Двійка у різних ступенях.

Альфа позначає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо як приклад взяти безліч натуральних чисел, Розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:

Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або до того, що частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.

Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, в якому завжди є будь-яка кількість вільних місцьнезалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики і намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути непохитне".

Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.

Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все, інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх нема де. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона вже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з уже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:

Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.

Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, незважаючи на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншої множини натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:

Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.

Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.

Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою хибних міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).

неділя, 4 серпня 2019 р.

Дописував постскриптум до статті про і побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:

Читаємо: "... багата теоретична основаМатематика Вавилону не мала цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази.

Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто мені вийшло таке:

Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.

За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.

субота, 3 серпня 2019 р.

Як розділити множину на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню у частині елементів обраної множини. Розглянемо приклад.

Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня у людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає – множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.

Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Природно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосовано математику у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, по суті перетворень зроблено все правильно, достатньо знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.

Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одну надмножину можна, підібравши одиницю виміру, присутню у елементів цих двох множин.

Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою того, що з теорією множин не все гаразд, є те, що для теорії множин математики вигадали власна мовата власні позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.

Насамкінець, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з .

понеділок, 7 січня 2019 р.

У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, удесятеро менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той же бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Стріла, що летить, нерухома, так як у кожен момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, то вона спочиває завжди.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Я вам уже розповідав, що , за допомогою якої шамани намагаються сортувати реальності. Як вони це роблять? Як фактично відбувається формування множини?

Давайте уважно розберемося з визначенням множини: "сукупність різних елементів, мислима як єдине ціле". А тепер відчуйте різницю між двома фразами: "мислиме як єдине ціле" і "мислиме як ціле". Перша фраза - це кінцевий результат, безліч. Друга фраза - це попередня підготовка до формування множини. На цьому етапі реальність розбивається на окремі елементи ("ціле") з яких потім буде сформовано безліч ("єдине ціле"). При цьому фактор, що дозволяє об'єднати "ціле" в "єдине ціле", уважно відстежується, інакше у шаманів нічого не вийде. Адже шамани заздалегідь знають, яка саме безліч хочуть нам продемонструвати.

Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.

А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама множина чи дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.

Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. У чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.

Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" прийти до такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їхнього "наукового" арсеналу.

За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.

субота, 30 червня 2018 р.

Якщо математики що неспроможні звести поняття інших понять, отже вони нічого не розуміють у математиці. Відповідаю на: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Відповідь дуже проста: числами та одиницями виміру.

Це сьогодні все, що ми не візьмемо, належить якійсь множині (як запевняють нас математики). До речі, ви у дзеркалі бачили у себе на лобі список тих множин, до яких належите саме ви? І такого списку я не бачив. Скажу більше – жодна річ насправді не має бірочки зі списком множин, до яких ця річ належить. Безліч - це все вигадки шаманів. Як вони це роблять? Давайте заглянемо трохи в глиб історії і подивимося, як виглядали елементи множини до того, як математики-шамани розтягли їх по своїх множинах.

Давним-давно, коли про математику ще ніхто й не чув, а кільця були тільки в дерев і Сатурна, величезні стада диких елементів множин блукали фізичними полями (адже математичних полів шамани ще придумали). Виглядали вони приблизно так.

Так, не дивуйтеся, з точки зору математики всі елементи множин найбільше схожі на морських їжаків- з однієї точки, як голки, на всі боки стирчать одиниці вимірів. Для тих, хто , нагадую, що будь-яку одиницю виміру геометрично можна як відрізок довільної довжини, а число - як точку. Геометрично будь-яку величину можна як пучок відрізків, стирчать у різні боки з однієї точки. Ця точка – точка нуль. Малювати цей твір геометричного мистецтва я не буду (немає натхнення), але ви легко можете це уявити.

Які ж одиниці виміру утворюють елемент множини? Будь-які, що описують цей елемент з різних точок зору. Це й давні одиниці виміру, якими користувалися наші предки і про які давно забули. Це і сучасні одиниці виміру, якими ми користуємось зараз. Це й невідомі нам одиниці виміру, які вигадають наші нащадки і якими користуватимуться вони для опису реальності.

З геометрією ми розібралися - пропонована модель елементів множини має чітке геометричне уявлення. А як із фізикою? Одиниці виміру - і є прямий зв'язок математики з фізикою. Якщо шамани не визнають одиниці виміру як повноправний елемент математичних теорій – це їхні проблеми. Справжню науку математику без одиниць виміру особисто вже не уявляю. Ось чому на самому початку розповіді про теорію множин я говорив про неї як про кам'яний вік.

Але перейдемо до найцікавішого – до алгебри елементів множин. Алгебраїчно будь-який елемент множини являє собою твір (результат множення) різних величин. Виглядає це так.

Я навмисне не застосовував умовні позначення, прийняті в теорії множин, оскільки ми розглядаємо елемент множини в природному середовищі до виникнення теорії множин. Кожна пара літер у дужках позначає окрему величину, що складається з числа, позначеного буквою " n" та одиниці виміру, позначеної буквою " aІндекси біля літер вказують на те, що числа та одиниці виміру – різні. Один елемент множини може складатися з нескінченного числа величин (на скільки у нас і наших нащадків вистачить фантазії). Кожна дужка геометрично зображується окремим відрізком. У прикладі з морським їжаком одна дужка – це одна голка.

Як шамани формують множини з різних елементів? Фактично, за одиницями виміру чи за числами. Нічого не розуміючи в математиці, вони беруть різних морських їжаків і уважно їх розглядають у пошуках тієї єдиної голки, якою вони формують безліч. Якщо така голка є, значить цей елемент належить множині, якщо такої голки немає - це елемент не з цієї множини. Нам же шамани розповідають байки про розумові процеси та єдине ціле.

Як ви вже здогадалися, один і той же елемент може належати до різних множин. Далі я вам покажу, як формуються множини, підмножини та інша шаманська нісенітниця. Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх із реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теоріюмножин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене самий цікаве питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

Таблиця ступенів чисел із 1 до 10. Калькулятор ступенів онлайн. Інтерактивна таблиця та зображення таблиці ступенів у високій якості.

Калькулятор ступенів

Число

Ступінь

\begin(align) \end(align)

За допомогою даного калькулятора ви зможете в режимі он-лайн обчислити ступінь будь-якого натурального числа. Введіть число, ступінь та натисніть кнопку «обчислити».

Таблиця ступенів від 1 до 10

Таблиця ступенів від 1 до 10

Теорія

Степінь числа- Це скорочений запис операції багаторазового множення числа самого на себе. Саме число в даному випадку називається - підставою ступеня, а кількість операцій множення - показником ступеня.

a n = a×a... ×a

запис читається: "a" у ступені "n".

«a» - основа ступеня

"n" - показник ступеня

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Даний вираз читається: 4 в ступені 6 або шостий ступінь числа чотири або звести число чотири в шостий ступінь.

Завантажити таблицю ступенів

• Натисніть на картинку, щоб подивитися у збільшеному вигляді.
• Натисніть на напис "завантажити", щоб зберегти картинку на свій комп'ютер. Зображення буде з високою роздільною здатністюта у високій якості.

Введіть число та ступінь, потім натисніть =.

Таблиця ступенів

Властивості ступеня – 2 частини

Таблиця основних ступенів з алгебри в компактному вигляді (картинка, зручно, щоб роздрукувати), зверху числа, збоку ступеня.

Давайте розглянемо послідовність чисел, перше з яких дорівнює 1, а кожне наступне вдвічі більше: 1, 2, 4, 8, 16, ... Використовуючи показники ступеня, її можна записати в еквівалентному вигляді: 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , ... Називається вона цілком очікувано: послідовність ступенів двійки.Здавалося б, нічого видатного в ній немає - послідовність як послідовність, не краща і не гірша за інших. Тим не менш, вона має дуже примітні властивості.

Безперечно, багато читачів зустрічали її в класичній історії про винахідника шахів, який попросив у правителя в нагороду за першу клітку шахівниці одне пшеничне зерно, за другу - два, за третю - чотири, і так далі, весь час подвоюючи число зерен. Зрозуміло, що сумарна їх кількість дорівнює

S= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

Але оскільки ця сума неймовірно велика і в багато разів перевищує річний урожай зернових по всьому світу, вийшло, що мудрець обдер правителя як липку.

Однак поставимо зараз іншим питанням: як з найменшими витратами праці підрахувати величину S? Власники калькулятора (або, більше того, комп'ютера) цілком можуть за доступний для огляду час виконати перемноження, а потім скласти отримані 64 числа, отримавши відповідь: 18 446 744 073 709 551 615. А оскільки обсяг обчислень чималий, то і ймовірність помилки дуже велика.

Хто хитріший, можуть побачити в цій послідовності геометричну прогресію. Не знайомі ж із цим поняттям (або ті, хто просто забув стандартну формулу суми геометричної прогресії) можуть використовувати такі міркування. Давайте помножимо обидві частини рівності (1) на 2. Так як при подвоєнні ступеня двійки її показник збільшується на 1, то отримаємо

2S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Тепер із (2) віднімемо (1). У лівій частині, зрозуміло, вийде 2 S – S = S. У правій частині відбудеться масове взаємне знищення майже всіх ступенів двійки - від 2 1 до 2 63 включно, і залишиться лише 2 64 – 2 0 = 2 64 – 1. Отже:

S = 2 64 – 1.

Що ж, вираз помітно спростився, і тепер, маючи калькулятор, що дозволяє будувати ступінь, можна знайти значення цієї величини без жодних проблем.

А якщо і калькулятора немає – як бути? Перемножувати в стовпчик 64 двійки? Ще чого не вистачало! Досвідчений інженер або математик-прикладник, для якого головний фактор – час, зумів би швидко оцінитивідповідь, тобто. знайти його приблизно з прийнятною точністю. Як правило, у побуті (та й у більшості природничих наук) цілком допустима похибка в 2-3%, а якщо вона не перевищує 1% - то це просто чудово! Виявляється, підрахувати наші зерна з такою похибкою можна взагалі без калькулятора і лише за кілька хвилин. Як? Зараз побачите.

Отже, треба точніше знайти твір 64 двійок (одиницю в силу її нікчемності відкинемо відразу). Розіб'ємо їх на окрему групу з 4 двійок і ще на 6 груп по 10 двійок. Твір двійок в окремій групі дорівнює 24 = 16. А добуток 10 двійок у кожній з інших груп дорівнює 210 = 1024 (переконайтеся, хто сумнівається!). Але 1024 - близько 1000, тобто. 10 3 . Тому Sмає бути близько до добутку числа 16 на 6 чисел, кожне з яких дорівнює 103, тобто. S ≈ 16 · 10 18 (бо 18 = 3 · 6). Правда, похибка тут все ж таки завелика: адже 6 разів при заміні 1024 на 1000 ми помилялися в 1,024 рази, а всього ми помилилися, як легко бачити, в 1,024 6 разів. Тож тепер – додатково перемножувати 1,024 шість разів саме на себе? Ні, обійдемося! Відомо, що для числа х, що у багато разів менше 1, з високою точністю справедлива наступна наближена формула: (1 + x) n ≈ 1 + xn.

Тому 1,024 6 = (1 + 0,24) 6 ≈ 1 + 0,24 · 6 = 1,144. Тому треба знайдене нами число 16 · 1018 помножити на число 1,144, в результаті чого вийде 18304000000000000000, а це відрізняється від правильної відповіді менш ніж на 1%. Чого ми домагалися!

У даному випадку нам пощастило: один із ступенів двійки (а саме - десятий) виявився дуже близьким до одного зі ступенів десятки (а саме - третього). Це дозволяє нам швидко оцінювати значення будь-якого ступеня двійки, не обов'язково 64-го. Серед ступенів інших чисел таке трапляється нечасто. Наприклад, 5 10 відрізняється від 10 7 також у 1,024 рази, але... у меншу сторону. Втім, це ж поля ягода: оскільки 2 10 ·5 10 = 10 10 , то у скільки разів 2 10 перевершує 10 3 , у стільки ж разів 5 10 менше, ніж 10 7 .

Інша цікава особливість послідовності, що розглядається, полягає в тому, що будь-яке натуральне число можна побудувати з різнихстепенів двійки, причому єдиним способом. Наприклад, для номера поточного року маємо

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Довести ці можливості та єдиність не складає особливої ​​праці. Почнемо з можливості.Нехай нам треба подати у вигляді суми різних ступенів двійки деяке натуральне число N. Спочатку запишемо його у вигляді суми Nодиниць. Так як одиниця - це 20, то спочатку Nє сума однаковихстепенів двійки. Потім почнемо поєднувати їх по парах. Сума двох чисел, рівних 2 0 - це 2 1 , так що в результаті вийде явно меншекількість доданків, рівних 2 1 і, можливо, одне число 2 0 якщо йому не знайшлося пари. Далі попарно об'єднуємо однакові доданки 2 1 отримуючи ще меншу кількість чисел 2 2 (тут теж можлива поява непарного ступеня двійки 2 1). Потім знову об'єднуємо рівні доданки попарно, і так далі. Рано чи пізно процес завершиться, оскільки кількість однакових ступенів двійки після кожного об'єднання зменшується. Коли воно стане рівним 1 – справа закінчена. Залишилося скласти всі непарні ступеня двійки, що вийшло, - і уявлення готове.

Щодо доказу єдиностіуявлення, то тут добре підходить метод «від неприємного». Нехай одне й те саме число Nвдалося уявити у вигляді двохнаборів різних ступенів двійки, які не повністю збігаються (тобто є ступеня двійки, що входять до одного набору, але не входять до іншого, і навпаки). Для початку відкинемо всі збігаються ступені двійки з обох наборів (якщо такі є). Вийдуть два уявлення одного і того ж числа (меншого або рівного N) у вигляді суми різних ступенів двійки, причому всіступеня в уявленнях різні. У кожному з уявлень виділимо найбільшуступінь. З огляду на вище, для двох уявлень ці ступені різні. Те уявлення, для якого цей ступінь більший, назвемо першим, інше - другим. Отже, нехай у першому поданні найбільший ступінь дорівнює 2 m, Тоді в другому вона, очевидно, не перевищує 2 m-1. Але оскільки (і ми з цим вже стикалися вище, підраховуючи зерна на шахівниці) справедлива рівність

2m = (2m –1 + 2m –2 + ... + 2 0) + 1,

то 2 m строго більшесуми всіх ступенів двійки, що не перевищують 2 m-1. Тому вже найбільший ступінь двійки, що входить у першу виставу, напевно більше суми всіхступенів двійки, що входять у другу виставу. Протиріччя!

Фактично ми щойно обґрунтували можливість запису чисел у двійковійсистемі числення. Як відомо, у ній використовуються лише дві цифри – нуль та одиниця, і кожне натуральне число записується у двійковій системі єдиним способом (наприклад, згадане вище 2012 – як 11 111 011 100). Якщо пронумерувати розряди (двійкові цифри) справа наліво, починаючи з нуля, то номери тих розрядів, в яких стоять одиниці, якраз і будуть показниками ступенів двійок, що входять до вистави.

Менш відома наступна властивість безлічі цілих невід'ємних ступенів двійки. Давайте деяким їх довільним чином привласним знак «мінус», т. е. з позитивних зробимо негативними. Єдина вимога - щоб у результаті і позитивних, і негативних чиселвиявилося нескінченну кількість.Наприклад, можна присвоїти знак «мінус» кожного п'ятого ступеня двійки або, припустимо, залишити позитивними лише числа 2 10 , 2 100 , 2 1000 і так далі - варіантів тут скільки завгодно.

Як не дивно, але будь-яке цілечисло можна (і до того єдиним способом) у вигляді суми різних складових нашої «позитивно-отрицательной» послідовності. І довести це не дуже складно (наприклад, індукцією за показниками ступенів двійок). Головна ідеядокази - наявність скільки завгодно великих за абсолютною величиною як позитивних, і негативних доданків. Спробуйте виконати підтвердження самі.

Цікаво поспостерігати за останніми цифрами членів послідовності ступенів двійки. Оскільки кожне наступне число послідовності виходить подвоєнням попереднього, то остання цифра кожного їх повністю визначається останньою цифрою попереднього числа. Оскільки різних цифр обмежена кількість, послідовність останніх цифр ступенів двійки просто зобов'язанабути періодичною! Довжина періоду, звичайно, не перевищує 10 (оскільки саме стільки цифр ми використовуємо), але це дуже підвищене значення. Спробуємо оцінити його, не виписуючи поки що саму послідовність. Ясно, що останні цифри всіх ступенів двійки, починаючи з 2 1 , парні. Крім того, серед них не може бути нуля - тому що число, що закінчується нулем, ділиться на 5, у чому запідозрити ступеня двійки неможливо. Оскільки парних цифр без нуля є лише чотири, те й довжина періоду вбирається у 4.

Перевірка показує, що так і є, причому періодичність проявляється майже відразу: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - у повній відповідності з теорією!

Не менш успішно можна оцінити і довжину періоду останньої пари цифр послідовності ступенів двійки. Оскільки всі ступені двійки, починаючи з 2 2 , діляться на 4, те й числа, утворені їх останніми двома цифрами, діляться на 4. Не більше ніж двоцифрових чисел, що діляться на 4, є всього 25 (для однозначних чиселпередостанньою цифрою вважаємо нуль), але з них треба викинути п'ять чисел, що закінчуються нулем: 00, 20, 40, 60 і 80. Отже період може містити не більше 25 - 5 = 20 чисел. Перевірка показує, що так і є, починається період з числа 22 і містить пари цифр: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72 44, 88, 76, 52, а потім знову 04 і так далі.

Аналогічно можна довести, що довжина періоду останніх mцифр послідовності ступенів двійки вбирається у 4·5 m-1 (Більше того - насправді вона дорівнює 4·5 m-1, Але довести це значно складніше).

Отже, останні цифри ступенів двійки накладено досить жорсткі обмеження. А як щодо першихцифр? Тут ситуація практично протилежна. Виявляється, для будь-якогонабору цифр (перша з яких - не нуль) знайдеться ступінь двійки, що починається з набору цифр. І таких ступенів двійки нескінченно багато!Наприклад, існує нескінченна кількість ступенів двійки, що починаються з цифр 2012 або, скажімо, 3333333333333333333333.

А якщо розглянути тільки одну першу цифру різних ступенів двійки - які значення вона може набувати? Неважко переконатися, що будь-які – від 1 до 9 включно (нуля серед них, звичайно, немає). Але які з них зустрічаються найчастіше, а які рідше? Якось відразу не видно причин, через які одна цифра має зустрічатися частіше за іншу. Однак більш глибокі роздуми показують, що саме рівної кількості цифр очікувати не доводиться. Справді, якщо перша цифра будь-якого ступеня двійки є 5, 6, 7, 8 або 9, то перша цифра наступного за нею ступеня двійки буде обов'язковою. одиницею!Тому повинен мати місце «перекіс» принаймні у бік одиниці. Отже, навряд чи інші цифри будуть «рівнопредставленими».

Практика (а саме – прямий комп'ютерний розрахунок для перших кількох десятків тисяч ступенів двійки) підтверджує наші підозри. Ось яка відносна частка перших цифр ступенів двійки із заокругленням до 4 знаків після коми:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Як бачимо, зі зростанням цифр ця величина зменшується (і тому та сама одиниця приблизно в 6,5 разів частіше буває першою цифрою ступенів двійки, ніж дев'ятка). Як не здасться дивним, але практично таке ж співвідношення кількостей перших цифр матиме місце майже для будь-якої послідовності ступенів – не тільки двійки, але, скажімо, і трійки, п'ятірки, вісімки та взагалі майже будь-якогочисла, зокрема і нецелого (виняток становлять лише деякі «особливі» числа). Причини цього дуже глибокі і непрості, і для їхнього з'ясування треба знати логарифми. Для тих, хто з ними знайомий, відкриємо завісу: виявляється, відносна частка ступенів двійки, десятковий запис яких починається з цифри F(для F= 1, 2, ..., 9), становить lg ( F+ 1) - lg ( F), де lg - так званий десятковий логарифм,рівний показнику ступеня, в який треба звести число 10, щоб отримати число, що стоїть під знаком логарифму.

Використовуючи згаданий вище зв'язок між ступенями двійки та п'ятірки, А. Канель виявив цікаве явище. Давайте із послідовності перших цифр ступенів двійки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) виберемо кілька цифр поспільі запишемо їх у зворотному порядку. Виявляється, ці цифри неодмінно зустрінуться теж поспільпочинаючи з деякого місця, в послідовності перших цифр ступенів п'ятірки.

Ступінь двійки також є своєрідним «генератором» для виробництва широко відомих досконалих чиселякі рівні сумі всіх своїх дільників, за винятком себе самого. Наприклад, у числа 6 чотири дільники: 1, 2, 3 і 6. Відкинемо той, який дорівнює самому числу 6. Залишилося три дільники, сума яких якраз дорівнює 1 + 2 + 3 = 6. Тому 6 - досконале число.

Для отримання досконалого числа візьмемо два послідовні ступені двійки: 2 n-1 і 2 n. Зменшимо велику з них на 1, отримаємо 2 n– 1. Виявляється, якщо це просте число, то, домноживши його на попередній ступінь двійки, ми утворимо досконале число 2 n –1 (2n- 1). Наприклад, при п= 3 отримуємо вихідні числа 4 і 8. Так як 8 - 1 = 7 - просте число, то 4 · 7 = 28 - досконале число. Більше того - свого часу Леонард Ейлер довів, що всі парнідосконалі числа мають саме такий вид. Непарні досконалі числа поки що не виявлені (і мало хто вірить у їхнє існування).

Тісний зв'язок мають ступеня двійки з так званими числами Каталана, Послідовність яких має вигляд 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429 ... Вони часто виникають при вирішенні різних комбінаторних завдань. Наприклад, скільки способів можна розбити опуклий n-кутник на трикутники діагоналі, що не перетинаються? Все той же Ейлер з'ясував, що це значення одно ( n- 1)-му числу Каталана (позначимо його K n-1), і він з'ясував, що K n = K n-1 · (4 n – 6)/n. Послідовність чисел Каталана має безліч цікавих властивостей, і одна з них (саме пов'язана з темою цієї статті) полягає в тому, що порядкові номери всіх непарних чисел Каталана є ступенями двійки!

Ступені двійки нерідко зустрічаються у різних завданнях, причому у умовах, а й у відповідях. Візьмемо, наприклад, популярну колись (та й досі не забуту) Ханойську вежу. Так називалася гра-головоломка, вигадана в XIX столітті французьким математиком Е. Люка. Вона містить три стрижні, на один з яких одягнено nдисків з отвором у середині кожного. Діаметри всіх дисків різні, і вони розташовані в порядку зменшення знизу вгору, тобто найбільший диск - внизу (див. малюнок). Вийшла ніби вежа з дисків.

Потрібно перенести цю вежу на інший стрижень, дотримуючись таких правил: перекладати диски строго по одному (знімаючи верхній диск з будь-якого стрижня) і завжди класти менший диск на більший, але не навпаки. Постає питання: яка найменша кількість ходів для цього знадобиться? (Ходом ми називаємо зняття диска з одного стрижня і надягання його на інший.) Відповідь: воно дорівнює 2 n- 1, що легко доводиться по індукції.

Нехай для nдисків потрібна найменша кількість ходів дорівнює X n. Знайдемо X n+1. У процесі роботи рано чи пізно доведеться знімати найбільший диск зі стрижня, який спочатку були надіті всі диски. Так як цей диск можна надягати тільки на порожній стрижень (інакше він «придавить» менший диск, що заборонено), всі верхні nдисків доведеться заздалегідь перенести на третій стрижень. Для цього потрібно не менше X nходів. Далі переносимо найбільший диск на порожній стрижень – ще один хід. Зрештою, щоб зверху його «притиснути» меншими nдисками, знову знадобиться не менше X nходів. Отже, X n +1 ≥ X n + 1 + X n = 2X n+ 1. З іншого боку, описані вище дії показують, як можна впоратися із завданням саме 2 X n+ 1 ходами. Тому остаточно X n +1 =2X n+ 1. Отримано рекурентне співвідношення, але для того, щоб його привести до «нормального» вигляду, треба ще знайти X 1 . Ну, це простіше простого: X 1 = 1 (менше просто не буває!). Нескладно, ґрунтуючись на цих даних, з'ясувати, що X n = 2n– 1.

Ось ще одне цікаве завдання:

Знайдіть усі натуральні числа, які не можна подати у вигляді суми кількох (не менше двох) послідовних натуральних чисел.

Давайте перевіримо спочатку найменші числа. Зрозуміло, що число 1 у вказаному вигляді непредставне. Зате всі непарні, які більше 1, уявити, звісно, ​​можна. Насправді, будь-яке непарне число, більше 1, можна записати як 2 k + 1 (k- натуральне), що є сумою двох послідовних натуральних чисел: 2 k + 1 = k + (k + 1).

А як справи з парними числами? Легко переконатися, що числа 2 і 4 не можна уявити у необхідному вигляді. Може, й у всіх парних чисел так? На жаль, наступне парне число спростовує наше припущення: 6 = 1 + 2 + 3. Зате число 8 знову не піддається. Щоправда, такі числа знову поступаються натиску: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, тоді як 16 - знову непредставимо.

Що ж, накопичена інформація дозволяє зробити попередні висновки. Зверніть увагу: не вдалося подати у вказаному вигляді тільки ступеня двійки. Чи це правда для інших чисел? Виявляється, так! Справді, розглянемо суму всіх натуральних чисел від mдо nвключно. Оскільки всього їх, за умовою, не менше двох, то n > m. Як відомо, сума послідовних членів арифметичної прогресії(А саме з нею ми маємо справу!) дорівнює добутку напівсуми першого і останнього членів на їх кількість. Напівсума дорівнює ( n + m)/2, а кількість чисел дорівнює n – m+ 1. Тому сума дорівнює ( n + m)(n – m+ 1)/2. Зауважимо, що в чисельнику знаходяться два співмножники, кожен з яких строго більше 1, і при цьому парність їх – різна. Виходить, що сума всіх натуральних чисел від mдо nвключно ділиться на непарне число, більше 1, і тому може бути ступенем двійки. Тож тепер зрозуміло, чому не вдалося уявити ступеня двійки у потрібному вигляді.

Залишилось переконатися, що не ступеня двійкиуявити можна. Щодо непарних чисел, то з ними ми вже розібралися вище. Візьмемо якесь парне число, яке не є ступенем двійки. Нехай найбільший ступінь двійки, на яку воно ділиться, це 2 a (a- Натуральне). Тоді якщо число поділити на 2 a, вийде вже непарнечисло, більше 1, яке ми запишемо у знайомому вигляді - як 2 k+ 1 (k- Теж натуральне). Отже, загалом наше парне число, що не є ступенем двійки, дорівнює 2 a (2k+ 1). А тепер розглянемо два варіанти:

1. 2 a+1 > 2k+ 1. Візьмемо суму 2 k+ 1 послідовних натуральних чисел, середняз яких дорівнює 2 a. Легко бачити, що тоді найменшез них дорівнює 2 a – k, а найбільше дорівнює 2 a + k, причому найменше (і, отже, решта) - позитивне, т. е. справді натуральне. Ну, а сума, очевидно, становить якраз 2 a(2k + 1).
2. 2 a+1 < 2k+ 1. Візьмемо суму 2 a+1 Послідовних натуральних чисел. Тут не можна вказати середнячисло, бо кількість чисел парна, але вказати пару середніхчисел можна: нехай це числа kі k+ 1. Тоді найменшез усіх чисел одно k+ 1 – 2a(і теж позитивне!), а найбільше одно k+ 2a. Сума їх теж дорівнює 2 a(2k + 1).

От і все. Отже, відповідь: непредставні числа - це ступеня двійки, і лише вони.

А ось ще одне завдання (вперше її запропонував В. Свавілов, але в дещо іншому формулюванні):

Садова ділянка оточена суцільним парканом з N дощок. Згідно з наказом тітки Поллі Том Сойєр білить паркан, але за власною системою: просуваючись весь час за годинниковою стрілкою, спочатку білить дошку, потім пропускає одну дошку і білить наступну, потім пропускає дві дошки і білить наступну, потім пропускає три дошки і білить наступну, і так далі, щоразу пропускаючи на одну дошку більше (при цьому деякі дошки можуть бути побілені кілька разів - Тома це не бентежить).

Том вважає, що за такої схеми рано чи пізно всі дошки будуть побілені, а тітка Поллі впевнена, що хоча б одна дошка залишиться непобіленою, скільки б Том не працював. За яких N правий Том, а за яких - тітка Поллі?

Описана система побілки є досить хаотичною, тому спочатку може здатися, що для будь-якого (або майжебудь-якого) Nкожній дошці колись дістанеться своя частка вапна, тобто, здебільшого, Має рацію Том. Але перше враження оманливе, тому що насправді Том правий тільки для значень N, що є ступенями двійки. Для інших Nзнайдеться дошка, яка так і залишиться навіки непобіленою. Доказ цього факту досить громіздкий (хоча, в принципі, нескладний). Пропонуємо читачеві виконати його самому.

Ось які вони – ступеня двійки. На вигляд - простіше простого, а як копнеш... І торкнулися ми тут далеко не всі дивовижні та загадкові властивості цієї послідовності, а лише ті, що кинулися у вічі. Ну, а читачеві надається право самостійно продовжити дослідження у цій галузі. Безперечно, вони виявляться плідними.

Нульова їхня кількість).
І не лише двійки, як було зазначено раніше!
Спраглих подробиць можуть прочитати статтю В. Болтянського «Чи часто ступеня двійки починаються з одиниці?» («Квант» №5 за 1978 р.), а також статтю В. Арнольда «Статистика перших цифр ступенів двійки та переділ світу» («Квант» №1 за 1998 р.).
задачу М1599 із «Задачника «Кванта» («Квант» №6 за 1997 р.).
В даний час відомі 43 досконалих числа, найбільше з яких дорівнює 230402456 (230402457 - 1). Воно містить понад 18 мільйонівцифр.