba niepewne wartości są bardziej opłacalne w celu wymiany 1. W tym samym czasie utworzono dwa obszary, które są różne gatunki 2-kostki. Następnie wyrażenie dla minimalnej funkcji DNF będzie następujące:

Podczas konstruowania zamkniętych obszarów karta składana Carno w cylindrze jest dozwolona zarówno poziome, jak ir. tikalowe osie ze stowarzyszeniem przeciwnych twarzyr. ty, tj. Jednostki znajdujące się na krawędziach mapy Carno SymetriidO. ale można również łączyć.

Karty karnacji mogą rysować na różne sposoby (rys. 10).

a B.

Figa. 10. Różne sposoby obrazu karty Carno
W przypadku zmiennych funkcji 3

Ale najwygodniejsze warianty kart Carno do funkcji 2-4 zmienne są pokazane na FIG. 11 tabele, ponieważ w nich dla każdego pokazu komórkiale wszystkie zmienne w formie bezpośredniej lub odwrotnej.

a B.

Figa. jedenaście. Najwygodniejszy obraz kart Carno
Dla funkcji 3 (a) i 4 (b) zmienne

W przypadku funkcji 5 i 6 zmiennych metoda pokazana na FIG. 10,w .

Figa. 12. Karta obrazów Carno dla funkcji 5 zmiennych

Figa. 13. Mapa obrazu Carno dla funkcji 6 zmiennych

Normalna forma formuła logiczna Nie zawiera znaków implikacji, równoważności i zaprzeczenia formuł nieregelementów.

Normalna forma istnieje w dwóch typach:

spójnik normalny formularz (KNF) - Połączenie kilku rozrzutów, na przykład, $ Left (AEE Nadmierna linia (b) Vee C Prawnie) Klin Pojeździe (Aee C Prawy) $;

normalna forma niacjacyjna (DNF) - Rozpylanie kilku spójników, na przykład, $ w lewo (klina Overline (b) klin C Prawnie) Wee Left (B Klub C Prawnie) $.

SKFF.

Doskonała forma normalna spójności (SCPF) - To jest CNF, satysfakcjonujące trzy warunki:

nie zawiera tej samej rozłączenia podstawowego;

żadna z dysji nie zawiera tych samych zmiennych;

każda elementarna dysjencja zawiera każdą zmienną z tych zawartych w tym PFF.

Każda formuła boolowska, która nie jest identycznie prawdziwa, może być reprezentowana w SKFF.

Zasady dotyczące konstruowania ScFF na tabeli prawdy

Dla każdego zestawu zmiennych, w których funkcja wynosi 0, ilość jest rejestrowana, a zmienne, które mają 1 są pobierane z negacją.

Sdnf.

Idealny rozłączny formularz normalny (SDNF) - To jest DNF spełniającego trzy warunki:

nie zawiera tych samych elementów elementarnych;

Żaden z koniunkcji nie zawiera tych samych zmiennych;

każda podstawowa koniunkcja zawiera każdą zmienną od tych, które znajdują się w tym DNF, poza tym w tej samej kolejności.

Każda formuła boolowska, która nie jest identycznie fałszywa, może być reprezentowana w SDNF, oprócz jedynego sposobu.

Zasady budowania SDNF na tabeli prawdy

Dla każdego zestawu zmiennych, w których funkcja jest 1, produkt jest napisany, a zmienne, które mają wartość 0, są pobierane z negacją.

Przykłady znalezienia SCPF i SDNF

Przykład 1.

Zapisz funkcję logiczną według swojej tabeli prawdy:

Obrazek 1.

Decyzja:

Używamy zasady budowania SDNF:

Rysunek 2.

Otrzymamy SDNF:

Używamy zasady budynku SCPF.

Przedstawiamy koncepcję rozłączenia podstawowego.

Elementary Disekracction nazywa się wyrażeniem

KONSUNKIWisty formularz normalny (PFF) funkcji logicznej jest koniunkcją każdego skończonego zestawu par różnych rozdziałów podstawowych. Na przykład funkcje logiczne

reprezentują sprzężenia rozrywek podstawowych. W związku z tym są one rejestrowane w normalnej formie spójności.

Dowolna funkcja logiczna określona przez wyrażenie analityczne można podać PFF, wykonując następujące operacje:

Zastosowanie reguły inwersji, jeśli operacja negacji jest stosowana do logicznego wyrażenia;

Zastosowanie aksjomów dystrybucyjnych dotyczących mnożenia:

Zastosowanie operacji absorpcji:

Wyjątki w rozłączeniu powtarzalnych zmiennych lub ich odmowa;

Usuwanie wszystkich identycznych dysjunkcji podstawowych, z wyjątkiem jednego;

Usunięcie wszystkich dysjunkcji, które jednocześnie wprowadź zmienną i jej zaprzeczenie.

Sprawiedliwość wymienionej operacji wynika z głównych osi i identycznego związku algebry logiki.

Spójność normalna forma nazywana jest idealna, jeśli każda przychodząca elementarna dysjencja zawiera w bezpośredniej lub odwrotnej formie wszystkie zmienne, na których zależy od funkcji.

Transformacja CNF do idealnego CNF przeprowadza się poprzez wykonanie następujących operacji:

Dodanie do każdej podstawowej dysjencji koniunkcji zmiennych i ich odmowa, jeżeli nie są one zawarte w tej podstawowej rozciąganiu;

Stosowanie aksjomów dystrybucyjnych;

Usuwanie wszystkich identycznych dysjunkcji podstawowych, z wyjątkiem jednego.

W doskonałym CNF można przedstawić dowolną funkcję logiczną, z wyjątkiem

identyczny równa jednostka. (). Charakterystyczną cechą idealnego KNF jest to, że reprezentacja logicznej funkcji jest wyjątkowa.

Rozłączenia podstawowe zawarte w doskonałej funkcji PFF nazywane są składnikiem zera. Każdy składnik zera, który jest zawarty w idealnym KNF, zamienia się w zero na podstawie jedynego zestawu zmiennych, który jest zerowym zestawem funkcji. W związku z tym liczba zerowych zestawów funkcji logicznej pokrywa się z liczbą składnika zera zawartego w idealnym PFF.

Funkcja logiki stałej zerowej w Idealnym KNF jest koniunkcja 2nconstituent zero. Sformułujemy zasadę kompilacji funkcji logicznej SCFF na stole dopasowania.

Dla każdego wiersza tabeli korespondencji, w której funkcja jest zerowa, komponuje się elementarne rozłączenia wszystkich zmiennych. Jednocześnie sama zmienna wchodzi do rozłączenia, jeśli jego wartość wynosi zero lub odmowa, jeśli jego wartość jest jedna. Uzyskane dysjunkcje podstawowe są połączone przez znak koniunkcji.

Przykład 3.4.Dla funkcji logicznej z (x), daną tabelą zgodności 2.2, definiujemy doskonałą formę spójności.

W pierwszym rzędzie tabeli, który odpowiada zerowym zestawowi funkcji 000, znajdziemy składnik zera. Wykonując podobne operacje na drugie, trzeciej i piąte linie, definiujemy pożądaną funkcję PFF:

Należy zauważyć, że w przypadku funkcji liczba pojedynczych zestawów przekracza liczbę zestawów zerowych, bardziej kompaktowy jest ich wpis w postaci SCFF i odwrotnie.