Kuklalar için türevi çözme: tanım, nasıl bulunur, çözüm örnekleri. Temel elemanter fonksiyonların türevleri İspatın elemanter fonksiyonlarının türevleri

Konuyu incelerken kolaylık ve netlik için bir özet tablo burada.

Belirtilen tablonun formüllerinin nasıl elde edildiğini analiz edelim veya başka bir deyişle, her bir fonksiyon türü için türev formüllerinin türevini kanıtlayacağız.

Bir sabitin türevi

Bu formülü elde etmek için, bir fonksiyonun bir noktada türevinin tanımını esas alıyoruz. x 0 = x kullanıyoruz, burada x herhangi bir gerçek sayının değerini alır veya başka bir deyişle, x f (x) = C fonksiyonunun tanım kümesinden herhangi bir sayıdır. Fonksiyon artışının argümanın artışına oranının limitini ∆ x → 0 olarak yazalım:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Lütfen 0 ∆ x ifadesinin limit işaretinin altına düştüğüne dikkat edin. Pay, sonsuz küçük bir değer değil, sıfır içerdiğinden, “sıfırın sıfıra bölünmesi” belirsizliği değildir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.

Böylece, f (x) = C sabit fonksiyonunun türevi, tüm tanım alanı üzerinde sıfıra eşittir.

örnek 1

Verilen sabit fonksiyonlar:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Karar

Verilen koşulları açıklayalım. İlk fonksiyonda doğal sayı 3'ün türevini görüyoruz. Aşağıdaki örnekte, türevini almanız gerekir. a, nerede a- herhangi bir gerçek sayı. Üçüncü örnek bize 4 irrasyonel sayısının türevini verir. 13 7 22 , dördüncü - sıfırın türevi (sıfır bir tamsayıdır). Son olarak, beşinci durumda, rasyonel kesrin - 8 7 türevine sahibiz.

Cevap: verilen fonksiyonların türevleri herhangi bir gerçek için sıfırdır. x(tanım alanının tamamı üzerinde)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Güç fonksiyonu türevi

Güç işlevine ve türevinin formülüne dönüyoruz: (x p) " = p x p - 1, burada üs p herhangi bir gerçek sayıdır.

Kanıt 2

Üs bir doğal sayı olduğunda formülün kanıtı: p = 1 , 2 , 3 , …

Yine, bir türev tanımına güveniyoruz. Güç fonksiyonunun artışının argümanın artışına oranının sınırını yazalım:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Paydaki ifadeyi basitleştirmek için Newton'un binom formülünü kullanırız:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Böylece:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p!1! (p - 1)!x p - 1 = p x p - 1

Böylece, üs bir doğal sayı olduğunda bir güç fonksiyonunun türevi formülünü kanıtladık.

Kanıt 3

Dava için kanıt vermek için p- sıfır dışında herhangi bir gerçek sayı, logaritmik türevi kullanırız (burada logaritmik fonksiyonun türevinden farkı anlamalıyız). Daha eksiksiz bir anlayışa sahip olmak için, logaritmik fonksiyonun türevini incelemek ve ayrıca örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevi ve karmaşık bir fonksiyonun türevi ile ilgilenmek arzu edilir.

İki durumu düşünün: ne zaman x pozitif ve ne zaman x negatif.

Yani x > 0 . Sonra: xp > 0 . y \u003d x p eşitliğinin logaritmasını e tabanına alıyoruz ve logaritmanın özelliğini uyguluyoruz:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Bu aşamada örtük olarak tanımlanmış bir fonksiyon elde edilmiştir. Türevini tanımlayalım:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Şimdi durumu ele alacağız x- negatif bir sayı.

gösterge ise p bir çift sayıysa, güç fonksiyonu da x için tanımlanır< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

sonra xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Eğer bir p tek bir sayıysa, x için güç fonksiyonu tanımlanır< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Son geçiş mümkündür çünkü eğer p tek sayı o zaman p - 1 ya bir çift sayı ya da sıfır (p = 1 için), bu nedenle, negatif için x(- x) p - 1 = x p - 1 eşitliği doğrudur.

Böylece, herhangi bir gerçek p için bir güç fonksiyonunun türevi formülünü kanıtladık.

Örnek 2

Verilen fonksiyonlar:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Türevlerini belirleyin.

Karar

Verilen fonksiyonların bir kısmını, derecenin özelliklerine dayalı olarak y = x p tablo biçimine dönüştürüyoruz ve sonra formülü kullanıyoruz:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x günlük 7 12 = x - günlük 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - günlük 7 12 x - günlük 7 12 - 1 = - günlük 7 12 x - günlük 7 12 - günlük 7 7 = - günlük 7 12 x - günlük 7 84

üstel fonksiyonun türevi

Tanıma dayalı olarak türev formülünü türetiyoruz:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Belirsizlik aldık. Genişletmek için yeni bir z = a ∆ x - 1 değişkeni yazıyoruz (z → 0, ∆ x → 0 olarak). Bu durumda a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Son geçiş için, logaritmanın yeni bir tabanına geçiş formülü kullanılır.

Orijinal limitte bir değişiklik yapalım:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln bir lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

İkinci harika limiti hatırlayın ve sonra üstel fonksiyonun türevinin formülünü elde ederiz:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Örnek 3

Üstel fonksiyonlar verilmiştir:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Türevlerini bulmamız gerekiyor.

Karar

Üstel fonksiyonun türevi ve logaritmanın özellikleri için formülü kullanıyoruz:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Herhangi biri için logaritmik fonksiyonun türevi formülünün kanıtını sunuyoruz. x tanım alanında ve logaritmanın a tabanının herhangi bir geçerli değeri. Türevin tanımına dayanarak şunu elde ederiz:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Belirtilen eşitlikler zincirinden, dönüşümlerin logaritma özelliği temelinde inşa edildiği görülebilir. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e eşitliği, ikinci dikkate değer sınıra göre doğrudur.

Örnek 4

Logaritmik fonksiyonlar verilmiştir:

f 1 (x) = günlük günlüğü 3 x , f 2 (x) = günlük x

Türevlerini hesaplamak gerekir.

Karar

Elde edilen formülü uygulayalım:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Yani doğal logaritmanın türevi bir bölü x.

trigonometrik fonksiyonların türevleri

Bir trigonometrik fonksiyonun türevi formülünü türetmek için bazı trigonometrik formüller ve ilk harika limit kullanıyoruz.

Sinüs fonksiyonunun türevinin tanımına göre şunu elde ederiz:

(günah x) " = lim ∆ x → 0 günah (x + ∆ x) - günah x ∆ x

Sinüs farkı formülü, aşağıdaki eylemleri gerçekleştirmemize izin verecektir:

(günah x) " = lim ∆ x → 0 günah (x + ∆ x) - günah x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 günah x + ∆ x - x 2 çünkü x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 ∆ x 2

Son olarak, ilk harika limiti kullanıyoruz:

günah "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Yani fonksiyonun türevi günah x irade çünkü x.

Kosinüs türevinin formülünü de aynı şekilde ispatlayacağız:

çünkü "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 günah x + ∆ x - x 2 günah x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 günah x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - günah x + 0 2 lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 ∆ x 2 = - günah x

Onlar. cos x fonksiyonunun türevi - günah x.

Tanjant ve kotanjant türevlerinin formüllerini türev alma kurallarına göre türetiyoruz:

t g "x = günah x cos x" = günah "x cos x - günah x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - günah x (- günah x) cos 2 x = günah 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x günah x" = cos "x günah x - kos x günah "x günah 2 x = = - günah x günah x - kos x kos x günah 2 x = - günah 2 x + çünkü 2 x günah 2 x = - 1 günah 2 x

Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri

Ters fonksiyonların türevi bölümü, arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arktanjantın türevleri için formüllerin ispatı hakkında kapsamlı bilgi verir, bu nedenle burada materyali tekrar etmeyeceğiz.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri

Farklılaşma kuralını ve üstel fonksiyonun türevi formülünü kullanarak hiperbolik sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın türevleri için formüller türetebiliriz:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Formül 3 ve 5 kendinizi kanıtlayın.

FARKLILIĞIN TEMEL KURALLARI

Limiti kullanarak türevi bulmanın genel yöntemini kullanarak, en basit türev formüllerini elde edebilirsiniz. İzin vermek u=u(x),v=v(x) bir değişkenin iki türevlenebilir fonksiyonudur x.

Formül 1 ve 2 kendinizi kanıtlayın.

Formül 3'ün Kanıtı.

İzin vermek y = u(x) + v(x). Argüman değeri için x+Δ x sahibiz y(x+Δ x)=sen(x+Δ x) + v(x+Δ x).

Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ sen +Δ v.

Buradan,

Formül 4'ün kanıtı.

İzin vermek y=u(x) v(x). Sonra y(x+Δ x)=sen(x+Δ x)· v(x+Δ x), Bu yüzden

Δ y=sen(x+Δ x)· v(x+Δ x) – sen(x)· v(x).

Unutmayın ki fonksiyonların her biri sen ve v bir noktada türevlenebilir x, o zaman bu noktada süreklidirler ve bu nedenle sen(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), Δ için x→0.

Bu nedenle yazabiliriz

Bu özelliğe dayanarak, herhangi bir sayıda fonksiyonun ürününün türevini almak için bir kural elde edilebilir.

Örneğin, y=u v w. Sonra,

y " = sen "·( v w) + sen·( v w) "= sen "· v+ sen·( v"w + v") = sen "· v+ sen· v"w + sen v w ".

Formül 5'in Kanıtı.

İzin vermek . Sonra

Kanıtta şu gerçeği kullandık: v(x+Δ x)→v(x)Δ'de x→0.

Örnekler.

KARMAŞIK BİR FONKSİYONUN TÜREVİ ÜZERİNE TEOREM

İzin vermek y = f(u), a sen= sen(x). bir fonksiyon elde ederiz y argümana bağlı olarak x: y = f(u(x)). Son işleve bir işlevin işlevi denir veya karmaşık fonksiyon.

fonksiyon kapsamı y = f(u(x)) ya işlevin tüm kapsamıdır sen=sen(x) veya değerlerin belirlendiği kısmı sen, işlevin kapsamı dışında değil y= f(u).

"İşlevden işlev" işlemi bir kez değil, herhangi bir sayıda gerçekleştirilebilir.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için bir kural oluşturalım.

Teorem. eğer fonksiyon sen= sen(x) bir noktada var x0 türev alır ve bu noktadaki değeri alır sen 0 = sen(x0) ve fonksiyon y=f(u) noktada var sen 0 türev y"u= f "(sen 0), sonra karmaşık fonksiyon y = f(u(x)) belirtilen noktada x0 eşit olan bir türevi de vardır. y"x= f "(sen 0)· sen "(x0) yerine nerede sen ifade değiştirilmelidir sen= sen(x).

Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun türevinin ara argümana göre ürününe eşittir. sen ara argümanın türevine göre x.

Kanıt. Sabit bir değer için X 0 sahip olacağız sen 0 =sen(x 0), de 0 =f(u 0 ). Yeni bağımsız değişken değeri için x0+Δ x:

Δ sen= sen(x0 + Δ x) – sen(x 0), Δ y=f(sen 0+Δ sen) – f(sen 0).

Çünkü sen- bir noktada türevlenebilir x0, o zamanlar sen bu noktada süreklidir. Bu nedenle, Δ için x→0 Δ sen→0. Benzer şekilde, Δ için sen→0 Δ y→0.

koşula göre . Bu ilişkiden limit tanımını kullanarak elde ederiz (Δ için sen→0)

burada α→0 Δ'de sen→0, ve sonuç olarak, Δ için x→0.

Bu denklemi şu şekilde yeniden yazalım:

Δ y=y"sen ∆ sen+α·Δ sen.

Ortaya çıkan eşitlik Δ için de geçerlidir. sen 0=0 kimliğine dönüştüğü için rastgele α için =0. Δ'de sen=0 α=0 varsayalım. Elde edilen eşitliğin tüm terimlerini Δ ile bölün x

.

koşula göre . Bu nedenle, Δ noktasındaki limite geçiş x→0, elde ederiz y"x= y" sen " x . Teorem kanıtlanmıştır.

Yani, karmaşık bir işlevi ayırt etmek için y = f(u(x)),"dış" işlevin türevini almanız gerekir f argümanını basitçe bir değişken olarak ele almak ve bağımsız değişkene göre "iç" fonksiyonun türeviyle çarpmak.

eğer fonksiyon y=f(x) olarak temsil edilebilir y=f(u), u=u(v), v=v(x), daha sonra y " x türevinin bulunması, önceki teoremin art arda uygulanmasıyla gerçekleştirilir.

Kanıtlanmış kurala göre, y"x= y"u · sen" x. Aynı teoremi sen"x alırız, yani

y"x= y" x sen"v · v"x= f"sen( sen)· sen"v( v)· v"x( x).

Örnekler

TERS FONKSİYON KAVRAMI

Bir örnekle başlayalım. işlevi düşünün y=x3. Eşitliği dikkate alacağız y= x 3 için bir denklem olarak x. Bu, her değer için denklemdir. de tek bir değer tanımlar x: . Geometrik olarak bu, eksene paralel herhangi bir doğrunun Öküz fonksiyonun grafiğini keser y=x3 sadece bir noktada. Bu nedenle düşünebiliriz x bir fonksiyonu olarak y. fonksiyona fonksiyonun tersi denir y=x3.

Genel duruma geçmeden önce tanımları veriyoruz.

İşlev y = f(x) isminde artan argümanın daha büyük değeri varsa, belirli bir aralıkta x bu segmentten gelen değer, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir, yani. Eğer x 2 >x 1 , o zaman f(x 2 ) > f(x 1 ).

Benzer şekilde, işlev denir azalan, argümanın daha küçük değeri, fonksiyonun daha büyük değerine karşılık geliyorsa, yani. Eğer X 2 < X 1 , o zaman f(x 2 ) > f(х 1 ).

Böylece, artan veya azalan bir fonksiyon verildiğinde y=f(x), belirli bir aralıkta tanımlanmış [ a; b]. Kesinlik için, artan bir işlevi ele alacağız (azalan bir işlev için her şey benzerdir).

İki farklı değer düşünün X 1 ve X 2. İzin vermek y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Artan bir fonksiyonun tanımından çıkar ki, eğer x 1 <x 2, o zaman de 1 <de 2. Bu nedenle iki farklı değer X 1 ve X 2 iki farklı fonksiyon değerine karşılık gelir de 1 ve de 2. Bunun tersi de geçerlidir, yani. Eğer de 1 <de 2 , o zaman artan bir fonksiyonun tanımından çıkar ki x 1 <x 2. Onlar. tekrar iki farklı değere de 1 ve de 2, iki farklı değere karşılık gelir x 1 ve x 2. Böylece değerler arasında x ve bunlara karşılık gelen değerler y bire bir yazışma kurulur, yani. denklem y=f(x) herkes için y(fonksiyonun aralığından alınmıştır) y=f(x)) tek bir değer tanımlar x ve şunu söyleyebiliriz x bazı argüman işlevine sahip olmak y: x= g(y).

Bu işlev denir tersi fonksiyon için y=f(x). Açıkçası, işlev y=f(x) fonksiyonun tersi x=g(y).

Ters fonksiyonun x=g(y) denklemi çözülerek bulunur y=f(x) Nispeten X.

Misal. fonksiyon olsun y= e x . Bu fonksiyon –∞'de artar< x <+∞. Она имеет обратную функцию x=ln y. Ters fonksiyonun etki alanı 0< y < + ∞.

Bazı açıklamalar yapalım.

Açıklama 1. Artan (veya azalan) bir fonksiyon ise y=f(x) aralıkta sürekli [ a; b], ve f(a)=c, f(b)=d, daha sonra ters fonksiyon tanımlanır ve segmentte süreklidir [ c; d].

Açıklama 2. eğer fonksiyon y=f(x) belirli bir aralıkta ne artıyor ne de azalıyor, o zaman birkaç ters fonksiyonu olabilir.

Misal.İşlev y=x2–∞'de tanımlı<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 fonksiyon azalıyor ve bunun tersi .

Açıklama 3. eğer fonksiyonlar y=f(x) ve x=g(y) karşılıklı olarak ters iseler, değişkenler arasında aynı ilişkiyi ifade ederler. x ve y. Bu nedenle, grafik aynı eğridir. Ama ters fonksiyonun argümanını tekrar şöyle ifade edersek: x ve işlev aracılığıyla y ve onları aynı koordinat sisteminde oluşturduğumuzda, iki farklı grafik elde ederiz. Grafiklerin 1. koordinat açısının açıortayına göre simetrik olacağını görmek kolaydır.

TERS FONKSİYONUN TÜREVİ ÜZERİNE TEOREM

Fonksiyonun türevini bulmamızı sağlayan bir teoremi ispatlayalım. y=f(x) ters fonksiyonun türevini bilmek.

Teorem. fonksiyon için ise y=f(x) ters fonksiyon var x=g(y), hangi bir noktada de 0'ın türevi var g "(v0) sıfır dışında, daha sonra karşılık gelen noktada x0=g(x0) işlev y=f(x) türevi var f "(x0) eşittir, yani doğru formül.

Kanıt. Çünkü x=g(y) bir noktada türevlenebilir 0, o zamanlar x=g(y) bu noktada süreklidir, dolayısıyla fonksiyon y=f(x) noktada sürekli x0=g(0). Bu nedenle, Δ için x→0 Δ y→0.

bunu gösterelim .

İzin vermek . Daha sonra limit özelliği ile . Bu eşitliği Δ noktasındaki limite geçirelim. y→0. sonra Δ x→0 ve α(Δx)→0, yani. .

Buradan,

,

Q.E.D.

Bu formül olarak yazılabilir.

Bu teoremin uygulamasını örneklerle ele alalım.

Temel temel fonksiyonların türevlerinin formülünü ispatsız veriyoruz:

1. Güç fonksiyonu: (x n)` =nx n -1 .

2. Üstel bir fonksiyon: (a x)` = a x lna (özellikle, (e x)` = e x).

3. Logaritmik fonksiyon: (özellikle, (lnx)` = 1/x).

4. Trigonometrik fonksiyonlar:

(cosx)` = -sinx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/sin 2 x

5. Ters trigonometrik fonksiyonlar:

Üstel bir fonksiyonun türevini almak için, karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünü iki kez kullanmak, yani onu hem karmaşık üstel fonksiyon hem de karmaşık üstel fonksiyon olarak türevlendirmek ve eklemek için gerekli olduğu kanıtlanabilir. sonuçlar: (f (x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  (x) *lnf(x)* (x)`.

Daha yüksek siparişlerin türevleri

Bir fonksiyonun türevinin kendisi bir fonksiyon olduğu için türevi de olabilir. Yukarıda tartışılan türev kavramı, birinci dereceden bir türevi ifade eder.

türevn-inci sıra(n-1)-inci dereceden türevinin türevi denir. Örneğin, f``(x) = (f`(x))` - ikinci dereceden türev (veya ikinci türev), f```(x) = (f``(x))` - üçüncü dereceden türev ( veya üçüncü türev), vb. Bazen parantez içindeki Romen Arap rakamları daha yüksek türevleri belirtmek için kullanılır, örneğin beşinci dereceden bir türev için f (5) (x) veya f (V) (x).

Daha yüksek mertebeden türevlerin fiziksel anlamı, birinci türev ile aynı şekilde tanımlanır: bunların her biri, bir önceki mertebeden türevin değişim oranını temsil eder. Örneğin, ikinci türev, birincinin değişim oranıdır, yani. hız hız. Doğrusal hareket için, bir anda bir noktanın ivmesi anlamına gelir.

fonksiyon esnekliği

fonksiyon esnekliği E x (y), y fonksiyonunun göreli artışının, x argümanının göreli artışına oranının sınırıdır ve ikincisi sıfıra eğilimlidir:
.

Bir fonksiyonun esnekliği, x bağımsız değişkeni% 1 değiştiğinde y \u003d f (x) fonksiyonunun yaklaşık olarak yüzde kaç değişeceğini gösterir.

Ekonomik anlamda, bu gösterge ile türev arasındaki fark, türevin ölçü birimlerine sahip olmasıdır ve bu nedenle değeri, değişkenlerin ölçüldüğü birimlere bağlıdır. Örneğin, üretim hacminin zamana bağımlılığı sırasıyla ton ve ay olarak ifade edilirse, türev, hacimdeki marjinal artışı ayda ton olarak gösterecektir; bununla birlikte, bu göstergeler örneğin kilogram ve gün olarak ölçülürse, hem fonksiyonun kendisi hem de türevi farklı olacaktır. Esneklik esasen boyutsuz bir değerdir (yüzde veya kesir olarak ölçülür) ve bu nedenle gösterge ölçeğine bağlı değildir.

Türevlenebilir fonksiyonlar ve uygulamaları ile ilgili temel teoremler

Fermat teoremi. Bir aralıkta türevlenebilir bir fonksiyon, bu aralığın bir iç noktasında maksimum veya minimum değerine ulaşırsa, fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfıra eşittir.

Kanıt olmadan.

Fermat teoreminin geometrik anlamı, boşluk içinde elde edilen en büyük veya en küçük değer noktasında, fonksiyonun grafiğine teğetin apsis eksenine paralel olmasıdır (Şekil 3.3).

Rolle teoremi. y \u003d f (x) işlevinin aşağıdaki koşulları sağlamasına izin verin:

2) (a, b) aralığında türevlenebilir;

3) Segmentin uçlarında eşit değerler alır, yani. f(a)=f(b).

O zaman segment içinde fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu en az bir nokta vardır.

Kanıt olmadan.

Rolle teoreminin geometrik anlamı, fonksiyonun grafiğine tanjantının x eksenine paralel olacağı en az bir nokta olduğudur (örneğin, Şekil 3.4'te böyle iki nokta vardır).

Eğer f(a) =f(b) = 0 ise, o zaman Rolle teoremi farklı şekilde formüle edilebilir: türevlenebilir bir fonksiyonun ardışık iki sıfırı arasında türevin en az bir sıfırı vardır.

Rolle teoremi, Lagrange teoreminin özel bir halidir.

Lagrange teoremi. y \u003d f (x) işlevinin aşağıdaki koşulları sağlamasına izin verin:

1) [a, b] doğru parçası üzerinde süreklidir;

2) (a, b) aralığında türevlenebilir.

Daha sonra, segmentin içinde, türevin bu segmentteki argümanın artışına bölünen fonksiyonların artışının bölümüne eşit olduğu en az bir c noktası vardır:
.

Kanıt olmadan.

Lagrange teoreminin fiziksel anlamını anlamak için şunu not edelim:
fonksiyonun tüm [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızından başka bir şey değildir. Bu nedenle, teorem, segmentin içinde, fonksiyonun "anlık" değişim hızının, tüm segment üzerindeki ortalama değişim hızına eşit olduğu en az bir nokta olduğunu belirtir.

Lagrange teoreminin geometrik anlamı Şekil 3.5'te gösterilmiştir. ifade olduğunu unutmayın
AB kirişinin üzerinde bulunduğu doğrunun eğimidir. Teorem, bir fonksiyonun grafiğinde kendisine teğetin bu kirişe paralel olacağı en az bir nokta olduğunu belirtir (yani teğetin eğimi - türev - aynı olacaktır).

Sonuç: Bir fonksiyonun türevi bir aralıkta sıfıra eşitse, fonksiyon bu aralıkta aynı şekilde sabittir.

Aslında bu aralıkta bir aralık alalım. Lagrange teoremine göre, bu aralıkta bir c noktası vardır.
. Dolayısıyla f(a) - f(x) = f`(с)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = sabit.

L'Hopital kuralı. Sonsuz küçük veya sonsuz büyük iki fonksiyonun oranının sınırı, türevlerinin oranının sınırına (sonlu veya sonsuz), ikincisi belirtilen anlamda varsa, eşittir.

Başka bir deyişle, formda bir belirsizlik varsa
, o zamanlar
.

Kanıt olmadan.

L'Hospital kuralının limitleri bulmak için uygulanması pratik alıştırmalarda ele alınacaktır.

Bir fonksiyonun artması (azalması) için yeterli koşul. Türevlenebilir bir fonksiyonun türevi belirli bir aralıkta pozitif (negatif) ise, fonksiyon bu aralıkta artar (azalır).

Kanıt. Verilen aralıktan iki değer x 1 ve x 2 düşünün (x 2 > x 1 olsun). Lagrand teoremine göre, [x 1 , x 2 ] üzerinde bir c noktası vardır.
. Dolayısıyla f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). O zaman f`(c) > 0 için eşitsizliğin sol tarafı pozitiftir, yani f(x 2) > f(x 1) ve fonksiyon artıyor. f`(s)'de< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

Teorem kanıtlanmıştır.

Fonksiyonun monotonluk koşulunun geometrik yorumu: belirli bir aralıktaki eğriye teğetler apsis eksenine dar açılarda yönlendirilirse, fonksiyon artar ve geniş açılarda ise azalır (bkz. Şekil 3.6). .

Not: monotonluk için gerekli koşul daha zayıftır. Belirli bir aralıkta fonksiyon artarsa ​​(azalırsa), türev bu aralıkta negatif değildir (pozitif değildir) (yani, bazı noktalarda monoton bir fonksiyonun türevi sıfıra eşit olabilir).

Tablonun ilk formülünü türetirken, bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımından yola çıkacağız. hadi nereye gidelim x- herhangi bir gerçek sayı, yani, x– fonksiyon tanımlama alanından herhangi bir sayı. Fonksiyon artışının argüman artışına oranının sınırını şuraya yazalım:

Limit işareti altında, payın sonsuz küçük bir değer değil, tam olarak sıfır içerdiğinden, sıfırın belirsizliğinin sıfıra bölünmesi olmayan bir ifadenin elde edildiğine dikkat edilmelidir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.

Böylece, sabit bir fonksiyonun türevitüm tanım alanında sıfıra eşittir.

Bir güç fonksiyonunun türevi.

Bir güç fonksiyonunun türevi formülü şu şekildedir: , nerede üs p herhangi bir gerçek sayıdır.

Önce doğal üs için formülü kanıtlayalım, yani p = 1, 2, 3, ...

Türev tanımını kullanacağız. Güç fonksiyonunun artışının argümanın artışına oranının sınırını yazalım:

Paydaki ifadeyi basitleştirmek için Newton'un binom formülüne dönüyoruz:

Buradan,

Bu, doğal bir üs için bir güç fonksiyonunun türevi formülünü kanıtlar.

Üstel fonksiyonun türevi.

Tanıma dayalı olarak türev formülünü türetiyoruz:

Belirsizliğe geldi. Bunu genişletmek için yeni bir değişken , ve for . Sonra . Son geçişte, logaritmanın yeni bir tabanına geçiş için formülü kullandık.

Orijinal limitte bir değişiklik yapalım:

İkinci harika limiti hatırlarsak, üstel fonksiyonun türevi formülüne geliriz:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi.

Logaritmik fonksiyonun türevi formülünü herkes için ispatlayalım. x kapsamdan ve tüm geçerli temel değerlerden a logaritma. Türevin tanımı gereği, elimizde:

Fark ettiğiniz gibi, ispatta dönüşümler logaritmanın özellikleri kullanılarak yapıldı. eşitlik dikkat çekici ikinci sınır nedeniyle geçerlidir.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri için formüller türetmek için, bazı trigonometri formüllerini ve ilk dikkate değer limiti hatırlamamız gerekecek.

Sinüs fonksiyonunun türevinin tanımına göre, .

Sinüs farkı için formülü kullanıyoruz:

İlk dikkate değer sınıra dönmek için kalır:

Yani fonksiyonun türevi günah x orada çünkü x.

Kosinüs türevinin formülü de aynı şekilde ispatlanmıştır.

Bu nedenle, fonksiyonun türevi çünkü x orada -günah x.

Tanjant ve kotanjant türevleri tablosu için formüllerin türetilmesi, kanıtlanmış farklılaşma kuralları (bir kesrin türevi) kullanılarak gerçekleştirilecektir.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri.

Türev tablosundan üstel fonksiyonun türevi için türev formülü ve türev kuralları, hiperbolik sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant türevleri için formüller türetmemize izin verir.

Ters fonksiyonun türevi.

Sunumda bir karışıklık olmaması için, alt indekste türevin yapıldığı fonksiyonun argümanını gösterelim, yani fonksiyonun türevidir. f(x)üzerinde x.

şimdi formüle ediyoruz ters fonksiyonun türevini bulma kuralı.

fonksiyonlar olsun y = f(x) ve x = g(y) karşılıklı olarak ters, aralıklarla ve sırasıyla tanımlanır. Bir noktada fonksiyonun sonlu sıfırdan farklı türevi varsa f(x), o zaman noktada ters fonksiyonun sonlu bir türevi vardır g(y), ve . başka bir girişte .

Bu kural herhangi bir durum için yeniden formüle edilebilir. x aralıktan, o zaman alırız .

Bu formüllerin geçerliliğini kontrol edelim.

Doğal logaritma için ters fonksiyonu bulalım (burada y bir fonksiyondur ve x- argüman). Bu denklemi çözmek için x, alırız (burada x bir fonksiyondur ve y onun argümanı). yani, ve karşılıklı ters fonksiyonlar.

Türev tablosundan görüyoruz ki ve .

Ters fonksiyonun türevlerini bulma formüllerinin bizi aynı sonuçlara götürdüğünden emin olalım:

Gördüğünüz gibi, türev tablosundakiyle aynı sonuçları elde ettik.

Artık ters trigonometrik fonksiyonların türevleri için formülleri kanıtlama bilgisine sahibiz.

Arksinüsün türeviyle başlayalım.

. Ardından, ters fonksiyonun türevi formülü ile elde ederiz.

Dönüşümü gerçekleştirmek için kalır.

Arksin aralığı aralık olduğundan , o zamanlar (temel temel fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri ile ilgili bölüme bakın). Bu nedenle dikkate almıyoruz.

Buradan, . Arksin türevinin tanım alanı aralıktır. (-1; 1) .

Arkozin için her şey tam olarak aynı şekilde yapılır:

Ark tanjantının türevini bulun.

Ters fonksiyon için .

Ortaya çıkan ifadeyi basitleştirmek için ark tanjantını ark kosinüsü aracılığıyla ifade ederiz.

İzin vermek arktanx = z, o zamanlar

Buradan,

Benzer şekilde, ters tanjantın türevi de bulunur:

Türevin hesaplanması genellikle KULLANIM atamalarında bulunur. Bu sayfa, türevleri bulmak için formüllerin bir listesini içerir.

farklılaşma kuralları

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Eğer y=F(u) ve u=u(x) ise, o zaman y=f(x)=F(u(x)) fonksiyonuna x'in karmaşık fonksiyonu denir. y′(x)=Fu′⋅ ux′'ya eşittir.
5. Bir örtük fonksiyonun türevi. y=f(x) işlevi, F(x,f(x))≡0 ise F(x,y)=0 bağıntısıyla verilen örtük işlev olarak adlandırılır.
6. Ters fonksiyonun türevi. Eğer g(f(x))=x ise, g(x) fonksiyonuna y=f(x) fonksiyonunun ters fonksiyonu denir.
7. Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun türevi. x ve y, t değişkeninin fonksiyonları olarak verilsin: x=x(t), y=y(t). y=y(x)'in x∈ (a;b) aralığında parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyon olduğu söylenir, eğer bu aralıkta x=x(t) denklemi t=t(x) olarak ifade edilebilirse ve fonksiyon y=y( t(x))=y(x).
8. Üstel fonksiyonun türevi. Doğal logaritmanın tabanına logaritması alınarak bulunur.