Правило диференціювання складної функції прикладів. Похідна функції

Вирішувати фізичні завдання чи приклади з математики зовсім неможливо без знань про похідну та методи її обчислення. Похідна - одна з найважливіших понять математичного аналізу. Цій фундаментальній темі ми вирішили присвятити сьогоднішню статтю. Що таке похідна, який її фізичний та геометричний змістЯк порахувати похідну функції? Всі ці питання можна поєднати в одне: як зрозуміти похідну?

Геометричний та фізичний зміст похідної

Нехай є функція f(x) , задана в певному інтервалі (a, b) . Точки х і х0 належать до цього інтервалу. При зміні х змінюється сама функція. Зміна аргументу – різниця його значень х-х0 . Ця різниця записується як дельта ікс і називається збільшенням аргументу. Зміною або збільшенням функції називається різниця значень функції у двох точках. Визначення похідної:

Похідна функції у точці – межа відношення збільшення функції у цій точці до збільшення аргументу, коли останнє прагне нулю.

Інакше це можна записати так:

Який сенс у знаходженні такої межі? А ось який:

похідна від функції в точці дорівнює тангенсу кута між віссю OX і щодо графіку функції в даній точці.

Фізичний змістпохідної: похідна шляхи за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху.

Дійсно, ще зі шкільних часів всім відомо, що швидкість – це приватна дорога. x=f(t) та часу t . Середня швидкістьза деякий проміжок часу:

Щоб дізнатися швидкість руху в момент часу t0 потрібно обчислити межу:

Правило перше: виносимо константу

Константу можна винести за знак похідної. Більше того – це потрібно робити. При вирішенні прикладів математики візьміть за правило - якщо можете спростити вираз, обов'язково спрощуйте .

приклад. Обчислимо похідну:

Правило друге: похідна суми функцій

Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Те саме справедливо і для похідної різниці функцій.

Не наводитимемо доказ цієї теореми, а краще розглянемо практичний приклад.

Знайти похідну функції:

Правило третє: похідна робота функцій

Похідна твори двох функцій, що диференціюються, обчислюється за формулою:

Приклад: знайти похідну функції:

Рішення:

Тут важливо сказати про обчислення похідних складних функцій. Похідна складної функціїдорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

У наведеному вище прикладі ми зустрічаємо вираз:

В даному випадку проміжний аргумент - 8х у п'ятому ступені. Для того, щоб обчислити похідну такого виразу спочатку вважаємо похідну зовнішньої функції за проміжним аргументом, а потім множимо на похідну безпосередньо проміжного аргументу незалежної змінної.

Правило четверте: похідна приватного двох функцій

Формула для визначення похідної від частки двох функцій:

Ми постаралися розповісти про похідні для чайників з нуля. Ця тема не така проста, як здається, тому попереджаємо: у прикладах часто зустрічаються пастки, так що будьте уважні при обчисленні похідних.

З будь-яким питанням з цієї та інших тем ви можете звернутися до студентського сервісу. За короткий термін ми допоможемо вирішити найскладнішу контрольну та розібратися із завданнями, навіть якщо ви ніколи раніше не займалися обчисленням похідних.

У «старих» підручниках його ще називають «ланцюговим» правилом. Отже якщо у = f(u), а u = φ(х), тобто

у = f(φ(х))

складна - складова функція (композиція функцій)

де , після обчислення розглядається при u = φ(х).

Зазначимо, що ми тут брали «різні» композиції з тих самих функцій, і результат диференціювання природно виявився залежним від порядку «змішування».

Ланцюгове правило природним чином поширюється і композицію з трьох і більше функцій. При цьому «ланок» у «ланцюжку», що становить похідну, буде відповідно три або більше. Тут і аналогія з множенням: "у нас" - таблиця похідних; "там" - таблиця множення; "у нас" - ланцюгове правило а "там" - правило множення "стовпчиком". При обчисленні таких «складних» похідних жодних допоміжних аргументів (u?v та ін.), звичайно ж, не вводиться, а, зазначивши для себе число і послідовність функцій, що беруть участь у композиції, «нанизують» у зазначеному порядку відповідні ланки.

. Тут з «іксом» для отримання значення «гравця» роблять п'ять операцій, тобто, має місце композиція з п'яти функцій: «зовнішня» (остання з них) – показова – е ; далі в зворотному порядкустатечна. (♦) 2 ; тригонометричний sin(); статечна. () 3 і, нарешті, логарифмічна ln.(). Тому

Наступними прикладами «вбиватимемо пари зайців»: потренуємося в диференціювання складних функцій і доповнимо таблицю похідних елементарних функцій. Отже:

4. Для статечної функції - у = х α - переписав її за допомогою відомого «основного логарифмічного тотожності» - b = e ln b - у вигляді х α = х α ln x отримуємо

5. Для довільної показової функціїзастосовуючи той самий прийом будемо мати

6. Для довільної логарифмічної функціївикористовуючи відому формулу переходу до нової основи послідовно отримуємо

.

7. Щоб продиференціювати тангенс (котангенс), скористаємося правилом диференціювання приватного:

Для отримання похідних зворотних тригонометричних функцій скористаємося співвідношенням якому задовольняють похідні двох взаємозворотних функцій, тобто φ (х) і f (х) пов'язаних співвідношеннями:

Ось це співвідношення

Саме з цієї формули для взаємно зворотних функцій

і
,

Під кінець зведемо ці та деякі інші, так само легко одержувані похідні, наступну таблицю.

Функції складного виглядуякий завжди підходять під визначення складної функції. Якщо є функція виду y = sin x - (2 - 3) · r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, то її не можна вважати складною на відміну від y = sin 2 x.

Ця стаття покаже поняття складної функції та її виявлення. Попрацюємо з формулами знаходження похідної із прикладами рішень у висновку. Застосування таблиці похідних та правила диференціювання помітно зменшують час для знаходження похідної.

Основні визначення

Визначення 1

Складною функцією вважається така функція, яка аргумент також є функцією.

Позначається це так: f (g (x)) . Маємо, що функція g(x) вважається аргументом f(g(x)).

Визначення 2

Якщо є функція f і є функцією котангенсу, тоді g(x) = ln x – це функція натурального логарифму. Отримуємо, що складна функція f(g(x)) запишеться як arctg(lnx). Або функція f є функцією зведеної в 4 ступінь, де g (x) = x 2 + 2 x - 3 вважається цілою раціональною функцією, Отримуємо, що f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Очевидно, що g(x) може бути складною. З прикладу y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 видно, що значення g має кубічний корінь із дробом. Даний вираз можна позначати як y = f (f 1 (f 2 (x))) . Звідки маємо, що f - це функція синуса, а f 1 - функція, що розташовується під квадратним коренем, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 – 5 – дробова раціональна функція.

Визначення 3

Ступінь вкладеності визначено будь-яким натуральним числомі записується як y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))))).

Визначення 4

Поняття композиція функції належить до кількості вкладених функцій за умовою завдання. Для вирішення використовується формула знаходження похідної складної функції виду

(f(g(x))) "=f"(g(x)) · g"(x)

Приклади

Приклад 1

Знайти похідну складної функції виду y = (2 x + 1) 2 .

Рішення

За умовою видно, що f є функцією зведення квадрат, а g (x) = 2 x + 1 вважається лінійною функцією.

Застосуємо формулу похідної для складної функції та запишемо:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 · (g (x)) 2 - 1 = 2 · g (x) = 2 · (2 ​​x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 · x " + 0 = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) "= f "(g (x)) · g "(x) = 2 · (2 ​​x + 1) · 2 = 8 x + 4

Необхідно знайти похідну зі спрощеним вихідним виглядом функції. Отримуємо:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Звідси маємо, що

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 · (x 2) " + 4 · (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Результати збіглися.

При вирішенні завдань такого виду важливо розуміти, де розташовуватиметься функція виду f і g (x) .

Приклад 2

Слід знайти похідні складних функцій виду y = sin 2 x та y = sin x 2 .

Рішення

Перший запис функції свідчить, що f є функцією зведення квадрат, а g (x) – функцією синуса. Тоді отримаємо, що

y " = (sin 2 x) " = 2 · sin 2 - 1 x · (sin x) " = 2 · sin x · cos x

Другий запис показує, що f є функцією синуса, а g(x) = x 2 позначаємо статечну функцію. Звідси випливає, що добуток складної функції запишемо як

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) · (x 2) " = cos (x 2) · 2 · x 2 - 1 = 2 · x · cos (x 2)

Формула для похідної y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))))) запишеться як y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . .) f n (x)))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x))) )) · . . . · f n "(x)

Приклад 3

Знайти похідну функції y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Рішення

Даний приклад показує складність запису та визначення розташування функцій. Тоді y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) позначимо, де f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) є функцією синуса, функцією зведення в 3 ступінь, функцією з логарифмом та основою е, функцією арктангенсу та лінійною.

З формули визначення складної функції маємо, що

y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · · f 2 " (f 3 (f 4 (x))) · f 3 "(f 4 (x)) · f 4 " (x)

Отримуємо, що слід знайти

1. f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) як похідна синуса по таблиці похідних, тоді f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) як похідну статечну функцію, тоді f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 · ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 · ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) як похідна логарифмічна, тоді f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) як похідний арктангенса, тоді f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 .
5. При знаходженні похідної f 4 (x) = 2 x зробити винесення 2 за знак похідної із застосуванням формули похідної статечної функції з показником, що дорівнює 1 тоді f 4 " (x) = (2 x) " = 2 · x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Проводимо об'єднання проміжних результатів та отримуємо, що

y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · · f 2 " (f 3 (f 4 (x))) · f 3 "(f 4 (x)) · f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · 3 · ln 2 a r c t g (2 x) · 1 a r c t g (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) · (1 + 4 x 2)

Розбір таких функцій нагадує матрьошки. Правила диференціювання не завжди можуть бути застосовані у явному вигляді за допомогою таблиці похідних. Найчастіше потрібно застосовувати формулу знаходження похідних складних функцій.

Існують деякі відмінності складного виду складних функцій. При явному вмінні це розрізняти, знаходження похідних даватиме особливо легко.

Приклад 4

Необхідно розглянути на наведенні такого прикладу. Якщо є функція виду y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , тоді її можна розглянути як складний вид g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно, що необхідне застосування формули для складної похідної:

f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" = (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 · g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g "(x) = (t g x)" = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)))" = f "(g (x)) · g "(x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Функція виду y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не вважається складною, оскільки має суму t g x 2 3 t g x і 1 . Однак, t g x 2 вважається складною функцією, то отримуємо статечну функцію виду g (x) = x 2 і f є функцією тангенса. Для цього слід продиференціювати за сумою. Отримуємо, що

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 · (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Переходимо до знаходження похідної складної функції (t g x 2) " :

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 · x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) "= f "(g (x)) · g "(x) = 2 x cos 2 (x 2)

Отримуємо, що y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Функції складного виду можуть бути включені до складу складних функцій, причому самі складні функції можуть бути складовими складного функції.

Приклад 5

Наприклад розглянемо складну функцію виду y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1)

Ця функція може бути представлена ​​у вигляді y = f (g (x)) , де значення f є функцією логарифму на підставі 3 , а g (x) вважається сумою двох функцій виду h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 і k(x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Очевидно, що y = f(h(x) + k(x)) .

Розглянемо функцію h(x) . Це відношення l(x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 к m (x) = e x 2 + 3 3

Маємо, що l(x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n(x) + p(x) є сумою двох функцій n(x) = x 2 + 7 та p(x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , де p (x) = 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) є складною функцією з числовим коефіцієнтом 3 а p 1 - функцією зведення в куб, p 2 функцією косинуса, p 3 (x) = 2 x + 1 – лінійною функцією.

Отримали, що m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) є сумою двох функцій q (x) = e x 2 і r (x) = 3 3 де q (x) = q 1 (q 2 (x)) – складна функція, q 1 – функція з експонентою, q 2 (x) = x 2 – статечна функція.

Звідси видно, що h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 · p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

При переході до виразу виду k(x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) видно, що функція представлена ​​у вигляді складної s(x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) з цілою раціональною t (x) = x 2 + 1 , де s 1 є функцією зведення в квадрат, а s 2 (x) = ln x - логарифмічної з основою е.

Звідси випливає, що вираз набуде вигляду k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) .

Тоді отримаємо, що

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) · t (x)

За структурами функції стало явно, як і які формули необхідно застосовувати для спрощення вираження за його диференціювання. Для ознайомлення подібних завдань і для поняття їх вирішення необхідно звернутися до пункту диференціювання функції, тобто знаходження її похідної.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Наводиться доказ формули похідної складної функції. Детально розглянуті випадки, коли складна функція залежить від однієї та двох змінних. Проводиться узагальнення на випадок довільного числазмінних.

Зміст

Див. також: Приклади застосування формули похідної складної функції

Основні формули

Тут ми наводимо виведення таких формул для похідної складної функції.
Якщо то
.
Якщо то
.
Якщо то
.

Похідна складної функції від однієї змінної

Нехай функцію від змінної x можна представити як складну функцію у такому вигляді:
,
де є деякі функції. Функція диференційована при певному значенні змінної x. Функція диференційована при значенні змінної.
Тоді складна (складова) функція диференційована в точці x та її похідна визначається за формулою:
(1) .

Формулу (1) також можна записати так:
;
.

Доведення

Введемо такі позначення.
;
.
Тут є функція від змінних та , є функція від змінних та . Але ми опускатимемо аргументи цих функцій, щоб не захаращувати викладки.

Оскільки функції та диференційовані в точках x і відповідно, то в цих точках існують похідні цих функцій, які є наступними межами:
;
.

Розглянемо таку функцію:
.
При фіксованому значенні змінної u є функцією від . Очевидно, що
.
Тоді
.

Оскільки функція є функцією, що диференціюється в точці , то вона безперервна в цій точці. Тому
.
Тоді
.

Тепер знаходимо похідну.

.

Формулу доведено.

Слідство

Якщо функцію від змінної x можна подати як складну функцію від складної функції
,
то її похідна визначається за формулою
.
Тут , і є деякі функції, що диференціюються.

Щоб довести цю формулу ми послідовно обчислюємо похідну за правилом диференціювання складної функції.
Розглянемо складну функцію
.
Її похідна
.
Розглянемо вихідну функцію
.
Її похідна
.

Похідна складної функції від двох змінних

Тепер нехай складна функція залежить від кількох змінних. Спочатку розглянемо випадок складної функції від двох змінних.

Нехай функцію , яка залежить від змінної x , можна як складну функцію від двох змінних у вигляді:
,
де
і є функції, що диференціюються при деякому значенні змінної x ;
- Функція від двох змінних, що диференціюється в точці , . Тоді складна функція визначена в деякій околиці точки і має похідну, яка визначається за формулою:
(2) .

Доведення

Оскільки функції і диференційовані в точці , то вони визначені в околицях цієї точки, безперервні в точці і існують їх похідні в точці , які є такими межами:
;
.
Тут
;
.
Через безперервність цих функцій у точці маємо:
;
.

Оскільки функція диференційована в точці , то вона визначена в околиці цієї точки, безперервна в цій точці і її збільшення можна записати в наступному вигляді:
(3) .
Тут

- збільшення функції при збільшенні її аргументів на величини і ;
;

- Приватні похідні функції по змінним та .
При фіксованих значеннях і і є функції від змінних і . Вони прагнуть до нуля при і :
;
.
Оскільки і , то
;
.

Приріст функції:

. :
.
Підставимо (3):



.

Формулу доведено.

Похідна складної функції від кількох змінних

Наведений вище висновок легко узагальнюється у разі, коли кількість змінних складної функції більше двох.

Наприклад, якщо f є функцією від трьох змінних, то
,
де
, і є функції, що диференціюються при деякому значенні змінної x ;
- функція, що диференціюється, від трьох змінних, в точці , , .
Тоді, з визначення диференційності функції маємо:
(4)
.
Оскільки, через безперервність,
; ; ,
то
;
;
.

Розділивши (4) на та виконавши граничний перехід, отримаємо:
.

І, нарешті, розглянемо найзагальніший випадок.
Нехай функцію від змінної x можна уявити як складну функцію від n змінних у такому вигляді:
,
де
є функції, що диференціюються при деякому значенні змінної x ;
- диференційована функція від n змінних у точці
, , ... , .
Тоді
.

Див. також:

На якому ми розібрали найпростіші похідні, а також познайомились із правилами диференціювання та деякими технічними прийомами знаходження похідних. Таким чином, якщо з похідними функцій у Вас не дуже або якісь моменти цієї статті будуть не зовсім зрозумілі, то спочатку ознайомтеся з вищезгаданим уроком. Будь ласка, налаштуйтеся на серйозний лад – матеріал не з простих, але я намагаюся викласти його просто і доступно.

На практиці з похідною складною функцією доводиться стикатися дуже часто, я навіть сказав би, майже завжди, коли Вам дано завдання на перебування похідних.

Дивимося в таблицю правило (№5) диференціювання складної функції:

Розбираємось. Насамперед звернемо увагу на запис . Тут у нас дві функції - і, причому функція, образно кажучи, вкладена в функцію. Функція такого виду (коли одна функція вкладена в іншу) і називається складною функцією.

Функцію я називатиму зовнішньою функцією, а функцію – внутрішньою (або вкладеною) функцією.

! Дані визначення не є теоретичними та не повинні фігурувати у чистовому оформленні завдань. Я застосовую неформальні вирази "зовнішня функція", "внутрішня" функція тільки для того, щоб Вам легше було зрозуміти матеріал.

Для того щоб прояснити ситуацію, розглянемо:

Приклад 1

Знайти похідну функції

Під синусом у нас знаходиться не просто буква «ікс», а ціле вираження, тому знайти похідну відразу по таблиці не вийде. Також ми помічаємо, що тут неможливо застосувати перші чотири правила, начебто є різниця, але річ у тому, що «розривати на частини» синус не можна:

У даному прикладівже з моїх пояснень інтуїтивно зрозуміло, що функція – це складна функція, причому многочлен є внутрішньою функцією (вкладенням), а – зовнішньої функцією.

Перший крок, який потрібно виконати при знаходженні похідної складної функції полягає в тому, щоб розібратися, яка функція є внутрішньою, а яка – зовнішньою.

В разі простих прикладівначебто зрозуміло, що під синус вкладений багаточлен. А як бути, якщо все не очевидно? Як точно визначити яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою? Для цього я пропоную використовувати наступний прийом, який можна проводити подумки або на чернетці.

Уявимо, що нам потрібно обчислити на калькуляторі значення виразу (замість одиниці може бути будь-яке число).

Що ми обчислимо насамперед? В першу чергунеобхідно виконати таку дію: , тому многочлен і буде внутрішньої функцією :

У другу чергупотрібно буде знайти, тому синус - буде зовнішньою функцією:

Після того, як ми РОЗІБРАЛИСЯз внутрішньою та зовнішньою функціями саме час застосувати правило диференціювання складної функції .

Починаємо вирішувати. З уроку Як знайти похідну?ми пам'ятаємо, що оформлення рішення будь-якої похідної завжди починається так - укладаємо вираз у дужки і ставимо праворуч угорі штрих:

Спочаткузнаходимо похідну зовнішньої функції (синусу), дивимося на таблицю похідних елементарних функцій і помічаємо, що . Всі табличні формули застосовні і в тому випадку, якщо «ікс» замінити складним виразом, в даному випадку:

Зверніть увагу, що внутрішня функція не змінилася, її ми не чіпаємо.

Ну і цілком очевидно, що

Результат застосування формули у чистовому оформленні виглядає так:

Постійний множник зазвичай виносять на початок виразу:

Якщо залишилося якесь непорозуміння, перепишіть рішення на папір і прочитайте пояснення.

Приклад 2

Знайти похідну функції

Приклад 3

Знайти похідну функції

Як завжди записуємо:

Розбираємось, де у нас зовнішня функція, а де внутрішня. Для цього пробуємо (подумки або на чернетці) обчислити значення виразу при . Що потрібно виконати насамперед? В першу чергу потрібно порахувати чому рівна основа: , отже, багаточлен - і є внутрішня функція:

І тільки потім виконується зведення в ступінь , отже, статечна функція - це зовнішня функція:

Згідно з формулою , спочатку потрібно знайти похідну від зовнішньої функції, у разі, від ступеня. Розшукуємо у таблиці потрібну формулу: . Повторюємо ще раз: будь-яка таблична формула справедлива не тільки для «ікс», але і для складного вираження. Таким чином, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний:

Знову наголошую, що коли ми беремо похідну від зовнішньої функції, внутрішня функція у нас не змінюється:

Тепер залишилося знайти зовсім просту похідну від внутрішньої функції і трохи «зачесати» результат:

Приклад 4

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення(Відповідь наприкінці уроку).

Для закріплення розуміння похідної складної функції наведу приклад без коментарів, спробуйте самостійно розібратися, поміркувати, де зовнішня і внутрішня функція, чому завдання вирішені саме так?

Приклад 5

а) Знайти похідну функції

б) Знайти похідну функції

Приклад 6

Знайти похідну функції

Тут у нас корінь, а для того, щоб продиференціювати корінь, його потрібно подати у вигляді ступеня. Таким чином, спочатку наводимо функцію в належний для диференціювання вигляд:

Аналізуючи функцію, приходимо до висновку, що сума трьох доданків – це внутрішня функція, а зведення у ступінь – зовнішня функція. Застосовуємо правило диференціювання складної функції :

Ступінь знову представляємо у вигляді радикала (кореня), а для похідної внутрішньої функції застосовуємо просте правило диференціювання суми:

Готово. Можна ще у дужках привести вираз до спільному знаменникуі записати все одним дробом. Гарно, звичайно, але коли виходять громіздкі довгі похідні – краще цього не робити (легко заплутатися, припуститися непотрібної помилки, та й викладачеві буде незручно перевіряти).

Приклад 7

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).

Цікаво відзначити, що іноді замість правила диференціювання складної функції можна використовувати правило приватного диференціювання Але таке рішення виглядатиме як збочення незвичайно. Ось характерний приклад:

Приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна використовувати правило диференціювання приватного , але набагато вигідніше знайти похідну через правило диференціювання складної функції:

Підготовляємо функцію для диференціювання – виносимо мінус за знак похідної, а косинус піднімаємо до чисельника:

Косинус – внутрішня функція, зведення у ступінь – зовнішня функція.
Використовуємо наше правило :

Знаходимо похідну внутрішньої функції, косинус скидаємо назад донизу:

Готово. У розглянутому прикладі важливо не заплутатися у знаках. До речі, спробуйте вирішити його за допомогою правила , відповіді повинні збігтися.

Приклад 9

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).

Досі ми розглядали випадки, коли у нас у складній функції було лише одне вкладення. У практичних завданнях часто можна зустріти похідні, де, як матрьошки, одна в іншу, вкладені відразу 3, а то і 4-5 функцій.

Приклад 10

Знайти похідну функції

Розбираємось у вкладеннях цієї функції. Пробуємо обчислити вираз за допомогою піддослідного значення. Як би ми рахували на калькуляторі?

Спочатку потрібно знайти , отже, арксинус - найглибше вкладення:

Потім цей арксинус одиниці слід звести у квадрат:

І, нарешті, сімку зводимо в ступінь:

Тобто, в даному прикладі у нас три різні функції і два вкладення, при цьому найвнутрішній функцією є арксинус, а зовнішньої функцією – показова функція.

Починаємо вирішувати

Відповідно до правила Спочатку потрібно взяти похідну від зовнішньої функції. Дивимося в таблицю похідних і знаходимо похідну показової функції: Єдина відмінність – замість «ікс» у нас складний вираз, що не скасовує справедливість цієї формули. Отже, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний.