15 profil egzaminacyjny jak rozwiązywać logarytmami. Praca Manova „Nierówności logarytmiczne na egzaminie”

„ROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNYCH (ZADANIE NR 15 WYKORZYSTANIE PROFILU). ZASTOSOWANIE LOGARYTMÓW W RÓŻNYCH OBSZARACH ŻYCIA CZŁOWIEKA”

Epigrafem lekcji będą słowa Maurice'a Kline „Muzyka może wznieść lub uspokoić duszę, malarstwo może cieszyć oko, poezja może obudzić uczucia, filozofia może zaspokoić potrzeby umysłu, inżynieria może poprawić materialną stronę ludzkiego życia imatematyka jest w stanie osiągnąć wszystkie te cele »

Teraz stwórzmy nastrój sukcesu!

Odpowiemy na następujące pytania:

Praktyka weryfikacyjna dokumenty egzaminacyjne, a jestem egzaminatorem USE w matematyce od 2005 roku pokazuje, że największą trudnością dla uczniów jest rozwiązanie nierówności transcendentalnych, zwłaszcza nierówności logarytmiczne ze zmienną podstawą.

Dlatego proponuję najpierw rozważyć metodę racjonalizacji (metoda dekompozycji Modenowa) lub inaczej zwaną metodę zastępowania mnożników Golubeva, która pozwala nam zredukować złożone, w szczególności nierówności logarytmiczne, do systemu prostszych nierówności.

Na przykład przy rozwiązywaniu nierówności
w wersji oceniającej, zaproponowanej egzaminatorom egzaminu, podano następujące rozwiązanie:

Proponuję zastosować metodę racjonalizacji:

Rozwiązanie pierwszej nierówności metodą przedziałów i uwzględnienie, że otrzymujemy

Rozwiązanie następującej nierówności

Widziałem to tak:

I wyjaśniłem studentom, że czasami rozwiązanie graficzne jest prostsze.

W rezultacie rozwiązanie tej nierówności ma postać:

Rozważ nierówność

Rozwiązując tę ​​nierówność, można posłużyć się wzorem

ale przejście do bazy to liczba i absolutnie dowolne:

i rozwiąż powstałą nierówność metodą przedziałów:

ODZ:

i rozwiązać powstałą nierówność metodą przedziałów

a biorąc pod uwagę ODZ otrzymujemy:

A rozwiązując kolejny rodzaj nierówności, uczniowie, spisując odpowiedź, zwykle tracą jedno z rozwiązań. Zdecydowanie powinieneś zwrócić na to uwagę.

Znajdźmy ODZ:

i wykonujemy wymianę: otrzymujemy:

Zwracam uwagę na fakt, że często studenci rozwiązując tę, wynikającą z niej nierówność, odrzucają mianownik, tracąc tym samym jedno z rozwiązań:

Uwzględniając ODZ otrzymujemy: i

A na koniec lekcji przekazuję uczniom ciekawostki dotyczące zastosowania logarytmów w różnych dziedzinach.

Wszędzie tam, gdzie istnieją procesy, które zmieniają się w czasie, stosuje się logarytmy.

Logarytmy to pojęcie matematyczne stosowane we wszystkich gałęziach nauki: chemii, biologii, fizyce, geografii, informatyce i wielu innych, ale najszersze zastosowanie logarytmów można znaleźć w ekonomii.

Artykuł poświęcony jest analizie zadań 15 z egzamin profilowy w matematyce na rok 2017. W zadaniu tym studentom proponuje się rozwiązanie nierówności, najczęściej logarytmicznych. Chociaż mogą być orientacyjne. W artykule przedstawiono analizę przykładów nierówności logarytmicznych, w tym zawierających zmienną u podstawy logarytmu. Wszystkie przykłady pochodzą z otwarty bank zadania USE z matematyki (profil), aby takie nierówności natrafiły na Ciebie na egzaminie jako zadanie 15. Idealne dla tych, którzy w krótkim czasie chcą nauczyć się, jak rozwiązać zadanie 15 z drugiego część profilu UŻYWAĆ w matematyce w celu uzyskania większej liczby punktów na egzaminie.

Analiza 15 zadań z egzaminu profilowego z matematyki

W zadaniach 15 USE w matematyce (profil) często spotyka się nierówności logarytmiczne. Rozwiązanie nierówności logarytmicznych zaczyna się od zdefiniowania obszaru dopuszczalne wartości... W tym przypadku nie ma zmiennej u podstawy obu logarytmów, jest tylko liczba 11, co znacznie upraszcza zadanie. Dlatego jedynym ograniczeniem, jakie tu mamy, jest to, że oba wyrażenia pod znakiem logarytmu są dodatnie:

Title = "(! LANG: Renderowane przez QuickLaTeX.com">!}

Pierwsza nierówność w systemie to nierówność kwadratowa. Aby go rozwiązać, naprawdę nie zaszkodzi nam się rozłożyć lewa strona przez czynniki. Myślę, że wiesz, że ktoś trójmian kwadratowy Tego rodzaju rozłożone na czynniki w następujący sposób:

gdzie i są pierwiastkami równania. W tym przypadku współczynnik wynosi 1 (jest to współczynnik liczbowy przed). Współczynnik również wynosi 1, a współczynnik to wyraz wolny, to jest -20. Pierwiastki trójmianu najłatwiej określić za pomocą twierdzenia Viety. Równanie, które podaliśmy, więc suma pierwiastków będzie równa współczynnikowi o przeciwnym znaku, czyli -1, a iloczyn tych pierwiastków będzie równy współczynnikowi, czyli -20. Łatwo zgadnąć, że korzenie będą miały -5 i 4.

Teraz lewa strona nierówności może zostać rozłożona na czynniki: title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} x w punktach -5 i 4. Zatem pożądanym rozwiązaniem nierówności jest przedział. Dla tych, którzy nie rozumieją, co tu jest napisane, szczegóły można zobaczyć w filmie, zaczynając od tego momentu. Znajdziesz tam również szczegółowe wyjaśnienie, w jaki sposób rozwiązana jest druga nierówność systemu. To jest rozwiązywane. Co więcej, odpowiedź jest dokładnie taka sama, jak w przypadku pierwszej nierówności systemu. Czyli zestaw opisany powyżej to zakres dopuszczalnych wartości nierówności.

Tak więc, biorąc pod uwagę faktoryzację, pierwotna nierówność przyjmuje postać:

Korzystając ze wzoru, wprowadzamy 11 do potęgi wyrażenia pod znakiem pierwszego logarytmu i przesuwamy drugi logarytm na lewą stronę nierówności, zmieniając jego znak na przeciwny:

Po redukcji otrzymujemy:

Ostatnia nierówność, ze względu na wzrost funkcji, jest równoważna nierówności , którego rozwiązaniem jest przedział ... Pozostaje przeciąć go zakresem dopuszczalnych wartości nierówności, a to będzie odpowiedź na całe zadanie.

Tak więc pożądana odpowiedź na zadanie to:

Wymyśliliśmy to zadanie, teraz przechodzimy do następnego przykładu zadania 15 USE w matematyce (profil).

Rozwiązanie rozpoczynamy od określenia zakresu dopuszczalnych wartości tej nierówności. U podstawy każdego logarytmu powinno znajdować się: Liczba dodatnia, co nie jest równe 1. Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu muszą być dodatnie. W mianowniku ułamka nie powinno być zera. Ostatni warunek jest równoważny temu, ponieważ tylko w przeciwnym razie oba logarytmy w mianowniku znikają. Wszystkie te warunki wyznaczają zakres dopuszczalnych wartości tej nierówności, który określa następujący układ nierówności:

Title = "(! LANG: Renderowane przez QuickLaTeX.com">!}

W zakresie poprawnych wartości możemy użyć wzorów przekształcenia logarytmów w celu uproszczenia lewej strony nierówności. Korzystanie z formuły pozbądź się mianownika:

Teraz mamy tylko logarytmy podstawowe. To już jest wygodniejsze. Następnie posługujemy się formułą, a także formułą, aby wyrażenie godne chwały sprowadzić do następującej postaci:

W obliczeniach wykorzystaliśmy to, co mieści się w zakresie dopuszczalnych wartości. Używając zamiennika, dochodzimy do wyrażenia:

Używamy jeszcze jednego zamiennika:. W rezultacie dochodzimy do następującego wyniku:

Tak więc stopniowo wracamy do pierwotnych zmiennych. Najpierw do zmiennej:

NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE W WYKORZYSTANIU

Sieczin Michaił Aleksandrowicz

Mała Akademia Nauk młodzieży studenckiej Republiki Kazachstanu „Poszukiwacz”

MBOU „Sowietskaja gimnazjum nr 1”, klasa 11, miasto. Sowiecki rejon sowiecki

Gunko Ludmiła Dmitriewna, nauczycielka MBOU „Sowiecka szkoła nr 1”

Okręg sowiecki

Cel: badanie mechanizmu rozwiązywania nierówności logarytmicznych C3 metodami niestandardowymi, identyfikowanie interesujące fakty logarytm.

Przedmiot badań:

3) Naucz się rozwiązywać określone nierówności logarytmiczne C3 z wykorzystaniem niestandardowych metod.

Wyniki:

Zawartość

Wprowadzenie ……………………………………………………………………… .4

Rozdział 1. Tło ………………………………………………… ... 5

Rozdział 2. Zbiór nierówności logarytmicznych ………………………… 7

2.1. Przejścia ekwiwalentne i uogólniona metoda przedziałów …………… 7

2.2. Metoda racjonalizacji ………………………………………………… 15

2.3. Niestandardowa substytucja ……………… ....................................... ......22

2.4. Misje Pułapek ………………………………………………… 27

Wniosek ………………………………………………………………………… 30

Literatura……………………………………………………………………. 31

Wstęp

Jestem w 11 klasie i planuję dostać się na uniwersytet, gdzie temat profilu jest matematyka. Dlatego dużo pracuję nad problemami części C. W zadaniu C3 musisz rozwiązać niestandardową nierówność lub system nierówności, zwykle kojarzony z logarytmami. Przygotowując się do egzaminu zetknąłem się z problemem braku metod i technik rozwiązywania egzaminacyjnych nierówności logarytmicznych, oferowanych w C3. Metody, których uczy się w program nauczania na ten temat nie podawaj podstaw do rozwiązywania zadań C3. Nauczycielka matematyki zaprosiła mnie do samodzielnej pracy z zadaniami C3 pod jej kierunkiem. Dodatkowo zainteresowało mnie pytanie: czy logarytmy występują w naszym życiu?

Mając to na uwadze, wybrano temat:

„Nierówności logarytmiczne na egzaminie”

Cel: badanie mechanizmu rozwiązywania problemów C3 z wykorzystaniem niestandardowych metod, ujawnianie interesujących faktów logarytmicznych.

Przedmiot badań:

1) Znajdź niezbędne informacje o niestandardowych metodach rozwiązywania nierówności logarytmicznych.

2) Znajdź więcej informacji o logarytmach.

3) Naucz się rozwiązywać specyficzne zadania C3 z wykorzystaniem niestandardowych metod.

Wyniki:

Praktyczne znaczenie polega na rozbudowie aparatury do rozwiązywania problemów C3. Materiał ten można wykorzystać na niektórych lekcjach, do prowadzenia kręgów, zajęcia dodatkowe matematyka.

Produktem projektu będzie kolekcja „Nierówności logarytmiczne C3 z rozwiązaniami”.

Rozdział 1. Tło

W XVI wieku liczba przybliżonych obliczeń gwałtownie wzrosła, głównie w astronomii. Ulepszanie instrumentów, badanie ruchów planet i inne prace wymagały kolosalnych, czasem wieloletnich obliczeń. Astronomii groziło realne niebezpieczeństwo utonięcia w niezrealizowanych obliczeniach. Trudności pojawiły się w innych obszarach, na przykład w branży ubezpieczeniowej potrzebne były tabele odsetek składanych dla różne znaczenia procent. Główną trudnością było mnożenie, dzielenie liczby wielocyfrowe, zwłaszcza wartości trygonometrycznych.

Odkrycie logarytmów oparto na dobrze znanych właściwościach progresji pod koniec XVI wieku. O komunikacji między członkami postęp geometryczny q, q2, q3, ... i postęp arytmetyczny ich wskaźniki 1, 2, 3, ... powiedział w "Psalmie" Archimedes. Kolejnym warunkiem było rozszerzenie pojęcia stopnia na wskaźniki ujemne i ułamkowe. Wielu autorów zwracało uwagę, że mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęgi i wyciąganie pierwiastka wykładniczo odpowiadają w arytmetyce - w tej samej kolejności - dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu.

Taka była idea logarytmu jako wykładnika.

W historii rozwoju doktryny logarytmów minęło kilka etapów.

Scena 1

Logarytmy zostały wynalezione nie później niż w 1594 roku niezależnie przez szkockiego barona Napiera (1550-1617), a dziesięć lat później przez szwajcarskiego mechanika Burghiego (1552-1632). Obaj chcieli dać nowy wygodny sposób obliczeń arytmetycznych, chociaż podchodzili do tego problemu na różne sposoby. Napier kinematycznie wyraził funkcję logarytmiczną i w ten sposób wszedł w Nowa okolica teoria funkcji. Burghi pozostał na podstawie rozważenia dyskretnych postępów. Jednak definicja logarytmu dla obu nie przypomina współczesnego. Termin „logarytm” (logarytm) należy do Napiera. Powstał z połączenia greckich słów: logos – „relacja” i ariqmo – „liczba”, co oznaczało „liczbę relacji”. Początkowo Napier używał innego terminu: numeri artificiales - "liczby sztuczne", w przeciwieństwie do numeri naturalts - "liczby naturalne".

W 1615 r. w rozmowie z Henrym Briggsem (1561-1631), profesorem matematyki w Gresch College w Londynie, Napier zaproponował, aby przyjąć zero za logarytm jedności i 100 za logarytm dziesięciu, czyli co sprowadza się do to samo, po prostu 1. Tak pojawiły się logarytmy dziesiętne i wydrukowano pierwsze tablice logarytmiczne. Później holenderski księgarz i matematyk Andrian Flakk (1600-1667) uzupełnił tabele Briggsa. Napier i Briggs, chociaż doszli do logarytmów wcześniej niż ktokolwiek inny, opublikowali swoje tabele później niż inni - w 1620 roku. Znaki dziennika i dziennika zostały wprowadzone w 1624 roku przez I. Keplera. Termin „logarytm naturalny” został wprowadzony przez Mengoliego w 1659 roku, a następnie przez N. Mercatora w 1668 roku, a londyński nauczyciel John Speidel opublikował tablice logarytmów naturalnych liczb od 1 do 1000 pod tytułem „New Logarithms”.

W języku rosyjskim pierwsze tablice logarytmiczne opublikowano w 1703 roku. Ale we wszystkich tablicach logarytmicznych popełniono błędy w obliczeniach. Pierwsze bezbłędne tablice zostały opublikowane w 1857 roku w Berlinie, opracowane przez niemieckiego matematyka K. Bremikera (1804-1877).

Etap 2

Dalszy rozwój teorii logarytmów wiąże się z szerszym zastosowaniem geometrii analitycznej i rachunku nieskończenie małej. Od tego czasu datuje się ustalenie związku między kwadraturą hiperboli równobocznej a logarytmem naturalnym. Teoria logarytmów tego okresu związana jest z nazwiskami wielu matematyków.

Niemiecki matematyk, astronom i inżynier Nikolaus Mercator w kompozycji

„Logarytmologia” (1668) podaje szereg, który daje rozwinięcie ln (x + 1) in

potęgi x:

To wyrażenie dokładnie odpowiada linii jego myśli, chociaż oczywiście nie używał znaków d, ..., ale bardziej nieporęcznych symboli. Wraz z odkryciem szeregu logarytmicznego zmieniła się technika obliczania logarytmów: zaczęto je wyznaczać za pomocą szeregów nieskończonych. W swoich wykładach „Matematyka elementarna z najwyższego punktu widzenia”, wygłoszonych w latach 1907-1908, F. Klein sugerował wykorzystanie wzoru jako punktu wyjścia do konstrukcji teorii logarytmów.

Etap 3

Definicja funkcji logarytmicznej jako funkcji odwrotności

wykładniczy, logarytm jako wskaźnik stopnia danej podstawy

nie została od razu sformułowana. Kompozycja Leonarda Eulera (1707-1783)

Wstęp do analizy nieskończoności (1748) służył jako dalszy

rozwój teorii funkcji logarytmicznej. W ten sposób,

Od wprowadzenia logarytmów minęło 134 lata

(licząc od 1614) zanim matematycy doszli do definicji

pojęcie logarytmu, które jest obecnie podstawą kursu szkolnego.

Rozdział 2. Zbiór nierówności logarytmicznych

2.1. Przejścia ekwiwalentne i uogólniona metoda przedziałów.

Przejścia ekwiwalentne

jeśli a> 1

jeśli 0 < а < 1

Uogólniona metoda przedziałowa

Ta metoda jest najbardziej wszechstronna do rozwiązywania nierówności niemal każdego rodzaju. Schemat rozwiązania wygląda tak:

1. Zmniejsz nierówność do postaci, w której funkcja znajduje się po lewej stronie
, a po prawej 0.

2. Znajdź dziedzinę funkcji
.

3. Znajdź zera funkcji
czyli rozwiązać równanie
(a rozwiązanie równania jest zwykle łatwiejsze niż rozwiązanie nierówności).

4. Narysuj dziedzinę i zera funkcji na osi liczbowej.

5. Określ znaki funkcji
w uzyskanych odstępach czasu.

6. Wybierz przedziały, w których funkcja przyjmuje żądane wartości i zapisz odpowiedź.

Przykład 1.

Rozwiązanie:

Zastosujmy metodę odstępów

gdzie

Dla tych wartości wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmów są dodatnie.

Odpowiedź:

Przykład 2.

Rozwiązanie:

1st sposób . ODZ definiuje nierówność x> 3. Logarytm dla takich x baza 10, otrzymujemy

Ostatnią nierówność można rozwiązać, stosując reguły dekompozycji, tj. porównywanie współczynników do zera. Jednak w tym przypadku łatwo jest wyznaczyć przedziały stałości funkcji

dlatego można zastosować metodę odstępów.

Funkcjonować F(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ jest ciągłe w x> 3 i znika w punktach x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. W ten sposób definiujemy przedziały stałości funkcji F(x):

Odpowiedź:

Drugi sposób . Zastosujmy idee metody interwałów bezpośrednio do pierwotnej nierówności.

Aby to zrobić, pamiętaj, że wyrażenia a b - a c i ( a - 1)(b- 1) mieć jeden znak. Wtedy nasza nierówność dla x> 3 jest równoznaczne z nierównością

lub

Ostatnią nierówność rozwiązuje się metodą przedziałów

Odpowiedź:

Przykład 3.

Rozwiązanie:

Zastosujmy metodę odstępów

Odpowiedź:

Przykład 4.

Rozwiązanie:

Od 2 x 2 - 3x+ 3> 0 dla wszystkich prawdziwych x, następnie

Do rozwiązania drugiej nierówności używamy metody interwałów

W pierwszej nierówności dokonujemy wymiany

wtedy dochodzimy do nierówności 2y 2 - tak - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те tak które spełniają nierówność -0,5< tak < 1.

Gdzie, od

uzyskujemy nierówność

który jest wykonywany z tymi x dla których 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Teraz, biorąc pod uwagę rozwiązanie drugiej nierówności systemu, w końcu otrzymujemy

Odpowiedź:

Przykład 5.

Rozwiązanie:

Nierówność jest równoważna zbiorowi systemów

lub

Zastosujmy metodę interwałów lub

Odpowiedź:

Przykład 6.

Rozwiązanie:

Nierówność jest równoważna systemowi

Pozwalać

następnie tak > 0,

i pierwsza nierówność

system przybiera formę

lub rozszerzając

trójmian kwadratowy przez czynniki,

zastosowanie metody interwałów do ostatniej nierówności,

widzimy, że jej rozwiązania spełniają warunek tak> 0 będzie wszystko tak > 4.

Zatem pierwotna nierówność jest równoważna systemowi:

Tak więc rozwiązania nierówności są wszystkim

2.2. Metoda racjonalizacji.

Wcześniej metoda racjonalizacji nierówności nie była rozwiązana, nie była znana. To jest „nowe nowoczesne skuteczna metoda rozwiązania nierówności wykładniczych i logarytmicznych ”(cytat z książki S. I. Kolesnikova)
I nawet jeśli nauczyciel go znał, to była obawa - ale czy on wie? ekspert egzaminacyjny, dlaczego nie dają tego w szkole? Zdarzały się sytuacje, gdy nauczyciel mówił do ucznia: „Gdzie to masz? Usiądź - 2.”
Metoda jest obecnie szeroko promowana. A dla ekspertów jest wytyczne związanych z tą metodą oraz w „Najbardziej kompletnych wydaniach standardowe opcje...” rozwiązanie C3 wykorzystuje tę metodę.
WSPANIAŁA METODA!

"Magiczny stół"

W innych źródłach

Jeśli a> 1 i b> 1, następnie log a b> 0 i (a -1) (b -1)> 0;

Jeśli a> 1 i 0

jeśli 0<a<1 и b >1, a następnie zarejestruj b<0 и (a -1)(b -1)<0;