Markov örnekleri işler. Kuyruk teorisinin unsurları
Zaman parametresinin herhangi bir değerinden sonra evrimi t (\görüntüleme stili t) bağlı değilönceki evrimden t (\görüntüleme stili t), şu andaki sürecin değerinin sabit olması koşuluyla (“sürecin geleceği” bilinen “şimdi” ile “geçmişe” bağlı değildir; başka bir yorum (Wentzel): sürecin “geleceği” bağlıdır sadece “şimdiki” aracılığıyla “geçmiş” üzerine).
Ansiklopedik YouTube
1 / 3
✪ Ders 15: Markov Stokastik Süreçler
✪ Markov zincirlerinin kökeni
✪ Genelleştirilmiş Markov süreç modeli
Altyazılar
Öykü
Bir Markov sürecini tanımlayan özelliğe genellikle Markov özelliği denir; ilk kez, 1907'nin çalışmalarında bağımlı deneme dizilerinin ve bunlarla ilişkili rastgele değişkenlerin toplamlarının incelenmesinin temelini atan A. A. Markov tarafından formüle edildi. Bu araştırma dizisi Markov zincirleri teorisi olarak bilinir.
Sürekli zamanla Markov süreçlerinin genel teorisinin temelleri Kolmogorov tarafından atıldı.
Markov özelliği
Genel dava
İzin vermek (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F))),\mathbb (P)))- filtreleme ile olasılık alanı (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T)) bazı (kısmen sıralı) kümenin üzerinde T (\görüntüleme stili T); bırak gitsin (S , S) (\displaystyle (S,(\matematik (S))))- ölçülebilir uzay. rastgele süreç X = (X t , t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\ t\in T)) filtrelenmiş olasılık uzayında tanımlanan , tatmin ettiği kabul edilir Markov özelliği eğer her biri için A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S))) ve s , t ∈ T: s<
t
{\displaystyle s,t\in T:s
Markov süreci tatmin eden rastgele bir süreçtir. Markov özelliği Doğal filtrasyon ile.
Ayrık zamanlı Markov zincirleri için
Eğer S (\görüntüleme stili S) ayrık bir kümedir ve T = N (\displaystyle T=\mathbb (N) ), tanım yeniden formüle edilebilir:
P (X n = x n | X n - 1 = x n - 1 , X n - 2 = x n - 2 , ... , X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n - 1 = x n - 1) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1),X_(n-2)=x_(n-2),\ noktalar , X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1))).Markov işlemine bir örnek
Markov stokastik sürecinin basit bir örneğini düşünün. Bir nokta x ekseni boyunca rastgele hareket eder. Sıfır zamanında, nokta orijindedir ve bir saniye orada kalır. Bir saniye sonra, bir madeni para atılır - eğer arma düşerse, X noktası bir birim uzunluk sağa, sayı ise - sola doğru hareket eder. Bir saniye sonra madeni para tekrar havaya atılıyor ve aynı rastgele hareket yapılıyor ve bu böyle devam ediyor. Bir noktanın konumunu değiştirme ("gezinme") işlemi, ayrık zamanlı (t=0, 1, 2, ...) ve bir dizi sayılabilir durum içeren rastgele bir işlemdir. Böyle bir rastgele sürece Markovian denir, çünkü noktanın bir sonraki durumu sadece mevcut (mevcut) duruma bağlıdır ve geçmiş durumlara bağlı değildir (noktanın hangi yoldan ve ne zaman geçerli koordinata ulaştığı önemli değildir) .
Markov rastgele süreçleri, seçkin Rus matematikçi A.A. Rastgele değişkenlerin olasılıksal bağlantısı çalışmasına ilk kez başlayan ve "olasılık dinamiği" olarak adlandırılabilecek bir teori oluşturan Markov (1856-1922). Gelecekte, bu teorinin temelleri, genel rastgele süreçler teorisinin yanı sıra difüzyon süreçleri teorisi, güvenilirlik teorisi, kuyruk teorisi vb. gibi önemli uygulamalı bilimlerin ilk temeli oldu. Şu anda, Markov süreçleri teorisi ve uygulamaları, mekanik, fizik, kimya vb. gibi çeşitli bilim alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır.
Matematiksel düzeneğin karşılaştırmalı basitliği ve netliği, elde edilen çözümlerin yüksek güvenilirliği ve doğruluğu nedeniyle, Markov süreçleri yöneylem araştırması ve optimal karar verme teorisi ile ilgilenen uzmanların özel ilgisini çekmiştir.
Yukarıdaki basitliğe ve açıklığa rağmen, Markov zincirleri teorisinin pratik uygulaması, örnekleri sunmadan önce tartışılması gereken bazı terimler ve temel hükümler hakkında bilgi gerektirir.
Belirtildiği gibi, Markov stokastik süreçleri, stokastik süreçlerin (SP) özel durumlarıdır. Sırayla, rastgele süreçler, rastgele bir fonksiyon (SF) kavramına dayanır.
Rastgele işlev, bağımsız değişkenin herhangi bir değeri için değeri bir rasgele değişken (CV) olan bir işlevdir. Başka bir deyişle, SF, her testte önceden bilinmeyen bir form alan bir fonksiyon olarak adlandırılabilir.
Bu tür SF örnekleri şunlardır: bir elektrik devresindeki voltaj dalgalanmaları, bir yolun hız sınırı olan bir bölümündeki bir arabanın hızı, belirli bir bölümdeki bir parçanın yüzey pürüzlülüğü, vb.
Kural olarak, eğer SF argümanı zaman ise, böyle bir sürece rastgele denir. Karar verme teorisine daha yakın, rastgele süreçlerin tanımı var. Aynı zamanda, rastgele bir süreç, herhangi bir fiziksel veya teknik sistemin durumlarında zaman veya başka bir argümanda rastgele bir değişiklik süreci olarak anlaşılır.
Bir durum belirler ve bir bağımlılığı tasvir edersek, böyle bir bağımlılığın rastgele bir fonksiyon olacağını görmek kolaydır.
Rastgele süreçler, durum türlerine ve t argümanına göre sınıflandırılır. Bu durumda, rastgele süreçler ayrık veya sürekli durumlar veya zamanla olabilir.
Rastgele süreçlerin sınıflandırılmasına ilişkin yukarıdaki örneklere ek olarak, bir başka önemli özellik daha vardır. Bu özellik, rastgele süreçlerin durumları arasındaki olasılık ilişkisini tanımlar. Bu nedenle, örneğin, rastgele bir süreçte, bir sistemin sonraki her duruma geçiş olasılığı yalnızca önceki duruma bağlıysa, bu tür bir sürece, art etkisi olmayan bir süreç denir.
Öncelikle, ayrık durumlara ve zamana sahip rastgele bir sürece rastgele dizi adı verildiğine dikkat edin.
Rastgele bir dizi Markov özelliğine sahipse, buna Markov zinciri denir.
Öte yandan, rastgele bir süreçte durumlar ayrıksa, zaman sürekliyse ve son etki özelliği korunursa, böyle bir rastgele sürece sürekli zamanlı bir Markov süreci denir.
Bir Markov stokastik süreci, süreç boyunca geçiş olasılıkları sabit kalırsa homojen olarak adlandırılır.
İki koşul verilirse bir Markov zinciri verilmiş kabul edilir.
1. Bir matris şeklinde bir dizi geçiş olasılığı vardır:
2. Bir başlangıç olasılıkları vektörü vardır
sistemin ilk durumunu açıklar.
Matris formuna ek olarak, Markov zincir modeli, yönlendirilmiş ağırlıklı bir grafik olarak temsil edilebilir (Şekil 1).
Pirinç. 1
Markov zincir sisteminin durum kümesi, sistemin daha sonraki davranışı dikkate alınarak belirli bir şekilde sınıflandırılır.
1. Tersinir olmayan küme (Şekil 2).
İncir. 2.
Geri dönüşü olmayan bir küme durumunda, bu küme içinde herhangi bir geçiş mümkündür. Sistem bu kümeden ayrılabilir, ancak geri dönemez.
2. Tekrarlayan küme (Şekil 3).
Pirinç. 3.
Bu durumda, küme içindeki herhangi bir geçiş de mümkündür. Sistem bu kümeye girebilir ancak çıkamaz.
3. Ergodik set (Şekil 4).
Pirinç. 4.
Ergodik bir küme durumunda, küme içindeki herhangi bir geçiş mümkündür, ancak kümeden ve kümeye geçişler hariç tutulur.
4. Emici set (Şekil 5)
Pirinç. 5.
Sistem bu kümeye girdiğinde işlem sona erer.
Bazı durumlarda, sürecin rastgele olmasına rağmen, dağılım yasalarını veya geçiş olasılıklarının parametrelerini kontrol etmek bir dereceye kadar mümkündür. Bu tür Markov zincirlerine kontrollü denir. Açıkça, kontrollü Markov zincirlerinin (MCC) yardımıyla, daha sonra tartışılacak olan karar verme süreci özellikle etkili hale gelir.
Ayrık bir Markov zincirinin (DMC) ana özelliği, sürecin bireysel adımları (aşamaları) arasındaki zaman aralıklarının determinizmidir. Bununla birlikte, bu özellik genellikle gerçek süreçlerde gözlenmez ve süreç Markovian olarak kalsa da, aralıklar bazı dağıtım yasalarıyla rastgele olur. Bu tür rastgele dizilere yarı-Markov denir.
Ek olarak, yukarıda bahsedilen belirli durum kümelerinin varlığı ve yokluğu dikkate alındığında, Markov zincirleri en az bir yutucu durum varsa soğurucu, geçiş olasılıkları ergodik bir küme oluşturuyorsa ergodik olabilir. Buna karşılık, ergodik zincirler düzenli veya döngüsel olabilir. Döngüsel zincirler, belirli sayıda adım (döngü) boyunca geçiş sürecinde belirli bir duruma geri dönüş olduğu için normal zincirlerden farklıdır. Normal zincirlerde bu özellik yoktur.
Kuyruk sistemlerinin yapısı ve sınıflandırılması
Kuyruk sistemleri
Genellikle, kuyruk sistemleriyle (QS) ilişkili olasılıksal problemleri çözme ihtiyacı vardır, bunların örnekleri şunlar olabilir:
Bilet ofisleri;
tamir atölyeleri;
Ticaret, ulaşım, enerji sistemleri;
İletişim sistemleri;
Bu tür sistemlerin ortaklığı, faaliyetlerinin incelenmesinde kullanılan matematiksel yöntem ve modellerin birliğinde ortaya çıkar.
Pirinç. 4.1. TMT'nin ana uygulama alanları
QS'ye giriş, bir hizmet istekleri akışı alır. Örneğin müşteriler veya hastalar, ekipman arızaları, telefon görüşmeleri. İstekler, rastgele zamanlarda düzensiz bir şekilde gelir. Hizmetin süresi de rastgeledir. Bu, QS'nin çalışmasında düzensizlikler yaratır, aşırı ve düşük yüklere neden olur.
Kuyruk sistemleri farklı bir yapıya sahiptir, ancak genellikle ayırt edilebilirler. dört ana unsur:
1. Gelen talep akışı.
2. Akümülatör (sıra).
3. Cihazlar (servis kanalları).
4. Çıkış akışı.
Pirinç. 4.2. Kuyruk sistemlerinin genel şeması
Pirinç. 4.3. Sistem çalışma modeli
(oklar, gereksinimlerin varış anlarını gösterir
sistem, dikdörtgenler - servis süresi)
Şekil 4.3a, düzenli bir gereksinim akışına sahip bir sistem modelini göstermektedir. Taleplerin gelişleri arasındaki süre bilindiğinden, servis süresi sistemi tam olarak yükleyecek şekilde seçilmektedir. Stokastik gereksinim akışına sahip bir sistem için durum tamamen farklıdır - gereksinimler zaman içinde farklı noktalarda gelir ve hizmet süresi de belirli bir dağıtım yasası ile tanımlanabilen rastgele bir değişkendir (Şekil 4.3 b).
Kuyruk oluşturma kurallarına bağlı olarak, aşağıdaki QS'ler ayırt edilir:
1) arızalı sistemler , tüm hizmet kanalları meşgul olduğunda, istek sistemi hizmet dışı bırakır;
2) sınırsız kuyruklu sistemler , varış anında tüm servis kanalları meşgulse, talebin kuyruğa girdiği;
3) bekleme ve sınırlı sıraya sahip sistemler , bekleme süresinin bazı koşullarla sınırlandırıldığı veya kuyrukta bekleyen başvuru sayısında kısıtlamaların olduğu.
Gelen gereksinim akışının özelliklerini göz önünde bulundurun.
İstek akışı denir sabit , bir veya daha fazla sayıda olayın belirli bir uzunluktaki bir zaman dilimine girme olasılığı yalnızca bu segmentin uzunluğuna bağlıysa.
Olay akışı denir sonuçsuz akış , belirli bir zaman aralığına düşen olay sayısı, diğerlerine düşen olay sayısına bağlı değilse.
Olay akışı denir sıradan iki veya daha fazla olay aynı anda gerçekleşemezse.
İstek akışı denir zehir (veya en basiti) üç özelliği varsa: sabit, sıradan ve sonuçları yok. Adı, belirtilen koşullar altında, herhangi bir sabit zaman aralığına düşen olay sayısının Poisson yasasına göre dağıtılacağı gerçeğinden kaynaklanmaktadır.
yoğunluk uygulamaların akışı λ, akıştan birim zaman başına gelen ortalama uygulama sayısıdır.
Durağan bir akış için yoğunluk sabittir. τ, iki bitişik istek arasındaki zaman aralığının ortalama değeriyse, Poisson akışı durumunda, hizmete girme olasılığı m bir süre için istekler t Poisson yasası ile belirlenir:
Bitişik istekler arasındaki süre, bir olasılık yoğunluğu ile üstel olarak dağıtılır
Hizmet süresi rasgele bir değişkendir ve μ'nin hizmet akışının yoğunluğu olduğu olasılık yoğunluğuna sahip bir üstel dağılım yasasına uyar; birim zaman başına sunulan ortalama istek sayısı,
Gelen akışın yoğunluğunun hizmet akışının yoğunluğuna oranına denir. sistem önyüklemesi
Bir kuyruk sistemi, sonlu veya sayılabilir bir durum kümesine sahip ayrık tipte bir sistemdir ve sistemin bir durumdan diğerine geçişi, bir olay meydana geldiğinde aniden gerçekleşir.
süreç denir ayrık durum süreci , olası durumları önceden yeniden numaralandırılabilirse ve sistemin durumdan duruma geçişi neredeyse anında gerçekleşir.
Bu tür süreçler iki tiptir: kesikli veya sürekli zamanlı.
Ayrık zaman durumunda, durumdan duruma geçişler, kesin olarak tanımlanmış zaman anlarında gerçekleşebilir. Sürekli zamanlı süreçler, sistemin herhangi bir zamanda yeni bir duruma geçişinin mümkün olması bakımından farklılık gösterir.
Rastgele bir süreç, argümanın her değerine (bu durumda, deneyin zaman aralığından bir an) rastgele bir değişken (bu durumda, QS durumu) atanan bir yazışmadır. Rastgele değişken Deneyimin bir sonucu olarak, belirli bir sayısal kümeden sayısal değeri önceden bilinmeyen bir tane alabilen niceliğe denir.
Bu nedenle, kuyruk teorisinin problemlerini çözmek için bu rastgele süreci, yani. matematiksel modelini oluşturmak ve analiz etmek.
rastgele süreç isminde Markoviyen , herhangi bir an için gelecekteki sürecin olasılıksal özellikleri yalnızca o andaki durumuna bağlıysa ve sistemin bu duruma ne zaman ve nasıl geldiğine bağlı değilse.
Sistemin durumdan duruma geçişleri bazı akışların (uygulamaların akışı, arızaların akışı) etkisi altında gerçekleşir. Sistemi yeni bir duruma getiren tüm olay akışları en basit Poisson ise, o zaman sistemde meydana gelen süreç Markovyen olacaktır, çünkü en basit akışın bir sonucu yoktur: onda gelecek geçmişe bağlı değildir. - bir grup satranç taşı. Sistemin durumu, o anda tahtada kalan rakibin taşlarının sayısı ile karakterize edilir. Şu anda maddi avantajın rakiplerden birinin tarafında olma olasılığı, taşların o ana kadar tahtadan ne zaman ve hangi sırayla kaybolduğuna değil, öncelikle sistemin o andaki durumuna bağlıdır.
ders 9
Markov süreçleriders 9
Markov süreçleri
1
Markov süreçleri
Markov süreçleriSistemdeki rastgele sürece denir
Herhangi bir sonucu yoksa Markovian. Onlar.
sürecin mevcut durumunu (t 0) - olarak düşünürsek
mevcut, olası durumlar kümesi ((s),s t) - as
geçmiş, olası durumlar kümesi ( (u),u t) - as
gelecek, daha sonra sabit bir Markov süreci için
şimdi, gelecek geçmişe bağlı değil, belirlenmiş
sadece mevcut ve sistemin ne zaman ve nasıl olduğuna bağlı değil
bu duruma geldi.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
2
Markov süreçleri
Markov süreçleriMarkov rastgele süreçleri, rastgele değişkenlerin olasılıksal bağlantısını ilk kez incelemeye başlayan seçkin Rus matematikçi A.A. Markov'un adını almıştır.
ve "dinamik" olarak adlandırılabilecek bir teori yarattı.
olasılıklar." Gelecekte, bu teorinin temelleri
genel rastgele süreçler teorisinin yanı sıra difüzyon süreçleri teorisi, güvenilirlik teorisi, kuyruk teorisi vb. gibi önemli uygulamalı bilimlerin ilk temeli.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
3
Markov Andrey Andreevich Markov Andrey Andreevich Markov Andrey Andreevich
Markov süreçleriMarkov Andrey Andreevich
1856-1922
Rus matematikçi.
Yaklaşık 70 makale yazdı
teoriler
sayılar,
teoriler
fonksiyonların yaklaşımları, teoriler
olasılıklar. Kanunun kapsamını önemli ölçüde genişletti
büyük sayılar ve merkezi
limit teoremi. Bir
rastgele süreçler teorisinin kurucusu.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
4
Markov süreçleri
Markov süreçleriPratikte, saf Markov süreçleri genellikle
tanışmamak. Ancak "tarihöncesi"nin etkisinin ihmal edilebileceği ve çalışırken
Bu tür işlemlerde Markov modelleri uygulanabilir. AT
Şu anda, Markov süreçleri teorisi ve uygulamaları çeşitli alanlarda yaygın olarak kullanılmaktadır.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
5
Markov süreçleri
Markov süreçleriBiyoloji: doğum ve ölüm süreçleri - popülasyonlar, mutasyonlar,
salgınlar.
Fizik:
radyoaktif
çürüme,
teori
sayaçlar
temel parçacıklar, difüzyon süreçleri.
Kimya:
teori
izler
içinde
nükleer
fotoğraf emülsiyonları,
kimyasal kinetik olasılık modelleri.
Resimler.jpg
Astronomi: dalgalanma teorisi
Samanyolunun parlaklığı.
Kuyruk teorisi: telefon santralleri,
tamirhaneler, bilet gişeleri, bilgi masaları,
takım tezgahı ve diğer teknolojik sistemler, kontrol sistemleri
esnek üretim sistemleri, sunucular tarafından bilgi işleme.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
6
Markov süreçleri
Markov süreçleriŞu anda t0 sistem içinde olsun
belirli durum S0. özelliklerini biliyoruz
mevcut sistemin durumu ve t'de olan her şey< t0
(sürecin tarihi). geleceği tahmin edebilir miyiz
onlar. t > t0 olduğunda ne olur?
Tam olarak değil, ancak bazı olasılıksal özellikler
Gelecekteki süreç bulunabilir. Örneğin, olasılık
yani bir süre sonra
sistem S durumda olacak
S1 veya S0 durumunda kalın vb.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
7
Markov süreçleri. Misal.
Markov süreçleriMarkov süreçleri. Misal.
Sistem S - hava savaşına katılan bir grup uçak. sayı x olsun
"kırmızı" uçaklar, y "mavi" uçakların sayısıdır. t0 zamanına kadar hayatta kalan (düşürülmemiş) uçak sayısı
sırasıyla – x0, y0.
zamanda olma olasılığıyla ilgileniyoruz.
t 0 sayısal üstünlük “kırmızılar” tarafında olacaktır. Bu olasılık, sistemin hangi durumda olduğuna bağlıdır.
t0 zamanında ve uçağın t0 zamanına kadar ne zaman ve hangi sırayla düşürüldüğü değil.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
8
Ayrık Markov Zincirleri
Markov süreçleriAyrık Markov Zincirleri
Sonlu veya sayılabilir sayı ile Markov süreci
durumlar ve zamanın anları ayrık olarak adlandırılır
Markov zinciri. Durumdan duruma geçişler sadece tamsayı zamanlarda mümkündür.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
9
10. Ayrık Markov zincirleri. Misal
Markov süreçleriSanmak
ne
konuşma
gitmek
hakkında
art arda yazı tura atışları
oyun "fırlatma"; jeton atılır
koşullu zaman anları t = 0, 1, ... ve açık
oyuncu her adımda ±1 s kazanabilir
aynısı
olasılık
1/2,
böyle
Böylece, t anında, toplam kazancı, olası değerleri j = 0, ±1, ... olan rastgele bir değişken ξ(t)'dir.
ξ(t) = k olması koşuluyla, bir sonraki adımda ödeme
aynı olasılıkla 1/2 ile j = k ± 1 değerlerini alarak ξ(t+1) = k ± 1'e zaten eşittir. Burada uygun bir olasılıkla ξ(t) = k durumundan ξ(t + 1) = k ± 1 durumuna geçiş olduğunu söyleyebiliriz.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
10
11. Ayrık Markov Zincirleri
Markov süreçleriAyrık Markov Zincirleri
Bu örneği genelleştirerek, bir sistem hayal edilebilir.
zaman içinde sayılabilen olası durumların sayısı
ayrık zaman t = 0, 1, ... durumdan duruma rastgele geçer.
Rastgele geçişler zincirinin bir sonucu olarak t zamanındaki konumu ξ(t) olsun.
ξ(0) -> ξ(1) -> ... -> ξ(t) -> ξ(t+1) ->...-> ... .
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
11
12. Ayrık Markov Zincirleri
Markov süreçleriAyrık Markov Zincirleri
Ayrık durumlarla rastgele süreçleri analiz ederken, geometrik bir şema kullanmak uygundur - bir grafik
devletler. Grafiğin köşeleri sistemin durumlarıdır. Sayı Yayları
– durumdan duruma olası geçişler.
Oyun "atmak".
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
12
13. Ayrık Markov Zincirleri
Markov süreçleriAyrık Markov Zincirleri
Tüm olası durumları i = 0, ±1, ... tamsayılarıyla gösterin.
Bilinen bir ξ(t) =i durumu ile bir sonraki adımda sistemin koşullu olasılıkla ξ(t+1) = j durumuna geçtiğini varsayalım.
P( (t 1) j (t) ben)
geçmişteki davranışından bağımsız olarak, daha doğrusu,
geçişler zincirinden t anına kadar:
P( (t 1) j (t) ben; (t 1) o 1;...; (0) i0 )
P( (t 1) j (t) ben)
Bu özelliğe Markovian denir.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
13
14. Ayrık Markov Zincirleri
Markov süreçleriAyrık Markov Zincirleri
Sayı
pij P( ((t 1) j (t) ben)
olasılık denir
sistemin bir adımda i durumundan j durumuna geçişi
zaman noktası t1.
Geçiş olasılığı t'ye bağlı değilse, zincir
Markov homojen olarak adlandırılır.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
14
15. Ayrık Markov Zincirleri
Markov süreçleriAyrık Markov Zincirleri
Elemanları olasılık olan Matris P
geçiş pij , geçiş matrisi olarak adlandırılır:
p11 ... p1n
P p 21 ... p 2n
p
n1 ... pnn
Stokastiktir, yani.
pij 1 ;
ben
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
p ij 0 .
15
16. Ayrık Markov zincirleri. Misal
Markov süreçleriAyrık Markov zincirleri. Misal
Oyun "toss" için geçiş matrisi
...
k2
k2
0
1
1/ 2
k
0
1
k
1
k2
0
1/ 2
0
0
1/ 2
0
1/ 2
0
1/ 2
0
0
0
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
...
k 1 k 2
0
0
0
1/ 2
0
1/ 2
...
0
0
1/ 2
0
16
17. Ayrık Markov zincirleri. Misal
Markov süreçleriAyrık Markov zincirleri. Misal
Bahçıvan, toprağın kimyasal analizi sonucunda değerlendirir.
üç sayıdan biriyle durumu - iyi (1), orta (2) veya kötü (3). Bahçıvan, yıllar boyunca yaptığı gözlemler sonucunda fark etti.
mevcut toprak verimliliği
yıl sadece durumuna bağlıdır
geçen yıl. Bu nedenle, olasılıklar
bir durumdan toprak geçişi
bir diğeri aşağıdakilerle temsil edilebilir
P1 matrisli Markov zinciri:
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
17
18. Ayrık Markov zincirleri. Misal
Markov süreçleriAyrık Markov zincirleri. Misal
Ancak, agroteknik önlemlerin bir sonucu olarak, bahçıvan P1 matrisindeki geçiş olasılıklarını değiştirebilir.
Sonra matris P1 değiştirilecektir
P2 matrisine:
0.30 0.60 0.10
0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
18
19. Ayrık Markov Zincirleri
Markov süreçleriAyrık Markov Zincirleri
Süreç durumlarının zaman içinde nasıl değiştiğini düşünün. Süreci 0 anından başlayarak ardışık zaman anlarında ele alacağız. Başlangıç olasılık dağılımını p(0) ( p1 (0),..., pm (0)) belirleyelim, burada m süreç sayısıdır. durumları, pi (0) bulma olasılığıdır
ilk anda i durumundaki süreç. Olasılığa pi (n) durumun koşulsuz olasılığı denir
n zamanında ben 1.
p(n) vektörünün bileşenleri, n zamanında devrenin olası durumlarından hangisinin en fazla olduğunu gösterir.
muhtemel.
m
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
pk (n) 1
1
19
20. Ayrık Markov Zincirleri
Markov süreçleriAyrık Markov Zincirleri
n 1,... için ( p (n)) dizisini bilmek, sistemin zaman içindeki davranışı hakkında bir fikir edinmenizi sağlar.
3 devletli sistemde
s11 s12 s13
P p21
p
31
p22
p32
p23
p33
p2 (1) p1 (0) p12 p2 (0) p22 p3 (0) p32
p2 (n 1) p1 (n) p12 p2 (n) p22 p3 (n) p32
Genel olarak:
p j (1) pk (0) pkj
p j (n 1) pk (n) pkj
k
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
k
p(n 1) p(n) P
20
21. Ayrık Markov zincirleri. Misal
Markov süreçleriAyrık Markov zincirleri. Misal
Matris
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
Adım
(p(n))
n
0
1, 0, 0
n
1
0.2 , 0.5 , 0.3
n
2
0.04 , 0.35 , 0.61
n
3
0.008 , 0.195 , 0.797
n
4
0.0016 , 0.1015 , 0.8969
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
21
22. Ayrık Markov Zincirleri
Markov süreçleriAyrık Markov Zincirleri
n
n adımda geçiş matrisi P(n) P .
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
p(2) p(0) P
2
p(2)
P(2) P2
1, 0, 0
0.0016
0.
0.
0.0016
0.
0.
0.1015
0.0625
0.
0.1015
0.0625
0.
0.8969
0.9375
1.
0.8969
0.9375
1.
0.04 , 0.35 , 0.61
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
22
23. Ayrık Markov Zincirleri
Markov süreçleriAyrık Markov Zincirleri
Markov zincirleri n için nasıl davranır?
Homojen bir Markov zinciri için, belirli koşullar altında aşağıdaki özellik geçerlidir: n için p (n).
Olasılıklar 0, ilk dağılıma bağlı değildir
p(0) , ancak yalnızca P matrisi tarafından belirlenir. Bu durumda buna durağan dağılım denir ve zincirin kendisine ergodik denir. Ergodikliğin özelliği, n arttıkça
durumların olasılığı pratikte değişmeyi bırakır ve sistem kararlı bir çalışma moduna girer.
ben
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
23
24. Ayrık Markov zincirleri. Misal
Markov süreçleriAyrık Markov zincirleri. Misal
0.20 0.50 0.30
0.00 0.50 0.50
0.00 0.00 1.00
0 0 1
P() 0 0 1
0 0 1
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
p()(0,0,1)
24
25. Ayrık Markov zincirleri. Misal
Markov süreçleriAyrık Markov zincirleri. Misal
0.30 0.60 0.10
0.10 0.60 0.30
0.05 0.40 0.55
0.1017 0.5254 0.3729
P() 0.1017 0.5254 0.3729
0.1017 0.5254 0.3729
p()(0.1017.0.5254,0.3729)
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
25
26. Sürekli zamanlı Markov süreçleri
Markov süreçleriBir sürece sürekli zamanlı süreç denir
Durumdan duruma olası geçiş anları önceden sabit değildir, ancak belirsizdir, rastgeledir ve gerçekleşebilir.
bir anda.
Misal. Teknolojik sistem S iki cihazdan oluşur,
her biri rastgele bir zamanda çıkabilen
sonra düğümün onarımı hemen başlar, ayrıca bilinmeyen, rastgele bir süre boyunca devam eder.
Aşağıdaki sistem durumları mümkündür:
S0 - her iki cihaz da çalışıyor;
S1 - ilk cihaz tamir ediliyor, ikincisi düzgün çalışıyor;
S2 - ikinci cihaz tamir ediliyor, birincisi düzgün çalışıyor;
S3 - her iki cihaz da tamir ediliyor.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
26
27. Sürekli zamanlı Markov süreçleri
Markov süreçleriSürekli zamanlı Markov süreçleri
S sisteminin durumdan duruma geçişleri gerçekleşir
neredeyse anında, rastgele başarısızlık anlarında
herhangi bir cihaz veya
onarım sonu.
Eşzamanlı olma olasılığı
her iki cihazın arızası
ihmal edilebilir.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
27
28. Etkinlik Akışları
Markov süreçleriEtkinlik akışları
Bir olay akışı, rastgele bir zamanda birbiri ardına gelen homojen olaylar dizisidir.
ortalama olay sayısıdır
Olayların akışının yoğunluğu
birim zaman başına.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
28
29. Etkinlik Akışları
Markov süreçleriEtkinlik akışları
Olasılık özellikleri zamana bağlı değilse, bir olay akışı durağan olarak adlandırılır.
Özellikle yoğunluk
sabit akış sabittir. Olayların akışı kaçınılmaz olarak konsantrasyonlara veya seyrekleşmeye sahiptir, ancak bunlar düzenli bir yapıya sahip değildir ve birim zaman başına ortalama olay sayısı sabittir ve zamana bağlı değildir.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
29
30. Etkinlik Akışları
Markov süreçleriEtkinlik akışları
Bir olay akışı, aşağıdaki durumlarda sonuçsuz akış olarak adlandırılır:
Herhangi iki örtüşmeyen zaman dilimi ve bunlardan birine düşen olayların sayısı, diğerinin üzerine düşen olay sayısına bağlı değildir. Başka bir deyişle bu, akışı oluşturan olayların belirli anlarda ortaya çıkması anlamına gelir.
zaman birbirinden bağımsızdır ve her birinin kendi sebeplerinden kaynaklanır.
Temel bir t aralığında iki veya daha fazla olayın meydana gelme olasılığı, bir olayın meydana gelme olasılığına kıyasla ihmal edilecek kadar küçükse, bir olay akışına olağan denir.
olaylar, yani içindeki olaylar birer birer görünür ve aynı anda birkaç kişilik gruplar halinde değil
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
30
31. Etkinlik Akışları
Markov süreçleriEtkinlik akışları
Bir olay akışı, aynı anda üç özelliğe sahipse, en basit (veya durağan Poisson) olarak adlandırılır: 1) durağandır, 2) olağandır, 3) hiçbir sonucu yoktur.
En basit akış, en basit matematiksel açıklamaya sahiptir. Akımlar arasında aynı özel çalıyor
rol, diğerleri arasında normal dağılım yasası gibi
dağıtım yasaları. Yani, yeterince fazla sayıda bağımsız, durağan ve sıradan
akışlar (yoğunluk bakımından birbiriyle karşılaştırılabilir), en basitine yakın bir akış elde edilir.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
31
32. Olay Akışları
Markov süreçleriEtkinlik akışları
Yoğunluğu olan en basit akış için
Aralık
bitişik olaylar arasındaki T zamanı üsteldir
yoğunluk ile dağılım
p(x) e x , x 0 .
Üstel dağılıma sahip bir rastgele değişken T için matematiksel beklenti, parametrenin tersidir.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
32
33. Sürekli zamanlı Markov süreçleri
Markov süreçleriSürekli zamanlı Markov süreçleri
Kesikli durumlar ve sürekli zamanlı süreçler göz önüne alındığında, S sisteminin durumdan duruma tüm geçişlerinin,
en basit olay akışları (çağrı akışları, arıza akışları, kurtarma akışları vb.).
S sistemini bir durumdan duruma aktaran tüm olay akışları en basitiyse, o zaman
sistem, Markovian olacaktır.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
33
34. Sürekli zamanlı Markov süreçleri
Markov süreçleriSürekli zamanlı Markov süreçleri
Devletteki sistem bundan etkilensin
olayların en basit akışı. Bu akışın ilk olayı ortaya çıkar çıkmaz sistem durumdan “atlar”.
bir duruma.
- sistemi tercüme eden olayların akışının yoğunluğu
eyalet dışı
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
içinde
.
34
35. Sürekli Zamanlı Markov İşlemleri
Markov süreçleriSürekli zamanlı Markov süreçleri
Söz konusu sistem S'nin
olası durumlar
. pij (t) olasılığı, t zamanında i durumundan j durumuna geçiş olasılığıdır.
i -inci durum olasılığı
bu olasılık
t zamanında sistem şu durumda olacak
. Açıktır ki, herhangi bir an için toplam
tüm durum olasılıklarının bire eşittir:
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
35
36. Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri
Markov süreçleriSürekli zamanlı Markov süreçleri
Tüm durum olasılıklarını bulmak için
gibi
zamanın fonksiyonları, Kolmogorov'un diferansiyel denklemleri derlenir ve çözülür - bilinmeyen fonksiyonların durumların olasılıkları olduğu özel bir denklem türü.
Geçiş olasılıkları için:
p ij (t) p ik (t) kj
k
Koşulsuz olasılıklar için:
p j (t) p k (t) kj
k
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
36
37. Kolmogorov Andrey Nikolaevich
Markov süreçleriKolmogorov Andrey Nikolaevich
1903-1987
büyük rus
matematikçi.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
37
38. Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri
Markov süreçleriSürekli zamanlı Markov süreçleri
- başarısızlık oranı;
- kurtarma akışının yoğunluğu.
Sistem devlette olsun
S0. Akış tarafından S1 durumuna aktarılır.
ilk cihazın arızası. Yoğunluğu
nerede
- Cihazın arızasız çalışma süresi ortalama.
S1 durumundan S0 durumuna sistem restorasyonların akışıyla aktarılır
ilk cihaz. Yoğunluğu
nerede
- ilk makinenin ortalama onarım süresi.
Benzer şekilde, sistemi tüm grafik yayları boyunca aktaran olay akışlarının yoğunlukları hesaplanır.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
38
39. Kuyruk sistemleri
Markov süreçleriKuyruk sistemlerine (QS) örnekler: telefon santralleri, tamir atölyeleri,
bilet
nakit masaları,
referans
Büro,
takım tezgahı ve diğer teknolojik sistemler,
sistemler
yönetmek
esnek
üretim sistemleri,
sunucular tarafından bilgi işleme vb.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
39
40. Kuyruk sistemleri
Markov süreçleriKuyruk sistemleri
QS, belirli sayıda servisten oluşur.
hizmet kanalları olarak adlandırılan birimler (bunlar
makineler, robotlar, iletişim hatları, kasiyerler vb.). Herhangi bir CMO
rastgele zamanlarda gelen uygulamaların (gereksinimlerin) akışına hizmet etmek için tasarlanmıştır.
İsteğin hizmeti rastgele bir süre boyunca devam eder, ardından kanal serbest bırakılır ve bir sonrakini almaya hazırdır.
uygulamalar.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
40
41. Kuyruk sistemleri
Markov süreçleriKuyruk sistemleri
QS operasyon süreci, ayrı ayrı rastgele bir süreçtir.
durumlar ve sürekli zaman. QS'nin durumu, bazı olayların ortaya çıktığı anlarda aniden değişir
(yeni bir uygulamanın gelmesi, hizmetin sona ermesi, an,
beklemekten yorulan uygulama kuyruktan çıktığında).
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
41
42. Kuyruk sistemleri
Markov süreçleriKuyruk sistemleri
Kuyruk sistemlerinin sınıflandırılması
1. Arızalı QS;
2. Sıralı CMO.
Reddedilen bir QS'de, tüm kanalların meşgul olduğu anda gelen bir talep ret alır, QS'den çıkar ve artık
servis edildi.
Kuyruklu bir QS'de, tüm kanalların meşgul olduğu anda gelen bir talep ayrılmaz, kuyruğa girer ve hizmet verilmesini bekler.
Kuyruklu QS, bağlı olarak farklı türlere ayrılır
kuyruğun nasıl düzenlendiğiyle ilgili - sınırlı veya sınırlı değil. Kısıtlamalar hem kuyruk uzunluğu hem de süre için geçerli olabilir
beklentiler, "hizmet disiplini".
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
42
43. Kuyruk sistemleri
Markov süreçleriKuyruk sistemleri
Kuyruk teorisinin konusu yapıdır.
verilen koşulları birbirine bağlayan matematiksel modeller
QS işlemi (kanal sayısı, performansları, kuralları)
iş, uygulama akışının doğası) bizi ilgilendiren özelliklerle - QS'nin etkinliğinin göstergeleri. Bu göstergeler, QS'nin akışla başa çıkma yeteneğini tanımlar.
uygulamalar. Bunlar şunlar olabilir: QS tarafından zaman birimi başına sunulan ortalama uygulama sayısı; ortalama meşgul kanal sayısı; kuyruktaki ortalama uygulama sayısı; servis için ortalama bekleme süresi vb.
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
43
44.
TEŞEKKÜR EDERİMDİKKAT ÇEKMEK İÇİN!!!
44
45. Bir geçiş grafiği oluşturun
Markov süreçleriBir geçiş grafiği oluşturun
0.30
0.70
0.0
0.10
0.60
0.30
0.50
0.50
0.0
KHNURE, departman. PM, öğretim görevlisi Kirichenko L.O.
Olasılık teorisi, matematiksel
istatistikler ve rastgele süreçler"
Altında rastgele süreç Daha önce bilinmeyen rastgele bir şekilde bazı fiziksel sistemlerin durumlarının zaman içindeki değişimini anlar. nerede fiziksel sistem derken herhangi bir teknik cihaz, cihaz grubu, işletme, endüstri, biyolojik sistem vb.
rastgele süreç sistemdeki akış denir Markovski - herhangi bir an için, sürecin olasılıksal özellikleri gelecekte (t > ) yalnızca belirli bir zamandaki durumuna bağlıdır ( sunmak ) ve sistemin bu duruma ne zaman ve nasıl geldiğine bağlı değildir. geçmişte .(Örneğin, kozmik parçacıkların sayısını kaydeden bir Geiger sayacı).
Markov süreçleri genellikle 3 türe ayrılır:
1. Markov zinciri – durumları ayrık olan (yani yeniden numaralandırılabilen) ve dikkate alındığı zaman da ayrık olan bir süreç (yani süreç, durumlarını yalnızca zamanın belirli noktalarında değiştirebilir). Böyle bir süreç adım adım (başka bir deyişle döngüler halinde) gider (değişir).
2. Ayrık Markov süreci - durumlar kümesi ayrıktır (numaralandırılabilir) ve zaman süreklidir (bir durumdan diğerine geçiş - herhangi bir zamanda).
3. Sürekli Markov Süreci – durumlar ve zaman seti süreklidir.
Pratikte, Markov süreçleri saf formlarında sıklıkla karşılaşılmaz. Bununla birlikte, çoğu zaman tarihöncesinin etkisinin ihmal edilebileceği süreçlerle uğraşmak gerekir. Ek olarak, "geleceğin" bağlı olduğu "geçmişten" gelen tüm parametreler, sistemin "şimdiki" durumuna dahil edilirse, o zaman Markovyen olarak da düşünülebilir. Ancak bu çoğu zaman dikkate alınan değişken sayısında önemli bir artışa ve soruna çözüm bulmanın imkansızlığına yol açmaktadır.
Yöneylem araştırmasında, sözde Ayrık durumlar ve sürekli zaman ile Markov stokastik süreçleri.
süreç denir ayrık durum süreci, eğer tüm olası durumları , ,... önceden numaralandırılabilir (yeniden numaralandırılabilir). Sistemin durumdan duruma geçişi neredeyse anında geçer - atlama.
süreç denir sürekli zaman süreci, eğer durumdan duruma geçiş anları zaman ekseninde herhangi bir rastgele değer alabilir.
örneğin : Teknik cihaz S iki düğümden oluşur , her biri rastgele bir zamanda başarısız olabilir ( reddetmek). Bundan sonra, düğüm onarımı hemen başlar ( iyileşmek) rastgele bir süre devam eder.
Aşağıdaki sistem durumları mümkündür:
Her iki düğüm de tamam;
İlk düğüm onarılıyor, ikincisi çalışıyor.
- ikinci düğüm onarılıyor, ilki çalışıyor
Her iki düğüm de onarılıyor.
Sistemin durumdan duruma geçişi rastgele zamanlarda neredeyse anında gerçekleşir. Sistem durumlarını ve aralarındaki ilişkiyi kullanarak görüntülemek uygundur. durum grafiği .
devletler
geçişler
Geçişler ve yok çünkü elemanların arızaları ve geri kazanımları bağımsız ve rastgele meydana gelir ve iki elemanın aynı anda arızalanma (kurtarma) olasılığı sonsuzdur ve ihmal edilebilir.
Sistemi çeviren tüm olay akışları S eyaletten eyalete protozoa, o zamanlar işlem, Böyle bir sistemde akan Markovsky olacak. Bunun nedeni, en basit akışın bir art etkisi olmamasıdır, yani. içinde "gelecek", "geçmişe" bağlı değildir ve ayrıca sıradanlık özelliğine sahiptir - iki veya daha fazla olayın aynı anda meydana gelme olasılığı sonsuz derecede küçüktür, yani. durumdan hareket etmek imkansızdır birkaç ara durumu geçmeden belirtmek.
Açıklık için, durum grafiğinde, her geçiş okunda verilen ok boyunca sistemi bir durumdan duruma aktaran olayların akışının yoğunluğunu belirtmek uygundur ( - sistemi aktaran olayların akışının yoğunluğu devletten içinde. Böyle bir grafik denir işaretlenmiş.
Sistem durumlarının etiketlenmiş grafiğini kullanarak, bu sürecin matematiksel bir modelini oluşturmak mümkündür.
Sistemin bir durumdan önceki veya sonraki duruma geçişlerini düşünün. Bu durumda durum grafiğinin bir parçası şöyle görünecektir:
O zaman sistem olsun t durumundadır.
(t)- sistemin i. halinin olasılığı sistemin zamandaki olasılığıdır t durumundadır. Herhangi bir zaman anı için t=1 doğrudur.
Şu andaki olasılığını belirleyelim: t+∆t sistem devlette olacak. Bu, aşağıdaki durumlarda olabilir:
1) ve ∆ t sırasında bırakmadı. Bu, ∆t süresi boyunca ortaya çıkmadı sistemi bir duruma getiren bir olay (yoğunluklu akış) veya bir duruma getiren bir olay (yoğunluklu akış). Küçük ∆t için bunun olasılığını belirleyelim.
En basit olay akışına karşılık gelen iki komşu gereksinim arasındaki üstel zaman dağılımı yasasına göre, ∆t zaman aralığında yoğunlukla akışta hiçbir gereksinimin ortaya çıkmama olasılığı λ1 eşit olacak
Bir Taylor serisinde (t>0) f(t) fonksiyonunu genişleterek şunu elde ederiz (t=∆t için)
f(∆t)=f(0)+ (0)* ∆t + *∆ + *∆ +…=
= +(-l) *∆t+ (∆ + *(∆ +…”) 1-l*∆t ∆t®0 için
Benzer şekilde, yoğunluğu λ 2 olan bir akış için şunu elde ederiz: 
.
∆t zaman aralığında (∆t®0) için hiçbir gereklilik eşit olmayacak
(∆t)/ = (∆t/ * (∆t/ = (1- *∆t)(1- *∆t) =
1 - - *∆t + 
1 - (
+
)*∆t + b.m.
Böylece, sistemin küçük ∆t için ∆t süresi boyunca durumdan ayrılmama olasılığı şuna eşit olacaktır:
P( / )=1 – ( + )* ∆t
2) Sistem bir durumdaydı S ben -1 ve zaman için S i durumuna geçti . Yani akışta yoğunlukla en az bir olay meydana gelmiştir. Bunun olasılığı, yoğunluğu olan en basit akışa eşittir. λ irade
Bizim durumumuz için, böyle bir geçişin olasılığı şuna eşit olacaktır:
3)Sistem bir durumdaydı ve ∆t durumuna geçtiği süre boyunca . Bunun olasılığı olacak
O zaman sistemin (t+∆t) zamanında S i durumunda olma olasılığı şuna eşittir:
Her iki kısımdan da Pi (t) çıkarın, ∆t'ye bölün ve limite geçerek ∆t→0 ile elde ederiz.
Durumlardan durumlara geçişlerin yoğunluklarının karşılık gelen değerlerini değiştirerek, sistem durumlarının olasılıklarındaki değişikliği zamanın fonksiyonları olarak tanımlayan bir diferansiyel denklem sistemi elde ederiz.
Bu denklemlere denklem denir Kolmogorov-Chapman ayrık bir Markov süreci için.
Başlangıç koşullarını belirledikten (örneğin, P 0 (t=0)=1,P i (t=0)=0 i≠0) ve bunları çözdükten sonra, sistem durumunun olasılıkları için zamanın fonksiyonları olarak ifadeler elde ederiz. . Denklem sayısı ≤ 2.3 ise analitik çözümler elde etmek oldukça kolaydır. Bunlardan daha fazlası varsa, denklemler genellikle bir bilgisayarda sayısal olarak çözülür (örneğin, Runge-Kutta yöntemiyle).
Rastgele süreçler teorisinde kanıtlanmış , ne eğer n sayısı sistem durumları kesinlikle ve her birinden (sonlu sayıda adımda) diğerine gitmek mümkündür, o zaman bir sınır var , olasılıkların ne zaman eğilimli olduğu t→ . Bu tür olasılıklara denir son olasılıklar durumlar ve kararlı durum - sabit mod sistemin işleyişi.
Sabit modda olduğundan her şey 
, bu nedenle, tümü =0. Denklem sisteminin sol kısımlarını 0 ile eşitleyerek ve bunları =1 denklemiyle tamamlayarak, son olasılıkların değerlerini bulduğumuz bir lineer cebirsel denklem sistemi elde ederiz.
Misal. Sistemimizde elemanların arıza ve restorasyon oranları aşağıdaki gibidir.
başarısızlıklar 1el: 
2el: 
Tamirat 1el: 
2el: 
P 0 + P 1 + P 2 + P 3 \u003d 1
0=-(1+2)P 0 +2P 1 +3 P 2
0=-(2+2)P 1 +1P 0 +3P 3
0=-(1+3)P 2 +2P 0 +2P 3
0=-(2+3)P 3 +2P 1 +1P 2
Bu sistemi çözerek,
P0 =6/15=0.4; P1 =3/15=0.2; P2=4/15=0.27; P3=2/15≈0.13.
Onlar. sabit durumda, sistem ortalama olarak
%40 S 0 durumunda (her iki düğüm de sağlıklı),
%20 - S 1 durumunda (1. eleman tamir ediliyor, 2. eleman iyi durumda),
%27 - S 2 durumunda (2. elektrik tamiri yapılıyor, 1'i iyi durumda),
%13 - S 3 durumunda - her iki eleman da onarımda.
Nihai olasılıkları bilmek, Ortalama sistem performansını değerlendirin ve servis yükünü onarın.
S 0 durumundaki sistem 8 birim gelir getirsin. birim zaman başına; devlette S 1 - gelir 3 sr.u.; S 2 durumunda - gelir 5; S 3 durumunda - gelir \u003d 0
Fiyat tamirat birim zaman başına el-ta 1- 1 (S 1, S 3) arb.birimler, el-ta 2- (S 2, S 3) 2 arb. Ardından sabit modda:
sistem geliri birim zaman başına olacaktır:
W max =8P 0 +3P 1 +5P 2 +0P 3 =8 0.4+3 0.2+5 0.27+0 0.13=5.15 c.u.
Tamir Ücreti birimlerde zaman:
W rem =0P 0 +1P 1 +2P 2 +(1+2)P 3 =0 0.4+1 0.2+2 0.27+3 0.13=1.39 c.u.
Kâr birim zaman başına
W \u003d W doh -W rem \u003d 5.15-1.39 \u003d 3.76 adet
Belirli masrafları harcadıktan sonra, λ ve μ yoğunluğunu ve buna bağlı olarak sistemin verimliliğini değiştirmek mümkündür. Bu tür giderlerin fizibilitesi, P i yeniden hesaplanarak değerlendirilebilir. ve sistem performans göstergeleri.
Yükleniyor...