Bir dizi, belirli bir yasaya göre oluşturulmuş oldukça sıralı bir sayısal kümedir. "Seri" terimi, karşılık gelen dizinin terimlerinin eklenmesinin sonucunu belirtir. Çeşitli sayısal diziler için, tüm üyelerinin toplamını veya belirli bir sınıra kadar toplam eleman sayısını bulabiliriz.

müteakip

Bu terim, sayı uzayının belirli bir öğeleri kümesini ifade eder. Her matematiksel nesneye dizinin ortak öğesini belirlemek için belirli bir formül verilir ve çoğu sonlu sayısal küme için toplamlarını belirlemek için basit formüller vardır. Programımız, en popüler sayısal kümelerin toplamını hesaplamak için tasarlanmış 8 çevrimiçi hesap makinesinden oluşan bir koleksiyondur. En basitiyle başlayalım - günlük hayatta nesneleri saymak için kullandığımız doğal seri.

doğal sıra

Öğrenciler sayıları öğrendiğinde, öğrendikleri ilk şey elma gibi nesneleri saymaktır. Doğal sayılar nesneleri sayarken doğal olarak ortaya çıkar ve her çocuk 2 elmanın her zaman 2 elma olduğunu bilir, ne eksik ne fazla. Doğal seri, n'ye benzeyen basit bir yasayla verilir. Formül, sayı kümesinin n'inci üyesinin n'ye eşit olduğunu söylüyor: birincisi 1, ikincisi 2, dört yüz elli birincisi 451 ve böyle devam ediyor. İlk n doğal sayının, yani 1'den başlayarak toplanmasının sonucu basit bir formülle belirlenir:

∑ = 0,5n × (n+1).

Doğal serilerin toplamının hesaplanması

Hesaplamalar için, hesap makinesi menüsünde n doğal serisinin formülünü seçmeniz ve dizideki terim sayısını girmeniz gerekecektir. 1'den 15'e kadar olan doğal serilerin toplamını hesaplayalım. n = 15 belirterek, sonucu dizinin kendisi şeklinde elde edeceksiniz:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

ve doğal serinin toplamı 120'ye eşittir.

Yukarıdaki formülü kullanarak hesaplamaların doğruluğunu kontrol etmek kolaydır. Örneğimiz için, toplamanın sonucu 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120 olacaktır. Bu doğru.

kareler dizisi

Her terimin karesi alınarak doğal olandan ikinci dereceden bir dizi oluşturulur. n 2 yasasına göre bir dizi kare oluşturulur, bu nedenle dizinin n'inci üyesi n 2'ye eşit olacaktır: birinci - 1, ikinci - 2 2 \u003d 4, üçüncü - 3 2 \ u003d 9 vb. İkinci dereceden dizinin ilk n elemanının toplanmasının sonucu yasaya göre hesaplanır:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

Bu formülle, keyfi olarak büyük n için 1'den n'ye kadar olan karelerin toplamını kolayca hesaplayabilirsiniz. Bu dizinin de sonsuz olduğu açıktır ve n büyüdükçe sayısal kümenin toplam değeri de artacaktır.

Bir kare serinin toplamının hesaplanması

Bu durumda, program menüsünde n 2 kare dizisinin yasasını seçmeniz ve ardından n değerini seçmeniz gerekecektir. (n=10) dizisinin ilk on teriminin toplamını hesaplayalım. Program sırayı kendisi verecektir:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

yanı sıra 385'e eşit bir miktar.

kübik seri

Bir dizi küp, küpü alınmış bir doğal sayılar dizisidir. Dizinin ortak bir elemanının oluşum yasası n 3 olarak yazılır. Böylece, dizinin ilk üyesi 1 3 = 1, ikincisi 2 3 = 8, üçüncüsü 3 3 = 27, vb. Kübik dizinin ilk n elemanının toplamı aşağıdaki formülle belirlenir:

∑ = (0,5n × (n+1)) 2

Önceki durumlarda olduğu gibi, sayı uzayının elemanları sonsuz olma eğilimindedir ve terim sayısı ne kadar fazlaysa, toplama sonucu da o kadar büyük olur.

Kübik serilerin toplamının hesaplanması

Başlamak için, hesap makinesi menüsünde n 3 kübik serisinin yasasını seçin ve herhangi bir n değerini ayarlayın. 13 terimlik bir dizinin toplamını bulalım. Hesap makinesi bize sonucu bir dizi şeklinde verecektir:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

ve buna karşılık gelen serinin toplamı, 8281'e eşittir.

Tek sayıların sırası

Doğal sayılar kümesi, tek öğelerin bir alt kümesini, yani 2'ye kalansız bölünemeyenleri içerir. Tek sayıların dizisi 2n - 1 ifadesiyle belirlenir. Kanuna göre dizinin ilk terimi 2 × 1 - 1 = 1, ikincisi - 2 × 2 - 1 = 3, üçüncüsü ise 2 × 1 - 1 = 3'e eşit olacaktır. - 2 × 3 - 1 = 5 vb. Tek bir satırın ilk n öğesinin toplamı basit bir formül kullanılarak hesaplanır:

Bir örnek düşünün.

Tek sayıların toplamını hesaplama

İlk önce, program menüsünde 2n−1 tek dizisinin oluşum yasasını seçin, ardından n'yi girin. Tek sayı dizisinin ilk 12 terimini ve toplamını bulalım. Hesap makinesi sonucu anında bir dizi sayı olarak verecektir:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

144 olan tek serinin toplamının yanı sıra. Ve gerçekten de 12 2 = 144. Bu doğru.

dikdörtgen sayılar

Dikdörtgen sayılar, geometrik şekiller ve gövdeler oluşturmak için gereken sayısal öğeler sınıfı olan kıvrımlı sayılar sınıfına aittir. Örneğin, bir üçgen oluşturmak için 3, 6 veya 10 puana, bir kare - 4, 9 veya 16 puana ve bir tetrahedron yerleştirmek için 4, 10 veya 20 top veya küp gerekir. Dikdörtgenler, örneğin 1 ve 2, 7 ve 8, 56 ve 57 gibi ardışık iki sayı kullanılarak kolayca oluşturulabilir. Dikdörtgen sayılar, ardışık iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilir. Serinin ortak terimi için formül n × (n+1) gibi görünüyor. Böyle bir sayısal kümenin ilk on elemanı şöyle görünür:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

n'deki bir artışla, dikdörtgen sayıların değeri de artar, bu nedenle böyle bir serinin toplamı da artacaktır.

ters sıra

Dikdörtgen sayılar için 1 / (n × (n+1)) formülüyle tanımlanan bir ters dizi vardır. Sayı kümesi bir kesir kümesine dönüştürülür ve şöyle görünür:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

Bir dizi kesrin toplamı aşağıdaki formülle belirlenir:

∑ = 1 - 1/(n+1).

Açıkçası, dizideki eleman sayısı arttıkça, 1/(n + 1) kesrinin değeri sıfıra yönelir ve toplama sonucu bire yaklaşır. Örnekleri düşünün.

Dikdörtgen serinin toplamı ve tersi

n = 20 için dikdörtgen bir dizinin değerini hesaplayalım. Bunu yapmak için, çevrimiçi hesap makinesi menüsünde n × (n + 1) sayısal kümesinin ortak üyesini belirtmek için yasayı seçin ve n'yi belirtin. Program anlık sonucu 3080 olarak döndürecektir. Ters seriyi hesaplamak için kanunu 1 / (n × (n+1)) olarak değiştirin. Karşılıklı sayısal öğelerin toplamı 0,952'ye eşit olacaktır.

Ardışık üç sayıdan oluşan ürün serisi

Dikdörtgen bir sayı kümesi, ona ardışık başka bir çarpan eklenerek değiştirilebilir. Bu nedenle, kümenin n'inci elemanını hesaplama formülü n × (n+1) × (n+2)'ye dönüştürülecektir. Bu formüle göre, bir dizinin elemanları, örneğin 1 × 2 × 3 veya 10 × 11 × 12 gibi ardışık üç sayının bir ürünü olarak oluşturulur. Böyle bir dizinin ilk on elemanı şöyle görünür:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Bu hızla büyüyen bir sayısal kümedir ve karşılık gelen serilerin toplamı n büyüdükçe sonsuza gider.

ters sıra

Önceki durumda olduğu gibi, n'inci terimin formülünü tersine çevirebilir ve 1 / (n × (n+1) × (n+2)) ifadesini elde edebiliriz. Daha sonra tamsayı değerleri kümesi, paydası ardışık üç sayının ürünü olacak bir dizi kesire dönüştürülecektir. Böyle bir setin başlangıcı şöyle görünür:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

Karşılık gelen serinin toplamı aşağıdaki formülle belirlenir:

∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).

Açıkçası, eleman sayısı arttıkça, 1 / ((n + 1) × (n + 2)) kesri sıfır olma eğilimindedir ve serilerin toplamı 0,5 × 0,5 = 0,25 değerine yaklaşır. Örnekleri düşünün.

Ardışık üç sayının bir ürün serisi ve tersi

Bu kümeyle çalışmak için, ortak n × (n + 1) × (n + 2) ve n kümesini, örneğin 100'ü belirlemek için yasayı seçmeniz gerekir. Hesap makinesi size dizinin kendisini de verecektir. 26 527 650'ye eşit yüzlerce sayının toplanmasının sonucunun değeri olarak. Ters yasayı seçersek 1 / (n × (n + 1) × (n + 2)), 100 terimlik bir dizinin toplamı 0.250'ye eşit olacaktır.

Çözüm

Temel kavramlar ve tanımlar

Sonsuz bir sayı dizisi verilsin:

, … (1.1)

Geçen yıl bir sayı dizisini doğal bir argümanın fonksiyonu olarak tanımlamıştık. Bu, dizinin her bir üyesinin kendi sayısının bir fonksiyonu olduğu anlamına gelir. P: . Bundan sonra, bazen ele alacağız P sıfıra eşit, bu nedenle sayısal dizi bir fonksiyon olarak tanımlanacak tam sayı argüman ("tamsayı" kelimelerinden).

Tanım 1.İfade

(1.2)

isminde sonsuz sayı doğrusu veya kısaca, yakın. Sıra Üyeleri ,… arandı bir sayının üyeleri; indeksli ifade P- serinin ortak üyesi.

Bir diziyi bir diziden ayırt etmek kolaydır: dizinin üyeleri virgülle ayrılarak yazılır, dizinin üyeleri artı işaretleri ile bağlanır.

Bu nedenle, bir dizi kavramı, sonsuz sayıda terimin durumuna toplamın bir genellemesidir.

Ortak teriminin formülü biliniyorsa (verilirse) bir seri verilmiş olarak kabul edilir. Dizinin (1.2) ortak terimi, dizinin (1.1) ortak terimiyle çakışır ve aynı zamanda tamsayı argümanının bir işlevidir. n, yani . Örneğin, ortak bir terim olarak verilirse

, (1.3)

sonra, bu formülü koyarak n= 1, 2, 3,..., dizinin herhangi bir üyesi ve dolayısıyla dizinin tamamı bulunabilir:

- dizi üyeleri veya dizi üyeleri,

(1.4)

Numara satırı.

Tanım. toplam n serinin ilk üyeleri denir n- ah bir dizinin kısmi toplamı ve sembolü ile gösterilir:

Şu şekilde yazılabilir: .

Özellikle,

(1.2) serisinin tüm kısmi toplamlarından sayısal bir dizi oluştururuz:

(1.7)

denir kısmi toplamlar dizisi. Herhangi bir sayı dizisi gibi, bir sınırı olabilir, yani. yakınsama veya sınırı yok, ör. ayrılmak. Kısmi toplamlar dizisinin sınırı, varsa, harfle gösterilir. S.

Tanım. satır denir yakınsak(kürek çekmek yakınsar) bu serinin kısmi toplamları dizisi yakınsarsa. Aynı zamanda, sınır S kısmi toplamlar dizisi denir bu serinin toplamı, yani

. (1.8)

toplamı olan yakınsak bir seri için S, eşitliği resmi olarak yazabiliriz:

Toplamı (1.8) olmayan seriye denir. farklı. özellikle, eğer , sonra dizinin ıraksadığını söyleriz ve bu durumda sembolik eşitliği kullanırız.

.

Yorum.(1.6) eşitliğinden, dizinin herhangi bir üyesinin kısmi toplamlar arasındaki fark olarak temsil edilebileceği sonucu çıkar ve :

. (1.10)

Kısmi toplamlar dizisini geometrik olarak gösterelim. Şekil 1.1, a ve b'de seri yakınsar, Şekil 1.1'de c uzaklaşır.

Şekil 1.1

Açıklama 3. Bazen bir dizi üyesinin sayısı sıfırdan başlar: .

Sayı dizisi örnekleri. Bir serinin toplamını hesaplama

örnek 1º.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

Burada , .

Bu seri Þ 1+1+1+ ıraksamaktadır. . . + 1 + . . .=+¥.

Örnek 2º .

Her zamanki gibi, + ve - işaretlerinin değişimi derece (-1) kullanılarak belirtilir. Burada kısmi toplamlar dizisi şu şekildedir:

onlar. kısmi toplamın değeri sayının paritesine bağlıdır P:

Böylece, çift ve tek kısmi toplamlar iki farklı sınıra eğilimlidir:

sıfıra bile, bire tek:

Şekil 1.2

Bu nedenle dizinin limiti yoktur ve verilen seri ıraksar.

Örnek 3º .

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

Bu, farkı olan bir aritmetik ilerlemedir. "Aritmetik" adının, ikinciden başlayarak bu ilerlemenin her teriminin eşit olduğu gerçeğinden geldiğini hatırlayın. aritmetik ortalama komşu üyeler:

.

Bu ilerlemede , ve kısmi toplamlar dizisi şu şekildedir:

Örnek 6º.

.

Çıktı aşağıda verilecektir. Burada payda sadece tek sayılardır.

Örnek 7º.

. Çıktı aşağıda verilecektir.

Örnek 8º.

Çıktı aşağıda verilecektir. Serinin toplamı sayıya eşittir e- doğal logaritmanın tabanı.

Bir serinin toplamını hesaplamak her zaman kolay değildir ve hatta her zaman mümkün değildir. Bu nedenle, seri teorisinde, genellikle daha basit bir problem çözülür - serinin yakınsadığını veya uzaklaştığını bulmak. denir serilerin yakınsaklığının incelenmesi.

FEDERAL EĞİTİM AJANSI

Devlet eğitim kurumu

yüksek mesleki eğitim

"MATI" - RUS DEVLET TEKNOLOJİ ÜNİVERSİTESİ IM. K.E. SİOLKOVSKİ

Sistem Modelleme ve Bilgi Teknolojileri Bölümü

sayı serisi

Pratik alıştırmalar için metodik talimatlar

"Yüksek Matematik" disiplininde

derleyiciler: Egorova Yu.B.

Mamonov I.M.

Kornienko L.I.

Moskova 2005 tanıtımı

Metodolojik talimatlar, 14 numaralı fakültenin gündüz ve akşam bölümünün öğrencileri, uzmanlık alanları 071000, 130200, 220200 için tasarlanmıştır.

1. Temel kavramlar

İzin vermek sen 1 , sen 2 , sen 3 , …, sen n, …  sonsuz bir sayısal dizi. İfade
isminde sonsuz sayı doğrusu, sayılar sen 1 , sen 2 , sen 3 , …, sen n- serinin üyeleri;
dizisinin ortak terimi denir. Bir dizi genellikle kısaltılmış (katlanmış) bir biçimde yazılır:

ilk toplamı n sayı serisinin üyeleri ile gösterilir ve Çağrı yap n serinin -inci kısmi toplamı:

satır denir yakınsak Eğer o n-inci kısmi toplam sınırsız artışla n son sınıra eğilimlidir, yani. Eğer
Sayı isminde serinin toplamı.

Eğer n serinin -inci kısmi toplamı
sonlu bir sınıra eğilim göstermez, o zaman seri denir farklı.

örnek 1 Serinin toplamını bulun
.

Karar. Sahibiz
. Gibi:

,

Buradan,

Gibi
, sonra seri yakınsar ve toplamı şuna eşittir:
.

2. Sayı serileri ile ilgili temel teoremler

Teorem 1. seri yakınsarsa
sonra seri yakınsar ilki atılarak verilen seriden elde edilen
üyeler (bu son satıra
-m orijinal serinin geri kalanı). Buna karşılık yakınsamadan
Serinin geri kalanı bu serinin yakınsamasını ifade eder.

Teorem 2. seri yakınsarsa
ve toplamı sayıdır , sonra seri yakınsar
son satırın toplamının eşit olduğu yerde
.

Teorem 3. satırlar birleşirse

sırasıyla S ve Q toplamlarına sahipse, seri yakınsar ve son serinin toplamı şuna eşittir:
.

teorem 4 (Bir serinin yakınsaklığı için gerekli bir kriter). eğer satır
yakınsar, sonra
, yani de
yakınsak serinin ortak teriminin limiti sıfıra eşittir.

Sonuç 1. Eğer bir
, daha sonra seri birbirinden uzaklaşır.

Sonuç 2. Eğer bir
, o zaman yakınsama için gerekli kriteri kullanarak serilerin yakınsaklığını veya sapmasını belirlemek imkansızdır. Bir dizi yakınsak veya ıraksak olabilir.

Örnek 2 Serinin yakınsaklığını araştırın:

Karar. Serinin ortak terimini bulma
. Gibi:

onlar.
, sonra seri ıraksar (gerekli yakınsama koşulu sağlanmaz).

3. Pozitif terimli serilerin yakınsaklığı için kriterler

3.1. Karşılaştırma işaretleri

Karşılaştırma kriterleri, belirli bir serinin yakınsaklığı veya yakınsaması bilinen bir seri ile yakınsamasını karşılaştırmaya dayanır. Karşılaştırma için aşağıdaki satırlar kullanılır.

Kürek çekmek
azalan herhangi bir geometrik ilerlemenin terimlerinden oluşur, yakınsaktır ve toplamı vardır

Kürek çekmek
artan bir geometrik ilerlemenin üyelerinden oluşan, ıraksaktır.

Kürek çekmek
ıraksaktır.

Kürek çekmek
Dirichlet serisi denir. >1 için Dirichlet serisi yakınsar,  için<1- расходится.

=1 satır ile
harmonik denir. Harmonik seri birbirinden uzaklaşır.

Teorem. Karşılaştırmanın ilk işareti. Pozitif terimli iki dizi verilsin:

(2)

ayrıca, (1) serisinin her bir terimi, (2) serisinin karşılık gelen terimini geçmez, yani,
(n= 1, 2, 3, …). O zaman eğer (2) serisi yakınsarsa, o zaman (1) serisi de yakınsar; (1) serisi ıraksarsa, o zaman seri (2) de ıraksar.

Yorum. Eşitsizlik varsa bu kriter geçerliliğini korur.
hepsi için yapılmaz , ancak yalnızca bir sayıdan başlayarak n= N, yani hepsi için n N.

Örnek 3 Bir serinin yakınsaklığını araştırmak

Karar. Belirli bir dizinin üyeleri, dizinin karşılık gelen üyelerinden daha küçüktür.
sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin üyelerinden oluşur. Bu seri yakınsadığı için verilen seri de yakınsar.

Teorem. İkinci karşılaştırma işareti (karşılaştırma işaretinin sınırlayıcı biçimi). Sonlu sıfır olmayan bir limit varsa
, sonra her iki satır ve aynı anda birleşir veya uzaklaşır.

Örnek 4 Bir serinin yakınsaklığını araştırmak

Karar. Seriyi harmonik seri ile karşılaştırın
Serinin ortak üyelerinin oranının sınırını bulun:

Harmonik seri ıraksadığından, verilen seri de ıraksar.

Bir dizi R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,… sayı dizisi verilsin. R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… ifadesi denir sonsuz yakın, ya da sadece yakın, ve sayıları R 1 , R 2 , R 3 ,… - bir sayının üyeleri. Aynı zamanda, dizinin toplamının birikiminin ilk üyeleriyle başladığı anlamına gelir. S n = toplamı denir kısmi toplam kürek çekmek: n=1 için - ilk kısmi toplam, n=2 için - ikinci kısmi toplam vb.

isminde yakınsak seri, eğer onun kısmi dizisi toplamların bir sınırı vardır ve farklı- aksi durumda. Bir serinin toplamı kavramı genişletilebilir ve o zaman bazı ıraksak serilerin de toplamları olacaktır. Aynen öyle Genişletilmiş anlayış miktarlar kürek çekmek problemin aşağıdaki ifadesi ile algoritmaların geliştirilmesinde kullanılacaktır: Toplamın toplanması, serinin bir sonraki terimi mutlak değerde verilen ε değerinden daha büyük olana kadar yapılmalıdır.

Genel durumda, dizinin elemanlarının tamamı veya bir kısmı, dizinin eleman sayısına ve değişkenlere bağlı olarak ifadelerle verilebilir. Örneğin,

Ardından, hesaplama miktarının nasıl en aza indirileceği sorusu ortaya çıkar - serinin bir sonraki üyesinin değerini şu şekilde hesaplamak için: serinin bir üyesinin genel formülü(verilen örnekte, toplam işaretinin altındaki bir ifadeyle temsil edilir), özyinelemeli bir formülle (türetilmesi aşağıda gösterilmiştir) veya özyinelemeli formülleri yalnızca bir dizi üyesinin ifadesinin bölümleri için kullanın (aşağıya bakın).

Bir serinin terimini hesaplamak için özyinelemeli bir formülün türetilmesi

Formüllere göre sırayla hesaplayarak bir dizi R 1 , R 2 , R 3 ,… sayılarını bulmamız istensin.

,
, …,

Bu durumda hesaplamaları kısaltmak için kullanmak uygundur. tekrarlayan formül tür
, R N-1 serisinin önceki üyesinin değerini bilerek N>1 için R N değerini hesaplamaya izin verir, burada
- N için formül (3.1)'deki ifadenin N-1 için ifadeyle ilişkisini sadeleştirdikten sonra elde edilebilecek bir ifade:

Böylece özyinelemeli formül şu şekli alacaktır:
.

Serinin (3.1) terimi için genel formül ile özyinelemeli olanın (3.2) karşılaştırılması, özyinelemeli formülün hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirdiğini gösterir. Bunu bilerek N=2, 3 ve 4 için uygulayalım.
:

Bir dizinin bir üyesinin değerini hesaplama yöntemleri

Bir seri elemanının değerini hesaplamak için, tipine bağlı olarak, bir seri elemanının genel formülünü veya özyinelemeli bir formülü kullanmak tercih edilebilir veya bir dizinin bir üyesinin değerini hesaplamanın karma yöntemi, bir seri elemanının bir veya daha fazla parçası için tekrarlayan formüller kullanıldığında ve daha sonra değerleri bir seri elemanının genel formülünde ikame edildiğinde. Örneğin, - bir dizi için, bir dizi üyesinin değerini hesaplamak daha kolaydır
genel formülüne göre
(ile karşılaştırmak
- tekrarlayan formül); - bir satır için
özyinelemeli formülü kullanmak daha iyidir
; - bir dizi için, özyinelemeli formül kullanılarak A N \u003d X 3N hesaplanarak karma bir yöntem uygulanmalıdır.
, N=2, 3,… ile A 1 =1 ve B N =N! - ayrıca özyinelemeli formülle
, N=2, 3,… B 1 =1'de ve sonra - serinin bir üyesi
- şeklini alacak genel formüle göre
.

Örnek 3.2.1 görev yürütme

0 o  X  45 o için ε doğrulukla hesaplayın

bir serinin terimini hesaplamak için özyinelemeli bir formül kullanarak:

,

cos X fonksiyonunun tam değeri,

yaklaşık değerin mutlak ve göreli hataları.

program Projesi1;

($UYGULAMA KONSOLU)

K=Pi/180; // Dereceden radyana çevirme faktörü

Eps: Genişletilmiş=1D-8;

X: Genişletilmiş=15;

R, S, Y, D: Genişletilmiş;

($IFNDEF DBG) //Debugging için kullanılmayan ifadeler

Write("Gerekli hassasiyeti giriniz: ");

Write("Açı değerini derece olarak giriniz: ");

D:=Sqr(K*X); // X'i radyana ve kareye dönüştür

//Değişkenler için başlangıç ​​değerlerini ayarla

// Dizinin elemanlarını hesaplamak ve toplamlarını toplamak için döngü.

//Serinin sonraki üyesinin modülü Eps'den büyükken yürütün.

Abs(R)>Eps yaparken

N ise<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//Hesaplama sonuçlarının çıktısı:

WriteLn(N:14," = Ulaşılan adım sayısı",

"belirtilen doğruluk");

WriteLn(S:14:11," = Yaklaşık fonksiyon değeri");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Tam fonksiyon değeri");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Mutlak hata");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = bağıl hata");

Bir dizi sayının toplamını bulun. Bulmak mümkün değilse, sistem serilerin toplamını belirli bir doğrulukla hesaplar.

Seri Yakınsama

Bu hesaplayıcı, bir serinin yakınsak olup olmadığını belirleyebilir ve ayrıca hangi yakınsaklık işaretlerinin işe yarayıp hangilerinin çalışmadığını da gösterir.

Ayrıca kuvvet serilerinin yakınsaklığının nasıl belirleneceğini de biliyor.

Serilerin yakınsama (veya sapma) oranını görebileceğiniz bir seri grafiği de oluşturulmuştur.

İfadeleri ve işlevleri girme kuralları

İfadeler, işlevlerden oluşabilir (gösterimler alfabetik sırayla verilmiştir): mutlak(x) Mutlak değer x
(modül x veya |x|) arccos(x) fonksiyon - ark kosinüsü x arkosh(x) Ark kosinüs hiperbolik x arksin(x) gelen arksin x arksinh(x) Arcsine hiperbolik x arktg(x)İşlev - gelen ark tanjantı x arktgh(x) Ark tanjantı hiperbolik x e e yaklaşık olarak 2,7'ye eşit bir sayı exp(x) işlev - üs x(hangisi e^x) günlük(x) veya günlük(x) doğal logaritması x
(Elde etmek üzere log7(x), log(x)/log(7) girmeniz gerekir (veya örneğin, log10(x)=günlük(x)/günlük(10)) pi Sayı yaklaşık olarak 3.14'e eşit olan "Pi" dir. günah(x)İşlev - Sinüs x cos(x)İşlev - Kosinüs x günah(x)İşlev - Hiperbolik sinüs x nakit(x)İşlev - Hiperbolik kosinüs x kare(x) Fonksiyonun karekökü x kare(x) veya x^2İşlev - Kare x tg(x)İşlev - Tanjant x tgh(x)İşlev - Hiperbolik tanjantı x Merkez Bankası(x)İşlev, küp köküdür x kat(x)İşlev - yuvarlama x aşağı (örnek kat(4.5)==4.0) işaret(x)İşlev - İşaret x erf(x) Hata işlevi (Laplace veya olasılık integrali)

Aşağıdaki işlemleri ifadelerde kullanabilirsiniz: Gerçek sayılar forma girin 7.5 , olumsuzluk 7,5 2 kere- çarpma işlemi 3/x- bölünme x^3- üs alma x + 7- ek x - 6- çıkarma