ریاضی مشترک ارزش کلمه و لاکراتی

"ریاضی" چیست؟ چگونه کلمه به درستی نوشته شده است. مفهوم و تفسیر

محاسبات هنر محاسبات تولید شده با شماره های معتبر معتبر. تاریخچه مختصر ریاضی با دوران عمیق باستان، کار با اعداد به دو تقسیم شد مناطق مختلف: یکی از آنها به طور مستقیم خواص اعداد مربوط می شود، دیگر با تکنیک حساب همراه بود. تحت "ریاضی" در بسیاری از کشورها، معمولا در نظر دارد که این آخرین منطقه است که بدون شک قدیمی ترین صنعت ریاضیات است. ظاهرا، بزرگترین مشکل در محاسبات باستانی باعث کار با کسری شد. این را می توان توسط Papyrus Akhmes (همچنین به نام Papyrus Rinda به نام Papyrus Rinda)، ترکیب باستانی مصری از ریاضیات، قدمت از حدود 1650 قبل از میلاد محسوب می شود. تمام کسری های ذکر شده در پاپیروس، به استثنای 2/3، دارای عددی برابر با 1. دشواری گردش کردن کسری قابل توجه است و هنگام مطالعه قرص های بالینی باستانی باستانی. و مصری های باستانی و بابلی ها ظاهرا محاسبات را با انواع خاصی از Abaca تولید کردند. علم اعداد توسعه قابل توجهی از Pythagora از یونانی های باستانی، حدود 530 قبل از میلاد دریافت کرد. همانطور که برای تکنیک محاسبات به طور مستقیم، در این زمینه، یونانیان بسیار کمتر ساخته شد. بعدها، رومیان، برعکس، عملا به علم این تعداد کمک نکردند، بلکه بر اساس نیازهای تولید و تجارت به سرعت توسعه یافته، Abacus به عنوان یک دستگاه قابل شمارش بهبود یافت. در مورد مبدأ محاسبات هند بسیار کم است. تنها بعدها بعدا در مورد تئوری و عمل عملیات با اعداد کار می کند، پس از سیستم موقعیت یابی هند نوشته شده است، پس از آنکه سیستم موقعیت یابی هند با استفاده از آن صفر افزایش یافته است، به ما رسیده است. هنگامی که دقیقا اتفاق افتاد، به ما ناشناخته است، اما پس از آن بود که پایه های رایج ترین الگوریتم های ریاضی ما گذاشته شد (همچنین تعداد و اعداد را ببینید). سیستم شماره هند و الگوریتم های ریاضی اول توسط اعراب قرض گرفته شد. اولین وسیله نقلیه مورد نظر ما برای ما کتاب های درسی عرب توسط الخورزمی حدود 825 نوشته شده است. این به طور گسترده ای مورد استفاده قرار گرفته و توسط ارقام هند توضیح داده شده است. بعدها، این کتاب درسی به لاتین ترجمه شد و تأثیر قابل توجهی بر اروپای غربی داشت. نسخه تحریف شده از الخورزمی به ما در کلمه "الگوریتم" رسیده است، که با ترکیب بیشتر با کلمه یونانی، Adrosos به اصطلاح "الگوریتم" تبدیل شده است. محاسبات Indo-Arabic شناخته شده است اروپای غربی اساسا، به لطف ترکیب L. Fibonacci، کتاب Abaca (Liber Abaci، 1202). روش Abacy پیشنهاد شده ساده شده، شبیه به استفاده از سیستم موقعیتی ما، در هر مورد برای افزودن و ضرب. Abacists تغییر الگوریتم های مورد استفاده از روش صفر و عربی تقسیم و استخراج ریشه مربع. یکی از اولین کتاب های درسی ریاضی، نویسنده ای که ما ناشناخته بود، در سال 1478 در Treviso (ایتالیا) بیرون آمدیم. در هنگام انجام معاملات تجاری، محاسبات بود. این کتاب درسی به سلف بسیاری از کتاب های درسی ریاضی تبدیل شده است. تا 17 V. در اروپا، بیش از سهصد کتاب درسی منتشر شد. الگوریتم های ریاضی در این زمان به طور قابل توجهی بهبود یافته است. در قرن 16-17 سالگی. نمادهای عملیات محاسباتی مانند \u003d، +، -، *، "root" و / / وجود دارد. اعتقاد بر این است که کسرهای دهدهی اختراع شده در سال 1585 S. Sustin، Logarithmia - J. هرگز در سال 1614، خط لگاریتمی - W. W. Offed در سال 1622. دستگاه های مدرن آنالوگ و دیجیتال محاسبات در وسط 20 V اختراع شدند. همچنین ریاضیات را ببینید تاریخ ریاضیات؛ نظریه اعداد؛ ردیف مکانیزاسیون محاسبات محاسباتی. با توسعه جامعه، نیاز به محاسبات سریع تر و دقیق رشد کرد. این نیاز به زندگی چهار اختراع فوق العاده: نشانه عددی هند-عربی، کسرهای دهدهی، لگاریتم ها و ماشین های محاسباتی مدرن. در حقیقت، ساده ترین دستگاه های قابل شمارش قبل از ظهور محاسبات مدرن وجود داشت، زیرا در دوران باستان، عملیات ریاضی ابتدایی بر روی Abacus ساخته شد (در روسیه، نمرات برای این منظور استفاده شد). ساده ترین دستگاه محاسبات مدرن می تواند یک خط لگاریتمی از دو حرکت در کنار یک مقیاس لگاریتمی باشد، که به شما اجازه می دهد تا ضرب و تقسیم را تولید کنید، جمع آوری و پاک کردن بخش های مقیاس. مخترع اولین دستگاه مکانیکی مکانیک توسط B. پاسکال (1642) در نظر گرفته شده است. بعدها در همان قرن لایبنیتس (1671) در آلمان و S. Morland (1673) در انگلستان، ماشین آلات دستگاه های ضرب را اختراع کردند. این دستگاه ها پیشینیان دستگاه های رایانه ای دسکتاپ (ermithmometers) 20 V را تبدیل کرده اند. این عملیات را به سرعت و به طور دقیق عملیات، تفریق، ضرب و تقسیمات تولید می کند. در سال 1812، ریاضیدان انگلیسی C. Babbage شروع به ایجاد یک پروژه برای محاسبه جداول ریاضی کرد. اگر چه کار در این پروژه سالها طول کشید، اما ناتمام باقی ماند. با این وجود، پروژه بابید به عنوان انگیزه ای برای ایجاد ماشین های کامپیوتری مدرن، اولین نمونه هایی از آن در سال 1944 ظاهر شد. سرعت این ماشین ها شگفت انگیز شگفت انگیز: با کمک خود را برای یک دقیقه یا ساعت امکان حل مشکلات قبلا خواستار بسیاری از محاسبات مداوم حتی با استفاده از ermitomometers. به عنوان مثال، ماهیت پرونده را می توان با یک مثال از یک مسئله ریاضی خاص توضیح داد، به عنوان مثال، محاسبه تعداد P (نسبت طول دور به قطر آن). اولین تلاش های سیستماتیک محاسبه P در Archimedes (تقریبا 240 پیش از میلاد) یافت می شود. با استفاده از یک سیستم تعداد بسیار ناقص، پس از کار طولانی، توانست به محاسبه P با دقت معادل ما سیستم مدرن تعداد دو نشانه سکوت با استفاده از روش Archimedes، L. W. Zeilen (1540-1610)، با استفاده از این بخش قابل توجهی از زندگی، توانستیم P را با دقت 35 عدد صفحات اعشاری محاسبه کند. در سال 1873، پس از پانزده سال کار، U.shenks مقدار P را با 707 نشانه دریافت کرد، اما بعدا معلوم شد که از زمان علامت 528، خطاها در محاسبه آن جنین بودند. در سال 1958، رایانه IBM 707 کاراکتر را در تعداد P محاسبه کرد و محاسبات بیشتری را ادامه داد، 10000 کاراکتر را به مدت 100 دقیقه دریافت کرد. همچنین کامپیوتر را ببینید pi کل اعداد مثبت. اساس ایده های ما در مورد اعداد مفاهیم بصری مجموعه، مکاتبات بین مجموعه ها و توالی بی نهایت نشانه های قابل تشخیص یا صداها است. آشنا به تمام دنباله های ما از نمادهای 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، ... چیزی جز توالی بی نهایت نشانه های قابل تشخیص و یک توالی بی نهایت وجود ندارد برای تلفن های موبایل قابل تشخیص (یا کلمات) "یکی"، "دو"، "سه"، "چهار"، "پنج"، "شش"، "هفت"، "هشت"، "نه"، "ده"، "یازده"، "دوازده" ،. .. مربوط به نمادهای خاص. هر مجموعه ای، تمام عناصر آن را می توان در یک مکالمه دو طرفه منحصر به فرد با عناصر یک بخش اولیه خاص از دنباله بی نهایت ما از نمادها قرار داده، مجموعه نهایی نامیده می شود. در عین حال، تعداد عناصر مجموعه نشان دهنده آخرین نماد بخش است. به عنوان مثال، تعدادی از اقلامی که می توانند به یک مکاتبات متقابل منحصر به فرد با بخش اولیه 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، مجموعه ای نهایی شامل 8 عناصر 8 (هشت ") قرار داده شوند. نماد 8 نشان دهنده "شماره" اشیاء موجود در مجموعه منبع است. این شماره یک شخصیت است، یا یک میانبر نسبت به این مجموعه. همان برچسب به همه کسانی که و تنها مجموعه هایی هستند که می توانند به یک مکاتبات متقابلا منحصر به فرد با این مجموعه متصل شوند، نسبت داده می شود. تعریف یکپارچه از یک برچسب برای هر مجموعه محدودی به نام "محاسبه" از عناصر این مجموعه نامیده می شود و برچسب ها خود را به نام شماره های مثبت یا عدد صحیح به دست آورد (همچنین تعداد را ببینید؛ مجموعه تئوری). اجازه دهید A و B دو مجموعه نهایی باشد که ندارند عناصر مشترکو اجازه دهید یک حاوی عناصر n باشد، و B حاوی عناصر m است. سپس مجموعه S، متشکل از تمام عناصر مجموعه A و B، با هم جمع شده، مجموعه ای نهایی است که شامل عناصر S می گویند. به عنوان مثال، اگر یک متشکل از عناصر (A، B، C)، مجموعه ای از B - از عناصر (x، y)، سپس مجموعه s \u003d a + b و شامل عناصر (a، b، c، x ، x، y). تعداد S مجموع شماره N و M نامیده می شود و ما آن را به صورت زیر بنویسیم: s \u003d n + m. در این رکورد، تعداد N و M اصطلاحات، جراحی مقدار نامیده می شود - علاوه بر این. نماد عملیات "+" به عنوان "به علاوه" خوانده می شود. مجموعه P متشکل از تمام Steam سفارش شده است که در آن اولین عنصر از مجموعه A انتخاب شده است، و دوم - از مجموعه B، مجموعه ای نهایی حاوی عناصر P است. به عنوان مثال، اگر، همانطور که قبلا، a \u003d (a، b، c)، b \u003d (x، y)، سپس p \u003d aґb \u003d ((a، x)، (a، y)، (b، x)، (ب، Y)، (C، X)، (C، Y)). تعداد P محصول شماره A و B نامیده می شود و ما آن را مانند این ضبط می کنیم: p \u003d a * b یا p \u003d a * b. اعداد A و B در کار، ضیارها نامیده می شود، بهره برداری از پیدا کردن یک محصول - ضرب. نماد عملیات ґ به عنوان "ضرب شده توسط" خوانده می شود. می توان نشان داد که از این تعاریف، قوانین اساسی افزودن و ضرب عدد صحیح را دنبال می کند: - قانون تعویض علاوه بر این: a + b \u003d b + a؛ - قانون افزودن وابسته: A + (B + C) \u003d (a + b) + c؛ - قانون تعویض ضرب: a * b \u003d b * a؛ - قانون ضرب وابستگی: a * (b * c) \u003d (a * b) * c؛ - قانون توزیع: Aґ (B + C) \u003d (a * b) + (a * c). اگر A و B دو عدد صحیح مثبت باشند و اگر یک عدد صحیح مثبت وجود داشته باشد، به طوری که A \u003d B + C، پس ما می گوییم که بزرگتر B (این نوشته شده به شرح زیر است: A\u003e B)، یا آن B کمتر از a (این نوشته شده به عنوان: bb، یا a

محاسبات بخش ریاضیات، موضوع مطالعه اعداد، خواص و روابط آنها نامیده می شود.

نام او منشا یونانی است: در زبان کلمه الللا باستان " aritos"(هنوز هم تلفظ می شود" اسیر کردن") به معنای" عدد».

محاسبات قوانین محاسبات و ساده ترین خواص اعداد را می آموزد. در بخش خود، که تئوری اعداد (یا بالاترین محاسبات) نامیده می شود، خواص عدد صحیح فردی مورد مطالعه قرار گرفته است.

محاسبات نزدیک ترین با تئوری اعداد، جبر و هندسه همراه است و یکی از علوم ریاضی اصلی و همچنین باستانی ترین آنها است.

اشیاء اصلی محاسبات اقدامات بر روی اعداد، خواص آنها، و همچنین مجموعه عددی. علاوه بر این، مسائل مانند مبدا و توسعه مفهوم اعداد، اندازه گیری و تکنیک های حساب در ریاضیات مورد مطالعه قرار می گیرند.

اقدامات بر روی اعداد که مورد بررسی قرار می گیرند، محاسبات یادگیری علاوه بر، تفریق، تقسیم و ضرب است. این عملیات مانند استخراج ریشه، ساخت معادلات عددی مختلف نیز می تواند نسبت داده شود.

علاوه بر این، از لحاظ تاریخی به گونه ای توسعه یافته است که اقدام محاسباتی علاوه بر ضرب، دو برابر شدن؛ علاوه بر تقسیم، تقسیم با باقی مانده و دو؛ نمره؛ محاسبه مقدار هندسی و پیشرفت ریاضی. در عین حال، تمام اقدامات محاسباتی سلسله مراتب خود را دارند، که در آن بالاترین سطح استخراج ریشه ها و ساخت درجه، کاهش و تقسیم، و علاوه بر آن، افزودن و تفریق را اشغال می کند.

لازم به ذکر است که این اندازه گیری ها و محاسبات ریاضی که به طور گسترده ای یافت می شود استفاده عملی (به عنوان مثال، علاقه، نسبت، و غیره) به محاسبات به اصطلاح پایین تر اشاره می شود، و مفهوم تعداد و تجزیه و تحلیل منطقی آن به ریاضی نظری است.

محاسبات واقع در ارتباط بسیار نزدیک با جبر، موضوع اصلی که عملیات های مختلفی با اعداد است که خواص و ویژگی های آنها را در نظر نمی گیرند. در عین حال، استخراج ریشه ها و ساخت درجه، بخش فنی جبر است.

از آنجا که B. زندگی روزمره محاسبات این تقریبا در همه جا استفاده می شود، پس از آنکه دانش خاصی در این زمینه به طور کامل مورد نیاز است. در طول زندگی، عملیات مانند یک حساب، محاسبه حجم، مناطق، سرعت، فواصل زمانی و طول ها باید انجام شود.

برای کارشناسی ارشد هر حرفه، لازم است که دانش محاسبات اصلی را داشته باشیم، و به ویژه اینها، تخصص هایی هستند که مربوط به اقتصاد، لوازم خانگی و علوم طبیعی هستند.

ریاضی اساسی ترین بخش اصلی ریاضیات است. این موظف به نیازهای مردم در حساب است.

حساب ذهنی

چه محاسباتی ذهنی نامیده می شود؟ ریاضی ذهنی یک روش یادگیری است. حساب سریعچه کسی از دوران قدیم آمد

در حال حاضر، در مقایسه با قبلی، معلمان سعی می کنند نه تنها برای آموزش کودکان سرعت کودکان، بلکه سعی کنند تفکر را توسعه دهند.

فرآیند یادگیری خود بر اساس استفاده و توسعه هر دو نیمکره مغز است. نکته اصلی این است که بتوانید از آنها استفاده کنید، زیرا آنها یکدیگر را تکمیل می کنند.

در واقع، نیمکره چپ مسئول منطق، گفتار و عقلانیت است، و حق - برای تخیل.

برنامه آموزشی شامل کار آموزشی و استفاده از چنین ابزار به عنوان ابکوس.

Abacus ابزار اصلی در مطالعه ریاضی ذهنی است، زیرا دانش آموزان یاد می گیرند که با آنها کار کنند، فشرده سازی را فشار داده و ماهیت حساب را درک کنند. با گذشت زمان، Abacus تخیل شما می شود و یادگیرندگان آنها را بر اساس این دانش نشان می دهند و نمونه هایی را تعیین می کنند.

بررسی این روش های یادگیری بسیار مثبت است. یک منهای وجود دارد - آموزش پرداخت می شود، و نه هر کس نمی تواند آن را بپردازد. بنابراین، مسیر نابغه بستگی به وضعیت مادی دارد.

ریاضیات و ریاضیات

ریاضیات و ریاضیات مفاهیم مرتبط با یکدیگر هستند و به جای آن ریاضیات - بخش ریاضیات، کار با اعداد و محاسبات (اقدامات با اعداد).

ریاضی پارتیشن اصلی و به همین ترتیب پایه ریاضیات است. اساس ریاضیات مهمترین مفاهیم و عملیاتی است که پایه ای را تشکیل می دهند که تمام دانش های بعدی آن ساخته شده است. عملیات اصلی عبارتند از: افزودن، تفریق، ضرب، تقسیم.

ریاضی، به عنوان یک قاعده، از ابتدای یادگیری در مدرسه مورد مطالعه قرار گرفته است. از کلاس اول کودکان پایه ریاضی را تسلط می دهند.

علاوه بر این - این یک اثر محاسباتی است، در فرآیند که دو عدد تقسیم می شوند، و نتیجه آنها سومین است.

a + b \u003d c.

منها کردن - این یک اثر محاسباتی است، در فرآیند که شماره دوم از شماره اول محاسبه می شود و نتیجه سوم خواهد بود.

فرمول علاوه بر این بیان شده است: a - b \u003d c.

ضرب - این یک عمل است، به عنوان یک نتیجه از آن مقدار همان شرایط واقع شده است.

فرمول این عمل عبارتند از: a1 + A2 + ... + an \u003d n * a.

بخش- این یک شکست در قسمت های مساوی هر تعداد یا متغیر است.

ثبت نام برای دوره "سرعت بخشیدن به حساب دهانی، حساب دهی ذهنی" برای یادگیری نحوه به سرعت و به درستی بار، کسر، ضرب، تقسیم، اعداد راست به یک مربع و حتی عصاره ریشه ها. برای 30 روز، شما یاد خواهید گرفت که چگونه از تکنیک های آسان برای ساده سازی عملیات محاسباتی استفاده کنید. در هر درس، تکنیک های جدید، نمونه های قابل فهم و وظایف مفید.

ریاضی حساب

ریاضیات آموزشی در دیوارهای مدرسه ساخته شده است. از کلاس اول، کودکان شروع به مطالعه بخش اصلی و اصلی ریاضیات - ریاضی.

اضافه کردن اعداد

کلاس ریاضی 5.

در کلاس پنجم، دانش آموز شروع به مطالعه می کند که چگونه: تعداد کسری، اعداد مخلوط. اطلاعات مربوط به عملیات با این اعداد شما می توانید در مقالات ما با توجه به عملیات مربوطه پیدا کنید.

تعداد کسری - این نسبت دو عدد به یکدیگر یا عددی به نام معدنی است. شماره کسری را می توان جایگزین کرد. به عنوان مثال، ¼ \u003d 1: 4.

شماره های درهم - این یک شماره کسری است که تنها با اختصاص داده شده است کل بخش. کل بخش تحت شرایطی قرار می گیرد که عددی بزرگتر از جانباز است. به عنوان مثال، این یک کسری بود: 5/4، می توان آن را با تخصیص کل قسمت تبدیل کرد: 1 می آید و ¼.

نمونه هایی برای آموزش:

شماره کار 1:

شماره کار 2:

ریاضی درجه 6.

در کلاس 6، موضوع تبدیل فراکسیون ها در رکورد خط ظاهر می شود. چه مفهومی داره؟ به عنوان مثال، کسری از ½ داده شده است، آن را 0.5 خواهد بود. ¼ \u003d 0.25.

مثالها را می توان در چنین سبک کامپایل کرد: 0.25 + 0.73 + 12/31.

نمونه هایی برای آموزش:

شماره کار 1:

شماره کار 2:

بازی برای توسعه یک حساب شفاهی و سرعت حساب

بازی های عالی وجود دارد که به توسعه یک حساب کاربری کمک می کند تا به توسعه کمک کند توانایی های ریاضی و تفکر ریاضی، حساب دهان و سرعت حساب! شما می توانید بازی کنید و توسعه دهید! شما علاقه مند هستید؟ خواندن مقالات مختصر درباره بازی ها و مطمئن شوید که خودتان را امتحان کنید.

بازی "شکل"

بازی "شکل" به شما کمک می کند تا یک حساب شفاهی را افزایش دهید. ماهیت بازی این است که در تصویر ارائه شده به شما، شما باید پاسخ بله یا نه به سوال "آیا 5 میوه یکسان وجود دارد؟". برای هدف خود بروید، و این بازی به شما کمک خواهد کرد.

بازی مقایسه ریاضی

بازی "مقایسه ریاضی" نیاز به مقایسه دو عدد برای مدتی دارد. به این ترتیب، شما باید یکی از دو عدد را در اسرع وقت انتخاب کنید. به یاد داشته باشید که زمان محدود است، و هرچه بیشتر به درستی پاسخ دهید، بهتر است توانایی های ریاضی خود را توسعه دهید! بیایید سعی کنیم؟

بازی "افزودن سریع"

بازی "افزودن سریع" شبیه ساز سریع حساب سریع است. ماهیت بازی: میدان 4x4 داده شده است، یعنی. 16 عدد، و در سراسر میدان هفدهم. هدف شما: با کمک شانزده عدد به 17، با استفاده از عملیات افزودن. به عنوان مثال، در زمینه شما شماره 28 را نوشته اید، سپس در فیلد شما باید 2 عدد را پیدا کنید که شماره 28 را به مبلغ 28 می دهد. آیا شما آماده هستید تا قدرت خود را امتحان کنید؟ سپس به جلو، قطار!

توسعه یک حساب کاربری خوراکی پدیده ای

ما فقط بالای کوه یخی را بررسی کردیم تا ریاضیات را بهتر درک کنیم - ثبت نام برای دوره ما: سرعت بخشیدن به حساب دهانی، حسابرسی ذهنی نیست.

از دوره شما نه تنها ده ها تکنیک برای ضرب ساده و سریع، علاوه بر، ضرب، تقسیم، محاسبه علاقه، بلکه همچنین آنها را در وظایف خاص و بازی های آموزشی کار می کنند! حساب شفاهی همچنین نیاز به توجه زیادی دارد و غلظت هایی که به طور فعال در حل وظایف جالب آموزش دیده اند.

30 روز

افزایش سرعت خواندن 2-3 بار در 30 روز. از 150 تا 200 تا 300 تا 600 کلمه در هر دقیقه یا از 400 تا 800-1200 کلمه در هر دقیقه. البته تمرینات سنتی برای توسعه سرعت استفاده می شود، تکنیک های شتاب دهنده مغز، روش افزایش پیشرونده سرعت خواندن، روانشناسی مراحل و سوالات شرکت کنندگان دوره، در حال خرید هستند. مناسب برای کودکان و بزرگسالان، خواندن تا 5000 کلمه در دقیقه.

توسعه حافظه و توجه از یک کودک 5-10 سال

هدف از این دوره: برای توسعه حافظه و توجه از کودک به طوری که او را آسان تر برای یادگیری در مدرسه به طوری که می تواند بهتر به یاد داشته باشید.

ریاضی چیست؟ وقتی بشریت شروع به استفاده از اعداد می کند و با آنها کار می کند؟ ریشه های چنین مفاهیم عادی، چگونه اعداد، علاوه بر و ضرب، که یک فرد بخشی جدایی ناپذیر از زندگی خود و جهان بینی را انجام داد؟ ذهن یونان باستان چنین علوم، و همچنین هندسه را به عنوان زیباترین سمفون های منطق انسانی تحسین کرد.

شاید محاسبات به اندازه علوم دیگر عمیق نیست، اما چه چیزی برای آنها اتفاق می افتد، شخص یک جدول ضرب ابتدایی را فراموش کرده اید؟ ما به ما آشنا هستیم تفکر منطقیبا استفاده از اعداد، کسرها و ابزارهای دیگر، برای افراد آسان نبود و برای مدت طولانی برای اجداد ما در دسترس نبود. در حقیقت، به توسعه ریاضی، هیچ منطقه ای از دانش انسانی واقعا علمی بود.

ریاضی یک الفبای ریاضیات است

ریاضی یک علم از اعداد است که هر کسی شروع به آشنایی با آن می کند صلح جذاب ریاضیات همانطور که M. V. Lomonosov گفت، محاسبات دروازه های محققان است، راه ما را به چرخه جهانی باز می کند. اما او درست است، می تواند دانش جهان از دانش اعداد و نامه ها، ریاضیات و سخنرانی جدا شود؟ شاید در روزهای گذشته، اما نه در دنیای مدرنجایی که توسعه سریع علم و فناوری، قوانین خود را دیکته می کند.

کلمه "ریاضی" (یونانی "arifimo") منشاء یونانی، علامت "شماره" را نشان می دهد. این تعداد و همه چیز را می توان با آنها متصل کرد. این دنیای اعداد است: اقدامات مختلف بر تعداد، قوانین عددی، حل مشکلات که با ضرب، تفریق و غیره همراه است.

هدف اصلی محاسبات

مبنای ریاضی یک عدد صحیح، خواص و الگوهایی که در بالاترین ریاضی یا در واقع در نظر گرفته می شود، در مورد اینکه رویکرد مناسب به عنوان یک بلوک کوچک، به عنوان یک عدد طبیعی، قدرت کل ساختمان، مورد توجه قرار گرفته است، ریاضیات بستگی دارد

بنابراین، به سوال از آنچه که ریاضی است، شما به سادگی می توانید پاسخ دهید: این یک علم از اعداد است. بله، در مورد هفت آشنا، نه و تمام این جامعه متنوع. و درست مثل خوب، و آیه های Mediocre بیشتر بدون الفبای ابتدایی نوشتن نمی کنند، بدون ریاضیات حتی کار ابتدایی را حل نمی کند. به همین دلیل است که همه علوم تنها پس از توسعه ریاضیات و ریاضیات پیشرفت کرده اند، که قبل از این فقط مجموعه ای از مفروضات است.

ریاضی - علم فانتوم

ریاضی - علوم طبیعی یا فانتوم چیست؟ در واقع، به عنوان فیلسوفان باستان یونان استدلال کرد، و نه اعداد و نه ارقام در واقعیت وجود دارد. این فقط یک فانتوم است که در هنگام مشاهده در تفکر انسانی ایجاد شده است محیط با فرآیندهای آن. در حقیقت، هر جا که در اطراف ما چیزی شبیه به آن را نمی بینیم، که می تواند یک عدد نامیده شود، بلکه این تعداد شیوه ذهن انسان برای مطالعه جهان است. یا شاید این مطالعه خودمان از داخل است؟ فیلسوفان در مورد این قرن ها در یک ردیف بحث می کنند، بنابراین ما پاسخ کامل را نمی گیریم. به هر حال، ریاضی به شدت مدیریت می شود تا موقعیت های خود را که در دنیای مدرن در نظر گرفته شود، هیچ کس نمی تواند به صورت اجتماعی بدون اطلاع از پایه های آن سازگار باشد.

تعداد طبیعی ظاهر شد

البته، شی اصلی که محاسبات را اداره می کند، یک عدد طبیعی است، مانند 1، 2، 3، 4، ...، 152 ... و غیره محاسبات اعداد طبیعی نتیجه گزارش موارد عادی مانند گاوها در چمنزار است. با این حال، تعریف "بسیاری" یا "کوچک" یک بار متوقف شد که مردم را ترتیب داد و مجبور شد تکنیک های حساب پیشرفته تر را اختراع کند.

اما پیشرفت واقعی زمانی اتفاق افتاد که فکر انسان به این واقعیت رسید که شما می توانید 2 کیلوگرم با همان تعداد دو کیلوگرم و 2 آجر و 2 جزئیات را تعیین کنید. واقعیت این است که شما باید از اشکال، خواص و معنی اشیاء انتزاعی باشید، پس می توانید برخی از اقدامات را با این اشیا به صورت اعداد طبیعی انجام دهید. بنابراین تعداد محاسباتی متولد شد، که بیشتر توسعه و زخم، اشغال تمام موقعیت های بزرگ در زندگی جامعه است.

چنین مفاهیم عمیق از تعداد صفر و تعداد منفی، کسری، علامت اعداد در اعداد و به روش های دیگر، ثروتمندترین و جالب ترین داستان توسعه.

محاسبات و عملی مصری ها

دو قدیمی ترین ماهواره های انسانی در مطالعه دنیای اطراف و حل مشکلات خانوار، ریاضی و هندسه هستند.

اعتقاد بر این است که تاریخ ریاضی منشاء خود را در شرق باستان می گیرد: در هند، مصر، بابل و چین. بنابراین، Papyrus Rinda از منشاء مصر (به نام آن متعلق به صاحب همان نام)، تاریخ قرن XX بود. BC علاوه بر سایر داده های ارزشمند، آن شامل تجزیه یک قطعه برای مقدار کسری با تعویضات مختلف و یک عددی برابر با یک است.

به عنوان مثال: 2/73 \u003d 1/60 + 1/219 + 1/2 292 + 1/365.

اما معنای چنین تجزیه پیچیده چیست؟ واقعیت این است که رویکرد مصر من بازتاب های انتزاعی را در مورد اعداد تحمل نکردم، برعکس، محاسبات تنها با یک هدف عملی انجام شد. به این معناست که مصری ها به عنوان محاسبات، به طور انحصاری به منظور ایجاد یک آرامگاه مشغول به کار خواهند بود. لازم بود محاسبه طول رگ از ساختارها، و یک مرد را برای پاپیروس مجبور کرد. همانطور که دیده می شود، پیشرفت مصر در محاسبات به وجود آمد، نه جرم، ساخت و ساز، به جای عشق به علم بود.

به همین دلیل، محاسبات موجود در پاپیروس نمی تواند بازتاب ها را در مورد موضوعات فراوانی نامیده شود. به احتمال زیاد، این یک برگه عملی است که در آینده به حل مشکلات با کسری کمک کرد. مصری های باستانی که نمی دانستند جداول ضرب را تولید کرده اند، محاسبات طولانی را تولید کرده اند که بر روی مجموعه کارفرمایان قرار گرفته اند. شاید این یکی از این موارد زیر است. آسان است که ببینید که محاسبات با چنین بلت های بسیار دشوار و کاهش یافته است. شاید به همین دلیل ما سهم بزرگی را نمی بینیم مصر باستان در توسعه ریاضیات.

یونان باستان و ریاضیات فلسفی

بسیاری از آگاهی از شرق باستان به طور موفقیت آمیز توسط یونانی های باستانی، دوستداران مشهور بازتاب های حیرت انگیز، انتزاعی و فلسفی تسلط یافتند. تمرین آنها علاقه مند به کمتر بود، اما بهترین نظریه پردازان و متفکران دشوار است. این به نفع علم رفت، زیرا در ریاضی عمیق نیست، بدون شکستن آن با واقعیت. البته، شما می توانید 10 گاو و 100 لیتر شیر را ضرب کنید، اما ممکن نیست که حرکت دور شود.

فکر می کنم یونانیان عمیق یک علامت مهم در تاریخ را ترک کردند، و آثار آنها به ما رسید:

• اقلیدسی و "شروع".
• فیثاغورس
• Archimedes.
• eratosthene
• زونون
• anaxagor

و، البته، همه چیز را به فلسفه یونانیان تبدیل می کند، و به خصوص مستمر های پایتگان، در مورد اعداد بسیار پرشور بود که آنها آنها را مقدس هماهنگی جهان در نظر گرفتند. اعداد به گونه ای مورد مطالعه قرار گرفتند و بررسی کردند که برخی از آنها به برخی از آنها و جفت های آنها نسبت داده شده است. مثلا:

• تعداد کامل آنهایی هستند که برابر با مجموع تقسیمات خود هستند، به جز تعداد خود (6 \u003d 1 + 2 + 3).
• اعداد دوستانه چنین اعدادی هستند، یکی از آنها برابر با مجموع تقسیم کنندگان دوم است، و برعکس (Pythagoreans فقط یک چنین جفتی را می دانست: 220 و 284).

یونانیان، که این را در نظر گرفت که علم باید عشق را دوست داشته باشد و به نفع او نباشد، آنها موفق به موفقیت، اکتشاف، بازی کردن و تعداد تاشو می شوند. لازم به ذکر است که تمام تحقیقات آنها به طور گسترده ای مورد استفاده قرار نگرفتند، بعضی از آنها تنها "برای زیبایی" باقی مانده بودند.

متفکران شرقی قرون وسطی

به همان شیوه و در قرون وسطی، ریاضی به راحتی معاصران موظف است. سرخپوستان ما را اعداد را که ما به طور فعال استفاده می کنیم، به ما دادند، چنین مفهومی به عنوان "صفر"، و گزینه موقعیتی با ادراک مدرن آشناست. از الباشی، که در قرن 15th در سامرقند کار می کرد، ما به ارث برده ایم که بدون آن دشوار است که ریاضی مدرن را ارائه دهیم.

در بسیاری از موارد، آشنایی اروپا با دستاوردهای شرق به دلیل کار دانشمند ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی، که کار "کتاب آباکا" را نوشت، با نوآوری های شرقی آشناست. این سنگ بنای توسعه جبر و محاسبات، تحقیق و تحقیقات است فعالیت علمی در اروپا.

ریاضی روسیه

و در نهایت، ریاضی، که محل خود را پیدا کرده و ریشه در اروپا را پیدا کرد، شروع به گسترش به سرزمین های روسی کرد. اولین ریاضیات روسیه در سال 1703 منتشر شد - این یک کتاب در مورد ریاضیات لئونتی Magnitsky بود. برای مدت طولانی، او تنها راهنمایی آموزشی در ریاضیات باقی ماند. این شامل لحظات اولیه جبر و هندسه است. ارقام که در نمونه های روسیه در روسیه استفاده می شود، کتاب کتاب ریاضی، عربی. اگر چه اعداد عربی قبل از آن پیش از آن، در قرن هفدهم ملاقات کردند.

این کتاب خود را با تصاویری از Archimedes و Pythagore تزئین شده و در صفحه اول - تصویر ریاضی به شکل یک زن تزئین شده است. او بر روی تخت نشسته است، آن را بر روی آن در زبان عبری نوشته شده است، کلمه ای که نام خدا را نشان می دهد، و در مراحل که منجر به تاج و تخت، کلمات "تقسیم"، "ضرب"، "علاوه بر"، و غیره می تواند تنها باشد به عنوان مهماتی که در حال حاضر به عنوان پدیده عادی در نظر گرفته شده است، نشان داده شده است.

کتاب درسی از 600 صفحه، هر دو پایگاه مانند جدول افزودنی و ضرب و برنامه های کاربردی را برای علوم ناوبری توصیف می کند.

تعجب آور نیست که نویسنده تصویر متفکران یونان را برای کتاب خود انتخاب کرد، زیرا او خودش توسط زیبایی ریاضیات اسیر شد و گفت: "ریاضی یک شمار است، یک هنرمند صادقانه ای وجود دارد ...". این رویکرد به ریاضی کاملا اثبات شده است، زیرا مقدمه گسترده ای است که می تواند آغاز توسعه سریع تفکر علمی در روسیه و آموزش عمومی باشد.

اعداد ساده ساده نیست

یک عدد ساده یک عدد طبیعی است که تنها 2 تقسیم کننده مثبت دارد: 1 و خود. تمام اعداد دیگر، شمارش 1، کامپوزیت نامیده می شود. نمونه هایی از اعداد اول: 2، 3، 5، 7، 11، و همه دیگران که بخش های دیگر را علاوه بر شماره 1 و خودشان ندارند.

همانطور که برای شماره 1، آن را در یک حساب ویژه - توطئه ای وجود دارد که باید یک کامپوزیت ساده یا کامپوزیت باشد. ساده در نگاه اول، تعداد ساده تات اسرار حل نشده در داخل خود.

قضیه اقلیدس می گوید که اعداد ساده یک مجموعه بی نهایت هستند و Eratosthene با یک محاسبات خاص "غربال" مطرح شده است که اعداد دشواری را مختل می کند، تنها ساده است.

ماهیت آن تاکید بر اولین تعداد ناخواسته است، و پس از آن از آنهایی که نقاشی شده است عبور می کند. ما چندین بار این روش را تکرار کردیم - و ما یک جدول از اعداد اول را به دست می آوریم.

قضیه اصلی محاسبات

در میان مشاهدات در مورد تعداد ساده، لازم است به طور خاص ذکر شده قضیه اصلی ریاضی.

قضیه محاسبات اصلی بیان می کند که هر عدد صحیح، بیشتر از 1، یا ساده است، یا می توان آن را بر روی کار اعداد اول با دقت سفارش کارخانه و تنها راه تجزیه کرد.

قضیه اصلی محاسبات به طور کامل ثابت شده است، و درک آن دیگر مانند ساده ترین اصول اولیه نیست.

در نگاه اول، اعداد ساده یک مفهوم ابتدایی هستند، اما این نیست. فیزیک همچنین یک بار یک اتم ابتدایی را در نظر گرفت تا یک کل جهان را در داخل آن پیدا کند. اعداد ساده داستان زیبا ریاضیات دان Troagira "اولین پنجاه میلیون عدد اول اختصاص داده شده است."

از "سه سیب" به قوانین قیاسی

آنچه واقعا می تواند پایه تقویت شده از تمام علم نامیده شود - این قوانین ریاضی هستند. به عنوان یک کودک، هر کس با ریاضی مواجه می شود، تعداد پاها و قلم ها را در عروسک ها، تعداد مکعب ها، سیب ها و غیره بررسی می کند، بنابراین ما ریاضی را مطالعه می کنیم که بیشتر به قوانین پیچیده تر می رود.

تمام زندگی ما ما را با قوانین ریاضی معرفی می کند که برای یک فرد ساده که از همه چیزهایی که علم را می دهد مفید است. مطالعه اعداد "Arithmetic-Baby" است که فردی را با جهان اعداد به شکل اعداد در اوایل دوران کودکی معرفی می کند.

ریاضی بالاتر - علم قیاسی، که قوانین ریاضی را بررسی می کند. اکثر آنها شناخته شده اند، اگر چه، شاید، ما اصطلاح دقیق خود را نمی دانیم.

قانون افزودن و ضرب

دو نفر اعداد طبیعی A و B را می توان به عنوان مجموع A + B بیان کرد، که همچنین تعدادی از طبیعی است. با توجه به علاوه بر این، قوانین زیر معتبر هستند:

• متناوب، که می گوید این مقدار از جایگزینی اتهامات یا a + b \u003d b + a تغییر نمی کند.
• وابسته به انجمنیکه می گوید مقدار بستگی به روش گروه بندی مکان های مکان، یا + (B + C) \u003d (A + B) + C.

قوانین ریاضی، مانند افزودن، یکی از ابتدایی هستند، اما آنها از همه علوم استفاده می کنند، نه به ذکر زندگی روزمره.

دو عدد طبیعی A و B را می توان در محصول A * B یا A * B بیان کرد، که همچنین تعدادی از طبیعی است. همان قوانین تعاملی و انجمنی برای این کار قابل استفاده هستند:

• a * b \u003d b * a؛
• a * (b * c) \u003d (a * b) * c.

جالب توجه است، یک قانون وجود دارد که ترکیبی از اضافه کردن و ضرب، همچنین به نام توزیع، و یا قانون توزیع:

a (B + C) \u003d AB + AC

این قانون در واقع ما را به کار با براکت ها می آموزد، آنها را آشکار می کند، بنابراین ما می توانیم با فرمول های پیچیده تر کار کنیم. این دقیقا همان قوانینی است که ما را در عجیب و غریب و دشوار به جهان جبر هدایت می کند.

قانون نظم حساب

قانون نظم منطق انسانی هر روز، چک کردن ساعت ها و شمارش صورتحساب استفاده می کند. و با این حال، باید به عنوان یک اصطلاح خاص صادر شود.

اگر ما دو عدد طبیعی A و B داشته باشیم، گزینه های زیر ممکن است:

• برابر با B یا a \u003d b؛
• کمتر ب یا یک< b;
• بیشتر B یا A\u003e B.

از سه گزینه، تنها یک می تواند عادلانه باشد. قانون اصلی که این روش را مدیریت می کند، می گوید: اگر یک.< b и b < c, то a< c.

همچنین قوانینی وجود دارد که نظم را با اقدامات ضرب و افزودن متصل می کنند: اگر یک.< b, то a + c < b+c и ac< bc.

قوانین حسابداری ما را به کار با اعداد، نشانه ها و براکت ها آموزش می دهد، همه چیز را به یک سمفونی لاغر از اعداد تبدیل می کند.

سیستم های محاسبه موقعیتی و غیر فاز

می توان گفت که اعداد یک زبان ریاضی هستند که بستگی به راحتی آن دارد. سیستم های حسابداری زیادی وجود دارد که مانند حروف الفبا هستند زبانهای مختلفمتفاوت با یکدیگر.

سیستم های شماره را از نقطه نظر تاثیر موقعیت بر ارزش کمی از اعداد در این موقعیت در نظر بگیرید. بنابراین، به عنوان مثال، سیستم رومی غیر قربانی است، جایی که هر عدد توسط یک مجموعه خاص از کاراکترهای خاص کدگذاری شده است: I / V / X / L / C / D / M. آنها برابر هستند، تعداد 1/5 / 10 / 50/100 / 500/1000. در چنین سیستمی، این رقم تصمیم گیری کمی را تغییر نمی دهد، بسته به نوع آن ارزش دارد: اولین، دوم و غیره برای دریافت اعداد دیگر، شما باید پایه را بچرخانید. مثلا:

• DCC \u003d 700.
• CCM \u003d 800.

یک سیستم آشنا تر به ایالات متحده برای شماره با استفاده از شماره های عربی، موقعیتی است. در چنین سیستمی، تخلیه شماره تعداد اعداد را تعیین می کند، به عنوان مثال، تعداد سه رقمی: 333، 567 و غیره وزن هر دسته بستگی به موقعیتی دارد که در آن یک یا یک رقم دیگر قرار دارد، به عنوان مثال، شکل 8 در موقعیت دوم 80 است. این مشخصه سیستم اعشاری است، سیستم های موقعیتی دیگری وجود دارد، به عنوان مثال باینری.

محاسبات دودویی

محاسبات باینری با الفبای دودویی، که شامل تنها 0 و 1 است، کار می کند و استفاده از این الفبای یک سیستم حسابداری دودویی نامیده می شود.

تفاوت در محاسبات باینری از دهدهی این است که اهمیت موقعیت در سمت چپ دیگر 10 نیست، اما 2 بار. اعداد دودویی یک فرم 111، 1001، و غیره دارند. چگونه می توان چنین اعداد را درک کرد؟ بنابراین، شماره 1100 را در نظر بگیرید:

1. اولین رقم در سمت چپ 1 * 8 \u003d 8 است، به یاد می آورد که رقم چهارم، به این معنی که باید آن را با 2 ضرب کنید، موقعیت 8 را دریافت می کنیم.
2. رقم دوم 1 * 4 \u003d 4 (موقعیت 4).
3. رقم سوم 0 * 2 \u003d 0 (موقعیت 2).
4. رقم چهارم 0 * 1 \u003d 0 (موقعیت 1).
5. بنابراین، شماره ما 1100 \u003d 8 + 4 + 0 + 0 \u003d 12 است.

یعنی هنگامی که تغییر به یک بیت جدید به سمت چپ، اهمیت آن در سیستم باینری به 2 و در دهدهی - 10 برابر می شود. چنین سیستمی دارای یک منهای است: این رشد بیش از حد در تخلیه هایی است که لازم است اعداد ضبط نمونه هایی از نمایندگی اعداد اعشاری در قالب یک ساختگی را می توان در جدول زیر مشاهده کرد.

اعداد دهدهی در فرم باینری در زیر نشان داده شده است.

سیستم های حسابداری هشت و هگزادسیمال نیز استفاده می شود.

این ریاضی اسرار آمیز

ریاضی، "دو بار دو" یا اسرار ناشناخته اعداد؟ همانطور که می بینید، محاسبات، ممکن است، به نظر می رسد در نگاه اول، ساده، اما سبک غیر قابل تشخیص آن فریبنده است. این را می توان با کودکان همراه با جغد عمه از کارتون "ریاضی کودک" مورد مطالعه قرار داد، و شما می توانید به تحقیقات عمیق علمی تقریبا یک نظم فلسفی غرق شوید. در تاریخ، او قبل از پرستش زیبایی اعداد، از آیتم های شمارش عبور کرد. یک چیز فقط شناخته شده است: با ایجاد پیش بینی های محاسباتی پایه، تمام علوم می توانند بر روی شانه قوی خود تکیه کنند.

از یک طرف، این یک سوال بسیار ساده است. از سوی دیگر، دانش آموزان، و بسیاری از بزرگسالان، اغلب توسط ریاضیات و ریاضیات اشتباه گرفته می شوند و واقعا نمی دانند تفاوت بین این دو مورد. ریاضیات گسترده ترین مفهوم است که شامل هر گونه اقدامات با اعداد است. ریاضی فقط یکی از بخش های ریاضیات است. ریاضی شامل آشنایی با اعداد، یک حساب کاربری ساده و عملیات با اعداد است. پیش از این، در مدارس، درس ها دقیقا محاسبات نامیده می شود و تنها با زمان آنها شروع به پوشیدن یک نام ریاضی، که به طور مساوی به جبر جریان می یابد. در اصل، جبر شروع می شود زمانی که اعداد ناشناخته در نمونه ها ظاهر می شوند و حروف به جای آن استفاده می شود. یعنی، در یک عملیات ساده با ایکس. و y.

مدت، اصطلاح "ریاضی" از کلمه یونانی اتفاق افتاده است "Arithmos""شماره" به معنی چیست؟ در قرن های 14 و 15، این اصطلاح به انگلستان ترجمه شد نه کاملا درست - "هنر متریک"، که اساسا به معنای "هنر متریک" بود، مناسب تر برای هندسه، به جای یک حساب کاربری ساده و اقدامات ساده با اعداد بود.

یکی از دلایلی که در مدارس از مفهوم "ریاضی" استفاده نمی کند این است که حتی در درس در نمرات اولیه علاوه بر ارقام نیز مطالعه می شود فرم های هندسی و واحد اندازه گیری (سانتی متر، متر، و غیره)، و این در حال حاضر خارج از حساب معمول است. با این حال، یادگیری محاسبات ذهنی در زندگی کودک تا حدودی، در روند آشنایی با دنیای خارج، در زندگی کودک اتفاق می افتد. مدت، اصطلاح "حساب ذهنی" به معنای توانایی خواندن در ذهن است. موافقم، هر یک از ما در برخی از نقاط زندگی، این را یاد میگیرد و نه تنها به لطف درس های مدرسه.

امروزه تکنیک های کامل برای توسعه مهارت های کودکان در ذهن وجود دارد. به عنوان مثال، یادگیری Abusus باستانی به ویژه محبوب است، که بر اساس توانایی شمارش حساب های ویژه (متفاوت از معمول با ده ها) است. abacus ترجمه شده از انگلیسی "نمرات"بنابراین، نام تکنیک به نظر می رسد همان است. ژاپنی ها آموزش Soroban نامیده می شود، زیرا در زبان آنها "نمرات" "soroban" نامیده می شود.

این ریاضی از چهار عملیات ابتدایی استفاده می کند - علاوه بر، تفریق، ضرب و تقسیم. علاوه بر این، مهم نیست که عدد صحیح در مثال یا اعشاری و کسری استفاده شود. شما می توانید با اعداد از دوران کودکی آشنا شوید، و این کار را در این بازی آسان است. در این والدین نه تنها تخیل، بلکه بسیاری از مواد توسعه ویژه ای را نیز فراهم می کند که می تواند در هر فروشگاه یافت شود.

با توجه به الزامات مدرن برای کلاس اول، کودک باید حداقل ده (و بهتر از 20) را در نظر بگیرد، و همچنین برای انجام ارقام اساسی عملیات اساسی - برای قرار دادن آنها و تفریق آنها. همچنین مهم است که کودک بتواند مقایسه کند که کدام عدد بیشتر است، چقدر کمتر و چه تعداد برابر است. بنابراین، می توان گفت که دقیقا یک کودک محاسباتی است که حتی قبل از ورود به مدرسه نیز بداند.

چنین الزاماتی نه تنها در روسیه، بلکه در سراسر جهان نیز ارائه می شود، زیرا سرعت زندگی شتاب می گیرد و حجم دانش روزانه افزایش می یابد. به اندازه کافی برای دانستن بود برنامه مدرسه یکی دیگر از 20-30 سال پیش، امروز بیش از 50٪ معلمان اطلاعات را آموزش نمی دهد. هر چه بود، محاسبات همیشه پایه پایه ای برای مطالعه اعداد و حساب، و همچنین سطح اولیه ریاضیات، بدون آنکه مطالعه بیشتر غیرممکن باشد، باقی خواهد ماند وظایف پیچیده و مهارت ها