İki düzlemin kesişimi ile verilen bir doğrunun denklemini bulunuz. Düzlem kavşağı

UÇAKLAR ARASI AÇI

Sırasıyla denklemlerle verilen iki α 1 ve α 2 düzlemini ele alalım:

Altında açı iki düzlem arasında, bu düzlemlerin oluşturduğu dihedral açılardan birini kastediyoruz. Normal vektörler ile a1 ve a2 düzlemleri arasındaki açının, belirtilen bitişik dihedral açılardan birine eşit olduğu veya . Böyle . Çünkü ve , o zamanlar

Misal. Uçaklar arasındaki açıyı belirleyin x+2y-3z+4=0 ve 2 x+3y+z+8=0.

İki düzlemin paralellik durumu.

İki düzlem α 1 ve α 2, ancak ve ancak normal vektörleri paralelse ve paralelse paraleldir ve dolayısıyla .

Dolayısıyla, iki düzlem birbirine paraleldir, ancak ve ancak karşılık gelen koordinatlardaki katsayılar orantılıysa:

veya

Düzlemlerin diklik durumu.

İki düzlemin dik olduğu, ancak ve ancak normal vektörleri dik ise ve dolayısıyla veya .

Böylece, .

Örnekler

DOĞRUDAN UZAYDA.

VEKTÖR DENKLEM DOĞRUDAN.

PARAMETRİK DENKLEMLER DOĞRUDAN

Düz bir çizginin uzaydaki konumu, sabit noktalarından herhangi biri belirlenerek tamamen belirlenir. M 1 ve bu doğruya paralel bir vektör.

Bir doğruya paralel olan vektöre denir. yol gösterici bu çizginin vektörü.

Öyleyse düz olsun ben bir noktadan geçer M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektöre paralel düz bir çizgi üzerinde uzanmak .

Keyfi bir nokta düşünün M(x,y,z) düz bir çizgide. Şekilden de anlaşılacağı .

Vektörler ve eşdoğrusaldır, yani böyle bir sayı vardır. t, ne , çarpan nerede t noktanın konumuna bağlı olarak herhangi bir sayısal değer alabilir M düz bir çizgide. faktör t parametre denir. Noktaların yarıçap vektörlerini belirtmek M 1 ve M sırasıyla ve aracılığıyla, elde ederiz. Bu denklem denir vektör düz çizgi denklemi. Her parametre değerinin t bir noktanın yarıçap vektörüne karşılık gelir M düz bir çizgide yatmak.

Bu denklemi koordinat formunda yazıyoruz. Dikkat edin, ve buradan

Ortaya çıkan denklemler denir parametrik düz çizgi denklemleri.

Parametreyi değiştirirken t koordinatlar değişir x, y ve z ve nokta M düz bir çizgide hareket eder.

KANONİK DENKLEMLER DOĞRUDAN

İzin vermek M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta ben, ve yön vektörüdür. Yine, düz bir çizgi üzerinde keyfi bir nokta alın M(x,y,z) ve vektörü düşünün.

Vektörlerin ve eşdoğrusal oldukları açıktır, bu nedenle ilgili koordinatları orantılı olmalıdır, dolayısıyla

– kanonik düz çizgi denklemleri.

Açıklama 1. Doğrunun kanonik denklemlerinin, parametreyi ortadan kaldırarak parametrik denklemlerden elde edilebileceğini unutmayın. t. Gerçekten de, elde ettiğimiz parametrik denklemlerden veya .

Misal. Düz bir doğrunun denklemini yazın parametrik bir şekilde.

belirtmek , buradan x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Açıklama 2.Çizginin koordinat eksenlerinden birine, örneğin eksene dik olmasına izin verin. Öküz. O zaman çizginin yön vektörü diktir Öküz, buradan, m=0. Sonuç olarak, düz çizginin parametrik denklemleri şu şekli alır:

Parametrenin denklemlerden çıkarılması t, şeklinde düz çizginin denklemlerini elde ederiz

Ancak, bu durumda da, düz çizginin kanonik denklemlerini formda resmi olarak yazmayı kabul ediyoruz. . Bu nedenle, kesirlerden birinin paydası sıfırsa, bu, çizginin karşılık gelen koordinat eksenine dik olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, kanonik denklemler eksenlere dik düz bir çizgiye karşılık gelir Öküz ve Oy veya paralel eksen Öz.

Örnekler

GENEL DENKLEMLER İKİ UÇAĞIN KESİNTİSİ DOĞRUSU OLARAK DOĞRUDAN BİR DOĞRU

Uzaydaki her düz çizgiden sonsuz sayıda düzlem geçer. Herhangi ikisi, kesişen, onu uzayda tanımlar. Bu nedenle, birlikte düşünülen bu tür iki düzlemin denklemleri bu doğrunun denklemleridir.

Genel olarak, genel denklemler tarafından verilen herhangi iki paralel olmayan düzlem

kesişim çizgilerini belirleyin. Bu denklemler denir genel denklemler Düz.

Örnekler

Denklemlerle verilen düz bir çizgi oluşturun

Bir doğru oluşturmak için herhangi iki noktasından birini bulmak yeterlidir. En kolay yol, doğrunun koordinat düzlemleriyle kesişme noktalarını seçmektir. Örneğin, düzlemle kesişme noktası xOy varsayarak, düz bir çizginin denklemlerinden elde ederiz z= 0:

Bu sistemi çözerek, noktayı buluyoruz M 1 (1;2;0).

Benzer şekilde, varsayarsak y= 0, doğrunun düzlemle kesişme noktasını elde ederiz. xOz:

Düz bir çizginin genel denklemlerinden, onun kanonik veya parametrik denklemlerine geçilebilir. Bunu yapmak için bir nokta bulmalısın M 1 doğru üzerinde ve doğrunun yön vektörü.

nokta koordinatları M 1 koordinatlardan birine keyfi bir değer vererek bu denklem sisteminden elde ederiz. Yön vektörünü bulmak için, bu vektörün her iki normal vektöre de dik olması gerektiğine dikkat edin. ve . Bu nedenle, doğrunun yön vektörü için ben normal vektörlerin çapraz çarpımını alabilirsiniz:

Misal. Doğrunun genel denklemlerini verin kanonik forma dönüştürülür.

Düz bir çizgi üzerinde bir nokta bulun. Bunu yapmak için, keyfi olarak koordinatlardan birini seçiyoruz, örneğin, y= 0 ve denklem sistemini çözün:

Çizgiyi tanımlayan düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları vardır. Bu nedenle, yön vektörü düz olacaktır.

. Buradan, ben: .

HAKLAR ARASINDAKİ AÇI

köşe uzaydaki düz çizgiler arasında, verilere paralel rastgele bir noktadan çizilen iki düz çizginin oluşturduğu bitişik açılardan herhangi birini arayacağız.

Uzayda iki doğru verilsin:

Açıkça, çizgiler arasındaki φ açısı, yön vektörleri ve arasındaki açı olarak alınabilir. O zamandan beri, vektörler arasındaki açının kosinüs formülüne göre elde ederiz.

Genel olarak, genel denklemler tarafından verilen herhangi iki paralel olmayan düzlem

kesişim çizgilerini belirleyin. Bu denklemler denir genel denklemler Düz

Bilet 6 Düz bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı, bir doğru ile bir düzlemin paralellik ve diklik durumunu belirten bir ifade yazın.

köşe düz bir çizgi ile bir düzlem arasında düz çizginin oluşturduğu açıya ve düzleme izdüşümüne diyeceğiz. Düzlem denklemlerle verilsin

Vektörleri düşünün ve . Aralarındaki açı dar ise, o zaman φ doğru ile düzlem arasındaki açıdır. Sonra .

Vektörler ile arasındaki açı geniş ise, o zaman eşittir. Buradan . Bu nedenle, her durumda. Vektörler arasındaki açının kosinüsünü hesaplama formülünü hatırlayarak, şunu elde ederiz: .

Bir doğrunun ve bir düzlemin diklik durumu. Bir doğru ve bir düzlem, ancak ve ancak doğrunun yön vektörü ve düzlemin normal vektörü eşdoğrusal ise, yani, eğer ve bir düzlem diktir. .

Bir doğrunun ve bir düzlemin paralellik durumu. Bir doğru ve bir düzlem, ancak ve ancak vektörler ve dik ise paraleldir.

Bilet 7. Bir elips tanımlayın. Elipsin denklemini kanonik biçimde yazın. Elipsin köşeleri, odakları, eksenleri ve eksantrikliği.

Tanım: Bir elips, bir düzlemdeki noktaların geometrik yeridir; bunların her biri için, elipsin odakları olarak adlandırılan, aynı düzlemin belirli iki noktasına olan uzaklıkların toplamı sabit bir değerdir.

İzin vermek F 1 ve F 2 - elipsin odakları. Başlangıç Ö koordinat sistemleri segmentin ortasında bulunur F 1 F 2. eksen Öküz Bu segment boyunca doğrudan eksen Oy- bu segmente dik (Şek.).

Tanım: Bir elipsin simetri eksenleriyle kesiştiği noktalara ne denir tepe elipsi a, simetri merkezi elipsin merkezi, odakları içeren iki köşe arasındaki segment denir elipsin ana ekseni, uzunluğunun yarısı bir elipsin yarı ana ekseni. Simetri ekseninde köşeler arasında odak içermeyen doğru parçasına denir. elipsin küçük ekseni, uzunluğunun yarısı küçük yarım eksendir. Değer denir elips eksantrikliği.

Elips kanonik denklemlerle verilmişse, köşelerinin koordinatları vardır (– a;0), (a;0),(0; –b), (0;b), yarı ana eksen a, küçük yarım eksen eşittir b. Değer c odaklar arasındaki mesafenin yarısı olan formülden belirlenir c 2 = a 2 – b 2 .

Elipsin eksantrikliği, elipsin uzama derecesini karakterize eder. Eksantriklik sıfıra ne kadar yakınsa, elips bir daireye o kadar çok benziyor. Eksantriklik 1'e ne kadar yakınsa, elips o kadar fazla gerilir. Tanım olarak, bir elips 0 için< <1.

Denklem denir elipsin kanonik denklemi.

Bilet 8 Hiperbolü tanımlayın. Hiperbolün denklemini kanonik biçimde yazın. Hiperbolün köşeleri, odakları, eksenleri, asimptotları ve eksantrikliği,

Tanım: Bir hiperbol, bir düzlemde, hiperbol odakları olarak adlandırılan, aynı düzlemin iki sabit noktasına olan uzaklık farkının mutlak değerinin sabit bir değer olduğu bir düzlemdeki noktaların geometrik yeridir.

Bir elips durumunda olduğu gibi, bir hiperbol denklemini elde etmek için uygun bir koordinat sistemi seçiyoruz. Koordinatların orijini, odaklar, eksen arasındaki segmentin ortasında bulunur. Öküz doğrudan bu segment boyunca ve y ekseni buna diktir.

Denklem denir kanonik denklem abartma.

Bir hiperbol, biri hiperbolün odaklarını ve bir simetri merkezini içeren karşılıklı olarak dik iki simetri eksenine sahiptir. Kanonik bir denklemle bir hiperbol verilirse, simetri eksenleri koordinat eksenleridir. Öküz ve Oy, ve orijin hiperbolün simetri merkezidir.

Tanım: Kanonik denklem tarafından verilen hiperbolün eksen ile kesişme noktaları Öküz isminde hiperbolün köşeleri, aralarındaki segment denir hiperbolün gerçek ekseni. Noktalar arasındaki y ekseninin segmenti (0;– b) ve (0; b) sanal eksen olarak adlandırılır. Sayılar a ve b sırasıyla hiperbolün gerçek ve sanal yarım eksenleri olarak adlandırılır. Koordinatların orijine merkezi denir. Değer denir eksantriklik abartma.

Yorum: eşitlikten b 2 = c 2 – a 2 takip ediyor c>a, yani hiperbol >1. Eksantriklik, asimptotlar arasındaki açıyı karakterize eder, 1'e ne kadar yakınsa, bu açı o kadar küçüktür.

Bilet 9. Bir parabol tanımlayın. Parabol denklemini kanonik biçimde yazın. Directrix, bir parabolün odağı

Bir parabol, belirli bir F noktasından ve belirli bir d doğrusundan eşit uzaklıkta olan ve belirli bir noktadan geçmeyen bir düzlemdeki noktaların geometrik yeridir. Bu geometrik tanım şunları ifade eder: parabol dizin özelliği.

Bir parabolün yönsel özelliği F noktasına parabolün odağı denir, d çizgisine parabolün doğrultusu denir, odaktan doğrultucuya bırakılan dikeyin orta noktası O, parabolün tepe noktasıdır, odaktan directrix'e olan mesafe p, parabolün parametresidir ve parabolün tepe noktasından odağına olan p2 mesafesi odak mesafesidir (Şekil a). Doğrudan doğruya dik olan ve odaktan geçen düz çizgiye parabolün ekseni (parabolün odak ekseni) denir. Parabolün rastgele bir M noktasını odak noktasıyla birleştiren FM parçasına M noktasının odak yarıçapı denir. Parabolün iki noktasını birleştiren doğru parçasına parabolün kirişi denir.

Parabolün keyfi bir noktası için, odak mesafesinin directrix'e olan mesafesine oranı bire eşittir. Elips, hiperbol ve parabolün dizin özelliklerini karşılaştırarak şu sonuca varıyoruz: parabol eksantrikliği tanım gereği bire eşittir

.Bir parabolün geometrik tanımı , dizin özelliğini ifade etmek, analitik tanımına eşdeğerdir - parabolün kanonik denklemi tarafından verilen çizgi:

Bilet 10. Kare, özdeş, simetrik, ortogonal matris nedir. Transpoze ve ters matrisleri tanımlayın.

Tanım 1.Matris- satırlar ve - sütunlar içeren dikdörtgen bir sayı tablosuna denir. .

Tanım 2. Sayılar ve denir matris siparişleri(veya matrisin boyutu olduğunu söyleyin)

Tanım 3. Bu matrisi oluşturan sayılara matris adı verilir. elementler.

1. Tanım 4. Matris denir Kare satır sayısı sütun sayısına eşitse. Bir kare matris durumunda, kavramlar ana köşegen(bunlar sayılardır - ) ve yan köşegen(bunlar sayılardır - ).

2. Simetrik Bir (simetrik) matris, elemanları ana köşegene göre simetrik olan bir kare matristir. Daha resmi olarak, eğer bir matris simetrik olarak adlandırılır.

Bu, transpoze matrisine eşit olduğu anlamına gelir:

3. Kimlik matrisi tüm köşegen elemanlarının bire eşit olduğu köşegen matris denir. Örneğin, üçüncü mertebeden kimlik matrisi matristir.

ortogonal matris

Kare matris A, hangisi için A -1 = A T isminde ortogonal matris. Bir ortogonal matrisin temel özellikleri: Bir ortogonal matrisin determinantının modülü bire eşittir. Bu özellik, determinantların özelliklerinden kaynaklanmaktadır:

Bir ortogonal matrisin herhangi bir sütununun elemanlarının karelerinin toplamı bire eşittir.

Bir satırın kendisi ile skaler çarpımı 1'e ve diğer herhangi bir satıra 0'dır. Aynısı sütunlar için de geçerlidir.

Bir ortogonal matrisin herhangi bir satırının elemanlarının başka bir satırın karşılık gelen elemanları ile çarpımı sıfıra eşittir.

ters matris verilen bir matrisle hem sağda hem de solda çarpıldığında birim matrisi veren bir matristir.Matrisin tersini belirtin ANCAK aracılığıyla, sonra aldığımız tanıma göre: nerede E kimlik matrisidir.

Ters matris tüm matrisler için mevcut değildir. Dejenere olmama için gerekli ve yeterli bir koşul,

det( A) ≠ 0 veya sıra( A) = N.

Ters matrislerin özellikleri

· , burada determinantı belirtir.

· herhangi iki tersinir matris için ve .

· , burada aktarılan matrisi gösterir.

· herhangi bir katsayı için.

· Bir lineer denklem sistemini çözmek gerekirse, (b sıfırdan farklı bir vektördür) istenen vektör nerededir ve eğer varsa, o zaman . Aksi takdirde, ya çözüm uzayının boyutu sıfırdan büyüktür ya da hiç yoktur.

aktarılmış matris- orijinal matristen satırları sütunlarla değiştirerek elde edilen matris.

Resmi olarak, boyut matrisi için devrik matris, olarak tanımlanan boyut matrisidir.

Bilet 11. Eşdeğer matrisler nelerdir. Matrislerin temel dönüşümlerini listeler. Eşdeğer matrislerin rankları hakkında ne söylenebilir?

Tanım. Elementer dönüşümün bir sonucu olarak elde edilen matrislere denir. eşdeğer.

Matris sıraları üzerinde temel dönüşümler aşağıdaki dize dönüşümleri çağrılır:

1. bir dizgiyi sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak;

2. iki satırın permütasyonu;

3. diğer satırının matrisinin bir satırına sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılması.

4. Eğer satırlar üzerinden eşdeğer dönüşümler yardımıyla bir matristen matrise bir matris geçirilirse, bu tür matrislere denir. eşdeğer ve belirtmek.

5. Temel dönüşümler yöntemi

6. Bir matrisin rankı, matris satırları üzerinde temel dönüşümler kullanılarak basamaklı forma indirgendikten sonra matristeki sıfır olmayan satırların sayısına eşittir.

Bilet 12 Temel minör nedir. Temel minör teoremi ifade edin.

Tanım. A matrisinin rankı, sıfır olmayan minörün maksimum mertebesidir (minör, bir kare matrisin determinantıdır). Belirlenmiş.

Tanım. Matrisin derecesini belirleyen minör, Baz Minör olarak adlandırılır. BM'yi oluşturan satır ve sütunlara temel satırlar ve sütunlar denir.

Tanım. sütun sistemi tümü sıfıra eşit olmayan ve şu şekilde olan lineer bağımlı sayılar olarak adlandırılır:

Temel minör teoremi

Temel minöre dahil edilen matrisin sütunları, doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturur. Matrisin herhangi bir sütunu, temel minörden kalan sütunlar cinsinden doğrusal olarak ifade edilir.

Boyut matrisinde, sıfırdan farklıysa ve -ro düzeyindeki tüm minörler sıfıra eşitse veya hiç mevcut değilse, inci mertebeden bir minör temel olarak adlandırılır.

Sonuç. Bir matrisin tüm sütunları, doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturan sütunlar cinsinden doğrusal olarak ifade edilirse, matrisin sırasıdır.

Bilet 13 Homojen ve homojen olmayan bir denklem sistemi nedir? Denklemler sisteminin çözümüne ne denir. Terimleri açıklayın: uyumlu denklem sistemi, uyumsuz denklem sistemi. Hangi denklem sistemlerine eşdeğer denir?

Tanım 1. Tüm serbest terimler sıfıra eşitse, sisteme homojen ve heterojen denir - aksi halde.

Tanım 2. Sistemin çözümü, n sayılar ile 1 , ile 2 , …, ile n , sisteme değiştirirken bilinmeyenler yerine, m sayısal kimlikler

Tanım 3. En az bir çözümü varsa (çözümleri yoksa) bir sistem uyumlu (uyumsuz) olarak adlandırılır.

Tanım 4. Lineer cebirsel denklemlerin ortak bir sistemi, benzersiz bir çözümü (çözümler kümesi) varsa, belirli (belirsiz) olarak adlandırılır.

Tanım.

İki lineer denklem sistemi denir eşdeğer (eşdeğer), eğer aynı çözümlere sahiplerse.

Eşdeğer sistemler, dönüşümlerin sadece sistemin dizileri üzerinde yapılması şartıyla, özellikle sistemin temel dönüşümleri ile elde edilir.

Bilet 14 Homojen bir denklem sisteminin temel çözüm sistemi nedir? Homojen bir denklem sisteminin genel çözümü denir.

Tanım. Lineer homojen denklemler sisteminin çözüm uzayının temeli, temel karar sistemi

Homojen bir denklem sisteminin genel çözümünün yapısı üzerine teorem:

Homojen bir lineer denklem sisteminin herhangi bir çözümü aşağıdaki formülle tanımlanır:

nerede X 1 , X 2 , … , X n − r- homojen bir lineer denklem sisteminin temel çözüm sistemi ve C 1 , C 2 , … , C n − r keyfi sabitlerdir.

Homojen bir denklem sisteminin genel çözümünün özellikleri:

1. Herhangi bir değer için C 1 , C 2 , … , C n − r X formül (3) ile tanımlanan , sistem (1)'in bir çözümüdür.

2. Karar ne olursa olsun X 0, sayılar var C 1 0 , … , C n − r 0 öyle ki

Çözüm: Homojen sistemin temel sistemini ve genel çözümünü bulmak için, ilgili lineer operatörün çekirdeğinin temeli bulunmalıdır.

Bilet 16. Doğrusal bir uzayın tanımını verin ve özelliklerini formüle edin.

Bir demet L isminde doğrusal veya Vektör Uzayı , eğer bu kümenin tüm elemanları (vektörler) için bir sayı ile toplama ve çarpma işlemleri tanımlanmışsa ve bu doğrudur:

1. Her eleman çifti x ve y itibaren L öğeyi karşılar x + y itibaren L , isminde toplamx ve y, ve:

x + y = y+x- toplama değişmeli;

x + (y + z) = (x + y) + z- ekleme birleştiricidir;

x +0 = x- sadece bir tane var boş eleman 0 (x +0 = x herkes için x itibaren L );

x + (− x)= 0 - her eleman için x itibaren L sadece bir tane var zıt eleman −x (x + (−x) = 0 herkes için x itibaren L) .

2. Her çift x ve α, burada α − sayı ve x eleman L , α öğesine karşılık gelir x, isminde İşα vex, ve:

α·(β · x) = (α·β) · x− bir sayı ile çarpma ilişkiseldir: ;

1· x = x- herhangi bir eleman için x itibaren L .

3. Bir sayı ile toplama ve çarpma işlemleri ilişkilerle ilişkilidir:

α·( x + y) = α· x + α· y- bir sayı ile çarpma, elemanların toplanmasına göre dağılır;

(α + β )· x = α· x + β · x− bir vektörle çarpma, sayıların toplanmasına göre dağılır.

Bilet 17. Lineer uzayın bir alt uzayı. Özellikleri. Doğrusal kabuk.

Doğrusal bir alt uzayın tanımı

Doğrusal uzay V'nin boş olmayan bir alt kümesine L denir. doğrusal alt uzay boşluk V ise

1) u+v∈L ∀u,v∈L (toplama işlemine göre alt uzay kapalıdır);

2) λv∈L ∀v∈L ve herhangi bir λ sayısı (bir vektörü bir sayı ile çarpma işlemine göre alt uzay kapalıdır).

Mülk 1 Bir lineer uzay R'nin herhangi bir alt uzayı bir lineer uzaydır.

Mülk 2 loş M ≤ loş Rn.

Mülk 3 (temel tamamlandıktan sonra). Eğer (ep)k bir Rn lineer uzayının M alt uzayında bir taban ise ve k< n, то можно так выбрать элементы в Rn ek+1, ek+2, . . . , en, что (ep)n будет базисом в Rn.

Definition.Doğrusal kabuk doğrusal bir alt uzayı tanımlayan vektörler kümesidir. Kesin olarak, bir doğrusal yayılma, verilen vektörlerin tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesidir. Ayrıca özellikleri de vurgulayalım:

Bilet 18. Öklid uzayını tanımlayın. Vektör normalleştirme işlemini açıklar.

Tanım V bir vektör uzayı olsun. Herhangi iki x, y ∈ V vektörü, bu vektörlerin iç çarpımı olarak adlandırılan ve xy veya (x, y ile gösterilen) bir gerçek sayı ile ilişkilendirilirse, V'ye bir iç çarpım verilir, böylece aşağıdaki koşullar sağlanır deriz. (burada x, y, z, V'den rastgele vektörlerdir ve

t keyfi bir gerçek sayıdır):

1) xy = yx (skaler çarpım değişmelidir);

2) (tx)y = t(xy);

3) (x + y)z = xz + yz (skaler çarpım toplamaya göre dağılımlıdır);

4) xx >=0 ve xx = 0 ancak ve ancak x = 0 ise.

Skaler ürünün verildiği vektör uzayına Öklid denir. Özellikler 1)–4) Öklid uzayının aksiyomları olarak adlandırılır.

vektör araması normalleştirilmiş veya tekil uzunluğu bire eşitse. Rasgele sıfır olmayan bir vektörü normalleştirmek, onu uzunluğuna bölmektir. Sonuç, orijinal olana ortak yönlendirilmiş bir birim vektördür.
Bir birim tarafından rastgele bir vektörün skaler ürünü, bu vektörün birimin yönüne izdüşümünün tam uzunluğunu verecektir. Yalnızca uzunluğu değil, izdüşüm vektörünün kendisini de elde etmek için, bu uzunluğu birim vektörümüzle çarpmamız gerekir:

Bilet 19 Bir ortonormal taban nedir. Örnek olarak iki boyutlu bir temel kullanarak Gram-Schmidt dikleştirme sürecini açıklayın.

Ortonormal sistem aşağıdakilerden oluşur: n vektörler n-boyutlu Öklid uzayı, bu uzayın temelini oluşturur. Böyle bir temel denir ortonormal temel.

Eğer bir e 1 , e 2 , ..., en -ortonormal temel n-boyutlu Öklid uzayı ve

x = x 1 1 + x 2 e2 + ... + x n e n - vektör ayrıştırma x bu temelde, daha sonra koordinatlar xben vektör x ortonormal bir temelde formüllerle hesaplanır xben =(x, eben ), ben= 1, 2, ..., n.

GRAMA-SCHMIDT, Doğrusal olarak bağımsız bir vektör sistemi verildiğinde b 1 , b 2 , …, b l , a l+1 , …, bir n ben ≥ 1(1) ortogonal olduğu kısım, biz gösteririz b l+1 vektörün ortogonal bileşeni ve l+1 ortogonal sisteme göre b 1 , b 2 , …, b ben Sonra1. vektör sistemi b 1 , b 2 , …, b l , b l+1 , a l+2 , …, bir n(2), (1)'e eşdeğerdir.

2. Vektörler sistemi (2) lineer olarak bağımsızdır ve onun parçası b 1 , b 2 , …, b l , b l+1– ortogonal Bir ortogonal bileşen kavramını kullanarak, lineer olarak bağımsız bir sistemin dönüşüm sürecini tanımlarız. bir 1 , bir 2 , …, bir n ortogonal bir sisteme b 1 , b 2 , …, bn denilen sıfır olmayan vektörler sistem dikleştirme bir 1 , bir 2 , …, bir n.Bu işlem n adımdan oluşur, n orijinal sistemdeki vektörlerin sayısıdır. bir 1 , bir 2 , …, bir n.

1 adım. İnanıyoruz b 1 \u003d bir 1 ve sistemi al b 1 , a 2 , …, bir n

2 adım. (3) numaralı sistemdeki vektörü değiştirelim. 2 göre ortogonal bileşen b1, ve sistemi alıyoruz: b 1 ,b 2 , bir 3 ,…, bir n (4)

Ortogonalleştirme adımlarına göre sistem (4) lineer bağımsızdır ve onun parçası b1, b2-dikey.

Halihazırda lineer bağımsız bir sistem oluşturduğumuzu varsayalım. b 1 , b 2 , …, b k-1 , a k ,…, bir n, (5)

hangisinde b 1 , b 2 , …, b k-1 ortogonaldir.

k. adımda k = 3, n, vektörü sistem (5)'te değiştiriyoruz bir k sisteme göre ortogonal bileşeni b 1 , b 2 , …, b k-1 ve sistemi al b 1 , …,b k , bir k+1 , …, bir n.

n. adımı gerçekleştirdikten sonra, doğrusal olarak bağımsız ve ortogonal bir vektör sistemi elde ederiz. b 1 , b 2 , …, bn.

Bilet 20.Doğrusal uzayda bir operatör tanımlayın. Hangi operatöre lineer denir.

Şebeke her bir öğeye göre kural denir x X tek bir eleman eşleştirilir y bazı boş olmayan küme Y . Operatörün hareket ettiği söyleniyor X içinde Y .

Operatörün eylemi belirtilir y = A (x), y- görüntü x, x- prototip y.

eğer her eleman y itibaren Y tek bir preimage var x itibaren X , y= A (x), operatör çağrılır bire bir eşleme X içinde Y veya dönüşüm X , X - operatör tanımının kapsamı.

İzin vermek X ve Y iki lineer uzay. Şebeke A oyunculuk X içinde Y , denir hat operatörü, eğer herhangi iki eleman için sen ve v itibaren X ve herhangi bir sayı α geçerlidir:

A(sen+ v) = A (sen) + A (v) , A (α· sen) = α· A (sen).

Bilet 21. Doğrusal operatöre bir örnek verin. Doğrusal operatörler üzerinde hangi işlemleri biliyorsunuz?

Doğrunun kanonik denklemleri

Sorunun formülasyonu. İki düzlemin kesişme çizgisi olarak tanımlanan bir düz çizginin kanonik denklemlerini bulun (genel denklemler)

Çözüm planı. Yön vektörlü düz bir çizginin kanonik denklemleri bu noktadan geçen , forma sahip

. (1)

Bu nedenle, bir düz çizginin kanonik denklemlerini yazmak için, onun yönlendirici vektörünü ve düz çizgi üzerinde bir noktayı bulmak gerekir.

1. Doğru aynı anda her iki düzleme ait olduğundan, yön vektörü her iki düzlemin normal vektörlerine diktir, yani. bir vektör ürün tanımına göre, elimizdeki

. (2)

2. Doğru üzerinde bir nokta seçin. Doğrunun yönlendirici vektörü koordinat düzlemlerinden en az birine paralel olmadığı için doğru bu koordinat düzlemini keser. Bu nedenle, bir doğru üzerinde bir nokta olarak, bu koordinat düzlemi ile kesiştiği nokta alınabilir.

3. Yönlendirici vektörün bulunan koordinatlarını değiştiriyoruz ve düz çizginin (1) kanonik denklemlerine işaret ediyoruz.

Yorum. Vektör çarpımı (2) sıfıra eşitse, düzlemler kesişmez (paralel) ve doğrunun kanonik denklemlerini yazmak mümkün değildir.

Görev 12. Doğrunun kanonik denklemlerini yazın.

Düz bir çizginin kanonik denklemleri:

nerede doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarıdır, yön vektörüdür.

Çizgideki herhangi bir noktayı bulun . bırak o zaman

Buradan, doğruya ait bir noktanın koordinatlarıdır.