Коли статистика відхилилася від принципів Байєса Англійський статистик і біолог на ім'я Рональд Еймлер (Р. А.) Фішер був, можливо, основним інтелектуальним суперником Томаса Байєса, незважаючи на те, що він народився в 1890 р., майже через 120 років після його смерті. Він виявив

Математика про долю Визначеність Що цінують у науці найбільше? Очевидно, те, що вона може прогнозувати майбутнє. Саме за цією ознакою більшість людей відокремлюють "науку" від "ненауки". Якщо ви кажете: «Можливо, це буде так, хоча, може, інакше», на вас у

ТЕОРЕМИ ЧААДАЄВА Масон. Франкомовний літератор. Написав сторінок триста, надрукував – тридцять, із них прочитані багатьма десять; за які десять сторінок запідозрений у русофобії; наказан. Там було щось на кшталт примітки, ніби відступ від предмета мови: втовклива

Події утворюють повну групуякщо хоча б одне з них обов'язково відбудеться в результаті експерименту і попарно несумісні.

Припустимо, що подія Aможе наступити лише разом з одним з кількох попарно несумісних подій, що утворюють повну групу. Будемо називати події ( i= 1, 2,…, n) гіпотезамидопиту (апріорі). Імовірність появи події А визначається за формулою повної ймовірності :

Приклад 16.Є три урни. У першій урні знаходяться 5 білих та 3 чорних кулі, у другій – 4 білих та 4 чорні кулі, а у третій – 8 білих куль. Навмання вибирається одна з урн (це може означати, наприклад, що здійснюється вибір із допоміжної урни, де знаходяться три кулі з номерами 1, 2 та 3). З цієї урни навмання витягається куля. Якою є ймовірність того, що він виявиться чорним?

Рішення.Подія A– витягнуто чорну кулю. Якщо було б відомо, з якої урни витягається куля, то ймовірність можна було б обчислити за класичним визначенням ймовірності. Введемо припущення (гіпотези) щодо того, яка урна обрана для вилучення кулі.

Куля може бути вилучена або з першої урни (гіпотеза), або з другої (гіпотеза), або з третьої (гіпотеза). Оскільки є однакові шанси вибрати будь-яку зі скриньок, то .

Звідси слідує що

Приклад 17Електролампи виготовляються на трьох заводах. Перший завод виробляє 30% загальної кількості електроламп, другий – 25%,
а третій – решту. Продукція першого заводу містить 1% бракованих електроламп, другого – 1,5%, третього – 2%. До магазину надходить продукція всіх трьох заводів. Якою є ймовірність того, що куплена в магазині лампа виявилася бракованою?

Рішення.Припущення необхідно ввести щодо того, на якому заводі було виготовлено електролампу. Знаючи це, ми зможемо знайти можливість, що вона бракована. Введемо позначення для подій: A– куплена електролампа виявилася бракованою, – лампа виготовлена ​​першим заводом, – лампа виготовлена ​​другим заводом,
– лампа виготовлена ​​третім заводом.

Шукану ймовірність знаходимо за формулою повної ймовірності:

Формула Байєса. Нехай - повна група попарно несумісних подій (гіпотези). А– випадкова подія. Тоді,

Остання формула, що дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилася подія А, називають формулою Байєса .

Приклад 18До спеціалізованої лікарні надходять у середньому 50% хворих із захворюванням До, 30% - із захворюванням L, 20 % –
із захворюванням M. Ймовірність повного лікування хвороби Kдорівнює 0,7 для хвороб Lі Mці ймовірності відповідно дорівнюють 0,8 і 0,9. Хворий, який до лікарні, був виписаний здоровим. Знайдіть ймовірність того, що цей хворий страждав на захворювання K.

Рішення.Введемо гіпотези: – хворий страждав на захворювання До L, – хворий страждав на захворювання M.

Тоді за умовою завдання маємо. Введемо подію А- Хворий, який вступив до лікарні, був виписаний здоровим. За умовою

За формулою повної ймовірності отримуємо:

За формулою Байєса.

Приклад 19.Нехай у урні п'ять куль та всі припущення про кількість білих куль рівноможливі. З урни навмання взято кулю, він виявився білим. Яке припущення про початковий склад урни найімовірніше?

Рішення.Нехай – гіпотеза, що у тому, що у урні білих куль , т. е. можна зробити шість припущень. Тоді за умовою завдання маємо.

Введемо подію А– навмання взята куля біла. Обчислимо. Оскільки , то за формулою Байєса маємо:

Таким чином, найімовірнішою є гіпотеза, тому що .

Приклад 20Два із трьох незалежно працюючих елементи обчислювального пристрою відмовили. Знайдіть ймовірність того, що відмовили перший та другий елементи, якщо ймовірності відмови першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють 0,2; 0,4 та 0,3.

Рішення.Позначимо через Аподія – відмовили два елементи. Можна зробити такі гіпотези:

– відмовили перший та другий елементи, а третій елемент справний. Оскільки елементи працюють незалежно, застосовна теорема множення: .

Оскільки при гіпотезах подія Авірогідно, відповідні умовні ймовірності рівні одиниці: .

За формулою повної ймовірності:

За формулою Байєса, ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи.

Мета роботи:сформувати навички вирішення задач з теорії ймовірностей за допомогою формули повної ймовірності та формули Байєса.

Формула повної ймовірності

Ймовірність події А, яке може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій В х, В 2, ..., В п,утворюють повну групу, що дорівнює сумі творів ймовірностей кожного з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:

Цю формулу називають формулою ймовірності.

Імовірність гіпотез. Формула Байєса

Нехай подія Аможе наступити за умови появи однієї з несумісних подій В ' В 2 ,...,В п,утворюють повну групу. Оскільки наперед невідомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами. Імовірність появи події Авизначається за формулою повної ймовірності:

Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якого з'явилася подія А. Потрібно визначити, як змінилися (у зв'язку з тим, що подія Авже настало) ймовірність гіпотез. Умовні ймовірності гіпотез знаходять за формулою

У цій формулі індекс / = 1,2

Цю формулу називають формулою Байєса (на ім'я англійського математика, який її вивів; опублікована у 1764 р.). Формула Байєса дозволяє переоцінити ймовірність гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, в результаті якого з'явилася подія А.

Завдання 1.Завод виготовляє певного типу деталі, кожна деталь має дефект із ймовірністю 0,05. Деталь оглядається одним контролером; він виявляє дефект з ймовірністю 0,97, і якщо дефект не виявлено, пропускає деталь готову продукцію. Крім того, контролер може помилково забракувати деталь, що не має дефекту; ймовірність цього дорівнює 0,01. Знайти ймовірності наступних подій: А – деталь буде забракована; В – деталь буде забракована, але помилково; С – деталь буде пропущена у готову продукцію з дефектом.

Рішення

Позначимо гіпотези:

Н= (На контроль надійде стандартна деталь);

Н= (На контроль надійде нестандартна деталь).

Подія А =(Деталь буде забракована).

З умови завдання знаходимо імовірності

РН(А) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

За формулою повної ймовірності отримуємо

Імовірність того, що деталь буде забракована помилково, дорівнює

Знайдемо можливість, що деталь буде пропущена в готову продукцію з дефектом:

Відповідь:

Завдання 2.Виріб перевіряється на стандартність одним із трьох товарознавців. Імовірність того, що виріб потрапить до першого товарознавця, дорівнює 0,25, до другого – 0,26 та до третього – 0,49. Імовірність того, що виріб буде визнано стандартним першим товарознавцем, дорівнює 0,95, другим – 0,98, третім – 0,97. Знайти ймовірність, що стандартний виріб перевірено другим контролером.

Рішення

Позначимо події:

Л. =(Виріб для перевірки потрапить до /-му товарознавцю); / = 1, 2, 3;

В =(Виріб буде визнано стандартним).

За умовою завдання відомі ймовірності:

Також відомі умовні ймовірності

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що стандартний виріб перевірено другим контролером:

Відповідь:«0,263.

Завдання 3. Два автомати виробляють деталі, які надходять на загальний конвеєр. Імовірність отримання нестандартної деталі першому автоматі дорівнює 0,06, але в другому - 0,09. Продуктивність другого автомата вдвічі більша, ніж першого. З конвеєра взято нестандартну деталь. Знайти ймовірність того, що ця деталь зроблена другим автоматом.

Рішення

Позначимо події:

А. =(взята з конвеєра деталь зроблена /-м автоматом); / = 1,2;

В= (взята деталь виявиться нестандартною).

Також відомі умовні ймовірності

За формулою повної ймовірності знаходимо

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що взята нестандартна деталь зроблена другим автоматом:

Відповідь: 0,75.

Завдання 4.Випробовується прилад, що складається з двох вузлів, надійність яких дорівнює 0,8 та 0,9 відповідно. Вузли відмовляють незалежно один від одного. Прилад відмовив. Знайти з урахуванням цієї ймовірності гіпотез:

• а) несправний лише перший вузол;
• б) несправний лише другий вузол;
• в) несправні обидва вузли.

Рішення

Позначимо події:

Д = (7-й вузол не вийде з ладу); i = 1,2;

Д – відповідні протилежні події;

А= (При випробуванні буде відмова приладу).

З умови завдання одержуємо: Р(Д) = 0,8; Р(Л 2) = 0,9.

За якістю ймовірностей протилежних подій

Подія Аодно сумі творів незалежних подій

Використовуючи теорему складання ймовірностей несумісних подій та теорему множення ймовірностей незалежних подій, отримуємо

Тепер знаходимо ймовірність гіпотез:

Відповідь:

Завдання 5.На заводі болти виготовляються на трьох верстатах, які виробляють відповідно 25%, 30% та 45% усієї кількості болтів. У продукції верстатів шлюб становить відповідно 4%, 3% та 2%. Яка ймовірність того, що болт, випадково взятий з продукції, що надійшла, виявиться дефектним?

Рішення

Позначимо події:

4 = (навдачу взятий болт виготовлений на /-м верстаті); i = 1, 2, 3;

В= (взятий навмання болт виявиться дефектним).

З умови завдання за формулою класичної ймовірності знаходимо ймовірність гіпотез:

Також за формулою класичної ймовірності знаходимо умовні ймовірності:

За формулою повної ймовірності знаходимо

Відповідь: 0,028.

Завдання 6.Електронна схема належить одній із трьох партій із ймовірностями 0,25; 0,5 та 0,25. Імовірність того, що схема пропрацює понад гарантійний термін служби для кожної з партій, відповідно становить 0,1; 0,2 та 0,4. Знайти ймовірність того, що навмання взята схема пропрацює понад гарантійний термін служби.

Рішення

Позначимо події:

4 = (навгадай взята схема з г-й партії); i = 1, 2, 3;

В= (навгади взята схема пропрацює понад гарантійний термін служби).

За умовою завдання відомі ймовірності гіпотез:

Також відомі умовні ймовірності:

За формулою повної ймовірності знаходимо

Відповідь: 0,225.

Завдання 7.Прилад містить два блоки, справність кожного з яких необхідна для роботи приладу. Імовірності безвідмовної роботи для цих блоків відповідно дорівнюють 0,99 та 0,97. Прилад вийшов із ладу. Визначити ймовірність того, що відмовили обидва блоки.

Рішення

Позначимо події:

Д = ( z-й блоквийде з ладу); i = 1,2;

А= (Пристрій вийде з ладу).

З умови завдання за якістю ймовірностей протилежних подій отримуємо: ДД) = 1-0,99 = 0,01; ДД) = 1-0,97 = 0,03.

Подія Анастає лише тоді, коли настає хоча б одна з подій Д або 2 .Тому ця подія дорівнює сумі подій А= Д + А 2 .

За теоремою складання ймовірностей спільних подій отримуємо

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що пристрій вийшов з ладу через відмову обох блоків.

Відповідь:

Завдання для самостійного рішення Завдання 1.На складі телевізійного ательє є 70% кінескопів, виготовлених заводом №1; інші кінескопи виготовлені заводом № 2. Ймовірність те, що кінескоп не вийде з експлуатації протягом гарантійного терміну служби, дорівнює 0,8 для кінескопів заводу № 1 і 0,7 - для кінескопів заводу № 2. Кінескоп витримав гарантійний термін служби. Знайти ймовірність, що він виготовлений заводом № 2.

Завдання 2.На складання надходять деталі з трьох автоматів. Відомо, що перший автомат дає 0,3% шлюбу, другий - 0,2%, третій - 0,4%. Знайти можливість надходження на складання бракованої деталі, якщо з 1-го автомата надійшли 1000, з 2-го - 2000, з 3-го - 2500 деталей.

Завдання 3.На двох верстатах виготовляються однакові деталі. Імовірність того, що деталь, зроблена на першому верстаті, буде стандартною, дорівнює 0,8, а на другому - 0,9. Продуктивність другого верстата втричі більша за продуктивність першого. Знайти ймовірність того, що стандартною буде деталь, взята навмання з транспортера, на який надходять деталі з обох верстатів.

Завдання 4.Керівник компанії вирішив скористатися послугами двох із трьох транспортних фірм. Імовірності несвоєчасної доставки вантажу для першої, другої та третьої фірм рівні відповідно 0,05; 0,1 та 0,07. Зіставивши ці дані з даними про безпеку вантажних перевезень, керівник дійшов висновку про рівнозначність вибору і вирішив зробити його за жеребом. Знайти ймовірність того, що надісланий вантаж буде доставлений вчасно.

Завдання 5.Прилад містить два блоки, справність кожного з яких необхідна для роботи приладу. Імовірності безвідмовної роботи для цих блоків відповідно дорівнюють 0,99 та 0,97. Прилад вийшов із ладу. Визначте можливість того, що відмовив другий блок.

Завдання 6. До складального цеху надходять деталі з трьох автоматів. Перший автомат дає 3% шлюбу, другий – 1% та третій – 2%. Визначити можливість попадання на складання небракованої деталі, якщо з кожного автомата надійшло відповідно 500, 200, 300 деталей.

Завдання 7.До складу надходить продукція трьох фірм. Причому продукція першої фірми становить 20%, другий – 46% та третьої – 34%. Відомо також, що середній відсоток нестандартних виробів для першої фірми дорівнює 5%, для другої – 2% та для третьої – 1%. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб вироблено другою фірмою, якщо воно виявилося стандартним.

Завдання 8.Шлюб у продукції заводу внаслідок дефекту астановить 5%, причому серед забракованих за ознакою апродукції в 10% випадків трапляється дефект нар.А в продукції, вільній від дефекту а, дефект рзустрічається у 1% випадків. Знайти ймовірність зустрічі дефекту Ру всій продукції.

Завдання 9.У фірмі є 10 нових автомобілів та 5 старих, які раніше перебували у ремонті. Імовірність справної роботи для нового авто дорівнює 0,94, старого – 0,91. Знайти ймовірність того, що навмання обраний автомобіль буде справно працювати.

Завдання 10.Два датчики посилають сигнали в загальний канал зв'язку, причому перший посилає вдвічі більше сигналів, ніж другий. Можливість отримати спотворений сигнал від першого датчика дорівнює 0,01, від другого - 0,03. Яка можливість отримати спотворений сигнал у загальному каналі зв'язку?

Завдання 11.Є п'ять партій виробів: три партії по 8 штук, з яких 6 стандартних та 2 нестандартні, та дві партії по 10 штук, з яких 7 стандартних та 3 нестандартних. Навмання вибирають одну з партій, а з цієї партії беруть деталь. Визначити ймовірність того, що взята деталь буде стандартною.

Завдання 12.Складальник отримує в середньому 50% деталей першого заводу, 30% - другого заводу та 20% - третього заводу. Імовірність того, що деталь першого заводу відмінної якості дорівнює 0,7; для деталей другого та третього заводів відповідно 0,8 та 0,9. Наудачу взята деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовірність того, що деталь зроблена першим заводом.

Завдання 13.Митний огляд автомашин здійснюють два інспектори. У середньому зі 100 машин 45 проходять через першого інспектора. Імовірність того, що при огляді машина, яка відповідає митним правилам, не буде затримана, становить 0,95 у першого інспектора та 0,85 у другого. Знайти ймовірність того, що машину, яка відповідає митним правилам, не буде затримано.

Завдання 14.Деталі, необхідні для збирання приладу, надходять із двох автоматів, продуктивність яких однакова. Обчисліть можливість надходження на складання стандартної деталі, якщо один з автоматів дає в середньому 3% порушення стандарту, а другий - 2%.

Завдання 15.Тренер з важкої атлетики розрахував, що для отримання командних залікових очок у даній ваговій категорії спортсмен має штовхнути штангу 200 кг. На місце у команді претендують Іванов, Петров та Сидоров. Іванов за час тренувань намагався підняти таку вагу у 7 випадках, а підняв у 3 з них. Петров підняв у 6 випадках з 13, а Сидоров має 35%-ну можливість успішно впоратися зі штангою. Тренер випадковим жеребом вибирає одного спортсмена у команду.

• а) Знайти ймовірність, що обраний спортсмен принесе команді залікові очки.
• б) Команда не одержала залікових очок. Знайти ймовірність, що виступав Сидоров.

Завдання 16.У білому ящику 12 червоних та 6 синіх куль. У чорному - 15 червоних та 10 синіх куль. Кидають гральний кубик. Якщо випаде кількість очок, кратна 3, то навмання беруть кулю з білого ящика. Якщо випаде будь-яка інша кількість очок, то навмання беруть кулю із чорної скриньки. Якою є ймовірність появи червоної кулі?

Завдання 17.У двох ящиках є радіолампи. У першому ящику міститься 12 ламп, їх 1 нестандартна; у другому 10 ламп, їх 1 нестандартна. З першого ящика навмання взято лампу і перекладено на другий. Знайти ймовірність того, що навмання витягнута з другого ящика лампа буде нестандартною.

Завдання 18.У урну, що містить дві кулі, опущена біла куля, після чого з неї навмання вилучено одну кулю. Знайти ймовірність того, що витягнутий шар буде білим, якщо рівноможливі всі можливі припущення про початковий склад куль (за кольором).

Завдання 19.У ящик, що містить 3 однакові деталі, кинута стандартна деталь, а потім навмання одна деталь витягнута. Знайти ймовірність того, що вилучено стандартну деталь, якщо рівноймовірні всі можливі припущення про кількість стандартних деталей, що спочатку перебувають у ящику.

Завдання 20.Для поліпшення якості радіозв'язку використовуються два радіоприймачі. Імовірність прийому сигналу кожним приймачем дорівнює 0,8 і ці події (прийом сигналу приймачем) незалежні. Визначити ймовірність прийому сигналу, якщо ймовірність безвідмовної роботи під час сеансу радіозв'язку кожного приймача дорівнює 0,9.