Stereometri önemli bir parçasıdır genel kurs Mekansal rakamların özelliklerini dikkate alan geometri. Bu rakamlardan biri dörtgen bir prizmadır. Bu makale, QuadRangüler prizmanın hacminin nasıl hesaplanacağını daha ayrıntılı olarak açıklayacaktır.

Dörtgenlerin prizması nedir?

Açıkçası, formülü bir dörtgen olanın prizmanın hacmi için getirmeden önce, bu geometrik şeklin net bir tanımını vermek gerekir. Bu gibi prizmaların altında, üç boyutlu bir polihedron, paralel düzlemlerde yatan iki rastgele aynı derecede dörtgen ve dört paralelogramla sınırlıdır.

Gülen paralel dörtgenler, rakamın bazları denir ve dört paralelkenlik yandırır. Burada paralelogramların da dörtgenes olduğu açıklanmalıdır, ancak bazlar her zaman paralelogram değildir. Prizmanın tabanını iyi olabilen düzensiz bir dörtgen örneği, şekilde aşağıda gösterilmiştir.

Herhangi bir dörtgen prizma 6 taraftan, 8 köşe ve 12 kaburgadan oluşur. Dörtgen prizmalar var farklı türler. Örneğin, şekil eğimli veya düz, yanlış ve doğru olabilir. Ayrıca, makalede, prizmanın hacminin, türünü dikkate alarak nasıl bir Quadrangial olduğunu gösteriyoruz.

Yanlış tabanla eğimli prizma

Bu, dörtgen bir prizmanın en asimetrik şeklidir, bu nedenle hacminin hesaplanması nispeten zor olacaktır. Şekilin hacmini belirlemek, aşağıdaki ifadeye izin verir:

Buradaki sembol, temel alan tarafından belirtilir. Bu taban bir eşkenar dörtgen, paralel birogram veya bir dikdörtgen ise, daha sonra değerini hesaplayın. Yani, eşkenar dörtgen için ve formülün paralel olarakgramı için:

a taban tarafı olduğu yer, HA, tabanın tepesinden yükseklik tabanının uzunluğudur.

Baz değilse sağ çokgen (Yukarıya bakın), o zaman alanı daha fazla ayrılmalıdır basit rakamlar (örneğin, üçgenler), alanlarını hesaplar ve toplamlarını bulurlar.

Birimin formülünde, H sembolü, prizmanın yüksekliği ile gösterilir. İki üs arasındaki dikey segmentin uzunluğudur. Prizma eğilimli olduğundan, H yüksekliğinin hesaplanması, yan kenarların uzunluğu ve yan yüzler ve taban arasındaki dwarfrani açılarının uzunluğu kullanılarak gerçekleştirilmelidir.

Uygun figür ve hacmi

Dörtgen prizmanın tabanı kare ise ve rakamın kendisi düz olacaksa, o zaman uygun şekilde denir. Tüm yan tarafları dikdörtgenler olduğunda ve her birinin gerekçesiyle doğrudan prizmanın çağrıldığı açıklanmalıdır. Doğru rakam aşağıda gösterilmiştir.

Doğru dörtgen prizmanın hacmi, yanlış şekil hacmi olarak aynı formülle hesaplanabilir. Temel kare olduğundan, alanı basitçe hesaplanır:

Prizmanın H yüksekliği, yan kenarı B'nin (dikdörtgenin tarafı) uzunluğuna eşittir. Daha sonra, dörtgenlerin doğru prizmanın hacmi aşağıdaki formüle göre hesaplanabilir:

Kare tabanlı uygun prizma denir dikdörtgen paralelpiped. A ve B partilerinin eşitliği durumunda bu paralelefed bir küp olur. İkincisinin hacmi hesaplanır:

Hacim için kaydedilen formüller V, rakamın simetrisi ne kadar yüksek olduğunu gösterir. doğrusal parametreler bu değeri hesaplamak için gerekli. Bu nedenle, doğru prizma durumunda, gerekli parametre sayısı iki ve Küba durumunda - bir.

Doğru rakamla görev

Bir dörtgen hacminin teori bakış açısına göre hacmini bulma sorusunu düşündükten sonra, uygulamada kazanılan bilgileri uyguluyoruz.

Doğru paralellemenin, tabanın çapraz uzunluğuna sahip olduğu bilinmektedir, 12 cm'ye eşittir. Tarafının köşegen uzunluğu 20 cm'dir. Paralelefed miktarını hesaplamak gerekir.

DA sembolü ile baz diyagonal ve yan yüzün köşegeni - DB sembolü. Çapraz DA adil ifadeler için:

DB değerine gelince, A ve B'nin yanları ile bir dikdörtgen diyagonaldır. Onun için, aşağıdaki eşitlikleri yazabilirsiniz:

dB2 \u003d A2 + B2 \u003d\u003e

b \u003d √ (DB2 - A2)

A'nın son eşitliğine bulunan ifadeyi değiştirmek, biz:

b \u003d √ (DB2 - DA2 / 2)

Artık ortaya çıkan formüllerin, doğru şekilde hacminin ifadesinde yerini alabilirsiniz:

V \u003d A2 * B \u003d DA2 / 2 * √ (DB2 - DA2 / 2)

DA ve DB numaralarını sorunun durumundan değiştirmek, cevaba geliyoruz: v ≈ 1304 cm3.

Tanım.

Bu, temelleri iki olan bir altıgendir. eşit karelerve yan yüzler eşit dikdörtgenlerdir

Yan kaburga - Bu, iki bitişik taraf yüzünün ortak tarafıdır.

Yükseklik Prizması - Bu, prizmanın sebeplerine dik, bir segmenttir.

Çapraz prizma - Bir yüze ait olmayan iki üslerin iki köşesini bağlamak

Çapraz uçak - Prizmanın köşegeninden ve yan kaburgalarından geçen bir uçak

Çapraz bölüm - Prizmanın ve çapraz düzlemin kesiştiği sınırları. Doğru dörtgen prizmanın çapraz bölümü bir dikdörtgendir

Dikey kesit (ortogonal bölüm) - Bu, yan kenarlarına dik olan prizmanın ve uçağın kesiştiğidir.

Sağ dörtgen prizmanın elemanları

Şekil, karşılık gelen harflerle gösterilen iki sağ dörtgen prizma göstermektedir:

• ABCD'nin üsleri ve 1 B 1 Cı 1 D 1'si birbirine eşit ve paraleldir
• Yan Yüzler AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C1 C ve CC 1 D 1 D, her biri bir dikdörtgendir.
• Yan Yüzey - Prizmanın tüm yan yüzlerinin toplamı toplamı
• Tam yüzey - tüm bazların ve yan yüzlerin alanlarının toplamı (yan yüzey ve taban alanının toplamı)
• Yan kenarlar AA 1, BB 1, CC 1 ve DD 1.
• Çapraz B1 D
• Bağlanmış Çapraz BD.
• Çapraz Bölüm BB 1 D 1 D
• Dik kısım A 2 B 2 C 2 D 2.

Sağ dörtgen prizmanın özellikleri

• Gerekçesiyle iki eşit karedir.
• Bazlar birbirlerine paraleldir
• Sidelights dikdörtgenlerdir
• Yan yüzler birbirine eşittir
• Yayınlara dik tarafı yüzler
• Yan kenarlar kendileri arasında paraleldir ve eşittir.
• Tüm yan kenarlara dik ve gerekçelere paralel dikin kesiti
• Dik bölümlerin köşeleri - direkt
• Doğru dörtgen prizmanın çapraz bölümü bir dikdörtgendir
• Uzaylara paralel dik (ortogonal kesit)

Doğru dörtgen prizma için formüller

Sorunları çözme talimatları

Konudaki görevleri çözerken " uygun dörtgen prizma"Anlaşılan budur ki:

Uygun prizma - Tabandaki prizma doğru çokgen ve yan kaburgalar taban uçaklarına diktir. Yani, doğru dörtgen prizma tabanında içeriyor. meydan. (Sağdan dörtgen prizmanın üstüne bakınız) Not. Bu, Geometri Görevleriyle Dersin bir parçasıdır (Stereometri - Prizma Bölümü). İşte çözülmede zorluklara neden olan görevler. Geometri görevini çözmeniz gerekiyorsa, burada olmayan - forumda yazın. Görev çözümlerinde kare kök çıkarma belirlemek için bir sembol kullanılır.√ .

Bir görev.

Dört derece prizmanın sağında, taban alanı 144 cm2'dir ve yükseklik 14 cm'dir. Prizma diyagonal ve tam yüzey alanını bulun.

Karar.
Doğru kadran bir karedir.
Buna göre, taban tarafı eşit olacak

√144 \u003d 12 cm.
Doğru dikdörtgen prizmanın temel köşegeninin olduğu yerden eşit olacaktır.
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Doğru prizmanın diyagonu, tabanın çaprazını ve prizmanın boyunu oluşturur. sağ üçgen. Buna göre, Pythagora teoremine göre, verilen bir doğru dörtgen prizmanın köşegeni aşağıdakilere eşit olacaktır:
√ ((12√2) 2 + 14 2) \u003d 22 cm

Cevap: 22 cm

Bir görev

Çapraz olarak 5 cm ise, doğru dörtgen prizmanın tam yüzeyini belirleyin ve yan yüzün köşegeni 4 cm'dir.

Karar.
Doğru dörtgen prizmanın temelinde, bir kare var, sonra tabanın tarafı (A olarak belirtiriz) Pythagora teoreminde bulacağız:

2 + A 2 \u003d 5 2
2A 2 \u003d 25
A \u003d √12.5

Yan yüzün yüksekliği (H'nin nasıl H) daha sonra aşağıdakilere eşit olacağını (

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
H2 + 12.5 \u003d 16
H 2 \u003d 3.5
H \u003d √3.5

Toplam yüzey alanı, yan yüzeyinin ve tabanın çift alanının toplamına eşit olacaktır.

S \u003d 2A 2 + 4AH
S \u003d 25 + 4√12,5 * √3.5
S \u003d 25 + 4√43,75
S \u003d 25 + 4√ (175/4)
S \u003d 25 + 4√ (7 * 25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm2.

Cevap: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Prizma, lise okullarında okunan geometrik bir toplu şekil, özellikleri ve özellikleridir. Kural olarak, okurken bu değerleri hacim ve yüzey alanı olarak görür. Bu yazıda, biraz farklı bir soru ortaya çıkaracağız: quadragüler bir şekil örneğinde prizma köşegenlerin uzunluğunu belirlemek için bir yöntem veriyoruz.

Hangi figürü prizma denir?

Geometride verilir bir sonraki tanım Balo: Bu, birbirlerine paralel olan, birbirlerine paralel olan iki poligonal tanımlama ile sınırlı bir toplu figürdür. Aşağıdaki şekil, uygun bir prizmanın örneğini göstermektedir. bu tanım.

İki kırmızı pentagon'un birbirine eşit olduğunu ve iki paralel düzeyde olduğunu görüyoruz. Beş pembe paralelogram bu pentagonları sağlam bir nesnede birleştiriyor - bir prizma. İki pentagon, şeklin bazları olarak adlandırılır ve paralelogramları lateral yüzlerdir.

Prizmalar, dikdörtgen ve ricol olarak da adlandırılan düz ve eğimlidir. Aralarındaki fark, taban ve yan yüzler arasındaki köşelerde yatıyor. Dikdörtgen bir prizma için, tüm bu köşeler 90 o'dur.

Çokgenin partilerinin veya köşeleri sayısında, üçgen, pentagonal, dörtgen vb. İrribatları hakkında konuşuyorlar. Üstelik, bu çokgen doğruysa ve prizmanın kendisi düzdür, daha sonra böyle bir rakam doğru bir şekilde denir.

Önceki figürde verilen prizma eğimli bir pentagonal. Doğru olan pentagonal doğrudan prizma indirin.

Tüm hesaplamalar, prizmanın köşegenlerini belirleme yöntemi de dahil olmak üzere, doğru rakamlar için tam olarak gerçekleştirmek için uygun.

Hangi unsurları prizmayı karakterize eder?

Şekilin elemanları, onu oluşturan bileşenleri çağırır. Spesifik olarak, prizma için üç ana öğe türü ayırt edilebilir:

• köşeleri;
• yüz veya taraf;
• pirzola.

Genel durumdaki paralelogramları temsil eden topraklar ve yan düzlemler yüz olarak kabul edilir. Bir prizma içinde, her bir yan iki türden biriyle ilgilidir: ya bu bir çokgen veya paralelkendir.

Proms'in kaburgaları, şeklin her iki tarafını sınırlayan bu bölümlerdir. Yüz gibi, kaburgaların da iki tipi vardır: taban ve yan yüzeye ait veya yalnızca yan yüzeye aittir. İlk önce prizmanın türünden bağımsız olarak her zaman ikincisinden iki kat daha büyük.

Vertices, ikisi temel düzleminde yatan ve üçüncünün iki tarafına ait olan prizmanın üç kenarının kesiştiği noktalarıdır. Prizmanın tüm zirveleri, şeklin tabanının düzlemlerindedir.

Açıklanan öğelerin sayısı, aşağıdaki forma sahip olan tek bir eşitlik ile ilişkilidir:

P \u003d B + C - 2.

İşte R, kenarlardan, kapakların sayısı, kapakların sayısıdır. Bu eşitlik, polihedron için Euler teoremi olarak adlandırılır.

Şekil, üçgen uygun prizmayı gösterir. Herkes 6 köşesi, 5 taraf ve 9 kaburga olduğunu hesaplayabilir. Bu rakamlar Euler teoremi ile tutarlıdır.

Çapraz prizma

Bu gibi özelliklerden sonra, hacim ve yüzey alanı olarak, sözde verilen rakamın bir veya başka bir diyagonalının uzunluğu hakkındaki bilgiler, verilen, ya da verilen geometri görevlerinde bulunur, ya da bulunması gerekir. diğer tanınmış parametreler. Prizmanın çapraz olarak neler olduğunu düşünün.

Tüm köşegenler iki türe ayrılabilir:

1. Yanıp sönen yüzler. Presm'nin tabanındaki bir çokgenin zirvelerini veya yan yüzey paralelogramını bağlarlar. Bu tür köşegenlerin uzunluklarının değeri, karşılık gelen kaburgaların uzunluklarının ve aralarındaki açıların uzunluklarının bilgisine dayanarak belirlenir. Üçgenlerin özellikleri her zaman paralelogramların köşegenlerini belirlemek için kullanılır.
2. Prizmanın hacminin içinde yatmak. Bu köşegenler iki bazın inhomopik köşelerini bağlar. Bu köşegenler, şeklin içinde tamamen ortaya çıkıyor. Uzunlukları hesaplar, önceki türden daha çok daha karmaşıktır. Hesaplama tekniği, kaburgaların ve bazın uzunluklarının kayıtlarını ve paralelogramları içerir. Doğrudan ve doğru prizmalar için, hesaplama nispeten basittir, çünkü Pisagor teoremi ve trigonometrik fonksiyonların özellikleri kullanılarak gerçekleştirilir.

Dörtgen bir doğrudan prizmanın çapraz tarafları

Yukarıdaki şekil, dört özdeş doğrudan prizma gösterir ve kaburgalarının parametreleri verilmiştir. Çapraz A, çapraz B ve diyagonal prizmalar üzerine, üç farklı yüzün diyagonali bir bar-kırmızı çizgiyle tasvir edilmiştir. Prizma 5 cm yüksekliğe sahip düz bir çizgi olduğundan ve tabanı, 3 cm ve 2 cm'lik bir dikdörtgenle temsil edilir, o zaman işaretli diyagonları bulmak zor değildir. Bunu yapmak için Pythagora teoremini kullanın.

Prizma tabanının (çapraz A) çapraz uzunluğu eşittir:

D A \u003d √ (3 2 +2 2) \u003d √13 ≈ 3.606 cm.

Cezaevlerin yan yüzü için, diyagonal eşittir (bkz. Diagonal B):

D B \u003d √ (3 2 +5 2) \u003d √34 ≈ 5,831 cm.

Son olarak, başka bir yanal diyagonalın uzunluğu eşittir (bkz. Çapraz C):

D C \u003d √ (2 2 +5 2) \u003d √29 ≈ 5.385 cm.

Dahili Çapraz Uzunluğu

Şimdi, önceki şekilde gösterilen dörtgen prizmanın diyagonalının uzunluğunu hesaplıyoruz (çapraz d). Yapılması o kadar zor değil, eğer, prizma yükselmesi (5 cm) ve solun üstündeki şekil içinde gösterilen, prizma yüksekliğinin (5 cm) ve çapraz d a'dığını (çapraz A) gösteren bir üçgen hipotenoise olduğunu not edersek. O zaman alırız:

D D \u003d √ (D A 2 +5 2) \u003d √ (2 2 +3 2 +5 2) \u003d √38 ≈ 6,164 cm.

Uygun dörtgen prizma

Temelinin kare olan doğru prizmanın köşegeni, yukarıdaki örnekteki gibi hesaplanır. İlgili formül formu vardır:

D \u003d √ (2 * a 2 + c 2).

Buradaki A ve C, bazın ve yan kaburganın yanındaki uzunluklarıdır.

Hesaplama yaparken, sadece Pythagore teoremini kullandık. Doğru prizmaların köşegenlerinin uzunluklarını belirlemek için çok sayıda köşe (pentagonal, altıgen ve benzeri) trigonometrik fonksiyonlar uygulamak zaten gereklidir.

İÇİNDE okul programı Stereometri oranında, hacim rakamlarının incelenmesi genellikle basit bir geometrik gövde ile başlıyor - bir polihedron prizma. Vakıflarının rolü 2 yapılır eşit poligonparalel düzlemlerde yatmak. Özel bir fırsat, dört doğumlu prizma doğrudur. Bazları, paralelogramlar (veya prizma eğik değilse) paralelkenar (veya dikdörtgenler) olan taraflara dik olan 2 aynı düzenli kudugramdır.

Prizmanın nasıl görünüyor

Doğru dört derecelik prizmaların, 2 karenin bulunduğu bazlarında altıgen olarak adlandırılır ve yan yüzler dikdörtgenler ile temsil edilir. Bu geometrik şekil için benzer bir isim düz bir paraleldir.

Dört tetikleyici prizmayı gösteren çizim aşağıda gösterilmiştir.

Resimde görebilirsiniz oluşan en önemli unsurlar geometrik gövde . Hepsi göz önüne alındı:

Bazen bölüm kavramı geometri görevlerinde bulunabilir. Tanım bu gibi ses çıkarır: Bölüm, emniyet düzlemine ait hacimsel vücudun tüm noktalarıdır. Enine kesit diktir (şeklin kaburgalarını 90 derecelik bir açıyla geçer). Dikdörtgen bir prizma için, ayrıca 2 kaburga geçişi ve tabanın köşegeninden geçen bir diyagonal enine kesit (inşa edilebilecek maksimum bölüm sayısı - 2) göz önünde bulundurulur.

Kesit kesiti, net bir düzlemin, net ve yan bakanlara, sonuç olarak, kesilmiş bir prizma elde edilemeyen bir şekilde çizilirse, kesilmiş bir prizma elde edilir.

Verilen prizmatik unsurları bulmak için çeşitli ilişkiler ve formüller kullanılır. Bazıları planimetri oranından bilinmektedir (örneğin, prizmanın alanını bulmak için, meydanın karesinin meydanını hatırlamak yeterlidir).

Yüzey alanı ve hacmi

Formüldeki prizmanın hacmini belirlemek için, temelinin ve boyunun alanını bilmeniz gerekir:

V \u003d sosn · h

Doğru dört başlı prizmanın temeli partinin karesi olduğundan birbir formülü daha ayrıntılı olarak kaydedebilirsiniz:

V \u003d a² · h

Küba hakkında konuşursak - eşit uzunluk, genişlik ve yükseklikte doğru ödül, hacim aşağıdaki gibi hesaplanır:

Prizmanın yan yüzey alanının nasıl bulacağınızı anlamak için, onun debotunu hayal etmek gerekir.

Çizimden, yan yüzeyin 4'ten oluştuğu görülebilir. eşit dikdörtgenler. Alanı, tabanın çevresinin bir ürünü olarak, Şekilin yüksekliğine göre hesaplanır:

Sbok \u003d posh · h

Meydanın çevresinin eşit olduğunu dikkate almak P \u003d 4a,formül formu alır:

Sbok \u003d 4a · h

Küba için:

Sbok \u003d 4a²

Prizmanın tam yüzeyinin alanını hesaplamak için, yan alan için 2 baz alan eklemeniz gerekir:

SCLE \u003d SBO + 2SH

Dört doğumlu doğru asal referansla, formül formu vardır:

Spef \u003d 4A · H + 2A²

Küba Yüzey Meydanı için:

Spef \u003d 6a²

Ses seviyesini veya yüzey alanını bilmek, geometrik gövdenin bireysel unsurlarını hesaplayabilirsiniz.

Öğeleri Prizma Bulma

Yan yüzey alanının büyüklüğünün, taban tarafının veya yüksekliğin uzunluğunu belirlemek için gerekli olduğu veya bilinenlerin verildiği veya bilinen görevler vardır. Bu gibi durumlarda, formüller görüntülenebilir:

• temel yan uzunluğu: a \u003d SBOK / 4H \u003d √ (V / H);
• yükseklik veya yan kaburgaların uzunluğu: h \u003d SBOK / 4A \u003d V / A²;
• temel Alanı: SOSN \u003d V / H;
• yan taraf: SBO. GR \u003d SBO / 4.

Hangi alanın çapraz bir bölüm olduğunu belirlemek için, diyagonalın uzunluğunu ve şeklin yüksekliğini bilmeniz gerekir. Kare için d \u003d A√2. Bu nedenle:

Sadiag \u003d ah√2

Prizmanın köşegenini hesaplamak için, formül kullanılır:

dRIZ \u003d √ (2A² + H²)

Nihai ilişkilerin nasıl uygulanacağını anlamak için, birkaç basit görevi yapıp çözebilirsiniz.

Çözümlerle görevlerin örnekleri

İşte Matematikte Hükümet Final Sınavlarında karşılaşılan bazı görevler.

1. Egzersiz.

Doğru dört derece prizmanın şekline sahip olan kutu, kum habercidir. Seviyesinin yüksekliği 10 cm'dir. Aynı formun kabınına taşırsanız, ancak baz uzunluğu 2 kat daha fazla olan kum seviyesi nedir?

Aşağıdaki gibi tartışılmalıdır. Birinci ve ikinci konteynerindeki kum miktarı değişmedi, yani onlarla çakışıyor. Tabanın uzunluğunu belirleyebilir A.. Bu durumda, ilk kutu için, maddenin hacmi şunlar olacaktır:

V₁ \u003d ha² \u003d 10a²

İkinci kutu için, taban uzunluğu 2a.Ancak kum seviyesinin yüksekliği bilinmiyor:

V₂ \u003d h (2a) ² \u003d 4ha²

Gibi V₁ \u003d v₂., İfadeleri eşitleyebilirsiniz:

10A² \u003d 4ha²

Denklemin her iki bölümünü bir² üzerinde kesdikten sonra, ortaya çıktı:

Sonuç olarak yeni seviye Kum olacak h \u003d 10/4 \u003d 2.5 santimetre.

Görev 2.

Abcda₁b₁c₁d₁ - sağ prizma. BD \u003d AB₁ \u003d 6√2 olduğu bilinmektedir. Tam vücut yüzeyinin alanını bulun.

Hangi öğelerinin bilindiğini anlamayı kolaylaştırmak için bir figürü betimleyebilirsiniz.

Doğru prizma hakkında konuştuğumuz için, tabanda 6√2 köşegen olan bir kare olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzün köşegeni aynı büyüklüğe sahiptir, bu nedenle yan yüz ayrıca tabanına eşit bir karenin şekline sahiptir. Her üç boyutun da uzunluğu, genişlik ve yüksekliğin eşit olduğu ortaya çıktı. Abcda₁b₁c₁d₁'in bir küp olduğu sonucuna varılabilir.

Herhangi bir kenarın uzunluğu ünlü diyagonal yoluyla belirlenir:

a \u003d D / √2 \u003d 6√2 / √2 \u003d 6

Toplam yüzey alanı, küpün formülüyle bulunur:

SPEF \u003d 6A² \u003d 6 · 6² \u003d 216

Görev 3.

Oda odada tamir edilir. Katının 9 m² alana sahip kare şekli olduğu bilinmektedir. Odanın yüksekliği 2,5 m'dir. 1 m² 50 ruble ise, duvar kağıdına sahip yapıştırma odasının en küçük maliyeti nedir?

Zemin ve tavan kareler olduğundan, yani doğru dört tetikleyiciler ve duvarları yatay yüzeylere diktir, bu, olduğu sonucuna varılabilir. uygun prizma. Yan yüzeyinin alanını belirlemek gerekir.

Odanın uzunluğu a \u003d √9 \u003d 3 m.

Duvar Kağıdı kaydedilecek Sbok \u003d 4 · 3 · 2,5 \u003d 30 m².

Bu oda için en küçük duvar kağıdı maliyeti olacak 50 · 30 \u003d 1500 ruble.

Böylece, dikdörtgen bir prizma üzerindeki sorunları çözmek için, karenin ve dikdörtgenin alanını ve çevresini ve çevresinin hacmi ve yüzey alanını bulmak için formüle sahip olması yeterlidir.

Küp Alanı Nasıl Bulunur?

Bu video ile herkes bağımsız olarak "bir polihedron kavramı" teması ile tanışabilecektir. Prizma. Yüzey yüzey prizması. Mesleği sırasında, öğretmen bir polihedron ve prizma olarak böyle geometrik şekiller olduğunu söyleyecektir, uygun tanımlar verecek ve özlerini belirli örneklerle açıklar.

Bu derste herkes bağımsız olarak "bir polihedron kavramı" teması ile tanışabilecektir. Prizma. Yüzey yüzey prizması.

Tanım. Çokgenlerden oluşan ve bazı geometrik gövdeyi sınırlayan yüzey, çok yönlü bir yüzey veya bir polihedron olarak adlandırılacaktır.

Polyhedra'nın aşağıdaki örneklerini göz önünde bulundurun:

1. tetrahedron Abcd. - Bu dört üçgenden oluşan bir yüzeydir: ABC, Adb., BDC. ve ADC.(Şek. 1).

İncir. bir

2. Parallelepipli ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - Bu, altı paralelogramdan oluşan bir yüzeydir (Şekil 2).

İncir. 2.

Polihedronun ana elemanları, faset, kaburga, köşelerdir.

Yüzler, bir polihedron oluşturan çokgenlerdir.

Kaburgalar ön planlardır.

Vertices, kaburgaların uçlarıdır.

Tetrahedron düşünün Abcd.(Şek. 1). Ana unsurlarını belirtiriz.

Yüz: Üçgenler ABC, ADB, BDC, ADC.

pirzola: Au, au, güneş, dc, Reklam, BD..

Vershins: A, b, c, d.

Paralel olarak kabul et ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(İncir. 2).

Yüz: Pollogram AA 1 D 1 D, D 1 DSS 1, BB 1 C 1 C, AA 1 1 V, ABCD, A 1 B1 Cı 1 D 1.

pirzola: Aa 1 , Bb 1 , Ss 1 , DD 1, AD, A 1 D 1, B1 Cı, BC, AB, A 1 B1, D 1 Cı, DC.

Vershins: A, B, C, D, A 1, B1, Cı, D 1.

Bir polihedronun önemli bir özel vakası prizmadır.

Abse 1 1 C'de 1 (Şekil 3).

İncir. 3.

Eşit üçgenler ABC ve 1 1 S 1'de paralel düzlemlerde α ve β, böylece kaburga AA 1, BB 1, SS 1 Paralel.

Yani Abse 1 1 C'de 1- Eğer ise üçgen prizma:

1) üçgenler ABC ve 1 1 S 1'de eşit.

2) üçgenler ABC ve 1 1 S 1'de Paralel düzlemlerde a ve β: ABC║1 b 1 c (α ║ β).

3) kaburga AA 1, BB 1, SS 1 Paralel.

ABC ve 1 1 S 1'de - Prizmanın kuruluşu.

AA 1, BB 1, SS 1 - Yan kaburga prizması.

Eğer keyfi bir noktadan H 1. bir uçak (örneğin, β) dik dikey Nn 1. Α düzleminde, o zaman bu dik, prizmanın yüksekliği denir.

Tanım. Yan kaburgalar bazlara dik ise, prizma düz olarak adlandırılır ve aksi takdirde eğimlidir.

Üçgen bir prizma düşünün Abse 1 1 C'de 1 (Şek. 4). Bu prizma düz. Yani, yan kaburgaları gerekçelere diktir.

Örneğin, kaburga AA 1. Uçağa dik ABC. Kenar AA 1. bu prizmanın yüksekliği.

İncir. dört

Yan tarafa dikkat edin AA 1 1 V Gerekçelere dik ABC ve 1 1 S 1'deçünkü dikeyden geçer AA 1. gerekçesiyle.

Şimdi eğimli prizmi düşünün Abse 1 1 C'de 1 (Şek. 5). Burada yan kenar, temel düzlemine dik değildir. Eğer noktanın kesildiysen 1. dik 1 N. üzerinde ABCBu dikey, prizmanın yüksekliği olacaktır. Segmentin Bir. - Bu, segmentin projeksiyonudur. AA 1. Uçakta ABC.

Sonra doğrudan arasındaki açı AA 1. ve uçak ABC düz arasındaki açıdır AA 1. ve onun Bir. Uçakta projeksiyon, yani açı 1 A..

İncir. beş

Dörtgen bir prizma düşünün ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Şek. 6). Nasıl çıktığını düşünün.

1) quadrangle Abcd. dörtgene eşit 1 b 1 c 1 d 1: ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Dörtgenler Abcd.ve 1 b 1 c 1 d 1 ABC║1 b 1 c (α ║ β).

3) Dörtgenler Abcd.ve 1 b 1 c 1 d 1yan kaburgaların paralel olması için bulunur, yani: AA 1 ║VV 1 ║SS 1 ║DD 1.

Tanım. Prizma diyagonal, bir yüze ait olmayan iki köşeyi bağlayan bir segmenttir.

Örneğin, AC 1. - dörtgen prizmanın köşegeni ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Tanım. Yan kaburga AA 1. Bazın düzlemine dik, o zaman böyle prizma düz denir.

İncir. 6.

Dört derece prizmanın özel bir vakası daha önce bilinen bir paraleldir. Paralel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1Şekil 2'de tasvir eder. 7.

Nasıl çalıştığını düşünün:

1) Bazlarda eşit rakamlar vardır. Bu durumda, eşit paralelogramlar Abcd. ve 1 b 1 c 1 d 1: Abcd. = 1 b 1 c 1 d 1.

2) Paralelogram Abcd. ve 1 b 1 c 1 d 1 Paralel düzlemlerde α ve β: ABC║1 b 1 c 1 (α ║ β).

3) Pollogram Abcd. ve 1 b 1 c 1 d 1 Yan kaburgaların kendi aralarında paralel olduğu şekilde bulunur: AA 1 ║VV 1 ║SS 1 ║DD 1.

İncir. 7.

Noktadan 1. Düşük dikey Bir. Uçakta ABC. Bölüm 1 N. bir yüksekliktir.

Altıgen prizmanın nasıl düzenlendiğini düşünün (Şek. 8).

1) eşit altıgenlere dayanarak Abcdef. ve A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: Abcdef.= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Altıgen Uçaklar Abcdef. ve A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1paralel, yani, bazlar paralel düzlemlerde yatıyor: ABC║1 b 1 c (α ║ β).

3) Altıgenler Abcdef. ve A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1tüm yan kaburgaların paralel olması için bulunur: AA 1 ║VV 1 ... ║FF 1.

İncir. sekiz

Tanım. Vakıf düzlemine dik bir lateral kenar ise, böyle bir altıgen prizma düz denir.

Tanım. Bazları doğru çokgenlerse, doğrudan prizma doğru denir.

Doğru üçgen prizmi düşünün Abse 1 1 C'de 1.

İncir. dokuz

Üçgen prizma Abse 1 1 C'de 1- Uygun, gerekçesiyle düzenli üçgenler olduğu anlamına gelir, yani bu üçgenlerin her tarafı eşittir. Ayrıca, bu prizma düz. Yani, yan kenarı taban düzlemine dik. Bu, tüm yan yüzlerin eşit dikdörtgenler olduğu anlamına gelir.

Yani, eğer üçgen prizma ise Abse 1 1 C'de 1- Tamam öyleyse:

1) Vakıf düzlemine dik kenar kenarı, yani yükseklik: AA 1. ⊥ ABC.

2) sağ üçgene dayanarak: δ ABC - doğru.

Tanım. Prizmanın toplam yüzeyi, tüm yüzlerinin alanının toplamıdır. İfade etmek Tam.

Tanım. Yan yüzey alanı, tüm tarafların yüzlerinin toplamıdır. İfade etmek S.

Prizmanın iki üs var. Sonra prizmanın tam yüzeyinin alanı:

S full \u003d s + 2s arazi.

Doğrudan prizmanın yan yüzey alanı, tabanın çevresinin prizmanın yüksekliğine kadar ürünü eşittir.

Kanıtı üçgen bir prizma örneğine harcayacağız.

Dano: Abse 1 1 C'de 1 - Doğrudan Prizma, yani. AA 1. ⊥ ABC.

AA 1 \u003d H.

Kanıtlamak: S Bock \u003d R eksen ∙ H.

İncir. 10

Kanıt.

Üçgen prizma Abse 1 1 C'de 1 - Doğrudan, demek AA 1 1 V, AA 1 ile 1 C, BB 1 C 1 C -dikdörtgenler.

Yan yüzey alanını dikdörtgenler alanının toplamı olarak buluyoruz. AA 1 1 V, AA 1 1 S, BB 1 1 S ile:

S Side \u003d AB ∙ H + Sun ∙ H + SA ∙ H \u003d (AB + SUN + CA) ∙ H \u003d P OSP ∙ H.

Alıyoruz S Side \u003d P Wasp ∙ H,q.e.d.

Polyhedra, Prizma, çeşitleri ile tanıştık. Teoremi prizmanın yan yüzeyi hakkında kanıtladı. Bir sonraki derste, bir prizma için görevleri çözeceğiz.

1. Geometri. 10-11 Sınıf: Öğrenciler için ders kitabı genel Eğitim Kurumları (Temel I. profil seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, revize edilmiş ve takviye edildi - mnemozina, 2008. - 288 s. : Il.
2. Geometri. 10-11 Sınıf: Genel Eğitim için ders kitabı eğitim Kurumları / Sharygin I. F. - m.: Bırak, 1999. - 208 c .: Il.
3. Geometri. 10. Sınıf: Matematik / E'nin derinlemesine ve profilli çalışmasıyla genel eğitim kurumları için ders kitabı. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. baskı, klişe. - m.: Bırak, 008. - 233 s. : Il.

1. Yaclass ().
2. Shkolo.ru ().
3. Eski okul ().
4. Wikihow ().

1. Minimum yüz sayısı nasıl bir prizma olabilir? Kaç tane köşe, kaburga böyle bir prizma var?
2. Tam olarak 100 kaburga olan bir prizma var mı?
3. Yan kenar, taban düzlemine 60 ° 'lik bir açıyla eğimlidir. Yan kenarı 6 cm ise prizma yüksekliğini bulun.
4. Doğrudan Üçgen prizma Tüm kaburgalar eşittir. Yan yüzeyinin alanı 27 cm 2'dir. Prizmanın tam yüzey alanını bulun.