Bilim ve eğitimin modern sorunları. Boyuna ve enine dalgalar Boyuna titreşimler
TANIM
boyuna dalga- bu, yayılma sırasında ortamın parçacıklarının yer değiştirmesinin dalga yayılımı yönünde meydana geldiği bir dalgadır (Şekil 1, a).
Boyuna bir dalganın oluşmasının nedeni sıkıştırma / uzamadır, yani. bir ortamın hacmindeki değişime karşı gösterdiği direnç. Sıvılarda veya gazlarda, bu tür deformasyona ortamdaki parçacıkların seyrekleşmesi veya sıkışması eşlik eder. Boyuna dalgalar herhangi bir ortamda yayılabilir - katı, sıvı ve gaz.
Boyuna dalgaların örnekleri, elastik bir çubuktaki dalgalar veya gazlardaki ses dalgalarıdır.
enine dalgalar
TANIM
enine dalga- bu, yayılması sırasında ortamın parçacıklarının yer değiştirmesinin dalganın yayılmasına dik yönde meydana geldiği bir dalgadır (Şekil 1b).
Enine dalganın nedeni, ortamın bir katmanının diğerine göre kayma deformasyonudur. Bir ortamda enine bir dalga yayıldığında, sırtlar ve oluklar oluşur. Sıvılar ve gazlar, katılardan farklı olarak tabaka kaymasına göre esnekliğe sahip değildir, yani. şekil değişikliğine direnmeyin. Bu nedenle, enine dalgalar yalnızca katılarda yayılabilir.
Enine dalgaların örnekleri, gerilmiş bir ip veya bir ip boyunca hareket eden dalgalardır.
Bir sıvının yüzeyindeki dalgalar ne boyuna ne de eninedir. Suyun yüzeyine bir şamandıra atarsanız, dalgalar üzerinde dairesel bir şekilde sallanarak hareket ettiğini görebilirsiniz. Bu nedenle, sıvı yüzeyindeki bir dalganın hem enine hem de boyuna bileşenleri vardır. Bir sıvının yüzeyinde, özel tipte dalgalar da meydana gelebilir - sözde yüzey dalgaları. Yüzey geriliminin etkisi ve kuvvetinin bir sonucu olarak ortaya çıkarlar.
Problem çözme örnekleri
ÖRNEK 1
| Egzersiz yapmak | Zamanın bir noktasındaki şamandıra şekilde gösterilen hız yönüne sahipse, enine dalganın yayılma yönünü belirleyin. |
| Karar | Bir çizim yapalım. Belirli bir zaman aralığından sonra şamandıranın yakınındaki dalganın yüzeyini çizelim, bu süre zarfında şamandıranın aşağı doğru yönlendirildiği için aşağı indiğini göz önünde bulundurarak. Sağa ve sola doğru devam ederek, dalganın zamandaki konumunu gösteriyoruz. Zamanın ilk anında (düz çizgi) ve zaman anında (kesik çizgi) dalganın konumunu karşılaştırarak, dalganın sola yayıldığı sonucuna varırız. |
Çubuğun altında П=0х[О, /] silindirini kastediyoruz, ne zaman İ"çapD. Burada D- Ox 2 x 3 koordinat düzlemindeki alan (Şek. 62). Çubuk malzemesi homojen ve izotropiktir ve Öküz ekseni bölümün ağırlık merkezinden geçer. D. Dış cisim kuvvetlerinin alanı f(r, İ)\u003d / (X |, /) e, burada e, Öküz ekseninin birim vektörüdür. Silindirin yan yüzeyindeki dış yüzey kuvvetleri sıfıra eşit olsun, yani. Ra= 0 açık dd X
Sonra (4.8)'den şu şekilde gelir: 1=0 eşitlik
Kendi formları x k(j) fonksiyonun ait olduğu /^() uzayının normunu kullanarak normalize etmek uygundur v(ler, ben),çünkü zamanın her anında vardır ve kinetik enerji fonksiyoneli ile sınırlıdır.
nerede S- bölgenin alanı D. Sahibiz
X*(s) = Jj- sin^-l hızları uzayında R 0 = ji)(s, /): vs,t)e
Sonuç olarak, bir ortonormal taban |l r *(^)| elde ederiz. ,
nerede b'den „ye- Kronecker sembolü: Fonksiyonlar X k *(ler), k= 1,2, doğal salınımların normal biçimleridir ve u*, k= 1, 2, ..., - sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip sistemin doğal salınım frekansları.
Sonuç olarak, u(s, /) fonksiyonunun H, = sisteminin konfigürasyon uzayına ait olduğunu not ediyoruz. (v(s, t): v(s, t)) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) \u003d 0) burada U ^ "OO, /]) segmentteki birinci türevlerin kareleriyle birlikte toplanan Sobolev fonksiyonların uzayıdır. elastik deformasyonların
ve ele alınan problemin genelleştirilmiş çözümlerini içerir.
Uzunlamasına dalgalar
tanım 1
Yayılma yönünde salınımların meydana geldiği bir dalga. Boyuna dalgaya örnek olarak ses dalgası verilebilir.
Şekil 1. Boyuna dalga
Mekanik boyuna dalgalar, bir ortamda hareket ederken sıkıştırma ürettikleri için sıkıştırma veya sıkıştırma dalgaları olarak da adlandırılır. Enine mekanik dalgalara "T-dalgaları" veya "kesme dalgaları" da denir.
Boyuna dalgalar, akustik dalgaları (elastik bir ortamda yayılan parçacıkların hızı) ve sismik P dalgalarını (depremler ve patlamalar sonucunda oluşan) içerir. Boyuna dalgalarda, ortamın yer değiştirmesi dalga yayılma yönüne paraleldir.
ses dalgaları
Boyuna harmonik ses dalgaları durumunda, frekans ve dalga boyu aşağıdaki formülle tanımlanabilir:
$y_0-$ salınım genliği;\textit()
$\omega -$ dalga açısal frekansı;
$c-$ dalga hızı.
Dalganın olağan frekansı $\left((\rm f)\right)$ şu şekilde verilir:
Sesin yayılma hızı, yayıldığı ortamın türüne, sıcaklığına ve bileşimine bağlıdır.
Elastik bir ortamda, harmonik boyuna dalga eksen boyunca pozitif yönde hareket eder.
enine dalgalar
tanım 2
enine dalga- ortamın titreşimlerinin moleküllerinin yönünün yayılma yönüne dik olduğu bir dalga. Enine dalgalara bir örnek, bir elektromanyetik dalgadır.
Şekil 2. Boyuna ve enine dalgalar
Bir havuzdaki dalgalanmaları ve bir ipteki dalgaları enine dalgalar olarak hayal etmek kolaydır.
Şekil 3. Işık dalgaları enine dalgaya örnektir.
Kayma dalgaları, yayılma yönüne dik olarak salınan dalgalardır. Dalga hareketlerinin meydana gelebileceği iki bağımsız yön vardır.
tanım 3
2B kayma dalgaları, adı verilen bir fenomen sergiler. polarizasyon.
Elektromanyetik dalgalar, görülmesi biraz daha zor olsa da aynı şekilde davranır. Elektromanyetik dalgalar aynı zamanda iki boyutlu enine dalgalardır.
örnek 1
Şekilde gösterilen dalga için düzlem sönümsüz dalga denkleminin $(\rm y=Acos)\left(\omega t-\frac(2\pi )(\lambda )\right)x+(\varphi )_0$ olduğunu kanıtlayın. , $(\rm y=Asin)\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x$ olarak yazılabilir. Bunu, $\frac(\lambda)(4)$'a eşit olan $\ \ x$ koordinatının değerlerini değiştirerek doğrulayın; $\frac(\lambda)(2)$; $\frac(0.75)(\lambda)$.
Şekil 4
Düzlem sönümsüz dalga için $y\left(x\right)$ denklemi $t$'a bağlı değildir, bu da $t$ süresinin keyfi olarak seçilebileceği anlamına gelir. $t$ zamanını öyle seçiyoruz ki
\[\omega t=\frac(3)(2)\pi -(\varphi )_0\] \
Bu değeri denklemde yerine koyun:
\ \[=Acos\left(2\pi -\frac(\pi )(2)-\left(\frac(2\pi )(\lambda )\sağ)x\sağ)=Acos\sol(2\ pi -\left(\left(\frac(2\pi )(\lambda )\sağ)x+\frac(\pi )(2)\sağ)\sağ)=\] \[=Acos\left(\left (\frac(2\pi )(\lambda )\sağ)x+\frac(\pi )(2)\sağ)=Asin\sol(\frac(2\pi )(\lambda )\sağ)x\] \ \ \[(\mathbf x)(\mathbf =)\frac((\mathbf 3))((\mathbf 4))(\mathbf \lambda )(\mathbf =)(\mathbf 18),(\mathbf 75)(\mathbf \ cm,\ \ \ )(\mathbf y)(\mathbf =\ )(\mathbf 0),(\mathbf 2)(\cdot)(\mathbf günah)\frac((\mathbf 3 ))((\mathbf 2))(\mathbf \pi )(\mathbf =-)(\mathbf 0),(\mathbf 2)\]
Cevap: $Asin\left(\frac(2\pi )(\lambda )\sağ)x$
Dağıtılmış parametrelere sahip sistemlerin serbest salınımları
Sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip sistemlerin serbest salınım sürecinin ana özelliği, doğal frekansların ve salınım modlarının sayısının sonsuzluğunda ifade edilir. Bu aynı zamanda matematiksel bir doğanın özellikleriyle de ilgilidir: Sonlu sayıda serbestlik derecesine sahip sistemlerin salınımlarını tanımlayan adi diferansiyel denklemler yerine, burada kısmi diferansiyel denklemlerle uğraşmak gerekir. İlk yer değiştirmeleri ve hızları belirleyen başlangıç koşullarına ek olarak, sistemin sabitlenmesini karakterize eden sınır koşullarını da hesaba katmak gerekir.
6.1. Çubukların boyuna titreşimleri
Doğrusal bir çubuğun boyuna titreşimlerini analiz ederken (Şekil 67, a), enine kesitlerin düz kaldığını ve çubuk parçacıklarının enine hareketler yapmadığını, sadece boyuna yönde hareket ettiğini varsayacağız.
İzin vermek sen - titreşimler sırasında çubuğun mevcut bölümünün uzunlamasına yer değiştirmesi; bu yer değiştirme bölümün konumuna (x koordinatları) ve t zamanına bağlıdır. Yani iki değişkenli bir fonksiyon var; onun tanımı ana görevdir. Sonsuz derecede yakın bir bölümün hareketi eşittir, bu nedenle, sonsuz küçük bir elemanın mutlak uzaması (Şekil 67, b) ve bağıl uzaması .
Buna göre, koordinatlı kesitteki boyuna kuvvet Xşeklinde yazılabilir
,(173)
çubuğun çekme (basınç) sertliği nerede. N kuvveti aynı zamanda iki argümanın bir fonksiyonudur - koordinatlar X ve zaman t.
İki sonsuz yakın bölüm arasında bulunan bir çubuk elemanı düşünün (Şekil 67, c). Elemanın sol tarafına bir N kuvveti ve sağ tarafına bir kuvvet uygulanır. Çubuğun malzemesinin yoğunluğu ile gösterilirse, söz konusu elemanın kütlesi . Bu nedenle, eksen üzerine izdüşümdeki hareket denklemi X
,
Düşünme(173) ve varsayma A= const, elde ederiz
Fourier yöntemini takip ederek, diferansiyel denklemin (175) şeklinde özel bir çözümünü arıyoruz.
,(177)
onlar. hareketli olduğunu varsayalım sen biri yalnızca argümana bağlı olan iki işlevin bir ürünü olarak temsil edilebilir. X ve diğeri yalnızca t bağımsız değişkeninden. O halde, iki değişkenli u (x , t ) bir fonksiyon tanımlamak yerine, her biri sadece bir değişkene bağlı olan iki X(x ) ve T(t ) fonksiyonunu tanımlamak gerekir.
(177)'yi (174) yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
asalların, aşağıdakilere göre farklılaşma işlemini gösterdiği yerde x, ve üzerinde noktalar t. Bu denklemi şu şekilde yeniden yazalım:
Burada sol taraf yalnızca x'e, sağ taraf ise yalnızca t'ye bağlıdır. Bu eşitliğin aynı şekilde yerine getirilmesi için (herhangi bir x ve t ) parçalarının her birinin bir sabite eşit olması gerekir, bunu şu şekilde ifade ederiz:
; .(178)
Bundan iki denklem çıkar:
;
.(179)
İlk denklemin bir çözümü var:
,(180)
bir salınım karakterini belirtir ve (180)'dan bilinmeyen miktarın serbest salınımların frekansı anlamına geldiği açıktır.
Denklemlerin (179) ikincisinin bir çözümü vardır:
,(181)
Titreşim biçiminin belirlenmesi.
,'nin değerini belirleyen frekans denklemi, sınır koşulları kullanılarak derlenir. Bu denklem her zaman aşkındır ve sonsuz sayıda kökü vardır. Böylece, doğal frekansların sayısı sonsuzdur ve her bir frekans değeri, bağımlılık (180) tarafından belirlenen kendi işlevine (Tn(t) ve bağımlılık tarafından belirlenen kendi işlevine (Xn(x)) tekabül eder (181). Çözüm (177) sadece kısmidir ve hareketin tam bir tanımını vermez. Tam çözüm, tüm özel çözümlerin üst üste bindirilmesiyle elde edilir:
.
X n (x ) fonksiyonlarına denir kendi işlevleri görevleri ve kendi salınım modlarını tanımlar. Başlangıç koşullarına bağlı değildirler ve A=const için forma sahip olan ortogonallik koşulunu sağlarlar.
, Eğer .
Sınır koşullarının bazı türevlerini ele alalım.
Sabit çubuk ucu(Şek. 68, a). Son bölümde, yer değiştirme u sıfıra eşit olmalıdır; bu nedenle bu bölümde
X=0(182)
Serbest çubuk ucu(Şek. 68b). Son bölümde, boyuna kuvvet
(183)
aynı şekilde sıfıra eşit olmalıdır, ki bu, uç kısımda X"=0 ise mümkündür.
esnek bir şekilde sabitlenmiş çubuk ucu(Şek. 68, c).
hareket ederken sen uç çubuğun, desteğin elastik bir reaksiyonu meydana gelir 
, nerede C hakkında - desteğin sertliği. Boyuna kuvvet için (183) dikkate alındığında, sınır koşulunu elde ederiz.
destek çubuğun sol ucunda bulunuyorsa (Şekil 68, c) ve
destek çubuğun sağ ucunda bulunuyorsa (Şek. 68, d).
Çubuğun sonunda konsantre kütle.
Kütle tarafından geliştirilen eylemsizlik kuvveti:
.
Denklemlerin (179) birincisine göre, atalet kuvveti olarak yazılabilir. sınır koşulunu elde ederiz.
,
kütle sol uçtaysa (Şekil 68, e) ve
, (184)
kütle sağ uca bağlıysa (Şek. 68, f).
Konsol çubuğunun doğal frekanslarını belirleyelim (Şekil 68, a").
(182) ve (183)'e göre, sınır koşulları
x=0'da X=0;
X"=0 olduğunda x= .
Bu koşulları birer birer çözüm (181) haline getirerek,
Koşul C0 frekans denklemine yol açar:
Bu denklemin kökleri
(n=1,2,…)
doğal frekansları belirleyin:
(n=1,2,…).(185)
n=1'de ilk (en düşük) frekans:
.
İkinci frekans (n=2 olduğunda):
Sonunda kütlesi olan çubuğun doğal frekanslarını belirleyelim (Şek. 68, f).
(182) ve (184)'e göre,
x=0'da X=0;
x='de.
Bu koşulları çözüm (181) ile değiştirerek şunu elde ederiz:
D=0; 
.
Sonuç olarak, (176) dikkate alınarak frekans denklemi şu şekildedir:
.
Burada sağ taraf, çubuğun kütlesinin uç yükün kütlesine oranıdır.
Ortaya çıkan aşkın denklemi çözmek için bazı yaklaşık yöntemler kullanmak gerekir.
For ve en önemli en düşük kökün değerleri sırasıyla 0.32 ve 0.65 olacaktır.
Küçük bir oranda, yükün belirleyici bir etkisi vardır ve yaklaşık bir çözümle iyi sonuçlar elde edilir.
.
Değişken kesitli çubuklar için, ör. Аconst'ta (173) ve (174)'den hareket denklemi şu şekilde elde edilir
.
Bu diferansiyel denklem kapalı biçimde çözülemez. Bu nedenle, bu gibi durumlarda, doğal frekansları belirlemek için yaklaşık yöntemlere başvurmak gerekir.
6.2. Millerin burulma titreşimleri
Sürekli olarak dağıtılmış bir kütleye sahip şaftın burulma titreşimleri (Şekil 69, a), yukarıda verilen çubukların boyuna titreşim denklemleriyle yapıda tamamen çakışan denklemlerle tanımlanır.
Apsisli kesitte tork M X(173)'e benzer bir diferansiyel bağımlılıkla dönme açısı ile ilgilidir:
nerede Jp kesitin polar atalet momentidir.
Uzak bir bölümde dx, tork (Şekil 69, b):
Şaft kütlesinin kendi eksenine göre atalet momentinin yoğunluğunu (yani, bir birim uzunluktaki atalet momentini) ifade eden (mil malzemesinin yoğunluğu nerede), şaftın temel bir bölümünün hareket denklemi mil aşağıdaki gibi yazılabilir:
,
veya benzeri (174):
.
Burada ifade (186) ile değiştirilerek, Jp=const (175)'e benzer şekilde elde ederiz:
, (187)
Denklem (187) ve denklem (175)'in genel çözümü şu şekildedir:
,
(188)
Öz frekanslar ve özfonksiyonlar belirli sınır koşulları tarafından belirlenir.
Uçları sabitlemenin ana durumlarında, boyuna titreşimler durumunda olduğu gibi, şunu elde ederiz:
a) sabit uç (=0): X=0;
b) serbest uç (M=0): X"=0;
içinde) elastik olarak sabitlenmiş sol uç: СoХ=GJpX "(sertlik katsayısı);
G) elastik olarak sabitlenmiş sağ uç: -CoX=GJpX ";
e) sol uçtaki disk: 
(Jo, çubuğun eksenine göre diskin eylemsizlik momentidir);
f) sağ uçtaki disk: 
.
Mil sol uçta (x=0) sabit ise ve sağ uç (x= ) serbest ise, x=0'da X=0 ve x='de X"=0; doğal frekanslar benzer şekilde belirlenir (185 ):
(n=1,2,…).
Sol uç sabitse ve sağ uçta bir disk varsa, aşkın denklemi elde ederiz:
.
Şaftın her iki ucu sabit ise, x=0 ve x='de sınır koşulları X=0 olacaktır. Bu durumda, (188)'den elde ederiz
onlar.
(n=1,2,…),
buradan doğal frekansları buluruz:
Milin sol ucu boşsa ve sağ uçta bir disk varsa, x=0'da X"=0; x='de Jo X=GJpX".
(188) kullanarak, buluruz
C=0; 
,
veya aşkın frekans denklemi:
.
6.3 Kirişlerin eğilme titreşimleri
6.3.1 Temel denklem
Malzemelerin direnç seyrinden, bükülen kirişler için diferansiyel bağımlılıklar bilinmektedir:
nerede EJ - bükülme sertliği; y \u003d y (x, t) - sapma; M=M(x, t) - eğilme momenti; q, dağıtılan yükün yoğunluğudur.
(189) ve (190) birleştirildiğinde,
.(191)
Serbest salınımlar probleminde, elastik iskeletin yükü, yayılı atalet kuvvetleridir:
burada m, kirişin kütle yoğunluğudur (birim uzunluk başına kütle) ve denklem (191) olur
.
Sabit bir kesitin özel durumunda, EJ = const , m = const olduğunda, elimizde:
.(192)
(192) denklemini çözmek için yukarıdaki gibi varsayıyoruz:
y=X( x )× T( t.(193)
(193)'ü (192) yerine koyarsak şu denkleme ulaşırız:
.
Bu eşitliğin özdeş olması için eşitliğin her bir parçasının sabit olması gerekir. Bu sabiti ile ifade ederek, iki denklem elde ederiz:
.(195)
İlk denklem, hareketin frekansla salınımlı olduğunu gösterir.
İkinci denklem salınımların şeklini tanımlar. Denklem (195)'in çözümü dört sabit içerir ve şu şekildedir:
A.N. Krylov tarafından önerilen genel çözümü yazma varyantını kullanmak uygundur:
(198)
A.N. Krylov'un işlevleridir.
x=0'da S=1, T=U=V=0 olmasına dikkat edelim. S, T, U, V fonksiyonları aşağıdaki şekilde birbirine bağlıdır:
Bu nedenle türev ifadeler (197) şeklinde yazılır.
(200)
İncelenen sınıfın problemlerinde, öz frekansların sayısı sonsuz büyüktür; her birinin kendi zaman fonksiyonu Tn ve kendi temel fonksiyonu X n vardır. Genel çözüm, formun kısmi çözümlerini empoze ederek elde edilir (193)
.(201)
Doğal frekansları ve formülleri belirlemek için sınır koşullarını dikkate almak gerekir.
6.3.2. Sınır koşulları
Her çubuk ucu için iki sınır koşulu belirtilebilir .
Serbest çubuk ucu(Şek. 70, a). Enine kuvvet Q=EJX"""T ve eğilme momenti M=EJX""T sıfıra eşittir. Bu nedenle, sınır koşulları şu şekildedir:
X""=0; X"""=0 .(202)
Çubuğun menteşeli ucu(Şek. 70b). Sapma y=XT ve eğilme momenti M=EJX""T sıfıra eşittir. Bu nedenle, sınır koşulları:
X=0; X""=0 .(203)
sıkıştırılmış uç(Şek. 70, c). Sapma y=XT ve dönüş açısı sıfıra eşittir. Sınır koşulları:
X=0; X"=0. (204)
Çubuğun sonunda bir nokta kütlesi var(Şek. 70d). Onun eylemsizlik kuvveti 
(194) denklemi kullanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir: ; Q=EJX"""T enine kuvvetine eşit olmalıdır, bu nedenle sınır koşulları şu şekli alır
; X""=0 .(205)
Birinci durumda, nokta ağırlığın çubuğun sol ucuna bağlanması durumunda artı işareti, çubuğun sağ ucuna bağlanması durumunda eksi işareti kabul edilir. İkinci koşul, eğilme momentinin yokluğundan kaynaklanır.
Çubuğun elastik olarak desteklenen ucu(Şek. 70, e). Burada eğilme momenti sıfıra eşittir ve enine kuvvet Q=EJX"""T, desteğin tepkisine eşittir 
(Destek sertliğinin C o katsayısı).
Sınır koşulları:
X""=0 ; (206)
(elastik destek bırakıldığında eksi işareti, sağda olduğunda artı işareti alınır).
6.3.3. Frekans denklemi ve özformlar
Sınır koşullarının genişletilmiş bir kaydı, C 1 , C 2 , C 3 , C 4 sabitleri için homojen denklemlere yol açar.
Bu sabitlerin sıfıra eşit olmaması için sistemin katsayılarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması gerekir; bu bir frekans denklemine yol açar. Bu işlemler sırasında C 1 , C 2 , C 3 , C 4 arasındaki ilişkiler bulunur, yani. salınımların özmodları belirlenir (sabit bir faktöre kadar).
Örnekler kullanarak frekans denklemlerinin derlenmesini izleyelim.
(203)'e göre mafsallı uçları olan bir kiriş için aşağıdaki sınır koşullarına sahibiz: X=0; x=0 ve x= olduğunda X""=0. (197)-(200) yardımıyla ilk iki koşuldan elde ederiz: C 1 =C 3 =0. Kalan iki koşul şu şekilde yazılabilir:
C 2 ve C 4'ün sıfıra eşit olmaması için determinantın sıfıra eşit olması gerekir:
.
Böylece, frekans denklemi şu şekildedir:
.
T ve U ifadelerini değiştirerek, şunu elde ederiz:
olduğundan, son frekans denklemi aşağıdaki gibi yazılır:
. (207)
Bu denklemin kökleri:
,(n=1,2,3,...).
(196) dikkate alındığında, şunu elde ederiz:
.(208)
Kendi formlarımızı tanımlamaya geçelim. Yukarıda yazılan homojen denklemlerden, C 2 ve C 4 sabitleri arasında aşağıdaki bağıntı gelir:
.
Sonuç olarak, (197) şu şekli alır:
(207)'ye göre,
,(209)
nerede başlangıç koşulları dikkate alınana kadar değeri belirsiz kalan yeni bir sabittir.
6.3.4. Başlangıç koşullarına göre hareketin tanımı
İlk pertürbasyonu takiben hareketin belirlenmesi gerekiyorsa, kirişin tüm noktaları için hem ilk yer değiştirmelerin hem de ilk hızların belirtilmesi gerekir:
(210)
ve özşekillerin dikgenlik özelliğini kullanın:
.
Genel çözümü (201) aşağıdaki gibi yazıyoruz:
.(211)
Hız ifade tarafından belirlenir
.(212)
(211) ve (212) denklemlerinin sağ kısımlarında ve sol kısımlarda - varsayılan bilinen ilk yer değiştirmeleri ve hızları değiştirerek elde ederiz.
.
Bu ifadeleri tüm uzunluk boyunca çarparak ve entegre ederek,
(213)
Sağ taraftaki sonsuz toplamlar ortogonallik özelliğinden dolayı kaybolmuştur. (213) formüllerinden sabitler için aşağıdaki formüller ve
(214)
Şimdi bu sonuçların (211) çözeltiye ikame edilmesi gerekir.
Yine, uygun şekillerin ölçeğinin seçiminin şart olmadığını vurguluyoruz. Örneğin, kendi formunun ifadesinde (209) kat daha büyük bir değer almak yerine, (214) kat daha küçük sonuçlar verecektir; (211) çözüme ikame edildikten sonra, bu farklılıklar birbirini yok eder. Bununla birlikte, ifadelerin paydaları (214) bire eşit olacak şekilde ölçeklerini seçerek normalleştirilmiş özfonksiyonlar sıklıkla kullanılır, bu da ifadeleri ve .
6.3.5. Sabit boyuna kuvvetin etkisi
Salınım demetinin, salınım işlemi sırasında değeri değişmeyen uzunlamasına bir N kuvvetinin etkisini deneyimlediği durumu ele alalım. Bu durumda, statik eğilme denklemi daha karmaşık hale gelir ve şeklini alır (basınç kuvvetinin pozitif kabul edildiği varsayılırsa)
.
Sertliğin sabit olduğunu varsayarak ve kabul ederek, serbest titreşim denklemini elde ederiz.
.(215)
Hala formda belirli bir çözüm alıyoruz
Daha sonra denklem (215) iki denkleme bölünür:
İlk denklem çözümün salınımlı yapısını ifade eder, ikincisi salınımların şeklini belirler ve ayrıca frekansları bulmanızı sağlar. Bunu şu şekilde yeniden yazalım:
(216)
nerede K formül (196) ile belirlenir ve
(216) denkleminin çözümü şu şekildedir:
Çubuğun her iki ucunda menteşeli destekler olduğu durumu düşünün. Sol uçtaki koşullar 
vermek . Sağ uçta aynı koşulları sağladığımızda,
Değerlerdeki katsayılardan oluşan determinantı sıfıra eşitleyerek ve denklemine ulaşıyoruz.
Bu frekans denkleminin kökleri:
Bu nedenle, doğal frekans denklemden belirlenir.
.
Dolayısıyla (217) dikkate alındığında,
.(219)
Gerildiğinde frekans artar, sıkıştırıldığında azalır. N sıkıştırma kuvveti kritik bir değere yaklaştığında, kök sıfır olma eğilimindedir.
6.3.6. Zincir kuvvetlerinin etkisi
Daha önce, boyuna kuvvetin sistemin yer değiştirmelerinden bağımsız olarak verildiği düşünülüyordu. Bazı pratik problemlerde, enine titreşim sürecine eşlik eden boyuna kuvvet, kirişin bükülmesinden kaynaklanır ve desteğin tepkisinin doğasındadır. Örneğin, menteşeli sabit iki destek üzerindeki bir kirişi düşünün. Büküldüğünde, kirişlerin gerilmesine neden olan desteklerin yatay reaksiyonları meydana gelir; karşılık gelen yatay kuvvet denir zincir kuvveti. Kiriş enine titreşimler yaparsa, zincir kuvveti zamanla değişecektir.
Bir t anında kirişin sapmaları fonksiyon tarafından belirlenirse, eksenin uzaması formülle bulunabilir.
.
Karşılık gelen zincir kuvveti Hooke kanunu kullanılarak bulunabilir.
.
Bu sonucu, boyuna kuvvet N yerine (215) yerine koyarız (işareti dikkate alarak)
.(220)
Elde edilen doğrusal olmayan tam diferansiyel denklem değiştirilerek basitleştirilir
,(221)
maksimum değeri herhangi bir sayıya, örneğin bire eşit ayarlanabilen boyutsuz bir zaman fonksiyonu nerede; salınım genliği.
(221)'i (220) yerine koyarak, adi diferansiyel denklemi elde ederiz.
,(222)
katsayıları aşağıdaki değerlere sahiptir:
;.
Diferansiyel denklem (222) doğrusal değildir, bu nedenle serbest salınımların frekansı genliklerine bağlıdır.
Enine titreşimlerin frekansı için kesin çözüm şu şekildedir:
zincir kuvvetleri dikkate alınmadan hesaplanan enine salınımların sıklığı nerede; salınım genliğinin kesitin dönme yarıçapına oranına bağlı olarak düzeltme faktörü; değer referans literatüründe verilmiştir.
Enine kesitin dönüşünün genliği ve yarıçapı karşılaştırılabilir olduğunda, frekans düzeltmesi önemli hale gelir. Örneğin, dairesel kesitli bir çubuğun salınım genliği çapına eşitse, o zaman ve frekans, desteklerin serbest yer değiştirmesi durumundan neredeyse iki kat daha fazladır.
Durum, kirişin bükülme sertliği yok denecek kadar küçük olduğunda - bir ip olduğunda, eylemsizlik yarıçapının sıfır değerine karşılık gelir. Bu durumda, formülü bir belirsizlik verir. Bu belirsizliği ortaya çıkararak, ipin titreşim frekansı için bir formül elde ederiz.
.
Bu formül, denge konumunda gerilimin sıfır olduğu duruma atıfta bulunur. Sicim titreşimleri sorunu genellikle başka varsayımlar altında ortaya konur: yer değiştirmelerin küçük olduğu ve titreşimler sırasında çekme kuvvetinin verildiği ve değişmeden kaldığı varsayılır.
Bu durumda, frekans formülü şu şekildedir:
burada N sabit bir çekme kuvvetidir.
6.4. viskoz sürtünme etkisi
Önceden, çubukların malzemesinin ideal olarak elastik olduğu ve sürtünme olmadığı varsayılmıştı. Viskoz olduğunu varsayarak iç sürtünmenin etkisini düşünün; daha sonra gerilimler ve gerinimler arasındaki ilişki, ilişkilerle tanımlanır.
;
.(223)
Dağıtılmış parametrelere sahip bir çubuğun serbest uzunlamasına titreşimler yapmasına izin verin. Bu durumda boyuna kuvvet şeklinde yazılacaktır.
Çubuk elemanın hareket denkleminden (174) bağıntısı elde edildi.
Burada (224) yerine koyarak, ana diferansiyel denkleme ulaşırız.
,(225)
viskoz sürtünme kuvvetlerinin etkisini ifade eden ikinci terimle (175) farklıdır.
Fourier yöntemini takip ederek, (225) denklemine formda bir çözüm arıyoruz.
,(226)
burada fonksiyon sadece x koordinatlarıdır ve fonksiyon sadece t zamanıdır.
Bu durumda, serinin her bir üyesi problemin sınır koşullarını sağlamalıdır ve toplamın tamamı da başlangıç koşullarını sağlamalıdır. (226)'yı(225)'e koymak ve eşitliğin herhangi bir sayı için sağlanmasını istemek r, alırız
,(227)
asal sayıların koordinata göre farklılaşmayı gösterdiği yerde x, ve noktalar t zamanına göre farklılaşmadır.
(227) ürüne göre bölme 
, eşitliğine varıyoruz
,(228)
sadece koordinata bağlı olabilen sol taraf x, ve doğru olanı - sadece t zamanından. Eşitliğin (228) aynı şekilde yerine getirilmesi için, her iki parçanın da ile gösterdiğimiz aynı sabite eşit olması gerekir.
Bundan denklemleri takip edin
(229)
.(230)
Denklem (229), viskozite katsayısı K'ye bağlı değildir ve özellikle, mükemmel elastik bir sistem durumunda, olduğunda aynı kalır. Bu nedenle, sayılar daha önce bulunanlarla tamamen örtüşmektedir; bununla birlikte, aşağıda gösterileceği gibi, değer, doğal frekansın yalnızca yaklaşık bir değerini verir. Özformların çubuğun viskoz özelliklerinden tamamen bağımsız olduğuna dikkat edin, yani. serbest sönümlü salınımların biçimleri, serbest sönümsüz salınımların biçimleriyle örtüşür.
Şimdi sönümlü salınımların sürecini tanımlayan denklem (230) ile devam edelim; onun çözümü benziyor
.(233)
İfade (232) sönümleme oranını ve (233) salınım frekansını belirler.
Böylece problem denkleminin tam çözümü
.(234)
Sabit ve her zaman verilen başlangıç koşulları ile bulunabilir. Tüm çubuk kesitlerinin ilk yer değiştirmeleri ve ilk hızları aşağıdaki gibi verilsin:
;
,(235)
nerede ve bilinen fonksiyonlar.
O zaman için (211) ve (212)'ye göre,
bu eşitliklerin her iki parçasını da çubuğun tüm uzunluğu ile çarparak ve integralini alarak elde ederiz.
(236)
Özformların ortogonallik koşuluna göre, bu eşitliklerin sağ taraflarında yer alan diğer tüm terimler yok olur. Artık herhangi bir r sayısı için eşitliklerden (236) bulmak kolaydır.
(232) ve (234) göz önüne alındığında, titreşim modunun sayısı ne kadar yüksek olursa sönümlenmesi o kadar hızlı olur. Ek olarak, (234)'deki terimler, eğer gerçek bir sayı varsa, sönümlü salınımları tanımlar. (233) 'den bunun, eşitsizlik olduğu sürece r'nin yalnızca birkaç başlangıç değeri için gerçekleştiği görülebilir.
Yeterince büyük değerler için r eşitsizlik (237) ihlal edilir ve nicelik hayali olur. Bu durumda, genel çözümün (234) karşılık gelen terimleri artık sönümlü salınımları tanımlamayacaktır, ancak periyodik olmayan bir sönümlü hareketi temsil edecektir. Başka bir deyişle, kelimenin genel anlamıyla dalgalanmalar, toplamın (234) yalnızca sonlu bir kısmını ifade eder.
Tüm bu nitel sonuçlar sadece boyuna titreşimler için değil, aynı zamanda burulma ve eğilme titreşimleri için de geçerlidir.
6.5. Değişken kesitli çubukların titreşimleri
Çubuğun yayılı kütlesi ve kesitinin uzunluğu boyunca değişken olduğu durumlarda, boyuna titreşim denklemi (175) yerine denklemden hareket edilmelidir.
.(238)
Burulma titreşim denklemi (187) denklemi ile değiştirilmelidir.
,(239)
ve enine salınımların denklemi (192) - denklemle
.(240)
(238)-(240) denklemleri aynı tipteki ikamelerin yardımıyla ;; fonksiyon için adi diferansiyel denklemlere indirgenebilir
ISSN: 2310-7081 (çevrimiçi), 1991-8615 (baskı) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3
ELASTİK OLARAK SABİT YÜKLÜ ÇUBUĞUN BOYUNCA TİTREŞİMLERİNDE SORUN
A.B. Beilin
Samara Devlet Teknik Üniversitesi, Rusya, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244.
dipnot
Konsantre kütleler ve yaylar yardımıyla uçlarına sabitlenmiş kalın bir kısa çubuğun tek boyutlu boyuna salınımları göz önünde bulundurulur. Matematiksel bir model olarak, dördüncü dereceden bir hiperbolik denklem için dinamik sınır koşullarına sahip bir başlangıç-sınır değeri problemi kullanılmıştır. Bu özel modelin seçimi, çubuğun enine yöndeki deformasyonunun etkilerini dikkate alma ihtiyacından kaynaklanmaktadır; bunun ihmali, Rayleigh tarafından gösterildiği gibi, modern olmayan tarafından onaylanan bir hataya yol açar. katıların titreşimlerini inceleyen yerel kavram. Yük ile ortogonal olarak çalışılan problemin bir özfonksiyonlar sisteminin varlığı ispatlanır ve temsilleri elde edilir. Özfonksiyonların yerleşik özellikleri, değişkenlerin ayrılması yöntemini uygulamayı ve soruna benzersiz bir çözümün varlığını kanıtlamayı mümkün kıldı.
Anahtar kelimeler: dinamik sınır koşulları, boyuna titreşimler, yük dikliği, Rayleigh modeli.
Tanıtım. Çalışan herhangi bir mekanik sistemde, çeşitli nedenlerle üretilebilen salınım süreçleri meydana gelir. Salınım süreçleri, sistemin tasarım özelliklerinin veya düzenli olarak çalışan bir yapının çeşitli unsurları arasında yüklerin yeniden dağıtılmasının bir sonucu olabilir.
Mekanizmada salınım süreçlerinin kaynaklarının varlığı, durumunu teşhis etmeyi zorlaştırabilir ve hatta çalışma modunun ihlaline ve bazı durumlarda yıkıma yol açabilir. Bazı elemanlarının titreşiminin bir sonucu olarak mekanik sistemlerin doğruluğunun ve performansının ihlali ile ilgili çeşitli problemler genellikle pratikte deneysel olarak çözülür.
Aynı zamanda, salınım süreçleri, örneğin malzemelerin işlenmesi, bağlantıların montajı ve sökülmesi için çok yararlı olabilir. Ultrasonik titreşimler, sadece yüksek sertlikte malzemelerin (tungsten içeren, titanyum-karbür çelikler vb.) kesme işlemlerini (delme, frezeleme, taşlama vb.) yoğunlaştırmaya izin vermez,
© 2016 Samara Devlet Teknik Üniversitesi. Atıf Örneği
Beilin, A.B., Elastik olarak sabitlenmiş yüklü bir çubuğun boyuna titreşimleri sorunu, Vestn. Kendim. belirtmek, bildirmek teknoloji Üniversite Sör. Fizik-Matematik Nauki, 2016. V. 20, No. 2. S. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Yazar hakkında
Alexander Borisovich Beilin (Ph.D., Doç.; [e-posta korumalı]), Doç. Dr. otomatik makine ve alet sistemleri.
ancak bazı durumlarda kırılgan malzemeleri (germanyum, silikon, cam vb.) işlemek için mümkün olan tek yöntem haline gelir. Ultrasonik titreşimleri kaynaktan (vibratör) alete ileten cihazın (dalga kılavuzu) elemanına yoğunlaştırıcı denir ve farklı bir şekle sahip olabilir: silindirik, konik, kademeli, üstel vb. Amacı, gerekli genlikteki dalgalanmaları alete iletmektir.
Bu nedenle, salınım süreçlerinin ortaya çıkmasının sonuçları ve bunlara neden olan nedenler farklı olabilir, bu nedenle doğal olarak salınım süreçlerinin teorik bir çalışmasına ihtiyaç duyulur. İkinci dereceden bir dalga denklemine dayanan nispeten uzun ve ince katı çubuklarda dalga yayılımının matematiksel modeli iyi çalışılmış ve uzun zamandır bir klasik haline gelmiştir. Bununla birlikte, Rayleigh tarafından gösterildiği gibi, bu model kalın bir kısa çubuğun titreşimlerinin incelenmesiyle tam olarak tutarlı değildir, oysa gerçek mekanizmaların birçok detayı kısa ve kalın çubuklar olarak yorumlanabilir. Bu durumda çubuğun enine doğrultudaki deformasyonları da dikkate alınmalıdır. Çubuğun enine hareketinin etkilerini hesaba katan kalın bir kısa çubuğun boyuna salınımlarının matematiksel modeline Rayleigh çubuğu denir ve dördüncü dereceden bir hiperbolik denkleme dayanır.
^ ^ - IX (a(x) e) - dx (b(x)) =; (xL (1)
katsayıları fiziksel bir anlama sahip:
g(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p(x),
burada A(x) kesit alanı, p(x) çubuğun kütle yoğunluğu, E(x) Young modülü, V(x) Poisson oranı, 1P(x) polar atalet momentidir , u(x, b) - belirlenecek boylamasına yer değiştirmeler.
Rayleigh'in fikirleri, plastisite teorisinin yanı sıra titreşim süreçlerine ayrılmış modern çalışmalarda onaylarını ve gelişimlerini bulmuştur. İnceleme makalesi, cismin a priori ideal bir süreklilik olarak kabul edildiği, yük altındaki katıların durumunu ve davranışını tanımlayan klasik modellerin eksikliklerini doğrulamaktadır. Doğa biliminin modern gelişim düzeyi, incelenen süreçleri yeterince açıklayan yeni modellerin oluşturulmasını gerektirir ve son birkaç on yılda geliştirilen matematiksel yöntemler bu fırsatı sağlar. Bu yolda, geçen yüzyılın son çeyreğinde, yukarıda bahsedilenler de dahil olmak üzere birçok fiziksel sürecin incelenmesine yerellik kavramına dayalı yeni bir yaklaşım önerildi (makaleye ve içindeki referans listesine bakınız). Yazarlar tarafından tanımlanan yerel olmayan model sınıflarından birine “zayıf yerel olmayan” denir. Bu sınıfa ait matematiksel modeller, belirli bir süreci tanımlayan denkleme yüksek dereceli türevler dahil edilerek uygulanabilir; bu, bazı yaklaşımlarda, çalışma nesnesinin iç öğelerinin etkileşimini hesaba katmayı mümkün kılar. Bu nedenle, Rayleigh modeli zamanımızla ilgilidir.
1. Sorunun ifadesi. x = 0, x = I çubuğunun uçları, N1, M2 konsantre kütleleri ve rijitlikleri K1 ve K2 olan yayların yardımıyla sabit bir tabana bağlansın. Çubuğun 0x ekseni etrafında dönen bir cisim olduğunu ve zamanın ilk momentinin denge konumunda hareketsiz olduğunu varsayacağız. Sonra aşağıdaki başlangıç-sınır değer problemine geliyoruz.
Görev. Qt \u003d ((0,1) x (0, T) : 1, T alanında bulun< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным
u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) ve sınır koşulları
a(0)ux(0, r) + b(0)uu(0, r) - k^(0, r) - M1u(0, r) = 0, a(1)ux(1, r) + b(1)uu(1, r) + K2u(1, r) + M2uu(1, r) = 0. ()
Makale (1)-(2) probleminin bazı özel durumlarını ele alıyor ve denklemin katsayılarının açık bir forma sahip olduğu ve M\ = M2 = 0 olduğu örnekler veriyor. Makale, problemin genel olarak açık ve zayıf çözülebilirliğini kanıtlıyor. durum.
Koşullar (2), çubuğun sabitlenmesi yöntemiyle belirlenir: uçları, sırasıyla M1, M2 kütlelerine ve K1, K2 sertliklerine sahip yaylara sahip bazı cihazların yardımıyla sabit tabanlara bağlanır. Kütlelerin varlığı ve enine yer değiştirmeler için pay, zaman türevlerini içeren (2) formunun koşullarına yol açar. Zaman türevlerini içeren sınır koşullarına dinamik denir. En basitleri bir ders kitabında açıklanan ve çok daha karmaşık olanları bir monografta açıklanan çeşitli durumlarda ortaya çıkabilirler.
2. Çubuğun doğal salınımlarının incelenmesi. Denklem (1)'e karşılık gelen homojen bir denklem düşünün. Katsayılar sadece x'e bağlı olduğundan, değişkenleri u(x, z) = X(x)T(z) şeklinde temsil ederek ayırabiliriz. İki denklem elde ederiz:
m""(r) + \2m(r) = 0,
((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)
Denklem (3)'e sınır koşulları eşlik eder
(a(0) - \2b(0))X"(0) - (K1 - \2M1)X(0) = 0,
(a(1) - \2b(1))X"(1) + (K2 - \2M2)X(I) = 0. (4)
Böylece, spektral parametrenin Λ denklemin en yüksek türevinin katsayısına ve ayrıca sınır koşullarına dahil edilmesiyle klasik olandan farklı olan Sturm-Liouville problemine ulaştık. Bu durum literatürden bilinen sonuçlara başvurmamıza izin vermemektedir, bu nedenle acil hedefimiz (3), (4) numaralı problemi incelemektir. Değişkenlerin ayrılması yönteminin başarılı bir şekilde uygulanması için özdeğerlerin varlığı ve konumu, niteliksel hakkında bilgiye ihtiyacımız var.
özfonksiyonların özellikleri: ortogonallik özelliğine sahipler mi?
A2 > 0 olduğunu gösterelim. Durumun böyle olmadığını varsayalım. X(x), A = 0 değerine karşılık gelen (3), (4) probleminin bir özfonksiyonu olsun. (3)'ü X(x) ile çarparız ve elde edilen eşitliği (0,1) aralığı üzerinde entegre ederiz. Parçalara göre integral alma ve sınır koşullarını (4) uygulayarak, elde ettiğimiz temel dönüşümlerden sonra
1(0) - A2b(0))(a(1) - A2b(1)) I (dX2 + bX"2)dx+
N\X 2(0) + M2X 2(1)
ben aX "2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo
a(x), b(x), g(x) fonksiyonlarının fiziksel anlamından pozitif, Kr, Mr negatif olmadığını not ediyoruz. Ancak, sonuçta ortaya çıkan eşitlikten, X "(x) \u003d 0, X (0) \u003d X (1) \u003d 0, bu nedenle, yapılan varsayımla çelişen X (x) \u003d 0 olduğu sonucuna varılır. Bu nedenle, sıfırın (3), (4) numaralı sorunun özdeğeri olduğu varsayımı yanlıştır.
(3) denkleminin çözümünün temsili, a(x) - - A2b(x) ifadesinin işaretine bağlıdır. a(x)-A2b(x) > 0 Vx e (0,1) olduğunu gösterelim. İsteğe bağlı olarak x e (0, 1) sabitleriz ve a(x), b(x), g(x) fonksiyonlarının bu noktasındaki değerleri buluruz. Denklem (3) şeklinde yazıyoruz
X "(x) + VX (x) \u003d 0, (5)
işaretlediğimiz yer
seçilen sabit noktada ve koşullar (4) şeklinde yazılabilir.
X "(0) - aX (0) \u003d 0, X" (1) + bX (I) \u003d 0, (6)
a, b'nin hesaplanması kolaydır.
Bilindiği gibi, klasik Sturm-Liouville problemi (5), (6) V > 0 için sayılabilir bir özfonksiyon kümesine sahiptir, bu nedenle x'in keyfiliğinden dolayı gerekli eşitsizlik ortaya çıkar.
(3), (4) probleminin özfonksiyonları, bağıntı ile ifade edilen yükle ortogonallik özelliğine sahiptir.
I (dXm (x) Xn (x) + bX "m (x) X" p (x))<х+ ■)о
M1Xm(0)Xn(0) + M2Xm(1)Xn (I) = 0, (7)
standart bir şekilde elde edilebilen (örneğin bkz. ), söz konusu problem durumunda uygulanması temel ancak özenli hesaplamalarla ilişkilendirilir. Hantallıktan kaçınmak için Xr(x) fonksiyonlarının argümanını atlayarak türetilmesini kısaca sunalım.
λm, λn farklı özdeğerler olsun, λm, λn bunlara karşılık gelen problem (3), (4)'ün özfonksiyonları olsun. Sonra
((a - L2mb)X"t)" + L2tdXm = 0, ((a - L2nb)X"n)" + L2pdXp = 0.
Bu denklemlerden birincisini Xn, ikincisini Xm ile çarparız ve ikincisini birinciden çıkarırız. Temel dönüşümlerden sonra eşitliği elde ederiz.
(Lt - Lp) YHtXp \u003d (aXtXP) "- LP (bXtX" p) "- (aX "tXp)" + Rt (bXtXp)",
(0,1) aralığında integralini alıyoruz. Sonuç olarak, (4)'ü hesaba katarak ve (Лт - Лп) ile indirgeyerek, (7) bağıntısını elde ederiz.
Sturm-Liouville probleminin (3), (4) özdeğerlerinin ve özfonksiyonlarının özellikleri hakkında kanıtlanmış ifadeler, probleme bir çözüm bulmak için değişkenlere ayırma yöntemini uygulamamıza izin verir.
3. Problemin çözülebilirliği. belirtmek
C(CT) = (u: u e C(St) P C2(St), uixx e C^m)).
Teorem 1. a, b e C1 , e C olsun. O halde (1), (2) probleminin en fazla bir u e C(m) çözümü vardır.
Kanıt. (1), (2), u1(x, z) ve u2(x, z) probleminin iki farklı çözümü olduğunu varsayalım. Daha sonra, problemin doğrusallığından dolayı, onların farkı u = u1 - u2 (1), (2)'ye karşılık gelen homojen problemin bir çözümüdür. Çözümünün önemsiz olduğunu gösterelim. Denklemin katsayılarının fiziksel anlamından ve sınır koşullarından, a, b, q fonksiyonlarının Qm'nin her yerinde pozitif olduğunu, M^, K^'nin ise negatif olmadığını şimdiden not ediyoruz.
(1) eşitliğini u ile çarparak ve basit dönüşümlerden sonra t e ve keyfi olarak Qt alanı üzerinde integral alarak,
/ (di2(x, m) + au2x(x, m) + buXl(x, m)) ux + ./o
K1u2(0, m) + M1u2(0, m) + K2u2(1, m) + M2u2(1, m) = 0,
m'nin keyfiliği nedeniyle, teoremin iddiası hemen ardından gelir. □
Sabit katsayılar için bir çözümün varlığını ispatlayalım.
Teorem 2. Let<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, (0,1), φ e C 1, φ(0) = φ(1) = 0'da üçüncü dereceden parçalı sürekli türevi ve ('de ikinci dereceden parçalı sürekli türevi var 0,1), f e C(C^m), o zaman problem (1), (2)'nin çözümü mevcuttur ve bir dizi özfonksiyonun toplamı olarak elde edilebilir.
Kanıt. Her zamanki gibi, soruna toplam şeklinde bir çözüm arayacağız.
birinci terim (1)'e karşılık gelen homojen denklem için formüle edilmiş problemin çözümüyken, ikincisi sıfır başlangıç ve sınır koşullarını sağlayan (1) denkleminin çözümüdür. Bir önceki paragrafta yapılan çalışmaların sonuçlarını kullanalım ve (3) numaralı denklemin genel çözümünü yazalım:
X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.
\¡ bir - A2b \¡ bir - A2b
Sınır koşullarını (4) uygulayarak, Cj! için bir denklem sistemine ulaşıyoruz!
(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,
(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) çünkü A^O-A^l) ci+
Determinantını sıfıra eşitleyerek, spektral denklemi elde ederiz. ctg \u003d (a - A4) A2 "- (K - A? Mí) (K2 - A "M). (sekiz) b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2)) Bu aşkın denklemin bir çözümü olup olmadığını bulalım. Bunu yapmak için sol ve sağ kısımlarındaki işlevleri göz önünde bulundurun ve davranışlarını inceleyin. Genelliği çok fazla sınırlamadan, Mi = M2 = M, Kg = K2 = K, bu gerekli hesaplamaları biraz basitleştirecektir. Denklem (8) formunu alır x I q , Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l = a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" ve spektral denklemi yeni notasyonda yazın! aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM) 2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql Son denklemin sol ve sağ kısımlarının fonksiyonlarının bir analizi, köklerinin sayılabilir bir kümesi olduğunu ve dolayısıyla Sturm-Liouville probleminin (3), (4) sayılabilir bir özfonksiyonları kümesi olduğunu iddia etmemizi sağlar. , sistemden elde edilen bağıntıyı c' ile dikkate alarak yazılabilir. v / l l I q K - x2pm. ben q Xn(x) = COS XnJ-myx + ----sin XnJ-myx. V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b Şimdi başlangıç koşullarını da sağlayan bir çözüm bulmaya dönüyoruz. Artık homojen denklem için problemin çözümünü bir seri şeklinde kolayca bulabiliriz. u(x,t) = ^Tn(t)Xn(x), katsayıları, Xn(x) fonksiyonlarının ortogonallik özelliği kullanılarak ilk verilerden bulunabilen, normu (7) bağıntısından elde edilebilen: ||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo v(x,t) fonksiyonunu bulma süreci de esasen standarttır, ancak yine de geleneksel biçimde bir çözüm aramanın farkına varıyoruz. v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), iki denklem elde ederiz. Nitekim özfonksiyonların biçimini de dikkate alarak çözümünü aradığımız serinin yapısını belirleyelim: j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+ Wn(t) K-XnM~sin X^ GAirx). (dokuz) v JXnVa - xnb^q V a - xn" y(x, 0) = y^x, 0) = 0 sıfır başlangıç koşullarını sağlamak için, Yn(0) = Yn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0 olmasını isteriz. f( x, d) özfonksiyonlarına göre bir Fourier serisine dönüştürülürse, ¡n(b) ve dn(b) katsayılarını buluruz. (9)'u y(x, b)'ye göre yazılan (1) denkleminde yerine koyarsak, bir dizi dönüşümden sonra Yn(b) ve Shn(b)'yi bulmak için denklemler elde ederiz: uc® + >&pYu = ™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g Yn(0) = Y,(0) = 0, Shn(0) = W,(0) = 0 başlangıç koşullarını dikkate alarak, Yn(b) ve Shn( fonksiyonlarının her biri için Cauchy problemlerine ulaşırız. b) teoremin koşulları tarafından garanti edilen benzersiz çözülebilirliği. Teoremde formüle edilen ilk verilerin özellikleri, araştırmamız sırasında ortaya çıkan tüm serilerin yakınsaması ve dolayısıyla problemin bir çözümünün varlığı hakkında hiçbir şüphe bırakmaz. □ Çözüm. Yük ile ortogonal olarak çalışılan problemin bir özfonksiyonlar sisteminin varlığı ispatlanır ve temsilleri elde edilir. Özfonksiyonların yerleşik özellikleri, soruna benzersiz bir çözümün varlığını kanıtlamayı mümkün kıldı. Makalede elde edilen sonuçların hem dinamik sınır koşullarına sahip problemlerin ileri teorik çalışmaları için hem de pratik amaçlar için, yani çok çeşitli teknik nesnelerin boyuna titreşimlerini hesaplamak için kullanılabileceğini unutmayın. Alexander Borisovich Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 REFERANSLAR 1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalaşnikof V. V. Ultrasonik mekanik işleme ve montaj. Samara: Samara kitap yayınevi, 1995. 191 s. 2. Khmelev V.N., Barsukov R.V., Tsyganok S.N. Malzemelerin ultrasonik boyutlu işlenmesi. Barnaul: Altay Teknik Üniversitesi im. I.I. Polzunova, 1997. 120 s. 3. Kumabe D. Titreşimle kesme. M.: Mashinostroenie, 1985. 424 s. 4. A. N. Tikhonov ve A. A. Samarskii, Matematiksel Fizik Denklemleri. M.: Nauka, 2004. 798 s. 5. Strett J. V. Ses teorisi. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 s. 6. Rao J. S. İleri Titreşim Teorisi: Doğrusal Olmayan Titreşim ve Tek Boyutlu Yapılar. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 s. 7. Fedotov I.A., Polyanin A.D., Shatalov M. Yu Rayleigh modeline dayalı katı bir çubuğun serbest ve zorlanmış titreşimleri teorisi// DAN, 2007. V. 417, no. s. 56-61. 8. Bazant Z., Jirasek M. Plastisite ve Hasarın Lokal Olmayan İntegral Formülasyonları: İlerleme Araştırması// J. Müh. Mech., 2002. cilt 128, no. 11. s. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. A. B. Beilin ve L. S. Pulkina, "Dinamik Sınır Koşullarına Sahip Bir Çubuğun Boyuna Titreşimleri Sorunu", Vestn. SamGU. Doğal bilim Ser., 2014. Sayı 3 (114). s. 9-19. 10. M. O. Korpusov, Klasik olmayan dalga denklemlerinde kırılma. M.: URSS, 2010. 237 s. 10/II/2016'da alındı; son sürümde - 18/V/2016; yayın için kabul edildi - 27/V/2016. Yelek Samar. gider. Tekn. Unta. Sör. Fizik mat. bilim 2016, cilt. 20, hayır. 2, s. 249-258 ISSN: 2310-7081 (çevrimiçi), 1991-8615 (baskı) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474 MSC: 35L35, 35Q74 ELASTİK SABİTLEMELİ BİR ÇUBUĞUN BOYUNCA TİTREŞİMİNDE SORUN Samara Devlet Teknik Üniversitesi, 244, Molodogvardeyskaya caddesi, Samara, 443100, Rusya Federasyonu. Bu yazıda, noktasal kuvvetler ve yaylar tarafından sabitlenen kalın kısa bir çubukta boyuna titreşimi inceliyoruz. Matematiksel model için, dördüncü mertebeden kısmi diferansiyel denklem için dinamik sınır koşulları olan bir sınır değer problemini ele alıyoruz. Bu modelin seçimi, enine bir gerinmenin sonucunu hesaba katma gerekliliğine bağlıdır. Rayleigh tarafından enine bir gerinimin ihmal edilmesinin bir hataya yol açtığı gösterilmiştir. Bu, modern yerel olmayan titreşim teorisi tarafından doğrulanır. Yük özfonksiyonları ile ortogonalin varlığını ispatlıyor ve temsillerini türetiyoruz. Özfonksiyonların yerleşik özellikleri, değişkenlerin ayrılması yöntemini kullanmayı ve problemin benzersiz bir çözümünü bulmayı mümkün kılar. Anahtar Kelimeler: dinamik sınır koşulları, boyuna titreşim, yüklü ortogonallik, Rayleigh modeli. Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 1. Nerubai M.S., Shtrikov B.L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 s. (Rusça) 2. Khmelev V.N., Barsukov R.V., Tsyganok S.N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka Materialov. Barnaul, 1997, 120 s. (Rusça) 3. Kumabe J. Titreşimle Kesme. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (Japonca). 4. Tikhonov A.N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moskova, Nauka, 2004, 798 s. (Rusça) 5. Strutt J. W. Ses teorisi, cilt. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 s. 6. Rao J. S. İleri Titreşim Teorisi: Doğrusal Olmayan Titreşim ve Tek Boyutlu Yapılar. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 s. Beylin A.B. Elastik sabitlemeli bir çubuğun boyuna titreşiminde bir problem, Vestn. Samar. gider. teknoloji. Üniv., Ser. Fizik-Mat. Bilim, 2016, cilt. 20, hayır. 2, s. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (İngilizce) Yazar Ayrıntıları: Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [e-posta korumalı]), Doç. Dr. Otomasyon Takım Tezgahları ve Takım Sistemleri. 7. Fedotov I.A., Polyanin A.D., Shatalov M. Yu. Rayleigh modeli Dokl'a dayalı bir rijit çubuğun serbest ve zorlanmış titreşimleri teorisi. Phys., 2007, cilt 52, no. 11, s. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080. 8. Bazant Z., Jirasek M. Plastisite ve Hasarın Lokal Olmayan İntegral Formülasyonları: İlerleme Araştırması, J. Müh. Mech., 2002, cilt 128, no. 11, s. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beylin A.B., Pulkina L.S. Dinamik sınır koşullarına sahip bir çubuğun boyuna titreşimleri üzerine bir problem, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, no. 3(114), s. 919 (Rusça). 10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklassicheskikh volnovykh uravneniakh. Moskova, URSS, 2010, 237 s. (Rusça) 10/II/2016'da alındı; 18/V/2016 revize edilmiş formda alındı;
Yükleniyor...