Теоретична механіка. Основи механіки для чайників
У курсі розглядаються: кінематика точки та твердого тіла (причому з різних точок зору пропонується розглянути проблему орієнтації твердого тіла), класичні завдання динаміки механічних систем та динаміки твердого тіла, елементи небесної механіки, рух систем змінного складу, теорія удару, диференціальні рівняння аналітичної динаміки.
У курсі представлені всі традиційні розділи теоретичної механіки, проте особливу увагу приділено розгляду найбільш змістовних та цінних для теорії та додатків розділів динаміки та методів аналітичної механіки; статика вивчається як розділ динаміки, а розділ кінематики докладно вводяться необхідні розділу динаміки поняття і математичний апарат.
Інформаційні ресурси
Гантмахер Ф.Р. Лекції з аналітичної механіки. - 3-тє вид. - М.: Фізматліт, 2001.
Журавльов В.Ф. Основи теоретичної механіки. - 2-ге вид. - М.: Фізматліт, 2001; 3-тє вид. - М.: Фізматліт, 2008.
Маркєєв А.П. Теоретична механіка. - Москва - Іжевськ: НДЦ «Регулярна та хаотична динаміка», 2007.
Вимоги
Курс розрахований на студентів, які володіють апаратом аналітичної геометрії та лінійної алгебри в обсязі програми першого курсу технічного вузу.
Програма курсу
1. Кінематика точки
1.1. Завдання кінематики. Декартова система координат. Розкладання вектора за ортонормованим базисом. Радіус вектор і координати точки. Швидкість та прискорення точки. Траєкторія руху.
1.2. Природний тригранник. Розкладання швидкості та прискорення в осях природного тригранника (теорема Гюйгенса).
1.3. Криволінійні координати точки, приклади: полярна, циліндрична та сферична системи координат. Складові швидкості та проекції прискорення на осі криволінійної системи координат.
2. Способи завдання орієнтації твердого тіла
2.1. Тверде тіло. Нерухлива та пов'язана з тілом системи координат.
2.2. Ортогональні матриці повороту та їх властивості. Теорема Ейлера про кінцевий поворот.
2.3. Активна та пасивна точки зору на ортогональне перетворення. Складання поворотів.
2.4. Кути кінцевого обертання: кути Ейлера та "літакові" кути. Вираз ортогональної матриці через кути кінцевого обертання.
3. Просторовий рухтвердого тіла
3.1. Поступальний та обертальний рух твердого тіла. Кутова швидкість та кутове прискорення.
3.2. Розподіл швидкостей (формула Ейлера) та прискорень (формула Рівальса) точок твердого тіла.
3.3. Кінематичні інваріанти. Кінематичний гвинт. Миттєва гвинтова вісь.
4. Плоскопаралельний рух
4.1. Концепція плоскопаралельного руху тіла. Кутова швидкість та кутове прискорення у разі плоскопаралельного руху. Миттєвий центр швидкостей.
5. Складний рух крапки та твердого тіла
5.1. Нерухома і система координат, що рухається. Абсолютне, відносне та переносне руху точки.
5.2. Теорема про складання швидкостей при складному русі точки, відносна та переносна швидкості точки. Теорема Коріоліса про складання прискорень при складному русі точки, відносне, переносне та коріолісове прискорення точки.
5.3. Абсолютні, відносні та переносні кутова швидкість та кутове прискорення тіла.
6. Рух твердого тіла з нерухомою точкою (квартирний виклад)
6.1. Поняття про комплексні та гіперкомплексні числа. Алгебра кватерніонів. Квартирний твір. Сполучений та зворотний кватерніон, норма та модуль.
6.2. Тригонометричне уявлення одиничного кватерніону. Кватерніонний спосіб завдання повороту тіла. Теорема Ейлера про кінцевий поворот.
6.3. Зв'язок між компонентами кватерніону у різних базисах. Складання поворотів. Параметри Родріга-Гамільтона.
7. Екзаменаційна робота
8. Основні поняття динаміки.
8.1 Імпульс, момент імпульсу (кінетичний момент), кінетична енергія.
8.2 Потужність сил, робота сил, потенційна та повна енергія.
8.3 Центр мас (центр інерції) системи. Момент інерції системи щодо осі.
8.4 Моменти інерції щодо паралельних осей; теорема Гюйгенса-Штейнера.
8.5 Тензор та еліпсоїд інерції. Основні осі інерції. Властивості осьових моментів інерції.
8.6 Обчислення моменту імпульсу та кінетичної енергії тіла за допомогою тензора інерції.
9. Основні теореми динаміки в інерційних та неінерційних системах відліку.
9.1 Теорема про зміну імпульсу системи в інерційній системі відліку. Теорема про рух центру мас.
9.2 Теорема про зміну моменту імпульсу системи в інерційній системі відліку.
9.3 Теорема про зміну кінетичної енергії системи в інерційній системі відліку.
9.4 Потенційні, гіроскопічні та дисипативні сили.
9.5 Основні теореми динаміки у неінерційних системах відліку.
10. Рух твердого тіла з нерухомою точкою за інерцією.
10.1 Динамічні рівняння Ейлер.
10.2 Випадок Ейлера, перші інтеграли динамічних рівнянь; перманентні обертання.
10.3 Інтерпретації Пуансо та Маккулага.
10.4 Регулярна прецесія у разі динамічної симетрії тіла.
11. Рух важкого твердого тіла з нерухомою точкою.
11.1. Загальна постановка задачі про рух важкого твердого тіла навколо.
нерухомої точки. Динамічні рівняння Ейлера та його перші інтеграли.
11.2. Якісний аналіз руху твердого тіла у разі Лагранжа.
11.3 Вимушена регулярна прецесія динамічно симетричного твердого тіла.
11.4. Основна формула гіроскопії.
11.5 Поняття про елементарну теорію гіроскопів.
12. Динаміка точки у центральному полі.
12.1 Рівняння Біне.
12.2 Рівняння орбіти. Закони Кеплера.
12.3 Завдання розсіювання.
12.4 Завдання двох тел. Рівняння руху. Інтеграл площ, інтеграл енергії, інтеграл Лапласа.
13. Динаміка систем змінного складу.
13.1 Основні поняття та теореми про зміну основних динамічних величин у системах змінного складу.
13.2 Рух матеріальної точкизмінної маси.
13.3. Рівняння руху тіла змінного складу.
14. Теорія імпульсивних рухів.
14.1 Основні поняття та аксіоми теорії імпульсивних рухів.
14.2 Теореми про зміну основних динамічних величин під час імпульсного руху.
14.3 Імпульсивний рух твердого тіла.
14.4 Зіткнення двох твердих тіл.
14.5 Теореми Карно.
Результати навчання
В результаті освоєння дисципліни учень повинен:
- Знати:
- основні поняття та теореми механіки та витікаючі з них методи вивчення руху механічних систем;
- Вміти:
- коректно формулювати завдання у термінах теоретичної механіки;
- розробляти механіко-математичні моделі, що адекватно відображають основні властивості розглянутих явищ;
- застосовувати отримані знання на вирішення відповідних конкретних завдань;
- Володіти:
- навичками вирішення класичних завдань теоретичної механіки та математики;
- навичками дослідження завдань механіки та побудови механіко-математичних моделей, що адекватно описують різноманітні механічні явища;
- навичками практичного використання методів та принципів теоретичної механіки при вирішенні завдань: силового розрахунку, визначення кінематичних характеристик тіл при різних способахзавдання руху, визначення закону руху матеріальних тіл та механічних систем під дією сил;
- навичками самостійно опановувати нову інформацію в процесі виробничої та наукової діяльності, використовуючи сучасні освітні та інформаційні технології;
Загальні теореми динаміки системи тел. Теореми про рух центру мас, про зміну кількості руху, про зміну головного моменту кількості руху, про зміну кінетичної енергії. Принципи Даламбера та можливих переміщень. Загальне рівняннядинаміки. Рівняння Лагранжа.
ЗмістРобота, яку здійснює сила, дорівнює скалярному добутку векторів сили і нескінченно малому переміщенню точки її застосування:
,
тобто добутку модулів векторів F і ds на косинус кута між ними.
Робота, яку здійснює момент сил, дорівнює скалярному добутку векторів моменту і нескінченно малого кута повороту:
.
Принцип Даламбера
Суть принципу Даламбер полягає в тому, щоб завдання динаміки звести до завдань статики. Для цього припускають (або це наперед відомо), що тіла системи мають певні (кутові) прискорення. Далі вводять сили інерції та (або) моменти сил інерції, які рівні за величиною і обернені за напрямом сил і моментів сил, які за законами механіки створювали задані прискорення або кутові прискорення
Розглянемо приклад. Шлях тіло здійснює поступальний рух і на нього діють зовнішні сили. Далі ми припускаємо, що це сили створюють прискорення центру мас системи . По теоремі про рух центру мас, центр мас тіла мав би таке ж прискорення, якби тіло діяла сила . Далі ми запроваджуємо силу інерції:
.
Після цього завдання динаміки:
.
;
.
Для обертального руху надходять аналогічним чином. Нехай тіло обертається навколо осі z і на нього діють зовнішні моменти сил M e zk. Ми припускаємо, що ці моменти створюють кутове прискорення z . Далі ми вводимо момент сил інерції M І = - J z z . Після цього завдання динаміки:
.
Перетворюється на завдання статики:
;
.
Принцип можливих переміщень
Принцип можливих переміщень застосовується на вирішення завдань статики. У деяких завданнях він дає більш коротке рішення, ніж складання рівнянь рівноваги. Особливо це стосується систем зі зв'язками (наприклад, системи тіл, з'єднані нитками та блоками), що складаються з безлічі тіл
Принцип можливих переміщень.
Для рівноваги механічної системиз ідеальними зв'язкаминеобхідно і достатньо, щоб сума елементарних робітвсіх активних сил, що діють на неї, при будь-якому можливому переміщенні системи дорівнювала нулю.
Можливе переміщення системи- це мале переміщення, у якому не порушуються зв'язку, накладені систему.
Ідеальні зв'язки- це зв'язки, які виконують роботи під час переміщення системи. Точніше, сума робіт, що здійснюється самими зв'язками при переміщенні системи дорівнює нулю.
Загальне рівняння динаміки (принцип Даламбера – Лагранжа)
Принцип Даламбера - Лагранжа - це об'єднання принципу Даламбера з принципом можливих переміщень. Тобто, при розв'язанні задачі динаміки, ми вводимо сили інерції та зводимо завдання до завдання статики, яке вирішуємо за допомогою принципу можливих переміщень.
Принцип Даламбера – Лагранжа.
Під час руху механічної системи з ідеальними зв'язками в кожний момент часу сума елементарних робіт усіх доданих активних сил і всіх сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю:
.
Це рівняння називають загальним рівнянням динаміки.
Рівняння Лагранжа
Узагальнені координати q 1 , q 2 , ..., q n - це сукупність n величин, що однозначно визначають положення системи.
Число узагальнених координат n збігається з числом ступенів свободи системи.
Узагальнені швидкості- це похідні від узагальнених координат за часом t.
Узагальнені сили Q 1 , Q 2 , ..., Q n
.
Розглянемо можливе переміщення системи, у якому координата q k отримає переміщення δq k . Інші координати залишаються незмінними. Нехай δA k - це робота, що здійснюється зовнішніми силами при такому переміщенні. Тоді
δA k = Q k δq k , або
.
Якщо при можливому переміщенні системи змінюються всі координати, то робота, що здійснюється зовнішніми силами при такому переміщенні, має вигляд:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Тоді узагальнені сили є приватними похідними від переміщень:
.
Для потенційних сил
з потенціалом Π ,
.
Рівняння Лагранжа- це рівняння руху механічної системи в узагальнених координатах:
Тут T – кінетична енергія. Вона є функцією від узагальнених координат, швидкостей та, можливо, часу. Тому її приватна похідна також є функцією від узагальнених координат, швидкостей та часу. Далі необхідно враховувати, що координати та швидкості є функціями від часу. Тому для знаходження повної похідної за часом слід застосувати правило диференціювання складної функції:
.
Використана література:
С. М. Тарг, Короткий курс теоретичної механіки, вища школа», 2010.
Кінематика
Кінематика матеріальної точки
Визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями її руху
Дано: Рівняння руху точки: x = 12 sin(πt/6), см; y = 6 cos 2 (πt/6), Див.
Встановити вид її траєкторії та для моменту часу t = 1 сзнайти положення точки на траєкторії, її швидкість, повне, дотичне та нормальне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії.
Поступальний та обертальний рух твердого тіла
Дано:
t = 2; r 1 = 2 см, R 1 = 4 см; r 2 = 6 см, R 2 = 8 см; r 3 = 12 см, R 3 = 16 см; s 5 = t 3 – 6t (см).
Визначити у час t = 2 швидкості точок A, C; кутове прискорення колеса 3; прискорення точки B та прискорення рейки 4.
Кінематичний аналіз плоского механізму
Дано:
R 1 , R 2 , L, AB, ω 1 .
Знайти: ω 2 .
Плоский механізм складається з стрижнів 1, 2, 3, 4 та повзуна E. Стрижні з'єднані за допомогою циліндричних шарнірів. Точка D розташована у середині стрижня AB.
Дано: ω 1 , ε 1 .
Знайти: швидкості V A , V B , V D і V E; кутові швидкості 2, 3 і 4; прискорення a B; кутове прискорення ε AB ланки AB; положення миттєвих центрів швидкостей P 2 і P 3 ланок 2 та 3 механізму.
Визначення абсолютної швидкості та абсолютного прискорення точки
Прямокутна пластина обертається навколо нерухомої осі згідно із законом φ = 6 t 2 - 3 t 3. Позитивний напрямок відліку кута показано на малюнках дуговою стрілкою. Вісь обертання OO 1 лежить у площині пластини (пластина обертається у просторі).
По пластині вздовж прямої BD рухається точка M. Встановлено закон її відносного руху, тобто залежність s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s – у сантиметрах, t – у секундах). Відстань b = 20 см. На малюнку точка M показана у положенні, у якому s = AM > 0 (при s< 0 точка M знаходиться з іншого боку від точки A).
Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки M у момент часу t 1 = 1 с.
Динаміка
Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, що під дією змінних сил
Вантаж D масою m, отримавши в точці A початкову швидкість V 0 рухається в вигнутій трубі ABC, розташованої у вертикальній площині. На ділянці AB, довжина якого l, на вантаж діє постійна сила T(її напрямок показано на малюнку) і сила R опору середовища (модуль цієї сили R = μV 2 вектор R направлений протилежно швидкості V вантажу).
Вантаж, закінчивши рух ділянці AB, у точці B труби, не змінюючи значення модуля своєї швидкості, перетворюється на ділянку BC. На ділянці BC на вантаж діє змінна сила F, проекція F x якої вісь x задана.
Вважаючи вантаж матеріальною точкою, визначити закон його руху дільниці BC, тобто. x = f(t) де x = BD. Тертям вантажу об трубу знехтувати.
Завантажити розв'язання задачі
Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи
Механічна система складається з вантажів 1 і 2, циліндричного котка 3, двоступінчастих шківів 4 і 5. Тіла системи з'єднані нитками, намотаними на шківи; ділянки ниток паралельні відповідним площинам. Ковзанка (суцільний однорідний циліндр) котиться по опорній площині без ковзання. Радіуси ступенів шківів 4 і 5 рівні відповідно R 4 = 0,3 м, r 4 = 0,1 м, R 5 = 0,2 м, r 5 = 0,1 м. Масу кожного шківа вважати рівномірно розподіленою за його зовнішнім обідом . Опорні площини вантажів 1 і 2 шорсткі, коефіцієнт тертя ковзання кожного вантажу f = 0.1.
Під дією сили F, модуль якої змінюється за законом F = F(s), де s - переміщення точки її застосування, система починає рухатися зі стану спокою. При русі системи на шків 5 діють сили опору, момент яких щодо осі обертання постійний і дорівнює M 5 .
Визначити значення кутової швидкості шківа 4 у той час, коли переміщення s точки докладання сили F дорівнюватиме s 1 = 1,2 м. 
Завантажити розв'язання задачі
Застосування загального рівняння динаміки до дослідження руху механічної системи
Для механічної системи визначити лінійне прискорення a1. Вважати, що з блоків і котків маси розподілені по зовнішньому радіусу. Троси та ремені вважати невагомими та нерозтяжними; прослизання відсутнє. Тертям кочення і тертям ковзання знехтувати. 
Завантажити розв'язання задачі
Застосування принципу Даламбера до визначення реакцій опор тіла, що обертається
Вертикальний вал AK, що обертається рівномірно з кутовою швидкістю ω = 10 -1 , закріплений підп'ятником в точці A і циліндричним підшипником в точці D.
До валу жорстко прикріплено невагомий стрижень 1 довжиною l 1 = 0,3 м, на вільному кінці якого розташований вантаж масою m 1 = 4 кг, і однорідний стрижень 2 довжиною l 2 = 0,6 м, що має масу m 2 = 8 кг. Обидва стрижні лежать в одній вертикальній площині. Точки прикріплення стрижнів до валу, а також кути α та β вказані у таблиці. Розміри AB = BD = DE = EK = b, де b = 0,4 м. Вантаж прийняти за матеріальну точку.
Нехтуючи масою валу, визначити реакції підп'ятника та підшипника.
Під станом рівноваги, у статиці, розуміється стан, у якому всі частини механічної системи спочивають щодо деякої інерційної системи координат. Одним із базових об'єктів статики є сили та точки їх застосування.
Сила, що діє на матеріальну точку з радіус-вектором з боку інших точок - це міра впливу інших точок на точку, що розглядається, в результаті якої вона отримує прискорення щодо інерційної системи відліку. Величина силивизначається за такою формулою:
,
де m – маса точки – величина, яка залежить від властивостей самої точки. Ця формула називається другим законом Ньютона.
Застосування статики в динаміці
Важливою особливістю рівнянь руху абсолютно твердого тіла є те, що сили можна перетворювати на еквівалентні системи. За такого перетворення рівняння руху зберігають свій вигляд, але систему сил, що діє тіло можна перетворити на простішу систему. Так, точку застосування сили можна переміщати вздовж лінії її дії; сили можна розкладати за правилом паралелограма; сили, прикладені в одній точці, можна замінювати їх геометричною сумою.
Приклад таких перетворень є сила тяжіння. Вона діє всі точки твердого тіла. Але закон руху тіла не зміниться, якщо розподілену по всіх точках силу тяжіння замінити одним вектором, прикладеним у центрі мас тіла.
Виявляється, якщо ми до основної системи сил, що діють на тіло, додамо еквівалентну систему, в якій напрями сил змінені на протилежні, то тіло, під дією цих систем, перебуватиме в рівновазі. Таким чином, завдання визначення еквівалентних систем сил зводиться до завдання на рівновагу, тобто до завдання статики.
Основним завданням статикиє встановлення законів перетворення системи сил на еквівалентні системи. Отже, методи статики застосовуються як щодо тіл, що у рівновазі, а й у динаміці твердого тіла, під час перетворення сил на простіші еквівалентні системи.
Статика матеріальної точки
Розглянемо матеріальну точку, що у рівновазі. І нехай на неї діють n сил, k = 1, 2, ..., n.
Якщо матеріальна точка знаходиться в рівновазі, то векторна сума сил, що діють на неї, дорівнює нулю:
(1)
.
У рівновазі геометрична сумасил, які діють точку, дорівнює нулю.
Геометрична інтерпретація. Якщо кінець першого вектора помістити початок другого вектора , а кінець другого вектора помістити початок третього , і далі продовжувати цей процес, то кінець останнього, n -го вектора виявиться суміщеним з початком першого вектора. Тобто ми отримаємо замкнуту геометричну фігуру, довжини сторін якої дорівнюють модулям векторів. Якщо всі вектори лежать у одній площині, ми отримаємо замкнутий багатокутник.
Часто буває зручним вибрати прямокутну систему координат Oxyz. Тоді суми проекцій всіх векторів сил на осі координат дорівнюють нулю:
Якщо вибрати будь-який напрямок, який задається деяким вектором , то сума проекцій векторів сил на цей напрямок дорівнює нулю:
.
Помножимо рівняння (1) скалярно на вектор:
.
Тут - скалярний твір векторів та .
Зауважимо, що проекція вектора на напрямок вектора визначається за формулою:
.
Статика твердого тіла
Момент сили щодо точки
Визначення моменту сили
Моментом сили, прикладеної до тіла в точці A відносно нерухомого центру O називається вектор , рівний векторному добутку векторів і :(2) .
Геометрична інтерпретація
Момент сили дорівнює добутку сили F на плече OH.
Нехай векторів і розташовані в площині малюнку. Відповідно до властивості векторного твору, вектор перпендикулярний векторам і , тобто перпендикулярний площині малюнка. Його напрямок визначається правилом правого гвинта. На малюнку вектор моменту спрямовано нас. Абсолютне значення моменту:
.
Оскільки , то
(3)
.
Використовуючи геометрію, можна дати іншу інтерпретацію моменту сили. Для цього проведемо пряму AH через вектор сили. З центу O опустимо перпендикуляр OH на цю пряму. Довжину цього перпендикуляра називають плечем сили. Тоді
(4)
.
Оскільки формули (3) і (4) еквівалентні.
Таким чином, абсолютне значення моменту силищодо центру O дорівнює добутку сили на плечецієї сили щодо обраного центру O .
При обчисленні моменту часто буває зручним розкласти чинність на дві складові:
,
де. Сила проходить через точку O. Тому її момент дорівнює нулю. Тоді
.
Абсолютне значення моменту:
.
Компоненти моменту у прямокутній системі координат
Якщо вибрати прямокутну систему координат Oxyz із центром у точці O , то момент сили матиме наступні компоненти:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
.
Тут - координати точки A у вибраній системі координат:
.
Компоненти є значення моменту сили щодо осей , відповідно.
Властивості моменту сили щодо центру
Момент щодо центру O від сили, що проходить через цей центр, дорівнює нулю.
Якщо точку застосування сили перемістити вздовж лінії, що проходить через вектор сили, то момент, за такого переміщення, не зміниться.
Момент від векторної суми сил, прикладених до однієї точки тіла, дорівнює векторній сумі моментів від кожної з сил, прикладених до цієї точки.
.
Те саме стосується і сил, чиї лінії продовження перетинаються в одній точці.
Якщо векторна сума сил дорівнює нулю:
,
то сума моментів цих сил залежить від становища центру, щодо якого обчислюються моменты:
.
Пара сил
Пара сил- це дві сили, рівні за абсолютною величиною та мають протилежні напрямки, прикладені до різних точок тіла.
Пара сил характеризується моментом, що вони створюють. Оскільки векторна сума сил, що входять у пару дорівнює нулю, то момент, що створюється парою, не залежить від точки, щодо якої обчислюється момент. З погляду статичного рівноваги, природа сил, які входять у пару, немає значення. Пару сил використовують для того, щоб вказати, що на тіло діє момент сил, що має певне значення.
Момент сили щодо заданої осі
Часто трапляються випадки, коли нам не потрібно знати всі компоненти моменту сили щодо обраної точки, а потрібно знати лише момент сили щодо вибраної осі.
Моментом сили щодо осі, що проходить через точку O - це проекція вектора моменту сили щодо точки O на напрям осі.
Властивості моменту сили щодо осі
Момент щодо осі від сили, що проходить через цю вісь, дорівнює нулю.
Момент щодо осі від сили, паралельної до цієї осі дорівнює нулю.
Обчислення моменту сили щодо осі
Нехай тіло, у точці A діє сила . Знайдемо момент цієї сили щодо осі O'O'.
Побудуємо прямокутну систему координат. Нехай вісь Oz збігається з O′O′′. З точки A опустимо перпендикуляр OH на O O . Через точки O і A проводимо вісь Ox. Перпендикулярно Ox і Oz проводимо вісь Oy. Розкладемо силу на складові вздовж осей системи координат:
.
Сила перетинає вісь O'O'. Тому її момент дорівнює нулю. Сила паралельна осі O'O'. Тому її момент також дорівнює нулю. За формулою (5.3) знаходимо:
.
Зауважимо, що компонента спрямована щодо до кола, центром якого є точка O . Напрямок вектора визначається правилом правого гвинта.
Умови рівноваги твердого тіла
У рівновазі векторна сума всіх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю і векторна сума моментів цих сил щодо довільного нерухомого центру дорівнює нулю:
(6.1)
;
(6.2)
.
Підкреслимо, що центр O , щодо якого обчислюються моменти сил, можна вибирати довільним чином. Точка O може як належати тілу, так і знаходиться за його межами. Зазвичай центр O вибирають те щоб зробити обчислення простішими.
Умови рівноваги можна сформулювати іншим способом.
У рівновазі сума проекцій сил на будь-який напрямок, що задається довільним вектором, дорівнює нулю:
.
Також дорівнює нулю сума моментів сил щодо довільної осі O'O':
.
Іноді такі умови виявляються зручнішими. Бувають випадки, коли за рахунок вибору осей можна зробити обчислення більш простими.
Центр тяжкості тіла
Розглянемо одну з найважливіших сил – силу тяжіння. Тут сили не прикладені у певних точках тіла, а безперервно розподілені за його обсягом. На кожну ділянку тіла з нескінченно малим об'ємом Δ Vдіє сила тяжіння. Тут - щільність речовини тіла, - прискорення вільного падіння.
Нехай – маса нескінченно малої ділянки тіла. І нехай точка Ak визначає положення цієї ділянки. Знайдемо величини, що належать до сили тяжіння, що входять до рівняння рівноваги (6).
Знайдемо суму сил тяжіння, утворену всіма ділянками тіла:
,
де – маса тіла. Таким чином, суму сил тяжіння окремих нескінченно малих ділянок тіла можна замінити одним вектором сили тяжіння всього тіла:
.
Знайдемо суму моментів сил тяжіння відносно довільним способом обраного центру O :
.
Тут ми ввели точку C, яка називається центром тяжіннятіла. Положення центру тяжкості, в системі координат з центром у точці O визначається за формулою:
(7)
.
Отже, щодо статичного рівноваги, суму сил тяжкості окремих ділянок тіла можна замінити равнодействующей
,
прикладеної до центру мас тіла C, положення якого визначається формулою (7).
Положення центру тяжкості для різних геометричних фігурможна знайти у відповідних довідниках. Якщо тіло має вісь чи площину симетрії, то центр ваги розташований на цій осі чи площині. Так, центри тяжкості сфери, кола чи кола перебувають у центрах кіл цих постатей. Центри тяжкості прямокутного паралелепіпеда, Прямокутник або квадрат також розташовані в їх центрах - в точках перетину діагоналей.
Поступово (А) і лінійно (Б) розподілене навантаження.
Також трапляються подібні тяжкості випадки, коли сили не прикладені в певних точках тіла, а безперервно розподілені по його поверхні або об'єму. Такі сили називають розподіленими силамиабо .
(Малюнок А). Також, як і у випадку з силою тяжкості, її можна замінити рівнодією силою величини, прикладеної в центрі тяжкості епюри. Оскільки на малюнку А епюра є прямокутником, то центр тяжкості епюри знаходиться в її центрі - точці C : | AC| = | CB|. (Малюнок В). Її також можна замінити рівнодією. Величина рівнодіючої дорівнює площі епюри:.
Точка програми знаходиться в центрі тяжкості епюри. Центр тяжкості трикутника, висотою h знаходиться на відстані від основи. Тому.
Сили тертя
Тертя ковзання. Нехай тіло знаходиться на плоскій поверхні. І нехай – сила, перпендикулярна поверхні, з якою поверхня діє на тіло (сила тиску). Тоді сила тертя ковзання паралельна поверхні і спрямована убік, перешкоджаючи руху тіла. Її найбільша величина дорівнює:
,
де f – коефіцієнт тертя. Коефіцієнт тертя є безрозмірною величиною.
Тертя кочення. Нехай тіло округлої форми котиться або може котитися поверхнею. І нехай - сила тиску, перпендикулярна поверхні, з якою поверхня діє тіло. Тоді на тіло, у точці зіткнення з поверхнею, діє момент сил тертя, що перешкоджає руху тіла. Найбільша величинамоменту тертя дорівнює:
,
де - коефіцієнт тертя кочення. Він має розмірність довжини.
Використана література:
С. М. Тарг, Короткий курс теоретичної механіки, "Вища школа", 2010.
20-те вид. – К.: 2010. – 416 с.
У книзі викладено основи механіки матеріальної точки, системи матеріальних точок та твердого тіла в обсязі, що відповідає програмам технічних вузів. Наведено багато прикладів та завдань, вирішення яких супроводжуються відповідними методичними вказівками. Для студентів очних та заочних технічних вузів.
Формат: pdf
Розмір: 14 Мб
Дивитись, скачати: drive.google
ЗМІСТ
Передмова до тринадцятого видання 3
Вступ 5
РОЗДІЛ ПЕРШИЙ СТАТИКА ТВЕРДОГО ТІЛА
Глава I. Основні поняття вихідних положень статей 9
41. Абсолютно тверде тіло; сила. Завдання статики 9
12. Вихідні положення статики
$ 3. Зв'язки та їх реакції 15
Розділ II. Складання сил. Система схожих сил 18
§4. Геометрично! Спосіб складання сил. Рівнодійна сила, що сходяться, розкладання сил 18
f 5. Проекції сили на вісь та на площину, Аналітичний спосіб завдання та складання сил 20
16. Рівновага системи сил, що сходяться. . . 23
17. Розв'язання задач статики. 25
Розділ III. Момент сили щодо центру. Пара сил 31
i 8. Момент сили щодо центру (або точки) 31
| 9. Пара сил. Момент пари 33
f 10*. Теореми про еквівалентність та складання пар 35
Розділ IV. Приведення системи сил до центру. Умови рівноваги... 37
f 11. Теорема про паралельне перенесення сили 37
112. Приведення системи зусиль до цього центру - . , 38
§ 13. Умови рівноваги системи сил. Теорема про момент, що дорівнює 40
Глава V. Плоска система сил 41
§ 14. Алгебраїчні моменти сили та пари 41
115. Приведення плоскої системи сил до найпростішого вигляду. 44
§ 16. Рівновага плоскої системи сил. Випадок паралельних сил. 46
§ 17. Розв'язання задач 48
118. Рівновість систем тел 63
§ 19 *. Статично визначальні н статично невизначені системи тіл (конструкції) 56"
f 20*. Визначення внутрішніх зусиль. 57
§ 21*. Розподілені сили 58
Е22 *. Розрахунок плоских ферм 61
Розділ VI. Тертя 64
! 23. Закони тертя ковзання 64
: 24. Реакції шорстких зв'язків. Кут тертя 66
: 25. Рівновага при наявності тертя 66
(26*. Тертя нитки про циліндричну поверхню 69
1 27*. Тертя кочення 71
Розділ VII. Просторова система сил 72
§28. Момент сили щодо осі. Обчислення головного вектора
та головного моменту системи сил 72
§ 29 *. Приведення просторової системи сил до найпростішого вигляду 77
§30. Рівновага довільної просторової системи сил. Випадок паралельних сил
Розділ VIII. Центр тяжіння 86
§31. Центр паралельних сил 86
§ 32. Силове поле. Центр важкості твердого тіла 88
§ 33. Координати центрів тяжкості однорідних тіл 89
§ 34. Способи визначення координат центрів тяжкості тел. 90
§ 35. Центри тяжкості деяких однорідних тіл 93
РОЗДІЛ ДРУГИЙ КІНЕМАТИКА ТОЧКИ І ТВЕРДОГО ТІЛА
Розділ IX. Кінематика точки 95
§ 36. Введення в кінематику 95
§ 37. Способи завдання руху точки. . 96
§38. Вектор швидкість точки. 99
§ 39. Вектор "Ткоріння точки 100
§40. Визначення швидкості та прискорення точки при координатному способі завдання руху 102
§41. Розв'язання задач кінематики точки 103
§ 42. Осі природного тригранника. Числове значення швидкості 107
§ 43. Дотичне та нормальне прискорення точки 108
§44. Деякі окремі випадки руху точки ПЗ
§45. Графіки руху, швидкості та прискорення точки 112
§ 46. Розв'язання задач< 114
§47*. Швидкість та прискорення точки в полярних координатах 116
Глава X. Поступальний та обертальний рух твердого тіла. . 117
§48. Поступальний рух 117
§ 49. Обертальний рухтвердого тіла навколо осі. Кутова швидкість та кутове прискорення 119
§50. Рівномірне та рівнозмінне обертання 121
§51. Швидкості та прискорення точок тіла, що обертається 122
Розділ XI. Плоскопаралельний рух твердого тіла 127
§52. Рівняння плоскопаралельного руху (рухи плоскої фігури). Розкладання руху на поступальне та обертальне 127
§53*. Визначення траєкторій точок плоскої фігури 129
§54. Визначення швидкостей точок плоскої фігури 130
§ 55. Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла 131
§ 56. Визначення швидкостей точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центру швидкостей. Поняття про центроїди 132
§57. Розв'язання задач 136
§58*. Визначення прискорень точок плоскої фігури 140
§59*. Миттєвий центр прискорень "*«*
Розділ XII*. Рух твердого тіла навколо нерухомої точки та рух вільного твердого тіла 147
§ 60. Рух твердого тіла, що має одну нерухому точку. 147
§61. Кінематичні рівняння Ейлера 149
§62. Швидкості та прискорення точок тіла 150
§ 63. Загальний випадок руху вільного твердого тіла 153
Розділ XIII. Складний рух точки 155
§ 64. Відносний, переносний та абсолютний рух 155
§ 65, Теорема про складання швидкостей » 156
§66. Теорема про складання прискорень (теорема Коріолнса) 160
§67. Розв'язання задач 16*
Розділ XIV. Складне рух твердого тіла 169
§68. Складання поступальних рухів 169
§69. Складання обертань навколо двох паралельних осей 169
§70. Циліндричні зубчасті передачі 172
§ 71. Складання обертань навколо осей, що перетинаються 174
§72. Складання поступального та обертального рухів. Гвинтовий рух 176
РОЗДІЛ ТРЕТІЙ ДИНАМІКА ТОЧКИ
Глава XV: Введення у динаміку. Закони динаміки 180
§ 73. Основні поняття та визначення 180
§ 74. Закони динаміки. Завдання динаміки матеріальної точки 181
§ 75. Системи одиниць 183
§76. Основні види сил 184
Розділ XVI. Диференційне рівнянняруху точки. Розв'язання задач динаміки точки 186
§ 77. Диференціальні рівняння, рухи матеріальної точки №6
§ 78. Розв'язання першого завдання динаміки (визначення сил за заданим рухом) 187
§ 79. Розв'язання основного завдання динаміки при прямолінійному русіточки 189
§ 80. Приклади розв'язання задач 191
§81*. Падіння тіла в опірному середовищі (у повітрі) 196
§82. Розв'язання основного завдання динаміки, при криволінійному русі точки 197
Розділ XVII. Загальні теореми динаміки точки 201
§83. Кількість руху точки. Імпульс сили 201
§ S4. Теорема про зміну кількості руху точки 202
§ 85. Теорема про зміну моменту кількості руху точки (теорема моментів)" 204
§86*. Рух під впливом центральної сили. Закон площ.. 266
§ 8-7. Робота сил. Потужність 208
§88. Приклади обчислення роботи 210
§89. Теорема про зміну кінетичної енергії точки. ". . . 213J
Розділ XVIII. Невільний і відносний рух точки 219
§90. Невільний рух точки. 219
§91. Відносний рух точки 223
§ 92. Вплив обертання Землі на рівновагу і рух тіл... 227
§ 93*. Відхилення краплі від вертикалі внаслідок обертання Землі " 230
Розділ XIX. Прямолінійні коливання крапки. . . 232
§ 94. Вільні коливання без урахування сил опору 232
§ 95. Вільні коливання при в'язкому опорі (загасні коливання) 238
§96. Вимушені коливання. Резонаяс 241
Розділ XX*. Рух тіла у полі земного тяжіння 250
§ 97. Рух кинутого тіла на полі тяжіння Землі " 250
§98. Штучні супутникиЗемлі. Еліптичні траєкторії. 254
§ 99. Поняття про невагомість. "Місцеві системи відліку 257
РОЗДІЛ ЧЕТВЕРТИЙ ДИНАМІКА СИСТЕМИ І ТВЕРДОГО ТІЛА
Г я а в а XXI. Введення у динаміку системи. Моменти інерції. 263
§ 100. Механічна система. Сили зовнішні внутрішні 263
§ 101. Маса системи. Центр мас 264
§ 102. Момент інерції тіла щодо осі. Радіус інерції. . 265
$ 103. Моменти інерції тіла щодо паралельних осей. Теорема Гюйгенса 268
§ 104*. Відцентрові моменти інерції. Поняття про головні осі інерції тіла 269
$ 105 *. Момент інерції тіла щодо довільної осі. 271
Розділ XXII. Теорема про рух центру мас системи 273
$ 106. Диференціальні рівняння руху системи 273
§ 107. Теорема про рух центру мас 274
$ 108. Закон збереження руху центру мас 276
§ 109. Розв'язання задач 277
Розділ XXIII. Теорема про зміну кількості рухомої системи. . 280
$ АЛЕ. Кількість руху системи 280
§111. Теорема про зміну кількості руху 281
§ 112. Закон збереження кількості руху 282
$ 113 *. Додаток теореми до руху рідини (газу) 284
§ 114 *. Тіло змінної маси. Рух ракети 287
Гдава XXIV. Теорема про зміну моменту кількостей руху системи 290
§ 115. Головний момент кількостей руху системи 290
$ 116. Теорема про зміну головного моменту кількостей руху системи (теорема моментів) 292
$117. Закон збереження основного моменту кількостей руху. . 294
$ 118. Розв'язання задач 295
$ 119 *. Додаток теореми моментів до руху рідини (газу) 298
§ 120. Умови рівноваги механічної системи 300
Розділ XXV. Теорема про зміну кінетичної енергії системи. . 301.
§ 121. Кінетична енергія системи 301
$122. Деякі випадки обчислення роботи 305
$ 123. Теорема про зміну кінетичної енергії системи 307
$ 124. Розв'язання задач 310
$ 125 *. Змішані завдання "314
$ 126. Потенційне силове поле та силова функція 317
$127, Потенційна енергія. Закон збереження механічної енергії 320
Розділ XXVI. "Додаток загальних теорем до динаміки твердого тіла 323
$ 12&. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі ". 323"
$ 129. Фізичний маятник. Експериментальне визначення моментів інерції. 326
$130. Плоскопаралдедіє рух твердого тіла 328
$ 131*. Елементарна теоріягіроскопа 334
$ 132 *. Рух твердого тіла навколо нерухомої точки та рух вільного твердого тіла 340
Розділ XXVII. Принцип Даламбера 344
$ 133. Принцип Даламбера для точки та механічної системи. . 344
$ 134. Головний вектор та головний моментсил інерції 346
$ 135. Розв'язання задач 348
$136*, Дидемяческне реакції, що діють на вісь тіла, що обертається. Врівновешшвяпне тіл, що обертаються 352
Розділ XXVIII. Принцип можливих переміщень та загальне рівняння динаміки 357
§ 137. Класифікація зв'язків 357
§ 138. Можливі переміщення системи. Число ступенів свободи. . 358
§ 139. Принцип можливих переміщень 360
§ 140. Розв'язання задач 362
§ 141. Загальне рівняння динаміки 367
Розділ XXIX. Умови рівноваги та рівняння руху системи в узагальнених координатах 369
§ 142. Узагальнені координати та узагальнені швидкості. . . 369
§ 143. Узагальнені сили 371
§ 144. Умови рівноваги системи в узагальнених координатах 375
§ 145. Рівняння Лагранжа 376
§ 146. Розв'язання задач 379
Розділ XXX*. Мінімальні коливання системи при становищі стійкого рівноваги 387
§ 147. Поняття про стійкість рівноваги 387
§ 148. Малі вільні коливання системи з одним ступенем свободи 389
§ 149. Малі затухаючі та вимушені коливання системи з одним ступенем свободи 392
§ 150. Малі зведені коливання системи з двома ступенями свободи 394
Розділ XXXI. Елементарна теорія удару 396
§ 151. Основне рівняння теорії удару 396
§ 152. Загальні теореми теорії удару 397
§ 153. Коефіцієнт відновлення при ударі 399
§ 154. Удар тіла про нерухому перешкоду 400
§ 155. Прямий центральний удар двох тіл (удар куль) 401
§ 156. Втрата кінетичної енергії за непружного удару двох тіл. Теорема Карно 403
§ 157 *. Удар по тілу, що обертається. Центр удару 405
Предметний покажчик 409
Завантаження...