Boyuna titreşimler. Bir çubuğun boyuna titreşimlerini çözme yöntemleri
Uzunluğu olan bir çubuk düşünün ben, denge konumunda x ekseni boyuncadır. Boyuna titreşimleri, her zaman t anında, denge konumunda koordinatı x'e eşit olan çubuk noktasının boylamasına yer değiştirmesi olan Q(x,t) fonksiyonu ile tanımlanır. Çubuktaki gerilimin Hooke yasasına uyduğu varsayılır. Daha sonra çubuğun boyuna titreşimini tanımlayan denklem şu şekildedir:
a, dalga hızıdır, m/s;
f (x, t) - özgül kuvvet, m / s 2.
Çubuğun dalga hızı şu ifadeye göre belirlenir:
,
(2.16)
burada k, esneklik katsayısıdır, N;
ρ – doğrusal yoğunluk (çubuğun birim uzunluğu başına kütle), kg/m.
Esneklik katsayısı k aşağıdaki gibi bulunabilir:
,
(2.17)
E - Young modülü (diğer değişmeyen koşullar altında uzunluğu iki katına çıkarıldığında (azaltıldığında) numunede ortaya çıkan stres), N / m 2.
Homojen bir çubuk için k=sabit, ρ=sabit. Aksi halde k(х), ρ(х).
Spesifik kuvvet, sırayla, şu şekilde temsil edilebilir:
,
(2.18)
burada g(x,t) boyuna dış kuvvetin lineer yoğunluğudur (birim uzunluk başına etki eden kuvvet), N/m.
Başlangıç koşulları şu şekilde verilir:
– ilk yer değiştirmelerin profili:
– ilk hız profili:
.
(2.20)
Aşağıdaki durumlar için sınır koşulları belirlenebilir:
1) Birinci sınır değer problemi (1. türden sınır koşulları):
burada μ 1 (t), μ 2 (t) kanunu tanımlayan zaman fonksiyonları verilir
çubuğun ucunun hareketi.
Katı bir şekilde sabitlenmiş bir uç için μ(t)=0.
2) İkinci sınır değer problemi (2. türden sınır koşulları):
;
(2.23)
,
(2.24)
nerede T 1, T 2 - çubuğun ucuna uygulanan gerilim kuvveti, N.
Serbest uç olması durumunda, yanında çubuğun gerilimi yoktur (g(t)=0).
3) Üçüncü sınır değer problemi (3. türden sınır koşulları):
.
(2.25)
Bu koşullar, çubuğun ucunun hareket edebildiği, ancak yer değiştirmiş ucu önceki konumuna geri döndürme eğiliminde olan bir elastik kuvvetin ortaya çıktığı, çubuğun elastik olarak sabitlenmesi durumunda formüle edilmiştir.
Bir ucu sabit olan ve diğer ucuna yönü ile çakışan F(t)=A·sin(ωt) kuvveti uygulanan homojen silindirik bir çubuğun boyuna titreşimleri üzerinde bir sınır değer problemi formüle edin. çubuğun ekseni.
Çubuğun boyuna salınımlarını tanımlayan Q(x,t) fonksiyonu, aşağıdaki denklemle belirlenir:
.
Başlangıç koşulları sıfırdır:
;
.
Sınır koşulları şu şekilde verilir:
;
,
S, çubuğun kesit alanıdır, m 2;
E, çubuk malzemesinin Young modülüdür, Pa (bkz. Ek).
Genel açıklamalar.
1) Uçları yeterince uzakta olan ve uçlarının etkisinin henüz kısa bir zaman aralığında kendini gösterecek zamanı olmayan bir sicimin (çubuk) salınım sürecini ele alırsak, o zaman sicimin sonsuz olduğunu düşünebiliriz. . Bu durumda, -∞ olan bir problem düşünülür. 2) Dizinin (çubuk) kesiti uçlarından birine yakın ve diğerinden uzaksa, 0≤x olduğunda yarı sonsuz dizi problemi düşünülür.<+∞
и граничные условия формулируются
только на одном ее конце. ISSN: 2310-7081 (çevrimiçi), 1991-8615 (baskı) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3 ELASTİK OLARAK SABİT YÜKLÜ ÇUBUĞUN BOYUNCA TİTREŞİMLERİNDE SORUN A.B. Beilin Samara Devlet Teknik Üniversitesi, Rusya, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244. dipnot Konsantre kütleler ve yaylar yardımıyla uçlarına sabitlenmiş kalın kısa bir çubuğun tek boyutlu boyuna titreşimleri dikkate alınmıştır. Matematiksel bir model olarak, dördüncü dereceden bir hiperbolik denklem için dinamik sınır koşullarına sahip bir başlangıç-sınır değeri problemi kullanılmıştır. Bu özel modelin seçimi, çubuğun enine yöndeki deformasyonunun etkilerini dikkate alma ihtiyacından kaynaklanmaktadır; bunun ihmali, Rayleigh tarafından gösterildiği gibi, modern olmayan tarafından onaylanan bir hataya yol açar. katıların titreşimlerini inceleyen yerel kavram. Yük ile ortogonal olarak çalışılan problemin bir özfonksiyonlar sisteminin varlığı ispatlanır ve temsilleri elde edilir. Özfonksiyonların yerleşik özellikleri, değişkenlerin ayrılması yöntemini uygulamayı ve soruna benzersiz bir çözümün varlığını kanıtlamayı mümkün kıldı. Anahtar kelimeler: dinamik sınır koşulları, boyuna titreşimler, yük dikliği, Rayleigh modeli. Tanıtım. Çalışan herhangi bir mekanik sistemde, çeşitli nedenlerle üretilebilen salınım süreçleri meydana gelir. Salınım süreçleri, sistemin tasarım özelliklerinin veya normal olarak çalışan bir yapının çeşitli elemanları arasında yüklerin yeniden dağıtılmasının bir sonucu olabilir. Mekanizmada salınım süreçlerinin kaynaklarının varlığı, durumunu teşhis etmeyi zorlaştırabilir ve hatta çalışma modunun ihlaline ve bazı durumlarda yıkıma yol açabilir. Bazı elemanlarının titreşiminin bir sonucu olarak mekanik sistemlerin doğruluğunun ve performansının ihlali ile ilgili çeşitli problemler genellikle pratikte deneysel olarak çözülür. Aynı zamanda, salınım süreçleri, örneğin malzemelerin işlenmesi, bağlantıların montajı ve sökülmesi için çok yararlı olabilir. Ultrasonik titreşimler, sadece yüksek sertlikte malzemelerin (tungsten içeren, titanyum-karbür çelikler vb.) kesme işlemlerini (delme, frezeleme, taşlama vb.) yoğunlaştırmaya izin vermez, © 2016 Samara Devlet Teknik Üniversitesi. Atıf Örneği Beilin, A.B., Elastik olarak sabitlenmiş yüklü bir çubuğun boyuna titreşimleri sorunu, Vestn. Kendim. belirtmek, bildirmek teknoloji Üniversite Sör. Fizik-Matematik Nauki, 2016. V. 20, No. 2. S. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Yazar hakkında Alexander Borisovich Beilin (Ph.D., Doç.; [e-posta korumalı]), Doç. Dr. otomatik makine ve alet sistemleri. ancak bazı durumlarda kırılgan malzemeleri (germanyum, silikon, cam vb.) işlemek için mümkün olan tek yöntem haline gelir. Ultrasonik titreşimleri kaynaktan (vibratör) alete ileten cihazın (dalga kılavuzu) elemanına yoğunlaştırıcı denir ve farklı bir şekle sahip olabilir: silindirik, konik, kademeli, üstel vb. Amacı, gerekli genlikteki dalgalanmaları alete iletmektir. Bu nedenle, salınım süreçlerinin ortaya çıkmasının sonuçları ve bunlara neden olan nedenler farklı olabilir, bu nedenle doğal olarak salınım süreçlerinin teorik bir çalışmasına ihtiyaç duyulur. İkinci dereceden bir dalga denklemine dayanan nispeten uzun ve ince katı çubuklarda dalga yayılımının matematiksel modeli iyi çalışılmış ve uzun zamandır bir klasik haline gelmiştir. Bununla birlikte, Rayleigh tarafından gösterildiği gibi, bu model kalın bir kısa çubuğun titreşimlerinin incelenmesiyle tam olarak tutarlı değildir, oysa gerçek mekanizmaların birçok detayı kısa ve kalın çubuklar olarak yorumlanabilir. Bu durumda çubuğun enine doğrultudaki deformasyonları da dikkate alınmalıdır. Çubuğun enine hareketinin etkilerini hesaba katan kalın bir kısa çubuğun boyuna salınımlarının matematiksel modeline Rayleigh çubuğu denir ve dördüncü dereceden bir hiperbolik denkleme dayanır. ^ ^ - IX (a(x) e) - dx (b(x)) =; (xL (1) katsayıları fiziksel bir anlama sahip: g(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p(x), burada A(x) kesit alanı, p(x) çubuğun kütle yoğunluğu, E(x) Young modülü, V(x) Poisson oranı, 1P(x) polar atalet momentidir , u(x, b) - belirlenecek boylamasına yer değiştirmeler. Rayleigh'in fikirleri, plastisite teorisinin yanı sıra titreşim süreçlerine ayrılmış modern çalışmalarda onaylarını ve gelişimlerini bulmuştur. Gözden geçirme makalesi, katıların yük altındaki durumunu ve davranışını tanımlayan ve burada cismin a priori ideal bir süreklilik olarak kabul edildiği klasik modellerin eksikliklerini doğrulamaktadır. Doğa biliminin modern gelişim düzeyi, incelenen süreçleri yeterince açıklayan yeni modellerin oluşturulmasını gerektirir ve son birkaç on yılda geliştirilen matematiksel yöntemler bu fırsatı sağlar. Bu yolda, geçen yüzyılın son çeyreğinde, yukarıda bahsedilenler de dahil olmak üzere birçok fiziksel sürecin incelenmesine yerellik kavramına dayalı yeni bir yaklaşım önerildi (makaleye ve içindeki referans listesine bakınız). Yazarlar tarafından tanımlanan yerel olmayan model sınıflarından birine “zayıf yerel olmayan” denir. Bu sınıfa ait matematiksel modeller, belirli bir süreci tanımlayan denkleme yüksek dereceli türevler dahil edilerek uygulanabilir; bu, bazı yaklaşımlarda, çalışma nesnesinin iç öğelerinin etkileşimini hesaba katmayı mümkün kılar. Bu nedenle, Rayleigh modeli zamanımızla ilgilidir. 1. Sorunun ifadesi. x = 0, x = I çubuğunun uçları, N1, M2 konsantre kütleleri ve rijitlikleri K1 ve K2 olan yayların yardımıyla sabit bir tabana bağlansın. Çubuğun 0x ekseni etrafında dönen bir cisim olduğunu ve zamanın ilk momentinin denge konumunda hareketsiz olduğunu varsayacağız. Sonra aşağıdaki başlangıç-sınır değer problemine geliyoruz. Görev. Qt \u003d ((0,1) x (0, T) : 1, T alanında bulun< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) ve sınır koşulları a(0)ux(0, r) + b(0)uu(0, r) - k^(0, r) - M1u(0, r) = 0, a(1)ux(1, r) + b(1)uu(1, r) + K2u(1, r) + M2uu(1, r) = 0. () Makale (1)-(2) probleminin bazı özel durumlarını ele alıyor ve denklemin katsayılarının açık bir forma sahip olduğu ve M\ = M2 = 0 olduğu örnekler veriyor. Makale, problemin genel olarak açık ve zayıf çözülebilirliğini kanıtlıyor. durum. Koşullar (2), çubuğun sabitlenmesi yöntemiyle belirlenir: uçları, sırasıyla M1, M2 kütlelerine ve K1, K2 sertliklerine sahip yaylara sahip bazı cihazların yardımıyla sabit tabanlara bağlanır. Kütlelerin varlığı ve enine yer değiştirmeler için pay, zaman türevlerini içeren (2) formunun koşullarına yol açar. Zaman türevlerini içeren sınır koşullarına dinamik denir. En basitleri bir ders kitabında açıklanan ve çok daha karmaşık olanları bir monografta açıklanan çeşitli durumlarda ortaya çıkabilirler. 2. Çubuğun doğal salınımlarının incelenmesi. Denklem (1)'e karşılık gelen homojen bir denklem düşünün. Katsayılar sadece x'e bağlı olduğundan, değişkenleri u(x, z) = X(x)T(z) şeklinde temsil ederek ayırabiliriz. İki denklem elde ederiz: m""(r) + \2m(r) = 0, ((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3) Denklem (3)'e sınır koşulları eşlik eder (a(0) - \2b(0))X"(0) - (K1 - \2M1)X(0) = 0, (a(1) - \2b(1))X"(1) + (K2 - \2M2)X(I) = 0. (4) Böylece, spektral parametrenin Λ denklemin en yüksek türevinin katsayısına ve ayrıca sınır koşullarına dahil edilmesiyle klasik olandan farklı olan Sturm-Liouville problemine ulaştık. Bu durum literatürden bilinen sonuçlara başvurmamıza izin vermemektedir, bu nedenle acil hedefimiz (3), (4) numaralı problemi incelemektir. Değişkenlerin ayrılması yönteminin başarılı bir şekilde uygulanması için özdeğerlerin varlığı ve konumu, niteliksel hakkında bilgiye ihtiyacımız var. özfonksiyonların özellikleri: ortogonallik özelliğine sahipler mi? A2 > 0 olduğunu gösterelim. Durumun böyle olmadığını varsayalım. X(x), A = 0 değerine karşılık gelen (3), (4) probleminin bir özfonksiyonu olsun. (3)'ü X(x) ile çarparız ve elde edilen eşitliği (0,1) aralığı üzerinde entegre ederiz. Parçalara göre integral alma ve sınır koşullarını (4) uygulayarak, elde ettiğimiz temel dönüşümlerden sonra 1(0) - A2b(0))(a(1) - A2b(1)) I (dX2 + bX"2)dx+ N\X 2(0) + M2X 2(1) ben aX "2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo a(x), b(x), g(x) fonksiyonlarının fiziksel anlamından pozitif, Kr, Mr negatif olmadığını not ediyoruz. Ancak, sonuçta ortaya çıkan eşitlikten, X "(x) \u003d 0, X (0) \u003d X (1) \u003d 0, bu nedenle, yapılan varsayımla çelişen X (x) \u003d 0 olduğu sonucuna varılır. Bu nedenle, sıfırın (3), (4) numaralı sorunun özdeğeri olduğu varsayımı yanlıştır. (3) denkleminin çözümünün temsili, a(x) - - A2b(x) ifadesinin işaretine bağlıdır. a(x)-A2b(x) > 0 Vx e (0,1) olduğunu gösterelim. İsteğe bağlı olarak x e (0, 1) sabitleriz ve a(x), b(x), g(x) fonksiyonlarının bu noktasındaki değerleri buluruz. Denklem (3) şeklinde yazıyoruz X "(x) + VX (x) \u003d 0, (5) işaretlediğimiz yer seçilen sabit noktada ve koşullar (4) şeklinde yazılabilir. X "(0) - aX (0) \u003d 0, X" (1) + bX (I) \u003d 0, (6) a, b'nin hesaplanması kolaydır. Bilindiği gibi, klasik Sturm-Liouville problemi (5), (6) V > 0 için sayılabilir bir özfonksiyonlar kümesine sahiptir, bu nedenle x'in keyfiliğinden dolayı istenen eşitsizlik ortaya çıkar. (3), (4) probleminin özfonksiyonları, bağıntı ile ifade edilen yükle ortogonallik özelliğine sahiptir. I (dXm (x) Xn (x) + bX "m (x) X" p (x))<х+ ■)о M1Xm(0)Xn(0) + M2Xm(1)Xn (I) = 0, (7) standart bir şekilde elde edilebilen (örneğin bkz. ), söz konusu problem durumunda uygulanması temel ancak özenli hesaplamalarla ilişkilendirilir. Hantallıktan kaçınmak için Xr(x) fonksiyonlarının argümanını atlayarak türetilmesini kısaca sunalım. λm, λn farklı özdeğerler olsun, λm, λn bunlara karşılık gelen problem (3), (4)'ün özfonksiyonları olsun. Sonra ((a - L2mb)X"t)" + L2tdXm = 0, ((a - L2nb)X"n)" + L2pdXp = 0. Bu denklemlerden birincisini Xn, ikincisini Xm ile çarparız ve ikincisini birinciden çıkarırız. Temel dönüşümlerden sonra eşitliği elde ederiz. (Lt - Lp) YHtXp \u003d (aXtXP) "- LP (bXtX" p) "- (aX "tXp)" + Rt (bXtXp)", (0,1) aralığında integralini alıyoruz. Sonuç olarak, (4)'ü hesaba katarak ve (Лт - Лп) ile indirgeyerek, (7) bağıntısını elde ederiz. Sturm-Liouville probleminin (3), (4) özdeğerlerinin ve özfonksiyonlarının özellikleri hakkında kanıtlanmış ifadeler, probleme bir çözüm bulmak için değişkenlere ayırma yöntemini uygulamamıza izin verir. 3. Problemin çözülebilirliği. belirtmek C(CT) = (u: u e C(St) P C2(St), uixx e C^m)). Teorem 1. a, b e C1 , e C olsun. O halde (1), (2) probleminin en fazla bir u e C(m) çözümü vardır. Kanıt. (1), (2), u1(x, z) ve u2(x, z) probleminin iki farklı çözümü olduğunu varsayalım. Daha sonra, problemin doğrusallığından dolayı, onların farkı u = u1 - u2 (1), (2)'ye karşılık gelen homojen problemin bir çözümüdür. Çözümünün önemsiz olduğunu gösterelim. Denklemin katsayılarının fiziksel anlamından ve sınır koşullarından, a, b, q fonksiyonlarının Qm'nin her yerinde pozitif olduğunu, M^, K^'nin ise negatif olmadığını şimdiden not ediyoruz. (1) eşitliğini u ile çarparak ve basit dönüşümlerden sonra t e ve keyfi olarak Qt alanı üzerinde integral alarak, / (di2(x, m) + au2x(x, m) + buXl(x, m)) ux + ./o K1u2(0, m) + M1u2(0, m) + K2u2(1, m) + M2u2(1, m) = 0, m'nin keyfiliği nedeniyle, teoremin iddiası hemen ardından gelir. □ Sabit katsayılar için bir çözümün varlığını ispatlayalım. Teorem 2. Let<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, (0,1), φ e C 1, φ(0) = φ(1) = 0'da üçüncü dereceden parçalı sürekli türevi ve ('de ikinci dereceden parçalı sürekli türevi var 0,1), f e C(C^m), o zaman problem (1), (2)'nin çözümü mevcuttur ve bir dizi özfonksiyonun toplamı olarak elde edilebilir. Kanıt. Her zamanki gibi, soruna toplam şeklinde bir çözüm arayacağız. birinci terim (1)'e karşılık gelen homojen denklem için formüle edilmiş problemin çözümüyken, ikincisi sıfır başlangıç ve sınır koşullarını sağlayan (1) denkleminin çözümüdür. Bir önceki paragrafta yapılan çalışmaların sonuçlarını kullanalım ve (3) numaralı denklemin genel çözümünü yazalım: X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx. \¡ bir - A2b \¡ bir - A2b Sınır koşullarını (4) uygulayarak, Cj! için bir denklem sistemine ulaşıyoruz! (a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0, (-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) çünkü A^O-A^l) ci+ Determinantını sıfıra eşitleyerek, spektral denklemi elde ederiz. ctg \u003d (a - A4) A2 "- (K - A? Mí) (K2 - A "M). (sekiz) b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2)) Bu aşkın denklemin bir çözümü olup olmadığını bulalım. Bunu yapmak için sol ve sağ kısımlarındaki işlevleri göz önünde bulundurun ve davranışlarını inceleyin. Genelliği çok fazla sınırlamadan, Mi = M2 = M, Kg = K2 = K, bu gerekli hesaplamaları biraz basitleştirecektir. Denklem (8) formunu alır x I q , Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l = a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" ve spektral denklemi yeni notasyonda yazın! aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM) 2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql Son denklemin sol ve sağ kısımlarının fonksiyonlarının bir analizi, köklerinin sayılabilir bir kümesi olduğunu ve dolayısıyla Sturm-Liouville probleminin (3), (4) sayılabilir bir özfonksiyonları kümesi olduğunu iddia etmemizi sağlar. , sistemden elde edilen bağıntıyı c' ile dikkate alarak yazılabilir. v / l l I q K - x2pm. ben q Xn(x) = COS XnJ-myx + ----sin XnJ-myx. V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b Şimdi başlangıç koşullarını da sağlayan bir çözüm bulmaya dönüyoruz. Artık homojen denklem için problemin çözümünü bir seri şeklinde kolayca bulabiliriz. u(x,t) = ^Tn(t)Xn(x), katsayıları, Xn(x) fonksiyonlarının ortogonallik özelliği kullanılarak ilk verilerden bulunabilen, normu (7) bağıntısından elde edilebilen: ||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo v(x,t) fonksiyonunu bulma süreci de esasen standarttır, ancak yine de geleneksel biçimde bir çözüm aramanın farkına varıyoruz. v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), iki denklem elde ederiz. Nitekim özfonksiyonların biçimini de dikkate alarak çözümünü aradığımız serinin yapısını belirleyelim: j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+ Wn(t) K-XnM~sin X^ GAirx). (dokuz) v JXnVa - xnb^q V a - xn" y(x, 0) = y^x, 0) = 0 sıfır başlangıç koşullarını sağlamak için, Yn(0) = Yn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0 olmasını isteriz. f( x, d) özfonksiyonlarına göre bir Fourier serisine dönüştürülürse, ¡n(b) ve dn(b) katsayılarını buluruz. (9)'u y(x, b)'ye göre yazılan (1) denkleminde yerine koyarsak, bir dizi dönüşümden sonra Yn(b) ve Shn(b)'yi bulmak için denklemler elde ederiz: uc® + >&pYu = ™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g Yn(0) = Y,(0) = 0, Shn(0) = W,(0) = 0 başlangıç koşullarını dikkate alarak, Yn(b) ve Shn( fonksiyonlarının her biri için Cauchy problemlerine ulaşırız. b) teoremin koşulları tarafından garanti edilen benzersiz çözülebilirliği. Teoremde formüle edilen ilk verilerin özellikleri, araştırmamız sırasında ortaya çıkan tüm serilerin yakınsaması ve dolayısıyla problemin bir çözümünün varlığı hakkında hiçbir şüphe bırakmaz. □ Çözüm. Yük ile ortogonal olarak çalışılan problemin bir özfonksiyonlar sisteminin varlığı ispatlanır ve temsilleri elde edilir. Özfonksiyonların yerleşik özellikleri, soruna benzersiz bir çözümün varlığını kanıtlamayı mümkün kıldı. Makalede elde edilen sonuçların hem dinamik sınır koşullarına sahip problemlerin ileri teorik çalışmaları için hem de pratik amaçlar için, yani çok çeşitli teknik nesnelerin boyuna titreşimlerini hesaplamak için kullanılabileceğini unutmayın. Alexander Borisovich Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 REFERANSLAR 1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalaşnikof V. V. Ultrasonik mekanik işleme ve montaj. Samara: Samara kitap yayınevi, 1995. 191 s. 2. Khmelev V.N., Barsukov R.V., Tsyganok S.N. Malzemelerin ultrasonik boyutlu işlenmesi. Barnaul: Altay Teknik Üniversitesi im. I.I. Polzunova, 1997. 120 s. 3. Kumabe D. Titreşimle kesme. M.: Mashinostroenie, 1985. 424 s. 4. A. N. Tikhonov ve A. A. Samarskii, Matematiksel Fizik Denklemleri. M.: Nauka, 2004. 798 s. 5. Strett J. V. Ses teorisi. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 s. 6. Rao J. S. İleri Titreşim Teorisi: Doğrusal Olmayan Titreşim ve Tek Boyutlu Yapılar. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 s. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Rayleigh modeline dayanan katı bir çubuğun serbest ve zorlanmış titreşimleri teorisi // DAN, 2007. V. 417, no. 1. s. 56-61. 8. Bazant Z., Jirasek M. Plastisite ve Hasarın Lokal Olmayan İntegral Formülasyonları: İlerleme Araştırması// J. Müh. Mech., 2002. cilt 128, no. 11. s. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. A. B. Beilin ve L. S. Pulkina, "Dinamik Sınır Koşullarına Sahip Bir Çubuğun Boyuna Titreşimleri Sorunu", Vestn. SamGU. Doğal bilim Ser., 2014. Sayı 3 (114). s. 9-19. 10. M. O. Korpusov, Klasik olmayan dalga denklemlerinde kırılma. M.: URSS, 2010. 237 s. 10/II/2016'da alındı; son sürümde - 18/V/2016; yayın için kabul edildi - 27/V/2016. Yelek Samar. gider. Tekn. Unta. Sör. Fizik mat. bilim 2016, cilt. 20, hayır. 2, s. 249-258 ISSN: 2310-7081 (çevrimiçi), 1991-8615 (baskı) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474 MSC: 35L35, 35Q74 ELASTİK SABİTLEMELİ BİR ÇUBUĞUN BOYUNCA TİTREŞİMİNDE SORUN Samara Devlet Teknik Üniversitesi, 244, Molodogvardeyskaya caddesi, Samara, 443100, Rusya Federasyonu. Bu yazıda, noktasal kuvvetler ve yaylar tarafından sabitlenen kalın kısa bir çubukta boyuna titreşimi inceliyoruz. Matematiksel model için, dördüncü mertebeden kısmi diferansiyel denklem için dinamik sınır koşulları olan bir sınır değer problemini ele alıyoruz. Bu modelin seçimi, enine bir gerinmenin sonucunu hesaba katma gerekliliğine bağlıdır. Rayleigh tarafından enine bir gerinimin ihmal edilmesinin bir hataya yol açtığı gösterilmiştir. Bu, modern yerel olmayan titreşim teorisi tarafından doğrulanır. Yük özfonksiyonları ile ortogonalin varlığını ispatlıyor ve temsillerini türetiyoruz. Özfonksiyonların yerleşik özellikleri, değişkenlerin ayrılması yöntemini kullanmayı ve problemin benzersiz bir çözümünü bulmayı mümkün kılar. Anahtar Kelimeler: dinamik sınır koşulları, boyuna titreşim, yüklü ortogonallik, Rayleigh modeli. Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 1. Nerubai M.S., Shtrikov B.L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 s. (Rusça) 2. Khmelev V.N., Barsukov R.V., Tsyganok S.N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka Materialov. Barnaul, 1997, 120 s. (Rusça) 3. Kumabe J. Titreşimle Kesme. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (Japonca). 4. Tikhonov A.N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moskova, Nauka, 2004, 798 s. (Rusça) 5. Strutt J. W. Ses teorisi, cilt. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 s. 6. Rao J. S. İleri Titreşim Teorisi: Doğrusal Olmayan Titreşim ve Tek Boyutlu Yapılar. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 s. Beylin A.B. Elastik sabitlemeli bir çubuğun boyuna titreşiminde bir problem, Vestn. Samar. gider. teknoloji. Üniv., Ser. Fizik-Mat. Bilim, 2016, cilt. 20, hayır. 2, s. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (İngilizce) Yazar Ayrıntıları: Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [e-posta korumalı]), Doç. Dr. Otomasyon Takım Tezgahları ve Takım Sistemleri. 7. Fedotov I.A., Polyanin A.D., Shatalov M. Yu. Rayleigh modeli Dokl'a dayalı bir rijit çubuğun serbest ve zorlanmış titreşimleri teorisi. Phys., 2007, cilt 52, no. 11, s. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080. 8. Bazant Z., Jirasek M. Plastisite ve Hasarın Lokal Olmayan İntegral Formülasyonları: İlerleme Araştırması, J. Müh. Mech., 2002, cilt 128, no. 11, s. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beylin A.B., Pulkina L.S. Dinamik sınır koşullarına sahip bir çubuğun boyuna titreşimleri üzerine bir problem, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, no. 3(114), s. 919 (Rusça). 10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklassicheskikh volnovykh uravneniakh. Moskova, URSS, 2010, 237 s. (Rusça) 10/II/2016'da alındı; 18/V/2016 revize edilmiş formda alındı; TANIM boyuna dalga- bu, yayılma sırasında ortamın parçacıklarının yer değiştirmesinin dalga yayılımı yönünde meydana geldiği bir dalgadır (Şekil 1, a). Boyuna bir dalganın oluşmasının nedeni sıkıştırma / uzamadır, yani. bir ortamın hacmindeki değişime karşı gösterdiği direnç. Sıvılarda veya gazlarda, bu tür deformasyona ortamdaki parçacıkların seyrekleşmesi veya sıkışması eşlik eder. Boyuna dalgalar herhangi bir ortamda yayılabilir - katı, sıvı ve gaz. Boyuna dalgaların örnekleri, elastik bir çubuktaki dalgalar veya gazlardaki ses dalgalarıdır. TANIM enine dalga- bu, yayılması sırasında ortamın parçacıklarının yer değiştirmesinin dalganın yayılmasına dik yönde meydana geldiği bir dalgadır (Şekil 1b). Enine dalganın nedeni, ortamın bir katmanının diğerine göre kayma deformasyonudur. Bir ortamda enine bir dalga yayıldığında, sırtlar ve oluklar oluşur. Sıvılar ve gazlar, katılardan farklı olarak tabaka kaymasına göre esnekliğe sahip değildir, yani. şekil değişikliğine direnmeyin. Bu nedenle, enine dalgalar yalnızca katılarda yayılabilir. Enine dalgaların örnekleri, gerilmiş bir ip veya bir ip boyunca hareket eden dalgalardır. Bir sıvının yüzeyindeki dalgalar ne boyuna ne de eninedir. Suyun yüzeyine bir şamandıra atarsanız, dalgalar üzerinde dairesel bir şekilde sallanarak hareket ettiğini görebilirsiniz. Bu nedenle, sıvı yüzeyindeki bir dalganın hem enine hem de boyuna bileşenleri vardır. Bir sıvının yüzeyinde, özel tipte dalgalar da meydana gelebilir - sözde yüzey dalgaları. Yüzey geriliminin etkisi ve kuvvetinin bir sonucu olarak ortaya çıkarlar. ÖRNEK 1 Belirli bir zaman aralığından sonra şamandıranın yakınına dalganın yüzeyini çizelim, bu süre içinde şamandıranın aşağı doğru yönlendirildiği için aşağı indiğini göz önünde bulundurarak. Sağa ve sola doğru devam ederek, dalganın zamandaki konumunu gösteriyoruz. Zamanın ilk anında (düz çizgi) ve zaman anında (kesik çizgi) dalganın konumunu karşılaştırarak, dalganın sola yayıldığı sonucuna varırız. MEKANİK UDC 531.01/534.112 BİR ÇUBUK PAKETİNİN BOYUNCA TİTREŞİMLERİ AM Pavlov, A.N. Temnov MSTU im. N.E. Bauman, Moskova, Rusya Federasyonu e-postası: [e-posta korumalı]; [e-posta korumalı] Sıvı yakıtlı roketlerin dinamikleri ile ilgili sorularda, uzunlamasına elastik salınımlar durumunda roketin hareketinin stabilitesi sorunu önemli bir rol oynar. Bu tür salınımların ortaya çıkması, roketin uzunlamasına yönde kararsız olması durumunda hızlı tahribatına yol açabilecek kendi kendine salınımların oluşmasına yol açabilir. Bir paket roketin boyuna salınımları sorunu formüle edilmiştir; hesaplama modeli olarak bir çubuk paketi kullanılmıştır. Roket tanklarındaki sıvının "donmuş" olduğu varsayılır, yani. uygun sıvı hareketleri dikkate alınmaz. Ele alınan problem için toplam enerji dengesi kanunu formüle edilir ve operatör ifadesi verilir. Frekansların belirlendiği ve özmodların oluşturulduğu ve analiz edildiği sayısal bir örnek verilmiştir. Anahtar Kelimeler: boyuna titreşimler, titreşimlerin frekansı ve şekli, çubuk paketi, toplam enerji dengesi yasası, kendine eş operatör, titreşim spektrumu, POGO. ÇUBUK SİSTEMİ BOYUNCA TİTREŞİMLER A.M. Pavlov, Al. Temnov Bauman Moskova Devlet Teknik Üniversitesi, Moskova, Rusya Federasyonu e-posta: [e-posta korumalı]; [e-posta korumalı] Sıvı yakıtlı roketlerin dinamiği sorularında, bu roket için hareket kararlılığı sorunu, boyuna elastik titreşimlerin ortaya çıkmasında önemli bir role sahiptir. Bu tür titreşimlerin meydana gelmesi, roketin boylamsal doğrultuda kararsızlığı durumunda roketin hızlı bir şekilde tahrip olmasına neden olabilecek kendi kendine titreşimleri uyandırabilir. Paket şemasına dayalı sıvı yakıt roketinin boyuna titreşimleri problemi, bir hesaplama modeli olarak paket çubuklar kullanılarak formüle edilmiştir. Roket tanklarındaki sıvının "donmuş" olduğu varsayılır, yani. sıvının uygun hareketleri dahil değildir. Bu problem için enerji tasarrufu ilkesi formüle edilmiş ve operatör evrelemesi verilmiştir. Frekansların belirlendiği, Öz titreşim formlarının oluşturulduğu ve analiz edildiği sayısal bir örnek var. Anahtar Sözcükler: boyuna mod titreşimleri, öz modlar ve frekanslar, çubuk modeli, enerji korunumu ilkesi, kendine eş operatör, titreşim spektrumu, POGO. Tanıtım. Şu anda, Rusya'da ve yurtdışında, gerekli yörüngeye bir yükü başlatmak için, merkezi blok etrafında eşit olarak dağıtılmış özdeş yan bloklara sahip bir paket düzeninin fırlatma araçları (LV) sıklıkla kullanılmaktadır. Paket yapıların salınım çalışmaları, yan ve merkezi blokların dinamik hareketi ile ilgili bazı zorluklarla karşılaşmaktadır. Fırlatma aracının yerleşiminin simetrisi durumunda, bir paket tasarımının bloklarının karmaşık, uzamsal etkileşimi, biri merkezi ve yan blokların uzunlamasına titreşimleri olan sınırlı sayıda titreşim tipine bölünebilir. İnce duvarlı çubuklardan oluşan bir paket şeklinde benzer bir tasarımın uzunlamasına titreşimlerinin matematiksel modeli, çalışmada ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Pirinç. 1. Merkezin şeması A.A. tarafından yürütülen çalışmayı destekleyen bir çubuk paketinin önemli titreşimleri. Acınası. Sorunun formülasyonu. 10 uzunluğunda bir merkezi çubuk ve aynı uzunlukta j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, aynı uzunlukta N yan çubuklardan oluşan bir çubuk paketinin diğer uzunlamasına titreşimlerini düşünün. A noktası (xA = l) (Şekil 1) k sertlikteki merkezi yay elemanları ile. Sabit bir referans çerçevesi ОХ tanıtıyoruz ve EFj (x) çubuklarının rijitliğinin, dağıtılmış kütle mj (x) ve pertürbasyonun q (x, t) x koordinatının sınırlı fonksiyonları olduğunu varsayıyoruz: 0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Denklemlerle belirlenen x koordinatlı çubukların enine kesitlerinde Uj (x, t) yer değiştirmelerinin görünmesine izin verin. mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) çubukların uçlarında normal kuvvetlerin olmaması için sınır koşulları 3 \u003d 0, x \u003d 0, ^ \u003d 1, 2, 0, x = 0, x = 10; çubuklarda ortaya çıkan normal kuvvetlerin eşitlik koşulları, EF-3 = Fx = l yay elemanlarının elastik kuvvetleri FpPJ = k (u (ha) - u (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; merkezi çubuğun xa noktasında yer değiştirmelerin eşitliği koşulu W (ha-o) \u003d W (ha + o) ve başlangıç koşulları Yy (x, 0) - G (x); , _ u(x, 0) = u(x), burada u(x, 0) = "q^1(x, 0). Toplam enerji dengesi yasası. (2) denklemini u(x, t) ile çarparız, her çubuğun uzunluğu üzerinden integral alırız ve sonuçları sınır koşullarını (3) ve eşleştirme koşulunu (4) kullanarak toplarız. Sonuç olarak, alıyoruz (( 1 ^ [ (diL 2 tz (x) "BT" (x + dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ ben. 1 ⩽ „ „„ , f dn3\ , 1 ⩽ Гj 1 N /* ben dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Y N (x - -)(hayır - Uj)2 dx = / ^ (x, t) ux y (x, t) (x, (6) burada 8(x - y), Dirac delta işlevidir. (6) numaralı denklemde, küme parantezindeki ilk terim sistemin kinetik enerjisi T (¿), ikincisi çubukların deformasyonundan kaynaklanan potansiyel enerji Pr (£) ve üçüncüsü potansiyel enerji Pk'dir. (£) elastik deformasyon çubuklarının mevcudiyetinde şu şekilde yazılabilen yay elemanlarının Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Ey. Denklem (6), ele alınan mekanik sistemin birim zaman başına toplam enerjisindeki değişimin güce eşit olduğunu göstermektedir. dış etki. q(x,t) harici bir pertürbasyonun yokluğunda, toplam enerjinin korunumu yasasını elde ederiz: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Operatör ayarı. Enerji dengesi yasası, herhangi bir t zamanı için, Uj (x, t) fonksiyonlarının, skaler çarpım tarafından uzunluk ¡i üzerinde tanımlanan Hilbert uzayı L2j(; m3 (x)) öğeleri olarak kabul edilebileceğini gösterir. (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 ve ilgili yönetmelik. L2j, H = L20 Φ L21 Φ... Φ L2N ortogonal toplamına, U = (uo, Ui,..., uN)m vektör fonksiyonuna ve operatöre eşit olan Hilbert uzayını H tanıtalım. A bağıntısına göre H uzayında hareket eden AU = diag(A00U0, A11U1, ..., Annun). mj(x)dx\jdx" üzerinde tanımlanan operatörler (3) ve (4) koşullarını sağlayan fonksiyonların B (A33) CH'sini ayarlayın. Orijinal problem (1)-(5) başlangıç koşulları ile birlikte şu şekilde yazılabilir: Au = f(*), u(0) = u0, 17(0) = u1, (7) burada f (*) = ((*) ,51 (*),..., Yam (¿)) yani. Lemma. 1. İlk iki koşul (1) karşılanırsa, o zaman evrim problemindeki (7) A operatörü, H uzayında sınırsız, kendine eşlenik, pozitif tanımlı bir operatördür. (Au, K)n = (u, AK)n, (Au, u)n > c2 (u, u)n. 2. A operatörü, çubuk paketinin salınımlarının potansiyel enerjisinin değerinin iki katına eşit bir norma sahip bir enerji alanı HA üretir. 3 \ ^ I h)2 = 2n > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef-(x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J E Fo (x) uo (x) vo (x) dx - E Fo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J E Fo (x) uo (x) v" (x) dx - E Fo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) r?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H \u003d ... \u003d I EF0 (x) u "2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u "0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx Y^k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u "2 (x) dx + / EF0 (x) u" 0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Yukarıdaki sonuçlardan, operatör A'nın enerji normunun formül (8) ile ifade edildiği anlaşılmaktadır. Evrimsel problemin çözülebilirliği. Aşağıdaki teoremi formüle ediyoruz. Teorem 1. Şartlar olsun U0 £ D (A1/2), U0 £ H, f (t) £ C (; H), o zaman problem (7), formülle tanımlanan segment üzerinde benzersiz bir zayıf çözüme U (t) sahiptir. U (t) = U0 cos (tA1/2) + U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 harici bir pertürbasyon f (£) olmadığında, enerjinin korunumu yasası sağlanır 1 II A 1/2UИ2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Bir çubuk paketinin doğal titreşimleri. Dış kuvvetlerin alanının çubuk sistemine etki etmediğini varsayalım: f (t) = 0. Bu durumda çubukların hareketi serbest olarak adlandırılacaktır. Çubukların exp (iwt) yasasına göre t zamanına bağlı olan serbest hareketlerine öz salınımlar denir. (7) U (x, t) = U (x) eiWU denklemini alarak, A operatörü için spektral problemi elde ederiz: AU - AEU \u003d 0, L \u003d w2. (dokuz) A operatörünün özellikleri, özfonksiyonların spektrumu ve özellikleri hakkında bir teorem formüle etmemizi sağlar. Teorem 2. Bir çubuk paketinin doğal salınımları üzerindeki spektral problem (9) ayrı bir pozitif spektruma sahiptir. 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то ve bir özfonksiyonlar sistemi (Uk (x))^=0, H ve HA uzaylarında tam ve ortogonal ve aşağıdaki ortogonallik formülleri geçerlidir: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (İngiltere= £/U^) d*+ K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeifes. j=i Homojen bir çubuk paketi durumunda spektral problemin araştırılması. m-(x, t) yer değiştirme fonksiyonunu m-(x, t) = m-(x) biçiminde temsil ederek, değişkenleri ayırdıktan sonra her çubuk için spektral problemler elde ederiz: ^0u + LM = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) matris formunda yazdığımız 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t« u = (u0, u1, u2,..., u') yani. Elde edilen sonuçların çözümü ve analizi. Kesitteki merkezi çubuk için yer değiştirme fonksiyonlarını u01 ve kesitteki u02 (g) olarak belirleyelim. Bu durumda, u02 fonksiyonu için koordinatların orijinini / koordinatlı noktaya taşırız. Her çubuk için, denklem (10)'un çözümünü şu şekilde temsil ediyoruz: (11)'deki bilinmeyen sabitleri bulmak için yukarıda formüle edilen sınır koşullarını kullanıyoruz. Homojen sınır koşullarından bazı sabitler belirlenebilir, yani: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN2 = 0. Sonuç olarak, N + 3 sabitlerini bulmak için kalır: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Bunu yapmak için N + 3 bilinmeyen için N + 3 denklemi çözüyoruz. Ortaya çıkan sistemi matris formunda yazıyoruz: (A) (C) = (0) . Burada (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)m bilinmeyenlerin vektörüdür; (A) - karakteristik matris, cos (L1) EF0 L sin (L1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 yıl 00 00 0 000Y a \u003d k coe ^ ^A-L^; c \u003d -k co8 ((.40-01L) 1 / 2 ^; 7 \u003d (A4 "-1 l) 1/2 ap ((A" 1l) 1/2 + baykuşlara ((A "1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ A = ^ A] ; A-- : 3 = 0. Önemsiz bir çözüm bulmak için değişken olarak C01 € M sabitini alıyoruz.İki seçeneğimiz var: C01 = 0; C01 = 0. С01 = 0, sonra С03 = С04 = 0 olsun. Bu durumda, ek koşul altında (12)'den 7 = 0 ise önemsiz olmayan bir çözüm elde edilebilir. £ c-1 = 0, (13) bu da sistemin (12) üçüncü denkleminden elde edilebilir. Sonuç olarak, basit bir frekans denklemi elde ederiz. EP (A "1 L) 1/2 w ((A" 1 ^ 1/2 P + zz y \ V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , ilk kısmi sistem olarak kabul edilebilecek bir ucunda elastik olarak sabitlenmiş bir çubuk için frekans denklemi ile çakışmaktadır. Bu durumda, (13) koşulunu sağlayan yan çubukların tüm olası hareket kombinasyonları, koşullu olarak farklı faz kombinasyonlarına karşılık gelen gruplara ayrılabilir (incelenen durumda, faz S.d işaretiyle belirlenir). Yan çubukları aynı alırsak, iki seçeneğimiz var: 1) Cd \u003d 0, daha sonra farklı N için bu tür kombinasyonların sayısı n, n \u003d N 2 formülüyle hesaplanabilir, burada kalansız bölme işlevi; 2) C- sabitlerinin herhangi biri (veya herhangi biri) 0'a eşittir, daha sonra olası kombinasyonların sayısı artar ve formülle belirlenebilir £ [(N - m) bölü 2]. Coi = 0 olsun, o zaman Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = C01 (-v/t), burada c ve y (12)'deki komplekslerdir. (12) sisteminden ayrıca: C03 = C01 cos (L/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), yani. tüm sabitler C01 ile ifade edilir. Frekans denklemi şu şekli alır EFo U-o1 L tg A-1 L) "(lo - l)) - K2 çünkü | ía!-,1 L Örnek olarak, dört yan çubuklu bir sistem düşünün. Yukarıda anlatılan yönteme ek olarak bu örnek için A matrisinin determinantını hesaplayıp sıfıra eşitleyerek tüm sistem için frekans denklemini yazabilirsiniz. onun şeklini sunuyoruz Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+ L cos (L (/ o - /)) (EFoL sin (L /) + 4v)) - 4avt3L cos (L(/0 - /)) = 0. Yukarıda ele alınan durumlar için aşkın frekans denklemlerinin grafikleri Şek. 2. Aşağıdaki veriler başlangıç verileri olarak alınmıştır: EF = 2109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg/m2; mo = 6000 kg/m2; /=23; /o = 33 m Ele alınan şemanın ilk üç salınım frekansının değerleri aşağıda verilmiştir: n..................................... ve, rad/s...................... 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Pirinç. 2. Coi = 0 (i) ve Coi = 0 (2) için aşkın frekans denklemlerinin çizimleri Elde edilen çözümlere karşılık gelen titreşim modlarını sunalım (genel durumda titreşim modları normalleştirilmemiştir). Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü, 13. ve 14. frekanslara karşılık gelen dalga formları Şekil 1'de gösterilmektedir. 3. İlk salınım frekansında, yan çubuklar aynı şekilde ancak antifazda çiftler halinde salınır. Şekil 3. Birinci V = 3.20 Hz (a), ikinci V = 5.02 Hz (b), üçüncü V = 10.11 Hz (c), dördüncü V = karşılık gelen yan (1) ve merkezi (2) çubukların titreşim modları 13.60 Hz (d), 13. V = 45.90 Hz (d) ve 14. V = 50.88 Hz (e) frekansları (Şekil 3, a), ikincisinde - merkezi çubuk salınır ve yanal olanlar aynı fazda salınır (Şekil 3, b). Dikkate alınan çubuk sisteminin birinci ve ikinci salınım frekanslarının, katı cisimlerden oluşan bir sistemin salınımlarına karşılık geldiği belirtilmelidir. Sistem üçüncü doğal frekansla salındığında ilk kez düğümler belirir (Şekil 3c). Üçüncü ve sonraki frekanslar (Şekil 3d), sistemin zaten esnek salınımlarına karşılık gelir. Elastik elemanların etkisindeki bir azalma ile ilişkili salınımların frekansındaki bir artışla, salınımların frekansları ve biçimleri kısmi olma eğilimindedir (Şekil 3, e, f). Apsis ekseni ile kesişme noktaları aşkın denklemlerin çözümleri olan fonksiyonların eğrileri, Şek. 4. Şekle göre, sistemin doğal salınım frekansları, kısmi frekansların yakınında yer almaktadır. Yukarıda belirtildiği gibi, frekans arttıkça doğal frekansların kısmi frekanslarla yakınsaması artar. Sonuç olarak, tüm sistemin salındığı frekanslar şartlı olarak iki gruba ayrılır: yan çubuğun kısmi frekanslarına yakın olanlar ve merkezi çubuğun kısmi frekanslarına yakın frekanslar. Bulgular. Bir çubuk paketinin boyuna titreşimleri sorunu göz önünde bulundurulur. Formüle edilen sınır değer probleminin özellikleri ve özdeğerlerinin spektrumu açıklanmıştır. Keyfi sayıda homojen yan çubuklar için spektral problemin bir çözümü önerilmiştir. Sayısal bir örnek için, ilk salınım frekanslarının değerleri bulunur ve karşılık gelen formlar oluşturulur. Oluşturulan titreşim modlarının bazı karakteristik özellikleri de ortaya çıkarıldı. Pirinç. 4. Cox = 0 (1), Cox = 0 (2) için, apsis ekseni ile kesişme noktaları aşkın denklemlerin çözümleri olan fonksiyonların eğrileri, ilk kısmi sistemle (elastik eleman üzerine sabitlenmiş yan çubuk) çakışır. x = I) noktasında ve ikinci kısmi sistemin (5) (A noktasında dört elastik elemana sabitlenmiş merkezi çubuk) EDEBİYAT 1. Kolesnikov K.S. Roket dinamiği. M.: Mashinostroenie, 2003. 520 s. 2. Balistik füzeler ve fırlatma araçları / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin ve diğerleri M.: Drofa, 2004. 511 s. 3. Rabinoviç B.I. Uzay aracı taşıyıcı roketlerinin dinamiklerine giriş. M.: Mashinostroenie, 1974. 396 s. 4. Sıvı roketlerin POGO stabilitesi üzerine parametre çalışması / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011 Cilt 48. 3. S. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Sıvı motorlu taşıyıcı roketlerin uzunlamasına salınımlarının analizi için yöntemler // Kozmonot ve Roket Mühendisliği. 1995. No. 5. S. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. Kontrol nesnesi olarak paketlenmiş sıvı yakıtlı roketin matematiksel modelinin özellikleri // Modern makine mühendisliğinin gücünün seçilmiş problemleri. 2008. S. 43-55. 7. Dokuchaev L.V. Paketlenmiş bir fırlatma aracının dinamiklerini simetrilerine göre incelemek için yöntemlerin iyileştirilmesi // Kozmonot ve Roket Mühendisliği. 2005. No. 2. S. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Akışkanlı Elastik Kabukların Doğal ve Zorlanmış Titreşimlerini Hesaplamak İçin Yaklaşık Analitik Yöntemlerin Geliştirilmesi: Cand. ... Dr. teknik. Bilimler. M., 2005. 220 s. 9. Kerin S.G. Banach uzaylarında lineer diferansiyel denklemler. M.: Nauka, 1967. 464 s. 10. Kopachevsky Kimliği Matematiksel fiziğin operatör yöntemleri. Simferopol: OOO "Forma", 2008. 140 s. Kolesnikov K.S. Dinamika füzesi. Moskova, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 s. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., ed. Ballisticheskie tırmık ve rakety-nositeli. Moskova, Drofa Publ., 2003. 511 s. Rabinovich B.I. Vvedenie v Dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov. Moskova, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 s. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Sıvı yakıtlı roketin POGO kararlılığı üzerine parametre çalışması. J. Spacecraft and Rockets, 2011, cilt. 48, is. 3, s. 537-541. Balakirev Yu.G. Sıvı yakıtlı motorlu fırlatma araçlarının boyuna titreşimlerinin analiz yöntemleri. kozm. ben rokettostr. , 1995, hayır. 5, s. 50-58 (Rusça). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob "ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya" . Moskova, Fizmatlit Yayınevi, 2008. 204 s. (alıntılanan s. 4355). Dokuchaev L.V. Simetrileri dikkate alınarak kümelenmiş fırlatma aracının dinamiklerini incelemek için yöntemlerin iyileştirilmesi. kozm. ben rokettostr. , 2005, hayır. 2, s. 112-121 (Rusça). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh ve vynuzhdennykh kolebany uprugikh obolochek s zhidkost "yu. Diss. doct. tekhn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye diferansiyel "nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 s. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 s. Makale editörler tarafından 28 Nisan 2014'te alındı. Pavlov Arseniy Mihayloviç - Moskova Devlet Teknik Üniversitesi "Uzay araçları ve fırlatma araçları" bölümünün öğrencisi. N.E. Bauman. Roket ve uzay teknolojisi alanında uzmanlaşmıştır. MSTU im. N.E. Baumash, Rusya Federasyonu, 105005, Moskova, 2nd Baumanskaya st., 5. Pavlov AM - Bauman Moskova Devlet Teknik Üniversitesi "Uzay Araçları ve Fırlatma Araçları" bölümü öğrencisi. Roket ve uzay teknolojisi alanında uzman. Bauman Moskova Devlet Teknik Üniversitesi, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moskova, 105005 Rusya Federasyonu. Temnov Alexander Nikolaevich - Doktora Fizik-Matematik Sci., Doçent, Uzay Aracı ve Fırlatma Araçları Bölümü, Moskova Devlet Teknik Üniversitesi. N.E. Bauman. Akışkan ve gaz mekaniği ve roket ve uzay teknolojisi alanında 20'den fazla bilimsel makalenin yazarı. MSTU im. N.E. Baumash, Rusya Federasyonu, 105005, Moskova, 2nd Baumanskaya st., 5. Temnov A.N. - Cand. bilim (Fizik-Matematik), Doç. Bauman Moskova Devlet Teknik Üniversitesi "Uzay Araçları ve Fırlatma Araçları" bölümünde profesör. Akışkan ve gaz mekaniği ve roket ve uzay teknolojisi alanında 20'den fazla yayının yazarı. Bauman Moskova Devlet Teknik Üniversitesi, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moskova, 105005 Rusya Federasyonu. l uzunluğunda homojen bir çubuk düşünün, yani. bilinen bir kuvvetin uygulanmasının gerekli olduğu, gerilmesi veya bükülmesi için silindirik veya başka bir şekle sahip bir gövde. İkinci durum, en ince çubuğu bile, herkesin bildiği gibi serbestçe bükülen ipten ayırır. Sunmuş olduğum çalışmada, bir çubuğun uzunlamasına titreşimlerinin incelenmesine karakteristikler yönteminin uygulanmasını göstereceğim ve kendimi yalnızca enine kesitin pq ekseni boyunca hareket ettiği bu tür titreşimleri incelemekle sınırlayacağım. çubuk, düz ve birbirine paralel kalır. Böyle bir varsayım, çubuğun enine boyutları uzunluğuna kıyasla küçükse doğrulanır. Çubuk uzunlamasına eksen boyunca biraz gerilir veya sıkıştırılır ve daha sonra kendi haline bırakılırsa, içinde uzunlamasına titreşimler meydana gelir. x eksenini çubuğun ekseni boyunca yönlendirdikten sonra, hareketsiz durumda çubuk bölümünün uçlarının x=0 ve x=l noktalarında olduğunu varsayacağım. Çubuğun hareketsizken bir bölümünün apsisi x olsun. u(x,t) aracılığıyla bu bölümün t zamanındaki yer değiştirmesini tanıtmama izin verin; o zaman apsis x+dx olan bölümün ofseti şuna eşit olacaktır Buradan açıkça görülmektedir ki, çubuğun apsisi x olan bölümdeki bağıl uzaması türev ile ifade edilir. Şimdi, çubuğun küçük titreşimler yaptığını varsayarak, T gerilimini hesaplayabiliriz. Hooke yasasını uygulayarak şunu elde ederiz: Burada E, çubuk malzemenin elastisite modülüdür ve S, kesit alanıdır. Durgun durumda apsisleri sırasıyla x ve x + dx'e eşit olan iki bölüm arasına kapatılmış bir çubuğun bir elemanını alayım. Bu kesitlere uygulanan ve Öküz ekseni boyunca yönlendirilen çekme kuvvetleri bu elemana etki eder. Bu kuvvetlerin sonucu şu değere sahiptir: ES - ES?ES (2) (Lagrange teoremi) Ve ayrıca yönlendirildi. Öte yandan, elemanın ivmesi eşittir, bunun sonucunda eşitliği yazabiliriz. Çubuğun kütle yoğunluğu nerede. koyarak Ve azaltarak, homojen bir çubuğun boyuna titreşimlerinin diferansiyel denklemini elde ederiz. Bu denklemin formu, çubuğun boyuna salınımlarının dalga niteliğinde olduğunu ve boyuna dalgaların yayılma hızının formül (4) ile belirlendiğini gösterir.Çubuk ayrıca hacminin birimi başına hesaplanan bir dış kuvvete maruz kalırsa , o zaman (3) yerine Bu, çubuğun zorlanmış boyuna titreşimlerinin denklemidir. Genel olarak dinamikte olduğu gibi, çubuğun hareketini tam olarak belirlemek için bir hareket denklemi (6) yeterli değildir. Başlangıç koşullarının ayarlanması gereklidir, yani. çubuk bölümlerinin yer değiştirmesini ve zamanın ilk anında hızlarını ayarlayın burada ve F(x) (0,l) aralığında fonksiyonlar verilir. Ayrıca çubuğun uçlarındaki sınır koşulları da belirtilmelidir. Örneğin: 1) Çubuk her iki uca da sabitlenmiştir. Bu durumda u(0,t)=0, u(l,t)=0 (8) herhangi bir zamanda 2) Çubuğun bir ucu sabit, diğeri serbest, yani. u(0,t)=0,=0 (9) herhangi bir zamanda x=l serbest ucunda, T=ES gerilimi sıfıra eşittir (dış kuvvet yok) ve bu nedenle =0 3) Çubuğun her iki ucu da serbesttir. Herhangi bir zamanda Böylece, homojen sınırlı bir çubuğun boyuna titreşimleri sorunu, başlangıç koşulunu (7) ve sınır koşullarından (8), (9), (10) vb. birini sağlayan denklem (6)'nın çözümüne indirgenir. boyuna salınım diferansiyel dalga Ucu x=0 sabitken ve diğer x=l serbestken, uzunluğu l olan homojen bir elastik çubuğun boyuna titreşimleri problemini ele alalım. Bu problem dalga denkleminin çözümüne indirgenmiştir. Sınır koşulları altında ve başlangıç koşulları F(x) (0?x?l) (3) Fourier yöntemine göre, formdaki denklem (1) için özel çözümler arıyoruz. u(x,t)=X(x) T(x) (4) (4) denklemini (1) ile değiştiriyorum ve iki denklemi nereden elde ederiz Özdeş sıfırdan farklı olan (4) fonksiyonunun (2) sınır koşullarını sağlaması için, açıkçası, koşulların sağlanması gerekir. X(x)=0, X(l)=0 (6) Böylece sınır koşulları (7) altında denklem (5) için özdeğer problemine ulaştım. İntegral denklemleri (5) elde ederiz Sınır koşullarından (6) sahip olduğumuz Sayarak =0 buluyorum, nereden k bir tam sayıdır Bu nedenle, (4), (5) numaralı sorunun önemsiz çözümleri yalnızca ?? değerleri için mümkündür: Özdeğerler, özfonksiyonlara karşılık gelir (x)= (k=1,2,…..) Bire eşit olarak ayarladığımız sabit bir faktöre kadar tanımlanır (k- negatif olmayacak) ??= için denklem (5)'in genel çözümü şu şekildedir: Keyfi sabitler nerede. (3) nedeniyle elde ederiz Herhangi biri için (1) ve sınır koşullarını (2) karşılayın. sıra yaparım. başlangıç koşullarını (2) yerine getirmek için (8), (9) serisinin düzgün yakınsadığını varsayarsak, katsayıları x=0 ile x=l aralığında eşitliklerin her iki tarafıyla çarparak ve x üzerinden integral alarak bulabiliriz. Düşünen, (7) dizisindeki katsayıların bulunan değerlerini değiştirerek, belki de ondan elde edilen soruna x ve t'ye göre terim terim iki kat farklılaşma ile düzgün bir şekilde bir çözüm elde edeceğim. yakınsak. Çözüm (7) göz önüne alındığında, çubuğun salınım hareketinin basit harmonik titreşimlerin eklenmesinin sonucu olduğu görülebilir. Genlik ve frekanslarla taahhütlü k=0'da elde edilen temel ton bir salınım periyoduna sahiptir. Temel tonun genliği olduğundan Çubuğun x=0 sabit ucunda ve x=l-antinode serbest ucunda bir düğüm oluştuğu açıktır.enine dalgalar
Problem çözme örnekleri
Egzersiz yapmak
Zamanın bir noktasındaki şamandıra şekilde gösterilen hız yönüne sahipse, enine dalganın yayılma yönünü belirleyin.
Karar
Bir çizim yapalım. 
Yükleniyor...