Olası yer değiştirmeler ilkesi, sıfırdan teorik mekaniktir. Destek tepkisinin olası yer değiştirmeler ilkesine göre hesaplanması

Teorik mekanik dersinden bilindiği gibi, bir cismin denge koşulu bir kuvvet veya enerji formülasyonuna sahip olabilir. İlk seçenek, ana vektörün sıfıra eşit olması koşulu ve vücuda etki eden tüm kuvvetlerin ve reaksiyonların ana momentidir. Olası yer değiştirmeler ilkesi olarak adlandırılan ikinci yaklaşımın (varyasyonel), yapısal mekanikteki bir takım problemleri çözmek için çok faydalı olduğu ortaya çıktı.

Mutlak katı cisimlerden oluşan bir sistem için, olası yer değiştirmeler ilkesi şu şekilde formüle edilir: Eğer mutlak katı cisimlerden oluşan bir sistem dengedeyse, olası herhangi bir sonsuz küçük yer değiştirme üzerindeki tüm dış kuvvetlerin çalışmalarının toplamı sıfıra eşittir. Cisimlerin kinematik bağlantılarını ve sürekliliğini ihlal etmeyen olası (veya sanal) hareket denir. Şekildeki sistem için 3.1'de sadece çubuğun desteğe göre dönüşü mümkündür. İsteğe bağlı küçük bir açıyla dönerken, zorlar ve iş yapar Olası yer değiştirmeler ilkesine göre sistem dengede ise . Burada geometrik bağıntıları yerine koymak kuvvet formülasyonunda denge koşulunu elde ederiz

Elastik cisimler için olası yer değiştirmeler ilkesi şu şekilde formüle edilir: elastik cisimlerden oluşan bir sistem dengedeyse, olası herhangi bir sonsuz küçük yer değiştirme üzerindeki tüm dış ve iç kuvvetlerin çalışmalarının toplamı sıfıra eşittir. Bu ilke, elastik deforme olmuş bir sistem P'nin toplam enerjisi kavramına dayanmaktadır. Yapı statik olarak yüklenirse, bu enerji, sistem deforme durumundan aktarıldığında dış U ve iç W kuvvetlerinin yaptığı işe eşittir. ilkine:

Bu çeviri ile dış kuvvetler değerlerini değiştirmez ve negatif iş yaparlar U= -F . Bu durumda, iç kuvvetler sıfıra düşer ve pozitif iş yapar, çünkü bunlar malzemenin parçacıklarının yapışma kuvvetleridir ve dış yüke zıt yönde yönlendirilirler:

nerede - elastik deformasyonun özgül potansiyel enerjisi; V vücudun hacmidir. Doğrusal bir sistem için, burada . Lagrange-Dirichlet teoremine göre, kararlı denge durumu, elastik sistemin toplam potansiyel enerjisinin minimumuna karşılık gelir, yani.

Son eşitlik, olası yer değiştirmeler ilkesinin formülasyonuna tamamen karşılık gelir. Enerji artışları dU ve dW, elastik sistemin denge durumundan olası herhangi bir yer değiştirmesi (sapması) üzerinden hesaplanabilir. Doğrusallık gereksinimlerini karşılayan yapıları hesaplamak için, sonsuz küçük olası yer değiştirme d, keyfi olarak seçilen bir kuvvetler sistemi tarafından oluşturulan yapının herhangi bir deforme durumu olabilen çok küçük bir nihai yer değiştirme ile değiştirilebilir. Bunu akılda tutarak, ortaya çıkan denge koşulu şu şekilde yazılmalıdır:

Dış güçlerin işi

Gerçek ve olası yer değiştirme üzerindeki dış kuvvetlerin işini hesaplama yöntemini düşünün. Çubuk sistemi, aynı anda hareket eden ve herhangi bir zamanda oran sabit kalan kuvvetler ve (Şekil 3.2, a) ile yüklenir. Genelleştirilmiş kuvveti dikkate alırsak, herhangi bir zamanda değere göre diğer tüm yükleri hesaplayabilirsiniz (bu durumda, ). Kesik çizgi, bu kuvvetlerden kaynaklanan gerçek elastik yer değiştirmeyi gösterir. Bu durumu indeks 1 ile gösterelim. 1 ve .

Kuvvetler ve kuvvetler ile doğrusal bir sistem yükleme sürecinde, kuvvetler artar ve yer değiştirmeler ve bunlarla orantılı olarak artar (Şekil 3.2, c). Kuvvetlerin fiili işi ve oluşturdukları yer değiştirmeler, grafiklerin alanlarının toplamına eşittir, yani. . Bu ifadeyi şu şekilde yazarak genelleştirilmiş kuvvet ve genelleştirilmiş yer değiştirmenin çarpımını elde ederiz. Bu formda gönderebilirsiniz

tüm yükler eşzamanlı olarak değişirse, herhangi bir yükleme altındaki kuvvetlerin işi, yani. değerlerinin oranı sabit kalır.

Ardından, olası bir yer değiştirme üzerinde dış kuvvetlerin işini düşünün. Olası bir yer değiştirme olarak, örneğin belirli bir noktada bir kuvvetin uygulanmasından kaynaklanan sistemin deforme olmuş halini alacağız (Şekil 3.2, b). Kuvvetlerin uygulama noktalarının ek yer değiştirmesine ve bir mesafeye karşılık gelen bu durum ve , 2 ile gösterilecektir. Kuvvetler ve , değerlerini değiştirmeden, yer değiştirmeler üzerinde sanal iş gerçekleştirir ve (Şekil 3.2, c):

Gördüğünüz gibi, yer değiştirme notasyonunda, ilk indeks, bu yer değiştirmelerin noktalarının ve yönlerinin belirtildiği durumu gösterir. İkinci indeks, bu harekete neden olan kuvvetlerin hangi durumda etki ettiğini gösterir.

Birim kuvvet F 2'nin fiili yer değiştirme üzerindeki işi

Durum 1'i F 2 kuvveti için olası bir yer değiştirme olarak düşünürsek, o zaman yer değiştirme üzerindeki sanal işi

İç kuvvetlerin işi

Durum 1'in iç kuvvetlerinin, yani kuvvetlerden ve durum 2'nin sanal yer değiştirmeleri üzerindeki, yani F2 yükünün uygulanmasından kaynaklanan işi bulalım. Bunu yapmak için, dx uzunluğunda bir çubuk elemanı seçin (Şekil 3.2 ve 3.3, a). Ele alınan sistem düz olduğundan, elemanın kesitlerinde sadece iki S ve Q z kuvveti ve bir eğilme momenti Mu etki eder.Kesilen eleman için bu kuvvetler dışsaldır. İç kuvvetler, malzemeye mukavemet sağlayan kohezif kuvvetlerdir. Değer olarak dıştakilere eşittirler, ancak deformasyonun tersi yönde yönlendirilirler, bu nedenle yük altındaki çalışmaları negatiftir (Şekil 3.3, b-d, gri ile gösterilmiştir). Her bir kuvvet faktörünün yaptığı işi sırayla hesaplayalım.

F 2 yükünün uygulanması sonucunda ortaya çıkan S 2 kuvvetleri tarafından oluşturulan yer değiştirme üzerindeki boyuna kuvvetlerin işi (Şekil 3.2, b, 3.3, b),

İyi bilinen formülü kullanarak uzunluğu dx olan bir çubuğun uzamasını buluyoruz.

burada A, çubuğun kesit alanıdır. Bu ifadeyi önceki formülde yerine koyarsak,

Benzer şekilde, moment tarafından oluşturulan açısal yer değiştirme üzerinde eğilme momentinin yaptığı işi tanımlarız (Şekil 3.3, c):

Dönme açısını şu şekilde buluruz:

burada J, y eksenine göre çubuk bölümünün eylemsizlik momentidir. Değiştirmeden sonra, alırız

Enine kuvvetin yer değiştirme üzerindeki işini bulalım (Şekil 3.3, d). Q z kesme kuvvetinden teğetsel gerilmeler ve kaymalar, çubuk kesiti üzerinde doğrusal olarak dağılmaz (önceki yükleme durumlarındaki normal gerilmeler ve uzamaların aksine). Bu nedenle, kesme işini belirlemek için, çubuğun katmanlarında kesme gerilmelerinin yaptığı işi dikkate almak gerekir.

Nötr eksenden (Şekil 3.3, e) uzaklıkta uzanan bir katmanda hareket eden Q z kuvvetinden kaynaklanan teğet gerilmeler, Zhuravsky formülü ile hesaplanır.

burada Su, y eksenine göre alınan, bu katmanın üzerinde uzanan kesit alanının parçasının statik momentidir; b, söz konusu katman seviyesindeki bölümün genişliğidir. Bu gerilimler, Hooke yasasına göre şu şekilde tanımlanan bir açıyla tabakanın kaymasını yaratır. - kayma modülü. Sonuç olarak, katmanın sonu şu şekilde yer değiştirir:

Bu tabakanın ucuna etki eden birinci durumun, ikinci durumun yer değiştirmeleri üzerindeki toplam kesme gerilmesi işi, ürünün kesit alanı üzerinden integrali alınarak hesaplanır.

Burada ifadeleri değiştirdikten sonra ve şunu elde ederiz:

z'ye bağlı olmayan integral değerlerinin altından alıp bu ifadeyi A ile çarpar ve böleriz, elde ederiz.

Burada boyutsuz katsayı tanıtılır,

sadece konfigürasyona ve bölümlerin boyutlarının oranına bağlı olarak. Bir dikdörtgen \u003d 1.2 için, I-kiriş ve kutu bölümleri için (A c - duvarın kesit alanı veya bir kutu bölümünde - iki duvar).

Göz önünde bulundurulan yükleme bileşenlerinin (S, Q, M) her birinin diğer bileşenlerin neden olduğu yer değiştirmeler üzerindeki işi sıfıra eşit olduğundan, dx uzunluğundaki çubuğun dikkate alınan elemanı için tüm iç kuvvetlerin toplam işi

(3.3)

Bir yassı çubuk sistemi için durum 1'in iç kuvvetlerinin durum 2'nin yer değiştirmeleri üzerindeki toplam işi, elde edilen ifadenin, içinde diyagramların integrallenebilir fonksiyonlar olduğu 1 Z uzunluğundaki bölümler üzerinde integrali alınarak ve tüm bölümler üzerinde toplanarak elde edilir:

Mekansal bir çubuk sisteminin bir elemanının bölümünde, altı iç kuvvet etki eder (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), bu nedenle, bunun için, iç kuvvetlerin toplam işi için ifade şöyle görünecektir: ,

Burada M x - çubuktaki tork; J T, çubuğun serbest burulmadaki eylemsizlik momentidir (geometrik burulma rijitliği). İntegrantta, "ve" indisleri atlanır.

(3.3) ve (3.4) formüllerinde S v Q yV Q zl , M x1, M y1 , M g1, F (ve F (, aS 2 , Q y 2) kuvvetlerinin etkisinden iç kuvvetlerin diyagramlarının analitik ifadelerini belirtir. , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - F 2 kuvvetinden gelen iç kuvvetlerin diyagramlarının açıklamaları .

Elastik sistemlerde teoremler

Formül (3.3) ve (3.4)'ün yapısı, durum 1 ve 2'ye göre "simetrik" olduklarını gösterir, yani. durum 1'in iç kuvvetlerinin durum 2'nin yer değiştirmeleri üzerindeki işi, iç durum 2'nin kuvvetleri durum 1'in yer değiştirmeleri üzerinde Ancak (3.2)'ye göre

Bu nedenle, eğer iç kuvvetlerin işi eşitse, o zaman dış kuvvetlerin işi de eşittir - Bu ifadeye işin karşılıklılığı teoremi denir (Betty'nin teoremi, 1872).

F 1 kuvveti ile yüklenen bir çubuk sistemi için (Şekil 3.4, a), bir F 2 kuvveti ile yüklendiğinde meydana gelen deforme olmuş durumu olası bir yer değiştirme olarak alıyoruz (Şekil 3.4, b). Bu sistem için Betti teoremine göre 1- koyarsak, o zaman şunu elde ederiz:

(3.5)

Bu formül, Maxwell'in yer değiştirmelerin karşılıklılığına ilişkin teoremini (1864) ifade eder: birinci birim kuvvetin uygulama noktasının, ikinci birim kuvvetin etkisiyle kendi yönünde yer değiştirmesi, uygulama noktasının yer değiştirmesine eşittir. Birinci birim kuvvetin hareketinden kaynaklanan ikinci birim kuvvetin kendi yönünde. Bu teorem, Şekil 1'deki sisteme de uygulanabilir. 3.2. = 1 N (bölüm 3.1.2) olarak ayarlarsak, genelleştirilmiş yer değiştirmelerin eşitliğini elde ederiz. .

Mümkün olduğu kadar alınan gerekli yer değiştirmenin verilebileceği desteklere sahip statik olarak belirsiz bir sistem düşünün (Şekil 3.4, c, d). İlk durumda, desteği 1 ve ikinciye kaydırıyoruz - gömmenin dönüşünü bir açıyla ayarladık - Bu durumda, ilk durumda ve , ve ikinci - i'de reaksiyonlar meydana gelecektir. İş teoreminin karşılıklılığına göre, eğer ayarlarsak yazarız (burada boyut = m ve değer boyutsuzdur), o zaman şunu elde ederiz:

Bu eşitlik sayısaldır, çünkü reaksiyonun boyutu = H, a = N-m'dir. Böylece, sabit bağ 1'deki, bağ 2 bir hareket ettirildiğinde meydana gelen reaksiyon R12, bağ 1'in birim yer değiştirmesiyle bağ 2'de meydana gelen reaksiyona sayısal olarak eşittir. Bu ifadeye tepkime karşılıklılık teoremi denir.

Bu bölümde sunulan teoremler, statik olarak belirsiz sistemlerin analitik hesaplanması için kullanılır.

yer değiştirmelerin tanımı

Genel yer değiştirme formülü

Belirli bir yükün etkisi altında çubuk sisteminde meydana gelen yer değiştirmeleri hesaplamak için (durum 1), gerekli yer değiştirme üzerinde iş yapan bir birim kuvvetin etki ettiği sistemin yardımcı bir durumunu oluşturmak gerekir (durum 2) . Bu, doğrusal yer değiştirmeyi belirlerken, yer değiştirmenin belirleneceği aynı noktada ve aynı yönde uygulanan bir birim kuvvet F 2 = 1 N'nin belirtilmesi gerektiği anlamına gelir. Herhangi bir bölümün dönme açısının belirlenmesi gerekiyorsa, bu bölümde tek bir F 2 = 1 N m momenti uygulanır ve daha sonra durum 2'nin alındığı enerji denklemi (3.2) derlenir. ana ve deforme olmuş

durum 1, sanal bir hareket olarak değerlendirilir. Bu denklemden istenen yer değiştirme hesaplanır.

Şekil 2'deki sistem için B noktasının yatay yer değiştirmesini bulalım. 3.5, bir. İstenen D 21 yer değiştirmesinin iş denklemine (3.2) düşmesi için, sistemin F 2 - 1 N birim kuvvetinin etkisi altındaki yer değiştirmesini ana durum olarak alıyoruz (durum 2, Şekil 3.5, b). Yapının gerçek deforme durumunu olası bir yer değiştirme olarak ele alacağız (Şekil 3.5, a).

Durum 2'nin dış kuvvetlerinin durum 1'in yer değiştirmeleri üzerindeki işi, (3.2)'ye göre şu şekilde bulunur:

bu nedenle, istenen yer değiştirme

(Bölüm 3.1.4)'den beri, 2. durumun iç kuvvetlerinin 1. durumun yer değiştirmeleri üzerindeki işi formül (3.3) veya (3.4) ile hesaplanır. Bir yassı çubuk sisteminin iç kuvvetlerinin işi için (3.7) ifadesini (3.3) yerine koyarsak, buluruz.

Bu ifadenin daha fazla kullanımı için, iç kuvvet faktörlerinin tek diyagramları kavramının tanıtılması tavsiye edilir, yani. bunlardan ilk ikisi boyutsuzdur ve boyut . Sonuç olacak

Bu integraller, etkiyen yükten gelen karşılık gelen iç kuvvetlerin dağılım diyagramları için ifadelerle değiştirilmelidir. ve ve kuvvetler F 2 = 1. Ortaya çıkan ifadeye Mohr formülü denir. (1881).

Mekansal çubuk sistemlerini hesaplarken, iç kuvvetlerin toplam işini hesaplamak için formül (3.4) kullanılmalıdır, o zaman ortaya çıkacaktır.

S, Q y , Q z , M x, M y, M g iç kuvvetlerinin diyagramları için ifadelerin ve A, J t, Jy, J bölümlerinin geometrik özelliklerinin değerleri için oldukça açıktır. karşılık gelen n'inci bölüm integrallere ikame edilir. Bu miktarların gösterimindeki gösterimi kısaltmak için "i" indeksi atlanmıştır.

3.2.2. Yer değiştirmelerin belirlenmesine ilişkin özel durumlar

Formül (3.8) düzlemsel bir çubuk sisteminin genel durumunda kullanılır, ancak bazı durumlarda önemli ölçüde basitleştirilebilir. Uygulanmasının özel durumlarını düşünün.

1. Kiriş sistemleri için tipik olan boyuna kuvvetlerden kaynaklanan deformasyonlar ihmal edilebilirse, formül (3.8) şu şekilde yazılacaktır:

2. Düz bir sistem yalnızca konsollar için l / h> 5 veya açıklıklar için l / h> 10 oranına sahip bükülmüş ince duvarlı kirişlerden oluşuyorsa (I ve h, kiriş uzunluğu ve kesit yüksekliğidir), o zaman kural olarak , eğilme gerinim enerjisi boyuna ve enine kuvvetlerden gelen deformasyon enerjisini önemli ölçüde aşar, bu nedenle yer değiştirmelerin hesaplanmasında göz ardı edilebilirler. Sonra formül (3.8) formunu alır

3. Düğüm yükü altında çubukları esas olarak uzunlamasına kuvvetlere maruz kalan kafes kirişler için M = 0 ve Q = 0 kabul edebiliriz. Daha sonra düğümün yer değiştirmesi formülle hesaplanır.

Entegrasyon, her bir çubuğun uzunluğu boyunca gerçekleştirilir ve tüm çubuklar üzerinde toplama yapılır. i. çubuktaki S u kuvvetinin ve kesit alanının uzunluğu boyunca değişmediğini akılda tutarak, bu ifadeyi sadeleştirebiliriz:

Bu formülün tüm görünür basitliği için, kafes kirişlerdeki yer değiştirmelerin analitik hesabı çok zahmetlidir, çünkü tüm kafes çubuklardaki kuvvetlerin hareket eden yükten () ve yer değiştirme gerektiren noktada uygulanan bir birim kuvvetten () belirlenmesini gerektirir. bulunmak.

3.2.3. Yer değiştirmeleri belirlemek için metodoloji ve örnekler

A. N. Vereshchagin (1925) yöntemiyle Mohr integralinin hesaplanmasını düşünün. Mohr integrali (3.8) biçimindedir; burada Dı, D2 olarak eğilme momentleri, boyuna veya enine kuvvetlerin diyagramları görünebilir. İntegrandaki diyagramlardan () en az biri, tek bir yükten oluşturulduğu için doğrusal veya parçalı doğrusaldır. Bu nedenle,

integralin çözümü için aşağıdaki hile uygulanabilir. I uzunluğunun dikkate alınan bölümünde, ilk diyagram D 1'in keyfi bir şekle sahip olduğunu ve ikincisinin doğrusal olduğunu varsayalım: (Şekil 3.6). Bunu Mohr integralinde yerine koyarsak,

İntegrallerden ilki, alt grafiğin alanına sayısal olarak eşittir (Şekil 3.6'da gölgeli) ve ikincisi, bu alanın eksene göre statik momentidir. Statik moment, alanın ağırlık merkezinin konumunun koordinatı (A noktası) olarak yazılabilir. Söylenenlerin ışığında, anlıyoruz

(3.13)

Vereshchagin'in kuralı şu şekilde formüle edilir: diyagramlardan en az biri arsa üzerinde doğrusal ise, o zaman Mohr integrali keyfi bir alanın ürünü olarak hesaplanır.

bu alanın ağırlık merkezinin altında bulunan doğrusal arsanın ordinatı üzerinde arsa. Her iki diyagram da eksenin aynı tarafında yer alıyorsa, ürün pozitif, farklı yönlerden ise negatiftir. Bu yöntem, (3.8) ve (3.9) ifadelerindeki herhangi bir integrali hesaplamak için uygulanabilir.

Mathcad ortamında yapıları hesaplarken Vereshchagin kuralını kullanmaya gerek yoktur, çünkü integrali sayısal entegrasyon ile hesaplayabilirsiniz.

Örnek 3.1(Şekil 3.7, a). Kiriş, simetrik olarak yerleştirilmiş iki kuvvetle yüklenir. Kuvvetlerin uygulama noktalarının yer değiştirmelerini bulunuz.

1. F 1 kuvvetlerinden M 1 eğilme momentlerinin bir diyagramını oluşturalım. Destek reaksiyonları Kuvvet altında maksimum bükülme momenti

2. Sistem simetrik olduğu için kuvvetler altındaki sehimler aynı olacaktır. Yardımcı bir durum olarak, kirişin yüklemesini, F 1 kuvvetleriyle aynı noktalara uygulanan iki birim F 2 = 1 N kuvveti ile alıyoruz.

(Şekil 3.7, b). Bu yükleme için eğilme momentlerinin diyagramı öncekine benzer ve maksimum eğilme momenti M 2max = 0,5 (L-b).

3. Sistemin ikinci durumun iki kuvveti tarafından yüklenmesi, genelleştirilmiş F 2 kuvveti ve genelleştirilmiş yer değiştirme ile karakterize edilir, bu durum 1 durumunun yer değiştirmesi üzerinde dış kuvvetlerin işini yaratır, eşit . (3.11) formülünü kullanarak yer değiştirmeyi hesaplayalım. Diyagramları Vereshchagin kuralına göre bölümlerle çarparak buluruz.

değerleri değiştirdikten sonra alırız

Örnek 3.2. F x kuvveti ile yüklenen U-şekilli çerçevenin hareketli desteğinin yatay yer değiştirmesini bulun (Şekil 3.8, a).

1. F 1 Destek reaksiyonlarından hareketle eğilme momentlerinin bir diyagramını oluşturalım . F 1 kuvveti altında maksimum eğilme momenti

2. Yardımcı bir durum olarak, B noktasında uygulanan birim yatay F 2 kuvveti ile kirişin yükünü alıyoruz (Şekil 3.8, b). Bu yükleme durumu için bir bükülme momenti diyagramı oluşturuyoruz. Destek reaksiyonları A 2y \u003d B 2y \u003d 0, A 2x \u003d 1. Maksimum bükülme momenti.

3. Yer değiştirmeyi formül (3.11)'e göre hesaplıyoruz. Dikey kesitlerde ürün sıfırdır. Yatay bir kesitte, M 1 grafiği doğrusal değildir, ancak çizim doğrusaldır. Diyagramları Vereshchagin yöntemiyle çarparak elde ederiz.

Ürün negatiftir, çünkü diyagramlar zıt taraflardadır. Ortaya çıkan negatif yer değiştirme değeri, gerçek yönünün birim kuvvet yönünün tersi olduğunu gösterir.

Örnek 3.3(Şekil 3.9). İki destekli kirişin kuvvet altındaki bölümünün dönme açısını bulun ve bu açının maksimum olacağı kuvvetin konumunu bulun.

1. F 1 kuvvetinden M 1 eğilme momentlerinin bir diyagramını oluşturalım. Bunu yapmak için A 1 destek reaksiyonunu bulacağız. Bir bütün olarak sistem için denge denkleminden Fj kuvveti altındaki maksimum eğilme momenti

2. Yardımcı bir durum olarak, dönüşü belirlenmesi gereken bölümde kirişin yükünü tek bir F 2 \u003d 1 Nm momenti ile alıyoruz (Şekil 3.9, b). Bu yükleme durumu için bir bükülme momenti diyagramı oluşturuyoruz. Destek reaksiyonları A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, eğilme momentleri

Her iki moment de saat yönünde yönlendirildiklerinden negatiftir. Diyagramlar gerilmiş bir fiber üzerine inşa edilmiştir.

3. Dönüş açısını formül (3.11)'e göre hesaplıyoruz, çarpma işlemini iki bölüm üzerinden yapıyoruz,

Belirterek, bu ifadeyi daha uygun bir biçimde alabilirsiniz:

Dönme açısının F1 kuvvetinin konumuna bağımlılığının grafiği, Şek. 3.9, c. Bu ifadeyi koşuldan farklılaştırarak, altındaki kirişin eğim açısının mutlak değerde en büyük olacağı kuvvetin konumunu buluruz. Bu, 0.21 ve 0.79'a eşit değerlerde gerçekleşecek.

Mekanik bir sistemin dengesi için genel bir koşul oluşturan başka bir mekaniğin ilkesinin ele alınmasına geçelim. Denge ile (bkz. § 1), sistemin, uygulanan kuvvetlerin etkisi altındaki tüm noktalarının eylemsiz referans çerçevesine göre hareketsiz olduğu durumunu kastediyoruz ("mutlak" denge olarak adlandırılanı düşünüyoruz). Aynı zamanda, sistem üzerine bindirilen tüm iletişimlerin durağan olduğunu kabul edeceğiz ve bunu gelecekte her seferinde özel olarak şart koşmayacağız.

Olası iş kavramını, maddesel bir noktaya etki eden kuvvetin, bu noktanın olası yer değiştirmesiyle çakışan bir yer değiştirmede yapabileceği temel iş olarak tanıtalım. Aktif kuvvetin olası işini sembolü ile ve N bağı reaksiyonunun olası işini sembolü ile göstereceğiz.

Şimdi, daha önce kullandığımız ideal bağ kavramının genel bir tanımını verelim (bkz. § 123): Sistemin herhangi bir olası yer değiştirmesi üzerindeki reaksiyonlarının temel işlerinin toplamı sıfıra eşitse, bağlar ideal olarak adlandırılır. , yani

§ 123'te verilen ve eşitlik (52) ile ifade edilen, aynı anda durağan olduklarında bağların idealliğinin koşulu, durağan bağlarla her gerçek yer değiştirme olası olanlardan biriyle çakıştığından (98) tanıma karşılık gelir. . Bu nedenle, ideal bağlantı örnekleri, § 123'te verilen tüm örnekler olacaktır.

Gerekli denge koşulunu belirlemek için, ideal kısıtlamalara sahip mekanik bir sistem, uygulanan kuvvetlerin etkisiyle dengedeyse, sistemin olası herhangi bir yer değiştirmesi için eşitlik

kuvvet ve olası yer değiştirme arasındaki açı nerede.

Sistemin bir noktasına etki eden tüm (hem dış hem de iç) aktif kuvvetlerin ve bağların reaksiyonlarının bileşkelerini sırasıyla . O zaman, sistemin her noktası dengede olduğundan ve sonuç olarak, noktanın herhangi bir hareketi için bu kuvvetlerin çalışmalarının toplamı da sıfıra eşit olacaktır, yani. Bu eşitlikleri sistemin tüm noktaları için derleyip terim terim ekleyerek elde ederiz.

Ancak bağlantılar ideal olduğundan, sistemin noktalarının olası yer değiştirmelerini temsil ederler, o zaman (98) koşuluna göre ikinci toplam sıfıra eşit olacaktır. O zaman ilk toplam da sıfıra eşittir, yani eşitlik (99) geçerlidir. Böylece eşitliğin (99) sistemin dengesi için gerekli koşulu ifade ettiğini ispatlamış olduk.

Bu koşulun da yeterli olduğunu gösterelim, yani (99) denklemini sağlayan aktif kuvvetler, durağan bir mekanik sistemin noktalarına uygulanırsa, sistem durağan kalacaktır. Bunun tersini, yani sistemin hareket etmeye başlayacağını ve bazı noktalarının gerçek yer değiştirmeler yapacağını varsayalım. Daha sonra kuvvetler bu yer değiştirmeler üzerinde iş yapacak ve kinetik enerjideki değişim teoremine göre şöyle olacaktır:

burada, açıkçası, sistem başlangıçta durağan olduğu için; dolayısıyla ve . Ancak durağan bağlantılarda, gerçek yer değiştirmeler bazı olası yer değiştirmelerle örtüşür ve bu yer değiştirmelerin ayrıca koşulla (99) çelişen bir şeye sahip olması gerekir. Böylece uygulanan kuvvetler (99) koşulunu sağladığında sistem durgun durumdan çıkamaz ve bu koşul denge için yeterli bir koşuldur.

Aşağıdaki olası yer değiştirme ilkesi, ispatlanmış olandan çıkar: ideal kısıtlamalarla mekanik bir sistemin dengesi için, sistemin herhangi bir olası yer değiştirmesi için ona etki eden tüm aktif kuvvetlerin temel işlerinin toplamının eşit olması gerekli ve yeterlidir. sıfıra. Matematiksel olarak formüle edilmiş denge koşulu, olası işlerin denklemi olarak da adlandırılan eşitlik (99) ile ifade edilir. Bu eşitlik analitik biçimde de gösterilebilir (bkz. § 87):

Olası yer değiştirmeler ilkesi, mekanik bir sistemin dengesi için, bu sistemin ayrı parçalarının (cisimlerinin) dengesinin dikkate alınmasını gerektirmeyen ve ideal bağlarla, önceden bilinmeyen tüm reaksiyonların dikkate alınmamasına izin veren genel bir koşul oluşturur. tahviller.

Sistemin olası herhangi bir yer değiştirmesi üzerine sisteme uygulanan tüm aktif kuvvetlerin iş toplamının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Olası yer değiştirmeler ilkesine dayalı olarak mekanik bir sistem için derlenebilecek denklemlerin sayısı, bu çok mekanik sistemin serbestlik derecesi sayısına eşittir.

Edebiyat

• Targ S. M. Teorik mekanikte kısa bir kurs. Proc. teknik kolejler için - 10. baskı, gözden geçirilmiş. ve ek - M.: Daha yüksek. okul, 1986.- 416 s., hasta.
• Teorik mekaniğin ana kursu (birinci bölüm) N. N. Bukhgolts, "Nauka" yayınevi, Fiziksel ve matematiksel literatürün ana yayın kurulu, Moskova, 1972, 468 sayfa.

Wikimedia Vakfı. 2010 .

Diğer sözlüklerde "Olası hareketler ilkesi" nin ne olduğunu görün:

olası hareketler ilkesi

Bir mekanik dengenin genel durumunu belirleyen mekaniğin değişken ilkelerinden biri. sistemler. V. p. p.'ye göre, mekanik denge için. ideal kısıtlamalara sahip sistemler (bkz. MEKANİK BAĞLANTILAR) işlerin toplamının dAi olması için gerekli ve yeterlidir… … Fiziksel Ansiklopedi

Büyük Ansiklopedik Sözlük

OLASI HAREKETLER İLKESİ, mekanik bir sistemin dengesi için, sistemin olası herhangi bir yer değiştirmesi için sisteme etki eden tüm kuvvetlerin yaptığı işlerin toplamının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. Olası yer değiştirme ilkesi şu durumlarda geçerlidir… … ansiklopedik sözlük

Mekanik bir sistemin dengesi için genel bir koşul oluşturan mekaniğin değişken ilkelerinden biri (bkz. Mekaniğin değişken ilkeleri). V. p. p.'ye göre, ideal bağlantılara sahip mekanik bir sistemin dengesi için (bkz. Bağlantılar ... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Sanal hızlar ilkesi, ideal bağlantılar tarafından sınırlandırılan mekanik sistemlerin dengesi için en genel koşulları ifade eden klasik mekaniğin diferansiyel varyasyon ilkesi. V. p. p.'ye göre mekan. sistem dengede... Matematik Ansiklopedisi

Mekanik bir sistemin dengesi için, sistemin herhangi bir olası yer değiştirmesi için sisteme etki eden tüm kuvvetlerin yaptığı iş toplamının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. Olası yer değiştirmeler ilkesi, denge koşullarının incelenmesinde uygulanır ... ... ansiklopedik sözlük

Mekanik denge için sistemin herhangi bir olası yer değiştirmesi için sisteme etkiyen tüm kuvvetlerin yaptığı iş toplamının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. V. p. p. karmaşık mekanizma için denge koşullarının incelenmesinde kullanılır. sistemler…… Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

sanal yer değiştirmeler ilkesi- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: tr. sanal yer değiştirme ilkesi vok. Prinzip der erdemllen Verschiebungen, n rusya. sanal yer değiştirmeler ilkesi, m; olası hareketler ilkesi, m prak. İlke des … Fizikos terminų žodynas

Roma'ya göre mekaniğin değişken ilkelerinden biri, belirli bir mekanik hareket sınıfı için birbirleriyle karşılaştırıldığında. sistem hangi fiziksel için geçerlidir. denilen değer eylem, en küçüğüne (daha doğrusu durağan) sahiptir ... ... Fiziksel Ansiklopedi

Kitabın

• Teorik mekanik. 4 ciltte. Cilt 3: Dinamik. Analitik mekanik. Ders metinleri. Rusya Federasyonu Savunma Bakanlığı Akbabası Bogomaz Irina Vladimirovna. Ders kitabı, teorik mekanikte birleşik bir dersin iki bölümünü içerir: dinamik ve analitik mekanik. Birinci bölümde, dinamiğin birinci ve ikinci problemleri ayrıntılı olarak ele alınmış, ayrıca ...

Olası hareketler ilkesi: ideal bağlantılara sahip mekanik bir sistemin dengesi için, herhangi bir olası yer değiştirme için üzerine etki eden tüm aktif kuvvetlerin temel işlerinin toplamının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. veya projeksiyonlarda: .

Olası yer değiştirmeler ilkesi, genel bir biçimde herhangi bir mekanik sistem için denge koşullarını verir, statik problemlerini çözmek için genel bir yöntem verir.

Sistem birkaç serbestlik derecesine sahipse, olası yer değiştirmeler ilkesinin denklemi, bağımsız yer değiştirmelerin her biri için ayrı ayrı yapılır, yani. sistemin serbestlik derecesine sahip olduğu kadar çok denklem olacaktır.

Olası yer değiştirmeler ilkesi, ideal bağlantılara sahip bir sistem düşünüldüğünde, tepkilerinin dikkate alınmaması ve yalnızca aktif kuvvetlerle çalıştırılması gerektiği için uygundur.

Olası hareketlerin ilkesi şu şekilde formüle edilmiştir:

Anneye. ideal kısıtlamalara tabi olan sistem durgundu, aktif kuvvetler tarafından sistemin noktalarının olası yer değiştirmeleri üzerinde gerçekleştirilen temel işlerin toplamının pozitif olması gerekli ve yeterli.

Genel dinamik denklemi- bir sistem herhangi bir zamanda ideal bağlantılarla hareket ettiğinde, sistemin herhangi bir olası hareketi üzerine uygulanan tüm aktif kuvvetlerin ve tüm eylemsizlik kuvvetlerinin temel işlerinin toplamı sıfıra eşit olacaktır. Denklem, olası yer değiştirmeler ilkesini ve d'Alembert ilkesini kullanır ve herhangi bir mekanik sistem için diferansiyel hareket denklemlerinin oluşturulmasına izin verir. Dinamik problemlerini çözmek için genel bir yöntem verir.

Derleme sırası:

a) her cisme etki eden belirtilen kuvvetler uygulanır ve ayrıca atalet kuvvetleri çiftlerinin kuvvetleri ve momentleri şartlı olarak uygulanır;

b) sistemi olası hareketler hakkında bilgilendirmek;

c) Sistemin dengede olduğunu göz önünde bulundurarak olası yer değiştirmeler ilkesinin denklemlerini oluşturur.

Genel dinamik denkleminin ideal olmayan bağlara sahip sistemlere de uygulanabileceğine dikkat edilmelidir, ancak bu durumda örneğin sürtünme kuvveti veya yuvarlanma sürtünme momenti gibi ideal olmayan bağların reaksiyonları olmalıdır. aktif kuvvetler olarak sınıflandırılabilir.

Hem aktif hem de atalet kuvvetlerinin olası yer değiştirmesi üzerindeki çalışma, gerçek yer değiştirme üzerindeki temel çalışma ile aynı şekilde aranır:

Olası kuvvet işi: .

Anın olası işi (kuvvet çifti): .

Bir mekanik sistemin genelleştirilmiş koordinatları, herhangi bir zamanda sistemin konumunu benzersiz olarak belirleyen, herhangi bir boyutun karşılıklı olarak bağımsız parametreleri q 1 , q 2 , …, q S'dir.

Genelleştirilmiş koordinatların sayısı S - mekanik sistemin serbestlik derecesi sayısı. Sistemin her ν noktasının konumu, yani genel durumda yarıçap vektörü, her zaman genelleştirilmiş koordinatların bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir:

Genelleştirilmiş koordinatlardaki genel dinamik denklemi, aşağıdaki gibi bir S denklem sistemine benziyor:

……..………. ;

………..……. ;

genelleştirilmiş koordinata karşılık gelen genelleştirilmiş kuvvet:

a, genelleştirilmiş koordinata karşılık gelen genelleştirilmiş atalet kuvvetidir:

Sistemin bağımsız olası yer değiştirmelerinin sayısına, bu sistemin serbestlik derecesi sayısı denir. Örneğin. düzlemdeki top herhangi bir yönde hareket edebilir, ancak olası herhangi bir hareket, birbirine dik iki eksen boyunca iki hareketin geometrik toplamı olarak elde edilebilir. Serbest bir katı cisim 6 serbestlik derecesine sahiptir.

Genelleştirilmiş kuvvetler Her genelleştirilmiş koordinat için, karşılık gelen genelleştirilmiş kuvvet hesaplanabilir. qk.

Hesaplama bu kurala göre yapılır.

Genelleştirilmiş kuvveti belirlemek için qk genelleştirilmiş koordinata karşılık gelen q k, bu koordinata bir artış vermeniz (koordinatı bu miktarda artırmanız), diğer tüm koordinatları değiştirmeden bırakmanız, sisteme uygulanan tüm kuvvetlerin çalışmalarının toplamını noktaların karşılık gelen yer değiştirmeleri üzerinde hesaplamanız ve artışa bölmeniz gerekir. koordinatın:

yer değiştirme nerede ben-sistemin o noktası değiştirilerek elde edilir k-th genelleştirilmiş koordinat.

Genelleştirilmiş kuvvet, temel iş kullanılarak belirlenir. Bu nedenle, bu kuvvet farklı şekilde hesaplanabilir:

Ve kalan koordinatlar ve zamanın değişmediği koordinatların artması nedeniyle yarıçap vektöründe bir artış olduğu için t oran, kısmi türevi olarak tanımlanabilir. Sonra

burada noktaların koordinatları genelleştirilmiş koordinatların (5) fonksiyonlarıdır.

Sistem muhafazakar ise, yani hareket, projeksiyonları olan potansiyel alan kuvvetlerinin etkisi altında gerçekleşir ve noktaların koordinatları genelleştirilmiş koordinatların fonksiyonlarıdır, o zaman

Muhafazakar bir sistemin genelleştirilmiş kuvveti, eksi işaretli karşılık gelen genelleştirilmiş koordinata göre potansiyel enerjinin kısmi bir türevidir.

Tabii ki, bu genelleştirilmiş kuvvet hesaplanırken potansiyel enerji, genelleştirilmiş koordinatların bir fonksiyonu olarak tanımlanmalıdır.

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Notlar.

Birinci. Genelleştirilmiş reaksiyon kuvvetleri hesaplanırken ideal bağlar dikkate alınmaz.

İkinci. Genelleştirilmiş kuvvetin boyutu, genelleştirilmiş koordinatın boyutuna bağlıdır.

2. tür Lagrange denklemleri genelleştirilmiş koordinatlarda genel dinamik denkleminden türetilir. Denklem sayısı, serbestlik derecesi sayısına karşılık gelir:

2. tür Lagrange denklemini oluşturmak için genelleştirilmiş koordinatlar seçilir ve genelleştirilmiş hızlar bulunur. . Genelleştirilmiş hızların bir fonksiyonu olan sistemin kinetik enerjisi bulunur. , ve bazı durumlarda genelleştirilmiş koordinatlar. Lagrange denklemlerinin sol tarafları tarafından sağlanan kinetik enerjinin farklılaşma işlemleri gerçekleştirilir.Sonuç ifadeleri, formüllere (26) ek olarak aşağıdakilerin sıklıkla kullanıldığı genelleştirilmiş kuvvetlere eşittir. sorunları çözmek:

Formülün sağ tarafının payında - i-th genelleştirilmiş koordinatın varyasyonuna karşılık gelen, sistemin olası yer değiştirmesi üzerindeki tüm aktif kuvvetlerin temel çalışmalarının toplamı - . Bu olası yer değiştirme ile, diğer tüm genelleştirilmiş koordinatlar değişmez. Ortaya çıkan denklemler, mekanik bir sistemin diferansiyel hareket denklemleridir. S özgürlük derecesi.

Analitik mekaniğin unsurları

İnsan doğası, çevreleyen dünyayı kavrama girişimlerinde, belirli bir alandaki bilgi sistemini en az sayıda başlangıç ​​konumuna indirgeme eğilimindedir. Bu öncelikle bilimsel alanlar için geçerlidir. Mekanikte bu arzu, çeşitli mekanik sistemler için hareketin temel diferansiyel denklemlerini takip eden temel ilkelerin yaratılmasına yol açmıştır. Eğitimin bu bölümü, okuyucuya bu ilkelerin bazılarını tanıtmayı amaçlamaktadır.

Sadece statikte değil aynı zamanda dinamikte de meydana gelen bağlantıların sınıflandırılması problemini göz önünde bulundurarak analitik mekaniğin öğelerini incelemeye başlayalım.

ilişki sınıflandırması

Bağ – mekanik bir sistemin noktalarının konumlarına ve hızlarına getirilen her türlü kısıtlama.

İlişkiler sınıflandırılır:

Zaman içinde değişime göre:

- sabit olmayan bağlantılar, onlar. zamanla değişiyor. Uzayda hareket eden bir destek, sabit olmayan bir bağlantı örneğidir.

- sabit iletişim, onlar. zamanla değişmiyor. Sabit bağlantılar, "Statik" bölümünde tartışılan tüm bağlantıları içerir.

Uygulanan kinematik kısıtlamaların türüne göre:

- geometrik bağlantılar sistemdeki noktaların konumlarına kısıtlamalar getirmek;

- kinematik, veya diferansiyel bağlantılar sistemdeki noktaların hızına kısıtlamalar getirmek. Mümkünse, bir ilişki türünü diğerine azaltın:

- integrallenebilir, veya holonomik(basit) bağ, kinematik (diferansiyel) bağlantı geometrik olarak gösterilebiliyorsa. Bu tür bağlantılarda, hızlar arasındaki bağımlılıklar, koordinatlar arasındaki bağımlılığa indirgenebilir. Kaymadan yuvarlanan bir silindir, integrallenebilir bir diferansiyel bağlantının bir örneğidir: silindir ekseninin hızı, iyi bilinen formüle göre açısal hızı ile ilgilidir veya , ve entegrasyondan sonra, eksen yer değiştirmesi arasındaki geometrik bir ilişkiye indirgenir. ve formdaki silindir dönüş açısı

- entegre edilemez, veya holonomik olmayan bağlantı– kinematik (diferansiyel) bağlantı geometrik olarak gösterilemiyorsa. Bir örnek, doğrusal olmayan hareketi sırasında bir topun kaymadan yuvarlanmasıdır.

Mümkünse, iletişimden "serbest bırakın":

- bağları tutmak, onlar tarafından dayatılan kısıtlamaların her zaman korunduğu,örneğin, sert bir çubuktan sarkan bir sarkaç;

- tutucu olmayan bağlar - belirli bir sistem hareketi türü için kısıtlamalar ihlal edilebilir, örneğin, buruşuk bir iplik üzerinde asılı bir sarkaç.

Birkaç tanım sunalım.

· Mümkün(veya sanal) hareketli(belirtilen) temeldir (sonsuz derecede küçüktür) ve sisteme dayatılan kısıtlamaları ihlal etmeyecek şekildedir..

Örnek: Yüzeyde bulunan bir nokta, referans yüzeyi boyunca, ondan ayrılmadan, herhangi bir yönde bir dizi temel yer değiştirmeye sahiptir. Bir noktanın yüzeyden ayrılmasına yol açan hareketi bağlantıyı koparır ve tanıma göre olası bir hareket değildir.

Durağan sistemler için, olağan gerçek (gerçek) temel yer değiştirme, olası yer değiştirmeler kümesine dahil edilir.

· Mekanik bir sistemin serbestlik derecesi sayısı – bağımsız olası yer değiştirmelerinin sayısıdır.

Dolayısıyla, bir nokta bir düzlemde hareket ettiğinde, onun olası herhangi bir hareketi, iki ortogonal (ve dolayısıyla bağımsız) bileşeni cinsinden ifade edilir.

Geometrik kısıtlamalara sahip mekanik bir sistem için, sistemin konumunu belirleyen bağımsız koordinatların sayısı, serbestlik derecelerinin sayısıyla çakışır.

Böylece, bir düzlem üzerindeki bir nokta iki serbestlik derecesine sahiptir. Serbest malzeme noktası - üç serbestlik derecesi. Serbest bir cismin altı (Euler açılarındaki dönüşler eklenir), vb. vardır.

· olası iş – olası bir yer değiştirme üzerindeki bir kuvvetin temel işidir.

Olası hareketler ilkesi

Sistem dengedeyse, o zaman herhangi bir noktası için eşitlik geçerlidir, noktaya etki eden aktif kuvvetlerin ve tepki kuvvetlerinin bileşkeleri nerededir. O zaman herhangi bir yer değiştirme için bu kuvvetlerin yaptığı işin toplamı da sıfıra eşittir. . Tüm noktaları özetlersek, şunu elde ederiz: . İdeal bağlar için ikinci terim sıfıra eşittir, buradan formüle ederiz. olası hareketler ilkesi :

.

(3.82)

İdeal bağlantılara sahip mekanik bir sistemin denge koşulları altında, sistemin herhangi bir olası yer değiştirmesi için ona etki eden tüm aktif kuvvetlerin temel işlerinin toplamı sıfıra eşittir.

Olası yer değiştirmeler ilkesinin değeri, bilinmeyen kısıtlama reaksiyonlarının görünmediği mekanik bir sistem (3.81) için denge koşullarının formülasyonunda yatmaktadır.

KENDİNİ KONTROL İÇİN SORULAR

1. Bir noktanın hangi hareketi mümkün olarak adlandırılır?

2. Kuvvetin olası işine ne denir?

3. Olası hareketlerin ilkesini formüle edin ve yazın.

d'Alembert ilkesi

Dinamik denklemini yeniden yazalım ile mekanik sistemin (3.27) inci noktası, sol tarafı sağa aktarıyor. Miktarı dikkate alarak tanıtalım

(3.83) denklemindeki kuvvetler dengeli bir kuvvetler sistemi oluşturur.

Bu sonucu mekanik sistemin tüm noktalarına genişleterek formülasyona ulaşıyoruz. d'Alembert ilkesi adını Fransız matematikçi ve mekanik Jean Leron D'Alembert'ten (1717-1783) almıştır, Şekil 3.13:

Şekil3.13

Belirli bir mekanik sisteme etki eden tüm kuvvetlere tüm eylemsizlik kuvvetleri eklenirse, ortaya çıkan kuvvetler sistemi dengelenir ve tüm statik denklemler ona uygulanabilir.

Aslında bu, dinamik bir sistemden, atalet kuvvetleri (D'Alembert kuvvetleri) eklenerek, sözde statik (neredeyse statik) bir sisteme geçildiği anlamına gelir.

d'Alembert ilkesini kullanarak, tahmin elde edilebilir. eylemsizlik kuvvetlerinin ana vektörü ve merkeze göre ana eylemsizlik momenti gibi:

Dönen bir cismin eksenine etki eden dinamik reaksiyonlar

Açısal bir hızla eşit şekilde dönen katı bir cisim düşünün ω A ve B yataklarında sabitlenmiş eksen etrafında (Şekil 3.14). Bedenle, onunla dönen Axyz eksenlerini bağlayalım; bu tür eksenlerin avantajı, onlara göre kütle merkezinin koordinatlarının ve vücudun eylemsizlik momentlerinin sabit değerler olacaktır. Verilen kuvvetlerin cisme etki etmesine izin verin. Tüm bu kuvvetlerin ana vektörünün Axyz ekseni üzerindeki izdüşümlerini ( vb.) ve aynı eksenlerle ilgili ana anları - aracılığıyla ( vb.); bu arada, çünkü ω = const, o zaman = 0.

Şekil3.14

Dinamik yanıtları belirlemek için X A, Y A, Z A, XB, YB rulmanlar, yani vücudun dönüşü sırasında meydana gelen reaksiyonlar, vücuda etki eden tüm verilen kuvvetleri ve vücudun tüm parçacıklarının atalet kuvveti bağlarının reaksiyonlarını ekleyerek onları A merkezine getiririz. Sonra atalet kuvvetleri eşit bir kuvvetle temsil edilecektir ve A noktasında uygulanır , ve momenti eşit olan bir çift kuvvet . Bu anın eksen üzerindeki izdüşümleri ile ve de olacak: , ; tekrar burada , gibi ω = yapı

Şimdi Axyz eksenindeki izdüşümlerde d’Alembert ilkesine göre denklemler (3.86) oluşturulup AB ayarı =b, alırız

.

(3.87)

son denklem aynı şekilde tatmin edilir, çünkü .

Atalet kuvvetlerinin ana vektörü , nerede t - vücut ağırlığı (3.85). saat ω = sabit kütle merkezi C sadece normal ivmeye sahiptir , C noktasının dönme ekseninden uzaklığı nerede. Bu nedenle vektörün yönü işletim sisteminin yönü ile çakışıyor . Hesaplama projeksiyonları koordinat eksenlerinde ve bunu dikkate alarak, nerede - kütle merkezinin koordinatları, şunu buluruz:

Kütlesi olan cismin bazı parçacıklarını belirlemek ve ele almak için m k , eksenden belli bir mesafede aralıklı hk. onun için ω =const atalet kuvvetinin de sadece merkezkaç bileşeni vardır , projeksiyonları ve vektörleri R", eşittir.