Загальна арифметика. Значення слова & laquoаріфметіка

Що таке "арифметика"? Як правильно пишеться дане слово. Поняття і трактування.

арифметика Мистецтво обчислень, вироблених з позитивними дійсними числами. Коротка історія арифметики. З давніх-давен робота з числами поділялась на дві різні області: Одна стосувалася безпосередньо властивостей чисел, інша була пов'язана з технікою рахунку. Під "арифметикою" у багатьох країнах зазвичай мається на увазі саме ця остання область, яка безсумнівно є найстарішою галуззю математики. Мабуть, найбільшу складність у древніх обчислювачів викликала робота з дробом. Про це можна судити по папірусу Ахмеса (званому також папірусом Ринда), давньоєгипетському твору з математики, датується приблизно 1650 до н.е. Все дробу, що згадуються в папірусі, за винятком 2/3, мають числители, рівні 1. Труднощі поводження з дробом помітна і при вивченні давньовавілонських клинописних табличок. І древні єгиптяни, і вавилоняни, мабуть, виробляли обчислення за допомогою деякої різновиди абака. Наука про числах отримала у древніх греків значного розвитку починаючи з Піфагора, близько 530 до н.е. Що ж стосується безпосередньо техніки обчислення, то в цій області греками було зроблено набагато менше. Що жили пізніше римляни, навпаки, практично не внесли ніякого вкладу в науку про кількість, зате виходячи з потреб швидко розвивалися виробництва і торгівлі вдосконалили абак як рахунковий пристрій. Про зародження індійської арифметики відомо дуже мало. До нас дійшли лише деякі більш пізні роботи про теорію і практику операцій з числами, написані вже після того, як індійська позиційна система була вдосконалена за допомогою включення в неї нуля. Коли в точності це сталося, нам достеменно невідомо, але саме тоді були закладені основи для наших найбільш поширених арифметичних алгоритмів (див. Також ЦИФРИ ТА СИСТЕМИ числення). Індійська система числення і перші арифметичні алгоритми були запозичені арабами. Самий ранній з дійшли до нас арабських підручників арифметики був написаний аль-Хорезмі близько 825. У ньому широко використовуються і пояснюються індійські цифри. Пізніше цей підручник був переведений на латинь і справив значний вплив на Західну Європу. Спотворений варіант імені аль-Хорезмі дійшов до нас в слові "алгорізм", яке при подальшому змішуванні з грецьким словом арітмос перетворилося в термін "алгоритм". Індо-арабська арифметика стала відома в Західній Європі в основному завдяки твору Л.Фібоначчі Книга абака (Liber abaci, 1 202). Метод абацістов пропонував спрощення, подібні використанню нашої позиційної системи, у всякому разі для додавання і множення. Абацістов змінили алгоритміки, які використовували нуль і арабська метод поділу та добування квадратного кореня. Один з перших підручників арифметики, автор якого нам невідомий, вийшов в Тревізо (Італія) в 1478. У ньому йшлося про розрахунки при здійсненні торгових операцій. Цей підручник став попередником багатьох з'явилися згодом підручників арифметики. До початку 17 ст. в Європі було опубліковано більше трьохсот таких підручників. Арифметичні алгоритми за цей час були істотно вдосконалені. У 16-17 вв. з'явилися символи арифметичних операцій, такі як \u003d, +, -, *, "корінь" і /. Прийнято вважати, що десяткові дроби винайшов в 1585 С.Стевін, логарифми - Дж. Непер в 1614, логарифмічну лінійку - У. Оутред в 1622. Сучасні аналогові і цифрові обчислювальні пристрої були винайдені в середині 20 ст. Див. Також МАТЕМАТИКА; МАТЕМАТИКИ ІСТОРІЯ; ЧИСЕЛ Теорія; ЛАВ. Механізація арифметичних обчислень. З розвитком суспільства росла і потреба в більш швидких і точних обчисленнях. Ця потреба викликала до життя чотири чудових винаходи: індо-арабські числові позначення, десяткові дроби, логарифми і сучасні обчислювальні машини. Насправді найпростіші лічильні пристрої існували до появи сучасної арифметики, бо в давнину елементарні арифметичні операції проводилися на абаці (в Росії з цією метою використовувалися рахунки). Найпростішим сучасним обчислювальним пристроєм можна вважати логарифмічну лінійку, що представляє собою дві ковзаючі одна вздовж іншої логарифмічні шкали, що дозволяє виробляти множення і ділення, підсумовуючи і віднімаючи відрізки шкал. Винахідником першого механічної підсумовує машини прийнято вважати Б. Паскаля (тисячі шістсот сорок два). Пізніше в тому ж столітті Г. Лейбніц (1 671) в Німеччині і С. Морленд (1673) в Англії винайшли машини для виконання множення. Ці машини стали попередницями настільних обчислювальних пристроїв (арифмометрів) 20 ст., Які давали можливість швидко і точно проводити операції додавання, віднімання, множення і ділення. У 1812 англійський математик Ч. Беббідж приступив до створення проекту машини для обчислення математичних таблиць. Хоча робота над проектом тривала довгі роки, вона так і залишилася незавершеною. Проте проект Беббіджа послужив стимулом до створення сучасних електронних обчислювальних машин, перші зразки яких з'явилися близько +1944. Швидкодія цих машин просто вражала: з їх допомогою за хвилини або години вдавалося вирішити завдання, раніше вимагали багатьох років безперервних обчислень навіть із застосуванням арифмометрів. Суть справи можна пояснити на прикладі конкретної арифметичній завдання, наприклад, обчислення числа p (відношення довжини окружності до її діаметра). Перші систематичні спроби обчислення p зустрічаються у Архімеда (бл. 240 до н.е.). Використовуючи вельми недосконалу систему числення, він після довгих праць зумів обчислити p з точністю, еквівалентній в нашій сучасній системі числення двом знакам після коми. Використовуючи метод Архімеда, Л.ван Цейла (1540-1610), присвятивши цьому значну частину життя, зумів обчислити p з точністю 35 знаків після коми. У 1873 після п'ятнадцяти років роботи У.Шенкс отримав значення p з 707 знаками, але пізніше з'ясувалося, що починаючи з 528-го знака в його обчислення вкрали помилки. У 1958 комп'ютер фірми ІБМ обчислив за 40 секунд 707 знаків числа p і, продовжуючи далі обчислення, отримав за 100 хвилин 10000 знаків. Див. Також КОМП'ЮТЕР; ЧИСЛО ПІ. Цілі позитивні числа. Основою наших уявлень про числах є інтуїтивні поняття безлічі, відповідності між множинами і нескінченної послідовності помітних знаків або звуків. Знайома всім нам послідовність символів 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... є не що інше, як нескінченна послідовність помітних знаків і нескінченна послідовність помітних звуків (або слів ) "один", "два", "три", "чотири", "п'ять", "шість", "сім", "вісім", "дев'ять", "десять", "одинадцять", "дванадцять",. .., які відповідають певним символам. Будь-яке безліч, все елементи якого можна поставити у взаємно однозначну відповідність з елементами деякого початкового сегмента нашої нескінченної послідовності символів, називається кінцевим безліччю. При цьому на число елементів множини вказує останній символ сегмента. Наприклад, безліч предметів, які можна поставити у взаємно однозначну відповідність з початковим сегментом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, є кінцевим безліччю, що містить 8 ( "вісім") елементів. Символ 8 вказує на "число" предметів в початковому безлічі. Це число є символ, або ярлик, який приписують даній безлічі. Цей же ярлик приписується всім тим і тільки тим безлічам, які можуть бути поставлені у взаємно однозначне відповідність із цим безліччю. Однозначне визначення ярлика для будь-якого заданого кінцевого безлічі називається "перераховування" елементів даної множини, а самі ярлики отримали назву натуральних або цілих позитивних чисел (див. Також ЧИСЛО; МНОЖИН ТЕОРІЯ). Нехай A і B - дві кінцевих безлічі, що не мають загальних елементів, І нехай A містить n елементів, а B містить m елементів. Тоді безліч S, що складається з усіх елементів множин A і B, взятих разом, є кінцевим безліччю, що містить, скажімо, s елементів. Наприклад, якщо А складається з елементів (a, b, c), безліч В - з елементів (x, y), то безліч S \u003d A + B і складається з елементів (a, b, c, x, y). Число s називається сумою чисел n і m, і ми записуємо це так: s \u003d n + m. У цьому записі числа n і m називаються складовими, операція знаходження суми - складанням. Символ операції "+" читається як "плюс". Безліч P, що складається з усіх упорядкованих пар, в яких перший елемент вибраний з безлічі A, а другий - з безлічі B, є кінцевим безліччю, що містить, скажімо, p елементів. Наприклад, якщо, як і раніше, A \u003d (a, b, c), B \u003d (x, y), то P \u003d AґB \u003d ((a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)). Число p називається твором чисел a і b, і ми записуємо це так: p \u003d a * b або p \u003d a * b. Числа a і b в творі називаються множниками, операція знаходження твори - множенням. Символ операції ґ читається як "помножене на". Можна показати, що з цих визначень слідують наведені нижче фундаментальні закони додавання і множення цілих чисел: - закон коммутативности складання: a + b \u003d b + a; - закон асоціативності додавання: a + (b + c) \u003d (a + b) + c; - закон коммутативности множення: a * b \u003d b * a; - закон асоціативності множення: a * (b * c) \u003d (a * b) * c; - закон дистрибутивности: aґ (b + c) \u003d (a * b) + (a * c). Якщо a і b - два позитивних цілих числа і якщо існує позитивне ціле число c, таке, що a \u003d b + c, то ми говоримо, що a більше b (це записується так: a\u003e b), або що b менше a ( це записується так: bb, або a

Арифметикою називається той розділ математики, предметом вивчення якого є числа, їх властивості та відносини.

Її назва має грецьке походження: на мові давньої Еллади слово « арітмос»(Його ще вимовляють як« аріфмос») Означає« число».

арифметика вивчає правила обчислень і найпростіші властивості чисел. В тому її розділі, який називається теорія чисел (або вища арифметика), вивчаються властивості окремих цілих чисел.

арифметика найтіснішим чином пов'язана з теорією чисел, алгеброю і геометрією, і є однією з головних математичних наук, а також найдавнішою з них.

Основними предметами арифметики є дії над числами, їх властивості, а також числові безлічі. Крім того, в арифметиці вивчаються такі питання, як походження і розвиток поняття чисел, вимірювання та техніка рахунки.

Дії над числами, які є предметом вивчення арифметики, - це додавання, віднімання, ділення і множення. До них також можна віднести і такі операції, як добування кореня, піднесення до степеня і рішення різних чисельних рівнянь.

Крім того, історично склалося так, що до арифметичних дій відносять, крім множення, подвоєння; крім поділу, розподіл із залишком і на два; рахунок; обчислення суми геометричної та арифметичної прогресій. При цьому всі арифметичні дії мають власну ієрархію, в якій вищий щабель займає вилучення коренів і зведення в ступінь, нижчу - множення і ділення, і далі - додавання і віднімання.

Слід зауважити, що ті вимірювання і математичні розрахунки, які знаходять широке практичне застосування (Наприклад, відсотки, пропорції і т.п.) відносяться до так званої нижчої арифметиці, а поняття числа і його логічний аналіз - до арифметики теоретичної.

арифметика знаходиться в дуже тісному зв'язку з алгеброю, основним предметом вивчення якої є різні операції з числами, що не враховують їх властивості та особливості. При цьому вилучення коренів і зведення в ступінь є технічну частину алгебри.

оскільки в повсякденному житті арифметика використовується практично повсюдно, то певні пізнання в цій науці необхідні абсолютно всім. Протягом життя такі операції, як рахунок, обчислення обсягів, площ, швидкості, часових проміжків і протяженностей доводиться виконувати дуже часто.

Для освоєння будь-якої професії необхідно володіти основними арифметичними знаннями, і особливо це стосується тих спеціальностей, які пов'язані з економікою, технікою і природничими науками.

Арифметика - найголовніший, базовий розділ математики. Виникненню вона зобов'язана потребам людей в рахунку.

ментальна арифметика

Що називається ментальної арифметикою? Ментальна арифметика - це метод навчання швидкого рахунку, Що прийшов із старовини.

В даний час, на відміну від попереднього, викладачі намагаються не тільки навчити дітей швидкості рахунку, а й намагаються розвинути мислення.

Сам процес навчання будується на використанні та розвитку обох півкуль мозку. Головне - вміти їх використовувати разом, тому що вони доповнюють один одного.

Дійсно, ліва півкуля відповідає за логіку, мова і раціональність, а праве - за уяву.

В програму навчання входить навчання роботи і використання такого інструменту, як абакус.

Абакус - головний інструмент у вивченні ментальної арифметики, тому що учні вчаться працювати з ними, перебирати кісточки і усвідомлювати суть рахунку. Згодом абакус стає вашою уявою, а ті, яких навчають представляють їх, спираються на ці знання і вирішують приклади.

Відгуки про дані методах навчання вельми позитивні. Є один мінус - навчання платне, а його дозволити можуть не всі. Тому шлях генія залежить від матеріального становища.

Математика і арифметика

Математика і арифметика тісно пов'язані поняття, а вірніше арифметика - розділ математики, який працює з числами і обчисленнями (діями з числами).

Арифметика - основний розділ, а значить і основа математики. Основа математики - найважливіші поняття і операції, що є основою, на якій будуються всі наступні знання. У число основних операцій входять: додавання, віднімання, множення, ділення.

Арифметика, як правило, вивчається в школі з самого початку навчання, тобто. з першого класу. Діти освоюють базу математики.

додавання - це арифметична дія, в процесі якого складаються два числа, а їх результатом буде нове - третє.

a + b \u003d c.

віднімання - це арифметична дія, в процесі якого з першого числа віднімається друге число, а підсумком буде третє.

Формула складання виражається так: a - b \u003d c.

множення - це дія, в результаті якого знаходиться сума однакових доданків.

Формула такого дії має вигляд: a1 + a2 + ... + an \u003d n * a.

розподіл- це розбивання на рівні частини будь-якого числа або змінною.

Запишіться на курс "Прискорюємо усний рахунок, НЕ ментальна арифметика", щоб навчитися швидко і правильно складати, віднімати, множити, ділити, зводити числа в квадрат і навіть отримувати коріння. За 30 днів ви навчитеся використовувати легкі прийоми для спрощення арифметичних операцій. У кожному уроці нові прийоми, зрозумілі приклади і корисні завдання.

навчання арифметиці

Навчання арифметиці проводиться в стінах школи. З першого класу діти починають вивчення базового і головного розділу математики - арифметики.

додавання чисел

Арифметика 5 клас

У п'ятому класі школяр починають вивчення таких тем як: дробові числа, змішані числа. Інформацію про операції з цими числами ви можете знайти в наших статтях по відповідним операціям.

Дробове число - це відношення двох чисел один до одного або ж чисельника до знаменника. Дробове число можна замінити операцією ділення. Наприклад, ¼ \u003d 1: 4.

змішане число - це дробове число, тільки з виділеної цілою частиною. Ціла частина виділяється за умови, що чисельник більше знаменника. Наприклад, була дріб: 5/4, її можна перетворити, шляхом виділення цілої частини: 1целом і ¼.

Приклади для тренування:

завдання №1:

завдання №2:

Арифметика 6 клас

У другому класі з'являється тема перетворення дробів в малу запис. Що це означає? Наприклад, дана дріб ½, вона буде дорівнює 0,5. ¼ \u003d 0.25.

Приклади можуть складатися в такому стилі: 0.25 + 0.73 + 12/31.

Приклади для тренування:

завдання №1:

завдання №2:

Ігри для розвитку усного рахунку і швидкості рахунку

Існують прекрасні ігри, які сприяють розвитку рахунки, які допомагають розвивати математичні здібності і математичне мислення, усний рахунок і швидкість рахунки! Можна грати і розвиватися! Вам цікаво? прочитайте короткі статті про ігри і обов'язково спробуйте себе.

Гра «Швидкий рахунок»

Гра «швидкий рахунок» допоможе вам прискорити усний рахунок. Суть гри в тому, що на представленої вам зображенні, потрібно вибрати відповідь так чи ні на питання «чи є 5 однакових фруктів?». Ідіть за своєю метою, а допоможе вам у цьому дана гра.

Гра «Математичні порівняння»

Гра «Математичні порівняння» вимагатиме від вас порівняння двох чисел на час. Тобто вам належить вибрати якомога швидше одне з двох чисел. Пам'ятайте, що час обмежений, а чим більше ви відповісте вірно, тим краще будуть розвиватися ваші математичні здібності! Спробуємо?

Гра «Швидке додавання»

Гра «Швидке додавання» - відмінний тренажер швидкого рахунку. Суть гри: дано поле 4x4, тобто. 16 чисел, а над полем сімнадцятий число. Ваша мета: за допомогою шістнадцяти чисел скласти 17, користуючись операцією додавання. Наприклад, над полем у вас написано число 28, то в поле вам треба знайти 2 таких числа, які в сумі дадуть число 28. Ви готові спробувати свої сили? Тоді вперед, тренуватися!

Розвиток феноменального усного рахунку

Ми розглянули лише верхівку айсберга, щоб зрозуміти математику краще - записуйтеся на наш курс: Прискорюємо усний рахунок - НЕ ментальна арифметика.

З курсу ви не просто дізнаєтеся десятки прийомів для спрощеного та швидкого множення, додавання, множення, ділення, вираховування відсотків, але і відпрацюєте їх в спеціальних завданнях і розвиваючих іграх! Усний рахунок теж вимагає багато уваги і концентрації, які активно тренуються при вирішенні цікавих завдань.

Швидкочитання за 30 днів

Збільште швидкість читання в 2-3 рази за 30 днів. З 150-200 до 300-600 слів за хвилину або з 400 до 800-1200 слів за хвилину. В курсі використовуються традиційні вправи для розвитку швидкочитання, техніки прискорюють роботу мозку, методика прогресивного збільшення швидкості читання, розбирається психологія швидкочитання і питання учасників курсу. Підходить дітям і дорослим, читає до 5000 слів на хвилину.

Розвиток пам'яті та уваги у дитини 5-10 років

Мета курсу: розвинути пам'ять і увагу у дитини так, щоб йому було легше вчитися в школі, щоб він міг краще запам'ятовувати.

Що таке арифметика? Коли людство почало використовувати числа і працювати з ними? Куди йдуть корені таких повсякденних понять, як числа, додавання і множення, які людина зробила невіддільною частиною свого життя і світогляду? Давньогрецькі уми захоплювалися такими науками, як і геометрія, як прекраснейшими симфоніями людської логіки.

Можливо, арифметика не так глибока, як інші науки, але що було б з ними, забудь людина елементарну таблицю множення? звичне нам логічне мислення, Що використовують цифри, дробу і інші інструменти, нелегко давалося людям і довгий час було недоступно для наших предків. Фактично до розвитку арифметики жодна область людського знання не була по-справжньому наукової.

Арифметика - це азбука математики

Арифметика - це наука про числа, з якої будь-яка людина починає знайомство з захоплюючим світом математики. Як говорив М. В. Ломоносов, арифметика - це врата вченості, що відкривають нам шлях до світопізнання. А адже він має рацію, хіба пізнання світу можна відокремити від знання цифр і букв, математики й мови? Можливо, в минулі часи, але не в сучасному світі, Де бурхливий розвиток науки і техніки диктує свої закони.

Слово "арифметика" (грец. "Аріфмос") грецького походження, Позначає "число". Вона вивчає число і все що може бути з ними пов'язано. Це світ чисел: різні дії над числами, числові правила, рішення задач, які пов'язані з множенням, відніманням і т. Д.

Основний об'єкт арифметики

Основа арифметики - це ціле число, властивості і закономірності якого розглядаються у вищій математиці або По суті, від того, наскільки вірний підхід взятий в розгляді такого невеликого блоку, як натуральне число, залежить міцність всієї будівлі - математики.

Тому на питання про те, що таке арифметика, можна відповісти просто: це наука про числа. Так, про звичну сімці, дев'ятці і все це різноманітному співтоваристві. І подібно до того, як і хороших, і самих посередніх віршів не напишеш без елементарної абетки, без арифметики не вирішити навіть елементарної задачі. Ось чому все науки просунулися тільки після розвитку арифметики і математики, будучи до цього всього лише набором припущень.

Арифметика - наука-фантом

Що таке арифметика - натуральна наука чи фантом? Насправді, як міркували давньогрецькі філософи, ні чисел, ні фігур в реальності не існує. Це всього лише фантом, який створюється в людському мисленні при розгляданні довкілля з її процесами. Справді, Ніде навколо ми не бачимо нічого подібного, що можна було б назвати числом, скоріше, число - це спосіб людського розуму вивчати світ. А може бути, це вивчення нас самих зсередини? Про це сперечаються філософи багато століть поспіль, тому дати вичерпну відповідь ми не беремося. Так чи інакше, арифметиці вдалося настільки міцно зайняти свої позиції, що в сучасному світі ніхто не може вважатися соціально адаптованою без знання її основ.

Як з'явилося натуральне число

Звичайно, основний об'єкт, яким оперує арифметика, - натуральне число, таке, як 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... і т.д. Арифметика натуральних чисел є результатом рахунки звичайних предметів, наприклад, корів на лузі. Все-таки визначення "багато" або "мало" колись перестало влаштовувати людей, і довелося винаходити більш досконалі техніки рахунки.

Але справжній прорив стався, коли людська думка дійшла до того, що можна одним і тим же числом «два» позначити і 2 кілограми, і 2 цегли, і 2 деталі. Справа в тому, що потрібно абстрагуватися від форм, властивостей і сенсу предметів, тоді можна виробляти деякі дії з цими предметами у вигляді натуральних чисел. Так народилася арифметика чисел, яка далі розвивалася і ширилася, займаючи все більші позиції в житті суспільства.

Такі поглиблені поняття числа, як нуль і негативне число, дробу, позначення чисел цифрами та іншими способами, мають багатющу і цікаву історію розвитку.

Арифметика і практичні єгиптяни

Два найдавніших супутника людини в дослідженні навколишнього світу і вирішенні побутових завдань - це арифметика і геометрія.

Вважається, що історія арифметики бере свій початок на Стародавньому Сході: в Індії, Єгипті, Вавилоні та Китаї. Так, папірус Ринда єгипетського походження (названий так, оскільки належав однойменному власнику), що датується XX в. до н.е, крім інших цінних даних містить розкладання однієї дробу на суму дробів з різними знаменниками і чисельником, рівним одиниці.

Наприклад: 2/73 \u003d 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Але в чому сенс такого складного розкладу? Справа в тому що єгипетський підхід не терпів абстрагованих роздумів про числах, навпаки, обчислення проводилися тільки з практичною метою. Тобто єгиптянин стане займатися такою справою, як розрахунки, виключно для того, щоб побудувати гробницю, наприклад. Потрібно було вирахувати довжину ребра споруди, і це змушувало сідати людини за папірус. Як видно, єгипетський прогрес в розрахунках був викликаний, швидше за масовим, будівництвом, ніж любов'ю до науки.

З цієї причини розрахунки, знайдені на папірусах, не можна назвати роздумами на тему дробів. Швидше за все, це практична заготовка, яка допомагала в подальшому вирішувати завдання з дробом. Стародавні єгиптяни, які не знали таблиці множення, виробляли досить довгі обчислення, розкладені на безліч підзадач. Можливо, це одна з таких підзадач. Неважко помітити, що розрахунки з такими заготовками вельми трудомісткі і малоперспективні. Може бути, з цієї причини ми не бачимо великого вкладу стародавнього Єгипту в розвиток математики.

Стародавня Греція і філософська арифметика

Багато знань Стародавнього Сходу були успішно освоєні древніми греками, відомими любителями абстрактних, абстрактних і філософських роздумів. Практика їх цікавила не менше, але кращих теоретиків і мислителів знайти складно. Це пішло на користь науці, оскільки в арифметику неможливо заглибитися, що не розірвавши її з реальністю. Звичайно, можна множити 10 корів і 100 літрів молока, але далеко просунутися не вдасться.

Мислячі глибоко греки залишили значний слід в історії, і їхні праці дійшли до нас:

Евклід і «Начала».
Піфагор.
Архімед.
Ератосфен.
Зенон.
Анаксагор.

І, звичайно, здатні перетворювати все в філософію греки, а особливо продовжувачі справи Піфагора, настільки були захоплені числами, що вважали їх таїнством гармонії світу. Числа настільки були вивчені і досліджені, що деяким з них і їх парам приписували особливі властивості. наприклад:

Вчинені числа - ті, які дорівнюють сумі всіх своїх дільників, крім самого числа (6 \u003d 1 + 2 + 3).
Дружні числа - це такі числа, одне з яких дорівнює сумі всіх дільників другого, і навпаки (піфагорійці знали тільки одну таку пару: 220 і 284).

Греки, які вважали, що науку потрібно любити, а не бути з нею заради вигоди, досягли великих успіхів, досліджуючи, граючи і складаючи числа. Потрібно відзначити, що не всі їх дослідження знайшли широке застосування, деякі з них залишилися лише "для краси".

Східні мислителі Середньовіччя

Точно так само і в середні віки арифметика своїм розвитком зобов'язана східним сучасникам. Індійці передали нам цифри, які ми активно використовуємо, таке поняття як "нуль", і позиційний варіант звичний сучасному сприйняттю. Від Аль-каші, який в 15 столітті працював в Самарканді, ми успадкували без яких важко уявити сучасну арифметику.

Багато в чому знайомство Європи з досягненнями Сходу стало можливо завдяки праці італійського вченого Леонардо Фібоначчі, який написав твір "Книга абака", що знайомить зі східними нововведеннями. Воно стало наріжним каменем розвитку алгебри і арифметики, дослідницької та наукової діяльності в Європі.

Російська арифметика

І, нарешті, арифметика, що знайшла своє місце і укорінена в Європі, стала поширюватися і на російські землі. Перша російська арифметика вийшла в 1703 році - це була книга про арифметику Леонтія Магницького. Довгий час вона залишалася єдиним навчальним посібником з математики. Вона містить початкові моменти алгебри і геометрії. Цифри, які використовував у прикладах перший в Росії підручник арифметики, арабські. Хоча арабські цифри зустрічалися і раніше, на гравюрах, що датуються 17 століттям.

Сама книга прикрашена зображеннями Архімеда і Піфагора, а на першому аркуші - образ арифметики у вигляді жінки. Вона сидить на престолі, під нею написано на івриті слово, що позначає ім'я Бога, а на щаблях, які ведуть до престолу, написані слова «поділ», «множення», «складання» і т. Д. Можна тільки уявити, яке значення зраджували таким істинам, які зараз вважаються буденним явищем.

Підручник з 600 сторінок описує як основи на зразок таблиці додавання і множення, так і додатки до навігаційних наук.

Тож не дивно, що автор вибрав зображення грецьких мислителів для своєї книги, адже він і сам був полонений красою арифметики, кажучи: «Арифметика є чіслітельніца, є мистецтво чесне, незавістное ...». Такий підхід до арифметики цілком обгрунтований, адже саме її повсюдне впровадження можна вважати початком бурхливого розвитку наукової думки в Росії і загальної освіти.

Непрості прості числа

Просте число - це таке натуральне число, яке має тільки 2 позитивних подільника: 1 і саме себе. Всі інші числа, не рахуючи 1, називають складовими. Приклади простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, і всі інші, які не мають інших дільників, крім числа 1 і себе самого.

Що ж стосується числа 1, то воно на особливому рахунку - існує домовленість, що його потрібно вважати ні простим, ні складеним. Просте на перший погляд просте число містить у собі безліч нерозгаданих таємниць всередині себе.

Теорема Евкліда говорить, що простих чисел нескінченна безліч, а Ератосфен придумав спеціальний арифметичне «решето», яке відсіває непрості числа, залишаючи тільки прості.

Її суть в тому щоб підкреслювати перші невикреслене число, а в подальшому викреслювати ті, які йому кратні. Багаторазово повторюємо цю процедуру - і отримуємо таблицю простих чисел.

Основна теорема арифметики

Серед спостережень про прості числа потрібно особливим чином згадати основну теорему арифметики.

Основна теорема арифметики говорить, що будь-яке ціле число, більше 1, або є простим, або його можна розкласти на твір простих чисел з точністю до порядку проходження сомножителей, причому єдиним чином.

Основна теорема арифметики доводиться досить громіздко, та й розуміння її вже не схоже на найпростіші основи.

На перший погляд прості числа - елементарне поняття, проте це не так. Фізика також колись вважала атом елементарним, поки не знайшла всередині нього цілий всесвіт. простих чисел присвячений прекрасний розповідь математика Дона Цагіра «Перші п'ятдесят мільйонів простих чисел».

Від «трьох яблучок» до дедуктивних законів

Що справді можна назвати армованим фундаментом всієї науки - це закони арифметики. Ще в дитинстві все стикаються з арифметикою, вивчаючи кількість ніжок і ручок у ляльок, кількість кубиків, яблучок і т. Д. Так ми вивчаємо арифметику, яка далі переходить в більш складні правила.

Все наше життя знайомить нас з правилами арифметики, які стали для простої людини найбільш корисними з усього, що дає наука. Вивчення чисел - це "арифметика-малятко", яка знайомить людини зі світом чисел у вигляді цифр ще в ранньому дитинстві.

Вища арифметика - дедуктивна наука, яка вивчає закони арифметики. Більшість з них нам відомо, хоча, можливо, ми і не знаємо їх точних формулювань.

Закон додавання і множення

два будь-яких натуральних числа a і b можуть бути виражені у вигляді суми a + b, яка також буде числом натуральним. Відносно складання діють наступні закони:

комутативними, Який говорить, що від перестановки доданків місцями сума не змінюється, або a + b \u003d b + a.
асоціативний, Який говорить, що сума не залежить від способу угруповання доданків місцями, або a + (b + c) \u003d (a + b) + c.

Правила арифметики, такі, як складання, - одні з елементарних, але їх використовують все науки, не кажучи вже про повсякденне життя.

Два будь-яких натуральних числа a і b можуть бути виражені в творі a * b або a * b, яке також є числом натуральним. До твору застосовні ті ж комутативність і асоціативні закони, що і до складання:

a * b \u003d b * a;
a * (b * c) \u003d (a * b) * c.

Цікаво, що існує закон, який об'єднує додавання і множення, званий також розподільним, або дистрибутивним законом:

a (b + c) \u003d ab + ac

Цей закон фактично вчить нас працювати з дужками, розкриваючи їх, тим самим ми можемо працювати вже з більш складними формулами. Це саме ті закони, які будуть вести нас по химерного і непростому світі алгебри.

Закон арифметичного порядку

Закон порядку людська логіка використовує кожен день, звіряючи годинник і вважаючи купюри. І, тим не менше, і його потрібно оформити у вигляді конкретних формулювань.

Якщо ми маємо два натуральних числа a і b, то можливі наступні варіанти:

a одно b, або a \u003d b;
a менше b, або a< b;
a більше b, або a\u003e b.

З трьох варіантів справедливим може бути тільки один. Основний закон, який керує порядком, каже: якщо a< b и b < c, то a< c.

Існують також і закони, що зв'язують порядок з діями множення і складання: якщо a< b, то a + c < b+c и ac< bc.

Закони арифметики вчать нас працювати з числами, знаками і дужками, перетворюючи все в струнку симфонію чисел.

Позиційні і непозиційної системи обчислення

Можна сказати, що числа - це математичний мову, від зручності якого залежить багато чого. Існує безліч систем обчислення, які, як і алфавіти різних мов, Відрізняються між собою.

Розглянемо системи числення з точки зору впливу позиції на кількісне значення цифри на цій позиції. Так, наприклад, римська система є непозиционной, де кожне число кодується певним набором спеціальних символів: I / V / X / L / C / D / M. Вони рівні, відповідно, числам 1/5/10/50/100/500 / 1000. У такій системі цифра не змінює свого кількісного визначення в залежності від того, на який вона стоїть позиції: першої, другої і т. Д. Щоб отримати інші числа, потрібно скласти базові. наприклад:

DCC \u003d 700.
CCM \u003d 800.

Більш звична для нас система числення з використанням арабських цифр є позиційною. У такій системі розряд числа визначає кількість цифр, наприклад, Трехразрядное числа: 333, 567 і т.д. Вага будь-якого розряду залежить від позиції, на якій знаходиться та чи інша цифра, наприклад цифра 8 на другій позиції має значення 80. Це характерно для десяткової системи, існують і інші позиційні системи, наприклад двоичная.

Двійкова арифметика

Двійкова арифметика працює з двійковим алфавітом, який складається всього з 0 і 1. А використання цього алфавіту називається двійковою системою числення.

Відмінність двійковій арифметики від десяткової в тому, що значимість позиції зліва більше не в 10, а в 2 рази. Двійкові числа мають вигляд 111, 1001 і т. Д. Як розуміти такі числа? Отже, розглянемо число 1100

Перша цифра зліва - 1 * 8 \u003d 8, пам'ятаючи про те, що четверта цифра, а значить, її потрібно помножити на 2, отримуємо позицію 8.
Друга цифра 1 * 4 \u003d 4 (позиція 4).
Третя цифра 0 * 2 \u003d 0 (позиція 2).
Четверта цифра 0 * 1 \u003d 0 (позиція 1).
Отже, наше число 1100 \u003d 8 + 4 + 0 + 0 \u003d 12.

Тобто при переході на новий розряд зліва його значимість в двійковій системі множиться на 2, а в десяткового - на 10. Така система має один мінус: це занадто велике зростання розрядів, які необхідні для запису чисел. приклади уявлення десяткових чисел у вигляді двочіних можна подивитися в таблиці нижче.

Десяткові числа в двійковому вигляді зображені нижче.

Використовуються також і восьмерична, і шістнадцяткова системи числення.

Ця загадкова арифметика

Що таке арифметика, «двічі два» або незвідані таємниці чисел? Як бачимо, арифметика, може, і здається на перший погляд простий, але її неочевидна легкість оманлива. Її можна вивчати і дітям разом з тітонькою Совою з мультика «Арифметика-малятко», а можна зануритися в глибоко наукові дослідження мало не філософського порядку. В історії вона пройшла шлях від рахунку предметів до поклоніння красі чисел. Одне тільки точно відомо: з встановленням основних постулатів арифметики вся наука може спиратися на її міцне плече.

З одного боку це дуже просте питання. З іншого, школярі, та й багато дорослих, часто плутають арифметику і математику і толком не знають в чому ж різниця між цими двома предметами. Математика - це більш широке поняття, яке включає в себе будь-які дії з числами. Арифметика ж лише один з розділів математики. До арифметиці відносяться знайомство з цифрами, простий рахунок і операції з числами. Раніше в школах уроки називалися саме арифметикою і лише з часом стали носити назву математика, яка плавно перетікає в алгебру. По суті алгебра починається тоді, коли в прикладах з'являються невідомі числа і замість них використовуються літери. Тобто по-простому операції з x і y.

термін «Арифметика» походить від грецького слова «Arithmos», Що означає «число». У 14-15 століттях цей термін перекладався в Англії не зовсім вірно - «the metric art», що по суті означало «метричний мистецтво», відповідне більше для геометрії, ніж простого рахунку і нескладних дій з числами.

Одна з причин, чому в школах не використовується поняття «арифметика» полягає в тому, що навіть на уроках в початкових класах крім цифр вивчають також геометричні форми і одиниці виміру (сантиметр, метр і т.д.), а це вже виходить за межі звичайного рахунку. Проте, навчання ментальної арифметиці відбувається в житті дитини в якійсь мірі само собою, в процесі знайомства з навколишнім світом. термін «Ментальна арифметика» означає вміння рахувати в умі. Погодьтеся, кожен з нас в якийсь момент життя вчиться цьому і не тільки завдяки шкільних уроків.

Сьогодні є цілі методики для розвитку у дітей навичок швидкісного рахунку в розумі. Наприклад, особливо популярно стародавнє Абакус навчання, в основі якого лежить вміння рахувати на спеціальних рахунках (відрізняються від звичайних з десятками). Abacus в перекладі з англійської та є «Рахунки», Тому і назва методики звучить так само. Японці ж цю методику називають Соробан навчання, тому що їхньою мовою «рахунки» називаються саме «soroban».

У арифметиці використовуються чотири елементарні операції - додавання, віднімання, множення і ділення. Причому неважливо цілі числа використовуються в прикладі або ж десяткові і дробу. Знайомити дитину з цифрами можна ще з раннього дитинства, причому робити це невимушено і в грі. У цьому батькам допоможе не тільки уяву, а й безліч спеціальних розвиваючих матеріалів, знайти які можна в будь-якому магазині.

За сучасним вимогам до першого класу дитина повинна вже вважати мінімум в межі десяти (а краще до 20), а також здійснювати зі знайомими цифрами основні операції - складати їх і віднімати. Важливо також, щоб дитина могла порівнювати, яке з чисел більше, яке менше, а які числа рівні. Таким чином, можна сказати, що саме арифметику дитина повинна знати ще до вступу до школи.

Такі вимоги пред'являються не тільки в Росії, але і у всьому світі, тому що темп життя прискорюється, а обсяг знань щодня збільшується. Те, що досить було знати в шкільній програмі ще 20-30 років тому, сьогодні займає не більше 50% викладається вчителями інформації. Як би там не було, арифметика завжди залишиться основою основ для вивчення цифр і рахунки, а також початковим рівнем математики, без якого неможливо вивчити більш складні завдання і вміння.