Statyka jest sekcją mechanika teoretyczna, w którym badane są warunki równowagi ciał materialnych pod działaniem sił.

W stanie równowagi w statyce rozumie się stan, w którym wszystkie części układ mechaniczny są w spoczynku (względem stałego układu współrzędnych). Chociaż metody statyki mają zastosowanie także do ciał poruszających się, a przy ich pomocy można badać problemy dynamiki, podstawowymi przedmiotami badań statyki są nieruchome ciała i układy mechaniczne.

Siła jest miarą wpływu jednego ciała na drugie. Siła to wektor, który ma punkt przyłożenia na powierzchni ciała. Pod działaniem siły ciało swobodne otrzymuje przyspieszenie proporcjonalne do wektora siły i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała.

Prawo równości działania i reakcji

Siła, z jaką pierwsze ciało działa na drugie, ma wartość bezwzględną i jest przeciwna do siły, z jaką drugie ciało działa na pierwsze.

Zasada utwardzania

Jeśli ciało odkształcalne jest w równowadze, to jego równowaga nie zostanie zakłócona, jeśli ciało będzie uważane za absolutnie sztywne.

Statyka punktu materiału

Rozważmy punkt materialny, który jest w równowadze. I niech działają na nią n sił, k = 1, 2, ..., n.

Jeżeli punkt materialny jest w równowadze, to suma wektorowa sił działających na niego jest równa zeru:
(1) .

W równowadze suma geometryczna sił działających na punkt wynosi zero.

Interpretacja geometryczna. Jeżeli początek drugiego wektora jest umieszczony na końcu pierwszego wektora, a początek trzeciego na końcu drugiego wektora, a następnie proces ten będzie kontynuowany, to koniec ostatniego, n-tego wektora będzie być połączone z początkiem pierwszego wektora. Oznacza to, że otrzymujemy zamkniętą figurę geometryczną, której długości boków są równe modułom wektorów. Jeśli wszystkie wektory leżą na tej samej płaszczyźnie, otrzymujemy zamknięty wielokąt.

Często wygodnie jest wybrać prostokątny układ współrzędnych Oksyz. Wtedy sumy rzutów wszystkich wektorów siły na osie współrzędnych są równe zeru:

Jeżeli wybierzemy dowolny kierunek określony przez jakiś wektor , to suma rzutów wektorów sił na ten kierunek jest równa zeru:
.
Równanie (1) mnożymy skalarnie przez wektor:
.
Oto iloczyn skalarny wektorów i .
Zauważ, że rzut wektora na kierunek wektora jest określony wzorem:
.

Statyka sztywnego ciała

Moment siły wokół punktu

Wyznaczanie momentu siły

Moment siły, przyłożony do ciała w punkcie A, w stosunku do ustalonego środka O, jest nazywany wektorem równym iloczynowi wektorowemu wektorów i:
(2) .

Interpretacja geometryczna

Moment siły jest równy iloczynowi siły F i ramienia OH.

Niech wektory i znajdować się w płaszczyźnie figury. Zgodnie z właściwością iloczynu poprzecznego wektor jest prostopadły do ​​wektorów i , czyli prostopadły do ​​płaszczyzny figury. Jego kierunek jest określony przez odpowiednią regułę śrubową. Na rysunku wektor momentu jest skierowany w naszą stronę. Bezwzględna wartość chwili:
.
Ponieważ wtedy
(3) .

Korzystając z geometrii, można podać inną interpretację momentu siły. Aby to zrobić, narysuj prostą AH przez wektor siły . Od środka O spuszczamy prostopadły OH do tej linii. Długość tej prostopadłej nazywa się ramię siły. Następnie
(4) .
Ponieważ , wzory (3) i (4) są równoważne.

Zatem, wartość bezwzględna momentu siły względem środka O to iloczyn siły na ramieniu ta siła w stosunku do wybranego centrum O .

Przy obliczaniu momentu często wygodnie jest rozłożyć siłę na dwie składowe:
,
gdzie . Siła przechodzi przez punkt O. Dlatego jego pęd wynosi zero. Następnie
.
Bezwzględna wartość chwili:
.

Składowe momentu we współrzędnych prostokątnych

Jeżeli wybierzemy prostokątny układ współrzędnych Oxyz wyśrodkowany w punkcie O, to moment siły będzie miał następujące składowe:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Oto współrzędne punktu A w wybranym układzie współrzędnych:
.
Składowe to odpowiednio wartości momentu siły względem osi.

Własności momentu siły wokół środka

Moment wokół środka O, od siły przechodzącej przez ten środek, jest równy zero.

Jeżeli punkt przyłożenia siły zostanie przesunięty wzdłuż linii przechodzącej przez wektor siły, to moment podczas takiego ruchu nie ulegnie zmianie.

Moment z sumy wektorowej sił przyłożonych do jednego punktu ciała jest równy sumie wektorowej momentów z każdej z sił przyłożonych do tego samego punktu:
.

To samo dotyczy sił, których linie pomocnicze przecinają się w jednym punkcie.

Jeżeli suma wektorowa sił wynosi zero:
,
wtedy suma momentów od tych sił nie zależy od położenia środka, względem którego obliczane są momenty:
.

Para mocy

Para mocy- są to dwie siły o jednakowej wartości bezwzględnej i przeciwnych kierunkach, przyłożone do różnych punktów ciała.

Parę sił charakteryzuje moment, w którym tworzą. Ponieważ suma wektorowa sił zawartych w parze wynosi zero, moment wytworzony przez parę nie zależy od punktu, względem którego obliczany jest moment. Z punktu widzenia równowagi statycznej charakter sił w parze nie ma znaczenia. Para sił służy do wskazania, że ​​na ciało działa moment sił o określonej wartości.

Moment siły wokół danej osi

Często zdarzają się przypadki, kiedy nie musimy znać wszystkich składowych momentu siły wokół wybranego punktu, a jedynie wystarczy znać moment siły wokół wybranej osi.

Moment siły wokół osi przechodzącej przez punkt O jest rzutem wektora momentu siły wokół punktu O na kierunek osi.

Własności momentu siły wokół osi

Moment wokół osi od siły przechodzącej przez tę oś jest równy zero.

Moment wokół osi od siły równoległej do tej osi wynosi zero.

Obliczanie momentu siły wokół osi

Niech siła działa na ciało w punkcie A. Znajdźmy moment tej siły względem osi O′O′′.

Zbudujmy prostokątny układ współrzędnych. Niech oś Oz pokrywa się z O′O′′ . Z punktu A spuszczamy prostopadłe OH do O′O′′ . Poprzez punkty O i A rysujemy oś Ox. Rysujemy oś Oy prostopadłą do Ox i Oz. Rozkładamy siłę na składowe wzdłuż osi układu współrzędnych:
.
Siła przecina oś O′O′′. Dlatego jego pęd wynosi zero. Siła jest równoległa do osi O′O′′. Dlatego jego moment jest również zerowy. Według wzoru (5.3) znajdujemy:
.

Zauważ, że komponent jest skierowany stycznie do okręgu, którego środkiem jest punkt O . Kierunek wektora jest określony przez właściwą regułę śrubową.

Warunki równowagi dla ciała sztywnego

W równowadze suma wektorowa wszystkich sił działających na ciało jest równa zeru, a suma wektorowa momentów tych sił względem dowolnego ustalonego środka jest równa zeru:
(6.1) ;
(6.2) .

Podkreślamy, że środek O , względem którego obliczane są momenty sił, można wybrać dowolnie. Punkt O może należeć do ciała lub znajdować się poza nim. Zwykle wybiera się środek O, aby ułatwić obliczenia.

Warunki równowagi można sformułować w inny sposób.

W równowadze suma rzutów sił na dowolny kierunek podany przez dowolny wektor jest równa zeru:
.
Suma momentów sił wokół dowolnej osi O′O′′ jest również równa zeru:
.

Czasami takie warunki są wygodniejsze. Zdarza się, że wybierając osie można uprościć obliczenia.

Środek ciężkości ciała

Rozważ jedną z najważniejszych sił - grawitację. Tutaj siły nie są przykładane w określonych punktach ciała, ale są stale rozłożone na jego objętości. Dla każdej części ciała o nieskończenie małej objętości V, działa siła grawitacji. Tutaj ρ jest gęstością substancji ciała, jest przyspieszeniem swobodnego spadania.

Niech będzie masą nieskończenie małej części ciała. I niech punkt A k określa pozycję tej sekcji. Znajdźmy wielkości związane z siłą grawitacji, które zawarte są w równaniach równowagi (6).

Znajdźmy sumę sił grawitacyjnych utworzonych przez wszystkie części ciała:
,
gdzie jest masa ciała. Zatem sumę sił grawitacyjnych poszczególnych nieskończenie małych części ciała można zastąpić jednym wektorem grawitacji całego ciała:
.

Znajdźmy sumę momentów sił grawitacyjnych względem wybranego środka O w dowolny sposób:

.
Tutaj wprowadziliśmy punkt C, który nazywa się Środek ciężkości ciało. Położenie środka ciężkości w układzie współrzędnych o środku punktu O określa wzór:
(7) .

Tak więc przy wyznaczaniu równowagi statycznej sumę sił grawitacyjnych poszczególnych sekcji ciała można zastąpić wypadkową
,
przyłożony do środka masy ciała C , którego położenie określa wzór (7).

Położenie środka ciężkości dla różnych figury geometryczne można znaleźć w odpowiednich przewodnikach. Jeśli ciało ma oś lub płaszczyznę symetrii, wówczas środek ciężkości znajduje się na tej osi lub płaszczyźnie. Tak więc środki ciężkości kuli, okręgu lub okręgu znajdują się w środkach okręgów tych figur. Środki ciężkości prostopadłościan, prostokąt lub kwadrat również znajdują się w ich środkach - w punktach przecięcia przekątnych.

Obciążenie rozłożone równomiernie (A) i liniowo (B).

Zdarzają się również przypadki podobne do siły grawitacji, kiedy siły nie działają w określonych punktach ciała, ale są w sposób ciągły rozłożone na jego powierzchni lub objętości. Takie siły nazywają się siły rozproszone lub .

(Rysunek A). Podobnie jak w przypadku grawitacji, można ją zastąpić wypadkową siłą wielkości , przyłożoną w środku ciężkości wykresu. Ponieważ wykres na rysunku A jest prostokątem, środek ciężkości wykresu znajduje się w jego środku – w punkcie C: | AC| = | CB |.

(rysunek B). Można go również zastąpić wypadkową. Wartość wypadkowej jest równa powierzchni wykresu:
.
Punkt przyłożenia znajduje się w środku ciężkości diagramu. Środek ciężkości trójkąta, wysokość h, znajduje się w pewnej odległości od podstawy. Więc .

Siły tarcia

Tarcie ślizgowe. Niech ciało będzie na płaskiej powierzchni. I niech będzie siła prostopadła do powierzchni, z którą powierzchnia działa na ciało (siła nacisku). Wtedy siła tarcia ślizgowego jest równoległa do powierzchni i skierowana na bok, uniemożliwiając ruch ciała. Jego największą wartością jest:
,
gdzie f jest współczynnikiem tarcia. Współczynnik tarcia jest wielkością bezwymiarową.

tarcie toczne. Pozwól zaokrąglonemu ciału toczyć się lub może toczyć się po powierzchni. I niech będzie siła nacisku prostopadła do powierzchni, z jaką powierzchnia działa na ciało. Następnie na ciało, w miejscu kontaktu z powierzchnią, działa moment sił tarcia, który uniemożliwia ruch ciała. Największa wartość moment tarcia jest równy:
,
gdzie δ jest współczynnikiem tarcia tocznego. Ma wymiar długości.

Bibliografia:
S. M. Targ, Krótki kurs mechaniki teoretycznej, „ Szkoła podyplomowa”, 2010.

Kinematyka punktowa.

1. Przedmiot mechaniki teoretycznej. Podstawowe abstrakcje.

Mechanika teoretycznajest nauką, w której badane są ogólne prawa ruchu mechanicznego i mechanicznego oddziaływania ciał materialnych

Ruch mechanicznyzwany ruchem ciała w stosunku do innego ciała, zachodzącym w przestrzeni i czasie.

Interakcja mechaniczna nazywa się taką interakcją ciał materialnych, która zmienia charakter ich mechanicznego ruchu.

Statyka - Jest to dział mechaniki teoretycznej, który zajmuje się badaniem metod przekształcania układów sił na układy równoważne i ustala warunki równowagi sił przyłożonych do ciała stałego.

Kinematyka - to dział mechaniki teoretycznej zajmujący się ruch ciał materialnych w przestrzeni z geometrycznego punktu widzenia, niezależnie od działających na nie sił.

Dynamika - To dział mechaniki, który bada ruch ciał materialnych w przestrzeni, w zależności od działających na nie sił.

Przedmioty studiów z mechaniki teoretycznej:

punkt materialny,

system punktów materialnych,

Absolutnie sztywny korpus.

Przestrzeń absolutna i czas absolutny są od siebie niezależne. Przestrzeń absolutna - trójwymiarowa, jednorodna, nieruchoma przestrzeń euklidesowa. Czas bezwzględny - płynie nieprzerwanie od przeszłości do przyszłości, jest jednorodna, taka sama we wszystkich punktach przestrzeni i niezależna od ruchu materii.

2. Przedmiot kinematyki.

Kinematyka - to dział mechaniki zajmujący się właściwości geometryczne ruch ciał bez uwzględnienia ich bezwładności (tj. masy) i działających na nie sił

Aby określić położenie poruszającego się ciała (lub punktu) względem ciała, w stosunku do którego ruch tego ciała jest badany, sztywno łączy się jakiś układ współrzędnych, który wraz z ciałem tworzy system odniesienia.

Główne zadanie kinematyki jest poznanie prawa ruchu danego ciała (punktu), aby określić wszystkie wielkości kinematyczne charakteryzujące jego ruch (prędkość i przyspieszenie).

3. Metody określania ruchu punktu

· naturalny sposób

Powinien być znany:

Trajektoria ruchu punktu;

Początek i kierunek liczenia;

Prawo ruchu punktu po danej trajektorii w postaci (1.1)

· Metoda współrzędnych

Równania (1.2) to równania ruchu punktu M.

Równanie trajektorii punktu M można uzyskać eliminując parametr czasu « t » z równań (1.2)

· Wektorowy sposób

(1.3) Związek między współrzędnymi i wektorowymi metodami określania ruchu punktu (1.4)

Związek między współrzędną a naturalne sposoby przypisania ruchu punktowego

Wyznacz trajektorię punktu, wyłączając czas z równań (1.2);

-- znaleźć prawo ruchu punktu wzdłuż trajektorii (użyj wyrażenia na różniczkę łuku)

Po całkowaniu otrzymujemy prawo ruchu punktu po zadanej trajektorii:

Związek między współrzędnymi i wektorowymi metodami określania ruchu punktu określa równanie (1.4)

4. Wyznaczanie prędkości punktu wektorową metodą określania ruchu.

Niech w tej chwilitpołożenie punktu jest określone przez wektor promienia i w chwili czasut 1 – promień-wektor , a następnie przez okres czasu punkt się poruszy.

(1.5) średnia prędkość punktowa, kierunek wektora jest taki sam jak wektor

Prędkość punktu w danym czasie

Aby uzyskać prędkość punktu w danym momencie, konieczne jest przejście do granicy

(1.6)

(1.7)

Wektor prędkości punktu w określonym czasie jest równa pierwszej pochodnej wektora promienia względem czasu i jest skierowana stycznie do trajektorii w danym punkcie.

(jednostka m/s, km/h)

Średni wektor przyspieszenia ma ten sam kierunek co wektorΔ v , czyli skierowany w kierunku wklęsłości trajektorii.

Wektor przyspieszenia punktu w określonym czasie jest równa pierwszej pochodnej wektora prędkości lub drugiej pochodnej wektora promienia punktu względem czasu.

(jednostka - )

Jak znajduje się wektor w stosunku do trajektorii punktu?

W ruchu prostoliniowym wektor jest skierowany wzdłuż linii prostej, po której porusza się punkt. Jeżeli trajektoria punktu jest krzywą płaską, to wektor przyspieszenia , a także wektor cp leżą w płaszczyźnie tej krzywej i są skierowane w jej wklęsłość. Jeżeli trajektoria nie jest krzywą płaską, to wektor cp będzie skierowany w stronę wklęsłości trajektorii i będzie leżał w płaszczyźnie przechodzącej przez styczną do trajektorii w punkcieM i linię równoległą do stycznej w sąsiednim punkcieM 1 . W granica, kiedy punktM 1 ma zwyczaj M płaszczyzna ta zajmuje pozycję tak zwanej płaszczyzny ciągłej. Dlatego w ogólnym przypadku wektor przyspieszenia leży w przylegającej płaszczyźnie i jest skierowany w stronę wklęsłości krzywej.

Mechanika teoretyczna- Jest to dział mechaniki, który określa podstawowe prawa ruchu mechanicznego i mechanicznego oddziaływania ciał materialnych.

Mechanika teoretyczna to nauka, w której bada się ruchy ciał w czasie (ruchy mechaniczne). Stanowi podstawę dla innych działów mechaniki (teoria sprężystości, wytrzymałości materiałów, teorii plastyczności, teorii mechanizmów i maszyn, hydroaerodynamiki) oraz wielu dyscyplin technicznych.

ruch mechaniczny- jest to zmiana w czasie względnego położenia w przestrzeni ciał materialnych.

Interakcja mechaniczna- jest to takie oddziaływanie, w wyniku którego zmienia się ruch mechaniczny lub zmienia się względne położenie części ciała.

Statyka sztywnego ciała

Statyka- To dział mechaniki teoretycznej, który zajmuje się problematyką równowagi ciał stałych i przekształceniem jednego układu sił w inny, równoważny z nim.

Podstawowe pojęcia i prawa statyki
• Absolutnie sztywny korpus(ciało stałe, ciało) jest ciałem materialnym, odległość między dowolnymi punktami nie ulega zmianie.
• Punkt materialny jest ciałem, którego wymiary, w zależności od warunków problemu, można zaniedbać.
• luźne ciało jest ciałem, na którego ruch nie nakłada się żadnych ograniczeń.
• Niewolne (związane) ciało to ciało, którego ruch jest ograniczony.
• Znajomości- są to ciała, które uniemożliwiają ruch rozpatrywanego obiektu (ciała lub układu ciał).
• Reakcja komunikacyjna jest siłą charakteryzującą działanie wiązania na sztywnym ciele. Jeśli weźmiemy pod uwagę siłę, z jaką ciało sztywne działa na wiązanie, jako działanie, to reakcja wiązania jest działaniem przeciwstawnym. W tym przypadku siła - działanie jest przyłożona do połączenia, a reakcja połączenia jest przyłożona do bryły.
• układ mechaniczny to zestaw połączonych ze sobą ciał lub punktów materialnych.
• Solidny można uznać za system mechaniczny, którego położenie i odległość między punktami nie ulegają zmianie.
• Siła jest wielkością wektorową charakteryzującą mechaniczne oddziaływanie jednego ciała materialnego na drugie.
  Siła jako wektor jest scharakteryzowana przez punkt przyłożenia, kierunek działania i wartość bezwzględną. Jednostką miary modułu siły jest Newton.
• linia siły jest linią prostą, wzdłuż której skierowany jest wektor siły.
• Skoncentrowana moc to siła przyłożona w jednym punkcie.
• Siły rozłożone (obciążenie rozłożone)- są to siły działające na wszystkie punkty objętości, powierzchni lub długości ciała.
  Obciążenie rozłożone jest podane przez siłę działającą na jednostkę objętości (powierzchnia, długość).
  Wymiar rozłożonego obciążenia wynosi N/m3 (N/m2, N/m).
• Siła zewnętrzna jest siłą działającą z ciała, które nie należy do rozważanego układu mechanicznego.
• wewnętrzna siła jest siłą działającą na punkt materialny układu mechanicznego z drugiej strony punkt materialny należące do rozważanego systemu.
• System siły to suma sił działających na układ mechaniczny.
• Płaski układ sił to układ sił, których linie działania leżą na tej samej płaszczyźnie.
• Przestrzenny układ sił to system sił, których linie działania nie leżą na tej samej płaszczyźnie.
• Zbieżny system sił to układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie.
• Dowolny układ sił to układ sił, których linie działania nie przecinają się w jednym punkcie.
• Równoważne układy sił- są to układy sił, których zamiana jednych na drugie nie zmienia stanu mechanicznego ciała.
  Przyjęte oznaczenie: .
• równowaga Stan, w którym ciało pozostaje nieruchome lub porusza się jednostajnie w linii prostej pod działaniem sił.
• Zrównoważony układ sił- jest to układ sił, który przyłożony do swobodnego ciała stałego nie zmienia jego stanu mechanicznego (nie powoduje jego utraty równowagi).
  .
• siła wypadkowa jest siłą, której działanie na ciało jest równoważne działaniu układu sił.
  .
• Moment mocy jest wartością charakteryzującą zdolność obrotową siły.
• Para mocy jest układem dwóch równoległych, równych w wartości bezwzględnej, przeciwnie skierowanych sił.
  Przyjęte oznaczenie: .
  Pod działaniem kilku sił ciało wykona ruch obrotowy.
• Projekcja siły na osi- jest to odcinek zamknięty między prostopadłymi narysowanymi od początku i końca wektora siły do ​​tej osi.
  Rzut jest dodatni, jeśli kierunek odcinka pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi.
• Projekcja siły na samolot jest wektorem na płaszczyźnie zamkniętej między prostopadłymi narysowanymi od początku i końca wektora siły do ​​tej płaszczyzny.
• Prawo 1 (prawo bezwładności). Izolowany punkt materialny znajduje się w spoczynku lub porusza się jednostajnie i prostoliniowo.
  Ruch jednostajny i prostoliniowy punktu materialnego jest ruchem bezwładności. W stanie równowagi punktu materialnego i ciało stałe zrozumieć nie tylko stan spoczynku, ale także ruch bezwładności. W przypadku ciała sztywnego istnieją Różne rodzaje ruch bezwładnościowy, na przykład równomierny obrót sztywnego ciała wokół stałej osi.
• Prawo 2. Ciało sztywne znajduje się w równowadze pod działaniem dwóch sił tylko wtedy, gdy siły te są równe co do wielkości i skierowane w przeciwnych kierunkach wzdłuż wspólnej linii działania.
  Te dwie siły nazywane są zrównoważonymi.
  Ogólnie mówi się, że siły są zrównoważone, jeśli sztywne ciało, do którego te siły są przyłożone, znajduje się w spoczynku.
• Prawo 3. Bez naruszania stanu (słowo „stan” oznacza tutaj stan ruchu lub spoczynku) ciała sztywnego, można dodawać i odrzucać siły równoważące.
  Konsekwencja. Bez naruszania stanu sztywnego ciała, siła może być przeniesiona wzdłuż linii działania do dowolnego punktu ciała.
  Dwa układy sił nazywane są równoważnymi, jeśli jeden z nich można zastąpić innym bez naruszania stanu bryły sztywnej.
• Prawo 4. Wypadkowa dwóch sił przyłożonych w jednym punkcie jest przyłożona w tym samym punkcie, jest równa wartości bezwzględnej przekątnej równoległoboku zbudowanego na tych siłach i jest skierowana wzdłuż tego
  przekątne.
  Moduł wypadkowej to:
  
• Prawo 5 (prawo równości działania i reakcji). Siły, z którymi działają na siebie dwa ciała, są równe co do wielkości i skierowane w przeciwnych kierunkach wzdłuż jednej linii prostej.
  Należy pamiętać, że akcja- siła przyłożona do ciała B, oraz sprzeciw- siła przyłożona do ciała ALE, nie są zrównoważone, ponieważ są przywiązane do różnych ciał.
• Prawo 6 (prawo twardnienia). Równowaga ciała niestałego nie zostaje zakłócona podczas krzepnięcia.
  Nie należy zapominać, że warunki równowagi, które są konieczne i wystarczające dla bryły sztywnej, są konieczne, ale niewystarczające dla odpowiadającej bryły niesztywnej.
• Prawo 7 (prawo zwolnienia z obligacji). Niewolne ciało stałe można uznać za wolne, jeśli jest mentalnie uwolnione od wiązań, zastępując działanie wiązań odpowiednimi reakcjami wiązań.

Połączenia i ich reakcje
• Gładka powierzchnia ogranicza ruch wzdłuż normalnej do powierzchni podparcia. Reakcja skierowana jest prostopadle do powierzchni.
• Przegubowa podpora ruchoma ogranicza ruch ciała wzdłuż normalnej do płaszczyzny odniesienia. Reakcja jest kierowana wzdłuż normalnej na powierzchnię nośną.
• Wspornik stały przegubowy przeciwdziała wszelkim ruchom w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu.
• Przegubowa wędka nieważka przeciwdziała ruchowi ciała wzdłuż linii pręta. Reakcja będzie skierowana wzdłuż linii pręta.
• Zakończenie na ślepo przeciwdziała wszelkim ruchom i obrotom w płaszczyźnie. Jej działanie można zastąpić siłą prezentowaną w postaci dwóch składowych i pary sił z momentem.

Kinematyka

Kinematyka- dział mechaniki teoretycznej, który rozpatruje ogólne właściwości geometryczne ruchu mechanicznego, jako procesu zachodzącego w przestrzeni i czasie. Ruchome obiekty są uważane za punkty geometryczne lub ciała geometryczne.

Podstawowe pojęcia kinematyki
• Prawo ruchu punktu (ciała) to zależność położenia punktu (ciała) w przestrzeni od czasu.
• Trajektoria punktu jest miejscem położenia punktu w przestrzeni podczas jego ruchu.
• Prędkość punktu (ciała)- jest to charakterystyka zmiany w czasie położenia punktu (ciała) w przestrzeni.
• Przyspieszenie punktu (ciała)- jest to charakterystyka zmiany w czasie prędkości punktu (ciała).

Wyznaczanie charakterystyk kinematycznych punktu
• Trajektoria punktu
  W wektorowym układzie odniesienia trajektoria jest opisana wyrażeniem: .
  W układzie odniesienia za pomocą współrzędnych trajektoria wyznaczana jest zgodnie z prawem ruchu punktu i jest opisana wyrażeniami z = f(x,y) w kosmosie, lub y = f(x)- w samolocie.
  W naturalnym układzie odniesienia trajektoria jest z góry określona.
• Wyznaczanie prędkości punktu w wektorowym układzie współrzędnych
  Przy określaniu ruchu punktu w wektorowym układzie współrzędnych stosunek ruchu do przedziału czasu nazywamy średnią wartością prędkości w tym przedziale czasu: .
  Przyjmując interwał czasu jako wartość nieskończenie małą, wartość prędkości w danym momencie czasu (wartość chwilowa prędkości) otrzymujemy: .
  Wektor prędkości średniej skierowany jest wzdłuż wektora w kierunku ruchu punktu, wektor prędkości chwilowej skierowany jest stycznie do trajektorii w kierunku ruchu punktu.
  Wniosek: prędkość punktu jest wielkością wektorową równą pochodnej prawa ruchu względem czasu.
  Własność pochodna: pochodna czasu dowolnej wartości określa tempo zmian tej wartości.
• Wyznaczanie prędkości punktu w układzie odniesienia współrzędnych
  Szybkość zmian współrzędnych punktu:
  .
  Moduł pełnej prędkości punktu o prostokątnym układzie współrzędnych będzie równy:
  .
  Kierunek wektora prędkości wyznaczają cosinusy kątów skrętu:
  ,
  gdzie są kąty między wektorem prędkości a osiami współrzędnych.
• Wyznaczanie prędkości punktu w naturalnym układzie odniesienia
  Prędkość punktu w naturalnym układzie odniesienia definiowana jest jako pochodna prawa ruchu punktu: .
  Zgodnie z wcześniejszymi wnioskami wektor prędkości jest skierowany stycznie do trajektorii w kierunku ruchu punktu iw osiach wyznacza tylko jeden rzut.

Kinematyka ciała sztywnego
• W kinematyce ciał sztywnych rozwiązywane są dwa główne problemy:
  1) zadanie ruchu i określenie właściwości kinematycznych ciała jako całości;
  2) określenie charakterystyk kinematycznych punktów korpusu.
• Ruch postępowy ciała sztywnego
  Ruch postępowy to ruch, w którym linia prosta poprowadzona przez dwa punkty ciała pozostaje równoległa do jego pierwotnego położenia.
  Twierdzenie: w ruchu translacyjnym wszystkie punkty ciała poruszają się po tych samych trajektoriach i w każdym momencie mają tę samą prędkość i przyspieszenie w wartości i kierunku bezwzględnym.
  Wniosek: ruch postępowy ciała sztywnego jest określony przez ruch dowolnego z jego punktów, a zatem zadanie i badanie jego ruchu sprowadza się do kinematyki punktu.
• Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół stałej osi
  Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół osi stałej to ruch ciała sztywnego, w którym dwa punkty należące do ciała pozostają nieruchome przez cały czas ruchu.
  Pozycja ciała zależy od kąta obrotu. Jednostką miary kąta są radiany. (Radian to kąt środkowy okręgu, którego długość łuku jest równa promieniowi, pełny kąt koło zawiera 2π radian.)
  Prawo ruch obrotowy ciało wokół stałej osi.
  prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe organy są określone metodą zróżnicowania:
  — prędkość kątowa, rad/s;
  — przyspieszenie kątowe, rad/s².
  Jeśli przecinamy ciało płaszczyzną prostopadłą do osi, wybierz punkt na osi obrotu Z i arbitralny punkt M, to punkt M opiszę wokół punktu Z promień okręgu R. W trakcie dt występuje elementarny obrót o kąt , natomiast punkt M będzie poruszać się po trajektorii na odległość .
  Moduł prędkości liniowej:
  .
  przyspieszenie punktowe M o znanej trajektorii wyznaczają jej składowe:
  ,
  gdzie .
  W rezultacie otrzymujemy formuły
  przyspieszenie styczne: ;
  normalne przyspieszenie: .

Dynamika

Dynamika- To dział mechaniki teoretycznej, który bada ruchy mechaniczne ciał materialnych w zależności od przyczyn, które je wywołują.

Podstawowe pojęcia dynamiki
• bezwładność jest właściwością ciał materialnych do utrzymywania stanu spoczynku lub jednolitości? ruch prostoliniowy dopóki siły zewnętrzne nie zmienią tego stanu.
• Waga jest ilościową miarą bezwładności ciała. Jednostką masy jest kilogram (kg).
• Punkt materialny jest ciałem o masie, której wymiary są pomijane przy rozwiązywaniu tego problemu.
• Środek masy układu mechanicznego — punkt geometryczny, którego współrzędne określają wzory:
  
  gdzie m k , x k , y k , z k- masa i współrzędne k- ten punkt układu mechanicznego, m to masa systemu.
  W jednolitym polu grawitacyjnym położenie środka masy pokrywa się z położeniem środka ciężkości.
• Moment bezwładności ciała materialnego wokół osi jest ilościową miarą bezwładności podczas ruchu obrotowego.
  Moment bezwładności punktu materialnego względem osi jest równy iloczynowi masy punktu i kwadratu odległości punktu od osi:
  .
  Moment bezwładności układu (ciała) wokół osi jest równy sumie arytmetycznej momentów bezwładności wszystkich punktów:
  
• Siła bezwładności punktu materialnego jest wielkością wektorową równą w wartości bezwzględnej iloczynowi masy punktu i modułu przyspieszenia i skierowaną przeciwnie do wektora przyspieszenia:
• Siła bezwładności ciała materialnego jest wielkością wektorową równą w wartości bezwzględnej iloczynowi masy ciała i modułu przyspieszenia środka masy ciała i skierowaną przeciwnie do wektora przyspieszenia środka masy: ,
  gdzie jest przyspieszenie środka masy ciała.
• Impuls Siły Żywiołów jest wielkością wektorową równą iloczynowi wektora siły przez nieskończenie mały przedział czasu dt:
  .
  Całkowity impuls siły dla Δt jest równy całce impulsów elementarnych:
  .
• Podstawowa praca siły jest skalarem dA, równy skalarowi

w dowolnym kurs treningowy Nauka fizyki zaczyna się od mechaniki. Nie od teorii, nie od stosowanej i nie obliczeniowej, ale od starej dobrej mechaniki klasycznej. Ta mechanika jest również nazywana mechaniką Newtona. Według legendy naukowiec spacerował po ogrodzie, widział spadające jabłko i to właśnie to zjawisko skłoniło go do odkrycia prawa powszechnego ciążenia. Oczywiście prawo istniało od zawsze, a Newton nadał mu tylko formę zrozumiałą dla ludzi, ale jego zasługa jest bezcenna. W tym artykule nie będziemy opisywać praw mechaniki Newtona tak szczegółowo, jak to możliwe, ale przedstawimy podstawy, podstawową wiedzę, definicje i formuły, które zawsze mogą Ci się przydać.

Mechanika to gałąź fizyki, nauka badająca ruch ciał materialnych i interakcje między nimi.

Samo słowo ma pochodzenie greckie i tłumaczy się jako „sztuka budowania maszyn”. Ale zanim zbudujemy maszyny, przed nami jeszcze długa droga, więc podążajmy śladami naszych przodków, a przestudiujemy ruch kamieni rzucanych pod kątem do horyzontu i spadających na głowy jabłek z wysokości h.

Dlaczego nauka fizyki zaczyna się od mechaniki? Bo to zupełnie naturalne, żeby nie zaczynać od równowagi termodynamicznej?!

Mechanika jest jedną z najstarszych nauk i historycznie nauka fizyki rozpoczęła się właśnie od podstaw mechaniki. Umieszczeni w ramach czasu i przestrzeni ludzie nie mogli bowiem zacząć od czegoś innego, bez względu na to, jak bardzo tego chcieli. Ruchome ciała to pierwsza rzecz, na którą zwracamy uwagę.

Czym jest ruch?

Ruch mechaniczny to zmiana położenia ciał w przestrzeni względem siebie w czasie.

To właśnie po tej definicji dochodzimy w sposób naturalny do pojęcia układu odniesienia. Zmiana położenia ciał w przestrzeni względem siebie. Słowa kluczowe tutaj: względem siebie . Wszakże pasażer w samochodzie porusza się z określoną prędkością względem osoby stojącej na poboczu drogi i odpoczywa względem swojego sąsiada na pobliskim siedzeniu oraz porusza się z inną prędkością względem pasażera w samochodzie, który wyprzedza ich.

Dlatego, aby normalnie mierzyć parametry poruszających się obiektów i nie pomylić się, potrzebujemy układ odniesienia - sztywno połączone ciało odniesienia, układ współrzędnych i zegar. Na przykład Ziemia porusza się wokół Słońca w system heliocentryczny odniesienie. W życiu codziennym prawie wszystkie nasze pomiary wykonujemy w geocentrycznym układzie odniesienia związanym z Ziemią. Ziemia jest ciałem odniesienia, względem którego poruszają się samochody, samoloty, ludzie, zwierzęta.

Mechanika jako nauka ma swoje zadanie. Zadaniem mechaniki jest poznanie w każdej chwili położenia ciała w przestrzeni. Innymi słowy, mechanika buduje matematyczny opis ruchu i znajduje powiązania między wielkości fizyczne charakteryzując go.

Aby przejść dalej, potrzebujemy pojęcia „ punkt materialny ”. Mówią fizyka Dokładna nauka, ale fizycy wiedzą, ile przybliżeń i założeń trzeba poczynić, aby zgodzić się co do tej dokładności. Nikt nigdy nie widział punktu materialnego ani nie wąchał gazu doskonałego, ale one istnieją! Po prostu łatwiej się z nimi żyje.

Punkt materialny to ciało, którego wielkość i kształt można pominąć w kontekście tego problemu.

Działy mechaniki klasycznej

Mechanika składa się z kilku sekcji

• Kinematyka
• Dynamika
• Statyka

Kinematyka z fizycznego punktu widzenia dokładnie bada ruchy ciała. Innymi słowy, ta sekcja dotyczy cechy ilościowe ruch. Znajdź prędkość, ścieżkę - typowe zadania kinematyka

Dynamika rozwiązuje pytanie, dlaczego porusza się tak, jak to robi. Oznacza to, że uwzględnia siły działające na ciało.

Statyka bada równowagę ciał pod działaniem sił, czyli odpowiada na pytanie: dlaczego w ogóle nie spada?

Granice stosowalności mechaniki klasycznej.

Mechanika klasyczna nie pretenduje już do miana nauki, która wszystko wyjaśnia (na początku ubiegłego wieku wszystko było zupełnie inne) i ma jasny zakres stosowalności. Ogólnie rzecz biorąc, prawa mechaniki klasycznej obowiązują w świecie znanym nam pod względem wielkości (makroświat). Przestają działać w przypadku świata cząstek, gdy klasyczny zostaje zastąpiony przez mechanika kwantowa. Również mechanika klasyczna nie ma zastosowania w przypadkach, w których ruch ciał odbywa się z prędkością bliską prędkości światła. W takich przypadkach efekty relatywistyczne stają się wyraźne. Z grubsza rzecz biorąc, w ramach mechaniki kwantowej i relatywistycznej - mechaniki klasycznej, to szczególny przypadek gdy wymiary ciała są duże, a prędkość niewielka. Więcej na ten temat dowiesz się z naszego artykułu.

Ogólnie rzecz biorąc, efekty kwantowe i relatywistyczne nigdy nie znikają, zachodzą również podczas zwykłego ruchu ciał makroskopowych z prędkością znacznie mniejszą niż prędkość światła. Inna sprawa, że ​​działanie tych efektów jest tak małe, że nie wychodzi poza najdokładniejsze pomiary. W ten sposób mechanika klasyczna nigdy nie straci swojego fundamentalnego znaczenia.

Będziemy kontynuować naukę fundamenty fizyczne mechaniki w kolejnych artykułach. Aby lepiej zrozumieć mechanikę, zawsze możesz zwrócić się do, która indywidualnie rzuca światło na ciemny punkt najtrudniejszego zadania.

Siła. System siły. Równowaga doskonale sztywnego ciała

W mechanice siła jest rozumiana jako miara mechanicznego oddziaływania ciał materialnych, w wyniku której oddziaływujące ze sobą ciała mogą nadawać sobie nawzajem przyspieszenia lub odkształcać się (zmieniać swój kształt). Siła jest wielkością wektorową. Charakteryzuje się wartością liczbową lub modułem, punktem aplikacji i kierunkiem. Punkt przyłożenia siły i jej kierunek wyznaczają linię działania siły. Rysunek pokazuje, jak siła jest przyłożona do punktu A. Odcinek AB = moduł siły F. Prostą LM nazywamy linią działania siły. W systemie Siła SI pom. w niutonach (N). Są też 1MN=10 6 N, 1 kN=10 3 N. Istnieją 2 sposoby ustawienia siły: opis bezpośredni i wektorowy (poprzez rzutowanie na osie współrzędnych). F= F x i + F y j + F z k , gdzie F x , F y , F z są rzutami sił na osie współrzędnych, a i, j, k są wektorami jednostkowymi. Absolutnie solidny ciało - ciało w którym na odległości m-du 2 kończą się jej punkty. niezmienione niezależnie od działających na nią sił.

Całość kilku sił (F 1 , F 2 , ... , F n) nazywana jest układem sił. Jeżeli bez naruszenia stanu ciała jeden układ sił (F 1, F 2, ..., F n) można zastąpić innym układem (Р 1, P 2, ..., P n) i występkiem odwrotnie, takie układy sił nazywane są równoważnymi. Symbolicznie oznacza się to następująco: (F 1 , F 2 , ... , F n) ~ (P 1 , P 2 , ... , P n). Nie oznacza to jednak, że jeśli dwa układy sił mają taki sam wpływ na ciało, to będą one równoważne. Systemy równoważne powodują ten sam stan systemu. Gdy układ sił (F 1 , F 2 , ... , F n) jest równoważny jednej sile R, wówczas wywoływane jest R. wynikowy. Siła wypadkowa może zastąpić działanie wszystkich tych sił. Ale nie każdy układ sił ma wypadkową. W bezwładnościowym układzie współrzędnych spełnione jest prawo bezwładności. Oznacza to w szczególności, że ciało, które w początkowej chwili znajduje się w spoczynku, pozostanie w tym stanie, jeśli nie będą na nie oddziaływać żadne siły. Jeżeli absolutnie sztywne ciało pozostaje w spoczynku pod działaniem układu sił (F 1 , F 2 , ... , F n), wówczas układ ten nazywamy zrównoważonym lub układem sił równoważnych zeru: (F 1 , F 2 , ... , Fn)~0. W tym przypadku mówi się, że ciało jest w równowadze. W matematyce dwa wektory są uważane za równe, jeśli są równoległe, wskazują ten sam kierunek i są równe w wartości bezwzględnej. Dla równoważności dwóch sił to nie wystarczy, a relacja F~P nie wynika jeszcze z równości F=P. Dwie siły są równoważne, jeśli mają równe wektory i są przyłożone do tego samego punktu ciała.

Aksjomaty statyki i ich konsekwencje

Ciało pod działaniem siły nabiera przyspieszenia i nie może być w spoczynku. Pierwszy aksjomat określa warunki, w jakich układ sił będzie zrównoważony.

Aksjomat 1. Dwie siły przyłożone do absolutnie sztywnego ciała zostaną zrównoważone (równe zero) wtedy i tylko wtedy, gdy są równe w wartości bezwzględnej, działają w jednej linii prostej i są skierowane w przeciwnych kierunkach. Oznacza to, że jeśli ciało absolutnie sztywne znajduje się w spoczynku pod działaniem dwóch sił, to siły te mają wartość bezwzględną, działają w jednej linii prostej i są skierowane w przeciwnych kierunkach. Odwrotnie, jeśli na ciało absolutnie sztywne w jednej linii prostej w przeciwnych kierunkach działają dwie siły o wartości bezwzględnej, które w chwili początkowej znajdowało się w spoczynku, to stan spoczynku ciała zostanie zachowany.

Na ryc. 1.4 pokazuje zrównoważone siły F 1, F 2 i P 1, P 2, spełniające zależności: (F 1, F 2)~0, (P 1, R 2)~0. Przy rozwiązywaniu niektórych problemów statyki należy wziąć pod uwagę siły działające na końce sztywnych prętów, których ciężar można pominąć, a wiadomo, że pręty są w równowadze. Ze sformułowanego aksjomatu siły działające na taki pręt są skierowane wzdłuż linii prostej przechodzącej przez końce pręta, przeciwnych w kierunku i równych sobie w wartości bezwzględnej (ryc. 1.5, a). To samo dotyczy przypadku, gdy oś pręta jest krzywoliniowa (ryc. 1.5, b).

Aksjomat 2. Nie naruszając stanu ciała absolutnie sztywnego, siły mogą być do niego przykładane lub odrzucane wtedy i tylko wtedy, gdy tworzą układ zrównoważony, w szczególności, gdy układ ten składa się z dwóch sił o jednakowej wartości bezwzględnej, działających wzdłuż jednej linii prostej i skierowane w przeciwnych kierunkach. Z tego aksjomatu wynika konsekwencja: bez naruszania stanu ciała punkt przyłożenia siły można przenieść wzdłuż linii jej działania.W rzeczywistości niech siła F A zostanie przyłożona do punktu A (ryc. 1.6, a) . Stosujemy w punkcie B na linii działania siły F A dwie zrównoważone siły F B i F "B, zakładając, że F B \u003d F A (ryc. 1.6, b). Następnie, zgodnie z aksjomatem 2, będziemy mieli F A ~ F A , F B, F` B) Skoro więc siły F А i F B również tworzą zrównoważony układ sił (aksjomat 1), to zgodnie z aksjomatem 2 można je odrzucić (rys. 1.6, c) Zatem F A ~ F A , F B , F` B) ~ F B , lub F A ~ F B , co potwierdza następstwo. Ten wniosek pokazuje, że siła przyłożona do absolutnie sztywnego ciała jest wektorem ślizgowym. Zarówno aksjomaty, jak i udowodniony wniosek nie mogą być zastosowane do ciał odkształcalnych, w w szczególności przeniesienie punktu przyłożenia siły wzdłuż linii jej działania zmienia stan zdeformowanego naprężenia ciała.

Aksjomat 3.Bez zmiany stanu ciała, dwie siły przyłożone do jednego z jego punktów można zastąpić jedną siłą wypadkową przyłożoną w tym samym punkcie i równą ich suma geometryczna(aksjomat równoległoboku sił). Aksjomat ten ustanawia dwie okoliczności: 1) dwie siły F 1 i F 2 (rys. 1.7), przyłożone do jednego punktu, mają wypadkową, to znaczy są równoważne jednej sile (F 1, F 2) ~R; 2) aksjomat całkowicie definiuje moduł, punkt przyłożenia i kierunek siły wypadkowej R=F1 +F2.(1.5) Innymi słowy, wypadkową R można skonstruować jako przekątną równoległoboku o bokach pokrywających się z F1 i F2. Wynikowy moduł jest określony przez równość R \u003d (F 1 2 + F 2 2 +2F l F 2 cosa) 1/2, gdzie a jest kątem między danymi wektorami F 1 i F 2. Trzeci aksjomat ma zastosowanie do wszelkich ciał. Drugi i trzeci aksjomaty statyki umożliwiają przejście z jednego układu sił do innego równoważnego mu układu. W szczególności umożliwiają one rozkład dowolnej siły R na dwie, trzy itd. składowe, czyli przejście do innego układu sił, dla którego siła R jest wypadkową. Ustawiając np. dwa kierunki leżące z R w tej samej płaszczyźnie można zbudować równoległobok, w którym przekątna przedstawia siłę R. Wtedy siły skierowane wzdłuż boków równoległoboku utworzą układ, dla którego siła R będzie wypadkową (rys. 1.7). Podobną konstrukcję można przeprowadzić w kosmosie. Aby to zrobić, wystarczy narysować z punktu przyłożenia siły R trzy proste linie, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie i zbudować na nich równoległościan z przekątną przedstawiającą siłę R i krawędziami wzdłuż nich skierowanymi linie (ryc. 1.8).

Aksjomat 4 (trzecie prawo Newtona). Siły oddziaływania dwóch ciał mają jednakową wartość bezwzględną i są skierowane wzdłuż jednej prostej w przeciwnych kierunkach. Zauważ, że siły oddziaływania między dwoma ciałami nie tworzą układu sił zrównoważonych, ponieważ działają na różne ciała. Jeśli ciało I działa na ciało II siłą P, a ciało II działa na ciało I siłą F (ryc. 1.9), wówczas siły te są równe wartości bezwzględnej (F \u003d P) i są skierowane wzdłuż jednej linii prostej w przeciwnym kierunku kierunkach, tj. .F= -R. Jeżeli przez F oznaczymy siłę, z jaką Słońce przyciąga Ziemię, to Ziemia przyciąga Słońce z tym samym modułem, ale przeciwnie skierowaną siłą - F. Gdy ciało porusza się wzdłuż płaszczyzny, zostanie do niego przyłożona siła tarcia T, skierowane w kierunku przeciwnym do ruchu. Jest to siła, z jaką stała płaszczyzna działa na ciało. Zgodnie z czwartym aksjomatem ciało działa na płaszczyznę z taką samą siłą, ale jego kierunek będzie przeciwny do siły T.

Na ryc. 1.10 przedstawia ciało poruszające się w prawo; siła tarcia T jest przyłożona do poruszającego się ciała, a siła T "= -T - do płaszczyzny. Rozważmy również układ w spoczynku, pokazany na ryc. 1.11, a. Składa się z silnika A zainstalowanego na fundament B, który z kolei znajduje się na podstawie C. Na silnik i fundament działają odpowiednio siły grawitacji F 1 i F 2. Siły działają również: F 3 - siła działania ciała A na ciało B (jest równa ciężarowi ciała A); F`z - siła odwrotnego działania ciała B na ciało A ; F 4 - siła działania ciał A i B na podstawę C (to jest równa całkowitej masie ciał A i B); F` 4 - siła odwrotnego działania podstawy C na ciało B. Siły te pokazano na ryc. 1.11, b, c, d .Zgodnie z aksjomat 4 F 3 \u003d -F` 3, F 4 \u003d -F` 4, a te siły interakcji są określone przez dane siły F 1 i F 2. Aby znaleźć siły interakcji, należy przejść od aksjomatu 1 Ze względu na resztę ciała A (ryc. 1.11.6) powinien wynosić F s \u003d -F 1, co oznacza F 3 \u003d F 1. W ten sam sposób ze stanu równowagi ciała B (ryc. 1.11, c), wynika z tego F` 4 \u003d - (F 2 + F 3) , tj. F` 4 = -(F 1 + F 2) i F 4 \u003d F 1 + F 2.

Aksjomat 5. Równowaga ciała odkształcalnego nie zostanie zakłócona, jeśli jego punkty są sztywno połączone i przyjmuje się, że ciało jest absolutnie sztywne. Aksjomat ten jest używany w tych przypadkach, gdy chodzi o równowagę ciał, których nie można uznać za stałe. Siły zewnętrzne przyłożone do takich ciał muszą spełniać warunki równowagi ciała sztywnego, ale dla ciał niesztywnych warunki te są tylko konieczne, ale niewystarczające. Na przykład dla równowagi absolutnie sztywnego pręta nieważkości konieczne i wystarczające jest, aby siły F i F "przyłożone do końców pręta działały wzdłuż linii prostej łączącej jego końce, były równe w wartości bezwzględnej i skierowane w różnych te same warunki są konieczne dla równowagi odcinka nici nieważkości , ale dla gwintu są niewystarczające - konieczne jest dodatkowo wymaganie, aby siły działające na nitkę były rozciągające (ryc. 1.12, b), natomiast dla pręta mogą być również ściskane (ryc. 1.12, a).

Rozważmy przypadek równoważności do zera trzech nierównoległych sił przyłożonych do sztywnego ciała (ryc. 1.13, a). Twierdzenie o trzech nierównoległych siłach. Jeżeli pod działaniem trzech sił ciało znajduje się w równowadze i linie działania dwóch sił przecinają się, to wszystkie siły leżą na tej samej płaszczyźnie, a ich linie działania przecinają się w jednym punkcie.Niech na ciało działa układ trzech sił F 1, F 3 i F 3, a linie działania sił F 1 i F 2 przecinają się w punkcie A (ryc. 1.13, a). Zgodnie z wnioskiem z aksjomatu 2 siły F 1 i F 2 można przenieść do punktu A (rys. 1.13, b), a zgodnie z aksjomatem 3 można je zastąpić jedną siłą R, oraz (rys. 1.13, c) R \u003d F 1 + F 2 . W ten sposób rozważany układ sił zostaje zredukowany do dwóch sił R i F 3 (ryc. 1.13, c). Zgodnie z warunkami twierdzenia ciało jest w równowadze, dlatego zgodnie z aksjomatem 1 siły R i F 3 muszą mieć wspólną linię działania, ale wtedy linie działania wszystkich trzech sił muszą przecinać się w jednym punkcie .

Siły czynne i reakcje wiązań

Ciało nazywa się wolny, jeśli jego ruchy nie są niczym ograniczone. Ciało, którego ruch jest ograniczony przez inne ciała, nazywa się nie darmowy i ciała, które ograniczają ruch tego ciała, - znajomości. W punktach styku powstają siły oddziaływania między danym ciałem a wiązaniami. Siły, z którymi wiązania działają na dane ciało, nazywamy reakcje wiązania.

Zasada uwalniania : każde ciało niewolne można uznać za wolne, jeśli działanie wiązań zastąpione zostanie ich reakcjami przyłożonymi do danego ciała. W statyce reakcje wiązań można całkowicie określić za pomocą warunków lub równań równowagi ciała, które zostaną ustalone później, ale ich kierunki w wielu przypadkach można wyznaczyć z badania właściwości wiązań. Jako prosty przykład na ryc. 1.14, ale przedstawiono ciało, którego punkt M jest połączony z punktem stałym O za pomocą pręta, którego ciężar można pominąć; końce drążka posiadają zawiasy pozwalające na swobodny obrót. W tym przypadku pręt OM służy jako łącznik dla ciała; ograniczenie swobody ruchu punktu M wyraża się tym, że jest on zmuszony znajdować się w stałej odległości od punktu O. Siła działania na taki pręt powinna być skierowana wzdłuż linii prostej OM i zgodnie z aksjomat 4, siła przeciwdziałająca pręta (reakcja) R powinna być skierowana wzdłuż tej samej linii prostej . Tak więc kierunek reakcji pręta pokrywa się z bezpośrednim OM (ryc. 1.14, b). Podobnie siła reakcji elastycznej nierozciągliwej nici musi być skierowana wzdłuż nici. Na ryc. 1.15 przedstawia korpus zawieszony na dwóch nitkach oraz reakcje nitek R1 i R2. Siły działające na ciało niewolne dzielą się na dwie kategorie. Jedną kategorię tworzą siły, które nie zależą od wiązań, a drugą są reakcje wiązań. Jednocześnie reakcje wiązań mają charakter bierny – powstają, ponieważ na ciało działają siły pierwszej kategorii. Siły niezależne od wiązań nazywane są aktywnymi, a reakcje wiązań nazywane są siłami biernymi. Na ryc. 1,16, a na górze dwie siły czynne F1 i F2 równe w wartościach bezwzględnych, rozciągające pręt AB, poniżej są reakcje R1 i R2 rozciągniętego pręta. Na ryc. 1.16, b, siły czynne F1 i F2 ściskające pręt są pokazane na górze, reakcje R1 i R2 ściśniętego pręta są pokazane poniżej.

Właściwości łącza

1. Jeżeli sztywny korpus spoczywa na idealnie gładkiej (bez tarcia) powierzchni, to punkt kontaktu korpusu z powierzchnią może swobodnie ślizgać się po powierzchni, ale nie może poruszać się w kierunku wzdłuż normalnej do powierzchni. Reakcja idealnie gładkiej powierzchni jest skierowana wzdłuż wspólnej normalnej do stykających się powierzchni (ryc. 1.17, a). Jeśli ciało stałe ma gładką powierzchnię i spoczywa na czubku (ryc. 1.17, b), reakcja jest skierowane wzdłuż normalnej do powierzchni samego ciała.Jeśli ciało stałe opiera się końcówką o róg (ryc. 1.17, c), wówczas połączenie zapobiega ruchowi końcówki zarówno w poziomie, jak iw pionie. W związku z tym reakcja R kąta może być reprezentowana przez dwie składowe - poziomą R x i pionową R y , których wielkości i kierunki są ostatecznie określone przez dane siły.

2. Złącze sferyczne to urządzenie pokazane na ryc. 1,18, a, co sprawia, że ​​punkt O rozpatrywanego ciała jest stały. Jeżeli kulista powierzchnia styku jest idealnie gładka, to reakcja zawiasu kulistego ma kierunek normalny do tej powierzchni. Reakcja przechodzi przez centrum zawiasu O; kierunek reakcji może być dowolny i jest określany w każdym konkretnym przypadku.

Nie jest również możliwe określenie z góry kierunku reakcji łożyska oporowego pokazanego na rys. 1.18b. 3. Cylindryczny wspornik na zawiasach (ryc. 1.19, a). Reakcja takiej podpory przebiega przez jej oś, a kierunek reakcji może być dowolny (w płaszczyźnie prostopadłej do osi podpory). 4. Cylindryczny wspornik przegubowy (ryc. 1.19, b) zapobiega przemieszczaniu się stałego punktu korpusu prostopadle do samoloty I-I; w związku z tym reakcja takiej podpory ma również kierunek tej prostopadłej.

W układach mechanicznych utworzonych przez przegub kilku ciał stałych, z połączeniami zewnętrznymi (podporami), występują połączenia wewnętrzne. W takich przypadkach czasami mentalnie rozczłonkowuje się system i zastępuje odrzucone nie tylko zewnętrzne, ale także wewnętrzne połączenia odpowiednimi reakcjami. Siły oddziaływania pomiędzy poszczególnymi punktami danego ciała nazywamy wewnętrznymi, a siły działające na dane ciało i wywoływane przez inne ciała nazywamy zewnętrznymi.

Podstawowe zadania statyki

1. Problem redukcji układu sił: jak można zastąpić dany układ sił innym, prostszym, równoważnym?

2. Problem równowagi: jakie warunki musi spełniać układ sił przyłożony do danego ciała (lub punktu materialnego), aby był układem zrównoważonym?

Drugi problem pojawia się często w tych przypadkach, w których równowaga z pewnością ma miejsce, na przykład, gdy wiadomo z góry, że ciało jest w równowadze, którą zapewniają ograniczenia nałożone na ciało. W tym przypadku warunki równowagi ustalają związek między wszystkimi siłami przyłożonymi do ciała. Za pomocą tych warunków można określić reakcje podporowe. Należy pamiętać, że określenie reakcji wiązań (zewnętrznych i wewnętrznych) jest konieczne do późniejszego obliczenia wytrzymałości konstrukcji.

W bardziej ogólnym przypadku, gdy rozważany jest układ ciał, który może poruszać się względem siebie, jednym z głównych zadań statyki jest wyznaczenie możliwych pozycji równowagi.

Doprowadzenie systemu zbieżnych sił do wypadkowej

Siły nazywane są zbieżnymi, jeśli linie działania wszystkich sił tworzących układ przecinają się w jednym punkcie. Udowodnijmy twierdzenie: układ sił zbieżnych jest równoważny jednej sile (wypadkowej), która jest równa sumie wszystkich tych sił i przechodzi przez punkt przecięcia ich linii działania. Niech będzie dany układ zbieżnych sił F 1 , F 2 , F 3 , ..., F n przyłożonych do absolutnie sztywnego ciała (rys. 2.1, a). Przenieśmy punkty przyłożenia sił wzdłuż linii ich działania do punktu przecięcia tych linii (21, b). Mamy układ sił przyłożony do jednego punktu. Jest to odpowiednik podanego. Dodajemy F 1 i F 2, otrzymujemy ich wypadkową: R 2 \u003d F 1 + F 2. Dodajmy R 2 z F 3: R 3 \u003d R 2 + F 3 \u003d F 1 + F 2 + F 3. Dodajmy F 1 +F 2 +F 3 +…+F n =R n =R=åF i . Rozdz. Zamiast równoległoboków możesz zbudować wielokąt siły. Niech system składa się z 4 sił (rysunek 2.2.). Od końca wektora F 1 odkładamy wektor F 2 . Wektor łączący początek O i koniec wektora F 2 będzie wektorem R 2 . Następnie odkładamy wektor F 3 umieszczając jego początek na końcu wektora F 2 . Następnie otrzymujemy wektor R 8 idący od punktu O do końca wektora F 3 . W ten sam sposób dodaj wektor F 4 ; w tym przypadku otrzymujemy, że wektor biegnący od początku pierwszego wektora F 1 do końca wektora F 4 jest wypadkową R. Taki wielokąt przestrzenny nazywamy wielokątem siły. Jeżeli koniec ostatniej siły nie pokrywa się z początkiem pierwszej siły, wówczas wywoływany jest wielokąt siły otwarty. Jeśli geometr ma rację, aby znaleźć wynikową, to ta metoda nazywa się geometryczną.

Więcej użyj metody analitycznej do określenia wypadkowej. Rzut sumy wektorów na pewną oś jest równy sumie rzutów wyrazów wektorów na tę samą oś, otrzymujemy R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx ; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny ; R z \u003dåF kz \u003d F 1z + F 2z + ... + F nz; gdzie F kx , F ky , F kz są rzutami siły F k na osie, a R x , R y , R z są rzutami siły wypadkowej na te same osie. Rzuty wypadkowego układu sił zbieżnych na osie współrzędnych są równe sumom algebraicznym rzutów tych sił na odpowiednie osie. Wynikowy moduł R wynosi: R=(R x 2 + R y 2 + R z 2) 1/2. Cosinusy kierunku to: cos(x,R)=R x /R, cos(y,R)=R y /R, cos(z,R)=R z /R. Jeśli siły znajdują się w obszarze, to wszystko jest takie samo, nie ma osi Z.

Warunki równowagi dla układu sił zbieżnych

(F 1 , F 2 , ... , F n) ~ R => dla równowagi ciała pod działaniem układu sił zbieżnych konieczne i wystarczające jest, aby ich wypadkowa była równa zero: R = 0. Dlatego , w wieloboku sił układu zrównoważonego, zbieżnych sił, koniec ostatniej siły musi pokrywać się z początkiem siły pierwszej; w tym przypadku mówi się, że wielokąt siły jest zamknięty (rys. 2.3). Warunek ten jest wykorzystywany w graficznym rozwiązywaniu problemów płaskich układów sił. Równość wektora R=0 jest równoważna trzem równościom skalarnym: R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0; R z \u003dåF kz \u003d F 1z + F 2z + ... + F nz \u003d 0; gdzie F kx , F ky , F kz są rzutami siły F k na osie, a R x , R y , R z są rzutami siły wypadkowej na te same osie. Oznacza to, że dla równowagi zbieżnego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby sumy algebraiczne rzutów wszystkich sił danego układu na każdą z osi współrzędnych były równe zeru. Dla płaskiego układu sił znika warunek związany z osią Z. Warunki równowagi pozwalają kontrolować, czy dany układ sił jest w równowadze.

Dodanie dwóch równoległych sił

1) Niech równoległe i równomiernie skierowane siły F 1 i F 2 zostaną przyłożone do punktów A i B ciała i musisz znaleźć ich wypadkową (rys. 3.1). Stosujemy do punktów A i B równe w wartościach bezwzględnych i przeciwnie skierowane siły Q 1 i Q 2 (ich moduł może być dowolny); takie dodanie można wykonać na podstawie aksjomatu 2. Następnie w punktach A i B otrzymujemy dwie siły R 1 i R 2: R 1 ~ (F 1 , Q 1) i R 2 ~ (F 2 , Q 2) . Linie działania tych sił przecinają się w pewnym punkcie O. Przenosimy siły R 1 i R 2 do punktu O i rozkładamy je na składniki: R 1 ~ (F 1 ', Q 2 ') i R 2 ~ (F 2', Q2'). Z konstrukcji widać, że Q 1 ’=Q 1 i Q 2 ’=Q 2, zatem Q 1 ’= –Q 2 ’ i te dwie siły, zgodnie z aksjomatem 2, można odrzucić. Ponadto F 1 '=F 1 , F 2 '=F 2 . Siły F 1 ’ i F 2 ’ działają w jednej linii prostej i można je zastąpić jedną siłą R = F 1 + F 2, która będzie pożądaną wypadkową. Wynikowy moduł to R = F 1 + F 2 . Linia działania wypadkowej jest równoległa do linii działania F 1 i F 2 . Z podobieństwa trójkątów Oac 1 i OAC oraz Obc 2 i OBC otrzymujemy zależność: F 1 /F 2 =BC/AC. Zależność ta określa punkt przyłożenia wypadkowej R. Układ dwóch równoległych sił skierowanych w tym samym kierunku ma wypadkową równoległą do tych sił, a jego moduł jest równa sumie moduły tych sił.

2) Niech na ciało działają dwie równoległości sił, skierowane w różnych kierunkach i nierówne w wartości bezwzględnej. Dane: F 1 , F 2 ; F 1 > F 2 .

Używając wzorów R \u003d F 1 + F 2 i F 1 / F 2 \u003d BC / AC, siłę F 1 można rozłożyć na dwa składniki, F "2 i R, skierowane w stronę siły F 1. Zróbmy to aby siła F" 2 była przyłączona do punktu B, a my umieszczamy F "2 \u003d -F 2. Tak więc, (F l , F 2) ~(R, F" 2 , F 2). Siły F2, F2' można odrzucić jako równoważne zeru (aksjomat 2), stąd (F 1 , F 2) ~ R, czyli siła R i jest wypadkową. Zdefiniujmy siłę R, która spełnia taki rozkład siły F 1 . Formuły R \u003d F 1 + F 2 i F 1 /F 2 =BC/AC daj R + F 2 '=F 1, R/F 2 =AB/AC (*). oznacza to R \u003d F 1 -F 2 '= F 1 + F 2, a ponieważ siły F t i F 2 są skierowane w różnych kierunkach, to R \u003d F 1 -F 2. Podstawiając to wyrażenie do drugiego wzoru (*), otrzymujemy po prostych przekształceniach F 1 /F 2 =BC/AC. stosunek ten określa punkt przyłożenia wypadkowej R. Dwie przeciwnie skierowane równoległe siły, które nie są równe w wartości bezwzględnej, mają wypadkową równoległą do tych sił, a jej moduł jest równy różnicy między modułami tych sił.

3) Niech na ciało działają dwie równoleżniki o równym module, ale przeciwne w kierunku siły. Ten system nazywa się parą sił i jest oznaczony symbolem (F1, F2). Załóżmy, że moduł F 2 stopniowo rośnie, zbliżając się do wartości modułu F 1 . Wtedy różnica modułów będzie dążyła do zera, a układ sił (F 1 , F 2) będzie dążył do pary. W tym przypadku |R|Þ0, a linią jego działania jest odsunięcie się od linii działania tych sił. Para sił to niezrównoważony system, którego nie można zastąpić pojedynczą siłą. Para sił nie ma wypadkowej.

Moment siły wokół punktu i osi Moment pary sił

Moment siły względem punktu (środka) jest wektorem liczbowo równym iloczynowi modułu siły i pobocza, czyli najkrótszej odległości od wskazanego punktu do linii działania siły. Jest skierowany prostopadle do płaszczyzny przechodzącej przez wybrany punkt i linię działania siły. Jeśli moment siły jest zgodny z ruchem wskazówek zegara, to moment jest ujemny, a jeśli przeciw, to jest dodatni. Jeżeli O jest punktem, kot odniesienia jest momentem siły F, to moment siły jest oznaczony symbolem M o (F). Jeżeli punkt przyłożenia siły F jest określony przez wektor promienia r względem O, to obowiązuje zależność M o (F) = r x F. (3.6) Tj. moment siły jest równy iloczynowi wektora wektora r i wektora F. Moduł iloczynu wektora to M o (F)=rF sin a=Fh, (3.7) gdzie h jest ramieniem siły. Wektor M o (F) jest skierowany prostopadle do płaszczyzny przechodzącej przez wektory r i F i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Zatem wzór (3.6) całkowicie określa moduł i kierunek momentu siły F. Wzór (3.7) można zapisać jako M O (F)=2S, (3.8) gdzie S jest polem trójkąta ОАВ. Niech x, y, z będą współrzędnymi punktu przyłożenia siły, a F x , F y , F z będą rzutami siły na osie współrzędnych. Jeśli t. O nie. w punkcie początkowym momentem siły jest:

Oznacza to, że rzuty momentu siły na osie współrzędnych są określone przez f-mi: M ox (F) \u003d yF z -zF y, Moy (F) \u003d zF x -xF z, Mo oz ( F) \u003d xF y -yF x (3,10 ).

Wprowadźmy pojęcie rzutowania siły na płaszczyznę. Niech będzie dana siła F i trochę kwadratu. Opuśćmy prostopadłe do tej płaszczyzny z początku i końca wektora siły (rys. 3.5). Rzut siły na płaszczyznę to wektor, którego początek i koniec pokrywają się z rzutem początku i końca siły na tę płaszczyznę. Rzut siły F na kwadrat xOy wyniesie F xy. Moment siły F xy rel. więc O (jeśli z=0, F z =0) będzie M o (F xy)=(xF y –yF x)k. Moment ten jest skierowany wzdłuż osi z, a jego rzut na oś z dokładnie pokrywa się z rzutem na tę samą oś momentu siły F względem punktu O.T.e, M Oz (F) \u003d M Oz (F xy) \u003d xF y -yF x . (3.11). Ten sam wynik można uzyskać, rzutując siłę F na dowolną inną płaszczyznę równoległą do płaszczyzny xOy. W takim przypadku punkt przecięcia osi z płaszczyzną będzie inny (oznaczamy O 1). Jednak wszystkie wielkości x, y, F x , F y zawarte po prawej stronie równości (3.11) pozostają niezmienione: M Oz (F)=M Olz (F xy). Rzut momentu siły na punkt na osi przechodzący przez ten punkt nie zależy od wyboru punktu na osi. Zamiast M Oz (F) piszemy M z (F). To odwzorowanie momentu nazywa się momentem siły wokół osi z. Przed obliczeniami siła F jest rzutowana na kwadrat, przypadający na oś. M z (F) \u003d M z (F xy) \u003d ± F xy h (3,12). h - ramię. Jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to +, przeciw -. Aby obliczyć mamę. zmusza do: 1) wybrania dowolnego punktu na osi i skonstruowania płaszczyzny prostopadłej do osi; 2) rzutować siłę na tę płaszczyznę; 3) określić ramię rzutu siły h. Moment siły wokół osi jest równy iloczynowi modułu rzutu siły na jego ramię, wziętego z odpowiednim znakiem. Z (3.12) wynika, że ​​moment siły wokół osi jest równy zero: 1) gdy rzut siły na płaszczyznę prostopadłą do osi jest zerowy, tj. gdy siła i oś są równoległe; 2) gdy ramię rzutowania h jest równe zeru, to znaczy, gdy linia działania siły przecina oś. Lub: moment siły wokół osi jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy linia działania siły i oś leżą w tej samej płaszczyźnie.

Wprowadźmy pojęcie momentu pary. Znajdźmy, jaka jest suma momentów sił tworzących parę względem dowolnego punktu. Niech O będzie dowolnym punktem w przestrzeni (ryc. 3.8), a F i F "- siły tworzące parę. Następnie M o (F) \u003d OAxF, M o (F") \u003d OBxF", skąd M o (F) + M o (F") = OAxF + OBxF", ale ponieważ F" = -F, to M 0 (F) + M 0 (F") = OAxF - OBxF = ​​(OA - OB ) x F. Biorąc pod uwagę równość OA –OV = VA, w końcu znajdujemy: M 0 (F) + M 0 (F ") = BAхF. Oznacza to, że suma momentów sił tworzących parę nie zależy od położenia punktu, względem którego brane są momenty. Iloczyn wektorowy BAxF nazywany jest momentem pary. Moment pary jest oznaczony symbolem M(F,F"), a M(F,F")=BAxF=ABxF", lub M=BAxF=ABxF". (3.13). Moment pary jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny pary, równym w wartości bezwzględnej iloczynowi modułu jednej z sił w parze i ramienia pary (tj. najkrótszej odległości między liniami działanie sił tworzących parę) i skierowane w kierunku, z którego widoczny jest „obrót” pary przebiegający w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Jeśli h jest ramieniem pary, to M (F, F ") = hF. Aby para sił zrównoważyła układ, konieczne jest, aby moment pary = 0 lub ramię = 0.

Twierdzenia o parach

Twierdzenie 1.Dwie pary leżące w tej samej płaszczyźnie można zastąpić jedną parą leżącą w tej samej płaszczyźnie o momencie równym sumie momentów danych dwóch par . W przypadku dokowania rozważ dwie pary (F 1, F` 1) i (F 2, F` 2) (rys. 3.9) i przenieś punkty przyłożenia wszystkich sił wzdłuż linii ich działania odpowiednio do punktów A i B . Dodając siły zgodnie z aksjomatem 3, otrzymujemy R=F 1 +F 2 i R"=F` 1 +F` 2, ale F" 1 =–F 1 i F` 2 =–F 2. Dlatego R=–R”, czyli siły R i R” tworzą parę. Moment tej pary: M \u003d M (R, R "") \u003d BAxR \u003d BAx (F 1 + F 2) \u003d BAxF 1 + BAxF 2. (3.14). Kiedy siły tworzące parę są przenoszone wzdłuż linii ich działania, ani ramię, ani kierunek obrotu pary nie zmieniają się, dlatego moment pary się nie zmienia.W związku z tym VAxF 1 \u003d M (F 1, F "1) \u003d M 1, VAxF 2 \u003d M (F 2, f` 2) \u003d M 2, a wzór (Z.14) przyjmie postać M=M 1 +M 2 , (3,15) q.t.d. Zróbmy dwie uwagi. 1. Linie działania sił tworzących pary mogą okazać się równoległe. Również w tym przypadku twierdzenie pozostaje aktualne. 2. Po dodaniu może się okazać, że M(R, R") = 0; z uwagi1 wynika, że ​​zbiór dwóch par (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2)~0 .

Twierdzenie 2.Dwie pary o równych momentach są równoważne. Niech para (F 1 ,F` 1) działa na ciało w płaszczyźnie I momentem M 1 . Pokażmy, że tę parę można zastąpić inną parą (F 2 , F` 2) znajdującą się w płaszczyźnie II, jeśli tylko jej moment M 2 jest równy M 1 . Zwróć uwagę, że płaszczyzny I i II muszą być równoległe, w szczególności mogą się pokrywać. Rzeczywiście, z równoległości momentów M 1 i M 2 wynika, że ​​płaszczyzny działania par prostopadłe do momentów są również równoległe. Wprowadźmy nową parę (F 3 , F` 3) i nałóżmy ją razem z parą (F 2 , F` 2) na ciało, umieszczając obie pary w płaszczyźnie II. W tym celu zgodnie z aksjomatem 2 należy wybrać parę (F 3 , F` 3) z momentem M 3 tak, aby przyłożony układ sił (F 2 , F` 2 , F 3 , F` 3) jest zrównoważony. Postawmy F 3 \u003d -F` 1 i F` 3 \u003d -F 1 i połączmy punkty przyłożenia tych sił z rzutami A 1 i B 1 punktów A i B na płaszczyźnie II (patrz ryc. 3.10) . Zgodnie z konstrukcją będziemy mieli: M 3 ​​\u003d–M 1 lub, biorąc pod uwagę, że M 1 \u003d M 2, M 2 + M 3 \u003d 0, otrzymujemy (F 2 , F` 2 , F 3 , F` 3)~0. Zatem pary (F 2 , F` 2) i (F 3 , F` 3) są wzajemnie zrównoważone i ich przywiązanie do ciała nie narusza jego stanu (aksjomat 2), a więc (F 1 , F` 1)~ (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2 , F 3 , F` 3). (3.16). Natomiast siły F 1 i F 3 oraz F` 1 i F` 3 można dodawać zgodnie z zasadą sumowania sił równoległych skierowanych w jednym kierunku. Mają one równe moduły, więc ich wypadkowe R i R” muszą być przyłożone w punkcie przecięcia przekątnych prostokąta ABB 1 A 1, dodatkowo są one równe w module i skierowane w przeciwnych kierunkach. Oznacza to, że stanowią system równoważny zeru. Czyli , (F 1 , F` 1 , F 3 , F` 3)~(R, R")~0. Teraz możemy napisać (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2 , F 3 ,F` 3)~(F 2 , F` 2).(3.17). Porównując relacje (3.16) i (3.17), otrzymujemy (F 1 , F` 1)~(F 2 , F` 2) itd. Z tego twierdzenia wynika, że ​​para sił może być przemieszczana i obracana w płaszczyźnie jej działania, przeniesiona na płaszczyznę równoległą; w parze można jednocześnie zmieniać siły i ramię, zachowując tylko kierunek obrotu pary i moduł jej pędu (F 1 h 1 \u003d F 2 h 2).

Twierdzenie 3. Dwie pary leżące w przecinających się płaszczyznach są równoważne jednej parze, której moment jest równy sumie momentów dwóch podanych par. Niech pary (F 1 , F` 1) i (F 2 , F` 2) znajdują się odpowiednio w przecinających się płaszczyznach I i II. Korzystając z wniosku z Twierdzenia 2, doprowadzamy obie pary do pobocza AB (rys. 3.11), znajdującego się na linii przecięcia płaszczyzn I i II. Oznaczmy przekształcone pary przez (Q 1 , Q` 1) i (Q 2 , Q` 2). W tym przypadku równości muszą być spełnione: M 1 =M(Q 1 , Q` 1)=M(F 1 , F` 1) oraz M 2 =M(Q 2 , Q` 2)=M(F 2 , F` 2 ). Dodajmy, zgodnie z aksjomatem 3, siły przyłożone odpowiednio w punktach A i B. Wtedy otrzymujemy R=Q 1 +Q 2 i R"=Q` 1 +Q` 2. Biorąc pod uwagę, że Q` 1 =–Q 1 i Q` 2 = –Q 2, otrzymujemy: R=–R". W ten sposób udowodniliśmy, że układ dwóch par jest równoważny jednej parze (R, R"). Znajdźmy moment M tej pary. M(R, R")=BAxR, ale R=Q 1 +Q 2 oraz M(R , R")=VAx(Q 1 +Q 2)=BAxQ 1 +BAxQ 2 =M(Q 1 , Q` 1)+M(Q 2 , Q` 2)=M(F 1 , F " 1)+ M(F 2 , F` 2) lub M=M 1 + M 2 , czyli twierdzenie jest udowodnione.

Wniosek: moment pary jest wektorem swobodnym i całkowicie determinuje działanie pary na absolutnie sztywnym ciele. W przypadku ciał odkształcalnych teoria par nie ma zastosowania.

Redukcja układu par do najprostszej postaci Równowaga układu par

Niech będzie dany układ n par (F 1 ,F 1`),(F 2 ,F` 2) ..., (F n ,F` n) arbitralnie umieszczonych w przestrzeni, których momenty są równe M 1 , M 2 ..., М n . Pierwsze dwie pary można zastąpić jedną parą (R 1 ,R` 1) z momentem M* 2:M* 2 =M 1 +M 2 . Dodajemy otrzymaną parę (R 1, R` 1) z parą (F 3, F` 3), następnie otrzymujemy nową parę (R 2, R` 2) z momentem M * 3: M * 3 \ u003d M * 2 + M 3 \u003d M 1 + M 2 + M 3. Kontynuując sekwencyjne dodawanie momentów par, otrzymujemy ostatnią wynikową parę (R, R") z momentem M=M 1 +M 2 +...+M n =åM k. (3.18). pary sprowadza się do jednej pary, której moment jest równy sumie momentów wszystkich par.Teraz łatwo jest rozwiązać drugi problem statyki, tj. znaleźć warunki równowagi dla ciała, na którym układ par działa.Aby układ par był równoważny zeru, czyli sprowadzony do dwóch zrównoważonych sił, jest konieczne i wystarczy, aby moment pary wynikowej był równy zeru, to ze wzoru (3.18) uzyskaj następujący warunek równowagi w postaci wektorowej: M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = 0. (3.19).

W rzutach na osie współrzędnych równanie (3.19) daje trzy równania skalarne. Warunek równowagi (3.19) jest uproszczony, gdy wszystkie pary leżą na tej samej płaszczyźnie. W tym przypadku wszystkie momenty są prostopadłe do tej płaszczyzny i dlatego wystarczy rzutować równanie (3.19) tylko na jedną oś, na przykład oś prostopadłą do płaszczyzny pary. Niech to będzie oś z (rys. 3.12). Następnie z równania (3.19) otrzymujemy: M 1Z + M 2Z + ... + M nZ =0. Oczywiste jest, że M Z = M, jeśli obrót pary jest widziany z kierunku dodatniego osi z w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a M Z = -M w przeciwnym kierunku obrotu. Oba te przypadki pokazano na ryc. 3.12.

Lemat o równoległym przenoszeniu siły

Udowodnijmy lemat:Siła przyłożona w dowolnym punkcie ciała sztywnego jest równoważna tej samej sile przyłożonej w dowolnym innym punkcie tego ciała oraz parze sił, których moment jest równy momentowi tej siły względem nowego punktu przyłożenia . Niech siła F zostanie przyłożona w punkcie A ciała sztywnego (rys. 4.1). Teraz stosujemy w punkcie B ciała układ dwóch sił F ”i F²-, równoważny zeru, i wybieramy F” \u003d F (stąd F „= -F). Następnie siła F ~ (F, F", F "), ponieważ (F", F") ~ 0. Ale z drugiej strony układ sił (F, F", F") jest równoważny sile F" i parze sił (F, F"); dlatego siła F jest równoważna sile F" i parze sił (F, F"). Moment pary (F, F") jest równy M=M(F, F")=BAxF, tj. równy momentowi siły F względem punktu B M=M B (F). W ten sposób udowodniono lemat o równoległym przenoszeniu siły.

Podstawowe twierdzenie statyki

Niech będzie dany dowolny układ sił (F 1 , F 2 ,..., F n). Suma tych sił F=åF k nazywana jest głównym wektorem układu sił. Suma momentów sił względem dowolnego bieguna nazywana jest momentem głównym rozważanego układu sił względem tego bieguna.

Podstawowe twierdzenie statyki (twierdzenie Poinsota ):Dowolny przestrzenny układ sił w przypadku ogólnym może być zastąpiony układem równoważnym składającym się z jednej siły przyłożonej w pewnym punkcie ciała (środka redukcji) i równej głównemu wektorowi tego układu sił oraz jednej pary sił, którego moment jest równy głównemu momentowi wszystkich sił względem wybranego ośrodka polecającego. Niech O będzie środkiem redukcji przyjętym jako początek współrzędnych, r 1 ,r 2 , r 3 ,…, r n będą odpowiednimi wektorami promieniowymi punktów przyłożenia sił F 1 , F 2 , F 3 , .. ., F n, które tworzą siły tego układu (ryc. 4.2, a). Przenieśmy siły F 1 , F a , F 3 , ..., F n do punktu O. Dodajemy te siły jako zbieżne; otrzymujemy jedną siłę: F o \u003d F 1 + F 2 + ... + F n \u003dåF k, która jest równa wektorowi głównemu (ryc. 4.2, b). Ale z kolejnym przeniesieniem sił F 1 , F 2 ,..., F n do punktu O, za każdym razem otrzymujemy odpowiednią parę sił (F 1 , F” 1), (F 2 ,F” 2) ,...,( F n, F "n). Momenty tych par są odpowiednio równe momentom tych sił względem punktu O: M 1 \u003d M (F 1, F "1) \u003d r 1 x F 1 \u003d M o (F 1), M 2 \u003d M (F 2, F "2) \u003d r 2 x F 2 \u003d M o (F 2), ..., M p \u003d M (F n, F "n) \u003d r n x F n \u003d M o (F n). W oparciu o zasadę redukcji układu par do najprostszej postaci wszystkie te pary można zastąpić jedną parą. Jego moment jest równy sumie momentów wszystkich sił układu względem punktu O, to znaczy jest równy momentowi głównemu, ponieważ zgodnie ze wzorami (3.18) i (4.1) mamy (ryc. 4.2 , c) M 0 = M 1 + M 2 + .. .+M n =M o (F 1)+M o (F 2)+…+ M o (F n)==åM o (F k)= ar k x F k . Układ sił, dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni, można zastąpić w dowolnie wybranym środku redukcji siłą F o =åF k (4.2) i parą sił o momencie M 0 =åM 0 (F k)=år k x F k . (4.3). W technice bardzo często łatwiej jest określić nie siłę czy parę, ale ich momenty. Na przykład charakterystyka silnika elektrycznego nie obejmuje siły, z jaką stojan działa na wirnik, ale moment obrotowy.

Warunki równowagi przestrzennego układu sił

Twierdzenie.Dla równowagi przestrzennego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby główny wektor i Głównym punktem tego układu były równe zeru. Adekwatność: gdy F o =0, układ sił zbieżnych przyłożonych w centrum redukcji O jest równoważny zeru, a gdy M o =0, układ par sił jest równoważny zeru. Dlatego pierwotny układ sił jest równoważny zeru. Potrzebować: Niech ten układ sił będzie równy zeru. Po zredukowaniu układu do dwóch sił zauważamy, że układ sił Q i P (rys. 4.4) musi być równoważny zeru, dlatego te dwie siły muszą mieć wspólną linię działania, a równanie Q = -P musi być zadowolona. Ale może tak być, jeśli linia działania siły P przechodzi przez punkt O, czyli jeśli h=0. A to oznacza, że ​​główny moment jest równy zero (M o \u003d 0). Ponieważ Q + P \u003d 0, a Q \u003d F o + P ”, następnie F o + P” + P \u003d 0, a zatem F o \u003d 0. Warunki niezbędne i dostępne są równe układowi przestrzennemu siły, wyglądają tak: F o \u003d 0 , M o =0 (4,15),

lub w rzutach na osie współrzędnych Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; Foz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+M ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, Moz =åM Oz (F k)=M Oz (F 1)+M oz (F 2)+...+ Moz (Fn)=0. (4.17)

To. rozwiązując zadania z 6 równaniami, możesz znaleźć 6 niewiadomych. Uwaga: para sił nie może być doprowadzona do wyniku. Przypadki szczególne: 1) Równowaga przestrzennego układu sił równoległych. Niech oś Z będzie równoległa do linii działania siły (rys. 4.6), wtedy rzuty sił na x i y są równe 0 (F kx = 0 i F ky = 0), i tylko F oz pozostaje. Jeśli chodzi o chwile, pozostają tylko M ox i M oy, a Moz jest nieobecny. 2) Równowaga płaskiego układu sił. Pozostań ur-I F ox , F oy i moment Moz (rysunek 4.7). 3) Równowaga płaskiego układu sił równoległych. (rys. 4.8). Pozostały tylko 2 poziomy: F oy i Moz Podczas kompilacji równań równowagi, jako środek ducha można wybrać dowolny punkt.

Sprowadzenie płaskiego układu sił do najprostszej postaci

Rozważmy układ sił (F 1, F 2 ,..., F n) znajdujący się w tej samej płaszczyźnie. Dopasujmy układ współrzędnych Oxy do płaszczyzny siły i wybierając jego początek jako środek redukcji, sprowadzamy rozpatrywany układ sił do jednej siły F 0 =åF k , (5.1) równej wektorowi głównemu, oraz do para sił, których moment jest równy momentowi głównemu M 0 =åM 0 (F k), (5.2) gdzie M o (F k) jest momentem siły F k względem środka redukcji O. Ponieważ siły znajdują się w jednym obszarze, siła Fo również leży w tej płaszczyźnie. Moment pary M około jest skierowany prostopadle do tej płaszczyzny, ponieważ sama para znajduje się w kwadracie działania rozważanych sił. Tak więc dla płaskiego układu sił wektor główny i moment główny są zawsze prostopadłe do siebie (ryc. 5.1). Moment ten jest w pełni scharakteryzowany przez wartość algebraiczną M z , równą iloczynowi ramienia pary przez wartość jednej z sił tworzących parę, przyjętą ze znakiem plus, jeśli „obrót-” para występuje, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i ze znakiem minus, jeśli występuje w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Niech na przykład zostaną podane dwie pary (F 1 , F` 1) i (F 2 , F` 2) (ryc. 5.2); wtedy zgodnie z tą definicją mamy M z (F 1 ,F` 1)=h 1 F 1 , M Z (F 2 ,F" 2)=-h 2 F 2. Moment siły wokół punktu nazywamy wielkość algebraiczna równa rzutowi sił wektora momentu względem tego punktu na oś prostopadłą do płaszczyzny, tj. równa iloczynowi modułu siły i ramienia, wziętego z odpowiednim znakiem. 5,3, a i b, odpowiednio, będzie Moz (F 1) \u003d hF 1 , Moz (F 2) = -hF 2 (5,4). Wskaźnik z we wzorach (5.3) i (5.4) jest zachowany w celu wskazania algebraicznej natury momentów. Moduły momentu pary i momentu siły oznaczono następująco: M(F ,F")=| Mz(F,F`)|, M0(F)=|Moz(F)|. Otrzymujemy Mo oz = å M oz (F z). Do analitycznej definicji wektora głównego stosuje się następujące wzory: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx , F oy =åF ky =F 1y ,+F 2y +…+F ny , Fo =(F2ox +F2oy) 1/2 =([åF kx] 2 +[åF ky] 2) 1/2 (5.8); cos(x, Fo)=Fox/Fo, cos(y,Fo)=Foy/Fo(5.9). A momentem głównym jest M Oz =åM Oz (F k)=å(x k F ky –y k F kx), (5.10), gdzie x k , y k są współrzędnymi punktu przyłożenia siły F k .

Udowodnijmy, że jeśli główny wektor płaskiego układu sił nie jest równy zeru, to ten układ sił jest równoważny jednej sile, czyli zostaje sprowadzony do wypadkowej. Niech Fo≠0, MOz ≠0 (rys. 5.4, a). Strzałka łukowa na ryc. 5.4, ​​ale symbolicznie przedstawia parę z momentem MOz. Parę sił, których moment jest równy momentowi głównemu, przedstawiamy w postaci dwóch sił F1 i F`1 równych wartości bezwzględnej głównemu wektorowi Fo, tj. F1=F`1 =Fo. W tym przypadku przyłożymy jedną z sił (F`1) tworzących parę do środka redukcji i skierujemy ją w kierunku przeciwnym do kierunku siły Fo (rys. 5.4, b). Wtedy układ sił Fo i F`1 jest równoważny zeru i można go odrzucić. Dlatego dany układ sił jest równoważny jedynej sile F1 przyłożonej do punktu 01; ta siła jest wypadkową. Wypadkowa będzie oznaczona literą R, tj. F1=R. Oczywiście odległość h od dawnego środka redukcji O do linii działania wypadkowej można znaleźć z warunku |MOz|=hF1 =hFo, tj. h=|MOz|/Fo. Odległość h należy odsunąć od punktu O, aby moment pary sił (F1, F`1) pokrywał się z momentem głównym MOz (ryc. 5.4, b). W wyniku doprowadzenia układu sił do tego środka mogą wystąpić następujące przypadki: (1) Fo≠0, MOz≠0. W takim przypadku układ sił można sprowadzić do jednej siły (wypadkowej), jak pokazano na ryc. 5.4, ​​c.(2) Fo≠0, MOz=0. W tym przypadku układ sił sprowadza się do jednej siły (wypadkowej) przechodzącej przez dany środek redukcji. (3) Fo=0, MOz≠0. W tym przypadku układ sił odpowiada jednej parze sił. (4) Fo=0, MOz=0. W tym przypadku rozważany układ sił jest równoważny zeru, tj. siły tworzące układ są wzajemnie zrównoważone.

Twierdzenie Varignona

Twierdzenie Varignona. Jeżeli rozpatrywany płaski układ sił sprowadza się do wypadkowej, to moment tej wypadkowej względem dowolnego punktu jest równy sumie algebraicznej momentów wszystkich sił danego układu względem tego punktu. Załóżmy, że układ sił jest zredukowany do wypadkowej R przechodzącej przez punkt O. Weźmy teraz inny punkt O 1 jako środek redukcji. Moment główny (5.5) wokół tego punktu jest równy sumie momentów wszystkich sił: M O1Z =åM o1z (F k) (5,11). Z drugiej strony mamy M O1Z =M Olz (R), (5.12), ponieważ główny moment dla środka redukcji O jest równy zero (M Oz =0). Porównując relacje (5.11) i (5.12), otrzymujemy M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) h.e.d. Korzystając z twierdzenia Varignona, możesz znaleźć równanie linii działania wypadkowej. Niech wypadkowa R 1 zostanie przyłożona w pewnym punkcie O 1 o współrzędnych x i y (rys. 5.5), a główny wektor F o i główny moment M Oya w środku redukcji w punkcie początkowym są znane. Ponieważ R 1 \u003d F o, to składowe wypadkowej wzdłuż osi x i y to R lx \u003d F Ox \u003d F Ox i i R ly \u003d F Oy \u003d F oy j. Zgodnie z twierdzeniem Varignona moment wypadkowej względem początku jest równy głównemu momentowi w środku redukcji w początku, tj. Moz \u003d M Oz (R 1) \u003d xF Oy -yF Ox. (5.14). Wartości M Oz, F Ox i F oy nie zmieniają się, gdy punkt przyłożenia wypadkowej przesuwa się wzdłuż jej linii działania, dlatego współrzędne x i y w równaniu (5.14) można traktować jako prąd współrzędne linii działania wypadkowej. Zatem równanie (5.14) jest równaniem linii działania wypadkowej. Dla F ox ≠0 można to przepisać jako y=(F oy /F ox)x–(Mo oz /F ox).

Warunki równowagi dla płaskiego układu sił

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił jest równość do zera wektora głównego i momentu głównego. Dla płaskiego układu sił warunki te przyjmują postać F o =åF k =0, M Oz =åM oz (F k)=0, (5.15), gdzie O jest dowolnym punktem na płaszczyźnie działania sił. Otrzymujemy: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0, P ox =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0, M Oz =åM Oz (F k) = Moz (F 1) + Moz (F 2) + ... + Moz (F n) \u003d 0, tj. dla równowagi płaskiego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby sumy algebraiczne rzutów wszystkich sił na dwie osie współrzędnych oraz suma algebraiczna momentów wszystkich sił względem dowolnego punktu były równe zeru. Drugą postacią równania równowagi jest równość do zera sum algebraicznych momentów wszystkich sił względem dowolnych trzech punktów, które nie leżą na jednej prostej; aM Az (F k)=0, aM Bz (F k)=0, aM Cz (F k)=0, (5,17), gdzie A, B i C są wskazanymi punktami. Konieczność tych równości wynika z warunków (5.15). Udowodnijmy ich wystarczalność. Załóżmy, że wszystkie równości (5.17) są spełnione. Równość do zera momentu głównego w środku redukcji w punkcie A jest możliwa, jeśli układ sprowadza się do wypadkowej (R≠0) i jego linia działania przechodzi przez punkt A, albo R=0; podobnie, równość do zera momentu głównego względem punktów B i C oznacza, że ​​albo R≠0 i wypadkowa przechodzi przez oba punkty, albo R=0. Ale wypadkowa nie może przejść przez wszystkie te trzy punkty A, B i C (pod warunkiem, że nie leżą na jednej prostej). W konsekwencji równości (5.17) są możliwe tylko wtedy, gdy R=0, czyli układ sił jest w równowadze. Zwróć uwagę, że jeśli punkty A, B i C leżą na tej samej prostej, to spełnienie warunków (5.17) nie będzie wystarczającym warunkiem równowagi - w tym przypadku układ można sprowadzić do wypadkowej linii działania z czego przechodzi przez te punkty.

Trzecia postać równań równowagi dla płaskiego układu sił

Trzecią postacią równań równowagi płaskiego układu sił jest równość do zera sum algebraicznych momentów wszystkich sił układu względem dowolnych dwóch punktów oraz równość do zera sum algebraicznych rzutów wszystkie siły układu na oś nie prostopadłą do prostej przechodzącej przez dwa wybrane punkty; åМ Аz (F k)=0, åМ Bz (F k)=0, åF kx =0 (5.18) (oś x nie jest prostopadła do odcinka А В). Upewnijmy się, że spełnienie tych warunków jest wystarczające dla równowagi sił. Z pierwszych dwóch równości, podobnie jak w poprzednim przypadku, wynika, że ​​jeśli układ sił ma wypadkową, to jego linia działania przechodzi przez punkty A i B (rys. 5.7). Wtedy rzut wypadkowej na oś x, która nie jest prostopadła do odcinka AB, będzie niezerowa. Ale możliwość tę wyklucza trzecie równanie (5.18), ponieważ R x = åF hx). Dlatego wypadkowa musi być równa zeru, a układ jest w równowadze. Jeżeli oś x jest prostopadła do odcinka AB, to równania (5.18) nie będą wystarczającymi warunkami równowagi, gdyż w tym przypadku układ może mieć wypadkową, której linia działania przebiega przez punkty A i B. Zatem , układ równań równowagi może zawierać jedno równanie momentu i dwa równania rzutowania, dwa równania momentu i jedno równanie rzutowania lub trzy równania momentu. Niech linie działania wszystkich sił będą równoległe do osi y (ryc. 4.8). Wtedy równania równowagi dla rozważanego układu sił równoległych będą miały postać åF ky =0, åM Oz (F k)=0.(5,19). åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, (5.20) ponadto punkty A i B nie mogą leżeć na linii prostej równoległej do osi y. Układ sił działających na bryłę sztywną może składać się zarówno z sił skupionych (izolowanych), jak i sił rozłożonych. Siły rozkładają się wzdłuż linii, powierzchni i objętości ciała.

Równowaga ciała w obecności tarcia ślizgowego

Jeśli dwa ciała I i II (ryc. 6.1) oddziałują ze sobą, dotykając się w punkcie A, to zawsze reakcja R A, działająca np. z ciała II i przyłożona do ciała I, może być rozłożona na dwa składniki: N A skierowany wzdłuż wspólnej normalnej do powierzchni ciał stykających się w punkcie A i TA leżących w płaszczyźnie stycznej. Składowa N A nazywana jest reakcją normalną, siła T A nazywana jest siłą tarcia ślizgowego - zapobiega ona ślizganiu się korpusu I po korpusie II. Zgodnie z aksjomatem 4 (trzecie prawo Newtona), na ciało II oddziałuje siła reakcji równa i przeciwnie skierowana. Jego składowa prostopadła do płaszczyzny stycznej nazywana jest siłą normalnego ciśnienia. Siła tarcia T A \u003d 0, jeśli powierzchnie styku są idealnie gładkie. W rzeczywistych warunkach powierzchnie są chropowate iw wielu przypadkach nie można pominąć siły tarcia. Maksymalna siła tarcia jest w przybliżeniu proporcjonalna do normalnego ciśnienia, tj. T max = fN. (6.3) jest prawem Amontona-Coulomba. Współczynnik f nazywany jest współczynnikiem tarcia ślizgowego. Jego wartość nie zależy od powierzchni stykających się powierzchni, ale zależy od materiału i stopnia chropowatości stykających się powierzchni. Siłę tarcia można obliczyć na podstawie f-le T=fN tylko w przypadku krytycznym. W pozostałych przypadkach siłę tarcia należy wyznaczyć z równań równości. Rysunek przedstawia reakcję R (tutaj siły czynne mają tendencję do przesuwania ciała w prawo). Kąt j pomiędzy reakcją graniczną R a normalną do powierzchni nazywany jest kątem tarcia. tgj=Tmax /N=f.

Geometryczne miejsce wszystkich możliwych kierunków reakcji granicznej R tworzy stożkową powierzchnię - stożek tarcia (ryc. 6.6, b). Jeżeli współczynnik tarcia f jest taki sam we wszystkich kierunkach, stożek tarcia będzie kołowy. W tych przypadkach, w których współczynnik tarcia f zależy od kierunku możliwego ruchu ciała, stożek tarcia nie będzie kołowy. Jeżeli wypadkowa sił czynnych. znajduje się wewnątrz stożka tarcia, to wzrost jego modułu nie może zaburzyć równowagi ciała; aby ciało zaczęło się poruszać, konieczne jest (i wystarczające), aby wypadkowa sił czynnych F znajdowała się poza stożkiem tarcia. Rozważ tarcie ciał elastycznych (rysunek 6.8). Wzór Eulera pomaga znaleźć najmniejszą siłę P, która może zrównoważyć siłę Q. P=Qe -fj* . Można również znaleźć taką siłę P, która może pokonać opór tarcia razem z siłą Q. W tym przypadku zmieni się tylko znak f we wzorze Eulera: P=Qe fj* .

Równowaga ciała w obecności tarcia tocznego

Rozważmy walec (lodowisko) spoczywający na płaszczyźnie poziomej, gdy działa na niego pozioma siła czynna S; poza tym działa siła grawitacji P, a także normalna reakcja N i siła tarcia T (ryc. 6.10, a). Przy wystarczająco małym module siły S cylinder pozostaje w spoczynku. Ale tego faktu nie da się wyjaśnić, jeśli jesteśmy zadowoleni z wprowadzenia sił pokazanych na ryc. 6.10. Zgodnie z tym schematem równowaga jest niemożliwa, ponieważ główny moment wszystkich sił działających na walec М Сz = –Sr jest niezerowy, a jeden z warunków równowagi nie jest spełniony. Powodem tej rozbieżności jest to, że przedstawiamy to ciało jako absolutnie sztywne i zakładamy, że kontakt walca z powierzchnią zachodzi wzdłuż tworzącej. Aby wyeliminować zauważoną rozbieżność między teorią a eksperymentem, należy porzucić hipotezę o absolutnie sztywnym ciele i wziąć pod uwagę, że w rzeczywistości walec i płaszczyzna w pobliżu punktu C są zdeformowane i istnieje pewna powierzchnia styku skończona szerokość. W efekcie cylinder jest dociskany mocniej z prawej strony niż z lewej, a pełna reakcja R jest dołączony po prawej stronie punktu C (patrz punkt C 1 na rys. 6.10, b). Otrzymany schemat działania sił jest statycznie zadawalający, ponieważ moment pary (S, T) można zrównoważyć momentem pary (N, P). W przeciwieństwie do pierwszego schematu (ryc. 6.10, a) do cylindra przykładana jest para sił z momentem M T \u003d Nh. (6.11). Ten moment nazywa się momentem tarcia tocznego. h=Sr/, gdzie h jest odległością od C do C 1 . (6.13). Wraz ze wzrostem modułu siły czynnej S zwiększa się odległość h. Ale ta odległość jest związana z obszarem powierzchni styku i dlatego nie może wzrastać w nieskończoność. Oznacza to, że nastąpi stan, w którym wzrost siły S doprowadzi do braku równowagi. Maksymalną możliwą wartość h oznaczamy literą d. Wartość d jest proporcjonalna do promienia walca i jest różna dla różnych materiałów. Jeśli więc istnieje równowaga, spełniony jest warunek: h<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде М т <=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения M T max =dN пропорционален силе нормального давления.

Centrum Sił Równoległych

Warunki sprowadzenia układu sił równoległych do wypadkowej sprowadza się do jednej nierówności F≠0. Co dzieje się z wypadkową R, gdy linie działania tych sił równoległych są jednocześnie obrócone o ten sam kąt, jeżeli punkty przyłożenia tych sił pozostają niezmienione, a linie działania sił obracają się wokół osi równoległych. W tych warunkach wypadkowa danego układu sił również obraca się jednocześnie o ten sam kąt, a obrót odbywa się wokół pewnego stałego punktu, który nazywamy środkiem sił równoległych. Przejdźmy do dowodu tego twierdzenia. Załóżmy, że dla rozważanego układu sił równoległych F 1 , F 2 ,...,F n wektor główny nie jest równy zeru, dlatego ten układ sił sprowadza się do wypadkowej. Niech punkt O 1 będzie dowolnym punktem na linii działania tej wypadkowej. Niech teraz r będzie wektorem promienia punktu 0 1 względem wybranego bieguna O, a r k będzie wektorem promienia punktu przyłożenia siły F k (rys. 8.1). Zgodnie z twierdzeniem Varignona suma momentów wszystkich sił układu względem punktu 0 1 jest równa zeru: å(r k –r)xF k =0, tj. år k xF k –årxF k =år k xF k –råF k =0. Wprowadźmy wektor jednostkowy e, wtedy każdą siłę F k można przedstawić jako F k = F * k e (gdzie F * k = F h , jeśli kierunek siły F h i wektor e są zbieżne i F * k =–F h , jeśli F k i e są skierowane przeciwnie do siebie); åFk =eåF * k . Otrzymujemy: år k xF * k e–rxeåF * k =0, skąd [år k F * k –råF * k ]xe=0. Ostatnia równość jest spełniona dla dowolnego kierunku sił (tj. kierunku wektora jednostkowego e) tylko wtedy, gdy pierwszy czynnik jest równy zero: år k F * k –råF * k =0. Równanie to ma unikalne rozwiązanie w odniesieniu do wektora promienia r, który wyznacza taki punkt przyłożenia wypadkowej, który nie zmienia swojego położenia przy obrocie linii działania sił. Taki punkt jest środkiem sił równoległych. Oznaczający wektor promienia środka sił równoległych przez r c: r c =(år k F * k)/(åF * k)=(r 1 F * 1 +r 2 F * 2 +…+r n F * n)/ (F * 1 + F * 2 +… + F * n). Niech x c, y c, z c będą współrzędnymi środka sił równoległych, a x k , y k , z k będą współrzędnymi punktu przyłożenia dowolnej siły F k ; wtedy współrzędne środka sił równoległych można znaleźć ze wzorów:

x c =(x k F * k)/(F * k)=(x 1 F * 1 +x 2 F * 2 +…+x n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n ), y c =(y k F * k)/(F * k)=

=(y 1 F * 1 +y 2 F * 2 +…+y n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n), z c =

=(z k F * k)/(åF * k)=(z 1 F * 1 +z 2 F * 2 +…+z n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n)

Wyrażenia x k F * k , y k F * k , z k F * k nazywane są odpowiednio momentami statycznymi danego układu sił względem płaszczyzn współrzędnych yOz, xOz, xOy. Jeżeli początek współrzędnych zostanie wybrany w środku sił równoległych, to x c \u003d y c \u003d z c \u003d 0, a momenty statyczne danego układu sił są równe zeru.

Środek ciężkości

Ciało o dowolnym kształcie, znajdujące się w polu grawitacyjnym, można podzielić odcinkami równoległymi do płaszczyzn współrzędnych na elementarne objętości (ryc. 8.2). Jeśli pominiemy wymiary ciała w porównaniu z promieniem Ziemi, to siły grawitacji działające na każdą elementarną objętość można uznać za równoległe do siebie. Oznaczmy przez DV k objętość elementarnego równoległościanu o środku w punkcie M k (patrz rys. 8.2), a siłę grawitacji działającą na ten element przez DP k . Wtedy średni ciężar właściwy elementu objętościowego jest stosunkiem DP k /DV k . Zaciskając równoległościan do punktu Mk, otrzymujemy ciężar właściwy w tym punkcie ciała jako granicę średniego ciężaru właściwego g(xk,yk,zk)=lim DVk®0 (8.10). Zatem ciężar właściwy jest funkcją współrzędnych, tj. g=g(x, y, z). Przyjmiemy, że wraz z geometrycznymi cechami ciała podany jest również ciężar właściwy w każdym punkcie ciała. Wróćmy do podziału ciała na elementarne objętości. Jeśli wykluczymy objętości tych elementów, które graniczą z powierzchnią ciała, to otrzymamy ciało schodkowe, składające się z zestawu równoległościanów. Przykładamy grawitację do środka każdego równoległościanu DP k =g k DV k , gdzie g h jest ciężarem właściwym w punkcie ciała pokrywającym się ze środkiem równoległościanu. Dla utworzonego w ten sposób układu n równoległych sił grawitacyjnych można znaleźć środek równoległych sił r (n) =(år k DP k)/(åDP k)= (r 1 DP 1 +r 2 DP 2 +… +r n DP n) / (DP 1 +DP 2 +…+DP n). Ten wzór określa położenie pewnego punktu C n . Środek ciężkości to punkt, który jest punktem granicznym dla punktów ~ n jako n®µ.