Podstawy teorii drgań układów mechanicznych. Podstawy teorii oscylacji

Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej
Stan Uchta Uniwersytet Techniczny

VC. Khegay, DN. Lewickiego,
ON. Charin, A.S. Popow

Podstawy teorii oscylacji
systemy mechaniczne
Instruktaż

Zatwierdzony przez stowarzyszenie edukacyjne i metodyczne uniwersytetów
dla wyższego wykształcenia naftowego i gazowego jako edukacyjny
podręczniki dla studentów studiujących na wyższych uczelniach naftowych i gazowych
specjalność 090800, 170200, 553600

UKD 534.01
Kh-35
Podstawy teorii oscylacji układów mechanicznych / V.K. Khegai,
D.N. Lewicki, ON Charin, A.S. Popow. - Uchta: USTU, 2002 r. - 108 pkt.
ISBN 5-88179-285-8
Podręcznik omawia podstawy teorii drgań układów mechanicznych, które opierają się na: kurs ogólny mechanika teoretyczna. Szczególną uwagę zwrócono na zastosowanie równań Lagrange'a drugiego
wiersz. Podręcznik składa się z sześciu rozdziałów, z których każdy poświęcony jest określonemu rodzajowi oscylacji. Jeden rozdział poświęcony jest podstawom teorii stabilności ruchu i równowagi układów mechanicznych.
Dla lepszej nauki materiał teoretyczny, w instrukcji, jest podany
duża ilość przykładów i zadań z różnych dziedzin techniki.
Podręcznik przeznaczony jest dla studentów kierunków mechanicznych, którzy studiują w całości tok mechaniki teoretycznej,
może być również przydatny dla studentów innych specjalności.
Recenzenci: Katedra Mechaniki Teoretycznej w Petersburgu
Państwowa Akademia Leśna (kierownik wydziału, doktor nauk technicznych, prof. Yu.A Dobrynin); Kierownik Zespołu Wiertnictwa, SeverNIPIGaz, Kandydat Nauk Technicznych, docent Yu.M. Gerzhberga.

© Państwowy Uniwersytet Techniczny w Uchcie, 2002
© Khegay V.K., Levitsky D.N., Kharin ON, Popov A.S., 2002
ISBN 5-88179-285-8

3
Spis treści
Przedmowa ................................................. ................................................... .............. ............... 4
Rozdział I Krótka informacja z mechaniki analitycznej ........................................... 5
1.1 Energia potencjalna systemu............................................. ........ ................................. 5
1.2. Energia kinetyczna układu ............................................. .............................. .............................. 6
1.3. Funkcja rozpraszająca ............................................. ................................................... ............ osiem
1.4. Równanie Langrange'a ............................................. ................................................... 9
1.5. Przykłady kompilacji równań Langrange'a drugiego rodzaju .............................. 11
Rozdział II. Stabilność ruchu i równowaga układów zachowawczych .......... 20
2.1. Wprowadzenie ............................................... . .............................................. .. ................. dwadzieścia
2.2. Funkcje Lapunowa. Kryterium Sylwestra............................................. ...............21
2.3. Równanie ruchu zaburzonego ............................................. ............................................. 23
2.4. Twierdzenie Lapunowa o stabilności ruchu............................................................ ........................ 26
2.5. Twierdzenie Lagrange'a o stabilności równowagi
konserwatywny system ................................................ ................................................... ............... 29
2.6. Stabilność równowagi układu konserwatywnego z jedynką
stopień wolności ............................................... ................................................... .............. ........... trzydzieści
2.7. Przykłady stabilności równowagi systemu konserwatywnego............................................. 31
Rozdział III. Swobodne wibracje systemu z jednym stopniem swobody .............................. 39
3.1. Drgania swobodne konserwatywnego systemu
z jednym stopniem swobody ............................................. .............................. .............................. ............... 39
3.2. Drgania swobodne układu o jednym stopniu swobody w obecności
siły oporu proporcjonalne do prędkości ............................................. ............................................. 42
3.3. Przykłady drgań swobodnych układu o jednym stopniu swobody .............................. 46
Rozdział IV. Drgania wymuszone układu o jednym stopniu swobody ...................... 59
4.1. Oscylacje wymuszone układu o jednym stopniu swobody
w przypadku okresowej siły zakłócającej ........................................... ............. ................... 59
4.2. Zjawisko rezonansu ............................................. ................................................... ............................................. 63
4.3. Zjawisko bicia ............................................. ...................................................... .... ........ 66
4.4. Czynnik dynamiczny ............................................. ................................................... ... 68
4.5. Przykłady wymuszonych oscylacji układu
z jednym stopniem swobody ............................................. .............................. .............................. ............... 70
Rozdział V. Swobodne drgania systemu o dwóch stopniach swobody ..................................
5.1. Równania różniczkowe swobodnych oscylacji układu z dwoma
stopnie swobody i ich ogólne rozwiązanie ........................................... ................................... 78
5.2. Własne formularze ............................................. ................................................... ...............80
5.3. Przykłady swobodnej oscylacji układu o dwóch stopniach swobody ..................... 81
Rozdział VI. Drgania wymuszone układu o dwóch stopniach swobody........ 93
6.1. Równania różniczkowe oscylacji wymuszonych układu i ich
wspólna decyzja ............................................. ................................................. . ............... 93
6.2. Dynamiczny tłumik drgań ............................................. ................................................... 95
6.3. Przykłady wymuszonych oscylacji układu o dwóch stopniach swobody..... 98
Spis bibliograficzny ................................................ ................................................... ......... 107

4
Przedmowa
Na obecnym etapie rozwoju Liceum Do praktyki dydaktycznej coraz częściej wprowadzane są problemowe i badawcze formy kształcenia.
Dynamiczne procesy zachodzące w maszynach i mechanizmach mają decydujące znaczenie zarówno dla obliczeń na etapie projektowania nowych konstrukcji, jak i wyznaczania trybów technologicznych podczas eksploatacji. Trudno wymienić dziedzinę technologii, w której by nie było
aktualne problemy badania drgań sprężystych oraz stabilności równowagi i ruchu układów mechanicznych. Stanowią wyjątkowe
znaczenie dla inżynierów mechaników pracujących w dziedzinie budowy maszyn, transportu i innych dziedzin techniki.
W podręczniku omówiono poszczególne zagadnienia z teorii
drgania i stabilność układów mechanicznych. Informacje teoretyczne
wyjaśnione na przykładach.
Głównym celem tego podręcznik metodologiczny− link
obszar zastosowania mechaniki teoretycznej i analitycznej z problemami
specjalne działy szkolące inżynierów mechaników.

5
Rozdział I. KRÓTKIE INFORMACJE Z ANALITYKI
MECHANIKA
I.I. Energia potencjalna systemu
Energia potencjalna układu o s stopniach swobody, będąca
energia pozycji zależy tylko od współrzędnych uogólnionych

П = П (q1 , q2 ,....., qs) ,
gdzie qj

(j = 1, 2,K , s) to uogólnione współrzędne układu.

Biorąc pod uwagę małe odchylenia systemu od pozycji stajni
równowagi uogólnione współrzędne qj można uznać za wielkości pierwszego rzędu małości. Zakładając, że położenie równowagi układu
odpowiada pochodzeniu współrzędnych uogólnionych, wyrażenie na energię potencjalną P w szeregu Maclaurina rozszerzamy w potęgach qj

P
1 S S ∂2 P
P = P (Ο) + ∑ (
)0 q j + (
)0 qi q j + K .
∂
Q
2
∂
Q
∂
Q
j=1
i=1 j=1
J
i
J
S

Mając na uwadze, że energia potencjalna jest wyznaczana z dokładnością
do pewnej stałej addytywnej energia potencjalna w położeniu równowagi może być równa zeru
P(0) = 0.

W przypadku sił zachowawczych siły uogólnione są określone wzorem

P
qj

(j = 1, 2,K, s).

Od kiedy układ sił jest w równowadze

(j = 1, 2,K , s) ,

Wtedy warunki równowagi dla konserwatywnego układu sił mają postać

⎛ ∂П.
⎜⎜
⎝ ∂q j

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2,K , s) ,

⎛ ∂П.
∑⎜
j =1 ⎜ ∂q
j

⎞
⎟⎟ q j = 0 .
⎠0

W związku z tym,
s

6
Wtedy równość (1.2.), aż do drugiego rzędu małości, przybiera postać

1 S S ⎛ ∂ 2 П
P =
2 i =1 j =1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ qi q j .
⎠0

Oznaczać

∂ 2 П
⎜⎜
∂qi ∂qj

⎞
⎟⎟ = cij = cji ,
⎠0

Gdzie cij to uogólnione współczynniki sztywności.
Ostateczne wyrażenie na energię potencjalną to

1 S
П = ∑∑cij qi q j .
2 i=1 j=1

Z (1.9.) widać, że energia potencjalna układu jest jednorodna funkcja kwadratowa uogólnione współrzędne.
1.2. Energia kinetyczna układu
Energia kinetyczna układu składającego się z n punktów materialnych,
jest równe

1n
T = ∑mk vk2 ,
2k=1

Gdzie mk i vk są masą i prędkością k -tego punktu układu.
Przechodząc do współrzędnych uogólnionych, pamiętajmy o tym
_

(k = 1, 2,..., n) ,

R k (q1 , q2 ,..., qs)

Gdzie r k jest promieniem k-tego punktu układu.
−

Używamy tożsamości vk2 = v k ⋅ v k i zastępujemy wektor prędkości
−

V k jego wartość
_

r k
∂q1

r k
∂q2

r k
qs

Wtedy wyrażenie na energię kinetyczną (1.10) przyjmuje postać

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1,S q S −1 q S) ,(1.13)
2

⎛ _
rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k=1
⎝
n

⎛ _
rk
Osioł = ∑ mk ⎜
qs
k=1
⎝
n

⎞
⎛ _
n
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k=1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ mk k ⋅ k ,...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

Jako -1,s = ∑mk
k=1

rk ∂ rk
.
⋅
∂qS -1 ∂qS

Rozszerzając każdy z tych współczynników w szereg Maclaurina w potęgi współrzędnych uogólnionych, otrzymujemy

Aij
Aij = (Aij)0 + ∑ ⎜
⎜
j =1 ⎝ ∂A j
S

⎞
q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2,..., s).

Indeks 0 odpowiada wartościom funkcji w położeniu równowagi. Ponieważ brane są pod uwagę niewielkie odchylenia systemu od położenia
równowaga, to w równości (1.14) ograniczamy się tylko do pierwszych stałych wyrazów

(i = j = 1, 2,..., s).

Aij = (Aij)0 = aij

Wtedy wyrażenie na energię kinetyczną (1.13) przyjmuje postać
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

Lub w ogóle

1S
T=∑
2 i=1

Stałe aij to uogólnione współczynniki bezwładności.
Z (1.16) widać, że energia kinetyczna układu T jest jednorodna
kwadratowa funkcja prędkości uogólnionych.

8
1.3. funkcja rozpraszająca
W rzeczywistych warunkach swobodne drgania układu są tłumione, więc
jak siły oporu działają na jego punkty. W obecności sił oporu energia mechaniczna jest rozpraszana.
−

Załóżmy, że działające siły oporu R k (k = 1, 2,..., n)
do punktów układu proporcjonalnie do ich prędkości
_

R k = − µk v k

(k = 1, 2,..., n) ,

Gdzie µk jest współczynnikiem proporcjonalności.
Uogólnione siły oporu dla układu holonomicznego są określone wzorami
n

Q j R = ∑ Rk
k=1

rk
r
= −∑ µk vk k
qj
qj
k=1
n

(j = 1, 2,..., s).

Bo
_

rk
rk
rk
q1 +
q2 + ... +
qS ,
∂q1
∂q2
∂qS

rk
.
qj

Mając na uwadze (1.18) przepisujemy uogólnione siły oporu (1.17) w postaci
n

Q = −∑ µκ vκ
r
J

(j = 1, 2,..., s).

Wprowadźmy funkcję dyssypatywną, którą określa wzór
n

Wtedy uogólnione siły oporu są określone wzorami

(j = 1, 2,..., s).

Funkcję rozpraszającą, przez analogię z energią kinetyczną układu, można przedstawić jako jednorodną funkcję kwadratową
prędkości uogólnione

1 S
Φ = ∑∑ вij q i q j ,
2 i=1 j=1

Gdzie Вij są uogólnionymi współczynnikami dyssypacji.
1.4. Równanie Lagrange'a drugiego rodzaju
Położenie układu holonomicznego o s stopniach swobody jest określone przez s uogólnione współrzędne qj (j = 1, 2,..., s) .
Aby wyprowadzić równania Lagrange'a drugiego rodzaju, używamy ogólnego
równanie dynamiki
S

Q i j)δ q j = 0 ,

Gdzie Qj jest uogólnioną siłą sił czynnych odpowiadającą j-tej uogólnionej współrzędnej;
Q uj jest uogólnioną siłą sił bezwładności odpowiadającą j-tej uogólnionej współrzędnej;
δ q j jest przyrostem j-tej uogólnionej współrzędnej.
Pamiętając, że wszystkie δ q j (j = 1, 2,..., s) są od siebie niezależne,
równość (1.23) będzie ważna tylko w przypadku, gdy każdy ze współczynników przy δ q j osobno jest równy zero, tj.

Q j + Q i j = 0 (j = 1, 2,..., s)
lub

(j = 1, 2,..., s).

Wyraźmy Q uj w kategoriach energii kinetycznej układu.
Z definicji siły uogólnionej mamy

Q i j = ∑ Φ k
k=1

rk
d vk ∂ r k
= −∑mk
⋅
1
=
k
qj
dt ∂q j
n

(j = 1, 2,K , s) ,

Dvk
gdzie Φ k = − mk a k = − mk
jest siłą bezwładności do -tego punktu układu.
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk
⎜
dt ∂q j dt
qj
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ − vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ qj
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1 , q2 ,..., qs) ,
_

D rk ∂ rk
rk
rk
vk =
=
q1 +
q2 + ... +
qs ,
dt
∂q1
∂q2
qs
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ qj
⎝

_
_
⎞
∂
D
r
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
qj
⎠

Zastępując wartości (1,27) i (1,28) równości (1,26), znajdujemy
_
⎛_
∂ vk ∂ r k d ⎜
vk
vk
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
vk2
∂
v
D
k
⎜
⎟ − vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
J
⎠
⎝

⎞
2
⎟ − ∂vk .
⎟⎟ 2∂q j
⎠

Uwzględniając równość (1.29), przepisujemy wyrażenie (1.25) w postaci

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
oraz
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k=1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
n

∂
−
qj

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d
k
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
Q
∂
j
J
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k=1
J
⎝
n

⎞
⎟ − ∂Τ .
qj
⎠

⎞
mk vk2
−
∑
2 ⎟⎟
k=1
⎠
n

11
Tutaj bierze się pod uwagę, że suma pochodnych jest równa pochodnej sumy,
n m v2
a ∑ k k = T jest energią kinetyczną układu.
k=1
2
Mając na uwadze równości (1.24), w końcu znajdujemy

⎛
d ⎜ ∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
j

⎞
⎟ − ∂Τ = Q
J
qj
⎠

(j = 1, 2,K, s).

Równania (1.30) nazywane są równaniami Lagrange'a drugiego rodzaju.
Liczba tych równań jest równa liczbie stopni swobody.
Jeżeli siły działające na punkty układu mają potencjał, to
dla sił uogólnionych wzór

P
qj

(j = 1, 2,K , s) ,

Gdzie P jest energią potencjalną systemu.
Zatem dla konserwatywnego układu równań Lagrange'a

Książka wprowadza czytelnika do: wspólne właściwości procesy oscylacyjne zachodzące w radiotechnice, układach optycznych i innych, a także różnymi metodami jakościowymi i ilościowymi ich badania. Dużą uwagę zwraca się na uwzględnienie parametrycznych, samooscylujących i innych nieliniowych układów oscylacyjnych.
Badanie układów i procesów oscylacyjnych opisanych w książce podane jest znanymi metodami teorii oscylacji bez szczegółowego przedstawienia i uzasadnienia samych metod. Główną uwagę zwrócono na wyjaśnienie podstawowych cech badanych modeli oscylacyjnych układów rzeczywistych z wykorzystaniem najbardziej adekwatnych metod analizy.

Drgania swobodne w obwodzie o nieliniowej indukcyjności.
Rozważmy teraz inny przykład elektrycznego nieliniowego systemu konserwatywnego, a mianowicie obwód o indukcyjności zależnej od przepływającego przez niego prądu. Przypadek ten nie ma ilustracyjnego i prostego nierelatywistycznego analogu mechanicznego, ponieważ zależność samoindukcji od prądu jest w mechanice równoważna z przypadkiem zależności masy od prędkości.

Z układami elektrycznymi tego typu spotykamy się, gdy w cewkach indukcyjnych stosuje się rdzenie z materiału ferromagnetycznego. W takich przypadkach dla każdego danego rdzenia można uzyskać zależność pomiędzy polem magnesującym a strumieniem indukcji magnetycznej. Krzywa przedstawiająca tę zależność nazywana jest krzywą namagnesowania. Jeśli pominiemy zjawisko histerezy, to jego przybliżony przebieg można przedstawić za pomocą wykresu pokazanego na rys. 1.13. Ponieważ wielkość pola H jest proporcjonalna do prądu płynącego w cewce, prąd można wykreślić bezpośrednio na osi odciętej w odpowiedniej skali.

Darmowe pobieranie e-book w wygodnym formacie obejrzyj i przeczytaj:
Pobierz książkę Podstawy teorii oscylacji, Migulin V.V., Medvedev VI, Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, szybkie i bezpłatne pobieranie.

• Zasady fizyki teoretycznej, Mechanika, teoria pola, elementy mechaniki kwantowej, Medvedev B.V., 2007
• Kurs fizyki, Ershov A.P., Fedotovich G.V., Kharitonov V.G., Pruwell E.R., Medvedev D.A.
• Termodynamika techniczna z podstawami wymiany ciepła i hydrauliki, Lashutina N.G., Makashova O.V., Miedwiediew R.M., 1988

Rozważaliśmy już genezę mechaniki klasycznej, wytrzymałość materiałów i teorię sprężystości. Najważniejszym elementem mechaniki jest również teoria drgań. Wibracje są główną przyczyną niszczenia maszyn i konstrukcji. Już pod koniec lat pięćdziesiątych. 80% wypadków sprzętowych miało miejsce z powodu zwiększonych wibracji. Wahania mają również szkodliwy wpływ na ludzi związanych z obsługą maszyn. Mogą również powodować awarię systemów sterowania.

Mimo to teoria oscylacji pojawiła się jako samodzielna nauka dopiero na przełomie XIX i XX wieku. Jednak obliczenia maszyn i mechanizmów do początku XX wiek odbywały się w statycznej oprawie. Rozwój inżynierii mechanicznej, wzrost mocy i prędkości silników parowych przy jednoczesnym zmniejszaniu ich masy, pojawienie się nowych typów silników – silników spalinowych i turbin parowych spowodowały konieczność obliczeń wytrzymałościowych z uwzględnieniem obciążeń dynamicznych. Z reguły nowe problemy w teorii oscylacji pojawiały się w technice pod wpływem wypadków, a nawet katastrof wynikających ze zwiększonych drgań.

Oscylacje to ruch lub zmiana stanu, która ma pewien stopień powtarzalności.

Teorię oscylacji można podzielić na cztery okresy.

iKropka- pojawienie się teorii oscylacji w ramach mechaniki teoretycznej (koniec XVI - koniec XVIII wieku). Okres ten charakteryzuje się pojawieniem się i rozwojem dynamiki w pracach Galileusza, Huygensa, Newtona, d "Alemberta, Eulera, D. Bernoulliego i Lagrange'a.

Twórcą teorii oscylacji został Leonhard Euler. W 1737 r. L. Euler w imieniu Petersburskiej Akademii Nauk rozpoczął badania nad równowagą i ruchem statku, aw 1749 r. W Petersburgu ukazała się jego książka „Nauka o statkach”. To właśnie w tej pracy Eulera położono podwaliny pod teorię stateczności statycznej i teorię oscylacji.

Jean Leron d "Alembert w swoich licznych pracach rozważał indywidualne problemy, takie jak małe drgania ciała wokół środka masy i wokół osi obrotu w związku z problemem precesji i nutacji Ziemi, drgania wahadła , korpus pływający, sprężyny itp. Ale ogólna teoria Wahanie d „Alamber nie stworzył.

Najważniejszym zastosowaniem metod teorii drgań było eksperymentalne wyznaczenie sztywności skrętnej drutu, przeprowadzone przez Charlesa Coulomba. Empirycznie, Coulomb ustalił również w tym zagadnieniu właściwość izochronizmu małych oscylacji. Badając tłumienie drgań, ten wielki eksperymentator doszedł do wniosku, że jego główną przyczyną nie są opór powietrza, ale straty wynikające z tarcia wewnętrznego w materiale drutu.

Wielki wkład w podstawy teorii oscylacji wniósł L. Euler, który położył podwaliny pod teorię stabilności statycznej i teorię małych oscylacji, d „Alembert, D. Bernoulli i Lagrange. pojęcia okresu i częstotliwości oscylacji, ukształtowały się formy oscylacji, wprowadzono pojęcie małych oscylacji, sformułowano zasadę superpozycji rozwiązań, podjęto próby rozwinięcia rozwiązania w szereg trygonometryczny.

Pierwszymi zadaniami teorii drgań były problemy drgań wahadła i struny. Mówiliśmy już o drganiach wahadła - praktycznym rezultatem rozwiązania tego problemu było wynalezienie zegara przez Huygensa.

Jeśli chodzi o problem drgań strun, jest to jeden z najważniejszych problemów w historii rozwoju matematyki i mechaniki. Rozważmy to bardziej szczegółowo.

struna akustyczna jest to idealnie gładka, cienka i elastyczna nić o skończonej długości z twardego materiału, rozciągnięta pomiędzy dwoma stałymi punktami. V współczesna interpretacja problem drgań poprzecznych struny o długości ja sprowadza się do znalezienia rozwiązania równania różniczkowego (1) w pochodnych cząstkowych. Tutaj x jest współrzędną punktu struny wzdłuż długości, oraz tak- jego przemieszczenie poprzeczne; h- naciąg struny - jego masa bieżna. a to prędkość fali. Podobne równanie opisuje również podłużne drgania słupa powietrza w rurze.

W takim przypadku należy określić początkowy rozkład odchyleń punktów struny od linii prostej oraz ich prędkości, tj. równanie (1) musi spełniać warunki początkowe (2) i brzegowe (3).

Pierwsze fundamentalne badania eksperymentalne drgań strun przeprowadzili holenderski matematyk i mechanik Isaac Beckmann (1614-1618) oraz M. Mersenne, którzy ustalili szereg prawidłowości i opublikowali swoje wyniki w 1636 r. w „Księdze współbrzmień”:

Prawidłowości Mersenne'a potwierdziła teoretycznie w 1715 roku uczennica Newtona Brooke Taylor. Traktuje strunę jako układ punktów materialnych i przyjmuje następujące założenia: wszystkie punkty struny jednocześnie mijają swoje pozycje równowagi (zbiegają się z osią x) a siła działająca na każdy punkt jest proporcjonalna do jego przemieszczenia tak wokół osi x. Oznacza to, że redukuje problem do układu o jednym stopniu swobody - równanie (4). Taylor poprawnie odebrał pierwszą częstotliwość własną (ton podstawowy) - (5).

D „Alembert w 1747 r. zastosował do tego zagadnienia metodę sprowadzania zagadnienia dynamiki do zagadnienia statyki (zasada d” Alamber) i uzyskał równanie różniczkowe drgań struny jednorodnej w pochodnych cząstkowych (1) – pierwsze równanie fizyka matematyczna. Szukał rozwiązania tego równania w postaci sumy dwóch dowolnych funkcji (6)

gdzie oraz są funkcjami okresowymi okresu 2 ja. Przy wyjaśnianiu kwestii formy funkcji oraz d'Alembert uwzględnia warunki brzegowe (1.2), zakładając, że w
struna pokrywa się z osią x. Znaczenie to
nie określono w instrukcji zadania.

Euler rozważa szczególny przypadek, gdy
struna jest odchylana od położenia równowagi i wypuszczana bez prędkości początkowej. Istotne jest, aby Euler nie nakładał żadnych ograniczeń na początkowy kształt sznurka, tj. nie wymaga, aby można było ją podać analitycznie, biorąc pod uwagę każdą krzywą, którą „można narysować ręcznie”. Ostateczny wynik uzyskany przez autora: if
kształt struny opisuje równanie
, to oscylacje wyglądają tak (7). Euler zrewidował swoje poglądy na pojęcie funkcji, w przeciwieństwie do wcześniejszej idei, że jest to tylko wyrażenie analityczne. W ten sposób rozszerzono klasę funkcji, które mają być badane w analizie, a Euler doszedł do wniosku, że „skoro każda funkcja zdefiniuje pewną linię, jest też odwrotnie – zakrzywione linie można sprowadzić do funkcji”.

Rozwiązania otrzymane przez d "Alemberta i Eulera reprezentują prawo drgań struny w postaci dwóch biegnących do siebie fal. Jednocześnie nie uzgodnili postaci funkcji definiującej linię gięcia.

D. Bernoulli, badając drgania struny, poszedł inną drogą, rozbijając strunę na punkty materialne, których liczbę uważał za nieskończoną. Wprowadza pojęcie prostej oscylacji harmonicznej układu, tj. taki jego ruch, w którym wszystkie punkty układu drgają synchronicznie z tą samą częstotliwością, ale z różnymi amplitudami. Eksperymenty przeprowadzone z brzmiącymi ciałami doprowadziły D. Bernoulliego do poglądu, że najogólniejszy ruch struny polega na jednoczesnym wykonywaniu wszystkich dostępnych jej ruchów. Jest to tak zwana superpozycja rozwiązań. I tak w 1753 r., na podstawie rozważań fizycznych, uzyskał ogólne rozwiązanie drgań struny, przedstawiając je jako sumę rozwiązań cząstkowych, dla których struna wygina się w postaci charakterystycznej krzywej (8).

W tej serii pierwsza forma oscylacji to pół sinusoidy, druga to cała sinusoida, trzecia składa się z trzech półsinusoid i tak dalej. Ich amplitudy są reprezentowane jako funkcje czasu i, w istocie, są uogólnionymi współrzędnymi rozważanego systemu. Zgodnie z rozwiązaniem D. Bernoulliego ruch struny jest nieskończoną serią drgań harmonicznych z okresami
. W tym przypadku liczba węzłów (punktów stałych) jest o jeden mniejsza niż liczba drgań własnych. Ograniczając szereg (8) do skończonej liczby wyrazów, otrzymujemy skończoną liczbę równań układu continuum.

Jednak rozwiązanie D. Bernoulliego zawiera niedokładność - nie uwzględnia, że ​​przesunięcie fazowe każdej harmonicznej oscylacji jest inne.

D. Bernoulli, przedstawiając rozwiązanie w postaci szeregu trygonometrycznego, zastosował zasadę superpozycji i rozwinięcia rozwiązania w postaci pełnego układu funkcji. Słusznie uważał, że za pomocą różnych określeń wzoru (8) można wyjaśnić tony harmoniczne, które struna emituje jednocześnie z jej tonem podstawowym. Uważał to za ogólne prawo, obowiązujące dla każdego układu ciał, który wytwarza niewielkie wibracje. Jednak motywacja fizyczna nie może zastąpić dowodu matematycznego, którego wówczas nie przedstawiono. Z tego powodu koledzy nie rozumieli rozwiązań D. Bernoulliego, choć już w 1737 r. C. A. Clairaut stosował szeregowe rozszerzenie funkcji.

Posiadanie dwóch różne drogi rozwiązanie problemu drgań strun wywołanych przez czołowych naukowców XVIII wieku. burzliwe kontrowersje - „spór o sznurek”. Spór ten dotyczył głównie pytań o formę dopuszczalnych rozwiązań problemu, o analityczną reprezentację funkcji oraz o możliwość przedstawienia dowolnej funkcji w postaci szeregu trygonometrycznego. W „argumencie o sznurku” jeden z najbardziej ważne koncepcje analiza – pojęcie funkcji.

D „Alamber i Euler nie zgadzali się, że rozwiązanie zaproponowane przez D. Bernoulliego może być ogólne. W szczególności Euler nie mógł zgodzić się, że ten szereg może reprezentować jakąkolwiek „swobodnie rysowaną krzywą”, jak sam zdefiniował pojęcie funkcji.

Joseph Louis Lagrange, wchodząc w kontrowersje, rozerwał strunę na małe łuki tej samej długości o masie skupionej w środku i zbadał rozwiązanie układu równań różniczkowych zwyczajnych o skończonej liczbie stopni swobody. Przechodząc następnie do granicy, Lagrange uzyskał wynik analogiczny do D. Bernoulliego, nie zakładając jednak z góry, że rozwiązanie ogólne musi być nieskończoną sumą rozwiązań szczegółowych. Jednocześnie dopracowuje rozwiązanie D. Bernoulliego, sprowadzając je do postaci (9), a także wyprowadza wzory na wyznaczanie współczynników tego szeregu. Choć rozwiązanie twórcy mechaniki analitycznej nie spełnia wszystkich wymogów matematycznego rygoru, było to zauważalnym krokiem naprzód.

Jeśli chodzi o rozwinięcie rozwiązania w szereg trygonometryczny, Lagrange uważał, że szereg rozchodzi się w dowolnych warunkach początkowych. Po 40 latach, w 1807 r., J. Fourier po raz trzeci po raz trzeci odkrył rozwinięcie funkcji w szereg trygonometryczny i pokazał, jak można to wykorzystać do rozwiązania problemu, potwierdzając tym samym poprawność rozwiązania D. Bernoulliego. Kompletny dowód analityczny twierdzenia Fouriera o rozwinięciu jednowartościowej funkcji okresowej w szereg trygonometryczny został podany w rachunku całkowym Todgentera oraz w „Traktacie o filozofii naturalnej” autorstwa Thomsona (Lord Kelvin) i Taita.

Badania nad drganiami swobodnymi naciągniętej struny trwały dwa wieki, licząc od prac Beckmanna. Ten problem był potężnym bodźcem do rozwoju matematyki. Mając na uwadze drgania układów ciągłych, Euler, d.Alembert i D. Bernoulli stworzyli nową dyscyplinę - fizykę matematyczną. Matematyzacja fizyki, czyli przedstawienie jej poprzez nową analizę, jest największą zasługą Eulera, dzięki której wytyczono nowe ścieżki w nauce . logiczny rozwój Wyniki Eulera i Fouriera były dobrze znaną definicją funkcji Lobachevsky'ego i Lejeune Dirichlet, opartą na idei korespondencji jeden-do-jednego dwóch zbiorów. Dirichlet udowodnił również możliwość rozszerzenia do szeregu Fouriera funkcji odcinkowo ciągłych i monotonicznych. Otrzymano również jednowymiarowe równanie falowe i ustalono równość jego dwóch rozwiązań, co matematycznie potwierdziło związek między oscylacjami a falami. Fakt, że wibrująca struna generuje dźwięk, skłonił naukowców do zastanowienia się nad tożsamością procesu propagacji dźwięku i procesu wibrowania struny. Ujawniono również najważniejszą rolę warunków brzegowych i początkowych w takich problemach. Ważnym rezultatem dla rozwoju mechaniki było zastosowanie zasady d”Alemberta do zapisywania różniczkowych równań ruchu, a dla teorii oscylacji zadanie to również odgrywało bardzo ważną rolę, mianowicie zasady superpozycji i rozwinięcia Zastosowano rozwiązanie w zakresie naturalnych modów oscylacji, sformułowano podstawowe pojęcia teorii oscylacji – częstotliwość drgań własnych i formę drgań.

Wyniki uzyskane dla drgań swobodnych struny posłużyły jako podstawa do stworzenia teorii drgań układów ciągłych. Dalsze badania drgań niejednorodnych strun, membran i prętów wymagały znalezienia specjalnych metod rozwiązywania najprostszych równań hiperbolicznych drugiego i czwartego rzędu.

Problem drgań swobodnych naciągniętej struny zainteresował naukowców, oczywiście nie dla praktycznego zastosowania, prawa tych drgań były znane w takim czy innym stopniu rzemieślnikom, którzy robili instrumenty muzyczne. Świadczą o tym niezrównane instrumenty smyczkowe takich mistrzów jak Amati, Stradivari, Guarneri i innych, których arcydzieła powstały już w XVII wieku. Zainteresowania największych naukowców, którzy zajmowali się tym problemem, leżały najprawdopodobniej w chęci doprowadzenia matematycznej podstawy do już istniejących praw drgań struny. W tym pytaniu ujawniła się tradycyjna ścieżka każdej nauki, zaczynając od stworzenia teorii, która już wyjaśnia znane fakty aby następnie znaleźć i zbadać nieznane zjawiska.

IIokres - analityczny(koniec XVIII - koniec XIX wieku). Najważniejszy krok w rozwoju mechaniki poczynił Lagrange, który stworzył nową naukę - mechanikę analityczną. Początek drugiego okresu w rozwoju teorii oscylacji wiąże się z twórczością Lagrange'a. W książce Mechanika analityczna, wydanej w Paryżu w 1788 r., Lagrange podsumował wszystko, co zostało zrobione w mechanice w XVIII wieku i sformułował nowe podejście do rozwiązywania jej problemów. W doktrynie równowagi porzucił geometryczne metody statyki i zaproponował zasadę możliwych przemieszczeń (zasada Lagrange'a). W dynamice Lagrange, stosując jednocześnie zasadę d"Alemberta i zasadę możliwych przemieszczeń, uzyskał ogólne wariacyjne równanie dynamiki, które nazywa się też zasadą d"Alemberta-Lagrange'a. W końcu wprowadził do użytku pojęcie współrzędnych uogólnionych i uzyskał równania ruchu w najdogodniejszej postaci - równania Lagrange'a drugiego rodzaju.

Równania te stały się podstawą do stworzenia teorii małych oscylacji opisanych liniowo równania różniczkowe ze stałymi współczynnikami. Liniowość rzadko jest nieodłączną cechą systemu mechanicznego iw większości przypadków jest wynikiem jego uproszczenia. Biorąc pod uwagę małe fluktuacje w pobliżu położenia równowagi, które zachodzą przy małych prędkościach, możliwe jest odrzucenie członów drugiego i wyższego rzędu w równaniach ruchu ze względu na współrzędne i prędkości uogólnione.

Zastosowanie równań Lagrange'a drugiego rodzaju dla układów zachowawczych

otrzymujemy system s równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach

, (11)

gdzie i oraz C są odpowiednio macierzami bezwładności i sztywności, których składowymi będą współczynniki bezwładności i sprężystości.

Rozwiązanie szczególne (11) poszukuje się w postaci

i opisuje monoharmoniczny reżim oscylacyjny z częstotliwością k, który jest taki sam dla wszystkich współrzędnych uogólnionych. Dwukrotne różniczkowanie (12) względem T i podstawiając wynik do równań (11) otrzymujemy układ liniowych równań jednorodnych do znajdowania amplitud w postaci macierzowej

. (13)

Ponieważ podczas oscylacji systemu wszystkie amplitudy nie mogą być równe zeru, wyznacznik jest równy zero

. (14)

Równanie częstości (14) nazwano równaniem świeckim, ponieważ zostało ono po raz pierwszy uwzględnione przez Lagrange'a i Laplace'a w teorii świeckich zaburzeń elementów orbit planetarnych. To jest równanie s-ty stopień w stosunku do liczba jego pierwiastków jest równa liczbie stopni swobody układu. Pierwiastki te są zwykle ułożone w porządku rosnącym, podczas gdy tworzą widmo częstotliwości naturalnych. do każdego korzenia odpowiada danemu rozwiązaniu postaci (12), zbiór s amplitudy reprezentują kształt fali, a ogólne rozwiązanie jest sumą tych rozwiązań.

Lagrange podał stwierdzenie D. Bernoulli, że ogólny ruch oscylacyjny układu punktów dyskretnych polega na jednoczesnym wykonywaniu wszystkich jego oscylacji harmonicznych, postaci twierdzenia matematycznego, wykorzystującej teorię całkowania równań różniczkowych o stałych współczynnikach, Eulera w latach 40. XVIII wieku. oraz dokonania d "Alemberta, który pokazał, w jaki sposób układy takich równań są całkowane. Jednocześnie trzeba było wykazać, że pierwiastki równania świeckiego są rzeczywiste, dodatnie i nierówne.

Tak więc w „Mechaniki analitycznej” Lagrange uzyskał równanie częstości w postaci ogólnej. Jednocześnie powtarza błąd popełniony przez d „Alemberta w 1761 r., że wielokrotne pierwiastki równania świeckiego odpowiadają rozwiązaniu nietrwałemu, ponieważ podobno w tym przypadku terminy świeckie lub świeckie występują w rozwiązaniu zawierającym T nie pod znakiem sinusa lub cosinusa. W związku z tym zarówno d'Alembert, jak i Lagrange uważali, że równanie częstotliwości nie może mieć wielu pierwiastków (paradoks d'Alemberta-Lagrange'a). Wystarczyło, aby Lagrange rozważył przynajmniej kuliste wahadło lub drgania pręta, którego przekrój jest na przykład okrągły lub kwadratowy, aby upewnić się, że w konserwatywnych układach mechanicznych możliwe są różne częstotliwości. Błąd popełniony w pierwszym wydaniu Mechaniki analitycznej powtórzono w wydaniu drugim (1812), które ukazało się za życia Lagrange'a, iw trzecim (1853). Autorytet naukowy d'Alemberta i Lagrange'a był tak wysoki, że zarówno Laplace, jak i Poisson powtórzyli ten błąd i naprawili go dopiero po prawie 100 latach niezależnie od siebie w 1858 r. przez K. Weierstrassa i w 1859 r. przez Osipa Iwanowicza Somowa, który popełnił wielki wkład w rozwój teorii oscylacji układów dyskretnych.

Tak więc, aby określić częstotliwości i tryby swobodnych oscylacji układu liniowego bez oporów, konieczne jest rozwiązanie równania sekularnego (13). Jednak równania stopnia wyższego niż piąty nie mają rozwiązania analitycznego.

Problemem było nie tylko rozwiązanie równania świeckiego, ale także in jeszcze, kompilując go, ponieważ rozszerzony wyznacznik (13) ma
wyrażeń, na przykład dla systemu z 20 stopniami swobody liczba wyrażeń wynosi 2,4 · 10 18, a czas potrzebny do otwarcia takiego wyznacznika dla najpotężniejszego komputera lat 70., wykonującego 1 milion operacji na sekundę, wynosi około 1,5 miliona lat, a dla współczesnego komputera „tylko” kilkaset lat.

Problem wyznaczania częstości i postaci oscylacji swobodnych można również uznać za problem algebry liniowej i rozwiązać numerycznie. Przepisywanie równości (13) jako

, (14)

zauważ, że macierz kolumn jest własny wektor macierzy

, (15)

a własne znaczenie.

Rozwiązanie problemu wartości własnych i wektorów jest jednym z najbardziej atrakcyjnych problemów w analizie numerycznej. Jednocześnie niemożliwe jest zaproponowanie jednego algorytmu rozwiązania wszystkich problemów napotykanych w praktyce. Wybór algorytmu zależy od rodzaju macierzy, a także od tego, czy konieczne jest wyznaczenie wszystkich wartości własnych, czy tylko najmniejszej (największej) lub zbliżonej do danej liczby. W 1846 roku Carl Gustav Jacob Jacobi zaproponował iteracyjną metodę rotacji, aby rozwiązać kompletny problem wartości własnej. Metoda opiera się na takiej nieskończonej sekwencji elementarnych obrotów, która w granicy zamienia macierz (15) na ukośną. Elementy diagonalne wynikowej macierzy będą pożądanymi wartościami własnymi. W takim przypadku, aby określić wartości własne, wymagane jest
operacje arytmetyczne i dla wektorów własnych
operacje. W związku z tym metoda w XIX wieku. nie znalazł zastosowania i został zapomniany na ponad sto lat.

Kolejnym ważnym krokiem w rozwoju teorii oscylacji były prace Rayleigha, a zwłaszcza jego fundamentalna praca Teoria dźwięku. W tej książce Rayleigh rozważa zjawiska oscylacyjne w mechanice, akustyce i systemach elektrycznych z jednolitego punktu widzenia. Rayleigh posiada szereg podstawowych twierdzeń liniowej teorii oscylacji (twierdzenia o stacjonarności i własnościach częstotliwości drgań własnych). Rayleigh sformułował również zasadę wzajemności. Przez analogię z energią kinetyczną i potencjalną wprowadził funkcję dyssypatywną, otrzymał imię Rayleigha i reprezentuje połowę szybkości rozpraszania energii.

W Teorii dźwięku Rayleigh oferuje również przybliżoną metodę wyznaczania pierwszej naturalnej częstotliwości systemu konserwatywnego

, (16)

gdzie
. W tym przypadku do obliczenia maksymalnych wartości energii potencjalnej i kinetycznej przyjmuje się pewną formę wibracji. Jeśli pokrywa się z pierwszym trybem systemu, otrzymamy dokładną wartość pierwszej częstotliwości drgań własnych, w przeciwnym razie wartość ta jest zawsze zawyżona. Metoda zapewnia dokładność, która jest całkiem akceptowalna w praktyce, jeśli jako pierwszy rodzaj drgań przyjmuje się odkształcenie statyczne układu.

Tak więc w XIX wieku w pracach Somova i Rayleigha opracowano technikę konstruowania równań różniczkowych opisujących małe ruchy oscylacyjne dyskretnych układów mechanicznych przy użyciu równań Lagrange'a drugiego rodzaju

gdzie w uogólnionej sile?
muszą być uwzględnione wszystkie współczynniki siły, z wyjątkiem sprężystych i rozpraszających, objętych funkcjami r i p.

Równania Lagrange'a (17) w postaci macierzowej, opisujące drgania wymuszone układu mechanicznego, po podstawieniu wszystkich funkcji, wyglądają tak

. (18)

Tutaj jest macierzą tłumienia, a
są wektorami kolumnowymi odpowiednio uogólnionych współrzędnych, prędkości i przyspieszeń. Wspólna decyzja W równaniu tym składają się oscylacje swobodne i towarzyszące, które są zawsze tłumione, oraz oscylacje wymuszone występujące z częstotliwością siły zakłócającej. Ograniczamy się do rozważenia tylko konkretnego rozwiązania odpowiadającego wymuszonym oscylacjom. Jako pobudzenie Rayleigh uznał siły uogólnione, które zmieniają się zgodnie z prawem harmonicznym. Wielu przypisywało ten wybór prostocie rozważanego przypadku, ale Rayleigh podaje bardziej przekonujące wyjaśnienie - rozszerzenie w serii Fouriera.

Tak więc dla układu mechanicznego o więcej niż dwóch stopniach swobody rozwiązanie układu równań stwarza pewne trudności, które rosną jak lawina wraz ze wzrostem porządku układu. Nawet przy pięciu do sześciu stopniach swobody problemu wymuszonych oscylacji nie można rozwiązać ręcznie w klasyczny sposób.

W teorii drgań układów mechanicznych szczególną rolę odgrywają małe (liniowe) drgania układów dyskretnych. Teoria spektralna opracowana dla układów liniowych nie wymaga nawet konstrukcji równań różniczkowych, a do uzyskania rozwiązania można od razu napisać układy liniowych równań algebraicznych. Chociaż w połowie XIX wieku opracowano metody wyznaczania wektorów własnych i wartości własnych (Jacobi), a także rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych (Gauss), to ich praktyczne zastosowanie nawet dla układów o małej liczbie stopni swobody nie wchodziło w rachubę. Dlatego przed pojawieniem się wystarczająco potężnych komputerów opracowano wiele różnych metod rozwiązywania problemu swobodnych i wymuszonych oscylacji liniowych układów mechanicznych. Wielu wybitnych naukowców - matematyków i mechaników zajmowało się tymi problemami, zostaną one omówione poniżej. Pojawienie się potężnej technologii obliczeniowej umożliwiło nie tylko rozwiązywanie problemów liniowych o dużych wymiarach w ułamku sekundy, ale także zautomatyzowanie procesu kompilacji układów równań.

Tak więc w XVIII wieku. w teorii małych oscylacji układów o skończonej liczbie stopni swobody oraz oscylacji ciągłych układów sprężystych opracowano podstawowe schematy fizyczne i zasady niezbędne do Analiza matematyczna problemy. Jednak do stworzenia teorii oscylacji mechanicznych jako samodzielnej nauki brakowało jednolitego podejścia do rozwiązywania problemów dynamiki i nie było technicznych wymagań dla jej szybszego rozwoju.

Rozwój wielkiego przemysłu pod koniec XVIII i na początku XIX wieku, spowodowany powszechnym wprowadzeniem silnika parowego, doprowadził do wyodrębnienia mechaniki stosowanej do odrębnej dyscypliny. Jednak do końca XIX wieku obliczenia wytrzymałościowe prowadzono w formule statycznej, ponieważ maszyny wciąż miały niską moc i poruszały się wolno.

Pod koniec XIX wieku, wraz ze wzrostem prędkości i zmniejszeniem gabarytów maszyn, nie można było pominąć drgań. Liczne wypadki, które miały miejsce od początku rezonansu lub awarii zmęczeniowej podczas drgań, zmusiły inżynierów do zwrócenia uwagi na procesy oscylacyjne. Spośród problemów, które pojawiły się w tym okresie, należy zwrócić uwagę na zawalanie się mostów od przejeżdżających pociągów, drgania skrętne linii wałów oraz drgania kadłubów statków, wzbudzane siłami bezwładności ruchomych części maszyn niewyważonych.

IIIKropka– tworzenie i rozwój stosowanej teorii oscylacji (1900-1960). Rozwój inżynierii mechanicznej, ulepszanie lokomotyw i statków, pojawienie się turbin parowych i gazowych, szybkich silników spalinowych, samochodów, samolotów itp. zażądał dokładniejszej analizy naprężeń w częściach maszyn. Było to podyktowane wymogami bardziej ekonomicznego wykorzystania metalu. Odciążenie konstrukcji spowodowało problemy z drganiami, które w coraz większym stopniu decydują o wytrzymałości maszyn. Na początku XX wieku liczne wypadki przekonująco pokazują, do jakich katastrofalnych skutków może doprowadzić zaniedbanie wibracji lub ich nieznajomość.

Pojawienie się nowej technologii z reguły stawia nowe problemy dla teorii oscylacji. Tak więc w latach 30. i 40. pojawiły się nowe problemy, takie jak trzepotanie przeciągnięcia i shimmy w lotnictwie, drgania zginające i zginająco-skrętne wałów obrotowych itp., co wymagało opracowania nowych metod obliczania drgań. Pod koniec lat dwudziestych, najpierw w fizyce, a następnie w mechanice, rozpoczęto badania nad oscylacjami nieliniowymi. W związku z rozwojem automatyki i innymi wymaganiami technicznymi od lat 30. XX wieku szeroko rozwijano i stosowano teorię stabilności ruchu, której podstawą była rozprawa doktorska A. M. Lapunowa „Ogólny problem stabilności ruchu”.

Brak analitycznego rozwiązania problemów teorii oscylacji, nawet w ujęciu liniowym z jednej strony, a technologii komputerowej z drugiej, doprowadził do rozwoju wielu różnych metod numerycznych rozwiązywania ich.

Konieczność obliczania drgań dla różnego rodzaju urządzeń doprowadziła do pojawienia się w latach 30. pierwszego szkolenia teoria drgań.

Przejście do IVKropka(początek lat 60. - obecnie) kojarzy się z epoką rewolucji naukowo-technicznej i charakteryzuje się pojawieniem się nowych technologii, przede wszystkim lotniczych i kosmicznych, systemów robotycznych. Ponadto rozwój energetyki, transportu itp. stawia na pierwszym miejscu problemy wytrzymałości dynamicznej i niezawodności. Wynika to ze wzrostu prędkości roboczych i spadku zużycia materiału przy jednoczesnej chęci zwiększenia zasobu maszyn. W teorii oscylacji coraz więcej problemów rozwiązywanych jest w formule nieliniowej. W dziedzinie oscylacji układów ciągłych, pod wpływem wymagań techniki lotniczej i kosmicznej, pojawiają się problemy w dynamice płyt i powłok.

Największy wpływ na rozwój teorii oscylacji w tym okresie ma pojawienie się i szybki rozwój elektronicznej techniki obliczeniowej, która doprowadziła do rozwoju numerycznych metod obliczania oscylacji.

ruch oscylacyjny Nazywa się każdy ruch lub zmianę stanu, charakteryzujący się takim lub innym stopniem powtórzenia w czasie wartości wielkości fizycznych, które określają ten ruch lub stan. Fluktuacje są charakterystyczne dla wszystkich zjawisk naturalnych: promieniowania impulsów gwiazd; planety obracają się z dużą okresowością Układ Słoneczny; wiatry wzbudzają drgania i fale na powierzchni wody; w każdym żywym organizmie nieustannie zachodzą różne, rytmicznie powtarzające się procesy, na przykład ludzkie serce bije z niezwykłą niezawodnością.

W fizyce rozróżnia się wibracje mechaniczny oraz elektromagnetyczny. Za pomocą propagacji mechanicznych fluktuacji gęstości i ciśnienia powietrza, które odbieramy jako dźwięk, a także bardzo szybkich fluktuacji pól elektrycznych i magnetycznych, które odbieramy jako światło, otrzymujemy dużą ilość bezpośrednich informacji o świecie wokół nas. Przykładami ruchu oscylacyjnego w mechanice mogą być drgania wahadeł, strun, mostów itp.

Wahania nazywają się czasopismo, jeśli wartości wielkości fizycznych zmieniających się w procesie oscylacji powtarzają się w regularnych odstępach czasu. Najprostszym rodzajem oscylacji okresowych są oscylacje harmoniczne. Oscylacje nazywane są harmonicznymi, w których zmiana wielkości oscylacyjnej w czasie następuje zgodnie z prawem sinus (lub cosinus):

gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi;

A – amplituda oscylacji – maksymalne przemieszczenie od położenia równowagi;

- częstotliwość cykliczna;

- początkowa faza oscylacji;

- faza oscylacji; określa przesunięcie w dowolnym momencie, tj. określa stan układu oscylacyjnego.

W przypadku oscylacji ściśle harmonicznych o wartości A, oraz nie polegaj na czasie.

Częstotliwość cykliczna jest związany z okresem T oscylacji i częstotliwości stosunek:

(2)

Koniec dyskusji oscylacje nazywane są najmniejszym okresem czasu, po którym powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących oscylacje.

Częstotliwość oscylacje to liczba pełnych oscylacji w jednostce czasu, mierzona w hercach (1 Hz = 1
).

Częstotliwość cykliczna liczbowo równa liczbie oscylacji wykonanych w 2 sekundy.

Drgania występujące w układzie, który nie podlega działaniu zmiennych sił zewnętrznych, w wyniku jakiegokolwiek początkowego odchylenia tego układu od stanu równowagi stabilnej, nazywa się wolny(lub własne).

Jeśli system jest konserwatywny, to podczas oscylacji nie następuje rozpraszanie energii. W tym przypadku drgania swobodne nazywane są nietłumiony.

Prędkość fluktuacje punktowe definiuje się jako pochodną przesunięcia w czasie:

(3)

Przyśpieszenie punkt oscylacyjny jest równy pochodnej prędkości względem czasu:

(4)

Z równania (4) wynika, że ​​przyspieszenie podczas drgań harmonicznych jest zmienne, dlatego oscylacja wynika z działania zmiennej siły.

Drugie prawo Newtona pozwala w sposób ogólny zapisać zależność między siłą F a przyspieszeniem z prostoliniowymi drganiami harmonicznymi punkt materialny z masą
:

gdzie
, (6)

k jest współczynnikiem elastyczności.

Zatem siła wywołująca drgania harmoniczne jest proporcjonalna do przemieszczenia i skierowana przeciw przemieszczeniu. W związku z tym możemy podać dynamiczną definicję oscylacji harmonicznej: oscylacja harmoniczna nazywana jest oscylacją wywołaną siłą wprost proporcjonalną do przemieszczenia x i skierowaną przeciw przemieszczeniu.

Siłą przywracającą może być na przykład siła sprężystości. Siły o innym charakterze niż siły sprężyste, ale również spełniający warunek (5), nazywamy quasi-elastyczny.

W przypadku drgań prostoliniowych wzdłuż osi x przyspieszenie równa się:

.

Zastępując to wyrażenie przyspieszeniem i znaczenie siły
do drugiego prawa Newtona, dostajemy podstawowe równanie prostoliniowych oscylacji harmonicznych:

lub
(7)

Rozwiązaniem tego równania jest równanie (1).

MINISTERSTWO EDUKACJI FEDERACJI ROSYJSKIEJ

PAŃSTWO KABARDYNO-BAŁKARSKIE

UNIWERSYTET im. H. M. BERBEKOVA

PODSTAWY TEORII OSCYLACYJNYCH

PODSTAWY TEORII, ZADANIA DO PRACY DOMOWEJ,

PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA

Dla studentów kierunków mechanicznych uczelni wyższych

Nalczyk 2003

Recenzenci:

- Wyróżniony doktor nauk fizycznych i matematycznych, profesor, dyrektor Instytutu Badawczego Matematyki Stosowanej i Automatyki Rosyjskiej Akademii Nauk. pracownik naukowy Federacji Rosyjskiej, akademik AMAN.

Doktor nauk fizycznych i matematycznych, profesor, kierownik Katedry Matematyki Stosowanej Kabardyno-Bałkańskiej Państwowej Akademii Rolniczej.

Teoria oscylacji Kulterbaeva. Podstawy teorii, zadania do prac domowych, przykłady rozwiązań.

Podręcznik dla studentów wyższych uczelni technicznych w zakresie kształcenia absolwentów 657800 - Projektowanie i wsparcie technologiczne przemysłu maszynowego, 655800 Inżynieria żywności. -Nalczyk: Wydawnictwo KBGU im. A.I. , 20s.

Książka zawiera zarys podstaw teorii drgań liniowych układów mechanicznych, a także zadania do pracy domowej z przykładami ich rozwiązywania. Treści teoretyczne i zadania skierowane są do studentów kierunków mechanicznych.

Rozważane są zarówno systemy dyskretne, jak i rozproszone. Liczba niedopasowanych opcji prac domowych pozwala na ich wykorzystanie w dużej liczbie uczniów.

Publikacja może być również przydatna dla nauczycieli, doktorantów i specjalistów z różnych dziedzin nauki i techniki, zainteresowanych zastosowaniami teorii drgań.

© Kabardyno-Bałkarii Uniwersytet stanowy ich.

Przedmowa

Książka jest oparta na kursie przeczytane przez autora na Wydziale Inżynierii i Technologii Kabardyno-Bałkańskiego Uniwersytetu Państwowego dla studentów kierunków mechanicznych.

Mechanizmy i struktury nowoczesna technologia często działają w złożonych warunkach obciążenia dynamicznego, więc ciągłe zainteresowanie teorią oscylacji jest wspierane przez wymagania praktyki. Teoria oscylacji i jej zastosowania posiadają obszerną bibliografię, zawierającą pokaźną liczbę podręczników i pomocy dydaktycznych. Niektóre z nich są wymienione w bibliografii na końcu tego samouczka. Prawie cała istniejąca literatura edukacyjna jest przeznaczona dla czytelników, którzy studiują ten kurs w dużej liczbie i specjalizują się w obszarach działalności inżynierskiej, w taki czy inny sposób, znacząco związanych z dynamiką konstrukcji. Tymczasem obecnie wszyscy inżynierowie specjalności mechanicznych odczuwają potrzebę opanowania teorii drgań na dość poważnym poziomie. Próba sprostania takim wymaganiom prowadzi do wprowadzenia do programów edukacyjnych wielu uczelni kursów specjalnych o małej skali. Ten przewodnik do nauki ma na celu spełnienie właśnie takich próśb i zawiera podstawy teorii, zadania do pracy domowej i przykłady ich rozwiązywania. Uzasadnia to ograniczoną objętość podręcznika, wybór jego treści oraz tytuł: „Podstawy teorii oscylacji”. Rzeczywiście, podręcznik przedstawia jedynie główne zagadnienia i metody tej dyscypliny. Zainteresowany czytelnik może odwołać się do znanych monografii naukowych i pomoc naukowa podane na końcu tej publikacji za dogłębne studium teoria i jej liczne zastosowania.

Książka przeznaczona jest dla czytelnika, który został przeszkolony w zakresie tomów zwykłych studiów wyższych. wyższa matematyka, mechanika teoretyczna i wytrzymałość materiałów.

W badaniu takiego kursu znaczną ilość zajmuje odrabianie pracy domowej w postaci zajęć, kontroli, obliczeń i projektowania, obliczeń i grafiki oraz innych prac wymagających dość dużej ilości czasu. Istniejące podręczniki problemów i podręczniki rozwiązywania problemów nie są przeznaczone do tych celów. Ponadto istnieje wyraźna celowość połączenia teorii i pracy domowej w jednym wydaniu, połączonych wspólną treścią, ukierunkowaniem tematycznym i wzajemnie się uzupełniającymi.

Podczas wykonywania i wypełniania zadań domowych uczeń staje przed wieloma pytaniami, które nie są sformułowane lub niewystarczająco wyjaśnione w części teoretycznej dyscypliny; ma trudności z przedstawieniem postępów w rozwiązywaniu problemu, sposobów argumentowania decyzji, strukturyzacji i formalizowania zapisów.

Doświadczeni trudności i nauczyciele, ale o charakterze organizacyjnym. Często muszą weryfikować objętość, treść i strukturę zadań domowych, komponować liczne warianty zadań, dbać o terminowe wydawanie masowo niedopasowanych zadań, przeprowadzać liczne konsultacje, wyjaśnienia itp.

Niniejsza instrukcja ma na celu między innymi zmniejszenie i wyeliminowanie trudności i trudności wyliczona natura w warunkach masowej edukacji. Zawiera dwa zadania obejmujące najważniejsze i podstawowe zagadnienia kursu w swojej tematyce:

1. Oscylacje układów o jednym stopniu swobody.

2. Oscylacje układów o dwóch stopniach swobody.

Zadania te pod względem zakresu i treści mogą stać się pracą projektową i obliczeniową dla studentów studiów stacjonarnych, niestacjonarnych i niestacjonarnych lub sprawdzianów dla studentów forma nieobecna uczenie się.

Dla wygody czytelników w książce zastosowano numerację w trybie offline formuł (równań) i liczb w każdym akapicie przy użyciu zwykłego liczba dziesiętna w nawiasach. Odniesienie w bieżącym akapicie jest dokonywane przez proste wskazanie takiego numeru. Jeżeli konieczne jest odwołanie się do wzoru z poprzednich paragrafów, wskazuje się numer paragrafu, a następnie kropką numer samej formuły. Na przykład zapis (3.2.4) odpowiada wzorowi (4) w paragrafie 3.2 tego rozdziału. Odniesienie do formuły rozdziałów poprzednich odbywa się w ten sam sposób, ale z numerem rozdziału i kropką na pierwszym miejscu.

Książka jest próbą wyjścia naprzeciw potrzebom szkolenie zawodowe studenci niektórych kierunków. Autor zdaje sobie sprawę, że najwyraźniej nie będzie on wolny od niedociągnięć, dlatego z wdzięcznością przyjmie ewentualną krytykę i uwagi czytelników dotyczące ulepszania kolejnych wydań.

Książka może być również przydatna dla specjalistów zainteresowanych zastosowaniami teorii oscylacji w różne obszary fizyka, technologia, budownictwo i inne obszary wiedzy i działalności produkcyjnej.

Rozdziałi

WPROWADZANIE

1. Przedmiot teorii oscylacji

Niektóre systemy poruszają się w przestrzeni tak, że ich stan w każdym momencie czasu t jest opisany przez pewien zestaw parametrów: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif" width="31" height ="23 src =">.gif" width="48" height="24"> i wpływy zewnętrzne . A potem zadaniem jest przewidzenie dalszej ewolucji systemu w czasie: (rys. 1).

Niech jedną ze zmieniających się cech systemu będzie , . Mogą występować różne charakterystyczne odmiany jego zmiany w czasie: monotoniczne (ryc. 2), niemonotoniczne (ryc. 3), zasadniczo niemonotoniczne (ryc. 4).

Proces zmiany parametru, który charakteryzuje się wielokrotnym naprzemiennym wzrostem i spadkiem parametru w czasie, nazywa się proces oscylacyjny lub po prostu wahania. Wahania są szeroko rozpowszechnione w przyrodzie, technologii i działalności człowieka: rytmy mózgu, drgania wahadła, bicie serca, drgania gwiazd, drgania atomów i cząsteczek, wahania prądu w obwodzie elektrycznym, wahania temperatury powietrza, wahania cen żywności, drgania dźwięku, struny wibracyjne w musicalu instrument.

Tematem tego kursu jest wibracje mechaniczne, czyli drgania w układach mechanicznych.

2. Klasyfikacja układów oscylacyjnych

Pozwalać ty(x, t) jest wektorem stanu systemu, F(x, t) jest wektorem działań na układzie od środowisko(rys. 1). Dynamikę układu opisuje równanie operatorowe

L ty(x, t) = F(x, t), (1)

gdzie operator L jest określony równaniami oscylacji i dodatkowe warunki(granica, inicjał). W takim równaniu u i f mogą być również skalarami.

Najprostszą klasyfikację układów oscylacyjnych można dokonać według ich liczba stopni swobody. Liczba stopni swobody to liczba niezależnych parametrów liczbowych, które jednoznacznie określają konfigurację systemu w dowolnym momencie t. Na tej podstawie układy oscylacyjne można przypisać do jednej z trzech klas:

1)Systemy z jednym stopniem swobody.

2)Układy o skończonej liczbie stopni swobody. Często nazywa się je również systemy dyskretne.

3)Układy o nieskończonej, niepoliczalnej liczbie stopni swobody (systemy ciągłe, rozproszone).

Na ryc. 2 przedstawia szereg ilustrujących przykładów dla każdej z ich klas. Dla każdego schematu kółka wskazują liczbę stopni swobody. Ostatni schemat przedstawia układ rozłożony w postaci sprężystej odkształcalnej belki. Do opisania jego konfiguracji potrzebna jest funkcja u(x, t), czyli nieskończony zbiór wartości u.

Każda klasa układów oscylacyjnych ma swój własny model matematyczny. Na przykład układ o jednym stopniu swobody jest opisany równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu, układ o skończonej liczbie stopni swobody jest opisywany układem równań różniczkowych zwyczajnych, a układy rozłożone są opisane równaniami różniczkowymi cząstkowymi .

W zależności od typu operatora L w modelu (1) układy oscylacyjne dzielą się na: liniowe i nieliniowe. System jest brany pod uwagę liniowy, jeśli odpowiadający mu operator jest liniowy, tj. spełnia warunek

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif" width="20 height=24" height="24">.jpg" width="569" height="97">
Dla systemów liniowych, zasada superpozycji(zasada samodzielności działania sił). Jego istota w przykładzie (Rys..gif" width="36" height="24 src="> jest następująca..gif" width="39" height="24 src=">.gif" width= " 88"wysokość="24">.

Systemy stacjonarne i niestacjonarne. Na systemy stacjonarne w rozważanym przedziale czasu właściwości nie zmieniają się w czasie. W przeciwnym razie system nazywa się niestacjonarne. Poniższe dwa rysunki wyraźnie pokazują oscylacje w takich układach. Na ryc. 4 przedstawia drgania w układzie stacjonarnym w stanie ustalonym, na ryc. 5 - oscylacje w układzie niestacjonarnym.

Procesy w systemy stacjonarne opisane są równaniami różniczkowymi o współczynnikach stałych w czasie, w układach niestacjonarnych - o współczynnikach zmiennych.

Systemy autonomiczne i nieautonomiczne. V systemy autonomiczne nie ma wpływów zewnętrznych. Procesy oscylacyjne w nich mogą zachodzić tylko dzięki wewnętrznym źródłom energii lub dzięki energii przekazanej systemowi w początkowym momencie czasu. W równaniu operatorowym (1) wtedy prawa strona nie zależy od czasu, tj. F(x, t) = F(x). Pozostałe systemy są nieautonomiczny.

systemy konserwatywne i niekonserwatywne. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg" align="left hspace=12" width="144" height="55"> Swobodne wibracje. Wibracje swobodne wykonywane są przy braku zmiennego wpływu zewnętrznego, bez dopływu energii z zewnątrz. Takie wahania mogą wystąpić tylko w systemach autonomicznych (rys. 1).

Wibracje wymuszone. Takie fluktuacje mają miejsce w układach nieautonomicznych, a ich źródłem są zmienne wpływy zewnętrzne (rys. 2).

Drgania parametryczne. Parametry układu oscylacyjnego mogą się zmieniać w czasie, a to może stać się źródłem oscylacji. Takie wahania nazywają się parametryczny. Górny punkt zawieszenia wahadła fizycznego (Rys..gif" width="28" height="23 src=">), który powoduje poprzeczne drgania parametryczne (Rys. 5).

Samooscylacje(oscylacje samowzbudne). W przypadku takich oscylacji źródła mają charakter nieoscylacyjny, a same źródła są zawarte w układzie oscylacyjnym. Na ryc. 6 przedstawia masę na sprężynie spoczywającą na ruchomym pasie. Działają na nią dwie siły: siła tarcia i siła napięcia sprężystego sprężyny, które zmieniają się w czasie. Pierwsza zależy od różnicy prędkości taśmy i masy, druga od wielkości i znaku odkształcenia sprężyny, dlatego na masę działa siła wypadkowa skierowana w lewo lub w prawo i oscyluje.

W drugim przykładzie (rys. 7) lewy koniec sprężyny przesuwa się w prawo ze stałą prędkością v, w wyniku czego sprężyna przesuwa obciążenie po ustalonej powierzchni. Powstaje sytuacja podobna do opisanej w poprzednim przypadku, a obciążenie zaczyna oscylować.

4. Kinematyka okresowych procesów oscylacyjnych

Niech proces będzie charakteryzował się jedną zmienną skalarną, którą jest np. przemieszczenie. Wtedy - prędkość, - przyspieszenie..gif" width="11 height=17" height="17"> warunek spełniony

,

wtedy wibracje są nazywane czasopismo(rys. 1). Najmniejsza z tych liczb nazywa się okres oscylacji. Jednostką miary dla okresu oscylacji jest najczęściej druga, oznaczana s lub sek. Więcej jednostek miary stosuje się w minutach, godzinach itp. Inną, również ważną cechą okresowego procesu oscylacyjnego jest częstotliwość oscylacji

kwantyfikacja pełne cykle oscylacje na 1 jednostkę czasu (na przykład na sekundę). Taka częstotliwość jest mierzona w hercach (Hz), co oznacza 5 pełnych cykli oscylacji w ciągu jednej sekundy. W matematycznych obliczeniach teorii oscylacji okazuje się to wygodniejsze częstotliwość kątowa

,

mierzone w https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif" width="115 height=24" height="24">.

Najprostsze z oscylacji okresowych, ale niezwykle ważne dla budowy podstaw teoretycznych teorii oscylacji, to drgania harmoniczne (sinusoidalne), które zmieniają się zgodnie z prawem

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif" width="17" height="17 src="> – amplituda, - faza oscylacji, - faza początkowa..gif" width=" 196" wysokość="24">,

a potem przyspieszenie

Zamiast (1) często używana jest notacja alternatywna

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif" width="80" height="21 src=">. Opisy (1) i (2) można również przedstawić w formularzu

Pomiędzy stałymi we wzorach (1), (2), (3) istnieją łatwo dowodzące relacje

Zastosowanie metod i reprezentacji teorii funkcji zmiennych zespolonych znacznie upraszcza opis oscylacji. W tym przypadku centralne miejsce zajmuje Wzór Eulera

.

Tutaj https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif" width="111" height="28">. (4)

Wzory (1) i (2) są zawarte w (4). Na przykład oscylacje sinusoidalne (1) można przedstawić jako składnik urojony (4)

oraz (2) - w postaci rzeczywistego składnika

drgania poliharmoniczne. Suma dwóch drgań harmonicznych o tej samej częstotliwości będzie drganiami harmonicznymi o tej samej częstotliwości

Terminy mogą również mieć różne częstotliwości

Wtedy suma (5) będzie funkcją okresową z okresem , tylko wtedy, gdy , , gdzie i są liczbami całkowitymi i ułamkiem nieredukowalnym, Liczba wymierna. Ogólnie, jeśli dwie lub więcej oscylacji harmonicznych ma częstotliwości ze stosunkami w postaci ułamki wymierne, to ich sumy są okresowymi, ale nie harmonicznymi oscylacjami. Takie wahania nazywają się poliharmoniczny.

Jeśli oscylacje okresowe nie są harmoniczne, często korzystne jest przedstawienie ich jako sumy oscylacji harmonicznych za pomocą szereg Fouriera

Tutaj https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif" width="15" height="19"> – liczba harmoniczna charakteryzuje średnią wartość odchyleń, https://pandia.ru/ text /78/502/images/image077_14.gif" width="139 height=24" height="24"> – pierwsza, główna harmoniczna, (https://pandia.ru/text/78/502/images/ image080_11.gif" width="207" height="24"> formularze widmo częstotliwości wahania.

Uwaga Teoretycznym uzasadnieniem możliwości przedstawienia funkcji procesu oscylacyjnego w szeregu Fouriera jest twierdzenie Dirichleta dla funkcji okresowej:

Jeśli funkcja jest podana na segmencie i jest odcinkowo ciągła, odcinkowo monotoniczna i ograniczona na nim, to jej szereg Fouriera zbiega się we wszystkich punktach odcinka https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif " width= "28" height="23 src="> jest sumą szeregu trygonometrycznego Fouriera funkcji f(t), to we wszystkich punktach ciągłości tej funkcji

i we wszystkich punktach nieciągłości

.

Ponadto,

.

Oczywiście rzeczywiste procesy oscylacyjne spełniają warunki twierdzenia Dirichleta.

W widmie częstotliwości każda częstotliwość odpowiada amplitudzie Ak i fazie początkowej https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif" width="125" height="33"> .

Tworzą się widmo amplitudy https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif" width="35" height="24"> Rys. 2 przedstawia wizualną reprezentację widma amplitudy.

Definicja widma częstotliwości i współczynników Fouriera nosi nazwę Analiza spektralna. Z teorii szeregu Fouriera znane są wzory