Slough'un genel çözümünün yapısı. Lineer denklemlerin homojen sistemleri
Lineer cebirsel denklem sistemlerini (SLAE) çözme, şüphesiz lineer cebir dersinin en önemli konusudur. Matematiğin tüm dallarından çok sayıda problem, lineer denklem sistemlerini çözmeye indirgenmiştir. Bu faktörler, bu makalenin oluşturulma nedenini açıklar. Makalenin materyali, yardımı ile şunları yapabilmeniz için seçilmiş ve yapılandırılmıştır.
- lineer cebirsel denklem sisteminizi çözmek için en uygun yöntemi seçin,
- seçilen yöntemin teorisini incelemek,
- Tipik örneklerin ve problemlerin çözümlerini ayrıntılı olarak ele alarak lineer denklem sisteminizi çözün.
Makalenin malzemesinin kısa açıklaması.
İlk olarak, gerekli tüm tanımları, kavramları veriyoruz ve bazı gösterimleri tanıtıyoruz.
Daha sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve benzersiz bir çözümü olan lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemlerini ele alacağız. İlk olarak, Cramer yöntemine odaklanalım, ikinci olarak, bu tür denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemini göstereceğiz ve üçüncü olarak, Gauss yöntemini (bilinmeyen değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi) analiz edeceğiz. Teoriyi pekiştirmek için, kesinlikle birkaç SLAE'yi çeşitli şekillerde çözeceğiz.
Bundan sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakışmadığı veya sistemin ana matrisinin dejenere olduğu genel bir formun lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmeye dönüyoruz. SLAE'lerin uyumluluğunu belirlememizi sağlayan Kronecker-Capelli teoremini formüle ediyoruz. Bir matrisin temel minör kavramını kullanarak sistemlerin çözümünü (uyumlulukları durumunda) analiz edelim. Gauss yöntemini de ele alacağız ve örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak anlatacağız.
Homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin genel çözümünün yapısı üzerinde durduğunuzdan emin olun. Temel bir çözüm sistemi kavramını verelim ve temel çözüm sisteminin vektörleri kullanılarak SLAE'nin genel çözümünün nasıl yazıldığını gösterelim. Daha iyi anlamak için birkaç örneğe bakalım.
Sonuç olarak, çözümünde SLAE'lerin ortaya çıktığı çeşitli problemlerin yanı sıra doğrusal olanlara indirgenmiş denklem sistemlerini ele alıyoruz.
Sayfa gezintisi.
Tanımlar, kavramlar, adlandırmalar.
Formun n bilinmeyen değişkenli (p eşit olabilir) p lineer cebirsel denklem sistemlerini ele alacağız.
Bilinmeyen değişkenler, - katsayılar (bazı gerçek veya karmaşık sayılar), - serbest üyeler (gerçek veya karmaşık sayılar da).
SLAE'nin bu formuna koordinat.
AT matris formu bu denklem sistemi şu şekildedir,
nerede 
- sistemin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenlerin matris sütunu, - serbest üyelerin matris sütunu.
A matrisine (n + 1)-th sütunu olarak serbest terimlerin matris sütununu eklersek, o zaman sözde olanı elde ederiz. genişletilmiş matris lineer denklem sistemleri. Genellikle, artırılmış matris T harfi ile gösterilir ve serbest üyelerin sütunu, sütunların geri kalanından dikey bir çizgi ile ayrılır, yani, 
Lineer cebirsel denklemler sistemini çözerek sistemin tüm denklemlerini kimliklere dönüştüren bilinmeyen değişkenlerin bir dizi değeri olarak adlandırılır. Bilinmeyen değişkenlerin verilen değerleri için matris denklemi de bir özdeşliğe dönüşür.
Bir denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri.
Denklem sisteminin çözümü yoksa denir. uyumsuz.
Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa, buna denir. kesin; birden fazla çözüm varsa, o zaman - belirsiz.
Sistemin tüm denklemlerinin serbest terimleri sıfıra eşitse 
, sonra sistem çağrılır homojen, aksi durumda - heterojen.
Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerinin çözümü.
Sistem denklemlerinin sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse ve ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, bu tür SLAE'leri arayacağız. temel. Bu tür denklem sistemlerinin benzersiz bir çözümü vardır ve homojen bir sistem durumunda tüm bilinmeyen değişkenler sıfıra eşittir.
Lisede böyle bir SLAE okumaya başladık. Bunları çözerken, bir denklem aldık, bilinmeyen bir değişkeni diğerleri cinsinden ifade ettik ve kalan denklemlere yerleştirdik, sonra bir sonraki denklemi aldık, bir sonraki bilinmeyen değişkeni ifade ettik ve diğer denklemlere yerleştirdik, vb. Veya toplama yöntemini kullanmışlar, yani iki veya daha fazla denklem ekleyerek bilinmeyen bazı değişkenleri ortadan kaldırmışlardır. Esasen Gauss yönteminin modifikasyonları oldukları için bu yöntemler üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız.
Temel lineer denklem sistemlerini çözmenin ana yöntemleri Cramer yöntemi, matris yöntemi ve Gauss yöntemidir. Onları sıralayalım.
Lineer denklem sistemlerini Cramer yöntemiyle çözme.
Bir lineer cebirsel denklem sistemini çözmemiz gerekiyor 
denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu, yani .
Sistemin ana matrisinin determinantı olsun ve 
değiştirilerek A'dan elde edilen matrislerin belirleyicileridir. 1., 2., …, n. boş üyeler sütununa sırasıyla sütun: 
Böyle bir gösterimle, bilinmeyen değişkenler Cramer yönteminin formülleriyle şu şekilde hesaplanır: 
. Lineer cebirsel denklemler sisteminin çözümü Cramer yöntemiyle bu şekilde bulunur.
Misal.
Cramer yöntemi 
.
Karar.
Sistemin ana matrisi şu şekildedir: 
. Belirleyicisini hesaplayın (gerekirse makaleye bakın): 
Sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan, sistem Cramer yöntemiyle bulunabilen benzersiz bir çözüme sahiptir.
Gerekli belirleyicileri oluşturun ve hesaplayın 
(determinant, A matrisindeki ilk sütunun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesiyle elde edilir, determinant - ikinci sütunun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesi, - A matrisinin üçüncü sütununun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesiyle elde edilir. ): 
Formülleri kullanarak bilinmeyen değişkenleri bulma 
:
Cevap:
Cramer yönteminin ana dezavantajı (eğer dezavantaj olarak adlandırılabilirse), sistem denklemlerinin sayısı üçten fazla olduğunda determinantları hesaplamanın karmaşıklığıdır.
Lineer cebirsel denklem sistemlerini matris yöntemiyle çözme (ters matris kullanarak).
Lineer cebirsel denklemler sistemi matris biçiminde verilsin, burada A matrisi n'ye n boyutundadır ve determinantı sıfır değildir.
A matrisi ters çevrilebilir olduğundan, ters matris vardır. Eşitliğin her iki kısmını sol ile çarparsak, bilinmeyen değişkenlerin sütun matrisini bulmak için bir formül elde ederiz. Böylece lineer cebirsel denklemler sisteminin çözümünü matris yöntemiyle elde ettik.
Misal.
Lineer Denklemler Sistemini Çöz matris yöntemi.
Karar.
Denklem sistemini matris biçiminde yeniden yazalım: 
Gibi
daha sonra SLAE matris yöntemiyle çözülebilir. Ters matrisi kullanarak, bu sistemin çözümü şu şekilde bulunabilir: 
.
A matrisinin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının bir matrisini kullanarak bir ters matris oluşturalım (gerekirse makaleye bakın): 
Hesaplamaya devam ediyor - ters matrisi çarparak bilinmeyen değişkenlerin matrisi 
serbest üyelerin matris sütununda (gerekirse makaleye bakın): 
Cevap:
veya başka bir gösterimde x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Matris yöntemiyle lineer cebirsel denklem sistemlerine çözüm bulmadaki temel sorun, özellikle üçüncü dereceden daha yüksek mertebeden kare matrisler için ters matris bulmanın karmaşıklığıdır.
Gauss yöntemiyle lineer denklem sistemlerinin çözümü.
n bilinmeyen değişkenli n lineer denklem sistemine bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım. 
ana matrisinin determinantı sıfırdan farklıdır.
Gauss yönteminin özü bilinmeyen değişkenlerin art arda hariç tutulmasından oluşur: ilk olarak, x 1 ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden hariç tutulur, ardından x 2 üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden hariç tutulur ve bu böyle devam eder, sadece bilinmeyen değişkene kadar x n son denklemde kalır. Bilinmeyen değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması için sistemin denklemlerini dönüştürme işlemine denir. doğrudan Gauss yöntemi. Gauss yönteminin ileri çalışması tamamlandıktan sonra, son denklemden x n bulunur, bu değer kullanılarak sondan bir önceki denklemden x n-1 hesaplanır ve böylece ilk denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birincisine geçerken bilinmeyen değişkenleri hesaplama işlemine denir. ters Gauss yöntemi.
Bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırmak için algoritmayı kısaca tanımlayalım.
Bunu, sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek her zaman başarabileceğimiz için varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i ikincisinden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden hariç tutuyoruz. Bunu yapmak için, ilk çarpı ile çarpımı sistemin ikinci denklemine ekleyin, birinci çarpı ile çarpımı üçüncü denkleme ekleyin ve böylece ilk çarpı ile çarpımı n'inci denkleme ekleyin. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekilde olacaktır: 
burada bir 
.
Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edersek ve elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koyarsak aynı sonuca varırdık. Böylece, x 1 değişkeni, ikinciden başlayarak tüm denklemlerden çıkarılır.
Daha sonra, benzer şekilde hareket ediyoruz, ancak yalnızca şekilde işaretlenmiş olan ortaya çıkan sistemin bir kısmı ile 
Bunu yapmak için, ikinci çarpı ile çarpımı sistemin üçüncü denklemine ekleyin, ikinci çarpı ile çarpımı dördüncü denkleme ekleyin ve bu şekilde, ikinci çarpı ile çarpımı n'inci denkleme ekleyin. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekilde olacaktır: 
burada bir 
. Böylece, x 2 değişkeni üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden çıkarılır.
Daha sonra, sistemin şekilde işaretlenmiş kısmı ile benzer şekilde hareket ederken, bilinmeyen x 3'ün ortadan kaldırılmasına geçiyoruz. 
Bu yüzden sistem şeklini alana kadar Gauss yönteminin doğrudan seyrine devam ediyoruz. 
Bu andan itibaren, Gauss yönteminin ters seyrine başlıyoruz: Son denklemden x n'yi şu şekilde hesaplıyoruz, elde edilen x n değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluyoruz ve böyle devam ederek, x n'yi buluyoruz. ilk denklem.
Misal.
Lineer Denklemler Sistemini Çöz Gauss yöntemi.
Karar.
Bilinmeyen değişken x 1'i sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için, ikinci ve üçüncü denklemlerin her iki kısmına, sırasıyla ve ile çarpılan birinci denklemin karşılık gelen kısımlarını ekleriz: 
Şimdi x 2'yi, ikinci denklemin sol ve sağ kısımlarını aşağıdakilerle çarparak sol ve sağ kısımlarına ekleyerek üçüncü denklemden çıkarıyoruz: 
Bunun üzerine Gauss yönteminin ileri seyri tamamlandı, ters seyire başlıyoruz.
Ortaya çıkan denklem sisteminin son denkleminden x 3'ü buluruz: 
İkinci denklemden elde ederiz.
İlk denklemden kalan bilinmeyen değişkeni buluruz ve bu Gauss yönteminin tersini tamamlar.
Cevap:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.
Genel durumda, p sisteminin denklem sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısı n ile çakışmaz:
Bu tür SLAE'lerin çözümü olmayabilir, tek bir çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu ifade, ana matrisi kare ve dejenere olan denklem sistemleri için de geçerlidir.
Kronecker-Capelli teoremi.
Bir lineer denklem sistemine bir çözüm bulmadan önce, uyumluluğunu belirlemek gerekir. SLAE ne zaman uyumlu, ne zaman uyumsuz sorusunun cevabı şu şekildedir: Kronecker-Capelli teoremi:
n bilinmeyenli (p n'ye eşit olabilir) bir p denklem sisteminin tutarlı olması için, sistemin ana matrisinin rankının genişletilmiş matrisin rankına eşit olması gerekli ve yeterlidir, yani Rank( A)=Sıra(T) .
Örnek olarak bir lineer denklem sisteminin uyumluluğunu belirlemek için Kronecker-Cappelli teoreminin uygulamasını ele alalım.
Misal.
Lineer denklem sisteminin olup olmadığını öğrenin 
çözümler.
Karar.
. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanalım. İkinci dereceden küçük 
sıfırdan farklıdır. Etrafındaki üçüncü dereceden küçüklerin üzerinden geçelim: 
Tüm sınırlayıcı üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşit olduğundan, ana matrisin sırası ikidir.
Buna karşılık, artırılmış matrisin rankı 
üçüncü mertebenin küçüğünden beri üçe eşittir 
sıfırdan farklıdır.
Böylece, Rang(A) , bu nedenle, Kronecker-Capelli teoremine göre, orijinal lineer denklem sisteminin tutarsız olduğu sonucuna varabiliriz.
Cevap:
Çözüm sistemi yok.
Böylece sistemin tutarsızlığını Kronecker-Capelli teoremini kullanarak kurmayı öğrendik.
Ancak uyumluluğu sağlanmışsa SLAE'nin çözümü nasıl bulunur?
Bunu yapmak için, bir matrisin minör temel kavramına ve bir matrisin rankı üzerindeki teoreme ihtiyacımız var.
A matrisinin sıfırdan farklı en yüksek mertebeden küçüğüne denir. temel.
Temel minörün tanımından, sırasının matrisin sırasına eşit olduğu sonucu çıkar. Sıfır olmayan bir A matrisi için birkaç temel minör olabilir; her zaman bir temel minör vardır.
Örneğin, matrisi düşünün 
.
Bu matrisin tüm üçüncü dereceden küçükleri sıfıra eşittir, çünkü bu matrisin üçüncü satırının elemanları, birinci ve ikinci satırların karşılık gelen elemanlarının toplamıdır.
Aşağıdaki ikinci mertebeden küçükler, sıfırdan farklı oldukları için temeldir. 
küçükler 
sıfıra eşit oldukları için temel değildirler.
Matris sıra teoremi.
p'ye n dereceli bir matrisin rankı r ise, matrisin satırlarının (ve sütunlarının) seçilen temel minörünü oluşturmayan tüm elemanları, satırların (ve sütunların) karşılık gelen elemanları cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. ) temeli minör oluşturan.
Matris sıralama teoremi bize ne verir?
Kronecker-Capelli teoremi ile sistemin uyumluluğunu belirlediysek, sistemin ana matrisinin herhangi bir temel minörünü seçeriz (sıralaması r'ye eşittir) ve olmayan tüm denklemleri sistemden çıkarırız. seçilen temel minörü oluşturur. Bu şekilde elde edilen SLAE, atılan denklemler hala gereksiz olduğundan (matris sıra teoremine göre, bunlar kalan denklemlerin doğrusal bir birleşimidir) orijinaline eşdeğer olacaktır.
Sonuç olarak, sistemin aşırı denklemleri atıldıktan sonra iki durum mümkündür.
Ortaya çıkan sistemdeki denklem sayısı r, bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, o zaman kesin olacaktır ve tek çözüm Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi ile bulunabilir.
Misal.
.
Karar.
Sistemin ana matrisinin sıralaması 
ikinci mertebenin küçüğünden beri ikiye eşittir 
sıfırdan farklıdır. Genişletilmiş matris sıralaması 
ayrıca ikiye eşittir, çünkü üçüncü mertebenin tek küçüğü sıfıra eşittir 
ve yukarıda ele alınan ikinci mertebenin küçüğü sıfırdan farklıdır. Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan, orijinal lineer denklem sisteminin uyumluluğu ileri sürülebilir.
Temel minör olarak, . Birinci ve ikinci denklemlerin katsayılarından oluşur: 
Sistemin üçüncü denklemi, temel minör oluşumuna katılmaz, bu nedenle onu matris sıralama teoremine dayanarak sistemden hariç tutarız: 
Böylece temel bir lineer cebirsel denklem sistemi elde ettik. Cramer yöntemiyle çözelim: 
Cevap:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Ortaya çıkan SLAE'deki r denklemlerinin sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısından az ise, o zaman temel minörü oluşturan terimleri denklemlerin sol kısımlarında bırakır ve kalan terimleri denklemlerin sağ kısımlarına aktarırız. zıt işaretli sistem.
Denklemlerin sol tarafında kalan bilinmeyen değişkenlere (r tane vardır) denir. ana.
Sağ tarafta sona eren bilinmeyen değişkenler (bunlardan n - r vardır) Bedava.
Şimdi, serbest bilinmeyen değişkenlerin keyfi değerler alabileceğini, r ana bilinmeyen değişkenlerin ise benzersiz bir şekilde serbest bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edileceğini varsayıyoruz. İfadeleri, elde edilen SLAE'nin Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi ile çözülmesiyle bulunabilir.
Bir örnek alalım.
Misal.
Lineer Cebirsel Denklemler Sistemini Çöz 
.
Karar.
Sistemin ana matrisinin sırasını bulun 
sınırlayıcı küçükler yöntemiyle. Sıfırdan farklı bir birinci dereceden küçük olarak 1 1 = 1 alalım. Bu minörü çevreleyen sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör aramaya başlayalım: 
Böylece ikinci dereceden sıfır olmayan bir minör bulduk. Üçüncü mertebeden sıfır olmayan bir kenarda kalan küçük çocuğu aramaya başlayalım: 
Böylece, ana matrisin sırası üçtür. Artırılmış matrisin sıralaması da üçe eşittir, yani sistem tutarlıdır.
Üçüncü mertebeden bulunan sıfır olmayan minör, temel olarak alınacaktır.
Anlaşılır olması için, minörün temelini oluşturan unsurları gösteriyoruz: 
Temel minöre katılan terimleri sistemin denklemlerinin sol tarafında bırakıp, zıt işaretlerle geri kalanını sağ taraflara aktarıyoruz: 
Serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 ve x 5 keyfi değerler veriyoruz, yani 
, keyfi sayılar nerede. Bu durumda, SLAE şu şekli alır: 
Elde edilen temel lineer cebirsel denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözüyoruz: 
Buradan, .
Cevapta, serbest bilinmeyen değişkenleri belirtmeyi unutmayın.
Cevap:
Rasgele sayılar nerede.
Özetle.
Genel bir formun lineer cebirsel denklem sistemini çözmek için önce Kronecker-Capelli teoremini kullanarak uyumluluğunu buluruz. Ana matrisin sırası, genişletilmiş matrisin sırasına eşit değilse, sistemin tutarsız olduğu sonucuna varırız.
Ana matrisin sırası, genişletilmiş matrisin sırasına eşitse, temel minörü seçer ve seçilen temel minörün oluşumuna katılmayan sistemin denklemlerini atarız.
Temel minörün sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, SLAE'nin bildiğimiz herhangi bir yöntemle bulunabilen benzersiz bir çözümü vardır.
Temel minörün sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısından azsa, sistemin denklemlerinin sol tarafında terimleri ana bilinmeyen değişkenlerle birlikte bırakır, kalan terimleri sağ taraflara aktarır ve keyfi değerler atarız ücretsiz bilinmeyen değişkenlere. Elde edilen lineer denklem sisteminden, ana bilinmeyen değişkenleri Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle buluruz.
Genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümü için Gauss yöntemi.
Gauss yöntemini kullanarak, herhangi bir türden lineer cebirsel denklem sistemleri, uyumluluk için ön araştırma yapmadan çözülebilir. Bilinmeyen değişkenlerin art arda dışlanması işlemi, SLAE'nin hem uyumluluğu hem de tutarsızlığı hakkında bir sonuca varılmasını ve eğer bir çözüm varsa, onu bulmayı mümkün kılar.
Hesaplamalı çalışma açısından Gauss yöntemi tercih edilir.
Genel formdaki lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi makalesindeki ayrıntılı açıklamasına ve analiz örneklerine bakın.
Temel çözüm sisteminin vektörlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel sistemlerin genel çözümünün kaydedilmesi.
Bu bölümde, sonsuz sayıda çözümü olan lineer cebirsel denklemlerin ortak homojen ve homojen olmayan sistemlerine odaklanacağız.
Önce homojen sistemlerle ilgilenelim.
Temel karar sistemi n bilinmeyen değişkenli homojen bir p lineer cebirsel denklem sistemi, bu sistemin lineer olarak bağımsız bir (n – r) çözümleri kümesidir; burada r, sistemin ana matrisinin temel minörünün mertebesidir.
Homojen bir SLAE'nin lineer bağımsız çözümlerini X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) olarak belirlersek, n boyutlu matris sütunlarıdır. 1 ile ), o zaman bu homojen sistemin genel çözümü, keyfi sabit katsayıları С 1 , С 2 , …, С (n-r), yani temel çözüm sisteminin vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir.
Homojen bir lineer cebirsel denklem sisteminin (oroslau) genel çözümü terimi ne anlama geliyor?
Anlamı basittir: formül, orijinal SLAE'nin tüm olası çözümlerini tanımlar, başka bir deyişle, herhangi bir rastgele sabit değer kümesini alarak C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , formüle göre biz orijinal homojen SLAE'nin çözümlerinden birini alacaktır.
Böylece, temel bir çözüm sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin tüm çözümlerini .
Homojen bir SLAE için temel bir çözüm sistemi oluşturma sürecini gösterelim.
Orijinal lineer denklem sisteminin temel minörünü seçiyoruz, diğer tüm denklemleri sistemden çıkarıyoruz ve serbest bilinmeyen değişkenleri içeren tüm terimleri zıt işaretli sistemin denklemlerinin sağ tarafına aktarıyoruz. Serbest bilinmeyen değişkenlere 1,0,0,…,0 değerlerini verelim ve elde edilen temel doğrusal denklem sistemini herhangi bir şekilde, örneğin Cramer yöntemiyle çözerek ana bilinmeyenleri hesaplayalım. Böylece, temel sistemin ilk çözümü olan X (1) elde edilecektir. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…,0 değerlerini verir ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X (2) elde ederiz. Vb. Serbest bilinmeyen değişkenlere 0,0,…,0,1 değerlerini verir ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X (n-r) elde ederiz. Homojen SLAE'nin temel çözüm sistemi bu şekilde oluşturulacak ve genel çözümü formda yazılabilir.
Lineer cebirsel denklemlerin homojen olmayan sistemleri için genel çözüm şu şekilde temsil edilir:
Örneklere bakalım.
Misal.
Homojen bir lineer cebirsel denklem sisteminin temel çözüm sistemini ve genel çözümünü bulun 
.
Karar.
Homojen lineer denklem sistemlerinin ana matrisinin sırası her zaman genişletilmiş matrisin sırasına eşittir. Ana matrisin sırasını küçükleri saçaklama yöntemiyle bulalım. Sıfır olmayan bir birinci dereceden küçük olarak, sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 öğesini alıyoruz. İkinci mertebenin sınırlayıcı sıfır olmayan minörünü bulun: 
Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör bulundu. Sıfır olmayan bir tane aramak için onu çevreleyen üçüncü dereceden küçükleri gözden geçirelim: 
Üçüncü dereceden tüm sınırlayıcı küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle ana ve genişletilmiş matrisin sırası ikidir. Temel minörü ele alalım. Netlik için, onu oluşturan sistemin unsurlarını not ediyoruz: 
Orijinal SLAE'nin üçüncü denklemi, temel minör oluşumuna katılmaz, bu nedenle hariç tutulabilir: 
Ana bilinmeyenleri içeren terimleri denklemlerin sağ taraflarına bırakıyoruz ve serbest bilinmeyenli terimleri sağ taraflara aktarıyoruz:
Orijinal homojen lineer denklem sistemine temel bir çözüm sistemi oluşturalım. Bu SLAE'nin temel çözüm sistemi, orijinal SLAE dört bilinmeyen değişken içerdiğinden ve temel minörünün sırası iki olduğundan, iki çözümden oluşur. X (1)'i bulmak için, serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 değerlerini veriyoruz, sonra denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz 
.
Düşünmek homojen sistem n değişkenli m lineer denklemler:
(15)
Homojen lineer denklemler sistemi her zaman uyumludur, çünkü her zaman sıfır (önemsiz) bir çözüme sahiptir (0,0,…,0).
Eğer (15) sisteminde m=n ve , sistem teoremden ve Cramer formüllerinden çıkan sadece sıfır bir çözüme sahiptir.
teorem 1. Homojen sistem (15), ancak ve ancak matrisinin sırası değişken sayısından azsa, yani, önemsiz olmayan bir çözüme sahiptir. . r(A)< n.
Kanıt. (15) sisteminin önemsiz olmayan bir çözümünün varlığı, sistemin matrisinin sütunlarının doğrusal bağımlılığına eşdeğerdir (yani, böyle sayılar vardır x 1 , x 2 ,…, x n , hepsi sıfıra eşit değildir , bu eşitlikler (15) geçerlidir).
Temel minör teoreme göre, bu matrisin tüm sütunları temel olmadığında, yani bir matrisin sütunları doğrusal olarak bağımlıdır . matrisin temel minörünün r sırası, sütunlarının sayısından küçük olduğunda. Ch.t.d.
Sonuç. Kare homojen bir sistem |A|=0 olduğunda önemsiz olmayan çözümlere sahiptir .
Teorem 2. Homojen sistemin AX=0 çözümünün x (1), x (2), ..., x(s) sütunları ise, bunların herhangi bir lineer kombinasyonu da bu sistemin bir çözümüdür.
Kanıt. Herhangi bir çözüm kombinasyonunu düşünün:
Sonra AX=A()===0. h.t.d.
Sonuç 1. Homojen bir sistemin önemsiz olmayan bir çözümü varsa, sonsuz sayıda çözümü vardır.
O. Ax = 0 sisteminin x (1), x (2), ..., x (s) gibi çözümlerini bulmak gerekir, böylece bu sistemin diğer herhangi bir çözümü bunların doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir ve üstelik benzersiz bir şekilde.
Tanım. Sistem k=n-r (n sistemdeki bilinmeyenlerin sayısıdır, r=rg A) lineer bağımsız çözümlerin x (1) ,x (2) ,…,x (k) sistemine Ax=0 denir temel karar sistemi bu sistem.
teorem 3. n bilinmeyenli ve r=rg A olan homojen bir Ax=0 sistemi verilsin.O zaman bu sistemin x (1) ,x (2) ,…,x (k) k=n-r çözümlerinden oluşan bir set var. temel çözümler sistemi.
Kanıt. Genelliği kaybetmeden, A matrisinin temel minörünün sol üst köşede olduğunu varsayabiliriz. Ardından, temel minör teoremine göre, A matrisinin kalan satırları, temel satırların doğrusal kombinasyonlarıdır. Bu, eğer x 1 ,x 2 ,…,x n değerleri ilk r denklemlerini sağlıyorsa, yani. temel minör satırlarına karşılık gelen denklemler), daha sonra diğer denklemleri de sağlarlar. Dolayısıyla (r + 1)'den başlayan tüm denklemler atılırsa sistemin çözüm kümesi değişmeyecektir. Sistemi alıyoruz:
x r +1, x r +2 ,…,x n serbest bilinmeyenlerini sağ tarafa taşıyalım ve temel olanları x 1 , x 2 ,…, x r sol tarafta bırakalım:
(16)
Çünkü bu durumda, tüm b ben = 0, daha sonra formüller yerine
c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a ben , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), şunu elde ederiz:
c j =-(c r +1 M j (a ben , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)
Serbest bilinmeyenler х r +1 ,х r +2 ,…,x n rasgele değerler verilirse, temel bilinmeyenlerle ilgili olarak, benzersiz bir çözümü olan tekil olmayan bir matrisli kare bir SLAE elde ederiz. Bu nedenle, homojen bir SLAE'nin herhangi bir çözümü, х r +1 ,х r +2 ,…,x n serbest bilinmeyenlerinin değerleri ile benzersiz bir şekilde belirlenir. Aşağıdaki k=n-r serbest bilinmeyen değerleri serisini göz önünde bulundurun:
1, =0, ….,=0,
1, =0, ….,=0, (17)
………………………………………………
1, =0, ….,=0,
(Seri numarası parantez içinde bir üst simge ile belirtilir ve değerler dizisi sütunlarda yazılır. Her dizide i=j ise =1 ve ij ise =0.
i-th serbest bilinmeyen değerleri serisi, benzersiz olarak temel bilinmeyenlerin değerlerine,,…, karşılık gelir. Serbest ve temel bilinmeyenlerin değerleri birlikte sisteme çözümler verir (17).
e i =,i=1,2,…,k (18) sütunlarının
temel bir çözüm sistemi oluşturur.
Çünkü bu sütunlar yapı olarak Ax=0 homojen sisteminin çözümleridir ve sayıları k'ye eşittir, o zaman çözümlerin lineer bağımsızlığını kanıtlamak için kalır (16). Çözümlerin lineer bir kombinasyonu olsun e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), sıfır sütuna eşit:
1 e 1 + 2 e 2 +…+ k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)
O halde bu eşitliğin sol tarafı, r+1,r+2,…,n sayılarına sahip bileşenleri sıfıra eşit olan bir sütundur. Ancak (r+1)inci bileşen 1 1+ 2 0+…+ k 0= 1'e eşittir. Benzer şekilde, (r+2)-th bileşeni 2 ,…'ye eşittir, k-th bileşeni k'ye eşittir. Bu nedenle 1 = 2 = …= k =0, bu, çözümlerin doğrusal bağımsızlığı anlamına gelir e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x(k)).
İnşa edilen temel çözümler sistemine (18) denir. normal. Formül (13) sayesinde, aşağıdaki forma sahiptir:
(20)
sonuç 2. İzin vermek e 1 , e 2 ,…, e k- homojen bir sistemin normal temel çözüm sistemi, daha sonra tüm çözümler kümesi aşağıdaki formülle tanımlanabilir:
x=c1 e 1 + 2'den e 2 +…+с k e k (21)
burada с 1 ,с 2 ,…,с k – keyfi değerler alır.
Kanıt. Teorem 2'ye göre, sütun (19), homojen Ax=0 sisteminin bir çözümüdür. Geriye bu sistemin herhangi bir çözümünün (17) biçiminde gösterilebileceğini kanıtlamak kalıyor. Bir sütun düşünün X=y r +1 e 1 +…+yn e k. Bu sütun r+1,…,n sayılarına sahip elemanlar açısından y sütunu ile örtüşür ve (16)'nın çözümüdür. Bu nedenle sütunlar X ve de maç, çünkü (16) sisteminin çözümleri, serbest bilinmeyenleri x r +1 ,…,x n ve sütunlarının değer kümesi tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. de ve X bu setler eşleşir. Buradan, de=X= y r +1 e 1 +…+yn e k, yani karar de sütunların doğrusal bir birleşimidir e 1 ,…,y n normal FSR. Ch.t.d.
Kanıtlanan iddia sadece normal FSR için değil, aynı zamanda homojen bir SLAE'nin keyfi bir FSR'si için de doğrudur.
X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - ortak karar lineer homojen denklem sistemleri
Х 1 ,Х 2 ,…,Х n - r herhangi bir temel çözüm sistemi olduğunda,
c 1 ,c 2 ,…,с n - r isteğe bağlı sayılardır.
Misal. (s. 78)
Homojen olmayan SLAE'nin çözümleri arasında bir bağlantı kuralım. 
(1) ve ilgili homojen SLAE 
(15)
teorem 4. Homojen olmayan bir sistemin (1) ve karşılık gelen homojen sistemin (15) herhangi bir çözümünün toplamı, sistem (1)'in bir çözümüdür.
Kanıt. c 1 ,…,c n sistem (1)'in bir çözümüyse ve d 1 ,…,d n sistem (15)'in bir çözümüyse, o zaman sistem (1)'in herhangi bir (örneğin, i-th) denklemine ikame edilir. bilinmeyen sayıların yerine c 1 +d 1 ,…,c n +d n , şunu elde ederiz:
B ben +0=b ben
teorem 5. Homojen olmayan sistemin (1) keyfi iki çözümünün farkı, homojen sistemin (15) çözümüdür.
Kanıt. Eğer c 1 ,…,cn ve c 1 ,…,cn sistem (1)'in çözümleri ise, o zaman bilinmeyen yerine sistem (1)'in herhangi bir denklemini (örneğin, i-th) yerine koymak sayılar c 1 -с 1 ,…,c n -с n , şunu elde ederiz:
B ben -b ben \u003d 0 h.t.d.
Kanıtlanmış teoremlerden, n değişkenli m doğrusal homojen denklem sisteminin genel çözümünün, karşılık gelen homojen doğrusal denklem sisteminin (15) genel çözümünün toplamına ve bunun keyfi sayıda özel çözümünün toplamına eşit olduğu izler. sistem (15).
X neod. =X Toplam 1 +X sık birden fazla (22)
Homojen olmayan bir sistemin özel bir çözümü olarak, c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M formüllerinde elde edilen çözümü almak doğaldır. j (a in)) j=1,2,…,r ((13) tüm sayıları sıfıra eşitle c r +1 ,…,c n , yani.
Х 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)
Bu özel çözümü genel çözüme ekleme X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r karşılık gelen homojen sistem, elde ederiz:
X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+С n - r X n - r (24)
İki değişkenli iki denklemli bir sistem düşünün:
katsayılarından en az birinin aij 0.
Çözmek için, ilk denklemi 22 ile ve ikincisini (-a 12) ile çarparak ve toplayarak x 2'yi hariç tutarız: İlk denklemi (-a 21) ve ikincisini 11 ile çarparak x 1'i ortadan kaldırırız. ve bunları ekleyerek: 
Parantez içindeki ifade - belirleyici
ifade eden 
,
, o zaman sistem şu biçimi alacaktır:, yani, sistemin benzersiz bir çözümü varsa:,.
Δ=0, a (veya) ise sistem tutarsızdır, çünkü formuna indirgenir Δ=Δ 1 =Δ 2 =0 ise, sistem belirsizdir, çünkü aklıma getirildi
Homojen bir sistem her zaman tutarlıdır ve önemsiz bir çözümü vardır. 
. Önemsiz bir çözümün var olması için matrisin rankının olması gerekir. 
bilinmeyenlerin sayısından daha azdı:
.
Temel karar sistemi
homojen sistem 
çözüm sistemini sütun vektörleri şeklinde çağırın 
kanonik temele karşılık gelen, yani. keyfi sabitlerin olduğu temel 
dönüşümlü olarak bire eşit olarak ayarlanırken geri kalanı sıfıra ayarlanır.
O halde homojen sistemin genel çözümü şu şekildedir:
nerede 
keyfi sabitlerdir. Başka bir deyişle, genel çözüm, temel çözüm sisteminin doğrusal bir birleşimidir.
Böylece, serbest bilinmeyenlere dönüşümlü olarak birlik değeri verilirse, diğerlerinin sıfıra eşit olduğu varsayılarak temel çözümler genel çözümden elde edilebilir.
Misal. Sisteme bir çözüm bulalım.
Kabul ediyoruz, ardından çözümü şu şekilde alıyoruz:
Şimdi temel bir çözüm sistemi oluşturalım:
.
Genel çözüm şu şekilde yazılabilir:
Homojen lineer denklem sisteminin çözümleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:
Başka bir deyişle, homojen bir sistem için çözümlerin herhangi bir lineer kombinasyonu yine bir çözümdür.
Gauss yöntemiyle lineer denklem sistemlerinin çözümü
Doğrusal denklem sistemlerini çözmek, birkaç yüzyıl boyunca matematikçilerin ilgisini çekmiştir. İlk sonuçlar XVIII yüzyılda elde edildi. 1750'de G. Kramer (1704-1752) kare matrislerin belirleyicileri üzerine çalışmalarını yayınladı ve ters matrisi bulmak için bir algoritma önerdi. 1809'da Gauss, eleme yöntemi olarak bilinen yeni bir çözüm yöntemini özetledi.
Gauss yöntemi veya bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi, temel dönüşümlerin yardımıyla denklem sisteminin kademeli (veya üçgen) bir formun eşdeğer bir sistemine indirgenmesi gerçeğinden oluşur. Bu tür sistemler, tüm bilinmeyenleri belirli bir sırayla tutarlı bir şekilde bulmanızı sağlar.
Diyelim ki sistem (1) 
(ki bu her zaman mümkündür).
(1)
İlk denklemi sırasıyla sözde ile çarpmak uygun sayılar
ve çarpma sonucunu sistemin karşılık gelen denklemleriyle ekleyerek, birincisi hariç tüm denklemlerin bilinmeyen olmayacağı eşdeğer bir sistem elde ederiz. X 1
(2)
Şimdi, sistemin (2) ikinci denklemini uygun sayılarla çarpıyoruz. 
,
ve alttakilere ekleyerek değişkeni ortadan kaldırıyoruz. 
tüm denklemlerin, üçüncü ile başlayan.
Bu işleme devam edildikten sonra 
aldığımız adımlar:
(3)
sayılardan en az biri ise 
sıfıra eşit değilse, karşılık gelen eşitlik tutarsızdır ve sistem (1) tutarsızdır. Tersine, herhangi bir ortak sayı sistemi için 
sıfıra eşittir. Sayı 
sistem matrisinin (1) rankından başka bir şey değildir.
Sistem (1)'den (3)'e geçiş denir Düz bir çizgide Gauss yöntemi ve (3)'ten bilinmeyenleri bulma - geriye doğru .
Yorum : Dönüşümleri denklemlerin kendileriyle değil, sistemin genişletilmiş matrisi (1) ile yapmak daha uygundur.
Misal. Sisteme bir çözüm bulalım.
.
Sistemin artırılmış matrisini yazalım:
.
Sırasıyla (-2), (-3), (-2) ile çarpılarak 2,3,4 satırlarına ilkini ekleyelim:
.
2. ve 3. satırları değiştirelim, sonra ortaya çıkan matriste 2. satırı 4. satıra ekleyerek çarpalım. 
:
.
4. satıra ekle 3. satır çarpımı 
:
.
bariz ki 
, dolayısıyla sistem uyumludur. Elde edilen denklem sisteminden
çözümü ters ikame ile buluruz:
,
,
,
.
Örnek 2 Sistem çözümünü bulun:
.
Sistemin tutarsız olduğu açıktır, çünkü 
, a 
.
Gauss yönteminin avantajları :
Cramer yönteminden daha az zaman alır.
Açıkça sistemin uyumluluğunu kurar ve bir çözüm bulmanızı sağlar.
Herhangi bir matrisin sıralamasını belirleme yeteneği verir.
Lineer denklemlerin homojen sistemi AX = 0 her zaman birlikte. Önemsiz (sıfır olmayan) çözümlere sahiptir, eğer r= rütbe A< n .
Homojen sistemler için, temel değişkenler (taban minörünü oluşturan katsayılar), şu şekildeki ilişkilerle serbest değişkenler cinsinden ifade edilir:
Sonra n - r lineer bağımsız vektör çözümleri şöyle olacaktır:
ve diğer herhangi bir çözüm onların lineer kombinasyonudur. karar-vektör 
normalleştirilmiş bir temel sistem oluşturur.
Doğrusal bir uzayda, homojen bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi, bir boyut alt uzayı oluşturur. n - r; 
bu alt uzayın temelidir.
sistem m lineer denklemler n Bilinmeyen(veya, lineer sistem
 |
Burada x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, amn- sistem katsayıları - ve b 1 , b 2 , … ben aijben) ve bilinmeyen ( j
Sistem (1) denir homojenb 1 = b 2 = … = ben= 0), aksi takdirde - heterojen.
Sistem (1) denir Meydan eğer numara m denklemler sayıya eşittir n Bilinmeyen.
Karar sistemler (1) - set n sayılar c 1 , c 2 , …, cn, öyle ki her birinin ikamesi ben yerine x ben sisteme (1) tüm denklemlerini özdeşliğe dönüştürür.
Sistem (1) denir eklem yeri uyumsuz
Çözümler c 1 (1) , c 2 (1) , …, cn(1) ve c 1 (2) , c 2 (2) , …, cn çeşitli
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, cn (1) = cn (2) . |
kesin belirsiz. Bilinmeyenden fazla denklem varsa buna denir. yeniden tanımlanmış.
Lineer denklem sistemlerini çözme
Matris Denklemlerini Çözme ~ Gauss Yöntemi
Doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemleri iki gruba ayrılır:
1. kesin yöntemler Bir sistemin köklerini hesaplamak için sonlu algoritmalar olan (ters matris kullanarak sistemleri çözme, Cramer kuralı, Gauss yöntemi, vb.),
2. yinelemeli yöntemler yakınsak yinelemeli işlemler (yineleme yöntemi, Seidel yöntemi, vb.) aracılığıyla belirli bir doğrulukta sistem çözümünü elde etmeyi mümkün kılan .
Kaçınılmaz yuvarlama nedeniyle, kesin yöntemlerin sonuçları bile yaklaşıktır. Yinelemeli yöntemler kullanılırken ayrıca yöntemin hatası eklenir.
Yinelemeli yöntemlerin etkili bir şekilde uygulanması, esasen, ilk yaklaşımın iyi bir seçimine ve sürecin yakınsama hızına bağlıdır.
matris denklemlerinin çözümü
Sistemi düşünün n lineer cebirsel denklemler n Bilinmeyen X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matris ANCAK Sütunları karşılık gelen bilinmeyenlerin katsayıları ve satırları karşılık gelen denklemdeki bilinmeyenlerin katsayıları olan , denir. sistem matrisi; sütun matrisi b Elemanları sistemin denklemlerinin sağ tarafları olan , denir sağ taraf matrisi ya da sadece sistemin sağ tarafı. sütun matrisi X Elemanları bilinmeyen bilinmeyenlere denir sistem çözümü.
matris ise ANCAK- tekil olmayan, yani det Bir e 0'a eşittir, o zaman sistem (13) veya eşdeğer matris denklemi (14), benzersiz bir çözüme sahiptir.
Nitekim, det koşulu altında A eşit değil 0 ters matris var ANCAK-1 . Denklemin (14) her iki tarafını matrisle çarpma ANCAK-1 elde ederiz:
| (16) |
Formül (16), denklem (14)'ün bir çözümünü verir ve benzersizdir.
Fonksiyonu kullanarak lineer denklem sistemlerini çözmek uygundur. çözmek.
çöz( bir, b)
Karar vektörü döndürülür xöyle ki ey= b.
Argümanlar:
ANCAK kare, tekil olmayan bir matristir.
b matristeki satır sayısı kadar satırı olan bir vektördür. ANCAK .
Şekil 8, üç bilinmeyenli üç lineer denklem sisteminin çözümünü göstermektedir.
Gauss yöntemi
Gauss eleme yöntemi olarak da adlandırılan Gauss yöntemi, sistemin (13) bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılmasıyla üçgen matrisli eşdeğer bir sisteme indirgenmesi gerçeğinden oluşur:
Matris notasyonunda bu, satırlar üzerindeki ilk (Gauss yönteminin doğrudan seyri) temel işlemlerin sistemin artırılmış matrisini bir adım formuna getirdiği anlamına gelir:
ve sonra (Gauss yönteminin tersi) bu adım matrisi dönüştürülür, böylece birincide n sütunların bir kimlik matrisi olduğu ortaya çıktı:
.
Geçen, ( n+ 1) bu matrisin sütunu (13) sisteminin çözümünü içerir.
Mathcad'de Gauss yönteminin ileri ve geri hareketleri fonksiyon tarafından gerçekleştirilir. referans(A).
Şekil 9, aşağıdaki fonksiyonları kullanan Gauss yöntemini kullanan bir lineer denklem sisteminin çözümünü göstermektedir:
ref( A)
Matrisin adım formunu döndürür ANCAK.
artırmak A, AT)
Konum tarafından oluşturulan bir dizi döndürür A ve AT yan yana. diziler A ve AT aynı sayıda satıra sahip olmalıdır.
alt matris( A, ir, jr, ic, jc)
Tüm öğelerden oluşan bir alt matris döndürülür. irüzerinde jr ve sütunlar ile icüzerinde jc. Emin olun ir jr ve
ic jc, aksi takdirde satırların ve/veya sütunların sırası tersine çevrilir.
Şekil 9
Yöntemin açıklaması
n bilinmeyenli n lineer denklem sistemi için (rasgele bir alan üzerinde)
sıfırdan farklı sistem matrisi determinantı Δ ile, çözüm şu şekilde yazılır:
(sistem matrisinin i-inci sütunu, serbest terimler sütunu ile değiştirilir).
Başka bir biçimde, Cramer kuralı şu şekilde formüle edilir: herhangi bir c1, c2, ..., cn katsayıları için eşitlik doğrudur:
Bu formda, Cramer'in formülü, Δ'nin sıfırdan farklı olduğu varsayımı olmaksızın geçerlidir, sistemin katsayılarının bir integral halkanın elemanları olması bile gerekli değildir (sistemin determinantı halkada bir sıfır bölen bile olabilir). katsayılar). Ayrıca b1,b2,...,bn ve x1,x2,...,xn kümelerinin veya c1,c2,...,cn kümelerinin katsayı halkasının öğelerinden oluşmadığını varsayabiliriz. sistemin, ancak bu halkanın üzerindeki bazı modüllerin. Bu formda, Cramer formülü, örneğin, Gram'ın determinantı ve Nakayama'nın Lemması formülünün kanıtlanmasında kullanılır.
| 35) Kronecker-Capelli teoremi |
n bilinmeyenli m homojen olmayan lineer denklem sisteminin tutarlı olması için gerekli ve yeterlidir. (1.13) sistemi tutarlı olsun, yani böyle sayılar var X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n \u003d α n, ne  (1.15) Genişletilmiş matrisin son sütunundan, ilk sütununun α 1 ile çarpımını, ikincisini - α 2 , …, n'yi - α n ile çarpın, yani matrisin son sütunundan çıkarın (1.14) eşitliklerin sol kısımları çıkarılmalıdır ( 1.15). Sonra matrisi elde ederiz.  temel dönüşümlerin bir sonucu olarak sıralaması değişmeyen ve . Ama apaçıktır ve dolayısıyla yeterliliğin kanıtıdır. Kesinlik için, matrisin sol üst köşesinde yer alan sıfırdan farklı r mertebesinde bir minör olsun:  Bu, matrisin kalan satırlarının ilk r satırının doğrusal kombinasyonları olarak elde edilebileceği anlamına gelir, yani matrisin m-r satırları, bazı sayılarla çarpılan ilk r satırın toplamları olarak temsil edilebilir. Ama sonra sistemin (1.13) ilk r denklemleri bağımsızdır ve geri kalanı sonuçlarıdır, yani ilk r denklemlerinin sisteminin çözümü otomatik olarak kalan denklemlerin çözümüdür. İki durum mümkündür. 1. r=n. O zaman ilk r denklemlerinden oluşan sistem aynı sayıda denkleme ve bilinmeyene sahiptir ve tutarlıdır ve çözümü benzersizdir. 2.r |
36) us-e kesinlik, belirsizlik
sistem m lineer denklemler n Bilinmeyen(veya, lineer sistem) lineer cebirde formun bir denklem sistemidir
 |
Burada x 1 , x 2 , …, x n belirlenecek bilinmeyenlerdir. a 11 , a 12 , …, amn- sistem katsayıları - ve b 1 , b 2 , … ben- ücretsiz üyeler - bilindiği varsayılır. Katsayı endeksleri ( aij) sistemler denklemin numaralarını gösterir ( ben) ve bilinmeyen ( j), bu katsayının sırasıyla olduğu.
Sistem (1) denir homojen tüm serbest terimleri sıfıra eşitse ( b 1 = b 2 = … = ben= 0), aksi takdirde - heterojen.
Sistem (1) denir eklem yeri en az bir çözümü varsa ve uyumsuzçözümü yoksa.
(1) biçimindeki bir ortak sistem, bir veya daha fazla çözüme sahip olabilir.
Çözümler c 1 (1) , c 2 (1) , …, cn(1) ve c 1 (2) , c 2 (2) , …, cn(2) biçimindeki birleşik sistemlere (1) denir çeşitli eşitliklerden en az biri ihlal edilirse:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, cn (1) = cn (2) . |
(1) şeklindeki bir ortak sistem denir kesin benzersiz bir çözümü varsa; en az iki farklı çözümü varsa buna denir. belirsiz
37) Gauss yöntemiyle lineer denklem sistemlerini çözme
Orijinal sistem böyle görünsün
Matris A sistemin ana matrisi denir, b- ücretsiz üyeler sütunu.
Daha sonra, satırlar üzerindeki elemanter dönüşümlerin özelliğine göre, bu sistemin ana matrisi kademeli bir forma indirgenebilir (aynı dönüşümler serbest üyeler sütununa uygulanmalıdır):
Sonra değişkenler çağrılır ana değişkenler. Diğerlerinin hepsi denir Bedava.
[değiştir] Tutarlılık koşulu
Herkes için yukarıdaki koşul, uyumluluk için gerekli ve yeterli bir koşul olarak formüle edilebilir:
Bir eklem sisteminin sırasının, ana matrisinin (veya eşit oldukları için genişletilmiş) sırası olduğunu hatırlayın.
algoritma
Tanım
SLAE'yi Gauss yöntemiyle çözme algoritması iki aşamaya ayrılmıştır.
§ İlk aşamada, satırlar üzerinde elemanter dönüşümler yoluyla sistem bir adım veya üçgen forma getirildiğinde veya sistemin tutarsız olduğu belirlendiğinde, sözde doğrudan hareket gerçekleştirilir. Yani, matrisin ilk sütununun elemanları arasından sıfır olmayan bir tane seçilir, satırlar değiştirilerek en üst konuma taşınır ve permütasyondan sonra elde edilen ilk satır, kalan satırlardan çıkarılarak çarpılır. bu satırların her birinin ilk elemanının ilk satırın ilk elemanına oranına eşit bir değer ile, böylece altındaki sütun sıfırlanır. Belirtilen dönüşümler yapıldıktan sonra, ilk satır ve ilk sütun zihinsel olarak çizilir ve sıfır boyutlu bir matris kalana kadar devam edilir. İlk sütunun öğeleri arasındaki yinelemelerin bazılarında sıfır olmayan bir tane bulunamadıysa, bir sonraki sütuna gidin ve benzer bir işlem yapın.
§ İkinci aşamada, özü, ortaya çıkan tüm temel değişkenleri temel olmayanlar cinsinden ifade etmek ve temel bir çözüm sistemi oluşturmak olan veya tüm değişkenler temel ise, sözde ters hareket gerçekleştirilir. , daha sonra lineer denklem sisteminin tek çözümünü sayısal olarak ifade edin. Bu prosedür, karşılık gelen temel değişkenin ifade edildiği (ve orada sadece bir tane vardır) ve önceki denklemlere ikame edildiği son denklemle başlar ve “adımlara” çıkarak devam eder. Her satır tam olarak bir temel değişkene karşılık gelir, bu nedenle son (en üstteki) hariç her adımda durum son satırın durumunu tam olarak tekrarlar.
Gauss yöntemi sipariş gerektirir Ö(n 3) eylemler.
Bu yöntem şunlara dayanır:
38)Kronecker-Capelli teoremi.
Bir sistem, ancak ve ancak ana matrisinin sırası, genişletilmiş matrisinin sırasına eşitse tutarlıdır.
ne olduğunu anlamak için temel karar sistemi aynı örneğin eğitim videosunu tıklayarak izleyebilirsiniz. Şimdi gerekli tüm çalışmaların açıklamasına geçelim. Bu, bu sorunun özünü daha ayrıntılı olarak anlamanıza yardımcı olacaktır.
Doğrusal bir denklemin temel çözüm sistemi nasıl bulunur?
Örneğin aşağıdaki lineer denklem sistemini alın:
Bu lineer denklem sistemine bir çözüm bulalım. Başlamak için, biz sistemin katsayı matrisini yazınız.
Bu matrisi üçgene çevirelim.İlk satırı değiştirmeden yeniden yazıyoruz. Ve $a_(11)$ altındaki tüm elemanlar sıfır yapılmalıdır. $a_(21)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için, ilk satırı ikinci satırdan çıkarmanız ve farkı ikinci satıra yazmanız gerekir. $a_(31)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için, üçüncü satırdan birinciyi çıkarmanız ve farkı üçüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(41)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için, dördüncü satırdan ilk çarpı 2'yi çıkarmanız ve farkı dördüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(31)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için, ilk çarpı 2'yi beşinci satırdan çıkarın ve farkı beşinci satıra yazın. 
Birinci ve ikinci satırları değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz. Ve $a_(22)$ altındaki tüm elemanlar sıfır yapılmalıdır. $a_(32)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için, üçüncü satırdan ikinci çarpı 2'yi çıkarmak ve farkı üçüncü satıra yazmak gerekir. $a_(42)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için, dördüncü satırdan ikinci çarpı 2'yi çıkarmak ve farkı dördüncü satıra yazmak gerekir. $a_(52)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için, ikinci çarpı 3'ü beşinci satırdan çıkarın ve farkı beşinci satıra yazın. 
bunu görüyoruz son üç satır aynı, yani dördüncü ve beşinciden üçüncüyü çıkarırsanız, o zaman sıfır olurlar. 
Bu matris için yeni bir denklem sistemi yaz.
Yalnızca üç lineer bağımsız denklemimiz ve beş bilinmeyenimiz olduğunu görüyoruz, bu nedenle temel çözüm sistemi iki vektörden oluşacak. yani biz son iki bilinmeyeni sağa kaydır.
Şimdi sol taraftaki bilinmeyenleri sağ taraftakiler üzerinden ifade etmeye başlıyoruz. Son denklemle başlıyoruz, önce $x_3$'ı ifade ediyoruz, sonra elde edilen sonucu ikinci denklemde yerine koyuyoruz ve $x_2$'ı ifade ediyoruz ve sonra ilk denklemde ve burada $x_1$ ifade ediyoruz. Böylece sol taraftaki tüm bilinmeyenleri sağ taraftaki bilinmeyenler üzerinden ifade ettik. 
Bundan sonra, $x_4$ ve $x_5$ yerine herhangi bir sayıyı değiştirebilir ve $x_1$, $x_2$ ve $x_3$'ı bulabilirsiniz. Bu beş sayının her biri, orijinal denklem sistemimizin kökleri olacaktır. İçerdiği vektörleri bulmak için FSR$x_4$ yerine 1'i koymamız ve $x_5$ yerine 0'ı koymamız, $x_1$, $x_2$ ve $x_3$'ı bulmamız ve sonra tam tersi $x_4=0$ ve $x_5=1$'ı bulmamız gerekiyor.
Yükleniyor...