Sürüş sırasında aracın merkezcil ivmesi. Bir daire içinde hareket ederken merkezcil ivme: kavram ve formüller

Fizikte hareket çalışmasında yörünge kavramı önemli bir rol oynar. Nesnelerin hareket türünü ve sonuç olarak bu hareketin tanımlandığı formüllerin türünü büyük ölçüde belirleyen kişidir. En yaygın yörüngelerden biri bir dairedir. Bu yazıda, bir daire içinde hareket ederken merkezcil ivmenin ne olduğunu ele alacağız.

Tam ivmeyi anlama

Bir daire etrafında hareket ederken merkezcil ivmeyi karakterize etmeden önce, tam ivme kavramını ele alalım. Altına inanılıyor fiziksel miktar mutlak ve hız vektörünün değerindeki değişimi aynı anda tanımlayan . Matematiksel olarak, bu tanım şöyle görünür:

İvme, hızın tam zamanlı türevidir.

Bilindiği gibi, yörüngenin her noktasında cismin hızı v¯ teğetsel olarak yönlendirilir. Bu gerçek, onu v modülü ile u¯ birim teğet vektörünün çarpımı olarak temsil etmemize izin verir, yani:

Daha sonra toplam ivme aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

a¯ = d (v * u¯) / dt = dv / dt * u¯ + v * du¯ / dt

a¯ miktarı iki terimin vektör toplamıdır. İlk terim teğetseldir (bir cismin hızı gibi) ve teğetsel ivme olarak adlandırılır. Hız modülünün değişim oranını belirler. İkinci terim normal hızlanma... Makalede daha sonra daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Normal ivme bileşeni an¯ için yukarıda elde edilen ifade açıkça yazılabilir:

an¯ = v * du¯ / dt = v * du¯ / dl * dl / dt = v2 / r * re¯

Burada dl cismin yörünge boyunca dt zamanında kat ettiği yoldur, re¯ yörüngenin eğriliğinin merkezine yönlendirilmiş birim vektördür, r bu eğriliğin yarıçapıdır. Ortaya çıkan formül, toplam ivmenin an¯ bileşeninin birkaç önemli özelliğine yol açar:

• an¯ miktarı hızın karesi olarak büyür ve onu teğetsel bileşenden ayıran yarıçapla ters orantılı olarak azalır. İkincisi, yalnızca hız modülü değiştiğinde sıfıra eşit değildir.
• Normal ivme her zaman eğriliğin merkezine doğru yönlendirilir, bu yüzden merkezcil olarak adlandırılır.

Böylece, sıfır olmayan bir niceliğin mevcudiyeti için ana koşul, yörüngenin eğriliğidir. Eğer böyle bir eğrilik yoksa (doğrusal yer değiştirme), o zaman an¯ = 0, çünkü r-> ∞.

Bir daire içinde hareket ederken ivme merkezcil

Daire, tüm noktaları bir noktadan aynı uzaklıkta olan geometrik bir çizgidir. İkincisi dairenin merkezi olarak adlandırılır ve bahsedilen mesafe yarıçapıdır. Dönme sırasında vücudun hızı mutlak değerde değişmezse, bir daire boyunca eşit derecede değişken bir hareketten söz edilir. Bu durumda, merkezcil ivme aşağıdaki iki formülden biri kullanılarak kolayca hesaplanabilir:

Burada ω, saniyede radyan (rad / s) olarak ölçülen açısal hızdır. İkinci eşitlik, açısal ve doğrusal hızlar arasındaki ilişki sayesinde elde edilir:

Merkezcil ve merkezkaç kuvvetleri

NS düzgün hareket merkezcil ivmenin çevresi etrafındaki cisim, karşılık gelen merkezcil kuvvetin etkisinden dolayı ortaya çıkar. Vektörü her zaman dairenin merkezine doğru yönlendirilir.

Bu gücün doğası çok çeşitli olabilir. Örneğin, bir kişi bir ipe bağlı bir taşı çözdüğünde, yörüngesi üzerinde ipin gerilim kuvveti tarafından tutulur. Merkezcil kuvvetin etkisinin bir başka örneği, Güneş ve gezegenler arasındaki yerçekimi etkileşimidir. Tüm gezegenleri ve asteroitleri dairesel yörüngelerde hareket ettiren budur. Merkezcil kuvvet, hızına dik olarak yönlendirildiği için vücudun kinetik enerjisini değiştiremez.

Her kişi, araç örneğin sola döndüğünde, yolcuların aracın iç kısmının sağ kenarına bastırıldığına dikkat edebilir. Bu işlem, dönme hareketinin merkezkaç kuvvetinin sonucudur. Aslında, bu kuvvet gerçek değildir, çünkü vücudun atalet özelliklerinden ve düz bir yörünge boyunca hareket etme eğiliminden kaynaklanmaktadır.

Merkezkaç ve merkezcil kuvvetler büyüklük olarak eşittir ve yön olarak zıttır. Durum böyle olmasaydı, vücudun hareketinin dairesel yörüngesi ihlal edilmiş olurdu. Newton'un ikinci yasasını dikkate alırsak, dönme hareketi sırasında merkezkaç ivmesinin merkezcil ivmeye eşit olduğu iddia edilebilir.

Aslamazov L.G. Bir daire içinde hareket // Kvant. - 1972. - No. 9. - S. 51-57.

Kvant dergisinin yayın kurulu ve editörleri ile özel anlaşma ile

Bir daire boyunca hareketi lineer hız ile birlikte tanımlamak için açısal hız kavramı tanıtılır. Zamanda bir daire boyunca hareket ederken bir nokta ise Δ T açısal ölçüsü Δφ olan bir yayı, ardından açısal hızı tanımlar.

Açısal hız ω, υ = ω bağıntısıyla doğrusal hız υ ile ilişkilidir. r, nerede r- noktanın hareket ettiği dairenin yarıçapı (Şekil 1). Açısal hız kavramı, özellikle dönüşü tanımlamak için kullanışlıdır. sağlam eksen etrafında. Eksenden farklı mesafelerde bulunan noktalardaki doğrusal hızlar aynı olmayacak olsa da, açısal hızları eşit olacaktır ve bir bütün olarak cismin açısal dönme hızından bahsedebiliriz.

1. sorun... yarıçap diski r yatay düzlemde kaymadan yuvarlanır. Diskin merkezinin hızı sabittir ve υ p'ye eşittir Disk hangi açısal hızla döner?

Diskin her noktası iki harekete katılır - diskin merkezi ile birlikte υ p hızında öteleme hareketinde ve belirli bir açısal hız ω ile merkez etrafında dönme hareketinde.

ω'yi bulmak için, kaymanın yokluğunu, yani disk üzerindeki düzlemle temas halindeki bir noktanın her bir anda hızının sıfır olduğu gerçeğini kullanırız. Bunun anlamı, nokta için A(Şekil 2) öteleme hareketinin hızı υ p büyüklük olarak eşittir ve doğrusal dönme hareketinin hızı υ bp = ω · r... Buradan hemen alıyoruz.

Amaç 2. Noktaların hızlarını bulun V, İLE BİRLİKTE ve NS aynı disk (Şekil 3).

Önce noktayı düşünün V... Dönme hareketinin doğrusal hızı dikey olarak yukarı doğru yönlendirilir ve eşittir , yani değer, yatay olarak yönlendirilen öteleme hareketinin hızına eşittir. Bu iki hızı vektörel olarak toplayarak, ortaya çıkan hızın υ olduğunu buluruz. B boyut olarak eşittir ve ufukla 45º'lik bir açı oluşturur. Noktada İLE BİRLİKTE dönme ve öteleme hızları bir yöne yönlendirilir. Ortaya çıkan hız υ C 2υ p'ye eşittir ve yatay olarak yönlendirilir. Noktanın hızı da benzer şekilde bulunur. NS(bkz. şekil 3).

Bir daire boyunca hareket eden bir noktanın hızının büyüklük olarak değişmediği durumda bile, hız vektörünün yönü değiştiği için noktanın bir miktar ivmesi vardır. Bu ivme denir merkezcil... Dairenin merkezine yönlendirilir ve eşittir ( r dairenin yarıçapıdır, ω ve υ noktanın açısal ve doğrusal hızlarıdır).

Bir daire içinde hareket eden bir noktanın hızı sadece yön olarak değil, aynı zamanda büyüklük olarak da değişiyorsa, o zaman merkezcil ivme ile birlikte sözde vardır. teğetsel hızlanma. Çembere teğet olarak yönlendirilir ve orana eşittir (Δυ, hızın zaman içindeki değerindeki değişikliktir Δ T).

Amaç 3. Hızlanma Noktalarını Bul A, V, İLE BİRLİKTE ve NS disk yarıçapı r yatay bir düzlemde kaymadan yuvarlanma. Diskin merkezinin hızı sabittir ve υ p'ye eşittir (Şekil 3).

Diskin merkezi ile ilişkili koordinat sisteminde disk ω açısal hızı ile dönmekte ve düzlem υ p hızı ile ötelemeli olarak hareket etmektedir, dolayısıyla disk ile düzlem arasında kayma yoktur. Öteleme hareketinin hızı υ p değişmez, bu nedenle diskin açısal dönme hızı sabittir ve diskin noktaları sadece diskin merkezine doğru yönlendirilmiş merkezcil ivmeye sahiptir. Koordinat sistemi ivmesiz hareket ettiğinden (sabit bir υ p hızıyla), o halde durağan bir koordinat sisteminde diskin noktalarının ivmeleri aynı olacaktır.

Şimdi dönme hareketinin dinamiğinin problemlerine dönelim. İlk önce, bir daire boyunca hareketin sabit bir hızla meydana geldiği en basit durumu ele alalım. Bu durumda cismin ivmesi merkeze yönlendirildiğinden, cisme uygulanan tüm kuvvetlerin vektör toplamı da Newton'un II yasasına göre merkeze yönlendirilmelidir.

Unutulmamalıdır ki, bu denklemin sağ tarafı, yalnızca belirli bir cisme diğer cisimlerden etki eden gerçek kuvvetleri içerir. Numara merkezcil kuvvet bir daire içinde hareket ederken oluşmaz. Bu terim sadece bir daire içinde hareket eden bir cisme uygulanan bileşke kuvvetleri belirtmek için kullanılır. İlişkin merkezkaç kuvveti, o zaman yalnızca eylemsiz (dönen) bir koordinat sisteminde bir daire boyunca hareketi tanımlarken ortaya çıkar. Burada merkezcil ve merkezkaç kuvvetleri kavramını hiç kullanmayacağız.

4. sorun... Bir arabanın υ = 70 km/h hızla geçebileceği yolun en küçük eğrilik yarıçapını ve yoldaki lastiklerin sürtünme katsayısını belirleyin. k =0,3.

r = m g, yolun tepki kuvveti n ve sürtünme kuvveti F Arabanın lastikleri ile yol arasındaki TP. kuvvetler r ve n dikey ve eşit boyutta yönlendirilir: P = n... Aracın kaymasını ("kayma") önleyen sürtünme kuvveti, dönme merkezine doğru yönlendirilir ve merkezcil ivme kazandırır: Maksimum sürtünme kuvveti F tr maks = k· n = k· m g, bu nedenle, υ hızıyla hareketin hala mümkün olduğu dairenin yarıçapının minimum değeri denklemden belirlenir. Dolayısıyla (m).

Yol tepki kuvveti n bir daire içinde sürerken, aracın ağırlık merkezinden geçmez. Bunun nedeni, ağırlık merkezine göre momentinin, arabayı devirme eğiliminde olan sürtünme momentini telafi etmesi gerektiğidir. Sürtünme kuvvetinin büyüklüğü arttıkça, Daha fazla hız araba. Hızın belirli bir değerinde, sürtünme momenti tepki momentini aşacak ve araba devrilecektir.

Sorun 5... Yarıçapı olan bir dairenin yayı boyunca bir araba hangi hızda hareket eder? r= 130 m, devrilebilir mi? Aracın ağırlık merkezi bir yükseklikte H= yolun 1 m yukarısında, araba yolunun genişliği ben= 1,5 m (Şek. 4).

Yolun tepki kuvveti olarak bir araba devrilme anında n ve sürtünme kuvveti F TP, "dış" tekerleğe bağlanır. Araba bir daire içinde υ hızıyla hareket ettiğinde, ona bir sürtünme kuvveti etki eder. Bu kuvvet, aracın ağırlık merkezine göre bir moment yaratır. Yolun maksimum tepki kuvveti momenti n = m g ağırlık merkezine göre eşittir (devrilme anında tepki kuvveti dış tekerlekten geçer). Bu anları eşitleyerek, arabanın henüz yuvarlanmayacağı maksimum hız denklemini buluyoruz:

Nereden ≈ 30 m / s ≈ 110 km / s.

Bir arabanın bu hızda hareket edebilmesi için bir sürtünme katsayısı gereklidir (önceki probleme bakınız).

Bir motosikleti veya bisikleti döndürürken de benzer bir durum ortaya çıkar. Merkezcil ivmeyi yaratan sürtünme kuvvetinin, motosikleti devirme eğiliminde olan ağırlık merkezi hakkında bir momenti vardır. Bu nedenle, bu anı yol tepki kuvveti anı ile telafi etmek için motosikletçi dönüş yönüne doğru eğilir (Şekil 5).

6. sorun... Bir motosikletçi yatay bir yolda υ = 70 km/s hızla gidiyor ve yarıçaplı bir dönüş yapıyor. r= 100 m Düşmemek için α ufka hangi açıda eğilmelidir?

Sürücüye merkezcil ivme kazandırdığı için motosiklet ile yol arasındaki sürtünme kuvveti. Yol tepki kuvveti n = m g... Sürtünme kuvvetinin momentlerinin ve ağırlık merkezine göre tepki kuvvetinin eşitliği koşulu, denklemi verir: F tp ben günah α = n· ben Cos α, nerede ben- mesafe AE ağırlık merkezinden motosiklet yoluna (bkz. şekil 5).

Burada değerler yerine F tp ve n, bunu buluruz veya ... Ortaya çıkan kuvvetlerin n ve F tp motosikletin bu eğim açısında, toplam kuvvet momentinin sıfıra eşit olmasını sağlayan ağırlık merkezinden geçer. n ve F tp.

Yolun eğrisi boyunca hareket hızını artırmak için yolun virajdaki bölümü eğimli hale getirilir. Aynı zamanda, sürtünme kuvvetine ek olarak, yolun tepki kuvveti de merkezcil ivmenin oluşmasında rol oynar.

7. Sorun... Bir araba, bir eğrilik yarıçapında α eğim açısına sahip eğimli bir yol boyunca hangi maksimum hızda υ hareket edebilir? r ve yoldaki lastiklerin sürtünme katsayısı k?

Araba yerçekiminden etkilenir m g, tepki gücü n rayın düzlemine dik ve sürtünme kuvveti F tp yol boyunca yönlendirilir (Şekil 6).

Bu durumda arabaya etkiyen kuvvetlerin momentleri ile ilgilenmediğimiz için, arabanın ağırlık merkezine uygulanan tüm kuvvetleri çizdik. Tüm kuvvetlerin vektör toplamı, arabanın hareket ettiği dairenin merkezine yönlendirilmeli ve ona merkezcil ivme kazandırmalıdır. Bu nedenle, merkeze doğru (yatay yön) kuvvetlerin izdüşümlerinin toplamı eşittir, yani,

Düşey yöndeki tüm kuvvetlerin izdüşümlerinin toplamı sıfırdır:

nçünkü α - m g – F t p günah α = 0.

Bu denklemlere sürtünme kuvvetinin mümkün olan maksimum değerini koyarak F tp = kN ve kuvvet hariç n, maksimum hızı buluyoruz , böyle bir yol boyunca hareket etmenin hala mümkün olduğu. Bu ifade her zaman yatay yola karşılık gelen değerden büyüktür.

Rotasyon dinamiklerini ele aldıktan sonra, görevlere geçelim. döner hareket dikey düzlemde.

8. Sorun... toplu araba m= 1.5 t, Şekil 7'de gösterilen yol boyunca υ = 70 km/s hızında hareket eder. Yol bölümleri AB ve Güneş yarıçaplı dairelerin yayları olarak kabul edilebilir r= Bir noktada birbirine değen 200 m V... Arabanın yol üzerindeki basınç kuvvetini noktalarda belirleyin A ve İLE BİRLİKTE... Araba noktayı geçtiğinde basınç kuvveti nasıl değişir? V?

Noktada A yerçekimi arabaya etki eder r = m g ve yolun tepki kuvveti NA... Bu kuvvetlerin vektör toplamı dairenin merkezine, yani dikey olarak aşağıya doğru yönlendirilmeli ve merkezcil ivme oluşturmalıdır: nereden (H). Arabanın yola uyguladığı basıncın kuvveti, tepki kuvvetinin büyüklüğüne eşit ve zıt yönlüdür. Noktada İLE BİRLİKTE kuvvetlerin vektör toplamı dikey olarak yukarı doğru yönlendirilir: ve (H). Böylece, noktada A basınç kuvveti yerçekimi kuvvetinden daha azdır ve noktada İLE BİRLİKTE- daha fazla.

Noktada V araba, yolun dışbükey bölümünden içbükey bölüme doğru hareket eder (veya tam tersi). Dışbükey bir bölümde sürerken, yerçekiminin merkeze doğru izdüşümü yolun tepki kuvvetini aşmalıdır. NB 1 ve ... Yolun içbükey bir bölümünde sürerken, aksine, yolun tepki kuvveti NB 2 yerçekimi projeksiyonundan üstündür: .

Bu denklemlerden, noktadan geçerken şunu elde ederiz: V arabanın yol üzerindeki basınç kuvveti ≈ 6 · 10 3 N miktarında aniden değişir. Tabii ki, bu tür şok yükleri hem arabada hem de yolda yıkıcı bir şekilde hareket eder. Bu nedenle yollar ve köprüler her zaman eğriliklerini sorunsuz bir şekilde değiştirmeye çalışırlar.

Araba bir daire içinde sabit bir hızla hareket ettiğinde, daireye teğet olan yöndeki tüm kuvvetlerin izdüşümlerinin toplamı sıfıra eşit olmalıdır. Bizim durumumuzda, yerçekimi kuvvetinin teğetsel bileşeni, arabanın tekerlekleri ile yol arasındaki sürtünme kuvveti ile dengelenir.

Sürtünme kuvvetinin büyüklüğü, motor tarafından tekerleklere uygulanan tork tarafından kontrol edilir. Bu an, yola göre tekerlek kaymasına neden olma eğilimindedir. Dolayısıyla kaymayı önleyen ve uygulanan torkla orantılı bir sürtünme kuvveti vardır. Sürtünme kuvvetinin maksimum değeri kN, nerede k- arabanın lastikleri ile yol arasındaki sürtünme katsayısı, n- yoldaki baskı kuvveti. Araba aşağı hareket ettiğinde, sürtünme kuvveti bir fren kuvveti rolünü oynar ve yukarı hareket ettiğinde, tam tersine, çekiş rolünü oynar.

9. Sorun... Araç ağırlığı m= 0,5 t, υ = 200 km / s hızında hareket etmek, yarıçapta bir "döngü" oluşturur r= 100 m (Şek. 8). Döngünün tepesinde arabanın yol üzerindeki basınç kuvvetini belirleyin A; noktada V, yarıçap vektörü düşey ile α = 30º açı yapan; noktada İLE BİRLİKTE, araç hızının dikey olarak yönlendirildiği. Bir otomobilin yoldaki lastik sürtünme katsayısı ile böyle sabit bir hızda bir döngü boyunca hareket etmesi mümkün müdür? k = 0,5?

Döngünün tepesinde, yolun yerçekimi ve tepki kuvveti NA dikey olarak aşağıya doğru yönlendirilir. Bu kuvvetlerin toplamı bir merkezcil ivme yaratır: ... Bu yüzden N.

Arabanın yola uyguladığı basıncın kuvveti, kuvvete eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür. NA.

Noktada V merkezcil ivme, reaksiyon kuvvetinin toplamı ve yerçekiminin merkeze doğru izdüşümü ile oluşturulur: ... Buradan N.

bunu görmek kolay nB > NA; α açısının artmasıyla yolun tepki kuvveti artar.

Noktada İLE BİRLİKTE tepki gücü H; Bu noktada merkezcil ivme sadece tepki kuvveti tarafından yaratılır ve yerçekimi kuvveti teğetsel olarak yönlendirilir. Döngünün alt kısmı boyunca hareket ederken, reaksiyon kuvveti de maksimum değeri aşacaktır. H noktasında tepki kuvveti vardır NS... Anlam , böylece, reaksiyon kuvvetinin minimum değeridir.

Teğet yerçekimi maksimum sürtünme kuvvetini geçmezse araç hızı sabit olacaktır. kN döngünün tüm noktalarında. Minimum değer ise bu koşul kesinlikle sağlanır. ağırlık kuvvetinin teğetsel bileşeninin maksimum değerini aşıyor. Bizim durumumuzda, bu maksimum değer m g(noktaya ulaşılır İLE BİRLİKTE) ve koşul için karşılanır k= 0,5, u = 200 km/s, r= 100 m.

Böylece, bizim durumumuzda, arabanın sabit bir hızla bir "döngü" içinde hareketi mümkündür.

Şimdi bir arabanın motor kapalıyken bir "döngü" içindeki hareketini ele alalım. Daha önce belirtildiği gibi, genellikle sürtünme momenti, motor tarafından tekerleklere uygulanan momentin tersidir. Araba, motor kapalıyken hareket ederken, bu an yoktur ve arabanın tekerlekleri ile yol arasındaki sürtünme kuvveti ihmal edilebilir.

Arabanın hızı artık sabit olmayacak - yerçekimi kuvvetinin teğetsel bileşeni, arabanın "döngü" boyunca hareketini yavaşlatır veya hızlandırır. Merkezcil ivme de değişecektir. Her zamanki gibi, yolun tepkisinin bileşke kuvveti ve yerçekimi kuvvetinin ilmek merkezine doğru yönde izdüşümü ile yaratılır.

Sorun 10... Döngünün altındaki en yavaş araç hızı nedir? NS(bkz. şekil 8) motor kapalıyken gerçekleştirmek için? Bu noktada arabanın yola uyguladığı basınç kuvveti ne olur? V? Döngü yarıçapı r= 100 m, araç ağırlığı m= 0,5 ton.

Döngünün tepesinde bir arabanın sahip olabileceği minimum hızı görelim. A bir daire içinde devam etmek için?

Yolun bu noktasındaki merkezcil ivme, yerçekimi toplamı ve yolun tepki kuvveti tarafından oluşturulur. ... Arabanın hızı ne kadar düşük olursa, tepki kuvveti o kadar az ortaya çıkar. NA... Değerde, bu kuvvet kaybolur. Daha yavaş bir hızda, yerçekimi merkezcil ivme oluşturmak için gereken değeri aşacak ve araç yoldan çıkacaktır. Hızda, yolun tepki kuvveti sadece döngünün tepesinde kaybolur. Gerçekten de, döngünün diğer bölümlerinde arabanın hızı daha fazla olacaktır ve bir önceki sorunun çözümünden kolayca görüleceği gibi, yolun tepki kuvveti de noktaya göre daha büyük olacaktır. A... Bu nedenle, döngünün tepesindeki arabanın hızı varsa, o zaman döngüden hiçbir yerde çıkmayacaktır.

Şimdi döngünün sonunda arabanın hangi hızda olması gerektiğini belirleyelim. NS böylece döngünün tepesinde A onun hızı. υ hızını bulmak için NS sanki araba sadece yerçekimi etkisi altında hareket ediyormuş gibi enerjinin korunumu yasasını kullanabilirsiniz. Gerçek şu ki, yolun tepki kuvveti her an arabanın hareketine dik olarak yönlendirilir ve bu nedenle işi sıfırdır (işin Δ olduğunu hatırlayın). A = F·Δ s Cos α, burada α kuvvet arasındaki açıdır F ve hareket yönü Δ s). Motor kapalıyken sürüş sırasında arabanın tekerlekleri ile yol arasındaki sürtünme kuvveti ihmal edilebilir. Bu nedenle, motor kapalıyken sürüş sırasında otomobilin potansiyel ve kinetik enerjisinin toplamı değişmez.

Arabanın enerji değerlerini puan cinsinden eşitleyelim A ve NS... Bu durumda, nokta seviyesinden yüksekliği ölçeceğiz. NS yani, arabanın bu noktadaki potansiyel enerjisi sıfıra eşit kabul edilecektir. sonra alırız

Burada gerekli hız υ değerini değiştirerek NS, buluyoruz: ≈ 70 m / s ≈ 260 km / s.

Araba bu hızda döngüye girerse, motor kapalıyken tamamlayabilecektir.

Şimdi gelin noktada aracın yola hangi kuvvetle basacağını belirleyelim. V... Noktadaki araç hızı V yine enerjinin korunumu yasasından bulmak kolaydır:

Buradaki değeri yerine koyarsak, hızı buluruz. .

Önceki problemin çözümünü kullanarak, belirli bir hız için, noktadaki basınç kuvvetini buluruz. B:

Benzer şekilde, "ölü döngü"nün herhangi başka bir noktasında basınç kuvvetini bulabilirsiniz.

Egzersizler

1. Açısal hızı bulun yapay uydu Bir devir periyodu ile dairesel bir yörüngede dönen dünya T= 88 dakika Yörüngesinin belli bir uzaklıkta olduğu biliniyorsa, bu uydunun doğrusal hızını bulun. r= Dünya yüzeyinden 200 km.

2. Disk yarıçapı r iki paralel çıta arasına yerleştirilmiştir. Reiki υ 1 ve υ 2 hızlarında hareket eder. Diskin açısal dönüş hızını ve merkezinin hızını belirleyin. Kayma yok.

3. Disk yatay bir yüzey üzerinde kaymadan yuvarlanır. Dikey çap noktalarının hız vektörlerinin uçlarının aynı doğru üzerinde olduğunu gösteriniz.

4. Uçak, υ = 700 km/h sabit yatay hız ile bir daire içinde hareket etmektedir. yarıçapı tanımla r bu daire, eğer uçak gövdesi α = 5 ° açıyla eğimliyse.

5. Ağırlık yükü m= 100 g, bir iplik uzunluğuna asılmış ben= 1 m, yatay düzlemde bir daire içinde eşit olarak döner. Dönmesi sırasında iplik α = 30 ° açıyla dikey olarak saparsa, yükün dönme periyodunu bulun. Ayrıca iplik tansiyonunu da belirleyin.

6. Araba, dikey bir yarıçaplı silindirin iç yüzeyi boyunca υ = 80 km / s hızında hareket eder. r= yatay bir daire içinde 10 m. Arabanın lastikleri ile mümkün olan silindir yüzeyi arasındaki minimum sürtünme katsayısı nedir?

7. Ağırlık m mümkün olan maksimum gerilimi 1.5 olan uzamaz bir iplik üzerinde asılı m g... İplik, yükün daha fazla hareketiyle kopmaması için hangi maksimum açıda α düşeyden sapabilir? İplik düşey ile α / 2 açısı yaptığı anda ipliğin gerilimi ne olur?

Yanıtlar

I. Yapay bir Dünya uydusunun açısal hızı ≈ 0.071 rad / s. Uydunun lineer hızı υ = ω r... nerede r- yörünge yarıçapı. burada değiştirme r = r 3 + H, nerede r 3 ≈ 6400 km, υ ≈ 467 km/s buluyoruz.

2. Burada iki durum mümkündür (Şekil 1). Diskin açısal hızı ω ve merkezinin hızı υ ise, çubuklarla temas eden noktaların hızları sırasıyla eşit olacaktır.

a) durumunda υ 1 = υ + ω r, υ 2 = u - ω r;

b) durumunda υ 1 = υ + ω r, υ 2 = ω r – υ.

( υ 1> υ 2 kesinliğini aldık). Bu sistemleri çözerek şunları buluruz:

a)

B)

3. Herhangi bir noktanın hızı m segmentte yalan OG(bkz. Şekil 2), υ formülü ile bulunur m = υ + ω· rm, nerede r M- noktadan uzaklık m diskin ortasına Ö... herhangi bir nokta için n segmente ait AE, elimizde: υ n = υ – ω· rn, nerede rN- noktadan uzaklık n merkeze doğru. Çapın herhangi bir noktasından olan mesafeyi ρ ile gösteririz VA diyeceğim şey şu ki A diskin uçakla teması. O zaman açıktır ki r M = ρ – r ve rN = r – ρ = –(ρ – r). nerede r diskin yarıçapıdır. Bu nedenle, çap üzerindeki herhangi bir noktanın hızı VAşu formülle bulunur: υ ρ = υ + ω r). Disk kaymadan yuvarlandığından, υ ρ hızı için υ ρ = ω · ρ elde ederiz. Bundan dolayı, hız vektörlerinin uçlarının noktadan çıkan düz çizgi üzerinde olduğu sonucu çıkar. A ve çapa eğimli VA diskin ω açısal dönüş hızıyla orantılı bir açıda.

Kanıtlanmış ifade, çap üzerinde bulunan noktaların karmaşık hareketinin olduğu sonucuna varmamızı sağlar. VA, herhangi bir anda sabit bir nokta etrafında basit bir dönüş olarak düşünülebilir. A açısal hız ω ile diskin merkezi etrafındaki açısal dönme hızına eşittir. Gerçekten de, her an bu noktaların hızları çapa dik olarak yönlendirilir. VA, ve büyüklük olarak ω çarpımına ve noktaya olan uzaklığa eşittir. A.

Bu ifadenin diskteki herhangi bir nokta için doğru olduğu ortaya çıktı. Üstelik, Genel kural... Katı bir cismin herhangi bir hareketinde, her an vücudun basitçe döndüğü bir eksen vardır - anlık bir dönüş ekseni.

4. Uçağa yerçekimi ile etki edilir (bkz. Şekil 3) r = m g ve kaldır n, kanatların düzlemine dik olarak yönlendirilir (uçak sabit bir hızla hareket ettiğinden, itme kuvveti ve ön hava direnç kuvveti birbirini dengeler). Etkili kuvvetler r

6. Arabaya yerçekimi etki ediyor (şekil 5) r = m g, silindirin yanından gelen tepki kuvveti n ve sürtünme kuvveti F tp. Araba yatay bir daire içinde hareket ettiğinden, kuvvetler r ve F tp birbirini dengeler ve güç n merkezcil ivme yaratır. Sürtünme kuvvetinin maksimum değeri reaksiyon kuvveti ile ilgilidir. n oran: F tp = kN... Sonuç olarak, bir denklem sistemi elde ederiz: , sürtünme katsayısının minimum değerinin bulunduğu

7. Yük, yarıçaplı bir daire içinde hareket edecektir. ben(şek. 6). Yükün merkezcil ivmesi (υ, yükün hızıdır), ipliğin gerilim kuvveti değerlerindeki farkla yaratılır. T ve yerçekimi projeksiyonu m g iplik yönü: ... Bu yüzden , burada β, dikey ile ipliğin oluşturduğu açıdır. Ağırlık azaldıkça hızı artacak ve β açısı azalacaktır. İplik gerilimi, β = 0 açısında (iplik dikey olduğu anda) maksimum olur: ... Yükün maksimum hızı υ 0, ipliğin saptırıldığı α açısı boyunca enerjinin korunumu yasasından bulunur:

Bu oranı kullanarak, maksimum iplik gerilimi değeri için aşağıdaki formülü elde ederiz: T m eksen = m g· (3 - 2 cos α). Sorunun durumuna göre T m eksen = 2 milyon gr... Bu ifadeleri eşitleyerek, cos α = 0,5 ve dolayısıyla α = 60 ° buluyoruz.

Şimdi iplik tansiyonunu belirleyelim. Bu andaki yükün hızı, enerjinin korunumu yasasından da bulunur:

Gerilme kuvveti formülünde υ 1 değerini değiştirerek şunu buluruz:

Şimdi görevimize geri dönelim - vücudun sabit bir mutlak hızla bir daire içinde hareket ettiği ivmeyi bulmak.

Hızlanmanın formülle belirlendiği bilinmektedir.

cismin zamanın bir ilk anında hızı nerede ve bir zaman periyodundaki hızıdır. Bizim durumumuzda, hız modülleri ve birbirine eşittir.

Cismin yarıçaplı bir daire içinde hareket ettiğini ve zamanın bir noktasında A noktasında olduğunu varsayalım (Şek. 67).

Bu noktada ivme nedir? Bu noktadaki hız, A noktasındaki daireye teğetsel olarak yönlendirilir. Saniye sonra, vücut B noktasındadır ve hızı şimdi

B noktasındaki daireye teğet olarak yönlendirilir. Hız modülü ve 10 eşittir (okların uzunlukları ve aynıdır).

Çemberin A noktasındaki ivmeyi (anlık ivme) bulmak istiyoruz. Bu nedenle, A ve B noktalarını birbirine yakın almalıyız, öyle ki yay sanki bir noktaya büzülür.

Önce bu ivmenin nasıl yönlendirildiğini bulalım.

Dairenin O merkezinden A ve B noktalarına yarıçapı çizelim. Dairenin yarıçapı teğet noktasında teğete diktir, bu nedenle yarıçaplar ve vektörlere diktir ve yönünü bulmak için ivme vektörü, vektörler arasındaki farka eşit bir vektör bulmanız gerekir ve onun yönü - bu vektör ivmesinin yönüdür. Vektörlerin nasıl çıkarıldığını zaten biliyoruz (bkz. § 6). Vektörler arasındaki farkı bulmak ve onları bir noktadan çıkacak şekilde konumlandırmak (Şek. 68) ve okunu çıkarılandan indirgenmiş olana (vektörün sonundan sonuna kadar) yönlendirerek uçlarını birleştirin. vektör Vektör, vektörlerin farkıdır Bu nedenle, ivme vektör boyunca yönlendirilir, bu yön hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Üçgen (bkz. şek. 68) ikizkenardır. tepe açısı açıya eşit yarıçaplar arasında ve (Şekil 67), karşılıklı olarak dik kenarlardan oluşturuldukları için. A ve B noktaları birbirine yakın olduğundan açı çok küçüktür (sıfıra yakın). Bir üçgenin iç açılarının toplamı iki dik açıya eşit olduğundan, üçgenin tabanındaki açıların her biri bir dik açıya yakındır. Bunun anlamı, vektör

hız vektörüne diktir. Bu, ivmenin hıza dik olduğu anlamına gelir. Ancak hız, A noktasındaki daireye teğet olarak yönlendirilir ve teğet yarıçapa diktir. Bu, ivmenin yarıçap boyunca dairenin merkezine yönlendirildiği anlamına gelir. Bu nedenle merkezcil ivme olarak adlandırılır.

Bir cismin bir daire etrafında düzgün bir hareketi ile, herhangi bir noktasındaki ivme, hareket hızına diktir ve dairenin merkezine yönlendirilir.

Sabit modül hızıyla bir daire içinde hareket ederken ivmenin bu ilginç özelliği Şekil 69'da gösterilmektedir.

Şimdi merkezcil ivme modülünü bulalım. Bunu yapmak için, miktarın mutlak değerinin neye eşit olduğunu bulmanız gerekir. Şekil 68'den, vektör farkının modülünün, segmentin uzunluğuna eşit olduğu görülebilir. Açı çok küçük olduğundan, segment A noktasında ortalanmış dairesel yaydan (noktalı çizgi ile gösterilen) çok az farklıdır. Bu dairenin yarıçapı sayısal olarak eşittir Ancak bildiğimiz gibi (bkz. § 24), böyle bir yayın uzunluğu Sonuç olarak, Mutlak değeridir. ivmedir. Ama açısal hız. Bu yüzden

Bir daire boyunca hareket eden bir cismin ivmesi, doğrusal hızının ve cisme çizilen yarıçapın açısal dönüş hızının ürününe eşittir.

Merkezcil ivme formülünü, vücudun hareket ettiği dairenin yarıçapının değerini içerecek şekilde sunmak daha uygundur. Açısal ve doğrusal hızlar oran ile ilişkili olduğundan (dairenin yarıçapıdır), o zaman bu ifadeyi formülde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

Ancak bu nedenle, merkezcil ivme formülü şu şekilde de yazılabilir:

Çevre etrafında düzgün hareketle, vücut ile hareket eder

yarıçap boyunca dairenin merkezine yönlendirilen ve modülü ifade ile belirlenen ivme

Sonuç olarak, tersi de doğrudur: Cismin hızının eşit olduğu ve cismin tüm noktalardaki ivmesinin, hızının vektörüne dik olduğu ve mutlak değerde eşit olduğu biliniyorsa, o zaman şu iddia edilebilir: böyle bir gövde, yarıçapı formülle belirlenen bir daire içinde hareket eder

Bu, cismin ilk hızını ve merkezcil ivmesinin mutlak değerini biliyorsak, cismin hareket edeceği ve herhangi bir anda konumunu bulabileceği bir daire çizebileceğimiz anlamına gelir (cismin ilk konumu, elbette bilinmelidir). Böylece, mekaniğin ana görevi çözülecektir.

Bir daire boyunca düzgün hareket halindeki ivmenin bizi ilgilendirdiğini hatırlayın, çünkü eğri bir yörünge boyunca herhangi bir hareket, farklı yarıçaplardaki dairelerin yayları boyunca bir harekettir.

Şimdi diyebiliriz ki, eğrisel yörüngenin herhangi bir noktasında düzgün hareketle, cisim bu yörüngenin bu noktaya yakın bir parçası olduğu dairenin merkezine yönelik ivme ile hareket eder. İvmenin sayısal değeri, cismin bu noktadaki hızına ve karşılık gelen dairenin yarıçapına bağlıdır. Şekil 70, bazı karmaşık yörüngeleri ve yörüngenin çeşitli noktalarındaki merkezcil ivme vektörlerini göstermektedir.

Görev. Dalıştan ayrılan uçak, alt kısmında 500 m yarıçaplı bir dairenin yayı olan bir yay boyunca hareket eder (Şekil 71). Hızı 800 km/s ise uçağın en düşük noktasındaki ivmesini hesaplayınız ve bu değeri yerçekiminden kaynaklanan ivme ile karşılaştırınız.

4. Yarıçapı 10 cm olan taşlama çarkı dönüş sırasında 0,2 saniyede 1 devir yapar. Dönme ekseninden en uzak noktaların hızını bulun.

5. Araba, 54 km / s hızla 100 m yarıçaplı yolun eğrisi boyunca hareket eder. Aracın merkezcil ivmesinin büyüklüğü nedir?

6. İlk uzay aracı uydusu "Vostok" un Dünya etrafındaki dönüş süresi 90 dakikaya eşitti. Uydu gemisinin Dünya üzerindeki ortalama yüksekliği 320 km'ye eşit olarak kabul edilebilir. Dünyanın yarıçapı 6.400 km'dir. Geminin hızını hesaplayın.

7. Yarıçapı 30 cm olan tekerlekleri saniyede 10 devir yapan bir arabanın hızı nedir?

8. Yarıçapları sonsuz bir kayışla bağlanan iki kasnak. Daha küçük yarıçaplı kasnağın dönme süresi 0,5 saniyedir. Kemer üzerindeki noktaların hareket hızı nedir? İkinci kasnağın dönüş periyodu nedir?

9. Ay, Dünya'dan 385.000 km uzakta hareket eder ve 27,3 günde bir devrim yapar. Ayın merkezcil ivmesini hesaplayın.