15 изпитен профил как се решава с логаритми. Работата на Манов "логаритмични неравенства в изпита"

„РЕШЕНИЕ НА ЛОГАРИТМИЧНИ НЕРАВЕНСТВА (ЗАДАЧА №15 ИЗПОЛЗВАНЕ НА ПРОФИЛ). ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛОГАРИТМИ В РАЗЛИЧНИ СФЕРИ НА ЧОВЕШКИ ЖИВОТ"

Епиграфът на урока ще бъдат думите на Морис Клайн „Музиката може да издигне или успокои душата, живописта може да радва окото, поезията може да събуди чувства, философията може да задоволи нуждите на разума, инженерството може да подобри материалната страна на живота на хората иматематиката е в състояние да постигне всички тези цели »

Сега нека създадем настроение за успех!

Ще отговорим на следните въпроси:

Практика за проверка изпитни работи, а аз съм експерт по математика по USE от 2005 г. показва, че най-голямата трудност за учениците е решаването на трансценденталните неравенства, особено логаритмични неравенствас променлива база.

Ето защо предлагам да разгледаме, първо, метода на рационализация (методът на разлагане на Моденов), или по друг начин, метода за замяна на множителите на Голубев, който ви позволява да намалите сложните, по-специално логаритмичните неравенства, до система от по-прости рационални неравенства.

Така например при решаване на неравенството
в оценъчния вариант, предложен на експертите от изпита, е дадено следното решение:

Предлагам да използвате метода на рационализация:

Решаване на първото неравенство по метода на интервалите и отчитане, че получаваме

Решение на следното неравенство

Видях го така:

И обясних на учениците, че понякога едно графично решение е по-просто.

И в резултат на това решението на това неравенство има формата:

Помислете за неравенството

Решавайки това неравенство, може да се използва формулата

но да отидеш до основата е число, и то абсолютно всяко:

и решете полученото неравенство по метода на интервалите:

ODZ:

и решаваме полученото неравенство по метода на интервалите

и като вземем предвид ODZ получаваме:

И, решавайки следващия тип неравенство, учениците, когато записват отговора, обикновено губят едно от решенията. Определено трябва да обърнете внимание на това.

Нека намерим ODZ:

и извършваме подмяната: получаваме:

Обръщам внимание на факта, че често учениците, решаващи това, полученото неравенство, отхвърлят знаменателя, като по този начин губят едно от решенията:

Като се има предвид ODZ, получаваме: и

И в края на урока предлагам на учениците интересни факти за приложението на логаритмите в различни области.

Навсякъде, където има процеси, които се променят във времето, се използват логаритми.

Логаритмите са математическо понятие, което се използва във всички клонове на науката: химия, биология, физика, география, информатика и много други, но най-широко приложение на логаритмите се намира в икономиката.

Статията е посветена на анализа на задачи 15 от профилен изпитпо математика за 2017г. В тази задача на учениците се предлага да решават неравенства, най-често логаритмични. Въпреки че може да има показателни. Тази статия предоставя анализ на примери за логаритмични неравенства, включително тези, съдържащи променлива в основата на логаритъма. Всички примери са взети от отворена банказадачи на USE по математика (профил), така че е вероятно такива неравенства да ви срещнат на изпита като задача 15. Идеален за тези, които за кратък период от време искат да научат как да решават задача 15 от втората част на профила USE по математика, за да получите повече точки на изпита.

Анализ на 15 задачи от профилния изпит по математика

В задачите на 15-ия изпит по математика (профил) често се срещат логаритмични неравенства. Решаването на логаритмичните неравенства започва с определянето на площта приемливи стойности... В този случай няма променлива в основата на двата логаритма, има само числото 11, което значително опростява задачата. Следователно единственото ограничение, което имаме тук, е, че и двата израза под знака на логаритъма са положителни:

Заглавие = "(! LANG: Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Първото неравенство в системата е квадратното неравенство. За да го решим, наистина няма да ни пречи да се разложим лява странапо фактори. Мисля, че знаеш, че всеки квадратен триноммил разложен на множители, както следва:

където и са корените на уравнението. В този случай коефициентът е 1 (това е числовият коефициент пред). Коефициентът също е 1, а коефициентът е прихващане, той е -20. Корените на тричлен най-лесно се определят от теоремата на Виета. Уравнението, което сме дали, тогава сумата от корените ще бъде равна на коефициента с противоположен знак, тоест -1, а произведението на тези корени ще бъде равно на коефициента, тоест -20. Лесно е да се предположи, че корените ще бъдат -5 и 4.

Сега лявата страна на неравенството може да бъде разложена на множители: title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} хв точки -5 и 4. Следователно желаното решение на неравенството е интервал. За тези, които не разбират какво пише тук, можете да видите подробностите във видеото, като се започне от този момент. Там ще намерите и подробно обяснение как се решава второто неравенство на системата. То се решава. Освен това отговорът е абсолютно същият като при първото неравенство на системата. Тоест, наборът, написан по-горе, е диапазонът на допустимите стойности на неравенството.

И така, като се вземе предвид факторизацията, първоначалното неравенство приема формата:

Използвайки формулата, привеждаме 11 в степента на израза под знака на първия логаритъм и преместваме втория логаритъм от лявата страна на неравенството, като променяме знака му на обратния:

След намаляване получаваме:

Последното неравенство, поради нарастването на функцията, е еквивалентно на неравенството , чието решение е интервалът ... Остава да го пресечете с диапазона от допустими стойности на неравенството и това ще бъде отговорът на цялата задача.

И така, желаният отговор на задачата е:

Разбрахме тази задача, сега се обръщаме към следващия пример за задачата 15 USE по математика (профил).

Започваме решението, като определяме диапазона на допустимите стойности на това неравенство. В основата на всеки логаритъм трябва да бъде положително число, което не е равно на 1. Всички изрази под знака на логаритъма трябва да са положителни. В знаменателя на дроба не трябва да има нула. Последното условие е еквивалентно на това, тъй като само в противен случай и двата логаритма в знаменателя изчезват. Всички тези условия определят диапазона на допустимите стойности на това неравенство, което се определя от следната система от неравенства:

Заглавие = "(! LANG: Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

В диапазона от валидни стойности можем да използваме формулите за трансформация на логаритмите, за да опростим лявата част на неравенството. Използване на формулата отървете се от знаменателя:

Сега имаме само основни логаритми. Това вече е по-удобно. След това използваме формулата, както и формулата, за да приведем израза, който заслужава слава, в следната форма:

При изчисленията използвахме това, което е в диапазона на допустимите стойности. Използвайки замяната, стигаме до израза:

Използваме още един заместител:. В резултат на това стигаме до следния резултат:

Така че постепенно се връщаме към първоначалните променливи. Първо към променливата:

ЛОГАРИТМИЧНИ НЕРАВЕНСТВА В ИЗПОЛЗВАНЕТО

Сечин Михаил Александрович

Малка академия на науките за студенти на Република Казахстан "Търсач"

MBOU "Советска средно училище № 1", 11 клас, гр. Съветски съветски район

Гунко Людмила Дмитриевна, учител в MBOU "Съветско училище №1"

съветски окръг

Цел на работата:изследване на механизма за решаване на логаритмични неравенства C3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране интересни фактилогаритъм.

Предмет на изследване:

3) Научете се да решавате специфични логаритмични неравенства C3 с помощта на нестандартни методи.

Резултати:

Съдържание

Въведение …………………………………………………………………………………… .4

Глава 1. Предистория …………………………………………………………… ... 5

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства ………………………… 7

2.1. Еквивалентни преходи и обобщения метод на интервалите …………… 7

2.2. Метод на рационализиране ……………………………………………………………………… 15

2.3. Нестандартна замяна ……………… ................................................ ..... 22

2.4. Мисии на капан ………………………………………………………………… 27

Заключение …………………………………………………………………… 30

Литература………………………………………………………………………………. 31

Въведение

Аз съм 11 клас и смятам да вляза в университет, където профилна темае математика. Затова работя много с проблемите на част C. В задача C3 трябва да решите нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. Докато се подготвях за изпита, се сблъсках с проблема с липсата на методи и техники за решаване на изпитните логаритмични неравенства, предлагани в C3. Методи, които се учат в училищна програмапо тази тема не дават основа за решаване на задачи C3. Учителката по математика ме покани да работя сама със задачите C3 под нейно ръководство. Освен това ме интересуваше въпросът: срещат ли се логаритмите в нашия живот?

С оглед на това беше избрана темата:

"Логаритмични неравенства в изпита"

Цел на работата:изследване на механизма за решаване на C3 задачи с помощта на нестандартни методи, разкриващи интересни факти от логаритъма.

Предмет на изследване:

1) Намерете необходимата информациявърху нестандартни методи за решаване на логаритмични неравенства.

2) Намерете повече информация за логаритмите.

3) Научете се да решавате конкретни задачи C3, използвайки нестандартни методи.

Резултати:

Практическото значение се крие в разширяването на апарата за решаване на C3 задачи. Този материал може да се използва в някои уроци, за провеждане на кръгове, извънкласни дейностиматематика.

Продуктът на проекта ще бъде колекцията “Логаритмични C3 неравенства с решения”.

Глава 1. Предистория

През 16-ти век броят на приблизителните изчисления бързо нараства, главно в астрономията. Усъвършенстването на инструментите, изучаването на планетарните движения и друга работа изискваха колосални, понякога много години, изчисления. Астрономията беше в реална опасност да се удави в неизпълнени изчисления. Възникнаха трудности в други области, например в застрахователния бизнес бяха необходими таблици със сложни лихви за различни значенияпроцента. Основната трудност беше умножение, деление многоцифрени числа, особено тригонометрични стойности.

Откриването на логаритмите се основава на добре познатите свойства на прогресиите от края на 16 век. Относно комуникацията между членовете геометрична прогресия q, q2, q3, ... и аритметична прогресиятехните индикатори 1, 2, 3, ... говориха още в "Псалма" Архимед. Друга предпоставка беше разширяването на понятието степен към отрицателни и дробни показатели. Много автори посочват, че умножението, делението, степенуването и извличането на корен експоненциално съответстват в аритметиката – в същия ред – събиране, изваждане, умножение и деление.

Тук беше идеята за логаритъма като степен.

В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.

Етап 1

Логаритмите са изобретени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Нейпиер (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бурги (1552-1632). И двамата искаха да дадат ново удобно средство за аритметични изчисления, въпреки че подходиха към този проблем по различни начини. Napier кинематично изрази логаритмичната функция и по този начин влезе в нея нова зонатеория на функциите. Бурги остана въз основа на разглеждането на дискретни прогресии. Определението на логаритъма и за двете обаче не прилича на съвременното. Терминът "логаритъм" (логаритъм) принадлежи на Нейпиер. Възникна от комбинация от гръцки думи: logos - "връзка" и ariqmo - "число", което означава "брой на отношенията". Първоначално Нейпиър използва различен термин: numeri artificiales - "изкуствени числа", за разлика от numeri naturalts - "естествени числа".

През 1615 г., в разговор с Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика в Gresch College в Лондон, Нейпиър предлага да се вземе нула за логаритъма на единството и 100 за логаритъма на десет, или, което се свежда до същото нещо, просто 1. Така се появиха десетичните логаритми и бяха отпечатани първите логаритмични таблици. По-късно холандският книжар и любител на математиката Андриан Флак (1600-1667) допълва таблиците на Бригс. Нейпиър и Бригс, въпреки че стигнаха до логаритмите по-рано от всеки друг, публикуваха своите таблици по-късно от други - през 1620 г. Дневникът и знаците Log са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът "естествен логаритъм" е въведен от Менголи през 1659 г., последван от Н. Меркатор през 1668 г., а лондонският учител Джон Спайдел публикува таблици с естествени логаритми на числа от 1 до 1000 под заглавието "Нови логаритми".

На руски език първите логаритмични таблици са публикувани през 1703 г. Но във всички логаритмични таблици бяха направени грешки при изчислението. Първите таблици без грешки са публикувани през 1857 г. в Берлин, обработени от немския математик К. Бремикер (1804-1877).

Етап 2

По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широко приложение на аналитичната геометрия и безкрайно малките смятане. Установяването на връзка между квадратурата на равностранна хипербола и естествения логаритъм датира от това време. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.

Германският математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в композицията

"Логаритмично инженерство" (1668) дава серия, която дава разширение на ln (x + 1) в

мощности на х:

Този израз точно отговаря на хода на неговата мисъл, въпреки че, разбира се, той не използва знаците d, ..., а по-тромави символи. С откриването на логаритмичните редове техниката за изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни серии. В лекциите си "Елементарна математика от най-висока гледна точка", прочетени през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага да се използва формулата като отправна точка за изграждане на теорията на логаритмите.

Етап 3

Дефиниране на логаритмична функция като функция на обратната

експоненциална, логаритъм като индикатор за степента на дадена основа

не е формулиран веднага. Писане от Леонард Ойлер (1707-1783)

Въведение в анализа на безкрайно малкото (1748 г.) служи като допълнителен

развитие на теорията на логаритмичната функция. Поради това,

Изминаха 134 години от въвеждането на логаритмите

(от 1614 г.), преди математиците да стигнат до определението

концепцията за логаритъма, която сега е в основата на училищния курс.

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства

2.1. Еквивалентни преходи и обобщения метод на интервалите.

Еквивалентни преходи

ако а> 1

ако 0 < а < 1

Метод на обобщения интервал

Този метод е най-универсалният за решаване на неравенства от почти всякакъв тип. Схемата на решението изглежда така:

1. Намалете неравенството до вида, в който функцията
, а отдясно 0.

2. Намерете домейна на функцията
.

3. Намерете нулите на функцията
, тоест за решаване на уравнението
(и решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).

4. Начертайте домейна и нулите на функцията върху числовата права.

5. Определете знаците на функцията
на получените интервали.

6. Изберете интервали, в които функцията приема необходимите стойности, и запишете отговора.

Пример 1.

Решение:

Нека приложим метода на разстоянието

където

За тези стойности всички изрази под знака на логаритмите са положителни.

Отговор:

Пример 2.

Решение:

1-во начин . ODZ се определя от неравенството х> 3. Вземане на логаритъм за такива хбаза 10, получаваме

Последното неравенство може да бъде решено с помощта на правилата за декомпозиция, т.е. сравняване на факторите с нула. В този случай обаче е лесно да се определят интервалите на постоянство на функцията

следователно може да се приложи методът на разстоянието.

Функция е(х) = 2х(х- 3,5) lgǀ х- 3ǀ е непрекъснат при х> 3 и изчезва в точки х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 = 4. Така дефинираме интервалите на постоянство на функцията е(х):

Отговор:

2-ри начин . Нека приложим идеите на метода на интервалите директно към първоначалното неравенство.

За да направите това, припомнете си, че изразите аб - ав и ( а - 1)(б- 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство за х> 3 е еквивалентно на неравенството

или

Последното неравенство се решава по метода на интервалите

Отговор:

Пример 3.

Решение:

Нека приложим метода на разстоянието

Отговор:

Пример 4.

Решение:

От 2 х 2 - 3х+ 3> 0 за всички реални х, тогава

За да решим второто неравенство, използваме метода на интервалите

В първото неравенство правим замяната

тогава стигаме до неравенството 2y 2 - г - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те гкоито удовлетворяват неравенството -0,5< г < 1.

Откъде, откакто

получаваме неравенството

която се осъществява с тези хза което 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Сега, като вземем предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме

Отговор:

Пример 5.

Решение:

Неравенството е еквивалентно на набор от системи

или

Нека приложим метода на интервалите или

Отговор:

Пример 6.

Решение:

Неравенството е еквивалентно на системата

Нека бъде

тогава г > 0,

и първото неравенство

системата приема формата

или чрез разширяване

квадратен трином по фактори,

Прилагайки метода на интервалите към последното неравенство,

виждаме, че неговите решения удовлетворяват условието г> 0 ще бъде всичко г > 4.

По този начин първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:

И така, решенията на неравенството са всички

2.2. Метод на рационализация.

Преди това методът за рационализиране на неравенството не беше решен, не беше известен. Това е „ново модерно ефективен методрешения на експоненциални и логаритмични неравенства "(цитат от книгата на С. И. Колесникова)
И дори учителят да го познаваше, имаше опасения - но знае ли експерт изпит, защо не го дават в училище? Имаше ситуации, когато учителят казваше на ученика: "Откъде го взе? Седни - 2."
Сега методът е широко популяризиран. И за експерти има насокисвързани с този метод, и в „Най-пълните издания стандартни опции... "решение C3 използва този метод.
ПРЕКРАСЕН МЕТОД!

"Вълшебна маса"

В други източници

ако a> 1 и b> 1, след това log a b> 0 и (a -1) (b -1)> 0;

ако а> 1 и 0

ако 0<а<1 и b >1, след това log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;