(yani, aşağıdaki özelliklere sahiptir: kümenin her elemanı kendisine eşdeğerdir; eğer x eşittir y, o zamanlar y eşittir x; Eğer x eşittir y, a y eşittir z, o zamanlar x eşittir z ).

Daha sonra tüm denklik sınıflarının kümesi denir faktör seti ve belirtilmektedir. Bir kümenin eşdeğer elemanların sınıflarına bölünmesine kümenin adı verilir. çarpanlara ayırma.

Şuradan göster: X denklik sınıfları kümesine denir faktör eşleme.

Örnekler

Yarı normlu uzaylardan normlu uzayları, neredeyse iç çarpımı olan uzaylardan iç çarpımı olan uzayları, vb. elde etmek için küme çarpanlarına ayırmayı kullanmak mantıklıdır. keyfi bir öğesi ve sınıfların rasgele öğelerinin skaler ürünü olarak sınıfların skaler ürünü. Buna karşılık, eşdeğerlik ilişkisi aşağıdaki gibi tanıtılır (örneğin, normlu bir bölüm uzayı oluşturmak için): sıfır yarı normlu öğelerden oluşan orijinal yarı normlu uzayın bir alt kümesi sunulur (bu arada, doğrusaldır). yani bir altuzaydır) ve farkları bu aynı altuzaydaysa iki elemanın eşdeğer olduğu kabul edilir.

Bir lineer uzayın çarpanlara ayrılması için onun bazı alt uzayları tanıtılırsa ve orijinal uzayın iki elemanının farkının bu alt uzaya ait olduğu varsayılırsa, o zaman bu elemanlar eşdeğerdir, o zaman faktör kümesi bir lineer uzaydır ve denir. bir faktör uzayı.

Örnekler

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı. 2010 .

Diğer sözlüklerde "Factorset" in ne olduğunu görün:

Soyutlama yoluyla tanımların altında yatan mantıksal ilke (Bkz. Soyutlama yoluyla tanımlama): Bazı ilk öğeler kümesinde tanımlanan eşitlik türündeki herhangi bir İlişki, orijinali böler (böler, sınıflandırır) ... ...

Nesnelerin ve fenomenlerin temel özelliklerini, bağlantılarını ve ilişkilerini çelişkileri ve gelişimleri içinde yansıtan bir düşünme biçimi; Belirli bir sınıfın nesnelerini belirli bir genele ve topluluğa göre genelleştiren, ayıran bir düşünce veya düşünceler sistemi ... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Galois grubunun kohomolojisi. M bir Abelian grubu ve M üzerine etki eden bir uzantının Galois grubuysa, o zaman Galois kohomolojisi kompleks tarafından tanımlanan kohomoloji grubudur ve tüm eşlemelerden oluşur ve d bir ortak sınır operatörüdür (bkz. Grup kohomolojisi). Matematiksel Ansiklopedi

Rai yapısı ilk olarak küme teorisinde ortaya çıktı ve daha sonra cebir, topoloji ve matematiğin diğer alanlarında yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Bir I.P.'nin önemli bir özel durumu, aynı tipteki matematiksel yapıların yönlendirilmiş bir ailesinin I.P.'sidir. İzin vermek … Matematiksel Ansiklopedi

Bir X kümesine etki eden bir G grubuna göre noktalar (solda), A kümesi G'nin bir alt grubudur ve denir. sabitleyici veya G'ye göre bir noktanın durağan alt grubu. Eşleme, G/Gx ve yörünge G(x) arasında bir eşleşmeye neden olur. Ö.… … Matematiksel Ansiklopedi

Bu makalenin çok kısa bir girişi var. Lütfen makalenin konusunu kısaca açıklayan ve içeriğini özetleyen bir giriş bölümünü doldurun ... Wikipedia

Bu makale cebirsel sistem ile ilgili. Önermeleri ve üzerlerindeki işlemleri inceleyen matematiksel mantığın dalı için bkz. mantığın cebiri. Boole cebri boş olmayan bir A kümesidir ve iki ikili işlem (bağlaçlara benzer), ... ... Wikipedia

Kümede bir denklik bağıntısı verilsin. Daha sonra tüm denklik sınıflarının kümesine faktör kümesi denir ve gösterilir. Bir kümenin eşdeğer eleman sınıflarına bölünmesine çarpanlara ayırma denir. Şundan ... ... Vikipedi'ye göster

Geometride yönlendirilmiş bir segment, birincisine A noktasının başlangıcı ve ikinci B'nin sonu olarak adlandırılan sıralı bir nokta çifti olarak anlaşılır. İçindekiler 1 Tanım ... Wikipedia

Matematiğin çeşitli dallarında, bir eşlemenin çekirdeği, bir anlamda f ve bir dolaylı eşleme arasındaki farkı karakterize eden bir dizi kerftir. Bununla birlikte, özel tanım, bir injektif eşleme f ... ... Vikipedi için değişebilir

Aşağıdaki teoremler ispatlanabilir.

Teorem 1.4. Bir f fonksiyonu, f -1 ters fonksiyonuna sahiptir, ancak ve ancak f bijective ise.

Teorem 1.5. Bijective fonksiyonların bileşimi bir bijective fonksiyondur.

Pirinç. 1.12 farklı ilişkiler gösterir, birincisi hariç hepsi fonksiyondur.

tutum, ancak

enjeksiyon, ancak

şüphe, ancak

bir işlev değil

bir tahmin değil

enjeksiyon değil

f : A→ B bir fonksiyon olsun ve A ve B kümeleri sonlu kümeler olsun, A = n , B = m olsun. Dirichlet ilkesi, n > m ise, f'nin en az bir değerinin birden fazla kez meydana geldiğini belirtir. Başka bir deyişle, f(a i )= f(a j ) olan bir çift a i ≠ a j , a i , a j A elemanı vardır.

Dirichlet ilkesini kanıtlamak kolaydır, bu yüzden onu basit bir alıştırma olarak okuyucuya bırakıyoruz. Bir örnek düşünün. Grupta 12'den fazla öğrenci olsun. O zaman en az ikisinin aynı ayda doğum günü olduğu açıktır.

§ 7. Denklik ilişkisi. faktör seti

Bir A kümesindeki ikili bir R ilişkisine, eğer R dönüşlü, simetrik ve geçişli ise denklik ilişkisi denir.

Sayılar kümesindeki eşitlik bağıntısı belirtilen özelliklere sahiptir, dolayısıyla bir denklik bağıntısıdır.

Üçgen benzerlik bağıntısı açıkça bir denklik bağıntısıdır.

Gerçek sayılar kümesindeki katı olmayan eşitsizlik (≤ ) ilişkisi, simetrik olmadığı için bir denklik ilişkisi olmayacaktır: 3 ≤ 5'ten 5 ≤ 3'ü takip etmez.

Belirli bir denklik ilişkisi R için bir a öğesi tarafından üretilen bir denklik sınıfı (koset), a ile R ilişkisi içinde olan x A'nın alt kümesidir. Belirtilen denklik sınıfı [a] R ile gösterilir, bu nedenle, elimizde:

[a] R = (x A: a, x R).

Bir örnek düşünün. Üçgenler kümesinde bir benzerlik ilişkisi tanıtılır. Tüm eşkenar üçgenlerin, her biri, örneğin, tüm kenarlarının birim uzunluğuna sahip bir üçgene benzer olduğu için, tek bir koset içine düştüğü açıktır.

Teorem 1.6. R bir A kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı olsun ve [a] R bir koset olsun, yani. [a] R = (x A: a, x R), sonra:

1) herhangi bir a A : [a] R ≠ , özellikle bir [a] R için;

2) farklı kosetler kesişmez;

3) tüm kosetlerin birleşimi tüm A kümesiyle çakışır;

4) farklı kosetler kümesi A kümesinin bir bölümünü oluşturur.

Kanıt. 1) R'nin yansıma özelliğinden dolayı, herhangi bir a, a A için a, a R , dolayısıyla a [ a] R ve [ a] R ≠ olduğunu elde ederiz;

2) [a] R ∩ [b] R ≠ , yani. A ve c'den c öğesi var [a] R ∩ [b] R . Sonra (cRa)&(cRb)'den, R'nin simetrisinden dolayı (aR c)&(cRb) elde ederiz ve R'nin geçişliliğinden aRb elde ederiz.

Herhangi bir х [а] R için: (хRa)&(аRb) 'ye sahibiz, o zaman R'nin geçişliliğinden dolayı хRb elde ederiz, yani. x[b]R, yani [a]R[b]R. Benzer şekilde, herhangi bir y, y [b] R için: (уRb)&(aRb) 'ye sahibiz ve R'nin simetrisinden dolayı (уRb)&(bR а), o zaman R'nin geçişliliğinden dolayı elde ederiz. , biz bunu уR а , yani. y[a]r ve

yani [b] R [a] R . [a] R [b] R ve [b] R [a] R'den [a] R = [b] R elde ederiz, yani kosetler kesişirse, bunlar çakışır;

3) kanıtlandığı gibi herhangi bir a, a A için, elimizde bir [ a] R var, o zaman tüm kosetlerin birleşiminin A kümesiyle çakıştığı açıktır.

Teorem 1.6'nın 4. İddiası 1)–3)'ten gelir. Teorem kanıtlanmıştır. Aşağıdaki teoremi ispatlayabiliriz.

Teorem 1.7. Bir A kümesindeki farklı denklik ilişkileri, A'nın farklı bölümlerini oluşturur.

Teorem 1.8. A kümesinin her bölümü, A kümesi üzerinde bir denklik ilişkisi oluşturur ve farklı bölümler, farklı denklik ilişkileri üretir.

Kanıt. A kümesinin bir bölümü В= (B i ) verilsin. R : a,b R ilişkisini ancak ve ancak ve ancak a ve b'nin her ikisi de bu B i'ye ait olacak şekilde bir B i varsa tanımlayalım. Girilen bağıntının dönüşlü, simetrik ve geçişli olduğu açıktır; dolayısıyla R bir denklik bağıntısıdır. Bölmeler farklıysa, bunların oluşturduğu denklik bağıntılarının da farklı olduğu gösterilebilir.

Belirli bir denklik ilişkisi R'ye göre bir A kümesinin tüm kosetlerinin kümesine bölüm kümesi denir ve A/R ile gösterilir. Faktör kümesinin elemanları kosetlerdir. [ a ] ​​​​R koset sınıfı, bildiğiniz gibi, birbiriyle ilişkili olan A öğelerinden oluşur R .

Z = (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …) tamsayıları kümesindeki bir denklik ilişkisi örneğini ele alalım.

m, a-b sayısının bir böleni ise, yani eğer elimizde:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

Bu durumda a≡ b(mod m) yazın.

Teorem 1.9. a , b , c ve m>0 sayıları için:

1) bir ≡ a(mod m);

2) eğer a ≡ b(mod m), o zaman b ≡ a(mod m);

3) eğer a ≡ b(mod m) ve b ≡ c(mod m), o zaman a ≡ c(mod m).

Kanıt. 1) ve 2) ifadeleri açıktır. 3) kanıtlayalım. a=b+k 1 m , b=c+k 2 m , sonra a=c+(k 1 +k 2 )m , yani. a ≡ c(mod m) . Teorem kanıtlanmıştır.

Böylece, modülo m karşılaştırılabilirlik ilişkisi bir denklik bağıntısıdır ve tamsayılar kümesini örtüşmeyen sayı sınıflarına böler.

Sonsuz olarak çözülen bir spiral oluşturalım; 1.13, düz bir çizgi ile ve kesikli bir çizgi ile gösterilen sonsuz bükümlü bir spiral ile gösterilmiştir. Negatif olmayan bir m tamsayı verilsin. Tüm tamsayıları (Z kümesindeki öğeler), Şekil 2'de gösterildiği gibi bu spirallerin m ışınlarıyla kesişme noktalarına yerleştiririz. 1.13.

Karşılaştırılabilirlik modulo m bağıntısı için (özellikle, m = 8 için) denklik sınıfı, ışın üzerinde bulunan sayılardır. Açıkçası, her sayı bir ve yalnızca bir sınıfa girer. m= 8 için şu şekilde elde edilebilir:

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

Karşılaştırma modulo m'ye göre bir Z kümesinin ayar faktörü, Z/m veya Zm olarak gösterilir. İncelenen durum için, m =8

Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) olduğunu elde ederiz.

Teorem 1.10. a, b, a * , b * , k ve m tam sayıları için:

1) a ≡ b(mod m) ise ka ≡ kb(mod m);

2) a ≡ b(mod m) ve a* ≡ b* (mod m) ise:

a) a + a * ≡ b + b * (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m).

Durum 2b) için kanıt sunuyoruz. Bazı s ve t tam sayıları için a ≡ b(mod m) ve a * ≡ b * (mod m) , ardından a=b+sm ve a * =b * +tm olsun. çarpma,

şunu elde ederiz: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Buradan,

aa* ≡ bb* (mod m).

Böylece, modulo karşılaştırmaları eklenebilir ve terim terimle çarpılabilir, yani. eşitliklerle tam olarak aynı şekilde çalışır. Örneğin,

∼ (\displaystyle \sim ). Daha sonra tüm denklik sınıflarının kümesi denir faktör seti ve belirtilmektedir. Bir kümenin eşdeğer elemanların sınıflarına bölünmesine kümenin adı verilir. çarpanlara ayırma.

Şuradan göster: X (\görüntüleme stili X) denklik sınıfları kümesine X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) isminde faktör eşleme. Eşdeğerlik bağıntısının özelliklerinden dolayı kümelere bölme benzersizdir. Bu, aşağıdakileri içeren sınıfların olduğu anlamına gelir. ∀ x , y ∈ X (\displaystyle \forall x,\;y\in X) ya kesişmez ya da tamamen örtüşmez. herhangi bir eleman için x ∈ X (\displaystyle x\in X) bazı sınıflar benzersiz olarak tanımlanır X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ), başka bir deyişle, X (\görüntüleme stili X) içinde X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). içeren sınıf x (\görüntüleme stili x), bazen belirtilir [ x ] (\displaystyle [x]).

Küme bir yapı ile sağlanırsa, genellikle eşleme X → X / ∼ (\displaystyle X\to X/\!\sim ) bir faktör seti sağlamak için kullanılabilir X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) topoloji gibi aynı yapı. Bu durumda, küme X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) indüklenen yapı ile denir bölüm uzayı.

Ansiklopedik YouTube

1 / 4

✪ 3. Denklik sınıfları

✪ Set Teorisi Ders 3 Bölüm 1

✪ Küme teorisi Ders 3 Kısım 2

✪ Küme teorisi Ders 3 Bölüm 3

Altyazılar

Faktör uzayı(by)altuzay

Genellikle denklik bağıntısı aşağıdaki gibi sunulur. İzin vermek X (\görüntüleme stili X)- lineer uzay ve L (\görüntüleme stili L) bir lineer altuzaydır. sonra iki element x , y ∈ X (\displaystyle x,\;y\in X)öyle ki x − y ∈ L (\displaystyle x-y\in L), arandı eşdeğer. Bu belirtilir x ∼ L y (\displaystyle x\,(\overset (L)(\sim ))\,y). Çarpanlara ayırma sonucunda elde edilen uzaya denir. alt uzaya göre bölüm uzayı L (\görüntüleme stili L). Eğer bir X (\görüntüleme stili X) doğrudan bir toplama genişler X = L ⊕ M (\displaystyle X=L\oplus M), o zaman bir izomorfizm var M (\görüntüleme stili M) içinde X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))). Eğer bir X (\görüntüleme stili X) sonlu-boyutlu bir uzaydır, sonra bölüm uzayı X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))) ayrıca sonlu boyutludur ve loş ⁡ X / ∼ L = loş ⁡ X − loş ⁡ L (\displaystyle \dim X/\,(\overset (L)(\sim ))=\dim X-\dim L).

Örnekler

. Faktör kümesini düşünebiliriz X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). İşlev f (\görüntüleme stili f) arasında doğal bire bir yazışma ayarlar X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) ve Y (\görüntüleme stili Y).

Yarı normlu uzaylardan normlu uzayları, neredeyse iç çarpımı olan uzaylardan iç çarpımı olan uzayları, vb. elde etmek için küme çarpanlarına ayırmayı kullanmak mantıklıdır. keyfi bir öğesi ve sınıfların rasgele öğelerinin skaler ürünü olarak sınıfların skaler ürünü. Buna karşılık, eşdeğerlik ilişkisi aşağıdaki gibi tanıtılır (örneğin, normlu bir bölüm uzayı oluşturmak için): sıfır yarı normlu öğelerden oluşan orijinal yarı normlu uzayın bir alt kümesi sunulur (bu arada, doğrusaldır). yani bir altuzaydır) ve farkları bu aynı altuzaydaysa iki elemanın eşdeğer olduğu kabul edilir.

Bir lineer uzayın çarpanlara ayrılması için onun bazı alt uzayları tanıtılırsa ve orijinal uzayın iki elemanının farkının bu alt uzaya ait olduğu varsayılırsa, o zaman bu elemanlar eşdeğerdir, o zaman faktör kümesi bir lineer uzaydır ve denir. bir faktör uzayı.

G=(p 0 =e, p 1 , …, p r ) X = (1, 2, …, n) kümesinde özdeş permütasyon ile e=p 0 özdeşliği ile tanımlanmış bir permütasyon grubu olsun. x~y bağıntısını x~y ayarlayarak tanımlarız; bu, G(p(x)=y'ye ait bir p olduğunu söylemekle eşdeğerdir). Tanıtılan bağıntı bir denklik bağıntısıdır, yani üç aksiyomu karşılar:

1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z→x~z;

A keyfi bir küme olsun.
Tanım: δ=A*A ikili ilişkisi, aşağıdaki aksiyomları karşılıyorsa, bir denklik ilişkisidir (a ~ b ile gösterilir):
∀ a, b, c ∈ A
1) a ~ a - yansıma;
2) a ~ b ⇒ b ~ a - değişebilirlik;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c - geçişlilik

a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b ile gösterilir

Tanım: Bir A kümesinin bir bölümü, tüm A'yı veren birlikte (toplamda) A'dan ikili ayrık alt kümelerin bir ailesidir.
А= ∪А ben , А ben ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.

A i alt kümelerine bölümün kosetleri denir.

teorem: A üzerinde tanımlanan her denklik ilişkisi, A kümesinin bazı bölümlerine karşılık gelir. A kümesinin her bölümü, A kümesindeki bazı denklik bağıntılarına karşılık gelir.

Kısaca A kümesinde tanımlanan tüm denklik bağıntılarının sınıfları ile A kümesinin tüm bölümlerinin sınıfı arasında bire bir denklik vardır.

Kanıt: σ bir A kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. Bir ∈ A olsun.

Bir küme oluşturalım: К a =(x ∈ A,: x~a ) – tüm elemanlar a'ya eşittir. Küme (gösterim), eşdeğerlik σ'ya göre denklik sınıfı olarak adlandırılır. Eğer b, Ka'ya aitse, o zaman b~a'ya dikkat edin. a~b⇔K a =K b olduğunu gösterelim. Gerçekten de, a~b olsun. Ka'ya ait rastgele bir c öğesi alın. O zaman c~a, a~b, c~b, c Kb'ye aittir ve bu nedenle K b, Ka'ya aittir. K a'nın K b'ye ait olduğu gerçeği de benzer şekilde gösterilmiştir. Bu nedenle, Kb =Ka.
Şimdi K b = K a olsun. O zaman a, K a = K b'ye, a ise K b , a~b'ye aittir. Gösterilmesi gereken buydu.

2 sınıfı Ka ve K b ortak bir c öğesine sahipse, o zaman K a = K b . Gerçekten de, c Ka ve Kb'ye aitse, o zaman b~c, c~a, b~a => Ka = Kb.

Bu nedenle, farklı denklik sınıfları ya kesişmez ya da kesişir ve sonra çakışır. A'nın her c öğesi yalnızca bir eşdeğerlik sınıfı K c'ye aittir. Bu nedenle, kesişimdeki örtüşmeyen denklik sınıfları sistemi tüm A kümesini verir. Bu nedenle bu sistem, A kümesinin denklik sınıflarına bir bölümüdür.

Converse: A = sum over veya A i, A'nın bir bölümü olsun. a~b ⇔ a,b aynı bölüm sınıfına ait olduğundan, A üzerindeki a~b ilişkisini tanıtalım. Bu ilişki aşağıdaki aksiyomları karşılar:

1) a ~ a (aynı sınıftadır);
2) a ~ b → b ~ a;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, yani tanıtılan bağ ~ bir denklik bağıntısıdır.

Yorum:
1) A kümesinin tek elemanlı alt kümelere bölünmesine ve A kümesinin yalnızca A kümesinden oluşan bölümüne önemsiz (uygun olmayan) bölüm denir.

2) A'nın tek elemanlı alt kümelere bölünmesi, eşitlik olan denklik ilişkisine karşılık gelir.

3) Bir A sınıfından oluşan A bölümü, A x A içeren bir denklik ilişkisine karşılık gelir.

4) a σ b → [a] σ = [b] σ — bir kümede tanımlanan herhangi bir denklik ilişkisi, bu kümeyi denklik sınıfları adı verilen ikili ayrık sınıflara böler.

Tanım: A kümesinin eşdeğerlik sınıfları kümesine, eşdeğerlik σ ile A kümesinin A/σ faktör kümesi denir.

Tanım: p(A)=[a] σ olarak adlandırılan bir p:A→A/σ eşlemesi kurallı (doğal) eşleme olarak adlandırılır.

Bir küme üzerinde tanımlanan herhangi bir denklik ilişkisi, bu kümeyi denklik sınıfları adı verilen ikili ayrık sınıflara böler.

R, bir X kümesi üzerinde ikili bir ilişki olsun. yansıtıcı , eğer (x, x) О R tüm x О X için; simetrik – eğer (x, y) О R, (y, x) О R'yi ima ediyorsa; (x, y) Î R ve (y, z) Î R, (x, z) Î R anlamına geliyorsa, 23 geçiş sayısı 24 varyantına karşılık gelir.

örnek 1

x н X diyeceğiz ortak noktası var y н X elemanı ile eğer küme
x З y boş değil. Ortak sahip olma ilişkisi dönüşlü ve simetrik olacaktır, ancak geçişli olmayacaktır.

denklik bağıntısı X üzerinde bir yansımalı, geçişli ve simetrik ilişki olarak adlandırılır. R Н X ´ X'in bir denklik bağıntısı olacağını ancak ve ancak kapanımlar gerçekleşirse görmek kolaydır:

Id X Í R (yansıma),

R -1 Í R (simetri),

R ° R Í R (geçişlilik).

Aslında, bu üç koşul aşağıdakilere eşdeğerdir:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

bölme X kümesi, UA = X olacak şekilde bir н X alt kümelerinin bir A kümesidir. .

X üzerindeki her ~ eşdeğerlik ilişkisine, öğeleri her biri ~ bağıntısındakilerden oluşan alt kümeler olan bir A bölümü karşılık gelir. Bu alt kümeler denir denklik sınıfları . Bu A bölümü, X kümesinin ~'ye göre faktör kümesi olarak adlandırılır ve şu şekilde gösterilir: X/~.

x ve y'yi 3'e böldükten sonra kalanlar eşitse, x ~ y ayarını yaparak w doğal sayılar kümesindeki ~ ilişkisini tanımlayalım. Sonra w/~ 0, 1 ve 2 kalanlarına karşılık gelen üç denklik sınıfından oluşur.

sipariş ilişkisi

Bir X kümesindeki ikili ilişki R'ye denir. antisimetrik , eğer x R y ve y'den R x ise: x = y. Bir X kümesindeki ikili ilişki R'ye denir. sipariş ilişkisi , eğer yansımalı, antisimetrik ve geçişli ise. Bunun aşağıdaki koşullara eşdeğer olduğunu görmek kolaydır:

1) Id X Í R (yansıma),

2) R Ç R -1 (antisimetri),

3) R ° R Í R (geçişlilik).

Bir X kümesinden ve X üzerinde bir R sıra ilişkisinden oluşan sıralı bir çifte (X, R) denir. kısmen sıralı set .

örnek 1

X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 olsun ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

R, 1-3 arasındaki koşulları sağladığından, (X, R) kısmen sıralı bir kümedir. x = 2, y = 3 elemanları için ne x R y ne de y R x doğrudur. Bu tür elemanlar denir eşsiz . Genellikle sipariş ilişkisi £ ile gösterilir. Yukarıdaki örnekte 0 TL 1 ve 2 TL 2 TL ama 2 TL 3 TL olduğu doğru değil.

Örnek 2

İzin vermek< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Kısmen sıralı bir kümenin (X, £) elemanları x, y О X denir karşılaştırılabilir , eğer x £ y veya y £ x ise.

Kısmen sıralı (X, £) kümesine denir. doğrusal sıralı veya zincir elemanlarından herhangi ikisi karşılaştırılabilir ise. Örnek 2'deki set lineer olarak sıralanacak, ancak Örnek 1'deki set olmayacak.

Kısmen sıralı bir kümenin (X, £) A Í X alt kümesine denir. yukarıdan sınırlanmış , eğer bir x н X elemanı varsa, öyle ki tüm a н A için bir £ x olur. Bir x н X elemanına denir. En büyük X'de, tüm y О X için y £ x ise О X. Bir x О X elemanı, x £ y olan x'ten farklı y О X elemanı yoksa maksimal olarak adlandırılır. Örnek 1'de, 2 ve 3 numaralı elemanlar maksimum olacak, ancak en büyüğü olmayacaktır. bu alt kısıtlama alt kümeler, en küçük ve minimum elemanlar. Örnek 1'de, eleman 0 hem en küçük hem de minimum olacaktır. Örnek 2'de 0 da bu özelliklere sahiptir, ancak (w, t) ne en büyük ne de maksimum elemana sahiptir.