Test na temat równań i nierówności logarytmicznych. Materiały do egzaminów z tematów „równania i nierówności wykładnicze”, „równania i nierówności logarytmiczne”

zapewnić powtórzenie, uogólnienie, usystematyzowanie materiału na dany temat;
stworzyć warunki do kontroli, samokontroli zdobytej wiedzy i umiejętności;
przyczyniają się do kształtowania umiejętności stosowania technik: porównania, uogólniania, podkreślania najważniejszej rzeczy, przenoszenia wiedzy do nowej sytuacji, rozwijania perspektywy matematycznej;
stworzyć warunki do rozwoju zainteresowań poznawczych uczniów;
wychowanie odpowiedzialności za jakość i wynik pracy wykonywanej na lekcji, aktywność matematyczną, umiejętność pracy w grupach, kulturę ogólną.

Powtarzać materiał teoretyczny... Zwróć szczególną uwagę na ODV funkcji logarytmicznej.
Usystematyzować metody rozwiązywania równań logarytmicznych.
Zdiagnozuj wiedzę.

Rodzaj lekcji: lekcja generalizacji i systematyzacji wiedzy.

Forma lekcji: warsztaty

Wyposażenie: podręcznik, materiały dydaktyczne, indywidualne karty do samodzielnej pracy, arkusze wiedzy, rzutnik multimedialny.

Podczas zajęć

1. Moment organizacyjny

Uczniom mówi się o temacie lekcji i celach, podkreśla się znaczenie powtórzenia tego tematu w przygotowaniu do egzaminu.

2. Sprawdzanie pracy domowej

3. Aktualizacja wcześniejszej wiedzy

Uczniowie pracują werbalnie poprzez ćwiczenia prezentowane na ekranie za pomocą projektora.

Oblicz

opcja 1
2)
Opcja 2
2)

3)

5)

4. Kształtowanie umiejętności i zdolności.

Praca grupowa, po której następuje weryfikacja.

1) Rozwiązywanie równań logarytmicznych w celu wyznaczenia logarytmu.

Odpowiedź:

Odpowiedź: 256

2) Równania rozwiązywane przez wzmocnienie.

Najpierw musisz rozwiązać równanie systemu, a pierwiastki są wybierane zgodnie z nierównością systemu.

Odpowiedź: 3
Odpowiedź: 3,5

Równania rozwiązywane przez podstawienie.

Odpowiedź:

To równanie jest równoważne równaniu

Niech więc

Odpowiedź:

Równania rozwiązywane przez logarytm.

.
= Tak. Odpowiedź: 0,1; 10..
ODZ: x. Logarytm obu stron do podstawy 10.
Skąd
Odpowiedź 1; cztery.

Równania postaci

To równanie jest równoważne równaniu na

.
ODZ jest określany przez system

ODZ jest określany przez system

Odpowiedź: ( (0;)

Równania rozwiązywane przy użyciu różnych właściwości logarytmów.

Stosujemy formułę, otrzymujemy

Podstawiając te wartości x do pierwotnego równania, widzimy, że jest pierwiastkiem równania, a 0,1 nie jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź:

Te równania, które sprawiły uczniom trudności, są rozwiązywane na tablicy przez uczniów, którzy sobie z nimi poradzili.

5. Wychowanie fizyczne

Złożyli ręce w „zamek”, wyciągnęli je przed nami, podnieśli i dobrze się przeciągnęli. Lekarze twierdzą, że w tym momencie uwalniany jest „enzym szczęścia”.

6. Niezależna praca

(Przesuń na ekranie i karty dla każdego ucznia). Zachęcamy uczniów do oceny swoich możliwości i wybrania poziomu zadań A, B lub C.

Po wykonaniu pracy studenci przekazują ją do weryfikacji. Ekran wyświetla odpowiedzi i krótkie rozwiązanie. Zachęca się uczniów do sprawdzania i oceniania swojej pracy poprzez wystawienie oceny za samodzielną pracę.

6. Praca domowa

Powtórz P.6.2, 6.3. D.M. С - 21 nr 2 (b, c), nr 3 (d, e) opcje 3 i 4.

7. Podsumowanie lekcji

Tak więc dzisiaj rozwiązaliśmy równania logarytmiczne. Podsumujmy teraz, jakich metod rozwiązywania równań użyliśmy:
posługując się definicją logarytmu,

wykorzystanie podstawowej tożsamości logarytmicznej,

z wykorzystaniem metody wzmacniania,

wprowadzenie nowej zmiennej,

przejście z równania o różnych podstawach do jednej podstawy,

korzystając z własności logarytmu.

Oznaczenie cyfrą „+” w notatniku, rozwiązaniem na tablicy i kartami. Określanie wyników uczniów.

Nasza lekcja dobiegła końca. Czy osiągnęliśmy nasze cele?

Czas leci niepostrzeżenie, dziś jesteś dziesiątą klasą, a jutro jesteś już absolwentem. Przygotowując się do egzaminu nigdy nie myśl, że nie poradzisz sobie z zadaniem, a wręcz przeciwnie, mentalnie narysuj sobie obraz sukcesu, a wtedy na pewno Ci się uda!

Literatura:
Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V.... Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 10. Samouczek dla instytucje edukacyjne: podstawowe i poziomy profilu... - M., 2009

Potapov M.K., Shevkin A.V.... Algebra i początki Analiza matematyczna... Materiały dydaktyczne dla klasy 10. - M., 2009.

Shepeleva Yu.V.... Algebra i początek analizy matematycznej. Sprawdziany tematyczne i końcowe do klasy 10. - M., 2009.

Łysenko F.F... Matematyka jednolitego egzaminu państwowego-2009. Legion. - M., 2009.

Klovo AG... Matematyka egzaminu-2010 - M., 2010.

Erina T.M... Algebra. Równania i nierówności logarytmiczne - M, 2004.

1 z 22

Opis prezentacji dla poszczególnych slajdów:

Slajd nr 1

Podręcznik naukowy dotyczący algebry Temat: "Logarithmic and równania wykładnicze i nierówności „Wypełnił: LN Manuilova - nauczycielka matematyki MBOU gimnazjum nr 76, Iżewsk Udmurtia

Slajd nr 2

Spis treści: Rozdział 1. 1.1. Pojęcie logarytmu 1.2. Własności logarytmu 1.3. Równania logarytmiczne A. Część teoretyczna B. Przykłady 1.4. Nierówności logarytmiczne A. Część teoretyczna B. Przykłady Rozdział 2. 2.1. Stopień liczby dodatniej 2.2. Funkcja wykładnicza 2.3. Równania wykładnicze A. Część teoretyczna B. Przykłady 2.4. Nierówności wykładnicze A. Część teoretyczna B. Przykłady Rozdział 3. 3.1. Kolokwium na temat „Równania i nierówności logarytmiczne” I stopień trudności II stopień trudności III stopień trudności 3.2. Kolokwium na temat „Równania wykładnicze i nierówności” I stopień trudności II stopień trudności III stopień trudności

Slajd nr 3

1.1 Pojęcie logarytmu у х y = b b M 1 0 n y = ax (a> 1) х y = ax (0< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a ≠ 0) jest liczbą n taką, że b = an Logarytm liczby dodatniej b do podstawy a (a> 0, a ≠ 1) oznaczamy następująco: n = loga b To oczywiście wynika z definicji logarytmu, że dla a> 0 , a ≠ 1, b> 0: a loga b = b

Slajd nr 4

Funkcja logarytmiczna y y x x 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log1x Funkcja y = loga x nazywana jest funkcją logarytmiczną. Własności funkcji y = loga x, dla a> 0: Ciągła i rosnąca na przedziale (0; + ∞); Jeśli x → + ∞, to y → + ∞; jeśli x → 0, to y → -∞. Ponieważ loga1 = 0, własność 1 implikuje: jeśli x> 1, to y> 0; jeśli 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х >1, to tak< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

Slajd nr 5

Niech a, M i N będą liczbami dodatnimi, gdzie 1, a k jest rzeczywiście liczbą. Wtedy obowiązują następujące równości: 1.loga (M N) = loga M + loga N - logarytm iloczynu liczby dodatnie jest równa sumie logarytmy tych liczb. 2. loga М = loga M - loga N - Logarytm ilorazu liczb dodatnich N jest równy różnicy między logarytmami dzielnej i dzielnika. 3. loga Mk = k · loga M - logarytm potęgi dodatniej liczby jest równy iloczynowi wykładnika przez logarytm tej liczby. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - Wzór na przejście logarytmów z jednego logb a logb o podstawie do drugiego. Niektóre przypadki: 1. log10 b = lg b - Logarytm dziesiętny liczby dodatniej b nazywany jest logarytmem dziesiętnym z b. 2.loge b = ln b - Logarytm liczby dodatniej b o podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym z b 1.2 Własności logarytmów

Slajd nr 6

1. Niech a - dana liczba dodatnia, nie równa 1 liczbie, b - dana liczba rzeczywista. Wtedy równanie loga x = b - nazywa się najprostszym równaniem logarytmicznym. Na przykład równania a) log3 x = 3; (1) b) log⅓ x = -2; (2) c) log25 x + 5 log4 x log3 x + 7 log22 x = 0; (3) to najprostsze równania logarytmiczne. Z definicji logarytmu, jeśli liczba x0 spełnia loga równości liczbowej x = b, to liczba x0 jest ab, a ta liczba x0 = ab jest unikalna. Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej b równanie loga x = b ma unikalny pierwiastek x0 = ab. 2. Równania, które po zastąpieniu niewiadomej zamieniają się w najprostsze równania logarytmiczne: a) log5 (4x - 3) = 2; (4) b) 2 + 1 = -1; (5) lg (3x + 1) + lg0,01 lg (3x + 1) 1.3 Równania (część teoretyczna)

Slajd nr 7

1.3 Przykłady log3 x = 3 Przepisz równanie jako: log3 x = log3 27 Wtedy jest oczywiste, że to równanie ma jeden pierwiastek x0 = 27. Odpowiedź: 27. b) log1 / 3 x = -2 To równanie ma jeden pierwiastek x0 = ( ⅓) -2 = 9 Odpowiedź: 9.c) log25 x + 5 log4 x log3 x + 7 log22 x = 0 (1) Sprowadzając wszystkie logarytmy do jednej podstawy, przepisz równanie jako: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x log5 4 log5 3 log25 2 Ponieważ każdy wyraz sumy zawartej w nawiasach jest dodatni, suma nie jest równa zeru. Zatem równanie (1), a więc równanie (2), są równoważne równaniu log25 x = 0, które ma pojedynczy pierwiastek x0 = 1. Zatem równanie (1) ma pojedynczy pierwiastek x0 = 1. Odpowiedź: 1 . a, b - najprostsze równania; в - równanie, które po przekształceniach zamienia się w najprostszy dziennik. równanie

Slajd nr 8

1.3 Przykłady a) log5 (4x - 3) = 2 (1) Wprowadzając nowe znane t = 4x - 3, przepisz równanie jako: log5 t = 2. To równanie ma jeden pierwiastek t1 = 52 = 25. Aby znaleźć pierwiastek równania (1), należy rozwiązać równanie: 4x - 3 = 25. (2) Ma pojedynczy pierwiastek x1 = 7. W konsekwencji równanie (1) również ma jeden pierwiastek x1 = 7. Odpowiedź: 7.b) 2 + 1 = -1 (1) lg (3x + 1) + lg0,01 lg (3x + 1) Wprowadzenie nowej nieznanej t = lg (3x + 1) i uwzględnienie lg 0,01 = -2 przepisujemy równanie (1) w postaci: 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t Po rozwiązaniu równania wymiernego (2) otrzymujemy, że ma ono dwa pierwiastki t1 = -2 i t2 = 1. Aby znaleźć wszystkie pierwiastki równania (1), konieczne jest połączenie pierwiastków dwóch równań lg (3x + 1) = -2 i lg (3x + 1) = 1. Pierwsze równanie jest równoważne równaniu 3x + 1 = 10-2, który ma pojedynczy pierwiastek x1 = -0,33. Drugie równanie jest równoważne równaniu 3x + 1 = 10, które również ma pojedynczy pierwiastek x2 = 3. Odpowiedź: -0,33; 3.a, b - równania, które sprowadzają się do najprostszego zastąpienia nieznanego

Slajd nr 9

1.4 Nierówności (część teoretyczna) Niech a będzie daną liczbą dodatnią, nie równą 1, b - daną liczbą rzeczywistą. Następnie nierówności: log x> b (1) log x< b (2) являются простейшими nierówności logarytmiczne... Nierówności (1) i (2) można przepisać jako: loga x> loga x0 (3) loga x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, to funkcja y = loga x rośnie w całej swojej dziedzinie definicji, tj. w przedziale (0; + ∞). Dlatego dla dowolnej liczby x>x0 obowiązuje loga nierówności liczbowej x>loga x0, a dla dowolnej liczby x z przedziału 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а >1 i dowolna liczba rzeczywista b, zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (3) jest przedział (x0; + ∞), a zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (4) jest przedział (0; x0). Jeśli 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x >x0 loga nierówności liczbowej x< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x >loga x0. Ponadto loga równości x = loga x0 obowiązuje tylko dla x = x 0. Tak więc przy 0< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

Slajd nr 10

1.4 Nierówności (część teoretyczna) Na płaszczyźnie współrzędnych xOy rozważmy wykresy funkcji y = loga x i y = b. Prosta y = b przecina wykres funkcji y = loga x w jednym punkcie x0 = ab. Jeżeli a> 1, to dla każdego x> x0 odpowiedni punkt na wykresie funkcji y = loga x znajduje się powyżej prostej y = b, tj. dla każdego x> x0 odpowiadająca mu rzędna y = ax jest większa od rzędnej ax0, a dla każdego x z przedziału 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x >x0 odpowiedni punkt wykresu funkcji y = loga x znajduje się poniżej prostej y = b, a dla każdego x z przedziałów 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a >1) y = b y = loga x (0< a < 1) х0

Slajd nr 11

1.4 Przykłady Rozwiąż nierówność log1 / 3 x> -2. (1) Ponieważ -2 = log⅓ 9, nierówność (1) można zapisać jako log ⅓x> log ⅓ 9 (2) Ponieważ ⅓< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x >½. (3) Ponieważ ½ = log4 2, nierówność (3) można przepisać jako log4 x> log4 2 (4) Ponieważ 4> 1, to funkcja y = log4 x rośnie. Dlatego zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (4), a więc nierówności (3), jest przedział (2; + ∞). Odpowiedź: (2; + ∞). (patrz rys. 1) х у 1 2 3 4 1 -1 0 rys. 1 y = ½ y = log4 x

Slajd nr 12

1.4 Przykłady Rozwiąż nierówność log3 x - 3log9 x - log81 x> 1.5. (5) Ponieważ log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x), to nierówność (5) można przepisać w postaci: (1 - 1,5 - ¼) log3 x > 1,5 lub w postaci log3 x< log3 1/9. (6) Так как 3 >1, to funkcja y = log3 x rośnie. Dlatego zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (6), a więc nierówności (5), jest przedział 0< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

Slajd nr 13

2.1 Stopień liczby dodatniej Stopień z wykładnikiem wymiernym Niech a będzie liczbą dodatnią, a p / q liczbą wymierną (q ≥ 2). Z definicji liczba a do potęgi p / q jest pierwiastkiem arytmetycznym potęgi q a do potęgi p, tj. a p / q = q√ap. TWIERDZENIE. Niech a będzie liczbą dodatnią, p będzie liczbą całkowitą, k i q be liczby całkowite, q ≥ 2, k ≥ 2. Wtedy równości a) ap / q = (a1 / p) p; b) ap / q = a pk / qk; c) ap = apq/q; Własności stopnia z wykładnikiem wymiernym TWIERDZENIE 1. Liczba dodatnia a do stopnia z dowolnym wykładnikiem wymiernym r jest dodatnia: ar> 0 TWIERDZENIE 2. Niech a będzie liczbą dodatnią, a r1, r2 ir będą liczbami wymiernymi. Wtedy prawdziwe są następujące własności: 1. Mnożąc stopnie przez wykładniki wymierne o tej samej liczbie dodatniej, wykładniki sumują się: ar1 ∙ ar2 = ar1 + r2. 2. Przy dzieleniu stopni przez wykładniki wymierne o tej samej liczbie dodatniej odejmuje się wykładniki: ar1: ar2 = ar1 - r2. 3. Podnosząc wykładnik z wykładnikiem wymiernym liczby dodatniej do wykładnika wymiernego, wykładniki są mnożone: (а r1) r2 = а r1 ∙ r2. TWIERDZENIE 3. Niech aib będą liczbami dodatnimi, a r liczbą wymierną. Wtedy obowiązują następujące własności stopnia z wykładnikiem wymiernym: Stopień z wykładnikiem wymiernym iloczynu liczb dodatnich jest równy iloczynowi tych samych potęg czynników: (ab) r = ar ∙ br. Stopień z wymiernym wykładnikiem ilorazu liczb dodatnich jest równy ilorazowi tych samych potęg dzielnika i dzielnika: (a / b) r = ar / br. TWIERDZENIE 4. Niech a> 1 i r będą liczbą wymierną. Wtedy ar> 1 dla r> 0 0< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a >1, a liczby wymierne r1 i r2 spełniają nierówność r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

Slajd nr 14

2.2 Funkcja wykładnicza Rozważmy funkcję y = a (1), gdzie a> 0 i a ≠ 0, na zbiorze liczb wymiernych. Dla każdej liczby wymiernej r definiuje się liczbę ar. Dzięki temu funkcja (1) jest nadal zdefiniowana na zbiorze liczb wymiernych. Wykres tej funkcji w układzie współrzędnych x0y jest zbiorem punktów (x; ax), gdzie x jest dowolną liczbą wymierną. Dla a> 1 wykres ten pokazano schematycznie na rysunku (1), a dla 0< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют funkcja wykładnicza z podstawą

Slajd nr 15

2.3 Równania wykładnicze (Część teoretyczna) 1. Niech a będzie daną liczbą dodatnią, nie równą 1, b - daną liczbą rzeczywistą. Wtedy równanie ax = b (1) nazywamy najprostszym równaniem wykładniczym. Na przykład równania 2x = 8, (1/3) x = 9, 25x = -25 są najprostszymi równaniami wykładniczymi. Pierwiastek (lub rozwiązanie) równania o nieznanym x jest liczbą x0, po podstawieniu do równania zamiast x uzyskuje się poprawną równość liczbową. Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wszystkich jego pierwiastków lub wykazanie, że one nie istnieją. Ponieważ ax0>0 dla dowolnej liczby rzeczywistej x0, dla której poprawna byłaby równość liczbowa ax0 = b, jedyna liczba x0 = loga b spełnia. Zatem równanie (1): Dla b ≤ 0 nie ma pierwiastków; Dla b> 0 ma unikalny pierwiastek x0 = loga b. 2. Równania, które po zastąpieniu niewiadomego zamieniają się w najprostsze równania wykładnicze.

Slajd nr 16

2.3 Przykłady Rozwiąż równanie (1/2) x = 2 (2) Ponieważ 2> 1, to równanie ma jeden pierwiastek x0 = log 1/2 2 = -1. Odpowiedź 1. Rozwiąż równanie 3x = 5 (3) Ponieważ 5>0, to równanie ma jeden pierwiastek x0 = log3 5. Odpowiedź: log3 5. Rozwiąż równanie 25x = -25 Ponieważ -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b >0 to równanie jest często zapisywane jako ax = aα, gdzie α = loga b. Wtedy jest oczywiste, że jedynym pierwiastkiem tego równania, a więc i równania (1), jest liczba α. Ponieważ równanie (2) można zapisać w postaci (1/2) x = (1/2) -1, to jego jedynym pierwiastkiem jest x0 = -1. Ponieważ równanie (3) można zapisać w postaci 3x = 3log 35, jego jedynym pierwiastkiem jest x0 = log3 5.

Slajd nr 17

2.3 Przykłady Teraz rozważymy równania, które po prostych przekształceniach zamieniają się w najprostsze równania wykładnicze. Rozwiążmy równanie 5x + 2 - 2 5x - 35x + 1 = 200 (4) Ponieważ 5x + 2 = 25 5x, 5x + 1 = 5 5x, to równanie (4) można przepisać jako 5x ( 25 - 2 - 15 ) = 200 lub w postaci 5x = 52 (5) Oczywiście równanie (5), a więc równanie (4), ma jeden pierwiastek x0 = 2. Odpowiedź: 2. Rozwiążmy równanie 4 · 3x - 9 2x = 0 (6) Ponieważ 2x ≠ 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej, to dzieląc równanie (6) przez 2x, otrzymujemy równanie 4 (3/2) x - 9 = 0, (7) równoważne równaniu (6 ). Równanie (7) można przepisać jako (3/2) x = (3/2) 2. (8) Ponieważ równanie (8) ma jeden pierwiastek x0 = 2, to równoważne równanie (6) ma jeden pierwiastek x0 = 2. Odpowiedź: 2.

Slajd nr 18

2.3 Przykłady Rozwiąż równanie 9 2x2-4x + 2 - 2 34x2 - 8x + 3 -1 = 0. (9) Przepisując równanie (9) w postaci 34x2 - 8x + 3 = 1, wprowadzamy nową niewiadomą t = 4x2 - 8x + 3. Następnie równanie (9) można przepisać jako 3t = 1. (10) Ponieważ równanie (10) ma jeden pierwiastek t1 = 0, to aby znaleźć pierwiastki równania (9), należy rozwiązać równanie 4x2 - 8x + 3 = 0. To równanie ma dwa pierwiastki x1 = 1/2, x2 = 3/2, więc równanie (9) ma te same pierwiastki. Odpowiedź: 1/2; 3/2. Rozważmy teraz rozwiązanie równań, które po wprowadzeniu nowego nieznanego t zamieniają się w równania kwadratowe lub wymierne z nieznanym t. Rozwiążmy równanie 4x - 3 2x + 2 = 0. (11) Ponieważ 4x = (2x) 2, to równanie (11) można przepisać w postaci (2x) 2 - 3 2x + 2 = 0. Wprowadzenie nowego nieznany t = 2x, otrzymujemy równanie kwadratowe t2 - 3t + 2 = 0, które ma dwa pierwiastki t1 = 1, t2 = 2. Dlatego, aby znaleźć wszystkie pierwiastki równania (11), musimy połączyć wszystkie pierwiastki z dwa równania 2x = 1 i 2x = 2 Po rozwiązaniu tych najprostszych równań wykładniczych otrzymujemy, że wszystkie pierwiastki równania (11) to x1 = 0; x2 = 1. Odpowiedź: 0; jeden.

Slajd nr 19

2.4 Nierówności wykładnicze (Część teoretyczna) Niech a będzie daną liczbą dodatnią, nie równą 1, b - daną liczbą rzeczywistą. Wtedy nierówności ax> b (1) i ax< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x >4√3, 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 >0 dla dowolnej liczby rzeczywistej x0, to dla b ≤ 0 nierówność a x0> b obowiązuje dla dowolnej liczby rzeczywistej x0, ale nie ma ani jednej liczby rzeczywistej x0, dla której nierówność liczbowa a x0< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b >0, to nierówność (1) i (2) można przepisać jako ax> ax0 (1) i ax< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а >1. Skoro dla takiej a funkcja y = ax rośnie, to dla dowolnej liczby х>> ax0, a dla dowolnej liczby х> x0 nierówność liczbowa ax< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

Slajd nr 20

2.4 Nierówności wykładnicze (część teoretyczna) Zatem, dla b> 0 i a> 1, zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (3) jest przedział (x0; + ∞), a zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (4) jest przedział (-∞; x0) , gdzie x0 = loga b. Teraz niech 0< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х >x0 nierówność liczbowa ax< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b >0 i 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax >b i nie ma takiego x, dla którego nierówność ax< b . При b >0 prosta y = b przecina wykres funkcji y = ax w jednym punkcie x0 = loga b. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = topór (a> 1) 0 1 y = b (b< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

Slajd nr 22

2.4 Przykłady Rozwiąż nierówność 2x< 8 . (1) Так как 8 >0, to nierówność (1) można przepisać jako 2x< 23. (2) Так как 2 >1, to funkcja y = 2x rośnie. Zatem wszystkie rozwiązania nierówności (2), a więc nierówności (1), to x< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 >0, to tę nierówność (3) można przepisać jako (1/3) x< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х >log⅓ 5. Odpowiedź: (log⅓ 5; + ∞). Rozważ nierówność, która po zastąpieniu nieznanego zamienia się w najprostszą nierówność wykładnicza... Rozwiąż nierówność 5 3x2 - 2x - 6< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 >1, to wszystkie rozwiązania tej nierówności są t< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив квадратное неравенство (6), найдем все его решения: -1 < x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania Koncentracja uwagi: Koncentracja uwagi równa się N. N = (liczba poprawnych odpowiedzi) x 0,125 x 100%. Zapisz szczególny przypadek wzoru na przejście do logarytmu o innej podstawie Zapisz wzór na przejście do logarytmu o innej podstawie Jaki jest logarytm potęgi liczby i podstawy? Jaki jest logarytm stopnia podstawy? Jaki jest logarytm potęgi liczby? Jaki jest logarytm ilorazu? Jaki jest logarytm iloczynu? Sformułuj definicję logarytmu Odpowiedź Pytanie o pytanie - o pytanie

Rozważać wzajemne porozumienie wykres funkcji y = log a x (a> 0, a ≠ 1) oraz prostej y = b. y = log a x (a> 1) y x 0 y = log a x (0

Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania WNIOSEK: Wykres funkcji y = log a x (a> 0, a ≠ 1) oraz prosta y = b przecinają się w jednym punkcie, tj. równanie log a x = b, a> 0, a ≠ 1, x> 0 ma unikalne rozwiązanie x 0 = a b.

DEFINICJA: Równanie log a x = b, a> 0, a 1, x> 0 nazywa się najprostszym równaniem logarytmicznym. Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania Przykład:

Rodzaje i metody rozwiązywania równań logarytmicznych. DEFINICJA: Równania zawierające niewiadomą pod znakiem logarytmu lub u podstawy logarytmu (lub obydwa jednocześnie) nazywane są równaniami logarytmicznymi. Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania

Rodzaje i metody rozwiązywania równań logarytmicznych. DODATEK: Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych należy wziąć pod uwagę: obszar dopuszczalne wartości logarytm: pod znakiem logarytmu mogą znajdować się tylko wartości dodatnie; na podstawie logarytmów - tylko dodatnie wartości inne niż jeden; własności logarytmów; działanie wzmacniające. Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania

Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania Rodzaje i metody rozwiązywania równań logarytmicznych. 1) Najprostsze równania logarytmiczne. Przykład nr 1 Odpowiedź: Rozwiązanie:

Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania Rodzaje i metody rozwiązywania równań logarytmicznych. 2) Równania logarytmiczne, które sprowadzają się do najprostszych równań logarytmicznych. Przykład nr 1 Odpowiedź: Rozwiązanie:

Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania Rodzaje i metody rozwiązywania równań logarytmicznych. 3) Równania logarytmiczne redukujące do równania kwadratowe... Przykład nr 1 Odpowiedź: Rozwiązanie:

Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania Rodzaje i metody rozwiązywania równań logarytmicznych. 3) Równania logarytmiczne, które sprowadzają się do równań kwadratowych. Przykład nr 2 Odpowiedź: Rozwiązanie: W znalezionym zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej x przekształcamy równanie za pomocą właściwości logarytmów. Biorąc pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości, otrzymujemy: 10; 100

Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania Rodzaje i metody rozwiązywania równań logarytmicznych. 4) Równania logarytmiczne, które sprowadzają się do równań wymiernych. Przykład nr 2 Odpowiedź: Rozwiązanie: W znalezionym zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej x dokonujemy transformacji podane równanie i otrzymujemy: Wróćmy do zmiennej x:

Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania Rodzaje i metody rozwiązywania równań logarytmicznych. 5) Równania logarytmiczne ze zmienną u podstawy i pod znakiem logarytmu. Przykład nr 1 Odpowiedź: Rozwiązanie: W znalezionym zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej x przekształcamy równanie i otrzymujemy: Uwzględniając zakres dopuszczalnych wartości zmiennej x, otrzymujemy:

Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania Rodzaje i metody rozwiązywania równań logarytmicznych. 5) Równania logarytmiczne ze zmienną u podstawy i pod znakiem logarytmu. Przykład nr 2 Odpowiedź: Rozwiązanie: W znalezionym zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej x równanie jest równoważne zbiorowi: Uwzględniając zakres dopuszczalnych wartości zmiennej x otrzymujemy: 5;6 .

Równania logarytmiczne, ich rodzaje i metody rozwiązywania

Przy rozwiązywaniu równań i nierówności logarytmicznych wykorzystuje się właściwości logarytmów, a także właściwości funkcji logarytmicznej

y = log a x, a> 0, a 1:

1) Dziedzina definicji: x> 0;

2) Zakres: y R ;

3) log a x 1 = log a x 2 x 1 = x 2;

4) Dla a> 1 funkcja y = log a x rośnie, dla 0< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x >0, czyli

a> 1 i log a x 1> log a x 2 x 1> x 2,
0 loga x 2 x 1< x 2 ;

Przechodząc od równań logarytmicznych (nierówności) do równań (nierówności), które nie zawierają znaku logarytmu, należy wziąć pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości (ODV) pierwotnego równania (nierówność).

Problemy i testy na temat „Równania logarytmiczne”

Równania logarytmiczne
Lekcje: 4 Zadania: 25 Testy: 1
Układy równań wykładniczych i logarytmicznych - Funkcje wykładnicze i logarytmiczne klasy 11
Lekcje: 1 Zadania: 15 Testy: 1
§5.1. Rozwiązywanie równań logarytmicznych
Lekcje: 1 Zadania: 38
§7 Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne - Sekcja 5. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Stopień 10
Lekcje: 1 Zadania: 17
Równoważność równań - Równania i nierówności klasy 11
Lekcje: 2 Zadania: 9 Testy: 1

Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych w wielu przypadkach konieczne jest wykorzystanie własności logarytmu iloczynu, ilorazu, stopnia. W przypadkach, gdy w jednym równaniu logarytmicznym występują logarytmy o różnych podstawach, zastosowanie tych własności jest możliwe dopiero po przejściu do logarytmów o równych podstawach.

Ponadto rozwiązanie równania logarytmicznego należy rozpocząć od znalezienia zakresu dopuszczalnych wartości (ODZ) danego równania, ponieważ w procesie rozwiązywania możliwe jest pojawienie się obcych korzeni. Kończąc rozwiązanie, nie zapomnij sprawdzić znalezionych korzeni pod kątem O.D.Z.

Możliwe jest rozwiązywanie równań logarytmicznych bez użycia O.D.Z. W takim przypadku weryfikacja jest obowiązkowym elementem rozwiązania.

Przykłady.

Rozwiąż równania:

a) log 3 (5x - 1) = 2.

Decyzja:

ODZ: 5x - 1> 0; x> 1/5.
log 3 (5x - 1) = 2,
log 3 (5x - 1) = log 3 3 2,
5x - 1 = 9,
x = 2.

opcja 1

Opcja 2

Klucz

	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	B1	B2	C1
opcja 1	2	1	3	4	1	3	1	4	3	2
Opcja 2	2	2	4	2	4	3	2	3	4	2

Test na temat równań i nierówności logarytmicznych. Materiały do ​​egzaminów z tematów „równania i nierówności wykładnicze”, „równania i nierówności logarytmiczne”

Problemy i testy na temat „Równania logarytmiczne”

opcja 1

Opcja 2

Klucz

Test na temat równań i nierówności logarytmicznych. Materiały do egzaminów z tematów „równania i nierówności wykładnicze”, „równania i nierówności logarytmiczne”