MAKALE

"Bir fonksiyonun tam araştırılması ve grafiği".

GİRİŞ

Bir fonksiyonun özelliklerini incelemek ve grafiğini çizmek, türevin en harika uygulamalarından biridir. İşlevi incelemenin bu yolu defalarca dikkatli bir analize tabi tutulmuştur. Bunun ana nedeni, matematiğin uygulamalarında, yeni fenomenleri incelerken ortaya çıkan daha karmaşık fonksiyonlarla uğraşmak zorunda olmasıdır. Matematik tarafından geliştirilen kuralların istisnaları ortaya çıktı, oluşturulan kuralların hiç uygun olmadığı durumlar ortaya çıktı, hiçbir noktada türevi olmayan fonksiyonlar ortaya çıktı.

10-11. sınıflarda cebir dersini ve analizin başlangıcını incelemenin amacı, fonksiyonların sistematik olarak incelenmesi, fonksiyonların incelenmesiyle ilgili genel matematik yöntemlerinin uygulanan değerinin açıklanmasıdır.

Cebir eğitimi sırasında fonksiyonel temsillerin geliştirilmesi ve üst düzeyde analizin başlaması, lise öğrencilerinin fonksiyonların sürekliliği ve süreksizliklerinin görsel bir temsilini elde etmelerine, alanındaki herhangi bir temel fonksiyonun sürekliliği hakkında bilgi edinmelerine yardımcı olur. ​uygulaması, grafiklerini nasıl oluşturacağını ve temel temel işlevler hakkındaki bilgileri nasıl genelleştireceğini ve insan pratiğinde gerçeklik olgusunun incelenmesinde rollerini gerçekleştirmeyi öğrenir.

Fonksiyon Artan ve Azalan

Matematik, fizik ve teknoloji alanından çeşitli problemlerin çözümü, bu fenomene dahil olan değişkenler arasında işlevsel bir ilişkinin kurulmasına yol açar.

Böyle bir işlevsel bağımlılık analitik olarak, yani bir veya daha fazla formül şeklinde ifade edilebiliyorsa, matematiksel analiz yoluyla bunu araştırmak mümkün hale gelir.

Bu, belirli bir değişken değiştiğinde (fonksiyonun arttığı, azaldığı, maksimuma ulaştığı, vb.) bir fonksiyonun davranışını netleştirme olasılığını ifade eder.

Bir fonksiyonun incelenmesine diferansiyel hesabın uygulanması, bir fonksiyonun davranışı ile türevinin özellikleri, öncelikle birinci ve ikinci türevleri arasında var olan çok basit bir bağlantıya dayanır.

Bir fonksiyonun artış veya azalış aralıklarını, yani monotonluk aralıklarını nasıl bulabileceğinizi düşünün. Monoton olarak azalan ve artan bir fonksiyonun tanımına dayanarak, belirli bir fonksiyonun birinci türevinin değerini monotonluğunun doğası ile ilişkilendirmemize izin veren teoremleri formüle edebiliriz.

Teorem 1.1. eğer fonksiyon y = f ( x ) , aralıkta türevlenebilir( a , b ) , bu aralıkta monoton olarak artar, daha sonra herhangi bir noktada
( x ) >0; monoton olarak azalırsa, aralığın herhangi bir noktasında ( x )<0.

Kanıt. fonksiyon olsuny = f ( x ) monoton olarak artar( a , b ) , Bu, herhangi bir yeterince küçük için > 0, aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

f ( x - ) < f ( x ) < f ( x + ) (Şekil 1.1).

Pirinç. 1.1

Sınırı göz önünde bulundurun

.

> 0 ise, o zaman > 0 ise< 0, то

< 0.

Her iki durumda da limit işaretinin altındaki ifade pozitiftir, yani limit pozitiftir, yani, ( x )>0 , kanıtlanacaktı. Teoremin fonksiyonun monoton azalması ile ilgili ikinci kısmı da benzer şekilde ispatlanmıştır.

Teorem 1.2. eğer fonksiyon y = f ( x ) , aralıkta sürekli[ a , b ] ve tüm iç noktalarında türevlenebilir ve ayrıca, ( x ) >0 herkes için x ϵ ( a , b ) , o zaman bu fonksiyon monoton olarak artıyor( a , b ) ; Eğer

( x ) <0 herkes için xϵ ( a , b ), o zaman bu fonksiyon monoton olarak azalır( a , b ) .

Kanıt. Hadi alalım ϵ ( a , b ) ve ϵ ( a , b ) , ve< . Lagrange teoremi ile

( c ) = .

Ancak ( c )>0 ve > 0, yani ( > 0, yani

(. Elde edilen sonuç, kanıtlanması gereken fonksiyonda monoton bir artışı gösterir. Teoremin ikinci kısmı da benzer şekilde ispatlanmıştır.

İşlev uç noktaları

Bir fonksiyonun davranışını incelerken, monotonik artış aralıklarını monotonik azalma aralıklarından ayıran noktalar tarafından özel bir rol oynar.

Tanım 2.1. Nokta fonksiyonun maksimum noktası denir

y = f ( x ) , varsa, keyfi olarak küçük , ( < 0 , а точка minimum nokta denir ( > 0.

Minimum ve maksimum noktaların ortak adı ekstremum noktalarıdır. Parçalı monotonik bir fonksiyon, sonlu bir aralıkta sonlu sayıda bu tür noktalara sahiptir (Şekil 2.1).

Pirinç. 2.1

Teorem 2.1 (bir ekstremumun varlığı için gerekli koşul). Aralıkta türevlenebilirse( a , b ) fonksiyon noktada vardır bu aralıktan maksimum, bu noktada türevi sıfıra eşittir. Aynı şey minimum puan için de söylenebilir. .

Bu teoremin kanıtı, minimum veya maksimum noktalarında gösterildiği Rolle teoreminden gelir. = 0 ve bu noktalarda fonksiyonun grafiğine çizilen tanjant eksene paraleldir.ÖKÜZ .

Teorem 2.1, fonksiyonuny = f ( x ) tüm noktalarda türevi vardır, o zaman bu noktalarda bir ekstremuma ulaşabilir. = 0.

Ancak, belirtilen koşulun sağlandığı fonksiyonlar olduğu için bu koşul yeterli değildir, ancak ekstremum yoktur. Örneğin, işlevy= noktada x = 0 türev sıfıra eşittir, ancak bu noktada ekstremum yoktur. Ek olarak, ekstremum türevin olmadığı noktalarda olabilir. Örneğin, işlevy = | x | noktada minimum varx = 0 , türev bu noktada mevcut olmasa da.

Tanım 2.2. Bir fonksiyonun türevinin kaybolduğu veya kırıldığı noktalara verilen fonksiyonun kritik noktaları denir..

Bu nedenle Teorem 2.1 uç noktaları belirlemek için yeterli değildir.

Teorem 2.2 (bir ekstremumun varlığı için yeterli koşul). fonksiyon olsun y = f ( x ) aralıkta sürekli( a , b ) kritik noktasını içeren , ve noktanın kendisinin olası istisnası dışında, bu aralığın tüm noktalarında türevlenebilir . O zaman, bu nokta soldan sağa geçtiğinde, türevin işareti artıdan eksiye değişirse, bu maksimum noktadır ve tersine eksiden artıya, minimum noktadır..

Kanıt. Bir fonksiyonun türevi nokta geçtiğinde işaretini değiştirirse artıdan eksiye soldan sağa, sonra fonksiyon artandan azalana gider, yani o noktaya ulaşır maksimum ve tersi.

Yukarıdan, bir ekstremum fonksiyonunu incelemek için şema aşağıdaki gibidir:

1) işlevin kapsamını bulun;

2) türevi hesaplamak;

3) kritik noktaları bulun;

4) Birinci türevin işareti değiştirilerek nitelikleri belirlenir.

Bir ekstremum için bir fonksiyon çalışma problemi, bir fonksiyonun bir segment üzerindeki minimum ve maksimum değerlerini belirleme problemi ile karıştırılmamalıdır. İkinci durumda, segmentte yalnızca uç noktaları bulmak değil, aynı zamanda bunları işlevin uçlarındaki değeriyle karşılaştırmak gerekir.

Bir fonksiyonun dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları

Bir türev kullanılarak belirlenebilen bir fonksiyon grafiğinin diğer bir özelliği, dışbükeyliği veya içbükeyliğidir.

Tanım 3.1. İşlev y = f ( x ) aralıkta dışbükey denir( a , b ) grafiği belirli bir aralıkta kendisine çizilen herhangi bir teğetin altındaysa ve bunun tersi de, grafiği belirli bir aralıkta kendisine çizilen herhangi bir teğetin üzerindeyse içbükey olarak adlandırılır..

Bir fonksiyonun dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını belirlememizi sağlayan bir teoremi ispatlayalım.

Teorem 3.1. Aralığın tüm noktalarında ise( a , b ) fonksiyonun ikinci türevi ( x ) sürekli ve negatif ise, fonksiyony = f ( x ) dışbükey ve tersi, ikinci türev sürekli ve pozitifse, fonksiyon içbükeydir.

Fonksiyonun dışbükeylik aralığının ispatını yapıyoruz. Keyfi bir nokta alınϵ ( a , b ) ve bu noktada fonksiyonun grafiğine teğet çiziny = f ( x ) (Şekil 3.1).

Eğrinin tüm noktalarının aralıkta olduğu gösterilirse teorem ispatlanmış olacaktır.( a , b ) bu teğetin altında yat. Başka bir deyişle, aynı değerler için olduğunu kanıtlamak gerekir.x eğri koordinatlarıy = f ( x ) noktasında kendisine çizilen teğetin koordinatlarından daha az .

Pirinç. 3.1

Kesinlik için, eğrinin denklemini gösteririz: = f ( x ) ve noktasındaki teğetin denklemi :

- f ( ) = ( )( x - )

veya

= f ( ) + ( )( x - ) .

Farkı oluştur ve :

- = f(x) – f( ) - ( )(x- ).

Farka uygulaf ( x ) – f ( ) Lagrange ortalama teoremi:

- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,

nerede ϵ ( , x ).

Şimdi Lagrange teoremini köşeli parantez içindeki ifadeye uygulayalım:

- = ( )( - )( x - ) , nerede ϵ ( , ).

Şekilden de anlaşılacağı üzere,x > , o zamanlar x - > 0 ve - > 0 . Ayrıca, teoremin hipotezi ile, ( )<0.

Bu üç faktörü çarparsak, şunu elde ederiz. , kanıtlanacaktı.

Tanım 3.2. Dışbükeylik aralığını içbükeylik aralığından ayıran noktaya bükülme noktası denir..

Tanım 3.1'den, belirli bir noktada teğetin eğriyi kestiği, yani bir yandan eğrinin tanjantın altında ve diğer yandan yukarıda yer aldığı sonucu çıkar.

Teorem 3.2. noktada ise fonksiyonun ikinci türevi

y = f ( x ) sıfıra eşittir veya mevcut değildir ve bir noktadan geçerken ikinci türevin işareti tersine değişir, o zaman bu nokta bükülme noktasıdır.

Bu teoremin kanıtı, işaretlerin ( x ) noktanın zıt taraflarında farklı. Bu, fonksiyonun noktanın bir tarafında dışbükey ve diğer tarafında içbükey olduğu anlamına gelir. Bu durumda, Tanım 3.2'ye göre, nokta bükülme noktasıdır.

Dışbükeylik ve içbükeylik fonksiyonunun çalışması, ekstremum çalışmasıyla aynı şemaya göre gerçekleştirilir.

4. Fonksiyon asimptotları

Önceki paragraflarda, bir fonksiyonun davranışını türev yardımıyla inceleme yöntemleri ele alındı. Ancak, fonksiyonun tam olarak çalışılmasına ilişkin sorular arasında türevle ilgili olmayanlar da vardır.

Bu nedenle, örneğin, grafiğin noktası orijinden sonsuza kadar çıkarıldığında fonksiyonun nasıl davrandığını bilmek gerekir. Böyle bir problem iki durumda ortaya çıkabilir: fonksiyonun argümanı sonsuza gittiğinde ve fonksiyonun kendisi, bitiş noktasında ikinci türün kırılmasında sonsuza gittiğinde. Bu durumların her ikisinde de, fonksiyon asimptotu olarak adlandırılan bir düz çizgiye yöneldiğinde bir durum ortaya çıkabilir.

Tanım . Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotuy = f ( x ) grafik noktasının orijinden sınırsız bir şekilde çıkarılmasıyla grafikten bu düz çizgiye olan mesafenin sıfır olma özelliğine sahip bir düz çizgi denir..

İki tür asimptot vardır: dikey ve eğik.

Dikey asimptotlar düz çizgilerdir.x = komşuluklarındaki fonksiyonun grafiğinin sonsuza gitmesi özelliğine sahip olan, yani koşul sağlanır: .

Burada belirtilen tanımın gereksiniminin karşılandığı açıktır: eğri grafiğinden düz çizgiye olan mesafex = eğrinin kendisi sonsuza giderken sıfıra eğilimlidir. Böylece, ikinci türden süreksizlik noktalarında, fonksiyonların dikey asimptotları vardır, örneğin,y= noktada x = 0 . Bu nedenle, bir fonksiyonun dikey asimptotlarının tanımı, ikinci türden süreksizlik noktalarının bulunmasıyla örtüşür.

Eğik asimptotlar, bir düzlemdeki düz bir çizginin genel denklemi ile tanımlanır, yani.y = kx + b . Bu nedenle, dikey asimptotların aksine, burada sayıları belirlemek gerekir.k ve b .

Öyleyse eğriye izin ver = f ( x ) eğik bir asimptota sahiptir, yanix eğrinin noktaları çizgiye mümkün olduğunca yakın = kx + b (Şek. 4.1). İzin vermek M ( x , y ) eğri üzerinde bir noktadır. Asimptottan uzaklığı, dikeyin uzunluğu ile karakterize edilecektir.| MN | .

Bir fonksiyon nasıl araştırılır ve grafiği nasıl çizilir?

Dünya proletaryasının liderinin, 55 ciltlik toplu eserlerin yazarının duygulu yüzünü anlamaya başlıyorum gibi görünüyor .... Uzun yolculuk, hakkında temel bilgilerle başladı. fonksiyonlar ve grafikler ve şimdi zahmetli bir konu üzerinde çalışmak doğal bir sonuçla sona eriyor - bir makale tam fonksiyon çalışması hakkında. Uzun zamandır beklenen görev şu şekilde formüle edilmiştir:

Fonksiyonu diferansiyel hesap yöntemleriyle araştırın ve çalışmanın sonuçlarına dayanarak grafiğini oluşturun

Veya kısaca: işlevi inceleyin ve çizin.

Neden keşfetmek? Basit durumlarda, temel fonksiyonlarla uğraşmak bizim için zor olmayacak, kullanılarak elde edilen bir grafik çizin. temel geometrik dönüşümler vb. Bununla birlikte, daha karmaşık fonksiyonların özellikleri ve grafik temsilleri açık olmaktan uzaktır, bu nedenle bütün bir çalışmaya ihtiyaç vardır.

Çözümün ana adımları referans materyalde özetlenmiştir. Fonksiyon Etüdü Şeması, bu sizin bölüm rehberiniz. Aptalların konunun adım adım açıklamasına ihtiyacı var, bazı okuyucular nereden başlayacağını ve çalışmayı nasıl organize edeceğini bilmiyor ve ileri düzey öğrenciler sadece birkaç noktayla ilgilenebilir. Ama her kimsen, sevgili ziyaretçi, çeşitli derslere işaret eden önerilen özet, sizi mümkün olan en kısa sürede ilgi alanına yönlendirecek ve yönlendirecektir. Robotlar gözyaşı döktü =) Kılavuz pdf dosyası şeklinde hazırlandı ve sayfada hak ettiği yeri aldı Matematiksel formüller ve tablolar.

Fonksiyonun çalışmasını 5-6 noktaya bölerdim:

6) Çalışmanın sonuçlarına dayalı ek noktalar ve grafik.

Son eyleme gelince, herkesin her şeyi anladığını düşünüyorum - birkaç saniye içinde çizilirse ve görev gözden geçirilmek üzere iade edilirse çok hayal kırıklığı yaratacaktır. DOĞRU VE DOĞRU BİR ÇİZİM, çözümün ana sonucudur! Hatalı ve/veya özensiz bir program mükemmel bir şekilde yürütülen bir çalışmada bile sorunlara neden olurken, analitik gözden kaçırmaları "örtbas etmek" çok olasıdır.

Diğer kaynaklarda, araştırma öğelerinin sayısının, uygulama sırasının ve tasarım stilinin benim önerdiğim şemadan önemli ölçüde farklı olabileceğine dikkat edilmelidir, ancak çoğu durumda oldukça yeterlidir. Problemin en basit versiyonu sadece 2-3 adımdan oluşur ve şu şekilde formüle edilir: “türev ve grafiği kullanarak fonksiyonu keşfedin” veya “1. ve 2. türevi kullanarak fonksiyonu keşfedin, arsa”.

Doğal olarak, eğitim kılavuzunuzda başka bir algoritma ayrıntılı olarak inceleniyorsa veya öğretmeniniz derslerine kesinlikle uymanızı istiyorsa, çözümde bazı ayarlamalar yapmanız gerekecektir. Bir çatalı elektrikli testere kaşığıyla değiştirmekten daha zor değil.

Çift / tek için işlevi kontrol edelim:

Bunu bir şablon abonelikten çıkma takip eder:
, bu nedenle bu fonksiyon ne çift ne de tektir.

Fonksiyon sürekli açık olduğundan dikey asimptot yoktur.

Eğik asimptot da yoktur.

Not : Size hatırlatırım ki daha yüksek büyüme sırası daha, yani son sınır tam olarak " artı sonsuzluk."

Fonksiyonun sonsuzda nasıl davrandığını bulalım:

Başka bir deyişle, sağa gidersek, grafik sonsuz yukarı, sola gidersek sonsuz aşağı gider. Evet, ayrıca tek bir giriş altında iki limit var. İşaretleri deşifre etmekte zorluk çekiyorsanız, lütfen aşağıdaki dersi ziyaret edin. sonsuz küçük fonksiyonlar.

Yani fonksiyon yukarıdan sınırlı değil ve aşağıdan sınırlı değil. Kırılma noktamız olmadığı düşünülürse netleşir ve fonksiyon aralığı: aynı zamanda herhangi bir gerçek sayıdır.

YARARLI TEKNİK

Her görev adımı, fonksiyonun grafiği hakkında yeni bilgiler getirir., bu nedenle çözüm sırasında bir tür LAYOUT kullanmak uygundur. Draft üzerinde bir Kartezyen koordinat sistemi çizelim. Kesin olarak bilinen nedir? İlk olarak, grafiğin asimptotu yoktur, bu nedenle düz çizgiler çizmeye gerek yoktur. İkincisi, fonksiyonun sonsuzda nasıl davrandığını biliyoruz. Analize göre, ilk yaklaşımı çiziyoruz:

geçerli olduğunu unutmayın süreklilik fonksiyonu ve grafiğin ekseni en az bir kez geçmesi gerektiği gerçeği. Ya da belki birkaç kesişme noktası vardır?

3) Fonksiyonun sıfırları ve sabit işaretin aralıkları.

İlk önce grafiğin y ekseni ile kesişme noktasını bulun. Basit. Aşağıdaki durumlarda fonksiyonun değerini hesaplamak gerekir:

Deniz seviyesinin yarısı.

Eksenle kesişme noktalarını bulmak için (fonksiyonun sıfırları), denklemi çözmeniz gerekir ve burada bizi hoş olmayan bir sürpriz bekliyor:

Sonunda, görevi önemli ölçüde karmaşıklaştıran ücretsiz bir üye gizlenir.

Böyle bir denklemin en az bir gerçek kökü vardır ve çoğu zaman bu kök irrasyoneldir. En kötü peri masalında bizi üç küçük domuz bekliyor. Denklem sözde kullanılarak çözülebilir Cardano'nun formülleri, ancak kağıt hasarı neredeyse tüm çalışma ile karşılaştırılabilir. Bu bağlamda, sözlü olarak veya taslakta en az birini almaya çalışmak daha akıllıca olacaktır. tüm kök. Bu sayıların olup olmadığını kontrol edelim:
- uygun değil;
- orada!

Burası şanslı. Başarısızlık durumunda, ayrıca test edebilirsiniz ve bu sayılar uymuyorsa, korkarım denklemin karlı bir çözümü için çok az şans vardır. O zaman araştırma noktasını tamamen atlamak daha iyidir - belki son adımda ek noktalar kırıldığında bir şeyler daha net hale gelir. Ve eğer kök (kökler) açıkça “kötü” ise, o zaman işaretlerin sabitlik aralıkları hakkında mütevazi bir şekilde sessiz kalmak ve çizimi daha doğru bir şekilde tamamlamak daha iyidir.

Ancak, güzel bir kökümüz var, bu yüzden polinomu bölüyoruz. kalansız:

Bir polinomu bir polinomla bölme algoritması, dersin ilk örneğinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Karmaşık Limitler.

Sonuç olarak, orijinal denklemin sol tarafı bir ürüne genişler:

Ve şimdi sağlıklı bir yaşam tarzı hakkında biraz. tabii ki anlıyorum ikinci dereceden denklemler her gün çözülmesi gerekiyor, ancak bugün bir istisna yapacağız: denklem iki gerçek kökü vardır.

Sayı doğrusunda bulunan değerleri çiziyoruz. ve aralık yöntemi fonksiyonun işaretlerini tanımlayın:


og Böylece, aralıklarla bulunan grafik
x ekseninin altında ve aralıklarla - bu eksenin üstünde.

Ortaya çıkan bulgular, düzenimizi iyileştirmemize izin veriyor ve grafiğin ikinci tahmini şuna benziyor:

Lütfen işlevin aralıkta en az bir maksimum ve aralıkta en az bir minimum olması gerektiğini unutmayın. Ancak programın kaç kez, nerede ve ne zaman "döneceğini" bilmiyoruz. Bu arada, bir fonksiyon sonsuz sayıda olabilir aşırı uçlar.

4) Fonksiyonun artan, azalan ve ekstremumu.

Kritik noktaları bulalım:

Bu denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları sayı doğrusuna koyalım ve türevin işaretlerini belirleyelim:


Bu nedenle, fonksiyon artar ve oranında azalır.
Fonksiyon maksimuma ulaştığı noktada: .
Bu noktada fonksiyon minimuma ulaşır: .

Yerleşik gerçekler, şablonumuzu oldukça katı bir çerçeveye götürüyor:

Diferansiyel hesabın güçlü bir şey olduğunu söylemeye gerek yok. Son olarak grafiğin şekliyle ilgilenelim:

5) Dışbükeylik, içbükeylik ve bükülme noktaları.

İkinci türevin kritik noktalarını bulun:

İşaretleri tanımlayalım:


Fonksiyon grafiği dışbükey ve içbükeydir. Şimdi bükülme noktasının koordinatını hesaplayalım: .

Neredeyse her şey aydınlandı.

6) Bir grafiği daha doğru bir şekilde oluşturmaya ve kendi kendini test etmeye yardımcı olacak ek noktalar bulmak için kalır. Bu durumda, onlar azdır, ancak ihmal etmeyeceğiz:

Çizimi uygulayalım:

Bükülme noktası yeşil, ek noktalar ise çarpı işaretiyle işaretlenmiştir. Bir kübik fonksiyonun grafiği, her zaman maksimum ve minimum arasında tam olarak ortada bulunan bükülme noktası etrafında simetriktir.

Ödev sırasında, üç varsayımsal ara çizim verdim. Pratikte, bir koordinat sistemi çizmek, bulunan noktaları işaretlemek ve çalışmanın her noktasından sonra, fonksiyonun grafiğinin nasıl görünebileceğini zihinsel olarak bulmak yeterlidir. İyi bir hazırlık düzeyine sahip öğrencilerin böyle bir analizi, herhangi bir taslak oluşturmadan sadece zihinlerinde gerçekleştirmeleri zor olmayacaktır.

Bağımsız bir çözüm için:

Örnek 2

Fonksiyonu keşfedin ve bir grafik oluşturun.

Burada her şey daha hızlı ve daha eğlenceli, dersin sonunda bitirmenin yaklaşık bir örneği.

Kesirli rasyonel fonksiyonların incelenmesiyle birçok sır ortaya çıkar:

Örnek 3

Diferansiyel hesap yöntemlerini kullanarak fonksiyonu araştırın ve çalışmanın sonuçlarına dayanarak grafiğini oluşturun.

Karar: çalışmanın ilk aşaması, tanım alanındaki bir delik dışında, dikkate değer hiçbir şeyde farklılık göstermez:

1) Fonksiyon tanımlı ve nokta hariç tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir, alan adı: .

, bu nedenle bu fonksiyon ne çift ne de tektir.

Açıkçası, işlev periyodik değildir.

Fonksiyonun grafiği, sol ve sağ yarım düzlemde bulunan iki sürekli daldan oluşur - bu, belki de 1. paragrafın en önemli sonucudur.

2) Asimptotlar, bir fonksiyonun sonsuzdaki davranışı.

a) Tek taraflı limitlerin yardımıyla, düşey asimptotun açıkça olması gereken şüpheli noktanın yakınındaki fonksiyonun davranışını inceliyoruz:

Gerçekten de, işlevler kalıcıdır sonsuz boşluk noktada
ve düz çizgi (eksen) dikey asimptot grafik Sanatları .

b) Eğik asimptotların olup olmadığını kontrol edin:

Evet, hat eğik asimptot grafik ise.

Sınırları analiz etmenin bir anlamı yok, çünkü fonksiyonun eğik asimptotu ile bir kucaklama içinde olduğu zaten açık. yukarıdan sınırlı değil ve aşağıdan sınırlı değil.

Çalışmanın ikinci noktası, işlevi hakkında birçok önemli bilgiyi getirdi. Kaba bir taslak yapalım:

Sonuç No. 1, işaret sabitliği aralıklarıyla ilgilidir. "Eksi sonsuzda" fonksiyonun grafiği benzersiz bir şekilde x ekseninin altında bulunur ve "artı sonsuzda" bu eksenin üzerindedir. Ayrıca tek taraflı limitler bize noktanın hem solunda hem de sağında fonksiyonun da sıfırdan büyük olduğunu söyledi. Lütfen sol yarı düzlemde grafiğin x eksenini en az bir kez geçmesi gerektiğini unutmayın. Sağ yarı düzlemde, fonksiyonun sıfırları olmayabilir.

Sonuç No. 2, fonksiyonun noktanın soluna doğru artmasıdır ("aşağıdan yukarıya" gider). Bu noktanın sağında fonksiyon azalır (“yukarıdan aşağıya” gider). Grafiğin sağ dalı kesinlikle en az bir minimuma sahip olmalıdır. Solda, aşırılıklar garanti edilmez.

Sonuç No. 3, noktanın yakınındaki grafiğin içbükeyliği hakkında güvenilir bilgi verir. Sonsuzda dışbükeylik/içbükeylik hakkında henüz bir şey söyleyemeyiz, çünkü doğru asimptotuna karşı hem yukarıdan hem de aşağıdan bastırılabilir. Genel olarak konuşursak, bunu şu anda çözmenin analitik bir yolu var, ancak "boşuna" grafiğin şekli daha sonraki bir aşamada daha net hale gelecektir.

Neden bu kadar çok kelime? Sonraki araştırma noktalarını kontrol etmek ve hatalardan kaçınmak için! Daha fazla hesaplama, çıkarılan sonuçlarla çelişmemelidir.

3) Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları, fonksiyonun sabit işaret aralıkları.

Fonksiyonun grafiği ekseni kesmiyor.

Aralık yöntemini kullanarak işaretleri belirleriz:

, Eğer ;
, Eğer .

Paragrafın sonuçları, 1 No'lu Sonuç ile tamamen tutarlıdır. Her adımdan sonra taslağa bakın, zihinsel olarak çalışmaya bakın ve fonksiyonun grafiğini çizmeyi bitirin.

Bu örnekte, pay, farklılaşma için çok faydalı olan payda tarafından terime göre bölünür:

Aslında, asimptotları bulurken bu zaten yapıldı.

- kritik nokta.

İşaretleri tanımlayalım:

tarafından artar ve azalır

Bu noktada fonksiyon minimuma ulaşır: .

2 No'lu Sonuç ile de herhangi bir tutarsızlık yoktu ve büyük olasılıkla doğru yoldayız.

Bu, fonksiyonun grafiğinin tüm tanım alanı üzerinde içbükey olduğu anlamına gelir.

Mükemmel - ve hiçbir şey çizmenize gerek yok.

Bükülme noktaları yoktur.

İçbükeylik, Sonuç No. 3 ile tutarlıdır, ayrıca, sonsuzda (hem orada hem de orada) fonksiyonun grafiğinin bulunduğunu gösterir. daha yüksek onun eğik asimptotu.

6) Görevi ek puanlarla özenle sabitleyeceğiz. Burada çok çalışmalıyız, çünkü çalışmadan sadece iki noktayı biliyoruz.

Ve muhtemelen birçoğunun uzun zamandır sunduğu bir resim:

Ödev sırasında, çalışmanın aşamaları arasında çelişki olmamasına özen gösterilmelidir, ancak bazen durum acildir ve hatta umutsuzca çıkmaza girer. Burada analitik "yakınsamıyor" - ve hepsi bu. Bu durumda bir acil durum tekniği öneriyorum: Grafiğe ait mümkün olduğunca çok nokta buluyoruz (ne kadar sabır yeterli) ve bunları koordinat düzleminde işaretliyoruz. Çoğu durumda bulunan değerlerin grafik analizi size gerçeğin nerede ve yalanın nerede olduğunu söyleyecektir. Ek olarak, grafik, örneğin aynı Excel'de bazı programlar kullanılarak önceden oluşturulabilir (bunun beceri gerektirdiği açıktır).

Örnek 4

Diferansiyel hesap yöntemlerini kullanarak fonksiyonu araştırın ve grafiğini oluşturun.

Bu bir kendin yap örneğidir. İçinde, kendi kendini kontrol, fonksiyonun düzgünlüğü ile geliştirilir - grafik eksen etrafında simetriktir ve çalışmanızdaki bir şey bu gerçekle çelişirse, bir hata arayın.

Bir çift veya tek fonksiyon sadece için araştırılabilir ve daha sonra grafiğin simetrisi kullanılabilir. Bu çözüm optimal, ancak bence çok sıra dışı görünüyor. Şahsen, tüm sayısal ekseni dikkate alıyorum, ancak yine de yalnızca sağda ek noktalar buluyorum:

Örnek 5

Fonksiyonun tam bir incelemesini yapın ve grafiğini çizin.

Karar: aceleyle:

1) Fonksiyon tanımlı ve gerçek satırın tamamında süreklidir: .

Bu, bu fonksiyonun tek olduğu, grafiğinin orijine göre simetrik olduğu anlamına gelir.

Açıkçası, işlev periyodik değildir.

2) Asimptotlar, bir fonksiyonun sonsuzdaki davranışı.

Fonksiyon sürekli açık olduğundan dikey asimptot yoktur.

Bir üs içeren bir işlev için, tipik olarak ayırmak"artı" ve "eksi sonsuzluk" çalışması, ancak, hayatımız sadece grafiğin simetrisi ile kolaylaştırılır - ya solda ve sağda bir asimptot vardır ya da değildir. Bu nedenle, her iki sonsuz limit de tek bir giriş altında düzenlenebilir. Çözüm sürecinde kullandığımız L'Hopital kuralı:

Düz çizgi (eksen), grafiğin 'deki yatay asimptotudur.

Eğik asimptotu bulmak için tam algoritmadan nasıl akıllıca kaçındığıma dikkat edin: limit oldukça yasaldır ve fonksiyonun sonsuzdaki davranışını netleştirir ve yatay asimptot "aynı anda" bulundu.

Süreklilikten ve yatay bir asimptotun varlığından, fonksiyonun yukarıdan sınırlı ve aşağıdan sınırlı.

3) Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları, sabitlik aralıkları.

Burada ayrıca çözümü kısaltıyoruz:
Grafik orijinden geçer.

Koordinat eksenleriyle başka kesişme noktası yoktur. Ayrıca, sabitlik aralıkları açıktır ve eksen çizilemez: bu, fonksiyonun işaretinin yalnızca "x"e bağlı olduğu anlamına gelir:
, Eğer ;
, Eğer .

4) Fonksiyonun artan, azalan, ekstremumu.


kritik noktalardır.

Noktalar olması gerektiği gibi sıfıra göre simetriktir.

Türevin işaretlerini tanımlayalım:


Fonksiyon aralıkta artar ve aralıklarda azalır

Fonksiyon maksimuma ulaştığı noktada: .

Mülkiyet nedeniyle (fonksiyonun tuhaflığı) minimum ihmal edilebilir:

Fonksiyon aralıkta azaldığından, o zaman açıkçası, grafik "eksi sonsuzda" bulunur. altında asimptotu ile. Aralıkta fonksiyon da azalır, ancak burada tam tersi doğrudur - maksimum noktadan geçtikten sonra çizgi eksene yukarıdan yaklaşır.

Yukarıdakilerden, fonksiyon grafiğinin "eksi sonsuzda" dışbükey ve "artı sonsuzda" içbükey olduğu sonucu çıkar.

Çalışmanın bu noktasından sonra, fonksiyonun değerlerinin alanı da çizilmiştir:

Herhangi bir noktayı yanlış anlamışsanız, bir kez daha defterinize koordinat eksenleri çizmenizi ve elinizde bir kalemle, ödevin her sonucunu yeniden analiz etmenizi öneririm.

5) Dışbükeylik, içbükeylik, grafiğin bükülmeleri.

kritik noktalardır.

Noktaların simetrisi korunur ve büyük olasılıkla yanılmıyoruz.

İşaretleri tanımlayalım:


Fonksiyonun grafiği dışbükeydir ve içbükey .

Aşırı aralıklarla dışbükeylik/içbükeylik doğrulandı.

Tüm kritik noktalarda grafikte bükülmeler vardır. Fonksiyonun tuhaflığını kullanarak tekrar hesaplama sayısını azaltırken büküm noktalarının koordinatlarını bulalım: