Lorenz sistemi. Lorentz çekicisi
Kaotik, tuhaf çekiciler, kesin olarak periyodik dinamiği olmayan sistemlerin öngörülemeyen davranışlarına karşılık gelir; bu, deterministik periyodik olmayan süreçlerin matematiksel bir görüntüsüdür. Garip çekiciler yapılandırılmıştır ve üç boyutlu uzayda çok karmaşık ve olağandışı konfigürasyonlara sahip olabilirler.
Pirinç. 1.
ve üç farklı sistem için faz portreleri (alt sıra)
(Gleick, 2001)
Bazı matematikçilerin çalışmalarında garip çekicilerin var olma olasılığı önceden belirlenmiş olsa da, ilk kez bir diferansiyel denklem sistemine çözüm olarak garip bir çekicinin inşası (Şekil 2) üzerinde bir çalışmada gerçekleştirildi. Amerikalı meteorolog E. Lorentz (E. Lorentz, 1963) tarafından atmosferdeki termokonveksiyon ve türbülansın bilgisayar modellemesi. Lorentz sisteminin son durumu, başlangıç durumuna son derece duyarlıdır. "Garip çekici" teriminin kendisi daha sonra, D. Ruelle ve F. Takens'in (D. Ruelle, F. Takens, 1971: bkz. Ruelle, 2001) bir akışkandaki türbülansın doğası üzerine çalışmalarında ortaya çıktı; yazarlar, garip bir çekicinin boyutunun normalden veya topolojik olandan farklı olduğunu belirttiler.Daha sonra, B. Mandelbrot, yörüngeleri, ardışık bilgisayar hesaplamaları sırasında, fraktallarla sonsuz derecede tabakalı, bölünmüş olan garip çekicileri tanımladı.
Pirinç. 2. (Lorentz sistemindeki kaotik yörüngeler). Lorenz Çekici (Kronover, 2000)
Lorenz (1963), doğrusal olmayan üç diferansiyel denklemden oluşan basit bir sistemin bile kaotik yörüngelere yol açabileceğini keşfetti.
burada s, r ve b sistemin bazı pozitif sayıları, parametreleridir. Genellikle Lorenz sistemi çalışmaları s =10, r =28 ve b =8/3 (parametre değerleri) ile yapılır.
Böylece davranışları rastgelelik içermeyen kurallarla belirlenen sistemler, büyüme, büyütme, küçük belirsizliklerin büyütülmesi, dalgalanmalar nedeniyle zaman içinde öngörülemezlik gösterir. Artan belirsizliğe sahip bir sistemin görsel görüntüsü, Ya.G. Sina: Yeterince büyük bir top çarpışmaları dizisi, kaçınılmaz olarak hesaplanan yörüngelerden küçük sapmalarda (gerçek topların ideal olmayan küresel yüzeyi, kumaşın ideal olmayan düzgün olmayan yüzeyi nedeniyle) ve sistemin öngörülemezliğinde bir artışa yol açar. davranış.
Bu tür sistemlerde, "hamurun karıştırılması veya bir iskambil destesinin karıştırılmasıyla aynı şekilde rasgelelik yaratılır" (Crutchfield ve diğerleri, 1987). Ardışık esneme ve katlama ile "fırıncı dönüşümü" olarak adlandırılan, sonsuz katlama, düzenden kaosa geçişin ortaya çıkması için modellerden biridir; bu durumda, dönüşümlerin sayısı bir kaos ölçüsü işlevi görebilir. Lorenz çekicisinin özel bir durumu olan Aizawa Çekicisi var.
burada a = 0.95, B = 0.7, c = 0.6, d = 3.5, e = 0.25, F = 0.1. Her bir önceki koordinat denklemlere girilir, elde edilen değer zaman değerleriyle çarpılır.
Diğer garip çekicilere örnekler
Çekici WangSun
Burada a, b, d, e?R, c> 0 ve f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.
Rössler çekici
a,b,c= pozitif sabitler. Parametre değerleri ile a=b=0.2 ve
Öz
Disipline göre: Matematik
„ Lorentz çekicisi“
Lorentz çekicisi
sistemin çözümür =0,3
sistemin çözümür =1,8
sistemin çözümür =3,7
sistemin çözümür =10
sistemin çözümür =16
sistemin çözümür =24,06
sistemin çözümür =28 — aslında, bu Lorentz çekicisidir
sistemin çözümür =100 - sistemdeki kendi kendine salınım modu görünür
Lorentz çekicisi (İngilizceden.çekmek - çekmek) değişmez bir kümedir belirli bir karmaşık topolojik yapıya sahip ve asimptotik olarak kararlı olan üç boyutlu bir düzgün eğilimi de (dolayısıyla adı).
Lorentz çekicisi, doğrusal olmayan bir sistemin yörüngelerinin davranışını araştıran sayısal deneylerde bulundu:
aşağıdaki parametre değerleriyle: σ=10,r =28, b =8/3. Bu sistem ilk olarak, σ değerlerinin seçimini motive eden düz bir tabakadaki deniz suyu sorunu için önemsiz olmayan ilk sistem olarak tanıtıldı.r veb , ancak diğer fiziksel sorular ve modellerde de ortaya çıkar:
kapalı bir döngüde konveksiyon;
su çarkının dönüşü;
tek modlu model;
atalet doğrusal olmama ile tüketen.
İlk hidrodinamik denklem sistemi:
nerede - akış hızı, - sıvı sıcaklığı, - üst limitin sıcaklığı (alt limitte, ), - yoğunluk, - baskı yapmak, - yer çekimi, - sırasıyla ve kinematik.
Konveksiyon probleminde, model, akış hızı ve sıcaklığı iki boyutlu olanlara ve bunların ardından birinci ikinci harmoniklere kadar "kesmelere" ayrıldığında ortaya çıkar. Ek olarak, verilen tam denklem sistemi . Soltsman, çalışmasında çoğu harmoniğin davranışında herhangi bir ilginç özelliğin bulunmadığını gösterdiğinden, satırların budanması bir dereceye kadar haklıdır.
Uygulanabilirlik ve gerçeğe uygunluk
Bahsedilen problemlerle ilgili olarak denklem sistemindeki değişkenlerin ve parametrelerin fiziksel anlamlarını belirleyelim.
Düz bir tabakada konveksiyon. Buradax su şaftlarının dönüş hızından sorumlu,y vez - yatay ve dikey sıcaklık dağılımı için,r - normalleştirilmiş , σ - (kinematik katsayının katsayıya oranı ),b konvektif hücrenin geometrisi hakkında bilgi içerir.
Kapalı bir döngüde konveksiyon. Buradax - akış hızı,y - döngünün alt noktasından 90 ° uzaktaki bir noktada ortalamadan sıcaklık sapması,z - aynı, ancak en alt noktada. Isı en düşük noktadan sağlanır.
Su çarkının dönüşü. Altta delikli sepetlerin sabitlendiği janttaki bir tekerlek sorunu ele alınmaktadır. Tekerleğin üst kısmısimetrik olarak sürekli bir su akışı dönme ekseni etrafında akar. Görev, sıcaklığın, çember boyunca sepetlerdeki su kütlesinin dağılım yoğunluğu ile değiştirilmesiyle “ters çevrilmiş” bir öncekine eşdeğerdir.
tek modlu lazer Buradax - lazerdeki dalgaların genliği,y - , z - popülasyon inversiyonu,b ve σ, ters çevirme ve alan katsayılarının polarizasyon gevşeme katsayısına oranlarıdır,r - yoğunluk.
Lorentz modelinin konveksiyon sorununa uygulandığı şekliyle, gerçeklikten çok uzak, çok kaba bir yaklaşım olduğunu belirtmekte fayda var. Kararlı çözümlerin, tek tip dönen konvektif merdanelerin () deneysel olarak gözlemlenen resmini niteliksel olarak yansıttığı, düzenli rejimler bölgesinde aşağı yukarı yeterli bir denklik mevcuttur. Modelin doğasında bulunan kaotik rejim, orijinal trigonometrik serinin önemli ölçüde kırpılmasından dolayı türbülanslı taşınımı tanımlamaz.
İlgi çekici olan, özellikle dikey yönde titreşime veya değişken termal etkilere maruz kalan bir katmandaki konveksiyonu tanımlamak için kullanılan bazı modifikasyonları ile modelin önemli ölçüde daha yüksek doğruluğudur. Dış koşullardaki bu tür değişiklikler, denklemlerdeki katsayıların modülasyonuna yol açar. Bu durumda, sıcaklık ve hızın yüksek frekanslı Fourier bileşenleri önemli ölçüde bastırılarak Lorentz modeli ile gerçek sistem arasındaki uyum iyileştirilir.
Dikkate değer, Lorenz'in parametre değerini seçmedeki şansı , sistem sadece 24,74'ten büyük değerler için geldiğinden, daha küçük değerler için davranış tamamen farklıdır.
Sistem Çözümü Davranışı
r parametresinin farklı değerleri için Lorentz sistemine çözümün davranışındaki değişiklikleri ele alalım. Makalenin çizimleri, başlangıç koordinatları (10,10,10) ve (-10,-10,10) olan noktalar için sayısal simülasyon sonuçlarını göstermektedir. Modelleme, Fortran'ın Compaq Array Viewer'ı kullanan zayıf grafik yeteneklerinden dolayı, aşağıdaki program kullanılarak, dilde yazılmış, ortaya çıkan tablolara göre çizilerek gerçekleştirildi.
r <1 - koordinatların orijini çekicidir, başka sabit nokta yoktur.
1< r <13,927 - yörüngeler, konumu formüllerle belirlenen iki noktaya spiral olarak yaklaşır (bu, sönümlü salınımların varlığına karşılık gelir):
Bu noktalar, tabakada dönen sıvı rulolarının bir yapısı oluştuğunda, durağan konveksiyon rejiminin durumlarını belirler.
r ≈13,927 - yörünge orijinden ayrılırsa, kararlı noktalardan biri etrafında tam bir dönüş yaptıktan sonra başlangıç noktasına geri döner - iki homoklinik döngü ortaya çıkar. kavramhomoklinik yörünge çıkması ve aynı denge konumuna gelmesi demektir.
r >13,927 - Yöne bağlı olarak yörünge iki sabit noktadan birine gelir. Homoklinik döngüler kararsız limit döngülere dönüştürülür ve ayrıca bir çekici olmayan, aksine, yörüngeleri kendinden iten karmaşık bir şekilde düzenlenmiş yörüngeler ailesi ortaya çıkar. Bazen, benzetme yoluyla, bu yapıya "garip kovucu" denir (İng.püskürtmek - kovmak).
r ≈24,06 - yörüngeler artık kararlı noktalara yol açmaz, ancak asimptotik olarak kararsız sınır döngülerine yaklaşır - gerçek Lorentz çekicisi görünür. Ancak her iki kararlı nokta da değerlere kadar korunur.r ≈24,74.
Parametrenin büyük değerleri için yörünge ciddi değişikliklere uğrar. Shilnikov ve Kaplan bunu çok büyükr sistem kendi kendine salınım moduna geçer ve eğer parametre azaltılırsa, bir dizi salınım periyodu iki katına çıkarak kaosa geçiş gözlemlenecektir.
Modelin Önemi
Lorentz modeli, yapay olarak oluşturulmuş çeşitli eşlemelerin ( , vb.) aksine, kaotik davranışa sahip gerçek bir fiziksel örnektir.
Lorenz sisteminin davranışını simüle eden programlar
Borland C
#Dahil etmek
#Dahil etmek
geçersiz ana()
çift x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;
çift dt = 0.0001;
int a = 5, b = 15, c = 1;
int gd=ALGILA, gm;
initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");
yapmak(
X1 = x + a*(-x+y)*dt;
Y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
Z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
X=x1; y=y1; z = z1;
Putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
(int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
) while (!kbhit());
yakın grafik();
matematik
veri = tablo[
[(N = 1000, dt = 0.01, a = 5, b = 1 + j, c = 1) ile,
NestList &,
(3.051522, 1.582542, 15.62388), K
(j, 0, 5)];
[e-posta korumalı][(Ton], Nokta[#1]) &, veri]
Borland Pascal
Lorenz Programı;
CRT, Grafik kullanır;
Sabit
dt = 0.0001;
a = 5;
b = 15;
c=1;
Var
gd, gm: Tamsayı;
x1, y1, z1, x, y, z: Gerçek;
Başlamak
gd:=Tespit;
InitGraph(gd, gm, "c:\bp\bgi");
x:= 3.051522;
y:= 1.582542;
z:= 15.62388;
Tuşa Basılmamışken Başlayın
x1:= x + a*(-x+y)*dt;
y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1:= z + (-c*z+x*y)*dt;
x:= x1;
y:= y1;
z:= z1;
PutPixel(Yuvarlak(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
Yuvarlak(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
son;
Grafiği Kapat;
Anahtar okuma;
son.
FORTRAN
program LorenzSystem
gerçek,parametre::sigma=10
gerçek,parametre::r=28
gerçek,parametre::b=2.6666666
gerçek,parametre::dt=.01
tamsayı,parametre::n=1000
gerçek x,y,z
open(1,file="result.txt",form="formatted",status="replace",action="write")
x=10.;y=10.;z=10.
doi=1,n,1
x1=x+sigma*(y-x)*dt
y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
z1=z+(x*y-b*z)*dt
x=x1
y=y1
z=z1
yaz(1,*)x,y,z
bitirmek
yazdır *, "Bitti"
kapat(1)
program sonu LorenzSystem
QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")
DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 TEK OLARAK
DIM a, b, c INTEGER OLARAK
x = 3.051522: y = 1.582542: z = 15.62388: dt = 0.0001
a=5: b=15: c=1
EKRAN 12
YAZDIR "Çıkmak için Esc tuşuna basın"
HAREKETE GEÇİRKEN $<>CHR$(27)
x1 = x + bir * (-x + y) * dt
y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
x=x1
y = y1
z = z1
PSET ((19.3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)) 9
GEÇ
SON
JavaScript ve HTML5
var cnv = document.getElementById("cnv");
var cx = cnv.getContext("2d");
var x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;
vardt = 0.0001;
var a = 5, b = 15, c = 1;
var h = parseInt(cnv.getAttribute("yükseklik"));
var w = parseInt(cnv.getAttribute("width"));
var id = cx.createImageData(w, h);
varrd = Math.round;
var idx = 0;
ben=1000000; süre (i--) (
x1 = x + a*(-x+y)*dt;
y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
x = x1; y=y1; z = z1;
idx=4*(rd(19.3*(y - x*0.292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0.292893) + 392)*w);
id.veri = 255;
cx.putImageData(id, 0, 0);
IDL
PRO Lorenz
n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. &b=15. &c=1.
i=0.,n-2 İÇİN. DO r=r + [ a*(r-r), b*r-r-r*r, r*r-c*r ]*0.0001
arsa,19.3*(r[*,1]-r[*,0]*0.292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0.292893)+392.
SON
Edebiyat
Kuznetsov S.P. , Ders 3. Lorentz sistemi; Anlatım 4. Lorentz sisteminin dinamiği. // - M.: Fizmatlit, 2001.
Saltzman B . Başlangıç değer problemi olarak sonlu genliksiz taşınım. // Atmosfer bilimi dergisi, No. 7, 1962 - s. 329-341.
Lorenz E . Deterministik periyodik olmayan hareket // Garip çekiciler. - M., 1981. - S. 88-116.
Genelde öyle derler kaos daha yüksek bir düzen biçimidir, ancak kaosu başka bir düzen biçimi olarak düşünmek daha doğrudur - kaçınılmaz olarak, herhangi bir dinamik sistemde, olağan anlamıyla düzenin ardından kaos gelir ve düzen de kaosu takip eder. Kaosu düzensizlik olarak tanımlarsak, o zaman böyle bir düzensizlikte kesinlikle kendi özel düzen biçimimizi görebileceğiz. Örneğin, sigaradan duman ilk başta dış ortamın etkisi altında düzenli bir sütun şeklinde yükselir, giderek daha tuhaf ana hatlar alır ve hareketleri kaotik hale gelir. Doğadaki bir başka rastgelelik örneği, herhangi bir ağaçtan yaprak. Meşe gibi birçok benzer yaprak bulacağınız, ancak tek bir özdeş harf bulamayacağınız söylenebilir. Fark, tamamen iç nedenlerin (örn. genetik farklılık) yanı sıra sıcaklık, rüzgar, nem ve diğer birçok dış faktör tarafından belirlenir.
Kaos teorisi
Düzenden kaosa ve tam tersine hareket, görünüşe göre, Evrenin özüdür, tezahürüne katkıda bulunmayı incelemedik. İnsan beyninde bile düzenli ve kaotik ilkeler aynı anda mevcuttur. Birincisi beynin sol yarımküresine, ikincisi ise sağa karşılık gelir. Sol yarıküre, bir kişinin bilinçli davranışından, insan davranışında “eğer ... o zaman ...” ın açıkça tanımlandığı doğrusal kurallar ve stratejilerin geliştirilmesinden sorumludur. Sağ yarıkürede, doğrusal olmama ve kaos hüküm sürer. Sezgi, beynin sağ yarımküresinin tezahürlerinden biridir. Kaos teorisi rastgele, düzensiz görünen kaotik bir sistemin düzenini inceler. Aynı zamanda, kaos teorisi, gelecekteki kaotik bir sistemin davranışını doğru bir şekilde tahmin etme görevini belirlemeden, böyle bir sistemin bir modelini oluşturmaya yardımcı olur.kaos teorisinin tarihi
Kaos teorisinin ilk unsurları 19. yüzyılda ortaya çıktı, ancak bu teori 20. yüzyılın ikinci yarısında eserlerle birlikte gerçek bilimsel gelişme aldı. Edward Lorenz(Edward Lorenz) ve Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nden Fransız-Amerikalı matematikçi Benoit B. Mandelbrot (Benoit B. Mandelbrot). Edward Lorenz bir zamanlar (XX. Lorenz'in çalışmasıyla, bilim dünyasına sonsuz uzun bir süre için doğru hava tahmini olasılığına ilişkin iki görüş hakim oldu. İlk yaklaşım 1776'da bir Fransız matematikçi tarafından formüle edilmiştir. Pierre Simon Laplace. Laplace, "...belirli bir anda evrendeki nesneler arasındaki tüm bağlantıları kavrayan bir zihin tasarlarsak, o zaman tüm bu nesnelerin ilgili konumlarını, hareketlerini ve genel etkilerini herhangi bir zamanda tespit edebilecektir. gelecekte veya geçmişte." Bu yaklaşımı Arşimet'in ünlü sözüne çok benziyordu: "Bana bir dayanak noktası verin, tüm dünyayı tersine çevireyim." Bu nedenle Laplace ve destekçileri, hava durumunu doğru bir şekilde tahmin etmek için yalnızca evrendeki tüm parçacıklar, bunların konumu, hızı, kütlesi, hareket yönü, ivmesi vb. hakkında daha fazla bilgi toplamanın gerekli olduğunu söylediler. Laplace, bir kişi ne kadar çok şey bilirse, gelecekle ilgili tahmininin o kadar doğru olacağına inanıyordu. İkinci yaklaşım Başka bir Fransız matematikçi tarafından en açık şekilde formüle edilmiş olan hava tahmini olasılığı, Jules Henri Poincare. 1903'te şunları söyledi: "Doğa yasalarını ve evrenin ilk anda konumunu tam olarak bilseydik, aynı evrenin sonraki bir anda konumunu doğru bir şekilde tahmin edebilirdik. Ancak doğa yasaları bize tüm sırlarını ifşa etse bile, o zaman bile ilk konumu ancak yaklaşık olarak bilebiliriz. Bu, sonraki konumu aynı yaklaşımla tahmin etmemize izin verirse, ihtiyacımız olan tek şey bu olurdu ve fenomenin önceden tahmin edildiğini, yasalarca yönetildiğini söyleyebiliriz. Ancak, başlangıç koşullarındaki küçük farklılıkların nihai fenomende çok büyük farklılıklara neden olması her zaman geçerli değildir. İlkinde küçük bir hata, ikincisinde büyük bir hata üretecektir. Tahmin imkansız hale geliyor ve tesadüfen gelişen bir fenomenle karşı karşıyayız.” Poincaré'nin bu sözlerinde, kaos teorisinin başlangıç koşullarına bağımlılık konusundaki varsayımını buluyoruz. Bilimin, özellikle de kuantum mekaniğinin sonraki gelişimi, Laplace'ın determinizmini çürüttü. 1927'de bir Alman fizikçi Werner Heisenberg keşfedilmiş ve formüle edilmiş belirsizlik ilkesi. Bu ilke, bazı rastgele fenomenlerin neden Laplacian determinizme uymadığını açıklar. Heisenberg, bir çekirdeğin radyoaktif bozunmasını örnek olarak kullanarak belirsizlik ilkesini gösterdi. Bu nedenle, çekirdeğin çok küçük boyutu için, içinde meydana gelen tüm süreçleri bilmek imkansızdır. Dolayısıyla çekirdek hakkında ne kadar bilgi toplarsak toplayalım, bu çekirdeğin ne zaman bozunacağını tam olarak kestirmek mümkün değildir.Kaos teorisi araçları
Kaos teorisi hangi araçlara sahiptir? Her şeyden önce, bunlar çekiciler ve fraktallardır. Çekici (İngilizce'den. Çekmek - çekmek) - uzun bir süre sonunda faz uzayındaki davranışı karakterize eden geometrik bir yapı. yani cazibe merkezi- sistemin kendisine çekildiği, başarmaya çalıştığı şey budur. En basit çekici türü bir noktadır. Böyle bir çekici, sürtünme varlığında bir sarkaç için tipiktir. Başlangıç hızı ve konumu ne olursa olsun, böyle bir sarkaç her zaman duracaktır, yani. kesinlikle. Bir sonraki çekici türü, kapalı bir eğri çizgi şeklinde olan limit çevrimdir. Böyle bir çekicinin bir örneği, sürtünme kuvvetinden etkilenmeyen bir sarkaçtır. Limit döngüsünün başka bir örneği kalp atışıdır. Vuruş frekansı azalabilir ve artabilir, ancak her zaman çekicisine, kapalı eğrisine yönelir. Üçüncü çekici türü ise simittir. Şekil 1'de, torus sağ üst köşede gösterilmiştir.
Şekil 1 - Başlıca çekici türleri Üstte gösterilen üç öngörülebilir, basit çekicidir. Aşağıda üç kaotik çekici var. Bazen garip çekiciler olarak adlandırılan kaotik çekicilerin davranışının karmaşıklığına rağmen, faz uzayı bilgisi, sistemin davranışını geometrik bir biçimde temsil etmeye ve buna göre onu tahmin etmeye izin verir. Ve sistemin belirli bir zamanda faz uzayında belirli bir noktada kalması pratik olarak imkansız olsa da, cismin bulunduğu alan ve çekiciye olan eğilimi tahmin edilebilir. Lorenz çekici
İlk kaotik çekici Lorenz çekiciydi.
Şekil 2 - Kaotik Lorenz çekicisi Lorentz çekicisi sadece üç serbestlik derecesi temelinde hesaplanır - üç adi diferansiyel denklem, üç sabit ve üç başlangıç koşulu. Ancak, basitliğine rağmen, Lorenz sistemi sözde rastgele (kaotik) bir şekilde davranır. Sistemini bir bilgisayarda simüle eden Lorentz, kaotik davranışının nedenini - başlangıç koşullarındaki farkı belirledi. Evrim sürecinin en başında iki sistemin mikroskobik bir sapması bile, üstel bir hata birikimine ve buna bağlı olarak stokastik anlaşmazlıklarına yol açtı. Aynı zamanda, herhangi bir çekicinin sınır boyutları vardır, bu nedenle farklı sistemlerin iki yörüngesinin üstel ayrışması süresiz olarak devam edemez. Er ya da geç, yörüngeler tekrar birleşecek ve yan yana geçecek veya hatta ikincisi pek olası olmasa da çakışacaktır. Bu arada, yörüngelerin çakışması, basit öngörülebilir çekicilerin davranışının kuralıdır. Yakınsama ayrımı(sırasıyla bileşik ve esneme olarak da adlandırılır) bir kaotik çekicinin sistematik olarak ilk bilgilerini kaldırır ve yeni bilgilerle değiştirir. Yükselirken, yörüngeler birbirine yaklaşır ve miyopinin etkisi ortaya çıkmaya başlar - büyük ölçekli bilgilerin belirsizliği artar. Yörüngeler birbirinden ayrıldığında tam tersine ayrılıyor ve küçük ölçekli bilginin belirsizliği arttığında ileri görüşlülük etkisi ortaya çıkıyor. Kaotik çekicinin sürekli yakınsama-ıraksaklığının bir sonucu olarak, belirsizlik hızla artıyor, bu da zamanın her anında doğru tahminler yapmamızı imkansız kılıyor. Bilimin bu kadar gurur duyduğu şey - nedenler ve sonuçlar arasında bağlantı kurma yeteneği - kaotik sistemlerde imkansızdır. Kaosta geçmiş ve gelecek arasında nedensel bir ilişki yoktur. Burada ayrıca yakınsama-uzaklaşma hızının bir kaosun ölçüsü olduğu, yani. sistemin ne kadar kaotik olduğunun sayısal ifadesi. Kaosun bir başka istatistiksel ölçüsü, çekicinin boyutudur. Bu nedenle, kaotik çekicilerin ana özelliğinin, rastgele kademeli ve sonsuz olarak karışan farklı sistemlerin yörüngelerinin yakınsaması-uzaklaşması olduğu not edilebilir. Izv. üniversiteler "PND", v. 15, No. 1, 2007 UDC 517.9
KAYNAK AKIŞLARINDA LORENTZ ÇEKİMİ
AM Muhammedov
Sürekli bir ortamın daha önce önerilen kaotik dinamiği modeli çerçevesinde, Lorentz tipi bir çekiciye karşılık gelen üç boyutlu akış hızı dalgalanmaları rejiminin gerçekleştirilmesi elde edilir. Çözüm, orta akış hızlarının titreşimleriyle oluşturulan, üç boyutlu duruma indirgenmiş katmanlı manifoldun geometrisini belirleyen bir dizi yapıdır. Lorentz çekicisinin dinamikleri, ortalama akışın akış çizgileri boyunca hız dalgalanmalarının zamana bağımlılığı şeklinde kendini gösterir.
Bilindiği gibi, deterministik kaosun klasik örneklerinden biri olan, uygulamalı hidrodinamik araştırmalar sonucunda keşfedilen Lorentz çekicisi, mevcut türbülanslı mekaniğin formalizminde henüz yeterince yeniden üretilmemiştir. Yazarın eserlerinde, bu sorunun klasik hidrodinamik çözümünün prensipte elde edilemeyeceğine dair bir hipotez ifade edilmiş ve böyle bir sonuç için bir gerekçe önerilmiştir. Kaotik dinamiklerin çekici modellerinin sürekli bir ortamın mezoskopik hareket seviyesini etkilediği ve bu seviyenin klasik Navier-Stokes denklemlerinde temsil edilmediği anlayışına dayanıyordu. Bu, hidrodinamiğin matematiksel formalizmine ek mezoyapıları açıkça dahil ederek Lorentz çekicisi problemini çözme seçeneklerini genişletme önerisine yol açtı; bu teorinin aparatını Navier-Stokes denklemleri ile klasik operasyonlar çerçevesinin ötesine taşıyor.
Şu anda, sürekli ortam dinamiklerinin çekici rejimleri, ortamın parçacıklarının birbirleriyle mekanik etkileşimleri kavramını neredeyse kullanmadan, sürekli bir ortamın hareketinin geniş kapsamlı soyutlamaları olan modeller çerçevesinde inşa edilmektedir. . Bazı durumlarda, bu soyutlamalar, yuvalanmış Hilbert uzaylarının hiyerarşisinde hareket eden evrimsel tip operatörlerin özelliklerini yansıtır. Diğer durumlarda, çevrenin durumlarındaki değişiklikleri yeniden üreten sonlu boyutlu sistemlerin dinamiklerini yansıtırlar, ancak bu durumda, durumların her biri aslında karşılık gelen faz manifoldunun sadece bir noktası ile temsil edilir. Bu tür modelleme, tüm temel yapıların doğrudan, yani sürekli bir ortam tarafından işgal edilen alanda yeniden üretilmesini gerektiren hidromekaniğin uygulamalı amacına karşılık gelmez. Teorik ve deneysel verilerin argümanlarını lehinde dikkate alırsak
Böyle bir temsilin varlığı, o zaman çevrenin uzay-zaman özelliklerinin dinamikleri bağlamında çekicilerin yeniden üretilmesi acil bir ihtiyaç olarak görünmektedir.
Bu yazıda, Lorentz çekicisi, modelde önerilen türbülanslı dinamikler çerçevesinde inşa edilmiştir. Bu modele göre, türbülanslı rejimlerin faz uzayları, hidrodinamik niceliklerdeki dalgalanmaların jetlerinin tabakalaşmalarıdır. Dalgalanan demetlerin geometrisinin, karşılık gelen kaotik rejimlerin modellenmiş özellikleri tarafından belirlenen, a priori keyfi olduğu varsayılır. Simülasyonun ana amacı, ortamdaki noktaların kararsız hareket yörüngelerinin bir kompleksi olan kaotik bir yapıdır. Her yerleşik türbülanslı rejimin iyi tanımlanmış bir kaotik yapıya karşılık geldiği varsayılmaktadır. Kaotik bir yapının yörüngesinde, dinamik değişkenlerin bir dalgalanma demeti üzerinde tanımlanan, entegre edilemeyen (holonomik olmayan) bir Pfaff tipi dağılımın integral eğrileri seti ile tanımlandılar.
Önerilen modelin karakteristik bir özelliği, genel durumda hareketi Euler değişkenleri cinsinden açıklamaya indirgenmeyen bir ortamın hareketini tanımlamaya yönelik Lagrange yöntemidir. Aynı zamanda, Lagrange'ın tanımının, garip çekicilere sahip sistemlerin dinamiklerini yansıtmak için takdire şayan bir şekilde uyarlandığı ortaya çıktı. Euler paradigmasının katı kısıtlamaları yerine, Lagrange'ın tanımı, karşılık gelen holonomik olmayan dağılımların geometrik nesnelerini belirlemeye hizmet eden çok daha yumuşak koşullar empoze eder. Modelleme vurgusundaki böyle bir değişiklik, sürekli ortamdaki parçacık ışınlarının dinamiğinde çeşitli çekicileri yeniden üretmeyi mümkün kılar.
1. Üç modlu rejimin titreşimlerinin dinamikleri için denklemleri ayarlayalım
(yi + 4 (x, y!) (xk = Ar(x, y^)(U (1,3,k = 1,2,3), (1))
burada xk ve yz, titreşimlerin katmanlaşmasının uzamsal ve dinamik koordinat kümelerini oluşturur ve mkk(x, yt)(xk ve Ar(x, yt)M nesneleri rejimin modlar arası etkileşimlerinin doğasını belirler. ve denklem (1)'in kendisi, gerçek türbülanslı evrim tarafından belirlenen, uzaysal koordinatlara ve zamana göre dinamik koordinatların türevlerinin oluşumu için kurallar olarak düşünülebilir. Bu nesnelerin değişmez geometrik anlamı, belirledikleri titreşimler demetinde olmasıdır. sırasıyla iç bağlantı nesnesi ve dikey vektör alanı.
Yukarıda tanıtılan dinamik koordinatların, ortamın akış hızındaki dalgalanmalar anlamına geldiğini varsayalım, yani ortamın gerçek hızı, formüle göre ortalama akışın hız alanına ve dalgalanmalara genişletilebilir.
u (x, y) = u0 (x) + y. (2)
Standart süreklilik denklemi ve Navier-Stokes denklemi şeklinde kütle ve momentum dengesi denklemlerini alacağız.
Chr + udi. (4)
Bu denklem sistemi henüz tamamlanmamıştır, çünkü denklem (4), dinamikleri genel durumda kinematik kapsamının ötesine geçen bir termodinamik değişken olan basıncı içerir. Basınç dalgalanmalarını tanımlamak için, ilgili türbülanslı hareket rejimini tanımlamak için gerekli serbestlik derecelerinin sayısını artıran yeni dinamik koordinatlar gereklidir. Basınç dalgalanmaları anlamına gelen yeni bir dinamik değişken sunuyoruz, yani
p(x,y)= po(x) + y4. (5)
Bu nedenle, sürekli bir ortamın hareketini görüntülemek için gerekli dinamik koordinatların ilk seti dört boyutludur.
Lorentz sisteminin dinamiklerine benzer dinamiklere sahip üç boyutlu bir sisteme indirgeme olasılığı, basıncın Denklem (4)'e bir gradyan şeklinde girmesi gerçeğinde yatmaktadır. Dolayısıyla, Denklem (4)'e giren basınç gradyanı yalnızca ilk üç dinamik koordinatı içeriyorsa, hız dalgalanmalarının üç boyutlu dinamiğine indirgeme gerçekleştirilebilir. Bunu yapmak için, dördüncü koordinat için dinamik denklemlerinde şunu istemek yeterlidir.
dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)
w4(x,yj)dxk bağlantı biçimlerinin katsayıları yalnızca ilk üç dinamik koordinata bağlıydı. Üç boyutlu rejimin, tüm uyarılmış serbestlik derecelerinin dikkate alınmasını içeren daha eksiksiz bir açıklama açısından kararsız hale gelebileceğini unutmayın. Ancak, kendimizi bu olası dinamikleri tam olarak modellemekle sınırlayacağız.
Dinamik denklem (1)'de yer alan bilinmeyen wk(x,yj)dxk ve Ai(x,yj)dt miktarları için denklem (3), (4) tarafından dayatılan koşulları ele alalım. Bunu yapmak için (2) ve (5)'i (3) ve (4)'ün yerine koyarız ve (1) ve (6) denklemlerini kullanırız. Elde edilen ifadeleri basitleştirmek için xk uzaysal koordinatlarının Kartezyen olduğunu varsayıyoruz. Bu durumda, kovaryant ifadeler yazmak için bunları gerektiği gibi yükseltip alçaltarak üst simgeler ve alt simgeler arasında ayrım yapamazsınız. Daha sonra denklem (1) katsayıları için aşağıdaki denklemleri elde ederiz.
dkuk - wj = 0, (7)
Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (sekiz)
burada Dj = dj - wk^y gösterimi tanıtılır.
Bundan sonrası için, problemin formülasyonunu somutlaştırıyoruz. Ortalama hız alanı basit bir kaymanın akışını tanımlayan bir rejimi ele alacağız.
uk = Ax3à\. (dokuz)
Ek olarak, fiberli pulsasyon uzayının geometrisi hakkında varsayımlarda bulunuruz. Paketin dinamik koordinatlarda lineer bir fonksiyon olarak bağlı olduğunu varsayıyoruz, yani w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). Bu durumda, ikinci nesnenin dinamik koordinatlarda polinom olan bir yapı kazandığı Denklem (8)'den hemen çıkar. Yani, dikey vektör alanı dinamik koordinatlarda ikinci dereceden bir polinom haline gelir, yani.
Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.
Dolayısıyla, söz konusu üç modlu rejimin titreşimlerinin dinamikleri için denklemi belirleyen bilinmeyen fonksiyonlar, bizim için sahip olduğumuz waak(x), Ar0(x), Ark(x) ve A3k(x) katsayılarıdır. denklem (3) ve (4). Bağlantı katsayılarının seçimi sadece süreklilik denklemini (3) sınırlarken, denklem (4) esasen dikey vektör alanının katsayılarını belirlemeye indirgenir. Bu denklem, bağlantı katsayılarının belirlenmesinde önemli ölçüde keyfilik bırakır ve böylece, seçilen ortalama akışla tutarlı dalgalanma dinamiklerinin uzamsal yapısının modellenmesinin genişliğini bırakır.
2. Bu problemde Lorentz tipinde bir çekici elde etme olasılığını düşünün. Bu amaçla öncelikle hızın gerçek değerlerinin ortalama hıza açılımını ve ortalama etrafındaki dalgalanmaları ele alacağız.
Titreşimlerin anlamına göre, zaman ortalamaları sıfıra eşit olmalıdır, yani.
(y)t - 0. (10)
Aynı zamanda titreşimler, gerçek hız değerlerinin ortalama değerden sapmaları olarak tanımlanır. Ortalama akışın verildiği varsayılırsa, belirtilen durum kaotik dinamikleri olan rastgele bir denklem sistemini model kaos denklemi olarak seçmemize izin vermez. Model denklem sisteminin değişkenlerinin gerçek hidromekanik büyüklüklerin titreşimleri olarak kabul edilebilmesi için, (10) koşullarının sağlanması gerekir. (10) sağlanmazsa, bu, titreşim dinamiklerinde hesaplanmamış bir kaymanın varlığı anlamına gelir. Buna göre, benimsenen model sistemin, dikkate alınan etkili faktörlerle veya izin verilen ortalama akışın yapısıyla tutarsız olduğu ortaya çıkıyor.
Ayrıca, denklem (1) genel durumda tamamen entegre edilemeyen bir Pfaff tipi sistemdir. Bu denklemin integrallenemezlik özelliği, türbülanslı hareketin bir özelliğine karşılık gelen temelde önemlidir. Yani, hareket sürecinde, makroskopik olarak küçük türbülanslı oluşumlar, parçacıklar, güveler, globüller bireyselliklerini kaybeder. Bu özellik Denklem (1)'in integrallenemezliği ile dikkate alınır. Özünde (1), sürekli bir ortam tarafından oluşturulan bir sürekliliğin noktalarının olası hareket yörüngelerinin bir grubunu tanımlar. Bu yörüngeler, dalgalanmalar demetinde tanımlanır. Sürekli bir ortam tarafından işgal edilen uzaya izdüşümleri, karşılık gelen uzaysal eğriler boyunca dalgalanmaların gelişiminin dinamiklerini belirler. İkincisinin, herhangi bir uzaysal eğri boyunca dalgalanmaların dinamiklerini dikkate alma olasılığını belirleyerek keyfi olarak seçilebileceğini unutmayın.
Kesinlik için, ortalama akışın akım çizgileri boyunca dalgalanmaların dinamiklerini ele alalım. O zaman aşağıdaki dinamik denklemlere sahibiz:
xr = u0, (11)
y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)
Bu sistemi ele almadan önce boyutsuz değişkenlere dönüştürüyoruz. Bunu yapmak için, orijinal denklemde (4) viskozite katsayısı yerine,
Reynolds sayısı. Ardından, değiştirerek bu sayıya olan açık bağımlılığı ortadan kaldırın.
<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)
Değişkenler üzerinde alt çizgiyi atlayarak, (12)'den elde ederiz
y \u003d DiO - ve! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)
Analiz edelim (13). Kullanılan modelin gelişmiş türbülansı varsaydığına dikkat edin, yani Reynolds sayısı yeterince büyük kabul edilmelidir. Daha sonra, boyutsuz nicelikler birlik mertebesine sahip değerlere sahipse, o zaman (13)'e göre gerçek boyutlu nicelikler, dinamiklerin tezahürünün ölçeğini gösterecektir. Özellikle, (13)'ten uzamsal ölçeklerin küçük olduğu ortaya çıkar. Bu nedenle, kullanılan model, her şeyden önce, sürekli bir ortamın mezoskopik çözünürlük seviyesinde türbülanslı karıştırma işlemlerinin bir modeli olarak düşünülmelidir.
Şimdi (11) ve (12)'nin analizine dönelim. Seçilen ortalama akış için denklem (11) basit integrallere sahip olduğunu görmek kolaydır. Karşılık gelen ortalama akım akım çizgisi denklemleri, x1 koordinat eksenine paralel düz çizgilerdir. (12)'den uzaysal koordinatları ortadan kaldırarak, genel durumda bir otonom olmayan diferansiyel denklemler sistemi elde ederiz. Bu durumda, bağlantı katsayıları ve basınç gradyanı x1 koordinatına bağlı değilse, sistem (14) otonom hale gelir ve kalan uzamsal koordinatlar x2 ve x3'ü parametre olarak içerir. Bu durumda, uzaysal olarak homojen olmayan yarı-durağan titreşim dinamiklerinin doğrudan modellenmesi için gerçek bir yol açılır. Aşağıda böyle bir simülasyon örneği verilecektir.
Bu paragrafın sonunda, Pfaff sistemi (1), (6) tarafından verilen holonomik olmayan bir dağılımın ortaya çıkışının, sürekli güçlü türbülans durumunda, olası hareket yörüngeleri sınıfının varsayımının bir sonucu olduğuna dikkat çekiyoruz. ortamın parçacıkları kararlı bir oluşumdur. Bu yeni kararlılık için gerekli bir koşul, sırayla, Reynolds sayısının büyük değerlerini ifade eden noktaların hareket yörüngelerinin kararsızlığının gerekliliğidir. Yaklaşımı Re sayısının küçük değerlerine genişletme girişimi temelsizdir.
3. Ortalama akışın yörüngeleri boyunca hız dalgalanmalarının bir Lorentz tipi kanonik sistem tarafından tanımlandığı bir örneğin yapımına dönelim. Basitlik için, tüm bağlantı katsayılarının sabit olduğunu varsayacağız. Bu durumda, ortalama akışın akış çizgileri boyunca uzamsal olarak homojen olan, ancak yine de keyfi çizgiler boyunca uzamsal olarak homojen olmayan dinamikler elde ederiz. Bu varsayımı yarı homojen yaklaşım olarak adlandıracağız.
Görevimiz, denklem (14)'e kanonik Lorentz sisteminin formunu vermektir. Bunun önündeki ilk görünür engel, dinamik koordinatların ve karşılık gelen değişkenlerin tanımlanmasındaki belirsizliktir.
kanonik sistemden. Çeşitli modlar arası etkileşim mekanizmalarının bu tanımlamalardan herhangi birini simüle etmeyi mümkün kılacağını varsayarak, aşağıdaki seçeneği seçeceğiz. (14) denkleminin yapısı aşağıdaki forma sahip olsun:
y1 = a(-y1 + y2), (15)
y2 = (r - (r))y1 - y2 - y1y3, (16)
y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)
normal terimin açıkça seçildiği, Bölüm 2'de söylenenlere uygun olarak, titreşimler için ifadeden çıkarılması gereken.
x \u003d o (-x + y), y \u003d rx - y - xr, r \u003d -y r + xy. (on sekiz)
Bunun için sistem (18) değişkenleri için zaman ortalamalarının mevcut olduğunu varsayıyoruz. Bu sistemin dönüşümlere göre değişmezliğine dayanarak
x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)
ilk iki değişkenin ortalamasının sıfır olmasını beklemek doğaldır. Daha sonra ikame
x ⩽ x, y ⩽ y, z ⩽ z + (z) (20)
(18)'de denklemler (15) - (17) sistemini verir.
Bu bağlamda, Lorentz sisteminin parametrelerinin çeşitli değerleri için, ilk iki değişkenin hem sıfır hem de sıfır olmayan ortalama değerleri ile çözümlerin mümkün olduğunu not ediyoruz. Bunu akılda tutarak, sonraki değerlendirmemizi bu olasılıklardan ilkiyle sınırlandırıyoruz. Ayrıca, üçüncü ifadedeki (20) terimin zaman ortalaması anlamını taşımadığı durumda da ikame (20) yapılabileceğini belirtelim. Bu durumda, sonraki yorumlama için ortalama alma prosedürünün yeni bir tanımı gerekebilir. Genel durumda, uygun bir tanım, incelenen fenomenlerin zaman ölçeklerinin iyileştirilmesini gerektirecektir. Bu tür yeniden tanımlamaların hem başlangıç verilerinin hem de sistem parametrelerindeki varyasyonların daha ayrıntılı olarak ele alınmasını gerektireceği açıktır. Kaotik çekicilerin etkileşiminin iyi bilinen etkisi, hareket parametrelerindeki küçük değişimlerin ortalamalarının belirlenmesinde belirsizliklerin nasıl ortaya çıkabileceğini gösterir.
Görüşümüze dönelim. (15) -(17) ve (14) sisteminin katsayılarını karşılaştırarak, şunu elde ederiz:
(DiO - u£dki0 - c/ro) =
(-3]u0 + - dkyu] + u^) =
V -U (g)) (-o
g - (g) -1 0 V 0 0 -y
Ek olarak, (7)'den
dk u0 = 0, 0.
(21) ve (24) düşünün. İfadeyi (9) ikame ederek, (24)'ün aynı şekilde yerine getirildiğini ve (21) sadece ortalama basınç gradyanının belirlenmesine indirgendiğini görmek kolaydır. Bu durumda, gradyan, Lorentz kanonik sisteminin değişkenlerinin ve hız dalgalanma bileşenlerinin seçilen tanımlamasının bir sonucu olarak, ortalama akış hızına dik olur.
(23) ve (25) denklemlerine dönelim. (23)'ten bağlantı nesnesinin alt simge simetrik bileşenleri için tek değerli ifadeler elde ederiz. Antisimetrik kısım (25)'den biraz keyfi olarak belirlenir. Bu denklemlerin genel çözümü aşağıdaki ifade ile verilmektedir:
/ ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \
eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)
Kalan denkleme (22) dönelim. Bu matris denklemi, 9 ikinci dereceden cebirsel denklem sistemidir.
b2 - c(p + /) +
ae - bp + Yur \u003d r - (r),
eb - a/ + o43 = 0,
ae - bp + b + 1021 = o,
C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1,
Ec + ab + u43 = 0,
A/ + eb + a - A + u31 = 0,
Ec + ab + u42 = 0,
Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.
İçindeki bilinmeyenler 6 bağlantı katsayısı (26), basınç tensörünün 9 bileşeni, ortalama hızın değerini belirleyen 1 katsayı ve Lorentz sisteminin 3 parametresidir. Dolayısıyla, bu sistemin çözümünün önemli ölçüde parametrik keyfilikle belirlendiği sonucu çıkar. Söz konusu üç boyutlu rejimde, basınç gradyan tensörü ω > 4r keyfidir ve somutlaştırılmasından dolayı, önceden belirlenmiş herhangi bir bağlantı katsayısı seçimi için istenen dinamikleri simüle etmek mümkündür. Çok boyutlu rejimler için, basınç tensörü bileşenleri, tüm uyarılmış serbestlik derecelerinin dinamiklerini hesaba katan daha eksiksiz bir denklem sistemine dahil edilir. Bu durumda, basınç tensörü artık keyfi olamaz. Bu bağlamda, fiziksel olarak makul varsayımların temsillerini çok boyutlu dinamikleri hesaba katan daha eksiksiz denklemlerde bulması gerektiğini varsayarak, basınç tensörünü belirlemek için çeşitli özel seçenekleri düşünmek ilginçtir. Basınç gradyan tensörünün, y2 koordinatına karşılık gelen sıfır bileşenle köşegen olduğunu varsayacağız. Bu durumda (22) aşağıdaki kesin analitik çözüme sahiptir:
o!1 = .1 - a, o43 = .1 - y + 1, .1 = (K - a) a - A2, K = r - (r), (27)
K - bir t Ka, K - bir AK
a \u003d A, b \u003d a - K, c \u003d - -.1, p \u003d -, f \u003d - K, e \u003d - - -. (28)
Ortaya çıkan çözümü (27), (28) düşünün. Ortalama akım hız gradyanının büyüklüğünü belirleyen A, r, a, y nicelikleri ve Lorentz model sisteminin üç parametresi onun içinde keyfi olarak kaldı. Diğer tüm hareket özellikleri, yukarıdaki nicelik kümesinin işlevleri olarak ifade edilir. Bu miktarların belirli değerlerinin seçilmesi nedeniyle, dalgalanmaların dinamiklerini değiştirmek ve bağlantı nesnesinin bileşenlerinin karşılık gelen değerlerini bulmak için formüller (26), (27) kullanmak mümkündür. Her nesnenin titreşimlerin etkileşimlerinin doğasını belirlediğini hesaba katarsak, o zaman farklı etkileşim türlerini değiştirmek mümkün hale gelir. Özellikle, basınç tensörü bileşenlerinin büyüklüğünü değiştirmek için. Bazı durumlarda bu bileşenlerin aynı şekilde sıfıra çevrilebileceğine dikkat edilmelidir. Çözümlerin (27), (28) bir özelliği, Lorentz dinamiklerinin ortaya çıktığı sistem parametrelerinin bu değerleri aralığında kalırken, basınç tensör bileşenlerini sıfıra çevirmenin imkansız olduğu ortaya çıkmasıdır. (Ancak, bu, nabız dinamiklerinin düzenli olduğu parametre değerleri bölgesinde oldukça mümkündür.)
Bazı tahminler yapalım. Model sistemin parametrelerinin a = 10, r = 28, y = 8/3 parametreleriyle Lorentz çekicisine karşılık gelmesine izin verin. Bu durumda, hesaplamalar, titreşimlerin karakteristik bir t ~ 0.7 zamanına sahip olduğunu gösterir. Hesaplanan zaman aralığı b = 0 + 50 içinde, nabız değerleri y1 = -17,3 + 19,8, y2 = -22.8 + 27.2 ve y3 = -23.2 + 23.7 aralıklarına aittir.
Hız dalgalanmalarının mutlak değerlerini ve ortalama hız gradyanını karşılaştıralım. (13)'ten, ortalama hız gradyanı değişmeden kalırken, göreceli değerlerin l/d sayısına bölünmesiyle titreşimlerin elde edildiğini takip eder. Hız gradyanı için büyüklük sırasına göre birliğe eşit bir değer alalım, o zaman
A ~ 1'dir. Ardından, Re = 2000 değerinde, yani daha düşük kritik değerde, titreşimler için gradyan değerinin %50'sine eşit bir büyüklük sırası elde ederiz. Re=40000 durumunda, hız dalgalanmaları, kabul edilen ortalama hız gradyan değerinin sadece %10'una ulaşır. Bu, ortalama hız ve titreşimler arasındaki makul oranların yalnızca belirli bir Re sayısı aralığında sağlanabileceğini göstermektedir.
4. Noktaların ortamdaki hareketi dikkate alındığında yeni veriler ortaya çıkar. Yarı homojen yaklaşımdaki Lorentz dinamiği için, noktaların hareket denklemleri şu şekildedir:
r -(z) -l 0 0 0 -Y
Aox3 -A(r - (z))x3
Bu sistem sabit katsayılarla lineerdir. Genel çözümü elementer integrasyon ile kolayca elde edilebilir. Bu nedenle, noktaların hareket yörüngelerinin yalnızca niteliksel özelliklerini not ediyoruz. Hızların karakteristik denkleminden, iki negatif ve bir pozitif kök olduğunu bulduk. Böylece uzayın her noktasında iki sıkıştırma ve bir çekme yönü ayırt edilir. Dinamiklerin bu özellikleri, aynı ortalama hıza sahip akışlara karşılık gelen çekicileri sınıflandırmak için kullanılabilen değişmez özelliklerdir.
Sistemin (29) ve (30) genel çözümünden aşağıdaki gibi, ortalama akış çizgilerine çapraz yönlerde ortam noktalarının olası yer değiştirmeleri sınırlı değildir. Yani x3 eksenine izdüşümünde düzenli bir kayma meydana gelir. Bu durumda, ortalama akımın akım çizgilerine dik hareket eden noktalar, yüksek hız bölgesine düşer. Bu durumda, Re sayısı artar, bu da dalgalanmaların göreceli büyüklüğünde bir azalmaya yol açar. Yapılan yarı homojen yaklaşım çerçevesinde, bu etki dalgalanmalarda göreli bir azalmaya ve nihayetinde dalgalanmalara dönüşmelerine yol açar.
bibliyografik liste
1. Muhammedov A.M. Çalkantılı modeller: sorunlar ve çözümler //17 IMACS Kongresi, Bildiri T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.
2. Mukhamedov A.M. Bir türbülans ayar teorisine doğru // Kaos, Solitonlar ve Fraktallar. 2006 Cilt 29. S. 253.
3. Ruelle D., Takens F. Türbülansın doğası üzerine // Komün. Matematik. Fizik 1971 Cilt 20. S. 167.
4. Babin A.V., Vishik M.I. Evrim denklemlerinin çekicileri. M.: Nauka, 1989. 296 s.
5. Mandelbrot B. Doğanın fraktal geometrisi. Özgür adam. San Francisco, 1982.
6. Benzi RPaladin G., Parisi G., Vulpiani A. Tam gelişmiş türbülans ve kaotik sistemlerin multifraktal doğası üzerine // J. Phys. A. 1984. Cilt 17. S.3521.
7 Elnaschie M.S. İki yarıklı Gedanken deneyinden Feynman yolu integralleri ve E-Sonsuzluk teorisi // Uluslararası Doğrusal Olmayan Bilimler ve Sayısal Simülasyonlar Dergisi. 2005 Cilt 6(4). s. 335.
8. Mukhamedov A.M. Kayma akışlarında türbülans topluluk rejimleri // KSTU Bülteni im. A.N. Tupolev. 2003, No. 3. S. 36.
9. Yudovich V.I. Büyük Rayleigh sayıları için Lorentz sisteminin limit döngülerinin asimptotiği // VINITI. 07/31/78. 2611-78.
10. Anishchenko V.S. Basit sistemlerde karmaşık salınımlar. M.: Nauka, 1990. 312 s.
11. Loitsyansky L.G. Sıvı ve gaz mekaniği. M.: Nauka, 1987. 840 s.
Kazan Devlet Üniversitesi 23 Ocak 2006'da Alındı
Teknik Üniversite Revize 08/15/2006
BASİT DEĞİŞİM AKIŞLARINDA LORENZ ÇEKİMİ
Sürekli ortam ortamının kaotik dinamiklerinin simülasyonu için daha önce verilen bir model çerçevesinde Lorenz çekicisi temsil edilmektedir. Simülasyon, 3 boyutlu hız titreşimleri rejimi ile bağlantılı bir fiber demetinin geometrisini tanımlayan yapıların yardımıyla verilmektedir. Lorenz dinamiği, ortalama akış çizgileri boyunca titreşimlerin zamana bağımlılığı olarak görünür.
Mukhamedov Alfarid Mavievich - Kazan'da doğdu (1953). Kazan Devlet Üniversitesi Fizik Fakültesi'nden Yerçekimi ve İzafiyet Teorisi Bölümü'nden mezun oldu (1976). Kazan Devlet Teknik Üniversitesi Teorik ve Uygulamalı Mekanik Bölümü'nün doktora öğrencisi V.I. A.N. Tupolev. Bu konuda 12 makalenin yanı sıra "Scientific search and metodoloji of matematiğin" monografisinin yazarı (Kazan: KSTU Yayınevi, 2005, G.D. Tarzimanova ile ortak yazar). Bilimsel ilgi alanları - kaotik dinamiklerin matematiksel modelleri, fiber manifoldların geometrisi, modern matematiğin metodolojisi.
LORENTZ SİSTEMİ
LORENTZ SİSTEMİ
Üç doğrusal olmayan diferansiyel sistemi. birinci mertebeden ur-tions:
geniş bir parametre yelpazesinde kümelenecek çözümler, zamanın düzensiz işlevleri ve diğerleridir. özellikleri rastgele ayırt edilemez. L. s. E. Lorenz tarafından aşağıdan ısıtılan yatay bir sıvı tabakasındaki termal konveksiyonu tanımlamak için bir model olarak hidrodinamik denklemlerinden elde edildi ( R r - Prandtl numarası,
-
azaltışmış R e -ley numarası, b- hız ve sıcaklık alanının Fourier genişlemesindeki seçimle belirlenir).
Pirinç. 1. Lorentz sisteminde artan parametreli ardışık çatallanmaların gösterimi r: a) ; b) ; c) d) e) f)
L. s. örneklerden biridir dinamik sistem, basit bir fiziksel anlam; stokastik gösterir. sistem davranışı. AT faz boşluğu Bu sistem, Şekil 2'de gösterilen parametre aralığındadır. 1 var garip çekici, krom üzerindeki temsili noktanın hareketi, termal konveksiyon sırasında "rastgele" - türbülanslı bir sıvı akışına karşılık gelir.
Pirinç. 2. Konvektif döngü - Lorentz denklemlerinin türetildiği fiziksel bir model.
L. s. (en b=l) özellikle, sıvı ile doldurulmuş homojen bir yerçekimi toroidal boşluğunda dikey bir düzlemde yer alan konvektif bir döngüdeki bir sıvının hareketini tanımlar (Şekil 2). Kavite duvarlarında zamandan bağımsız (ancak açıya bağlı) bir sıcaklık korunur. T(); daha düşük döngünün bir kısmı üst kısımdan daha sıcaktır. Bir konvektif döngüdeki bir akışkanın hareketi için denklemler L. s.'ye indirgenir, burada x(t] - sıvı hızı, YT) - noktada temp-pa N, a z(t) - noktada temp-pa M genel olarak t. büyüme ile G akışkan hareketinin doğası değişir: ilk olarak (r<1) неподвижна, далее (при ) устанавливается циркуляция с пост. скоростью (либо по часовой стрелке, либо против); при ещё больших r tüm akış başlangıçta küçük değişikliklere duyarlı hale gelir. koşullarda, sıvının dolaşım hızı zaten düzensiz bir şekilde değişir: sıvı bazen saat yönünde, bazen saat yönünün tersine döner.
Yaygın olarak kullanılan değerlerde halkla ilişkiler=10, b= 8/3 HP vardır . özellikler: ur-tion L. s. dönüşüm değişmezleri, faz hacmi posttan azaltılır. hız
birim zaman başına, hacim 106 kat azalır. L. s'de g'nin büyümesiyle. aşağıdaki oluşur. ana çatallanmalar. 1) Ne zaman
tek denge durumu, başlangıç noktasındaki kararlı düğümdür. Ö(O, O, 0). 2) Nerede, nerede r 1 \u003d 13.92, L. s. belirtilen önemsiz hariç ( Ö) iki dengesi daha vardır . Denge durumu Ö iki boyutlu kararlı ve tek boyutlu kararsız, O ve iki separatristen oluşan ve eğilimli bir eyerdir (Şekil 1, a). 3) Ne zaman r=r 1 ayrılıkların her biri eyer için iki kat asimptotik hale gelir Ö(Şek. 1, b). geçiş sırasında r vasıtasıyla r Ayrılıkların kapalı döngülerinden 1, periyodik olarak kararsız (eyer) doğar. hareketler - limit döngüleri L 1
ve L 2 .
Bu kararsız döngülerle birlikte çok karmaşık bir şekilde organize edilmiş bir limit doğar; bununla birlikte, çekici (çekici) değildir ve (Şek. 1, içinde), nerede r 2 = 24.06, tüm yörüngeler hala . Bu durum öncekinden farklıdır, çünkü şimdi ayrılıklar _ ve sırasıyla "kendi değil" denge durumlarına gider. 4) At, burada = 24.74, L. s. kararlı denge durumları ile birlikte, yörüngelerin karmaşık bir davranışı ile karakterize edilen bir çekici küme de vardır, Lorentz çekicisi (Şekil 1 , d iris. 3). 5) Eyer döngüleri olduğunda L 1 ve L 2 denge durumlarına sözleşme ve , istikrarını yitiren
L. s.'nin jesti Lorenz çekicisidir. Böylece, daha küçük değerler tarafından k için çabalarsak, o zaman L. s'deki stokastiklik. hemen, aniden ortaya çıkar, yani, stokastikliğin sert bir başlangıcı vardır.
Pirinç. 3. Lorentz çekicisini üreten yörünge (kökenden ayrılan); yatay düzlem karşılık gelir r = = 27, r=28.
L. s.'ye. sadece sıvının konvektif hareketini değil, aynı zamanda diğer fiziksel hareketleri de tanımlayan azaltılmış ur-tion. modeller (üç seviyeli, disk dinamo vb.).
Lif.: Lorenz E., Deterministik periyodik olmayan akış, "J. Atmos. Sci.", 1963, v. 20, s. 130; Rusça çev., kitapta: Garip çekiciler, M., 1981, s. 88; Gaponov - Grekhov A.V., Rabinovich M.I., Kaotik basit sistemler, "Doğa", 1981, No. 2, s. 54; Afraimovich V. S., Bykov V. V., Shilnikov L. P., Lorentz çekici tipinin kaba olmayan limit kümelerini çekmek üzerine, Moskova Matematik Derneği Bildirileri, 1982, v. 44, s. 150; Rabinovich M. I., Trubetskov D. I., Salınımlar ve dalgalar teorisine giriş, M., 1984. V. G. Shekhov.
Fiziksel ansiklopedi. 5 ciltte. - M.: Sovyet Ansiklopedisi. Genel Yayın Yönetmeni A. M. Prokhorov. 1988 .
Diğer sözlüklerde "LOrentz SYSTEM" in ne olduğunu görün:
Funda. urniya klasik. elektrodinamik, mikroskobik tanımlama. e-posta magn. bireysel ücretle oluşturulan alanlar. parçacıklar. L.M. u. X. A. Lorentz tarafından inşa edilen elektronik teorinin (klasik mikroskobik elektrodinamik) temelini oluşturur. on dokuz…… Fiziksel Ansiklopedi
Referans sistemi atalet- eylemsizlik yasasının geçerli olduğu bir referans çerçevesi: üzerinde hiçbir kuvvetin etki etmediği (veya karşılıklı olarak dengelenmiş kuvvetlerin etkidiği) bir maddesel nokta, hareketsiz veya düzgün doğrusal hareket halindedir. Her sistem... Modern doğa bilimi kavramları. Temel terimler sözlüğü
- (fizikte) - bir vücut sistemi, sürü ile ilgili olarak, incelenen vücudun pozisyonları (veya olay yerleri) belirlenir ve bu pozisyonlara karşılık gelen zaman içindeki noktalar not edilir. Bu amaçla, hesap genellikle seçilen cisimler sistemiyle ilişkilendirilir. sistem…… Felsefi Ansiklopedi
DAĞITIM SİSTEMİ- anot ile katot ışın cihazının ekranı arasında, elektron ışınını belirli bir yasaya göre ekran boyunca (bkz.) hareketinin milyonlarca yönünü saptırmaya yarayan bir cihaz. Elektron ışınını kontrol etmek için bir manyetik, ... ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi
Fizikte, özellikle özel görelilik kuramında (STR) Lorentz dönüşümleri, her olayın uzay-zaman koordinatlarının (x, y, z, t) bir eylemsiz çerçeveden hareket ederken uğradığı dönüşümlerdir ... .. Vikipedi
Özel görelilik teorisinde, bir eylemsiz referans çerçevesinden (bkz. Atalet referans çerçevesi) diğerine geçiş sırasında herhangi bir olayın koordinatlarının ve zamanının dönüşümü. 1904 yılında H. A. Lorentz tarafından ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
Aşağıda belirtilen karmaşık topolojik yapıya sahip, düzgün bir akışın (St) üç boyutlu faz uzayında bir kompakt değişmez L kümesi. yapısı ve asimptotik olarak kararlıdır (yani, Lyapunov kararlıdır ve bazı yörüngelerden tüm yörüngeler ... ... Matematiksel Ansiklopedi
(f) bir elektromanyetik alanda hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden kuvvet; 19. yüzyılın sonunda kurulan H. A. Lorenz tarafından ifade edilmiştir. formül: (CGS birim sisteminde), burada e, v parçacığın yükü ve hızıdır, E elektrik alan kuvvetidir, B ... ansiklopedik sözlük
Yükleniyor...