Karmaşık sayıların geometrik gösterimi ve bunlarla ilgili işlemler. Karmaşık bir sayının trigonometrik formu
xxy € R reel sayılarının tüm olası sıralı çiftlerinin (x» Y) R2 kümesini göz önünde bulundurun. Bu tür (a, b) = (c, d) çiftleri için ve ancak ve ancak a = c ve b - d ise. Bu R2 kümesinde, toplama ve çarpma işlemleri biçimindeki iç bileşim yasalarını tanıtalım. Toplama işlemini, £faa eşitliği ile tanımlarız, işlem birleştirici ve değişmelidir; (Tanım 4.5'e göre) bir nötr elemana (0, 0) sahiptir ve Tanım 4.6 ile her bir çift (a, 6) için simetrik (zıt) bir eleman (-a, -6) belirtilebilir. Nitekim, V(a, 6) £ R2 Ayrıca, veya Karmaşık sayıların alanı. Çarpmayı eşitlikle tanımlarız Bu şekilde tanıtılan işlemin toplamaya göre birleştirici, değişmeli ve dağılımlı olduğunu doğrulamak kolaydır. Bu işlem, (1, 0) çifti olan bir nötr elemana sahiptir, çünkü böylece, tanıtılan toplama ve çarpma işlemlerine göre, R2 kümesi birimli bir Değişken halkadır (bkz. Tablo 4.1). u* (x, 0) € R2 çiftleri kümesi ile x G R reel sayılar kümesi arasında bire bir denklik (x, 0) x) kurmak kolaydır, buradan şu sonucu çıkar: Karışık sayılar. onlar. bu tür çiftlerin toplanması ve çarpılması, gerçek sayılarla aynı şekilde gerçekleştirilir. (x, 0) biçimindeki çiftleri gerçek sayılarla değiştirelim, yani. (x, 0) yerine sadece x yazacağız, özellikle (1, 0) yerine sadece 1 yazacağız. (0, 1) çifti R2 kümesinde özel bir yer kaplar. (4.3)'e göre, özelliklere sahiptir ve özel bir i ataması almıştır ve Sonra, (4.2) ve (4.3) dikkate alınarak, herhangi bir çift (x, y) ∈ R2 karmaşık sayıların alanı olarak temsil edilebilir. . z'yi belirtin. z elementine, z elementinin karmaşık eşleniği denir. (4.3) z-z = x2 -by2'yi hesaba katarak. z, nötr eleman (0, 0) ile eşleşmiyorsa, yani. x ve y aynı anda 0'a eşit değilse (2^0'ı gösterirler), o zaman x2 + + y2 φ 0 olur. O zaman elemanın tersi (simetrik, çarpma işleminin tersi - bkz. 4.1) z \u003d x + iy öyle bir r "1 öğesi olacaktır ki zz~l = 1 veya zzz~l = z, yani (x2 + y2)z~l = x - y Dolayısıyla -1_ X 2 Y \ Bu nedenle, gf O'nun herhangi bir elemanı çarpma işlemine göre svb'nin tersidir ve (4.1) ve (4.3)'e göre üzerinde birleştirilmiş toplama ve çarpma işlemleriyle R2 kümesi bu nedenle bir alandır (bkz. Tablo 4.1) ) Karmaşık sayıların alanı (veya kümesi) olarak adlandırılır ve C ile gösterilir. B Yukarıdaki bire bir denklik sayesinde (r, 0) € R2 ++ x € R karmaşık sayıların kesrine bir reel sayılar alanının uzantısı. C'deki herhangi bir r elemanına karmaşık sayı denir ve bunun z = x + iy> biçimindeki temsili, burada x, y £ R ve i2 = -l, - karmaşık sayıyı cebirsel biçimde temsil eder. Bu durumda £ karmaşık sayının reel kısmı olarak adlandırılır ve Re z ile gösterilir ve y imajiner kısım olarak adlandırılır ve Imz ile gösterilir (t imajiner birim olarak adlandırılır). Karmaşık bir sayının sanal kısmının gerçek bir sayı olduğuna dikkat edin. Y'nin adı tamamen başarılı değil, ancak tarihsel geleneğe bir övgü olarak bu güne kadar kaldı. "Karmaşık sayı"44 terimi, 1803'te Fransız matematikçi JI tarafından tanıtıldı. Carnot (1753-1823), ancak K. Gauss, daha az başarılı olan “hayali sayı”44 yerine 1828'den itibaren sistematik olarak bu terimi kullanmaya başladı. XIX yüzyılın Rus matematik literatüründe. "bileşik sayı" terimini kullanmıştır44. Zaten R. Descartes'ta, bir karmaşık sayının gerçek ve sanal kısımları karşıttır. Daha sonra, birçok matematikçi hayali niceliklerin özünü belirsiz ve hatta gizemli ve mistik olarak kabul etse de, Fransızca reele (gerçek) ve imagimaire (hayali) kelimelerinin ilk harfleri bu parçaların tanımı haline geldi. Dolayısıyla, I. Newton onları sayı kavramına dahil etmedi ve G. Leibniz şu Cümleye aittir: “Hayali sayılar ilahi ruhun harika ve harika bir sığınağıdır, neredeyse yoklukla birlikte olmanın bir amfibidir44. Tüm olası gerçek sayı çiftlerinin R2 kümesi düzlemdeki noktalarla tanımlanabildiğinden, her karmaşık sayı z =? x + iy, y noktasına karşılık gelir) (Şekil 4.1), bu da karmaşık bir sayının temsilinin geometrik formu hakkında konuşmamızı sağlar. Karmaşık sayılar düzlemin noktalarıyla tanımlandığında, buna karmaşık düzlem veya karmaşık sayılar düzlemi denir. Gerçek sayılar x eksenine yerleştirilir, yani. lmz = y = 0 olan z sayıları ve Oy ekseninde - sayılar z = iy, tamamen hayali olarak adlandırılır, bunun için Re r = x = 0. 4.1'de karmaşık düzlemdeki koordinat eksenlerine sırasıyla gerçek ve sanal denir. Karmaşık eşlenik elemanlar z ve z'ye (karmaşık eşlenik sayılar) karşılık gelen düzlemin noktaları gerçek eksene göre simetriktir ve z ve -z'yi temsil eden noktalar orijine göre simetriktir. Karmaşık sayıların Mesafe Alanı. Orijinden itibaren düzlemde z = x + iy karmaşık sayısını gösteren M(x, y) noktasına karmaşık sayının modülü denir ve \z\ veya r ile gösterilir. Ox ekseninin pozitif yönü olan M noktasına karmaşık sayının argümanı denir ve Argz veya (p'ye bakın (bkz. Şekil 4.1). Açı trigonometrideki gibi ölçülür: açı değişiminin pozitif yönü saat yönünün tersi olarak kabul edilir. Arg z'nin benzersiz olarak tanımlanmadığı, ancak 2n'nin katı olan bir terime kadar, Args'nin değeri tanımlanmadığı açıktır.Bu sayıya karşılık gelen nokta (orijin) sadece şu şekilde karakterize edilir: koşul \z\ = r = 0. Böylece, karmaşık düzlemdeki her z karmaşık sayısına, kutupsal koordinatlarla ayarlanabilen M(x, y) noktasının yarıçap vektörüne karşılık gelir: kutupsal yarıçap r ^ 0 , karmaşık sayının modülüne eşit ve bu karmaşık sayının argümanının temel değeriyle çakışan kutup açısı. Trigonometrik fonksiyonların tanımlarına ve trigonometri okulundan bilinen terslerine göre (bkz. karmaşık düzlemimiz var x=rcosy>= X Karmaşık sayının argümanının asal değerine getirilen kısıtlamaları hesaba katarak, x > 0 ise, x 0 ise, x = 0 ve y ise elde ederiz.(4.6)'dan pr'yi takip ediyor + tsiny> notasyonu avomeriktir), (4.8) Karmaşık bir sayının gösteriminin trigonometrik formu olarak adlandırılır. Cebirsel temsil biçiminden trigonometrik forma geçiş için (4.5) ve (4.7) ”ve ters geçiş için - (4.6) kullanın. Sıfır olmayan iki karmaşık sayının, ancak ve ancak modülleri eşitse ve bağımsız değişkenler 2n'nin katları olan terimlere göre farklılık gösterdiğinde eşit olduğuna dikkat edin. (4.1)'e göre, z \ ve r2 karmaşık sayılarının toplamı bir karmaşık sayı olacaktır ve bunların farkı - Bu formüllerden, karmaşık sayıların toplanmasının (veya çıkarılmasının) aşağıdakilerin toplanmasına (veya çıkarılmasına) benzer olduğu takip edilir. paralelkenar kuralına göre karmaşık düzlemdeki vektörler (Şekil 4.2) ( vektörlerin karşılık gelen koordinatları toplanırken veya çıkarılırken). Bu nedenle, karmaşık sayıların modülleri için, üçgen eşitsizlikleri a biçiminde geçerlidir (bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunluklarının toplamından büyük değildir). Ancak, karmaşık sayılar ve vektörler arasındaki analoji burada sona erer. Karmaşık sayıların toplamı veya farkı gerçek bir sayı olabilir (örneğin, karmaşık eşlenik sayıların toplamı r-f z = = 2x, x = Rez e R). (4.3)'e göre, z\ ve z2 karmaşık sayılarının çarpımı bir karmaşık sayıdır. V*2 φ 0 için Z1/22 bölümünün, z^z = z\ eşitliğini sağlayan -r karmaşık bir sayısı olduğu anlaşılır. Bu eşitliğin her iki parçasını da 22 ile çarptıktan sonra, z karmaşık sayısını n ∈ N kuvvetine yükseltmek, k 6 N için karmaşık sayıların alanı olduğu gerçeğini hesaba katarak, z'yi kendisiyle n kere çarpmaktır. Trigonometrik gösterim (4.8), karmaşık sayıların çarpmasını, bölünmesini ve üslenmesini basitleştirmeyi mümkün kılar. Yani, z\ \u003d r\ (cos (p\ + isiny?i) ve Z2 \u003d Г2 (co + -f hayır (4.3) için) için Karmaşık düzlemde (Şekil 4.3) çarpma karşılık gelir OM segmentinin açıyla dönüşüne (0'da saat yönünün tersine) ve uzunluğunda r2 = \z2\ kez bir değişiklik; .de Moivre (1667-1754), bu ilişkiye karmaşık bir sayıyı pozitif bir tamsayı kuvvetine yükseltmek için Moivre formülü denir. /n, q € Q, m € Z, n6N, bu sayıyı 1'e çıkarmakla ilgilidir. /n veya dedikleri gibi, bir karmaşık sayının n'inci kökünü çıkarmak. (4.14) ifadesinden elde edin, diyoruz Pozitif bir tamsayı gücünün kökünü karmaşık bir sayıdan çıkarmak için Moivre formülünden türetilmiştir), y/z'nin olası değerleri arasında, k = 0, n - 1'e karşılık gelen n değerlerinin farklı olacağını izler. $fz için tüm n farklı değerler aynı modüle sahiptir ve argümanları 2jr/n'nin katları olan açılara göre farklılık gösterir. Değerler, orijinde ortalanmış 1/f yarıçaplı bir daire içinde yazılı düzenli bir n-gon'un köşelerindeki karmaşık düzlemin noktalarına karşılık gelir. Bu durumda, köşelerden birinin yarıçap vektörü, Ox ekseni ile bir açı (p/n) oluşturur (4.13) ve (4.14)'den, z /0 karmaşık sayısını g rasyonel kuvvetine yükseltmek için formül izlenir. € Q. Beli g = m/n, burada m € Z ve n € N, (4.7)'yi dikkate alarak elde ederiz (Dolayısıyla trigonometrik formda. (4.11) ve (4.12)'ye göre buluruz: (4.13) Kullanarak , z\'yi n = 4 gücüne yükseltiyoruz, (4.14) uygulayarak, n = 3 derecesinin kökünü z2'den çıkarıyoruz Hesaplamaların sonuçları Şekil 4.4'te gösterilmektedir. Üçüncü derecenin kökünün üç değeri zi'den bir yarıçap dairesinde yazılı normal bir ABC üçgeninin köşelerine ve bu köşelerin kutup açılarına karşılık gelir \u003d i * / 18, 4\u003e v \u003d 13m / 18 ve \u003d 25m / 18 (veya \u003d - 11 ^/18).
Alan aksiyomları. Karmaşık sayıların alanı. Karmaşık bir sayının trigonometrik gösterimi.
Karmaşık bir sayı, formun bir sayısıdır, burada ve gerçek sayılardır, sözde hayali birim. numara aranır gerçek kısım ( ) karmaşık sayı, sayı denir hayali kısım ( ) karmaşık sayı.
Bir demet aynı Karışık sayılar genellikle "kalın" veya kalınlaştırılmış bir harfle gösterilir
Karmaşık sayılar görüntülenir karmaşık düzlem:
Karmaşık düzlem iki eksenden oluşur:
– gerçek eksen (x)
– hayali eksen (y)
Gerçek sayılar kümesi, karmaşık sayılar kümesinin bir alt kümesidir.
Karmaşık sayılarla işlemler
İki karmaşık sayı eklemek için gerçek ve sanal kısımlarını ekleyin.
karmaşık sayıların çıkarılması
Eylem toplamaya benzer, tek özelliği çıkanın parantez içinde alınması ve ardından standart olarak bu parantezleri işaret değişikliği ile açmasıdır.
karmaşık sayıların çarpımı
polinomların çarpma kuralına göre parantez açın
karmaşık sayıların bölünmesi
Sayıların bölünmesi yapılır payda ve payı paydanın eşlenik ifadesi ile çarparak.
Karmaşık sayılar, aşağıdakileri not ettiğimiz gerçek sayıların özelliklerinin çoğuna sahiptir: ana.
1) (a + b) + c = a + (b + c) (ek ilişkilendirme);
2) a + b = b + a (toplamanın değişebilirliği);
3) a + 0 = 0 + a = a (eklenerek nötr bir elementin varlığı);
4) a + (−a) = (−a) + a = 0 (zıt bir unsurun varlığı);
5) a(b + c) = ab + AC ();
6) (a + b)c = AC + M.Ö (toplamaya göre çarpmanın dağılımı);
7) (ab)c = a(M.Ö) (çarpma ilişkilendirme);
8) ab = ba (çarpmanın değişebilirliği);
9) a∙1 = 1∙a = a (çarpma ile nötr bir elemanın varlığı);
10) herhangi biri için a≠ 0 b, ne ab = ba = 1 (ters elemanın varlığı);
11) 0 ≠ 1 (isim yok).
Toplama ve çarpma işlemlerinin tanımlandığı, belirtilen 11 özelliğe sahip (bu durumda aksiyomlar olan) keyfi nitelikteki nesneler kümesine denir. tarla.
Karmaşık sayılar alanı, polinomun bir kökü olduğu gerçek sayılar alanının bir uzantısı olarak anlaşılabilir.
Herhangi bir karmaşık sayı (sıfır hariç) trigonometrik biçimde yazılabilir: 
, nerede karmaşık sayı modülü, a - karmaşık sayı argümanı.
Karmaşık bir sayının modülü koordinatların başlangıç noktasından karmaşık düzlemin karşılık gelen noktasına olan mesafedir. Basit ifadeyle, modül uzunlukturçizimde kırmızı ile işaretlenmiş yarıçap vektörü.
Karmaşık bir sayının modülü genellikle şu şekilde gösterilir: veya
Pisagor teoremini kullanarak, karmaşık bir sayının modülünü bulmak için bir formül türetmek kolaydır: . Bu formül geçerlidir herhangi"a" ve "olmak" anlamlarına gelir.
Karmaşık bir sayının argümanı isminde enjeksiyon arasında pozitif eksen orijinden karşılık gelen noktaya çizilen gerçek eksen ve yarıçap vektörü. Argüman tekil için tanımlı değil: .
Karmaşık bir sayının argümanı genellikle şu şekilde gösterilir: veya
Let ve φ = arg z. Ardından, argümanın tanımına göre, elimizde:
Gerçek sayılar alanı üzerinde matris halkası. Matrislerde temel işlemler. İşlem özellikleri.
Matris m'n boyutu, burada m satır sayısı, n sütun sayısıdır, belirli bir sıraya göre düzenlenmiş bir sayılar tablosu olarak adlandırılır. Bu sayılara matris elemanları denir. Her bir elemanın yeri, kesiştiği yerdeki satır ve sütunun numarasına göre benzersiz bir şekilde belirlenir. Matris öğeleri a ij olarak gösterilir; burada i satır numarası ve j sütun numarasıdır.
Tanım. Matrisin sütun sayısı satır sayısına (m=n) eşitse, matris denir. Meydan.
Tanım. Matrisi Görüntüle:
= E,
isminde kimlik matrisi.
Tanım. Eğer bir bir mn = bir nm, sonra matris denir simetrik.
Misal. 
- simetrik matris
Tanım.
Kare görünüm matrisi 
isminde diyagonal matris.
Bir Matrisi Bir Sayıyla Çarpma
Bir Matrisi Bir Sayıyla Çarpma(gösterim: ) matrisin her bir elemanı bu sayı ile çarpılarak elemanları elde edilen bir matris oluşturmaktır, yani matrisin her elemanı eşittir
Matrislerin bir sayı ile çarpımının özellikleri:
· on bir A = A;
2. (λβ)A = λ(βA)
3. (λ+β)A = λA + βA
· 4. λ(A+B) = λA + λB
matris toplama
matris toplama tüm elemanları matrislerin karşılık gelen tüm elemanlarının ikili toplamına eşit olan bir matris bulma işlemidir ve , yani matrisin her bir elemanı eşittir
Matris ekleme özellikleri:
1. değişebilirlik: A+B = B+A;
2. ilişkilendirme: (A+B)+C =A+(B+C);
3. sıfır matrisli toplama: A + Θ = A;
4. zıt matrisin varlığı: A+(-A)=Θ;
Doğrusal işlemlerin tüm özellikleri, doğrusal bir uzayın aksiyomlarını tekrarlar ve bu nedenle aşağıdaki teorem geçerlidir:
Aynı boyuttaki tüm matrislerin kümesi m x n alandan öğelerle P(tüm gerçek veya karmaşık sayıların alanları) P alanı üzerinde doğrusal bir alan oluşturur (bu tür matrislerin her biri bu alanın bir vektörüdür). Bununla birlikte, öncelikle terminolojik karışıklığı önlemek için, (en yaygın standart uygulamalarda olmayan) ihtiyaç duymadan ortak bağlamlardaki matrislerden kaçınılır ve vektörleri çağırmak için terimin kullanımının açık bir şekilde belirtilmesi gerekir.
matris çarpımı
matris çarpımı(gösterim: , nadiren çarpma işaretiyle) - her bir elemanı, birinci faktörün karşılık gelen satırındaki ve ikinci sütunundaki elemanların ürünlerinin toplamına eşit olan bir matris hesaplama işlemi vardır.
Matristeki sütun sayısı, matristeki satır sayısıyla eşleşmelidir, başka bir deyişle, matris şu şekilde olmalıdır: kabul bir matris ile. Matrisin boyutu , - ise , çarpımlarının boyutu .
Matris çarpma özellikleri:
1. çağrışım (AB)C = A(BC);
2. değişmeyen (genel olarak): AB BA;
3. Bir birim matrisi ile çarpma durumunda ürün değişmelidir: AI=IA;
4. dağıtım: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
5. bir sayı ile çarpmaya göre çağrışım ve yer değiştirme: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
matris aktarımı.
Ters matrisi bulma.
Bir kare matris, ancak ve ancak tekil değilse, yani determinantı sıfıra eşit değilse ters çevrilebilir. Kare olmayan matrisler ve dejenere matrisler için ters matris yoktur.
Matris sıra teoremi
A matrisinin rankı, sıfırdan farklı bir minörün maksimum mertebesidir.
Matrisin derecesini belirleyen minör, Baz Minör olarak adlandırılır. BM'yi oluşturan satır ve sütunlara temel satırlar ve sütunlar denir.
Gösterim: r(A), R(A), Rang A.
Yorum. Açıkçası, bir matrisin rank değeri, boyutlarının en küçüğünü aşamaz.
Herhangi bir matris için minör, satır ve sütun sıraları aynıdır..
Kanıt. Matrisin minör rankı olsun A eşittir r . Satır sıralamasının da eşit olduğunu gösterelim. r . Bunun için tersinir minör M sipariş r ilk sırada r matris satırları A . Bundan anlaşılacağı üzere ilk r matris satırları A lineer bağımsızdır ve küçük satırlar kümesidir. M Doğrusal bağımsız. İzin vermek a -- uzunluk dizesi r , elemanlardan oluşan ben minör ile aynı sütunlarda bulunan matrisin -th satırı M . Küçük dizelerden beri M temelini oluşturmak kr , o zamanlar a -- minör dizilerin lineer kombinasyonu M . çıkar ben -inci satır A birincinin aynı doğrusal kombinasyonu r matris satırları A . Sonuç, numaralı sütunda boş olmayan bir öğe içeren bir dize ise t , sonra küçük düşünün M 1 sipariş r+1 matrisler A , minör satırlarına matrisin inci satırını ekleyerek A ve matrisin küçük sütunlarına -th sütununa A (küçük diyorlar M 1 Alınan kenar minör M aracılığıyla ben -inci satır ve t matrisin -inci sütunu A ). bizim seçimimize göre t , bu minör tersine çevrilebilir (bu minörün son satırından birincinin lineer kombinasyonunu çıkarmak yeterlidir r satırları ve ardından sıfır olmayan bir skaler faktöre kadar bu determinantın minörün determinantıyla eşleştiğinden emin olmak için determinantını son satır üzerinde genişletin. M . A-manastırı r böyle bir durum imkansızdır ve bu nedenle dönüşümden sonra ben -inci satır A sıfır olacak. Başka bir deyişle, orijinal ben -th satır, birincinin doğrusal bir birleşimidir r matris satırları A . İlk olduğunu gösterdik r satırlar, matris satır kümesinin tabanını oluşturur A , yani, küçük harf sıralaması A eşittir r . Sütun sıralamasının olduğunu kanıtlamak için r , yukarıdaki akıl yürütmede "satırlar" ve "sütunlar" arasında geçiş yapmak yeterlidir. Teorem kanıtlanmıştır.
Bu teorem, bir matrisin üç sırasını birbirinden ayırmanın bir anlamı olmadığını gösterir ve bundan sonra, bir matrisin sırasına göre, onun hem sütuna hem de küçük sıralara eşit olduğunu hatırlayarak, sıra sırasını anlayacağız. gösterim r(A) -- matris sıralaması A ). Ayrıca, rank teoreminin ispatından, bir matrisin rankının, matrisin herhangi bir ters çevrilebilir minörünün boyutu ile çakıştığını ve onu çevreleyen tüm minörlerin (eğer varsa) dejenere olduğunu takip ettiğini not ediyoruz.
Kronecker-Capelli teoremi
Bir lineer cebirsel denklemler sistemi, ancak ve ancak ana matrisinin sıralaması genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse ve sıralama bilinmeyenlerin sayısına eşitse sistem benzersiz bir çözüme sahipse tutarlıdır ve sıra bilinmeyenlerin sayısından küçükse sonsuz sayıda çözüm.
İhtiyaç
Sistem tutarlı olsun. Sonra öyle sayılar var ki. Bu nedenle, sütun, matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimidir. Bir satır (sütun) kendi satır (sütun) sisteminden veya diğer satırların (sütunların) doğrusal bir kombinasyonu olan bir satır (sütun) silinirse matrisin sıralamasının değişmeyeceği gerçeğinden bunu takip eder.
yeterlilik
İzin vermek . Matriste bazı temel minörleri alalım. O zamandan beri, matrisin temel minörü de olacaktır. Ardından, temel minör teoremine göre, matrisin son sütunu, temel sütunların, yani matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimi olacaktır. Bu nedenle, sistemin serbest elemanlarının sütunu, matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimidir.
Sonuçlar
· Sistemin ana değişkenlerinin sayısı sistemin rankına eşittir.
· Sistemin rankı tüm değişkenlerinin sayısına eşitse uyumlu bir sistem tanımlanacaktır (çözüm benzersizdir).
Temel minör teoremi.
Teorem. Rastgele bir A matrisinde, her sütun (satır), temel minörün bulunduğu sütunların (satırların) doğrusal bir birleşimidir.
Böylece, keyfi bir matris A'nın rankı, matristeki maksimum lineer bağımsız satır (sütun) sayısına eşittir.
A bir kare matris ise ve detA = 0 ise, bu durumda sütunlardan en az biri diğer sütunların doğrusal bir birleşimidir. Aynı şey dizeler için de geçerlidir. Bu ifade, determinantın sıfıra eşit olduğu lineer bağımlılık özelliğinden çıkar.
7. SLU çözümü. Cramer yöntemi, matris yöntemi, Gauss yöntemi.
Cramer yöntemi.
Bu yöntem, yalnızca değişken sayısının denklem sayısıyla çakıştığı doğrusal denklem sistemleri durumunda da geçerlidir. Ek olarak, sistemin katsayılarına kısıtlamalar getirmek gerekir. Tüm denklemlerin lineer olarak bağımsız olması gerekir, yani. hiçbir denklem diğerlerinin lineer bir birleşimi olmayacaktır.
Bunu yapmak için, sistemin matrisinin determinantının 0'a eşit olmaması gerekir.
Gerçekten de, sistemin herhangi bir denklemi diğerlerinin lineer bir birleşimi ise, o zaman herhangi bir satırın elemanları diğerinin elemanlarına eklenirse, lineer dönüşümler kullanılarak bir sayı ile çarpılırsa, sıfır satır elde edebilirsiniz. Bu durumda determinant sıfıra eşit olacaktır.
Teorem. (Cramer kuralı):
Teorem. n bilinmeyenli n denklem sistemi
sistemin matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, benzersiz bir çözümü vardır ve bu çözüm aşağıdaki formüllerle bulunur:
x ben = D ben /D, nerede
D = det A ve D i, i sütununun bir serbest elemanlı b i sütunu ile değiştirilmesiyle sistem matrisinden elde edilen matrisin determinantıdır.
Ben = 
Lineer denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemi.
Matris yöntemi, denklem sayısının bilinmeyen sayısına eşit olduğu denklem sistemlerinin çözümüne uygulanabilir.
Yöntem, düşük dereceli sistemleri çözmek için uygundur.
Yöntem, matris çarpımının özelliklerinin uygulanmasına dayanmaktadır.
denklem sistemi verilsin:
Matris oluştur: A = 
; B = ; X = .
Denklem sistemi şu şekilde yazılabilir: A×X = B.
Aşağıdaki dönüşümü yapalım: A -1 ×A×X = A -1 ×B, çünkü A -1 × A = E, sonra E × X = A -1 × B
X \u003d A -1 × B
Bu yöntemi uygulamak için, yüksek dereceli sistemlerin çözümünde hesaplama güçlükleriyle ilişkilendirilebilecek ters matrisi bulmak gerekir.
Tanım. n bilinmeyenli m denklem sistemi genellikle şu şekilde yazılır:
, (1)
burada a ij katsayılardır ve b i sabitlerdir. Sistemin çözümleri, sisteme ikame edildiğinde denklemlerinin her birini bir özdeşliğe dönüştüren n sayıdır.
Tanım. Bir sistemin en az bir çözümü varsa, buna denir. eklem yeri. Sistemin çözümü yoksa, denir. uyumsuz.
Tanım. sistem denir kesin eğer tek bir çözümü varsa ve belirsiz birden fazla ise.
Tanım. (1) biçimindeki bir lineer denklem sistemi için, matris
bir = 
sistemin matrisi olarak adlandırılır ve matris
bir*= 
sistemin artırılmış matrisi denir
Tanım. b 1 , b 2 , …,b m = 0 ise sistem homojen. homojen sistem her zaman tutarlıdır.
Sistemlerin temel dönüşümleri.
Temel dönüşümler şunlardır:
1) Bir denklemin her iki kısmına, diğerinin karşılık gelen kısımlarının eklenmesi, sıfıra eşit olmayan aynı sayı ile çarpılması.
2) Denklemlerin yerlerde permütasyonu.
3) Tüm x için özdeşlikler olan denklem sisteminden çıkarma.
Gauss yöntemi, bir lineer cebirsel denklemler sistemini (SLAE) çözmek için klasik bir yöntemdir. Bu, temel dönüşümlerin yardımıyla, denklem sistemi, diğer tüm değişkenlerin sondan başlayarak (sayıya göre) sırayla bulunduğu üçgen bir formun eşdeğer bir sistemine indirgendiğinde, değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması için bir yöntemdir. ) değişkenler
Orijinal sistem böyle görünsün
Matris, sistemin ana matrisi olarak adlandırılır - serbest üyelerin sütunu.
Daha sonra, satırlar üzerindeki elemanter dönüşümlerin özelliğine göre, bu sistemin ana matrisi kademeli bir forma indirgenebilir (aynı dönüşümler serbest üyeler sütununa uygulanmalıdır):
Sonra değişkenler çağrılır ana değişkenler. Diğerlerinin hepsi denir Bedava.
En az bir sayı ise, nerede, o zaman söz konusu sistem tutarsız, yani. onun çaresi yok
Herhangi biri için izin verin.
Serbest değişkenleri eşit işaretlerinin ötesine aktarır ve sistemin denklemlerinin her birini en soldaki katsayısına böleriz ( , satır numarası nerede):
(2) sisteminin serbest değişkenlerine olası tüm değerleri atarsak ve yeni sistemi aşağıdan yukarıya (yani, alt denklemden üsttekine) ana bilinmeyenlere göre çözersek, o zaman şunu elde ederiz: bu SLAE'nin tüm çözümleri. Bu sistem, orijinal sistem (1) üzerindeki elemanter dönüşümlerle elde edildiğinden, o zaman elemanter dönüşümler altındaki denklik teoremi ile, sistemler (1) ve (2) eşdeğerdir, yani çözüm kümeleri çakışır.
Sonuçlar:
1: Bir ortak sistemde tüm değişkenler asal ise, böyle bir sistem kesindir.
2: Sistemdeki değişken sayısı denklem sayısını aşıyorsa, böyle bir sistem ya belirsizdir ya da tutarsızdır.
algoritma
SLAE'yi Gauss yöntemiyle çözme algoritması iki aşamaya ayrılmıştır.
İlk aşamada, sıralar üzerindeki temel dönüşümler yoluyla sistem kademeli veya üçgen bir forma getirildiğinde veya sistemin tutarsız olduğu belirlendiğinde, sözde doğrudan hareket gerçekleştirilir. Yani, matrisin ilk sütununun elemanları arasından sıfır olmayan bir tane seçilir, satırlar değiştirilerek en üst konuma taşınır ve permütasyondan sonra elde edilen ilk satır, kalan satırlardan çıkarılarak çarpılır. bu satırların her birinin ilk elemanının ilk satırın ilk elemanına oranına eşit bir değer ile, böylece altındaki sütun sıfırlanır. Belirtilen dönüşümler yapıldıktan sonra, ilk satır ve ilk sütun zihinsel olarak çizilir ve sıfır boyutlu bir matris kalana kadar devam edilir. İlk sütunun öğeleri arasındaki yinelemelerin bazılarında sıfır olmayan bir tane bulunamadıysa, bir sonraki sütuna gidin ve benzer bir işlem yapın.
İkinci aşamada, özü, ortaya çıkan tüm temel değişkenleri temel olmayanlar cinsinden ifade etmek ve temel bir çözüm sistemi oluşturmak olan veya tüm değişkenler temel ise, sözde ters hareket gerçekleştirilir. daha sonra lineer denklem sisteminin tek çözümünü sayısal olarak ifade edin. Bu prosedür, karşılık gelen temel değişkenin ifade edildiği (ve orada sadece bir tane vardır) ve önceki denklemlere ikame edildiği son denklemle başlar ve “adımlara” çıkarak devam eder. Her satır tam olarak bir temel değişkene karşılık gelir, bu nedenle son (en üstteki) hariç her adımda durum son satırın durumunu tam olarak tekrarlar.
Vektörler. Temel konseptler. Skaler çarpım, özellikleri.
Vektör yönlendirilmiş segment (sıralı bir nokta çifti) olarak adlandırılır. vektörler için de geçerlidir. boş başlangıcı ve sonu aynı olan bir vektör.
Uzunluk (modül) vektör, vektörün başlangıcı ile sonu arasındaki mesafedir.
vektörler denir doğrusal aynı veya paralel çizgiler üzerinde bulunuyorlarsa. Sıfır vektörü herhangi bir vektörle eşdoğrusaldır.
vektörler denir aynı düzlemde paralel oldukları bir düzlem varsa.
Doğrusal vektörler her zaman eş düzlemlidir, ancak tüm eş düzlemli vektörler eşdoğrusal değildir.
vektörler denir eşit doğrusal iseler, aynı yöne ve aynı mutlak değere sahiptirler.
Herhangi bir vektör ortak bir orijine indirgenebilir, yani. verilere karşılık gelen ve ortak bir orijine sahip vektörler oluşturun. Vektör eşitliği tanımından, herhangi bir vektörün kendisine eşit sonsuz sayıda vektörü olduğu sonucu çıkar.
Doğrusal işlemlerüzerinde vektörlere bir sayı ile toplama ve çarpma denir.
Vektörlerin toplamı vektördür - 
Çalışmak - 
, eşdoğrusal olurken.
Eğer a > 0 ise vektör ( ) vektörü ile eş yönlüdür.
Eğer bir vektör, vektörün ( ¯ ) karşısındadır.< 0.
Vektör özellikleri.
1) + = + - değişebilirlik.
2) + ( + ) = ( + )+
5) (a×b) = a(b) – çağrışım
6) (a + b) = a + b - dağılabilirlik
7) a( + ) = bir + bir
1) temel uzayda belirli bir sırayla alınan herhangi bir 3 eş düzlemli olmayan vektör olarak adlandırılır.
2) temel düzlemde belirli bir sırada alınan herhangi 2 doğrusal olmayan vektör vardır.
3)temel hatta sıfır olmayan herhangi bir vektör çağrılır.
Eğer bir 
uzayda bir tabandır ve , o zaman a, b ve g sayıları çağrılır bileşenler veya koordinatlar vektörler bu temelde.
Bu bağlamda şunları yazabiliriz. özellikleri:
eşit vektörler aynı koordinatlara sahiptir,
bir vektör bir sayı ile çarpıldığında, bileşenleri de o sayı ile çarpılır,
vektörler eklendiğinde, karşılık gelen bileşenleri eklenir.
; 
;
Vektörlerin lineer bağımlılığı.
Tanım.
vektörler 
isminde lineer bağımlı, eğer böyle bir lineer kombinasyon varsa, eğer a i aynı anda sıfıra eşit değilse, yani. 
.
Yalnızca a i = 0 sağlandığında, vektörlere lineer bağımsız denir.
Mülk 1. Vektörler arasında sıfır vektör varsa, bu vektörler lineer bağımlıdır.
Mülkiyet 2. Doğrusal olarak bağımlı vektörler sistemine bir veya daha fazla vektör eklenirse, sonuçta ortaya çıkan sistem de doğrusal olarak bağımlı olacaktır.
Mülk 3. Bir vektörler sistemi, ancak ve ancak vektörlerden birinin diğer vektörlerin doğrusal bir kombinasyonuna ayrıştırılması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.
Mülk 4. Herhangi 2 doğrusal vektör doğrusal olarak bağımlıdır ve tersine herhangi 2 doğrusal bağımlı vektör doğrusaldır.
Mülkiyet 5. Herhangi bir 3 eş düzlemli vektör doğrusal olarak bağımlıdır ve tersine, herhangi bir 3 doğrusal bağımlı vektör eş düzlemlidir.
Mülkiyet 6. Herhangi 4 vektör lineer bağımlıdır.
Koordinatlarda vektör uzunluğu vektörün başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki uzaklık olarak tanımlanır. A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) uzayında iki nokta verilmişse, o zaman .
M(x, y, z) noktası ise AB segmentini l / m oranında böler, daha sonra bu noktanın koordinatları şu şekilde tanımlanır:
Belirli bir durumda, koordinatlar segmentin ortası gibi bulunur:
x \u003d (x 1 + x 2) / 2; y = (y1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.
Koordinatlarda vektörler üzerinde doğrusal işlemler.
Koordinat eksenlerinin dönüşü
Altında dönüş koordinat eksenleri, orijin ve ölçeğin değişmeden kaldığı, her iki eksenin de aynı açıyla döndürüldüğü böyle bir koordinat dönüşümünü anlar.
Oxy sistemi α açısıyla döndürülerek yeni bir sistem O 1 x 1 y 1 elde edilsin.
Μ düzlemin keyfi bir noktası olsun, (x; y) - eski sistemdeki koordinatları ve (x"; y") - yeni sistemde.
Ortak kutup O ve kutup eksenleri Ox ve Οx 1 (ölçek aynıdır) olan iki kutupsal koordinat sistemini tanıtıyoruz. Kutup yarıçapı r her iki sistemde de aynıdır ve kutup açıları sırasıyla α + j ve φ'dir, burada φ yeni kutup sistemindeki kutup açısıdır.
Kutupsal koordinatlardan dikdörtgen koordinatlara geçiş formüllerine göre,
Ama rcosj = x" ve rsinφ = y". Böyle
Elde edilen formüller denir eksen döndürme formülleri . Rastgele bir M noktasının eski koordinatlarını (x; y) aynı M noktasının yeni koordinatları (x"; y") cinsinden belirlemeyi ve bunun tersini mümkün kılarlar.
Yeni koordinat sistemi O 1 x 1 y 1, koordinat eksenlerinin paralel transferi ve ardından eksenlerin bir α açısı kadar döndürülmesiyle eski Oxy'den elde edilirse (bkz. Şekil 30), o zaman yardımcı bir sistem tanıtmak kolaydır. formülleri elde etmek için
keyfi bir noktanın eski x ve y koordinatlarını yeni x" ve y" koordinatları cinsinden ifade etme.
Elips
Bir elips, bir düzlemdeki noktaların her birinden uzaklıklarının toplamıdır.
verilen iki noktaya kadar sabittir. Bu noktalara odak denir ve
tayin edildi F1 ve F2, aralarındaki mesafe 2s, ve her noktadan uzaklıkların toplamı
hileler - 2a(koşulla 2a>2c). Kartezyen bir koordinat sistemi oluşturuyoruz, böylece F1 ve F2 x ekseni üzerindeydi ve orijin segmentin ortasına denk geldi F1F2. Elips denklemini türetelim. Bunu yapmak için keyfi bir noktayı düşünün M(x, y) elips. A-manastırı: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c;y);F2M =(x-c; y).
|F1M|=(x+ c)2 + y 2 ; |F2M| = (x- c)2 + y 2
(x+ c)2 + y 2 + (x- c)2 + y 2 =2a(5)
x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(x- c)2 + y 2 +x2-2cx+c2+y2
4cx-4a2=4a(x- c)2 + y 2
a2-cx=a(x- c)2 + y 2
a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)
gibi 2a>2c(bir üçgenin iki kenarının toplamı üçüncü kenardan büyüktür), o zaman a2-c2>0.
İzin vermek a2-c2=b2
(a, 0), (−a, 0), (b, 0) ve (−b, 0) koordinatlarına sahip noktalara elipsin köşeleri denir, a değeri elipsin ana yarı eksenidir, ve b değeri onun küçük yarı eksenidir. F1(c, 0) ve F2(−c, 0) noktalarına odak denir
elips ve odak F1 sağ olarak adlandırılır ve odak F2 sol olarak adlandırılır. M noktası elipse aitse, uzaklıklar |F1M| ve |F2M| odak yarıçapları olarak adlandırılır ve sırasıyla r1 ve r2 ile gösterilir. E \u003d c / a değerine elipsin eksantrikliği denir. x =a/e denklemli düz çizgiler
ve x = −a/e, elipsin direktrixleri olarak adlandırılır (e = 0 için, elipsin direktrixleri yoktur).
düzlemin genel denklemi
Üç değişken x, y ve z ile birinci dereceden genel bir denklem düşünün:
A, B veya C katsayılarından en az birinin sıfıra eşit olmadığını varsayarak, örneğin denklemi (12.4) şeklinde yeniden yazarız.
Tanımlar . İzin vermek a, b gerçek sayılardır, ben biraz karakterdir. Karmaşık bir sayı, formun bir kaydıdır a+bi.
Ek ve çarpma işlemi karmaşık sayılar kümesindeki sayılar: (a+iki)+(c+di)=(a+c)+(b+d) ben,
(a+bi)(c+di)=(AC–bd)+(reklam+bc) ben. .
teorem 1 . Karmaşık sayılar kümesi İle toplama ve çarpma işlemleri ile bir alan oluşturur. Toplama özellikleri
1) değişebilirlik b: (a+iki)+(c+di)=(a+c)+(b+d) ben=(c+di)+(a+iki).
2) çağrışım :[(a+iki)+(c+di)]+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f) ben=(a+iki)+[(c+di)+(e+fi)].
3) Varlık nötr eleman :(a+iki)+(0 +0i)=(a+iki). Sayı 0 +0 ben sıfır diyeceğiz ve belirteceğiz 0 .
4) Varlık zıt eleman : (a+iki)+(–a–iki)=0 +0i=0 .
5) çarpmanın değişebilirliği : (a+bi)(c+di)=(AC–bd)+(M.Ö+reklam) ben=(c+di)(bir+iki).
6) çarpmanın ilişkiselliği :Eğer z1=a+iki, z2=c+di, z3=e+fi, o zamanlar (z 1 z 2)z 3=z 1 (z 2 z 3).
7) DAĞILMA: Eğer z1=a+iki, z2=c+di, z3=e+fi, o zamanlar z1 (z2+z3)=z1 z2+z1 z3.
8) çarpma için nötr eleman :(a+bi)(1+0i)=(bir 1–b 0)+(bir 0+b 1) ben=a+iki.
9) Sayı 1 +0i=1 - birim.
9) Varlık ters eleman : "z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .
İzin vermek z=a+iki. Gerçek sayılar a, isminde geçerli, a b - hayali parçalar karmaşık sayı z. Notasyonlar kullanılır: a=rez, b=imz.
Eğer bir b=0 , o zamanlar z=a+ 0i=a gerçek bir sayıdır. Bu nedenle reel sayılar kümesi R karmaşık sayılar kümesinin bir parçasıdır C: R Í C.
Not: ben 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Bu sayı özelliğini kullanma ben, Teorem 1'de kanıtlanan işlemlerin özelliklerinin yanı sıra, olağan kurallara göre karmaşık sayılarla işlemler gerçekleştirilebilir, ben 2üzerinde - 1 .
Yorum. Karmaşık sayılar için £, ³ (“küçüktür”, “büyüktür”) bağıntıları tanımlanmamıştır.
2 Trigonometrik gösterim .
z = a+bi gösterimi denir cebirsel karmaşık sayı gösterimi . Seçilmiş bir Kartezyen koordinat sistemine sahip bir düzlem düşünün. sayıyı temsil edelim z koordinatlarla nokta (a,b). Daha sonra gerçek sayılar a=a+0i eksen noktaları ile temsil edilecektir ÖKÜZ- denir geçerli eksen. eksen OY isminde hayali eksen, noktaları formun sayılarına karşılık gelir iki, bazen denir tamamen hayali . Tüm uçak denir karmaşık düzlem .Numara aranır modül sayılar z: ,
kutup açısı j isminde argüman sayılar z: j=argz.
Argüman süreye kadar belirlenir 2kp; hangi değer - p< j £ p , denir ana önem argüman. Sayılar r, j noktanın kutupsal koordinatlarıdır z. açık ki a=r cosj, b=r günah, ve şunu elde ederiz: z=a+ben=r (cosj+ben günah). trigonometrik form karmaşık sayının gösterimi.
eşlenik sayılar . Karmaşık bir sayıya bir sayının eşleniği denir.z = a + iki . Bu açık. Özellikleri : .
Yorum. Eşlenik sayıların toplamı ve çarpımı gerçek sayılardır:
tanım Karmaşık sayılar sistemi, gerçek sayılar alanının bir uzantısı olan ve içinde i (i 2 -1 = 0) öğesinin bulunduğu min-inci alandır.
tanım Cebir<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>aşağıdaki koşulları (aksiyomlar) verirseniz, sys-th comp-th sayıları olarak adlandırılır:
1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m
2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)
3. a,b∊ℂa+b=b+a
4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a
5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0
6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n
7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)
8. a,b∊ℂa∙b=b∙a
9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a
10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1
11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc
12.
13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b
14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0
15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ ve (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ
St. va ℂ numaraları:
1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i
2. Comp sayılarının alanı doğrusal olarak sıralanamaz, yani. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-imkansız.
3. Cebirin temel teoremi: Sayıların alanı ℂ cebirsel olarak kapalıdır, yani herhangi bir pl. ℂ alanı üzerinde derece olan sayıların en az bir kümesi vardır. kök
Bir sonraki ana. teoremler alg.: Herhangi bir çoğul konum. karmaşık sayılar alanı üzerindeki dereceler, pozitif bir katsayılı birinci derecenin bir ürününe ayrıştırılabilir.
Sonraki: herhangi bir ur-e karesinin 2 kökü vardır: 1) D>0 2-a diff. eylem kök 2)D=0 2-a gerçek. çakışık-x kökü 3)D<0 2-а компл-х корня.
4. Aksiyomlar. karmaşık sayılar teorisi kategorik ve tutarlıdır
Metodoloji.
Genel eğitim sınıflarında karmaşık sayı kavramı dikkate alınmaz, sadece gerçek sayıların incelenmesi ile sınırlıdır. Ancak üst sınıflarda, okul çocukları zaten oldukça olgun bir matematik eğitimine sahipler ve sayı kavramını genişletme ihtiyacını anlayabiliyorlar. Genel gelişim açısından bakıldığında, bir öğrenci için gelecekteki bir meslek seçme sürecinde önemli olan karmaşık sayılar hakkında bilgi, doğa bilimleri ve teknolojide kullanılır. Bazı ders kitaplarının yazarları, cebir üzerine ders kitaplarında bu konunun çalışmasını zorunlu olarak ve devlet standardı tarafından sağlanan uzmanlık seviyeleri için matematiksel analiz ilkelerini içerir.
Metodolojik açıdan bakıldığında, “Karmaşık Sayılar” konusu, temel matematik dersinde ortaya konan polinomlar ve sayılar hakkındaki fikirleri geliştirir ve derinleştirir, bir anlamda lisede sayı kavramının gelişimini tamamlar.
Bununla birlikte, lisede bile, birçok okul çocuğu soyut düşünmeyi zayıf bir şekilde geliştirmiştir veya koordinat ve karmaşık düzlemler arasındaki farkları anlamak için “hayali, hayali” bir birim hayal etmek çok zordur. Ya da tam tersi, öğrenci gerçek içeriklerinden soyutlanmış soyut kavramlarla çalışır.
“Karmaşık sayılar” konusunu çalıştıktan sonra, öğrenciler karmaşık sayıları net bir şekilde anlamalı, karmaşık sayının cebirsel, geometrik ve trigonometrik formlarını bilmelidir. Karmaşık sayılar üzerinde toplama, çarpma, çıkarma, bölme, bir kuvvete yükseltme, bir karmaşık sayıdan kök çıkarma işlemlerini yapabilmeli; karmaşık sayıları cebirsel biçimden trigonometriye çevirmek, karmaşık sayıların geometrik modeli hakkında fikir sahibi olmak
N.Ya. Vilenkin, O.S. Ivashev-Musatov, S.I. Shvartsburd'un matematik dersleri için ders kitabında "Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı", "Karmaşık sayılar" konusu 11. sınıfta tanıtılmaktadır. Konunun çalışması, trigonometri bölümü 10. sınıfta ve 11. sınıfta - integral ve diferansiyel denklemler, üstel, logaritmik ve güç fonksiyonları, polinomlar üzerinde çalışıldıktan sonra 11. sınıfın ikinci yarısında sunulmaktadır. Ders kitabında "Karmaşık sayılar ve bunlarla ilgili işlemler" konusu iki bölüme ayrılmıştır: Cebirsel formda karmaşık sayılar; Karmaşık sayıların trigonometrik formu. "Karmaşık sayılar ve bunlarla ilgili işlemler" konusunun ele alınması, ikinci dereceden denklemleri, üçüncü ve dördüncü dereceden denklemleri çözme konusunun dikkate alınmasıyla başlar ve sonuç olarak "yeni bir sayı i" sunma ihtiyacı ortaya çıkar. Karmaşık sayı kavramları ve bunlarla ilgili işlemler hemen verilir: karmaşık sayıların toplamını, çarpımını ve bölümünü bulma. Ardından, karmaşık sayı kavramının kesin bir tanımı, toplama ve çarpma, çıkarma ve bölme işlemlerinin özellikleri verilir. Bir sonraki alt bölüm, eşlenik karmaşık sayılar ve bunların bazı özellikleriyle ilgilidir. Daha sonra, karmaşık sayılardan karekök çıkarma ve karmaşık katsayılı ikinci dereceden denklemleri çözme sorununu ele alıyoruz. Aşağıdaki paragraf şunlarla ilgilidir: karmaşık sayıların geometrik gösterimi; kutupsal koordinat sistemi ve karmaşık sayıların trigonometrik biçimi; trigonometrik biçimde karmaşık sayıların çarpması, üslenmesi ve bölünmesi; de Moivre'nin formülü, karmaşık sayıların trigonometrik özdeşliklerin ispatına uygulanması; karmaşık bir sayıdan kök çıkarma; polinom cebirinin temel teoremi; karmaşık sayılar ve geometrik dönüşümler, karmaşık bir değişkenin işlevleri.
Ders kitabında S.M. Nikolsky, M.K. Potapova, N.N. Reshetnikova, A.V. Shevkin "Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı", "Karmaşık sayılar tüm konuları çalıştıktan sonra 11. sınıfta ele alınır, yani. okul cebir kursunun sonunda. Konu üç bölüme ayrılmıştır: Karmaşık sayıların cebirsel formu ve geometrik yorumu; Karmaşık sayıların trigonometrik formu; Polinomların kökleri, karmaşık sayıların üstel şekli. Paragrafların içeriği oldukça hacimlidir, birçok kavram, tanım, teorem içerir. "Karmaşık sayıların cebirsel biçimi ve geometrik yorumu" paragrafı üç bölümden oluşur: bir karmaşık sayının cebirsel biçimi; eşlenik karmaşık sayılar; karmaşık bir sayının geometrik yorumu. "Bir karmaşık sayının trigonometrik biçimi" paragrafı, karmaşık bir sayının trigonometrik biçimi kavramını tanıtmak için gerekli tanımları ve kavramları ve ayrıca cebirsel bir gösterim biçiminden karmaşık bir sayının trigonometrik biçimine geçiş için bir algoritma içerir. Son paragrafta “Polinomların kökleri. Karmaşık sayıların üstel formu” üç bölümden oluşur: karmaşık sayıların kökleri ve özellikleri; polinomların kökleri; karmaşık sayının üstel formu.
Ders kitabı materyali küçük bir ciltte sunulur, ancak öğrencilerin karmaşık sayıların özünü anlamaları ve onlar hakkında minimum bilgiye hakim olmaları için oldukça yeterlidir. Ders kitabında az sayıda alıştırma vardır ve karmaşık bir sayıyı bir kuvvete yükseltme konusunu ve De Moivre'nin formülünü ele almaz.
Ders kitabında A.G. Mordkovich, P.V. Semenov "Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı", profil seviyesi, 10. sınıf, "Karmaşık sayılar" konusu, "Gerçek sayılar" ve "Trigonometri" konularını inceledikten hemen sonra 10. sınıfın ikinci yarısında tanıtılmaktadır. Bu yerleştirme tesadüfi değildir: hem sayısal daire hem de trigonometri formülleri, karmaşık bir sayıdan kare ve kübik kökleri çıkarırken, karmaşık bir sayının trigonometrik formunun, Moivre formülünün çalışmasında aktif olarak kullanılır. "Karmaşık sayılar" konusu 6. bölümde sunulmuştur ve 5 bölüme ayrılmıştır: karmaşık sayılar ve bunlarla ilgili aritmetik işlemler; karmaşık sayılar ve koordinat düzlemi; karmaşık bir sayı yazmanın trigonometrik biçimi; karmaşık sayılar ve ikinci dereceden denklemler; karmaşık bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek, karmaşık bir sayının küp kökünü çıkarmak.
Karmaşık sayı kavramı, sayı kavramının bir uzantısı olarak ve gerçek sayılarda belirli işlemlerin yapılmasının imkansızlığı olarak tanıtılmaktadır. Ders kitabı, ana sayısal kümeleri ve bunlarda izin verilen işlemleri içeren bir tablo içerir. Karmaşık sayıların sağlaması gereken minimum koşullar listelenir ve ardından hayali birim kavramı, karmaşık sayının tanımı, karmaşık sayıların eşitliği, toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü tanıtılır.
Gerçek sayılar kümesinin geometrik modelinden karmaşık sayılar kümesinin geometrik modeline geçerler. "Karmaşık bir sayı yazmanın trigonometrik biçimi" konusunun ele alınması, karmaşık bir sayının modülünün tanımı ve özellikleri ile başlar. Daha sonra, karmaşık bir sayı yazmanın trigonometrik biçimini, karmaşık bir sayının argümanının tanımını ve bir karmaşık sayının standart trigonometrik biçimini ele alacağız.
Daha sonra, karmaşık bir sayının karekökünün çıkarılmasını, ikinci dereceden denklemlerin çözümünü inceliyoruz. Ve son paragrafta, Moivre formülü tanıtılır ve karmaşık bir sayıdan küp kökünü çıkarmak için bir algoritma türetilir.
Ayrıca incelenen ders kitabında, her paragrafta teorik kısma paralel olarak, teoriyi örnekleyen ve konunun daha anlamlı bir şekilde algılanmasını sağlayan çeşitli örnekler ele alınmaktadır. Kısa tarihsel gerçekler verilir.
karmaşık sayı z isminde ifade, nerede a ve içinde- gerçek sayılar, ben hayali bir birim veya özel bir işarettir.
Aşağıdaki anlaşmalar takip edilir:
1) a + bi ifadesi ile cebirde literal ifadeler için kabul edilen kurallara göre aritmetik işlemler yapılabilir;
5) a, b, c, d'nin reel sayılar olduğu a+bi=c+di eşitliği, ancak ve ancak a=c ve b=d olduğunda gerçekleşir.
0+bi=bi sayısı denir hayali veya tamamen hayali.
Herhangi bir a reel sayısı, a=a+ 0i şeklinde yazılabileceğinden, bir karmaşık sayının özel halidir. Özellikle, 0=0+0i, ancak a+bi=0 ise, o zaman a+bi=0+0i, dolayısıyla a=b=0.
Bu nedenle, bir karmaşık sayı a+bi=0 ise ve ancak ve ancak a=0 ve b=0 ise.
Karmaşık sayıların dönüşüm yasaları, sözleşmelerden kaynaklanmaktadır:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;
Karmaşık sayıların toplamının, farkının, çarpımının ve bölümünün (bölenin sıfıra eşit olmadığı yerde) sırayla karmaşık bir sayı olduğunu görüyoruz.
Sayı a isminde karmaşık sayının reel kısmı z(belirtilen) içinde z karmaşık sayısının sanal kısmıdır ( ile gösterilir).
Gerçel kısmı sıfır olan karmaşık bir z sayısı denir. tamamen hayali, sıfır hayali ile - tamamen gerçek.
İki karmaşık sayı denir. eşit, aynı gerçek ve hayali parçalara sahiplerse.
İki karmaşık sayı denir. konjuge maddeleri varsa. parçalar çakışır ve hayali olanlar işaretlerde farklılık gösterir. , sonra ona eşlenik.
Eşlenik sayıların toplamı, maddelerin sayısıdır ve fark, tamamen hayali bir sayıdır. Karmaşık sayılar kümesinde, sayıların çarpma ve toplama işlemleri doğal olarak tanımlanır. Yani, eğer ve iki karmaşık sayı ise, toplam: ; İş: .
Şimdi çıkarma ve bölme işlemlerini tanımlıyoruz.
İki karmaşık sayının çarpımının madde sayısı olduğuna dikkat edin.
(çünkü i=-1). Bu numara denir modül kare sayılar. Bu nedenle, eğer bir sayı ise, modülü gerçek bir sayıdır.
Gerçek sayıların aksine, karmaşık sayılar için "daha fazla", "daha az" kavramı tanıtılmaz.
Karmaşık sayıların geometrik gösterimi. Gerçek sayılar, sayı doğrusunda noktalarla gösterilir:
İşte nokta A sayı -3, nokta anlamına gelir B 2 numaradır ve Ö- sıfır. Buna karşılık, karmaşık sayılar koordinat düzleminde noktalarla temsil edilir. Bunun için her iki eksende de aynı ölçeklerde dikdörtgen (Kartezyen) koordinatlar seçiyoruz. Daha sonra karmaşık sayı bir + iki bir nokta ile temsil edilecek Apsis a ve ordinat b ile P(pilav.). Bu koordinat sistemi denir karmaşık düzlem.
modül karmaşık sayıya vektörün uzunluğu denir OP, koordinatta karmaşık bir sayıyı gösteren ( kapsayıcı) uçak. karmaşık sayı modülü bir + iki| ile gösterilir bir + iki| veya mektup r ve şuna eşittir:
Eşlenik karmaşık sayılar aynı modüle sahiptir. __
Argüman karmaşık sayı eksen arasındaki açıdır ÖKÜZ ve vektör OP bu karmaşık sayıyı temsil eder. Dolayısıyla, tan = b / a .
Karmaşık bir sayının trigonometrik formu. Cebirsel biçimde karmaşık bir sayı yazmanın yanı sıra, bir başkası da kullanılır. trigonometrik.
z=a+bi karmaşık sayısı, (a,b) koordinatlarıyla ОА vektörü ile temsil edilsin. OA vektörünün uzunluğunu r: r=|OA| olarak ve Ox ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıyı φ açısı ile belirleyelim.
sinφ=b/r, cosφ=a/r fonksiyonlarının tanımları kullanılarak, z=a+bi karmaşık sayısı z=r(cosφ+i*sinφ) şeklinde yazılabilir, burada , ve φ açısı aşağıdakilerden belirlenir. koşullar
trigonometrik form z karmaşık sayısı, z=r(cosφ+i*sinφ) biçimindeki temsilidir, burada r ve φ gerçek sayılar ve r≥0'dır.
Gerçekten de, r sayısı denir modül karmaşık sayıdır ve |z| ile gösterilir ve φ açısı karmaşık z sayısının argümanı ile gösterilir. Karmaşık bir z sayısının φ argümanı Arg z ile gösterilir.
Trigonometrik biçimde temsil edilen karmaşık sayılarla işlemler:
ünlü Moivre formülü.
8 .Vektör Uzayı. Vektör uzaylarının örnekleri ve basit özellikleri. Vektörler sisteminin lineer bağımlılığı ve bağımsızlığı. Sonlu bir vektör sisteminin temeli ve derecesi
Vektör Uzayı - sıradan üç boyutlu uzayın tüm (serbest) vektörlerinin toplamı kavramını genelleştiren matematiksel kavram.
Üç boyutlu uzayda vektörler için vektör toplama ve gerçek sayılarla çarpma kuralları verilmiştir. Herhangi bir vektöre uygulanır x, y, z ve herhangi bir sayı α, β bu kurallar tatmin edici aşağıdaki koşullar:
1) X+de=de+X(toplamanın değişmeliliği);
2)(X+de)+z=x+(y+z) (toplamanın birlikteliği);
3) sıfır vektör var 0 (veya boş vektör) koşulu sağlayan x+0 =x: herhangi bir vektör için x;
4) herhangi bir vektör için X zıt bir vektör var deöyle ki X+de =0 ,
5) 1 adet=X,1 alan birimi nerede
6) α (βx)=(αβ )X(çarpmanın ilişkiselliği), burada çarpım αβ skalerlerin ürünüdür
7) (α +β )X=ax+βx(sayısal bir faktöre göre dağılım özelliği);
8) α (X+de)=ax+ey(vektör faktörüne göre dağılım özelliği).
Bir vektör (veya doğrusal) uzay bir kümedir. R, 1-8 koşullarını sağlayan gerçek sayılarla eleman toplama ve elemanları çarpma işlemlerini tanımlayan herhangi bir nitelikteki elemanlardan (vektörler olarak adlandırılır) oluşan.
Bu tür uzaylara örnek olarak reel sayılar kümesi, düzlemdeki ve uzaydaki vektörler kümesi, matrisler vb. verilebilir.
Teorem "Vektör uzaylarının en basit özellikleri"
1. Bir vektör uzayında sadece bir tane boş vektör vardır.
2. Bir vektör uzayında, herhangi bir vektörün kendine özgü bir karşıtı vardır.
4. .
belge girişi
0, V vektör uzayının sıfır vektörü olsun. Başka bir sıfır vektörü olsun. Sonra . İlk durumda ve ikinci durumda alalım - . Sonra ve bunu nereden takip ediyor, p.t.d.
İlk önce sıfır skaler ve herhangi bir vektörün çarpımının bir sıfır vektöre eşit olduğunu kanıtlıyoruz.
İzin vermek . Ardından, vektör uzayı aksiyomlarını uygulayarak şunu elde ederiz:
Toplama ile ilgili olarak, bir vektör uzayı bir Abelian gruptur ve iptal yasası herhangi bir grupta geçerlidir. İndirgeme yasasını uygulayarak, son eşitlikten 0 * x \u003d 0 gelir
Şimdi 4. iddiayı kanıtlıyoruz. keyfi bir vektör olsun. Sonra
Bu, (-1)x vektörünün x vektörünün tersi olduğu anlamına gelir.
Şimdi x=0 olsun. Ardından, vektör uzayı aksiyomlarını uygulayarak şunu elde ederiz:
Bunu varsayalım. K bir alan olduğu için vardır. Soldaki eşitliği şu ile çarpalım: 1*x=0 veya x=0 anlamına gelir
Vektörler sisteminin lineer bağımlılığı ve bağımsızlığı. Bir dizi vektöre vektör sistemi denir.
Bir vektör sistemine, hepsi aynı anda sıfıra eşit olmayan sayılar varsa, lineer bağımlı denir, öyle ki (1)
Eşitlik (1) yalnızca için mümkünse, yani k vektörlerinden oluşan bir sistem lineer bağımsız olarak adlandırılır. eşitliğin (1) sol tarafındaki doğrusal kombinasyon önemsiz olduğunda.
Notlar:
1. Bir vektör ayrıca bir sistem oluşturur: lineer bağımlı ve lineer bağımsız için.
2. Vektörler sisteminin herhangi bir parçasına alt sistem denir.
Lineer bağımlı ve lineer bağımsız vektörlerin özellikleri:
1. Vektörler sistemi bir sıfır vektörü içeriyorsa, o zaman lineer bağımlıdır.
2. Bir vektör sisteminde iki eşit vektör varsa, o zaman lineer bağımlıdır.
3. Vektör sisteminde iki orantılı vektör varsa, o zaman lineer bağımlıdır.
4. Bir k>1 vektör sistemi, ancak ve ancak vektörlerden en az birinin diğerlerinin lineer bir kombinasyonu olması durumunda lineer bağımlıdır.
5. Doğrusal olarak bağımsız bir sisteme dahil edilen herhangi bir vektör, doğrusal olarak bağımsız bir alt sistem oluşturur.
6. Lineer bağımlı bir alt sistem içeren bir vektörler sistemi lineer bağımlıdır.
7. Vektörler sistemi doğrusal olarak bağımsızsa ve ona bir vektör eklendikten sonra doğrusal olarak bağımlı olduğu ortaya çıkarsa, vektör vektörlerde genişletilebilir ve ayrıca benzersiz bir şekilde, yani. genişleme katsayıları benzersiz olarak bulunur.
Örneğin, son özelliği ispatlayalım. Vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlı olduğundan, tümü 0'a eşit olmayan sayılar vardır, yani. bu eşitlikte. Gerçekten, eğer öyleyse. Bu, önemsiz olmayan bir doğrusal vektör kombinasyonunun, sistemin doğrusal bağımsızlığıyla çelişen sıfır vektörüne eşit olduğu anlamına gelir. Bu nedenle ve sonra, yani. vektör, vektörlerin doğrusal bir birleşimidir. Böyle bir temsilin benzersizliğini göstermek için kalır. Tam tersini varsayalım. İki açılım olsun ve olsun ve tüm genişleme katsayıları sırasıyla birbirine eşit değil (örneğin, ).
Sonra eşitlikten elde ederiz.
Bu nedenle, vektörlerin lineer kombinasyonu sıfır vektöre eşittir. Katsayılarının tümü sıfıra (en azından ) eşit olmadığından, bu kombinasyon önemsiz değildir, bu da vektörlerin doğrusal bağımsızlığı koşuluyla çelişir. Ortaya çıkan çelişki, ayrışmanın benzersizliğini doğrular.
Vektörler sisteminin sırası ve temeli. Bir vektör sisteminin rankı, sistemin lineer bağımsız vektörlerinin maksimum sayısıdır.
Vektörler sisteminin temeli verilen vektör sisteminin maksimum lineer bağımsız alt sistemidir.
Teorem. Herhangi bir sistem vektörü, sistem temel vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir. (Sistemin herhangi bir vektörü, temel vektörlere ayrıştırılabilir.) Genişleme katsayıları, belirli bir vektör ve belirli bir temel için benzersiz bir şekilde belirlenir.
belge girişi:
Sistemin bir temeli olsun.
1 vaka. Vektör - temelinden. Bu nedenle, temel vektörlerden birine eşittir, diyelim. Sonra = .
2. durum. Vektör tabandan değildir. Sonra r>k.
Bir vektörler sistemi düşünün. Bu sistem lineer bağımlıdır, çünkü bir temeldir, yani. maksimum lineer bağımsız alt sistem. Bu nedenle, 1 , 2 , …, k , ile, tümü sıfıra eşit olmayan sayılar vardır, öyle ki
Açıktır ki (eğer c=0 ise, sistemin temeli lineer bağımlıdır).
Bir vektörün taban cinsinden açılımının tek olduğunu ispatlayalım. Tersini varsayalım: vektörün tabana göre iki açılımı vardır.
Bu eşitlikleri çıkarırsak,
Temel vektörlerin lineer bağımsızlığını hesaba katarak, şunu elde ederiz:
Bu nedenle, bir vektörün bir taban cinsinden açılımı benzersizdir.
Sistemin herhangi bir tabanındaki vektörlerin sayısı aynı ve vektörler sisteminin rankına eşittir.
Yükleniyor...