Kapanışları ayarlayın. Kapalı ve açık kümeler

Şimdi kapalı ve açık kümelerin bazı özel özelliklerini ispatlayalım.

Teorem 1. Sonlu veya sayılabilir sayıda açık kümenin toplamı bir açık kümedir. Sonlu sayıda açık kümenin çarpımı bir açık kümedir,

Sonlu veya sayılabilir sayıda açık kümenin toplamını düşünün:

Eğer , o halde P bir açık küme olduğundan, P'nin bazı komşuları aynı zamanda P'nin aynı komşuları da g toplamına aittir, buradan g bir açık kümedir. Şimdi nihai ürünü düşünün

ve P'nin g'ye ait olmasına izin verin. Yukarıdaki gibi, bazı P komşuluğunun g'ye ait olduğunu ispatlayalım. P, g'ye ait olduğu için, P hepsine aittir. Açık kümeler olduğundan, herhangi birine ait olan noktanın bir komşuluğu vardır. Sayı, sonlu sayının en küçüğüne eşit alınırsa, P noktasının komşuluğu hepsine ve dolayısıyla g'ye ait olacaktır. Sayılabilir sayıda açık kümenin çarpımının bir açık küme olduğu iddia edilemez.

Teorem 2. CF kümesi açık ve CO kümesi kapalı.

İlk iddiayı ispatlayalım. P, CF'ye ait olsun. Bazı P komşularının CF'ye ait olduğunu kanıtlamak gerekir. Bu, herhangi bir P komşuluğunda F noktaları olsaydı, koşula göre ait olmayan P noktasının F için sınır noktası olacağı ve kapalılığı nedeniyle ait olması gerektiği gerçeğinden kaynaklanır, bu da şuna yol açar: bir çelişki.

Teorem 3. Sonlu veya sayılabilir sayıda kapalı kümenin çarpımı kapalı bir kümedir. Sonlu sayıda kapalı kümenin toplamı kapalı kümedir.

Örneğin, kümenin olduğunu kanıtlayalım.

kapalı. Ek kümelere geçerek yazabiliriz

Teorem, açık kümeler ve Teorem 1'e göre küme de açıktır ve bu nedenle tamamlayıcı küme g kapalıdır. Sayılabilir sayıda kapalı kümenin toplamının da kapalı olmayan bir küme olabileceğini unutmayın.

Teorem 4. Bir küme, bir açık küme ve bir kapalı kümedir.

Aşağıdaki eşitlikleri kontrol etmek kolaydır:

Onlardan, önceki teoremler sayesinde Teorem 4 gelir.

Her g noktası M sisteminin kümelerinden en az birine dahil ediliyorsa, bir g kümesinin bazı kümelerden oluşan bir M sistemi tarafından kapsandığını söyleyeceğiz.

Teorem 5 (Borel). Kapalı sınırlı bir F kümesi, O açık kümelerinden oluşan sonsuz bir a sistemi tarafından kapsanıyorsa, bu sonsuz sistemden F'yi de kapsayan sonlu sayıda açık küme çıkarılabilir.

Bu teoremi tersinden kanıtlıyoruz. a sisteminden sonlu sayıda açık küme olmadığını varsayalım ve bunu bir çelişkiye indirgeyelim. F sınırlı bir küme olduğundan, F'nin tüm noktaları sonlu bir iki boyutlu aralığa aittir. Bu kapalı aralığı dört eşit parçaya bölelim, aralıkları ikiye bölelim. Elde edilen dört aralığın her biri kapalı alınacaktır. Bu dört kapalı aralıktan birine düşen F noktaları, Teorem 2'ye göre bir kapalı kümeyi temsil edecektir ve bu kapalı kümelerden en az biri a sisteminden sonlu sayıda açık küme tarafından kapsanamaz. Bu durumun gerçekleştiği yukarıdaki dört kapalı aralıktan birini alıyoruz. Bu aralığı tekrar dört eşit parçaya bölüyoruz ve yukarıdakiyle aynı şekilde tartışıyoruz. Böylece, bir sonrakinin bir öncekinin dördüncü kısmı olduğu bir iç içe aralıklar sistemi elde ederiz ve aşağıdaki durum gerçekleşir: herhangi bir k'ye ait olan F noktaları kümesi, sonlu sayıda açık küme tarafından kapsanamaz. sistemden a. k'deki sonsuz bir artışla, boşluklar, tüm boşluklara ait olan bir P noktasına süresiz olarak daralacaktır. Herhangi bir k için sayılamayan bir nokta kümesi içerdiğinden, P noktası bir sınır noktasıdır ve bu nedenle F'ye aittir, çünkü F kapalı bir kümedir. Böylece P noktası, a sistemine ait bir açık küme tarafından kapsanır. P noktasının bazı komşuları da açık küme O'ya ait olacaktır. Yeterince büyük k değerleri için, D aralıkları P noktasının yukarıdaki komşuluğunun içine düşecektir. Böylece, bunlar tamamen yalnızca bir tanesi tarafından kapsanacaktır. a sisteminin O açık kümesidir ve bu, herhangi bir k için ait noktaların a'ya ait sonlu sayıda açık küme tarafından kapsanamayacağı gerçeğiyle çelişir. Böylece teorem kanıtlanmıştır.

Teorem 6. Bir açık küme, ortak noktaları olmayan çiftler halinde sayılabilir sayıdaki yarı açık boşlukların toplamı olarak temsil edilebilir.

Düzlemdeki yarı açık bir boşluğun, formun eşitsizlikleriyle tanımlanan sonlu bir boşluk olduğunu hatırlayın.

Kenarları eksenlere paralel ve kenar uzunlukları bire eşit olan karelerden oluşan bir ızgarayı düzleme koyalım. Bu karelerin kümesi sayılabilir bir kümedir. Bu karelerden tüm noktaları belirli bir O kümesine ait olan kareleri seçiyoruz. Bu karelerin sayısı sonlu veya sayılabilir olabilir veya böyle kareler hiç olmayabilir. Izgaranın kalan karelerinin her birini dört özdeş kareye bölüyoruz ve yeni elde edilen karelerden tekrar tüm noktaları O'ya ait olanları seçiyoruz. Kalan karelerin her birini tekrar dört eşit parçaya bölüyoruz ve tüm noktaları olan kareleri seçiyoruz. O kümesinin herhangi bir P noktasının, tüm noktaları O'ya ait olan seçilmiş karelerden birine düşeceğini gösterelim. Gerçekten de, d, P'den O'nun sınırına pozitif bir uzaklık olsun. Köşegeni 'den küçük olan karelere ulaştığımızda, P noktasının zaten tüm hacimleri O'ya ait olan bir kareye düştüğünü açıkça söyleyebiliriz. ortak noktalar ve teorem kanıtlanmıştır. Yarı açık boşlukların sonlu toplamı açık bir şekilde açık bir küme olmadığı için, seçilen karelerin sayısı zorunlu olarak sayılabilir olacaktır. Yukarıdaki yapı sonucunda elde ettiğimiz yarı açık kareleri DL ile ifade ederek yazabiliriz.

İngilizce: Wikipedia, siteyi daha güvenli hale getiriyor. Gelecekte Wikipedia'ya bağlanamayacak eski bir web tarayıcısı kullanıyorsunuz. Lütfen cihazınızı güncelleyin veya BT yöneticinizle iletişime geçin.

中文: 维基 百科 使 网站 更加 安全 您 正在 旧 的 ， 这 在 将来 无法 维基百科。 更新 您 提供 更 ， ， 具 技术性 的 更新 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语merhaba ）。

İspanyolca: Vikipedi'nin adresi, şu anda en uygunudur. Vikipedi'de web sitesini kullanmanın bir başka yolu yok. Gerçek bilgiler, bir su administrator enformático ile iletişime geçin. İngilizce ve İngilizce olarak güncellendi.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Fransızca: Wikipedia va bientôt artırıcı la securité de son sitesi. Wikipédia lorsque ce sera fait'te web ancien, qui ne pourra artı se bağlayıcı olmadan gezinmek için vous utilisez aktüellement. Oylama ve değerlendirme için en iyi seçim, enformasyon ve oy oranı yönetimi. Des bilgi ekleri artı teknikler et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディア は サイト の セキュリティ を て い ます。 ご の は バージョン 古く 、 、 、 ウィキペディア 接続 でき を する 、 、 、 管理 者 ご ください。 技術 面 の 更新 更新 更新 更新 更新更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提供しています。

Almanca: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der içinde Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detayliertere) İngilizce'de en iyi Du unten İngilizce Sprache'de bulunur.

italyanca: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un tarayıcı web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. En iyi şekilde, enformasyonla ilgili tüm bilgileri içerir. İngilizce'de Più è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico.

Macarca: Biztonságosabb daha az bir Wikipedia. Bir böngésző, amit használsz, nem lesz kepes kapcsolódni ve jövőben. Modernebb szoftvert vagy jelezd bir sorunlu bir rendszergazdádnak. Alább olvashatod bir reszletesebb magyarázatot (angolul).

İsveç: Wikipedia gör sidan mer säker. En iyi web sitelerini ziyaret edin. Wikipedia i framtiden. Güncelleştirmeler için en iyi cihazlar kontakta din IT-administratör. Det finns en längre ve mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Güvenli olmayan TLS protokolü sürümlerine, özellikle de tarayıcı yazılımınızın sitelerimize bağlanmak için kullandığı TLSv1.0 ve TLSv1.1'e yönelik desteği kaldırıyoruz. Bu genellikle eski tarayıcılardan veya eski Android akıllı telefonlardan kaynaklanır. Veya bağlantı güvenliğini gerçekten düşüren kurumsal veya kişisel "Web Güvenliği" yazılımından kaynaklanan parazit olabilir.

Sitelerimize erişmek için web tarayıcınızı yükseltmeli veya bu sorunu başka bir şekilde düzeltmelisiniz. Bu mesaj 1 Ocak 2020 tarihine kadar kalacaktır. Bu tarihten sonra tarayıcınız sunucularımızla bağlantı kuramayacaktır.

Sayılabilir bir küme, doğal sayılarla numaralandırılabilen sonsuz bir eleman kümesidir veya doğal sayılar kümesine eşdeğer bir kümedir.

Bazen sayılabilir kümelere, doğal sayılar kümesinin herhangi bir alt kümesine eşdeğer olan kümeler denir, yani tüm sonlu kümeler de sayılabilir olarak kabul edilir.

Sayılabilir bir küme "en küçük" sonsuz kümedir, yani herhangi bir sonsuz kümenin sayılabilir bir alt kümesi vardır.

Özellikleri:

1. Sayılabilir bir kümenin herhangi bir alt kümesi en fazla sayılabilirdir.

2. Sonlu veya sayılabilir sayıda sayılabilir kümenin birleşimi sayılabilir.

3. Sonlu sayıda sayılabilir kümenin doğrudan çarpımı sayılabilir.

4. Sayılabilir bir kümenin tüm sonlu alt kümelerinin kümesi sayılabilir.

5. Sayılabilir bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesi süreklidir ve özellikle sayılabilir değildir.

Sayılabilir kümelere örnekler:

Asal sayılar Doğal sayılar, Tam sayılar, Rasyonel sayılar, Cebirsel sayılar, Periyot halkası, Hesaplanabilir sayılar, Aritmetik sayılar.

Gerçek sayılar teorisi.

(Gerçek = gerçek - bizler için bir hatırlatma arkadaşlar.)

R kümesi rasyonel ve irrasyonel sayıları içerir.

Rasyonel olmayan gerçek sayılara irrasyonel denir.

Teorem: Karesi 2 sayısına eşit olan bir rasyonel sayı yoktur.

Rasyonel sayılar: ½, 1/3, 0,5, 0.333.

İrrasyonel sayılar: 2=1.4142356…'nın kökü, π=3.1415926…

Gerçek sayılar kümesi R aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Sıralanır: herhangi iki farklı numara için a ve B iki ilişkiden biri gerçekleşir a veya a>b