İşlem altında küme kapatılır. Açık ve kapalı kümeler Gerçek hattaki küme türleri

İngilizce: Wikipedia, siteyi daha güvenli hale getiriyor. Gelecekte Wikipedia'ya bağlanamayacak eski bir web tarayıcısı kullanıyorsunuz. Lütfen cihazınızı güncelleyin veya BT yöneticinizle iletişime geçin.

中文: 维基 百科 使 网站 更加 安全 您 正在 旧 的 ， 这 在 将来 无法 维基百科。 更新 您 提供 更 ， ， 具 技术性 的 更新 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语merhaba ）。

İspanyolca: Vikipedi'nin adresi, şu anda en uygunudur. Vikipedi'de web sitesini kullanmanın bir başka yolu yok. Gerçek bilgiler, bir su administrator enformático ile iletişime geçin. İngilizce ve İngilizce olarak güncellendi.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Fransızca: Wikipedia va bientôt artırıcı la securité de son sitesi. Wikipédia lorsque ce sera fait'te web ancien, qui ne pourra artı se bağlayıcı olmadan gezinmek için vous utilisez aktüellement. Oylama ve değerlendirme için en iyi seçim, enformasyon ve oy oranı yönetimi. Des bilgi ekleri artı teknikler et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディア は サイト の セキュリティ を て い ます。 ご の は バージョン 古く 、 、 、 ウィキペディア 接続 でき を する 、 、 、 管理 者 ご ください。 技術 面 の 更新 更新 更新 更新 更新更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提供しています。

Almanca: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der içinde Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detayliertere) İngilizce'de en iyi Du unten İngilizce Sprache'de bulunur.

italyanca: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un tarayıcı web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. En iyi şekilde, enformasyonla ilgili tüm bilgileri içerir. İngilizce'de Più è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico.

Macarca: Biztonságosabb daha az bir Wikipedia. Bir böngésző, amit használsz, nem lesz kepes kapcsolódni ve jövőben. Modernebb szoftvert vagy jelezd bir sorunlu bir rendszergazdádnak. Alább olvashatod bir reszletesebb magyarázatot (angolul).

İsveç: Wikipedia gör sidan mer säker. En iyi web sitelerini ziyaret edin. Wikipedia i framtiden. Güncelleştirmeler için en iyi cihazlar kontakta din IT-administratör. Det finns en längre ve mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Güvenli olmayan TLS protokolü sürümlerine, özellikle de tarayıcı yazılımınızın sitelerimize bağlanmak için kullandığı TLSv1.0 ve TLSv1.1'e yönelik desteği kaldırıyoruz. Bu genellikle eski tarayıcılardan veya eski Android akıllı telefonlardan kaynaklanır. Veya bağlantı güvenliğini gerçekten düşüren kurumsal veya kişisel "Web Güvenliği" yazılımından kaynaklanan parazit olabilir.

Sitelerimize erişmek için web tarayıcınızı yükseltmeli veya bu sorunu başka bir şekilde düzeltmelisiniz. Bu mesaj 1 Ocak 2020 tarihine kadar kalacaktır. Bu tarihten sonra tarayıcınız sunucularımızla bağlantı kuramayacaktır.

Açık ve kapalı kümeler

ek 1 . Açık ve kapalı kümeler

Bir demet M düz bir çizgide denir açık, noktalarının her biri bu kümede bir aralıkla birlikte yer alıyorsa. Kapalı tüm sınır noktalarını içeren bir küme olarak adlandırılır (yani, bu noktayı içeren herhangi bir aralık, kümeyle en az bir nokta daha kesişir). Örneğin, bir segment kapalı bir kümedir, ancak açık değildir ve aksine bir aralık açık bir kümedir, ancak kapalı değildir. Ne açık ne de kapalı olan kümeler vardır (örneğin, yarım aralık). Aynı anda hem kapalı hem de açık olan iki küme var - bu boş ve hepsi Z(başkalarının olmadığını kanıtlayın). Bunu görmek kolaydır, eğer M açın, ardından [` M] (veya Z \ M- sete ek Mönceki Z) kapalı. Gerçekten de, eğer [` M] kapalı değil, o zaman bazı sınır noktalarını içermiyor m. Ama sonra mÖ M, ve içeren her aralık m, kümeyle kesişir [` M], yani, içinde yatmayan bir noktaya sahiptir M olduğu gerçeğiyle çelişen M- açık. Benzer şekilde, doğrudan tanımdan da kanıtlanmıştır ki, eğer M kapalı, ardından [` M] açın (kontrol edin!).

Şimdi aşağıdaki önemli teoremi kanıtlıyoruz.

Teorem. Herhangi bir açık küme M rasyonel uçlarla (yani, rasyonel noktalarda uçlarla) bir aralıklar birliği olarak temsil edilebilir.

Kanıt . Birliği düşünün sen kümemizin alt kümeleri olan rasyonel uçları olan tüm aralıklar. Bu birliğin tüm küme ile çakıştığını kanıtlayalım. Gerçekten, eğer m- bir puan M, sonra bir aralık var ( m 1 , m 2) M M, kapsamak m(bu, şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır: M- açık). Herhangi bir aralıkta rasyonel bir nokta bulmak mümkündür. Sezdirmek ( m 1 , m) - Bu m 3, üzerinde ( m, m 2) m 4. O zaman nokta m birlik kapsamında sen, yani, aralık ( m 3 , m 4). Böylece kanıtladık ki her nokta m itibaren M birlik kapsamında sen. Ayrıca, inşaattan da anlaşılacağı gibi sen, içinde yer almayan hiçbir nokta M, örtülü değil sen. Anlamına geliyor, sen ve M eşleşme.

Bu teoremin önemli bir sonucu, herhangi bir açık kümenin sayılabilir aralıkları birleştirir.

Hiçbir yerde yoğun kümeler ve ölçü~sıfır kümeleri. Cantor seti>

Ek 2 . Hiçbir yerde yoğun kümeler ve sıfır ölçü kümeleri. kantor seti

Bir demet A isminde hiçbir yerde sıkı, eğer farklı noktalar için a ve b bir bölüm var [ c, d] M [ a, b] ile kesişmiyor A. Örneğin, dizideki noktalar kümesi a n = [ 1/(n)] hiçbir yerde yoğun değildir, ancak rasyonel sayılar kümesi değildir.

Baer teoremi. Bir segment, hiçbir yerde yoğun olmayan kümelerin sayılabilir bir birleşimi olarak temsil edilemez.

Kanıt . Diyelim ki bir sıra var A k hiçbir yerde yoğun kümeler öyle ki ben A ben = [a, b]. Aşağıdaki segment dizisini oluşturalım. İzin vermek İ 1, [ içinde yuvalanmış bir segmenttir. a, b] ve kesişmeyen A 1 . Tanım olarak, aralıkta hiçbir yerde yoğun olmayan bir küme İ 1 kümeyle kesişmeyen bir segment var A 2. diyelim İ 2. Ardından, segmentte İ 2 segmenti benzer şekilde alın İ 3, kesişmeyen A 3 , vb. Sıra İ k iç içe parçaların ortak bir noktası vardır (bu, gerçek sayıların temel özelliklerinden biridir). Bu nokta, yapım gereği, kümelerin hiçbirinde yatmaz. A k, bu nedenle bu kümeler tüm aralığı kapsamaz [ a, b].

kümeyi arayalım M sıfır ölçüye sahip, herhangi bir pozitif e için bir dizi varsa İ k toplam uzunluğu e'den küçük olan aralıklar, kapsayan M. Açıkçası, herhangi bir sayılabilir kümenin ölçüsü sıfırdır. Ancak, ölçüleri sıfır olan sayılamayan kümeler de vardır. Cantor denilen çok iyi bilinen bir tane yapalım.

Bir keselim. Üç eşit parçaya bölelim. Orta segmenti atın (Şek. 11, a). Toplam uzunluğun [ 2/3] iki parçası olacaktır. Her biri ile tam olarak aynı işlemi gerçekleştireceğiz (Şekil 11, b). Toplam uzunluğun dört parçası olacak [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Böyle devam etmek (Şekil 11, içinde–e) sonsuza kadar, herhangi bir pozitif ölçüden daha az ölçüye sahip bir küme elde ederiz, yani sıfır ölçü. Bu kümenin noktaları ile sonsuz sıfır ve bir dizileri arasında bire bir denklik kurulabilir. İlk "fırlatma" sırasında noktamız sağ segmente düşerse, dizinin başına 1, solda ise - 0 koyarız (Şek. 11, a). Ayrıca, ilk "fırlatma" işleminden sonra, aynı şeyi yaptığımız büyük bölümün küçük bir kopyasını alırız: dışarı attıktan sonraki noktamız sağ bölüme düşerse, solaysa 1 koyarız - 0, vb. (karşılıklı benzersizliği kontrol edin), pirinç. on bir, b, içinde. Sıfırlar ve birler dizileri kümesi sürekliliğin kardinalitesine sahip olduğundan, Cantor kümesi de sürekliliğin kardinalitesine sahiptir. Üstelik hiçbir yerde yoğun olmadığını kanıtlamak kolaydır. Ancak, katı bir sıfır ölçüsüne sahip olduğu doğru değildir (katı bir ölçünün tanımına bakınız). Bu gerçeğin kanıtının arkasındaki fikir şudur: sırayı alın a n, çok hızlı bir şekilde sıfırlanma eğiliminde. Bunun için örneğin sıra a n = [ 1/(2 2 n)]. Sonra bu dizinin Cantor setini kapsayamayacağını kanıtlıyoruz (yap!).

Ek 3 . Görevler

Setlerdeki işlemler

Setler A ve B isminde eşit kümenin her elemanı ise A sete ait B, ve tersi. atama: A = B.

Bir demet A isminde alt küme setler B kümenin her elemanı ise A sete ait B. atama: A M B.

1. Aşağıdaki iki kümenin her biri için birinin diğerinin alt kümesi olup olmadığını belirtin:

2. kümesi olduğunu kanıtlayın A eğer ve ancak o zaman kümenin bir alt kümesiyse B her element ait olmadığında B, ait değil A.

3. Bunu keyfi kümeler için kanıtlayın A, B ve C

a) A M A; b) eğer A M B ve B M C, o zamanlar A M C;

içinde) A = B, ancak ve ancak A M B ve B M A.

küme denir boş herhangi bir öğe içermiyorsa. Tanım: Zh.

4. Aşağıdaki kümelerin her birinin kaç elemanı vardır:

5. Üç elemanlı bir kümenin kaç alt kümesi vardır?

6. Bir küme tam olarak a) 0; b*) 7; c) 16 alt küme?

Dernek setler A ve B x, ne xÖ A veya xÖ B. atama: A Ve B.

geçit setler A ve B bunlardan oluşan kümeye denir. x, ne xÖ A ve xÖ B. atama: A W B.

fark setler A ve B bunlardan oluşan kümeye denir. x, ne xÖ A ve x P B. atama: A \ B.

7. setler verilir A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Kümeleri bulun:

8. İzin vermek Açift ​​sayılar kümesidir ve B 3 ile bölünebilen sayılar kümesidir. A W B.

9. Bunu herhangi bir küme için kanıtlayın A, B, C

a) A Ve B = B Ve A, A W B = B W A;

b) A VE ( B Ve C) = (A Ve B)VE C, A Z ( B W C) = (A W B)Z C;

içinde) A Z ( B Ve C) = (A W B)VE ( A W C), A VE ( B W C) = (A Ve B)Z ( A Ve C);

G) A \ (B Ve C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B W C) = (A \ B)VE ( A \ C).

10. Herhangi bir küme için doğru mu? A, B, C

Eşlemeleri ayarla

eğer her eleman x setler X tam olarak bir öğeye eşlenmiş f(x) kümeler Y, sonra verildiğini söylüyorlar Görüntüle f birçoktan Xçokluğun içine Y. Aynı zamanda, eğer f(x) = y, sonra eleman y isminde yol eleman x görüntülendiğinde f, ve eleman x isminde prototip eleman y görüntülendiğinde f. atama: f: X ® Y.

11. (7,8,9) kümesinden (0,1) kümesine olası tüm eşlemeleri çizin.

İzin vermek f: X ® Y, yÖ Y, A M X, B M Y. Bir elemanın tam ön görüntüsü y görüntülendiğinde f küme denir ( xÖ X | f(x) = y). atama: f - 1 (y). Setin görüntüsü A M X görüntülendiğinde f küme denir ( f(x) | xÖ A). atama: f(A). Setin prototipi B M Y küme denir ( xÖ X | f(x) Ö B). atama: f - 1 (B).

12. Göstermek f: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18) resimde verilmiştir, bul f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

13. İzin vermek f: X ® Y, A 1 , A 2 milyon X, B 1 , B 2 milyon Y. her zaman doğru mu

a) f(X) = Y;

b) f - 1 (Y) = X;

içinde) f(A 1 ve A 2) = f(A 1) ve f(A 2);

G) f(A 1 Z A 2) = f(A 1)Z f(A 2);

e) f - 1 (B 1 ve B 2) = f - 1 (B 1) ve f - 1 (B 2);

e) f - 1 (B 1 Z B 2) = f - 1 (B 1)Z f - 1 (B 2);

g) eğer f(A 1 milyon f(A 2), sonra A 1 milyon A 2 ;

h) eğer f - 1 (B 1 milyon f - 1 (B 2), sonra B 1 milyon B 2 ?

Kompozisyon eşlemeler f: X ® Y ve g: Y ® Z bir öğeyle eşleşen eşleme denir x setler X eleman g(f(x)) kümeler Z. atama: g° f.

14. Bunu keyfi eşlemeler için kanıtlayın f: X ® Y, g: Y ® Z ve h: Z ® W aşağıdakiler yapılır: h° ( g° f) = (h° g)° f.

15. İzin vermek f: (1,2,3,5) ® (0,1,2), g: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – şekilde gösterilen eşlemeler:

Aşağıdaki ekranlar için resimler çizin:

a) g° f; b) h° g; içinde) f° h° g; G) g° h° f.

Görüntülemek f: X ® Y isminde bijective eğer her biri için yÖ Y tam olarak bir tane var xÖ Xöyle ki f(x) = y.

16. İzin vermek f: X ® Y, g: Y ® Z. eğer doğruysa f ve g bijective, o zaman g° f bijektif olarak?

17. İzin vermek f: (1,2,3) ® (1,2,3), g: (1,2,3) ® (1,2,3), şekilde gösterilen eşlemeler:

18. Aşağıdaki kümelerin her ikisi için birinciden ikinciye bir orantı olup olmadığını öğrenin (sıfırın bir doğal sayı olduğunu varsayalım):

a) doğal sayılar kümesi;

b) çift doğal sayılar kümesi;

c) 3 sayısı olmayan doğal sayılar kümesi.

metrik uzay küme denir X verilen ile metrik r : X× X ® Z

1) " x,yÖ X r( x,y) ben 0 ve r ( x,y) = 0 ancak ve ancak x = y (olumsuzluk ); 2) " x,yÖ X r( x,y) = r ( y,x) (simetri ); 3) " x,y,zÖ X r( x,y) + r ( y,z) ve r ( x,z) (üçgen eşitsizliği ). 19 19. X

a) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

içinde) X = C[a,ba,b] fonksiyonlar,

açık(sırasıyla, kapalı) yarıçaplı top r boşlukta X bir noktaya odaklanmış x küme denir sen r (x) = {yÖ x:r( x,y) < r) (sırasıyla, B r (x) = {yÖ X:r( x,y) Ј r}).

iç nokta setler sen M X sen

açık komşu bu nokta.

sınır noktası setler F M X F.

kapalı

20. Kanıtla

21. Kanıtla

b) birliği ayarla A kapatma A

Görüntülemek f: X ® Y isminde sürekli

22.

23. Kanıtla

F (x) = enf yÖ F r( x,y

F.

24. İzin vermek f: X ® Y– . Tersinin sürekli olduğu doğru mu?

Sürekli bire bir eşleme f: X ® Y homeomorfizm. boşluklar X, Yhomeomorfik.

25.

26. hangi çiftler için X, Y f: X ® Y, hangisi birbirine yapışmaz noktalar (yani f(x) № f(y) x № y yatırımlar)?

27*. yerel homeomorfizma(yani, her nokta x uçak ve f(x) torusun mahalleleri var sen ve V, ne f homeomorfik olarak haritalar senüzerinde V).

Metrik uzaylar ve sürekli eşlemeler

metrik uzay küme denir X verilen ile metrik r : X× X ® Z, aşağıdaki aksiyomları karşılayan:

1) " x,yÖ X r( x,y) ben 0 ve r ( x,y) = 0 ancak ve ancak x = y (olumsuzluk ); 2) " x,yÖ X r( x,y) = r ( y,x) (simetri ); 3) " x,y,zÖ X r( x,y) + r ( y,z) ve r ( x,z) (üçgen eşitsizliği ). 28. Aşağıdaki çiftlerin ( X,r ) metrik uzaylardır:

a) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

içinde) X = C[a,b], [ üzerindeki sürekli kümesidir a,b] fonksiyonlar,

açık(sırasıyla, kapalı) yarıçaplı top r boşlukta X bir noktaya odaklanmış x küme denir sen r (x) = {yÖ x:r( x,y) < r) (sırasıyla, B r (x) = {yÖ X:r( x,y) Ј r}).

iç nokta setler sen M X içerdiği bir noktadır sen sıfır olmayan yarıçaplı bir top ile birlikte.

Tüm noktaları iç olan kümeye denir. açık. Belirli bir noktayı içeren açık kümeye denir. komşu bu nokta.

sınır noktası setler F M X kümenin sonsuz sayıda noktası olan herhangi bir komşulukta bir noktaya böyle denir. F.

Tüm limit noktalarını içeren kümeye denir. kapalı(bu tanımı Ek 1'de verilen tanımla karşılaştırın).

29. Kanıtla

a) bir küme ancak ve ancak tümleyeni kapalıysa açıktır;

b) sonlu bir birleşim ve kapalı kümelerin sayılabilir bir kesişimi kapalıdır;

c) sayılabilir bir birleşim ve açık kümelerin sonlu bir kesişimi açıktır.

30. Kanıtla

a) herhangi bir kümenin limit noktaları kümesi kapalı bir kümedir;

b) birliği ayarla A ve limit noktalarının kümesi ( kapatma A) kapalı bir kümedir.

Görüntülemek f: X ® Y isminde sürekli her açık kümenin ön görüntüsü açıksa.

31. Bu tanımın doğru üzerindeki fonksiyonların sürekliliği tanımıyla uyuştuğunu kanıtlayın.

32. Kanıtla

a) r kümesine olan uzaklık F (x) = enf yÖ F r( x,y) sürekli bir fonksiyondur;

b) a) noktasının fonksiyonunun sıfır kümesi kapanış ile çakışır F.

33. İzin vermek f: X ® Y

Sürekli bire bir eşleme f: X ® Y Tersi de sürekli olan denir homeomorfizm. boşluklar X, Y, böyle bir eşlemenin mevcut olduğu homeomorfik.

34. Aşağıdaki kümelerin her bir çifti için bunların homeomorfik olup olmadığını belirleyin:

35. hangi çiftler için X, Yönceki problemdeki boşluklar sürekli bir harita var f: X ® Y, hangisi birbirine yapışmaz noktalar (yani f(x) № f(y) x № y Bu tür görüntüler denir yatırımlar)?

36*. olacak sürekli bir düzlem-torus haritalaması düşünün. yerel homeomorfizma(yani, her nokta x uçak ve f(x) torusun mahalleleri var sen ve V, ne f homeomorfik olarak haritalar senüzerinde V).

eksiksizlik. Baer teoremi

İzin vermek X bir metrik uzaydır. müteakip x n onun elemanları denir temel, Eğer

37. Yakınsak dizinin temel olduğunu kanıtlayın. Tersi doğru mu?

Metrik uzay denir tamamlamak eğer her temel dizi kendi içinde birleşirse.

38. Tam bir uzaya homeomorfik bir uzayın tamamlanmış olduğu doğru mu?

39. Tam bir uzayın kapalı bir alt uzayının kendisinin tam olduğunu kanıtlayın; keyfi bir uzayın tam bir alt uzayı onun içinde kapalıdır.

40. Tam bir metrik uzayda, yarıçapları sıfıra yakın olan iç içe kapalı toplar dizisinin ortak bir elemanı olduğunu kanıtlayın.

41. Bir önceki problemde, uzayın veya sıfıra yönelen topların yarıçaplarının tamlık koşulunu ortadan kaldırmak mümkün müdür?

Görüntülemek f metrik uzay X kendi içinde denir sıkıştırıcı, Eğer

42. Büzülme eşlemesinin sürekli olduğunu kanıtlayın.

43. a) Tam bir metrik uzayın kendi içine daralma eşlemesinin tam olarak bir sabit noktası olduğunu kanıtlayın.

b) 1:20.000.000 ölçekli bir Rusya haritası, 1:5.000.000 ölçekli bir Rusya haritasına yerleştirilir.Her iki haritadaki görüntüleri çakışan bir noktanın olduğunu kanıtlayın.

44*. Sorunun ifadesinin doğru olduğu tamamlanmamış bir metrik uzay var mı?

Metrik uzayın bir alt kümesine denir. her yerde yoğun kapanması tüm alanla çakışıyorsa; hiçbir yerde sıkı- kapanışının boş olmayan açık alt kümeleri yoksa (bu tanımı Ek 2'de verilen tanımla karşılaştırın).

45. a) izin ver a, b, a , b О Z ve a < a < b < b. [ üzerinde sürekli fonksiyonlar kümesinin olduğunu kanıtlayın. a,büzerinde monoton olan ], [ üzerindeki tüm sürekli fonksiyonların uzayında hiçbir yerde yoğun değildir. a,b] tek tip metrik ile.

b) izin ver a, b, c, e O Z ve a < b, c> 0, e > 0. Ardından sürekli fonksiyonlar kümesi [ a,b], öyle ki

46. (Genelleştirilmiş Baire teoremi .) Tam bir metrik uzayın sayılabilir sayıda yoğun olmayan kümelerin birleşimi olarak temsil edilemeyeceğini kanıtlayın.

47. Boş olmayan herhangi bir aralıkta ve hiçbir yerde türevlenemez aralıkta tanımlanan sürekli, monoton olmayan fonksiyonların kümesinin, düzgün metrik ile tüm sürekli fonksiyonların uzayında her yerde yoğun olduğunu kanıtlayın.

48*. İzin vermek f segmentinde türevlenebilir bir fonksiyondur. Türevinin her yerde yoğun bir nokta kümesinde sürekli olduğunu kanıtlayın. Bu tanım Lebesgue sıfır ölçer. Sayılabilir aralık sayısı sonlu bir aralıkla değiştirilirse, tanımı alırız Ürdün sıfır ölçer.

Şimdi kapalı ve açık kümelerin bazı özel özelliklerini ispatlayalım.

Teorem 1. Sonlu veya sayılabilir sayıda açık kümenin toplamı bir açık kümedir. Sonlu sayıda açık kümenin çarpımı bir açık kümedir,

Sonlu veya sayılabilir sayıda açık kümenin toplamını düşünün:

Eğer , o halde P bir açık küme olduğundan, P'nin bazı komşuları aynı zamanda P'nin aynı komşuları da g toplamına aittir, buradan g bir açık kümedir. Şimdi nihai ürünü düşünün

ve P'nin g'ye ait olmasına izin verin. Yukarıdaki gibi, bazı P komşuluğunun g'ye ait olduğunu ispatlayalım. P, g'ye ait olduğu için, P hepsine aittir. Açık kümeler olduğundan, herhangi birine ait olan noktanın bir komşuluğu vardır. Sayı, sonlu sayının en küçüğüne eşit alınırsa, P noktasının komşuluğu hepsine ve dolayısıyla g'ye ait olacaktır. Sayılabilir sayıda açık kümenin çarpımının bir açık küme olduğu iddia edilemez.

Teorem 2. CF kümesi açık ve CO kümesi kapalı.

İlk iddiayı ispatlayalım. P, CF'ye ait olsun. Bazı P komşularının CF'ye ait olduğunu kanıtlamak gerekir. Bu, herhangi bir P komşuluğunda F noktaları olsaydı, koşula göre ait olmayan P noktasının F için sınır noktası olacağı ve kapalılığı nedeniyle ait olması gerektiği gerçeğinden kaynaklanır, bu da şuna yol açar: bir çelişki.

Teorem 3. Sonlu veya sayılabilir sayıda kapalı kümenin çarpımı kapalı bir kümedir. Sonlu sayıda kapalı kümenin toplamı kapalı kümedir.

Örneğin, kümenin olduğunu kanıtlayalım.

kapalı. Ek kümelere geçerek yazabiliriz

Teorem, açık kümeler ve Teorem 1'e göre küme de açıktır ve bu nedenle tamamlayıcı küme g kapalıdır. Sayılabilir sayıda kapalı kümenin toplamının da kapalı olmayan bir küme olabileceğini unutmayın.

Teorem 4. Bir küme, bir açık küme ve bir kapalı kümedir.

Aşağıdaki eşitlikleri kontrol etmek kolaydır:

Onlardan, önceki teoremler sayesinde Teorem 4 gelir.

Her g noktası M sisteminin kümelerinden en az birine dahil ediliyorsa, bir g kümesinin bazı kümelerden oluşan bir M sistemi tarafından kapsandığını söyleyeceğiz.

Teorem 5 (Borel). Kapalı sınırlı bir F kümesi, O açık kümelerinden oluşan sonsuz bir a sistemi tarafından kapsanıyorsa, bu sonsuz sistemden F'yi de kapsayan sonlu sayıda açık küme çıkarılabilir.

Bu teoremi tersinden kanıtlıyoruz. a sisteminden sonlu sayıda açık küme olmadığını varsayalım ve bunu bir çelişkiye indirgeyelim. F sınırlı bir küme olduğundan, F'nin tüm noktaları sonlu bir iki boyutlu aralığa aittir. Bu kapalı aralığı dört eşit parçaya bölelim, aralıkları ikiye bölelim. Elde edilen dört aralığın her biri kapalı alınacaktır. Bu dört kapalı aralıktan birine düşen F noktaları, Teorem 2'ye göre bir kapalı kümeyi temsil edecektir ve bu kapalı kümelerden en az biri a sisteminden sonlu sayıda açık küme tarafından kapsanamaz. Bu durumun gerçekleştiği yukarıdaki dört kapalı aralıktan birini alıyoruz. Bu aralığı tekrar dört eşit parçaya bölüyoruz ve yukarıdakiyle aynı şekilde tartışıyoruz. Böylece, bir sonrakinin bir öncekinin dördüncü kısmı olduğu bir iç içe aralıklar sistemi elde ederiz ve aşağıdaki durum gerçekleşir: herhangi bir k'ye ait olan F noktaları kümesi, sonlu sayıda açık küme tarafından kapsanamaz. sistemden a. k'deki sonsuz bir artışla, boşluklar, tüm boşluklara ait olan bir P noktasına süresiz olarak daralacaktır. Herhangi bir k için sayılamayan bir nokta kümesi içerdiğinden, P noktası bir sınır noktasıdır ve bu nedenle F'ye aittir, çünkü F kapalı bir kümedir. Böylece P noktası, a sistemine ait bir açık küme tarafından kapsanır. P noktasının bazı komşuları da açık küme O'ya ait olacaktır. Yeterince büyük k değerleri için, D aralıkları P noktasının yukarıdaki komşuluğunun içine düşecektir. Böylece, bunlar tamamen yalnızca bir tanesi tarafından kapsanacaktır. a sisteminin O açık kümesidir ve bu, herhangi bir k için ait noktaların a'ya ait sonlu sayıda açık küme tarafından kapsanamayacağı gerçeğiyle çelişir. Böylece teorem kanıtlanmıştır.

Teorem 6. Bir açık küme, ortak noktaları olmayan çiftler halinde sayılabilir sayıdaki yarı açık boşlukların toplamı olarak temsil edilebilir.

Düzlemdeki yarı açık bir boşluğun, formun eşitsizlikleriyle tanımlanan sonlu bir boşluk olduğunu hatırlayın.

Kenarları eksenlere paralel ve kenar uzunlukları bire eşit olan karelerden oluşan bir ızgarayı düzleme koyalım. Bu karelerin kümesi sayılabilir bir kümedir. Bu karelerden tüm noktaları belirli bir O kümesine ait olan kareleri seçiyoruz. Bu karelerin sayısı sonlu veya sayılabilir olabilir veya böyle kareler hiç olmayabilir. Izgaranın kalan karelerinin her birini dört özdeş kareye bölüyoruz ve yeni elde edilen karelerden tekrar tüm noktaları O'ya ait olanları seçiyoruz. Kalan karelerin her birini tekrar dört eşit parçaya bölüyoruz ve tüm noktaları olan kareleri seçiyoruz. O kümesinin herhangi bir P noktasının, tüm noktaları O'ya ait olan seçilmiş karelerden birine düşeceğini gösterelim. Gerçekten de, d, P'den O'nun sınırına pozitif bir uzaklık olsun. Köşegeni 'den küçük olan karelere ulaştığımızda, P noktasının zaten tüm hacimleri O'ya ait olan bir kareye düştüğünü açıkça söyleyebiliriz. ortak noktalar ve teorem kanıtlanmıştır. Yarı açık boşlukların sonlu toplamı açık bir şekilde açık bir küme olmadığı için, seçilen karelerin sayısı zorunlu olarak sayılabilir olacaktır. Yukarıdaki yapı sonucunda elde ettiğimiz yarı açık kareleri DL ile ifade ederek yazabiliriz.

Çakışan veya çakışmayan iki X ve Y kümesi verilsin.

Tanım. Birincisi X'e, ikincisi Y'ye ait olan sıralı eleman çiftleri kümesine denir. kümelerin kartezyen çarpımı ve belirtilmektedir.

Misal. İzin vermek
,
, o zamanlar

.

Eğer bir
,
, o zamanlar
.

Misal. İzin vermek
, burada R tüm gerçek sayıların kümesidir. Sonra
düzlemdeki noktaların tüm Kartezyen koordinatlarının kümesidir.

Misal. İzin vermek
belirli bir küme ailesi ise, bu kümelerin Kartezyen çarpımı, n uzunluğundaki sıralı tüm dizilerin kümesidir:

Eğer öyleyse. Öğeler
uzunluk n olan satır vektörleridir.

Tek ikili işlemli cebirsel yapılar

1 İkili cebirsel işlemler

İzin vermek
keyfi bir sonlu veya sonsuz kümedir.

Tanım. ikili cebirsel operasyon ( iç kompozisyon kanunu) üzerinde
Kartezyen karenin keyfi fakat sabit bir eşlemesi olarak adlandırılır.
içinde
, yani

(1)

(2)

Böylece herhangi bir sıralı ikili

. gerçeği
, sembolik olarak şöyle yazılır
.

Kural olarak, ikili işlemler sembollerle gösterilir
vb. Daha önce olduğu gibi, operasyon
"toplama" anlamına gelir ve "" işlemi "çarpma" anlamına gelir. Gösterim biçiminde ve belki de bağlamdan açıkça anlaşılacak aksiyomlarda farklılık gösterirler. İfade
ürün olarak adlandırılacak ve
- öğelerin toplamı ve .

Tanım. Bir demet
varsa  işlemi altında kapalı denir.

Misal. Negatif olmayan tam sayılar kümesini düşünün
. üzerinde ikili işlemler olarak
olağan toplama işlemlerini ele alacağız
ve çarpmalar. Daha sonra setler
,
bu işlemler kapsamında kapatılacaktır.

Yorum. Tanımdan aşağıdaki gibi, cebirsel işlemin ataması *
, kümesinin kapalılığına eşdeğerdir
bu operasyonla ilgili. küme olduğu ortaya çıkarsa
verilen * işlemine göre kapalı değilse, bu durumda * işleminin cebirsel olmadığını söylüyoruz. Örneğin, doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemi cebirsel değildir.

İzin vermek
ve
iki set.

Tanım. dış hukuk kompozisyonlar sette haritalama denir

, (3)

onlar. herhangi bir unsurun kullandığı yasa
ve herhangi bir eleman
eleman atandı
. gerçeği
, sembolü ile gösterilir
veya
.

Misal. matris çarpımı
sayı başına
sette bir dış bileşim yasasıdır
. sayıların çarpımı
hem bir iç bileşim yasası hem de bir dış yasa olarak kabul edilebilir.

dağıtıcı iç kompozisyon yasasına ilişkin *
, Eğer

Dış bileşim yasası denir dağıtıcıİç kompozisyon yasasına göre * Y'de, eğer

Misal. matris çarpımı
sayı başına
hem matris toplamaya göre hem de sayıların toplanmasına göre dağılımlıdır, çünkü,.

1. İkili İşlemlerin Özellikleri

Bir kümede ikili cebirsel işlem 
isminde:

Yorum. Değişmelilik ve çağrışım özellikleri bağımsızdır.

Misal. Tamsayılar kümesini düşünün. operasyon açık kurala göre tanımla
. sayıları seçelim
ve işlemi şu numaralar üzerinde gerçekleştirin:

onlar.  işlemi değişmeli, ancak ilişkisel değil.

Misal. Seti düşünün
boyutun kare matrisleridir
gerçek katsayılarla. İkili işlem olarak * açık
Matris çarpımının işlemlerini ele alalım. İzin vermek
, o zamanlar
, ancak
, yani kare matrisler üzerinde çarpma işlemi birleştiricidir ancak değişmeli değildir.

Tanım. eleman
isminde bekar veya doğal söz konusu operasyonla ilgili 
, Eğer

Lemma. Eğer bir kümenin kimlik öğesidir
* işlemi altında kapalıysa, benzersizdir.

Kanıt . İzin vermek kümenin kimlik öğesidir
, operasyon kapsamında kapatıldı *. içinde olduğunu varsayalım
bir element daha var
, o zamanlar
, gibi tek bir unsurdur ve
, gibi tek bir unsurdur. Buradan,
kümenin tek kimlik öğesidir
.

Tanım. eleman
isminde tersi veya simetrik elemana
, Eğer

Misal. tamsayılar kümesini düşünün ekleme işlemi ile
. eleman
, sonra simetrik eleman
bir unsur olacak
. Gerçekten,.

Nokta kümeleri teorisinin ana görevlerinden biri, çeşitli nokta kümelerinin özelliklerinin incelenmesidir. Bu teoriyi iki örnek üzerinde tanıyalım ve kapalı ve açık kümelerin özelliklerini inceleyelim.

küme denir kapalı tüm sınır noktalarını içeriyorsa. Bir kümenin limit noktası yoksa o küme de kapalı kabul edilir. Sınır noktalarına ek olarak, kapalı bir küme izole noktalar da içerebilir. küme denir açık eğer noktalarının her biri onun içindeyse.

hadi getirelim kapalı ve açık küme örnekleri .

Her segment kapalı bir kümedir ve her aralık (a, b) açık bir kümedir. Uygun olmayan yarım aralıklar ve kapalı, ve uygun olmayan aralıklar ve açık. Tüm çizgi hem kapalı hem de açık bir kümedir. Boş kümeyi aynı anda hem kapalı hem de açık olarak düşünmek uygundur. Bir doğru üzerindeki herhangi bir sonlu nokta kümesi, limit noktası olmadığı için kapalıdır.

Noktalardan oluşan bir set:

kapalı; bu kümenin, kümeye ait olan tek bir x=0 limit noktası vardır.

Ana görev, keyfi bir kapalı veya açık kümenin nasıl çalıştığını bulmaktır. Bunu yapmak için, kanıt olmadan kabul edeceğimiz bir dizi yardımcı gerçeğe ihtiyacımız var.

• 1. Herhangi bir sayıda kapalı kümenin kesişimi kapalıdır.
• 2. Herhangi bir sayıdaki açık kümenin toplamı bir açık kümedir.
• 3. Kapalı bir küme yukarıdan sınırlandırılmışsa, üst sınırını içerir. Benzer şekilde, kapalı bir küme aşağıda sınırlıysa, alt sınırını içerir.

E doğru üzerinde rastgele bir nokta kümesi olsun. E kümesinin tümleyeni olarak adlandırılır ve doğru üzerinde E kümesine ait olmayan tüm noktaların kümesini CE ile gösteririz. Açıktır ki x, E için bir dış nokta ise, o zaman bunun bir iç nokta olduğu açıktır. CE'yi ayarlayın ve tam tersi.

4. F kümesi kapalıysa, tümleyeni CF açıktır ve bunun tersi de geçerlidir.

Önerme 4, kapalı ve açık kümeler arasında çok yakın bir ilişki olduğunu gösterir: biri diğerinin tümleyenidir. Bu nedenle sadece bir kapalı veya bir açık kümeyi incelemek yeterlidir. Bir türdeki kümelerin özelliklerini bilmek, başka bir türdeki kümelerin özelliklerini hemen bulmanızı sağlar. Örneğin, herhangi bir açık küme, bir satırdan bazı kapalı kümelerin çıkarılmasıyla elde edilir.

Kapalı kümelerin özelliklerini incelemeye devam ediyoruz. Bir tanım sunuyoruz. F kapalı bir küme olsun. Noktalarından hiçbirinin F kümesine ait olmadığı, a ve b noktalarının ise F kümesine ait olmadığı (a, b) aralığına F kümesinin bitişik aralığı denir.

Bitişik aralıklar arasında, uygun olmayan aralıkları da dahil edeceğiz veya a noktası veya b noktası F kümesine aitse ve aralıkların kendileri F ile kesişmiyorsa. Eğer bir x noktası kapalı bir F kümesine ait değilse, komşu aralıklarından birine ait olduğunu gösterelim.

F kümesinin x noktasının sağında bulunan kısmı ile gösteriniz. x noktasının kendisi F kümesine ait olmadığı için bir kesişim şeklinde gösterilebilir:

F ve kümelerinin her biri kapalıdır. Bu nedenle, Önerme 1'e göre küme kapalıdır. Küme boşsa, tüm yarı aralık F kümesine ait değildir. Şimdi kümenin boş olmadığını varsayalım. Bu küme tamamıyla yarı aralıkta yer aldığı için alttan sınırlandırılmıştır. Alt sınırını b ile belirtin. Önerme 3'e göre, bu şu anlama gelir: Ayrıca, b kümenin son noktası olduğundan, b noktasının solunda yer alan (x, b) yarı aralığı, kümenin noktalarını içermez ve bu nedenle, F kümesinin noktalarını içermez. , F kümesinin noktalarını içermeyen bir yarı-aralık (x, b) oluşturduk ve ya ya da b noktası F kümesine ait. Benzer şekilde, bir yarı-aralık (a, x) oluşturulur. F kümesinin noktalarını içermez ve ya, ya da. Şimdi (a, b) aralığının x noktasını içerdiği ve F kümesinin bitişik bir aralığı olduğu açıktır. kesişmez.

Yukarıdakilerden, doğru üzerindeki herhangi bir kapalı kümenin, belirli sayıda aralığı, yani F kümesinin bitişik aralıklarını çizgiden çıkararak elde edildiği sonucu çıkar. Her aralık en az bir rasyonel nokta içerdiğinden ve üzerindeki tüm rasyonel noktalar. çizgi sayılabilir bir kümedir, tüm bitişik aralıkların sayısının en fazla sayılabilir olduğundan emin olmak kolaydır. Buradan nihai sonuca varıyoruz. Bir doğru üzerindeki herhangi bir kapalı küme, satırdan en fazla sayılabilir ayrık aralık kümesi çıkarılarak elde edilir.

Önerme 4'e göre, bu, doğru üzerindeki herhangi bir açık kümenin, en fazla, ayrık aralıkların sayılabilir bir toplamı olduğu anlamına gelir. Önerme 1 ve 2 sayesinde, yukarıda belirtildiği gibi düzenlenen herhangi bir kümenin gerçekten kapalı (açık) olduğu da açıktır.

Aşağıdaki örnekten de görüleceği gibi kapalı kümeler çok karmaşık bir yapıya sahip olabilir.