Rozwiąż zadanie nierówności 15 egzamin. Praca Manova „Nierówności logarytmiczne na egzaminie”
NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE W WYKORZYSTANIU
Sieczin Michaił Aleksandrowicz
Mała Akademia Nauk młodzieży studenckiej Republiki Kazachstanu „Poszukiwacz”
MBOU „Sowietskaja gimnazjum nr 1”, klasa 11, miasto. Sowiecki rejon sowiecki
Gunko Ludmiła Dmitriewna, nauczycielka MBOU „Sowiecka szkoła nr 1”
Okręg sowiecki
Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązania nierówności logarytmiczne C3 przy użyciu niestandardowych metod, identyfikacja interesujące fakty logarytm.
Przedmiot badań:
3) Naucz się rozwiązywać określone nierówności logarytmiczne C3 z wykorzystaniem niestandardowych metod.
Wyniki:
Zadowolony
Wprowadzenie ……………………………………………………………………… .4
Rozdział 1. Tło ………………………………………………… ... 5
Rozdział 2. Zbiór nierówności logarytmicznych ………………………… 7
2.1. Przejścia ekwiwalentne i uogólniona metoda przedziałów …………… 7
2.2. Metoda racjonalizacji ………………………………………………… 15
2.3. Niestandardowa substytucja ……………… ....................................... ......22
2.4. Misje Pułapek ………………………………………………… 27
Wniosek ………………………………………………………………………… 30
Literatura……………………………………………………………………. 31
Wstęp
Jestem w 11 klasie i planuję dostać się na uniwersytet, gdzie temat profilu jest matematyka. I dlatego dużo pracuję nad problemami części C. W zadaniu C3 musisz rozwiązać niestandardową nierówność lub układ nierówności, zwykle kojarzony z logarytmami. Przygotowując się do egzaminu zetknąłem się z problemem braku metod i technik rozwiązywania egzaminacyjnych nierówności logarytmicznych oferowanych w C3. Metody, których uczy się w program nauczania na ten temat nie podawaj podstaw do rozwiązania zadania C3. Nauczycielka matematyki zaprosiła mnie do samodzielnej pracy z zadaniami C3 pod jej kierunkiem. Dodatkowo zainteresowało mnie pytanie: czy logarytmy występują w naszym życiu?
Mając to na uwadze, wybrano temat:
„Nierówności logarytmiczne na egzaminie”
Cel pracy: badanie mechanizmu rozwiązywania problemów C3 z wykorzystaniem niestandardowych metod, ujawnianie interesujących faktów logarytmicznych.
Przedmiot badań:
1) Znajdź niezbędne informacje o niestandardowych metodach rozwiązywania nierówności logarytmicznych.
2) Znajdź więcej informacji o logarytmach.
3) Naucz się rozwiązywać specyficzne zadania C3 z wykorzystaniem niestandardowych metod.
Wyniki:
Praktyczne znaczenie polega na rozbudowie aparatury do rozwiązywania problemów C3. Materiał ten można wykorzystać na niektórych lekcjach, do prowadzenia kręgów, zajęcia dodatkowe matematyka.
Produktem projektu będzie kolekcja „Nierówności logarytmiczne C3 z rozwiązaniami”.
Rozdział 1. Tło
W XVI wieku liczba przybliżonych obliczeń gwałtownie wzrosła, głównie w astronomii. Ulepszanie instrumentów, badanie ruchów planet i inne prace wymagały kolosalnych, czasem wieloletnich obliczeń. Astronomii groziło realne niebezpieczeństwo utonięcia w niezrealizowanych obliczeniach. Trudności pojawiły się w innych obszarach, na przykład w branży ubezpieczeniowej potrzebne były tabele odsetek składanych dla różne znaczenia procent. Główną trudnością było mnożenie, dzielenie liczby wielocyfrowe, zwłaszcza wartości trygonometrycznych.
Odkrycie logarytmów oparto na dobrze znanych właściwościach progresji pod koniec XVI wieku. O komunikacji między członkami postęp geometryczny q, q2, q3, ... i postęp arytmetyczny ich wskaźniki 1, 2, 3, ... powiedział w "Psalmie" Archimedes. Kolejnym warunkiem było rozszerzenie pojęcia stopnia na wskaźniki ujemne i ułamkowe. Wielu autorów zwracało uwagę, że mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęgi i wyciąganie pierwiastka wykładniczo odpowiadają w arytmetyce - w tej samej kolejności - dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu.
Taka była idea logarytmu jako wykładnika.
W historii rozwoju doktryny logarytmów minęło kilka etapów.
Scena 1
Logarytmy zostały wynalezione nie później niż w 1594 roku niezależnie przez szkockiego barona Napiera (1550-1617), a dziesięć lat później przez szwajcarskiego mechanika Burghiego (1552-1632). Obaj chcieli dać nowy wygodny sposób obliczeń arytmetycznych, chociaż podchodzili do tego problemu na różne sposoby. Napier kinematycznie wyraził funkcję logarytmiczną i w ten sposób wszedł w Nowa okolica teoria funkcji. Burghi pozostał na podstawie rozważenia dyskretnych postępów. Jednak definicja logarytmu dla obu nie przypomina współczesnego. Termin „logarytm” (logarytm) należy do Napiera. Powstał z połączenia greckich słów: logos – „relacja” i ariqmo – „liczba”, co oznaczało „liczbę relacji”. Początkowo Napier używał innego terminu: numeri artificiales - "liczby sztuczne", w przeciwieństwie do numeri naturalts - "liczby naturalne".
W 1615 r. w rozmowie z Henrym Briggsem (1561-1631), profesorem matematyki w Gresch College w Londynie, Napier zaproponował, aby przyjąć zero za logarytm jedności i 100 za logarytm dziesięciu, czyli co sprowadza się do to samo, po prostu 1. Tak pojawiły się logarytmy dziesiętne i wydrukowano pierwsze tablice logarytmiczne. Później holenderski księgarz i matematyk Andrian Flakk (1600-1667) uzupełnił tabele Briggsa. Napier i Briggs, chociaż doszli do logarytmów wcześniej niż ktokolwiek inny, opublikowali swoje tabele później niż inni - w 1620 roku. Znaki dziennika i dziennika zostały wprowadzone w 1624 roku przez I. Keplera. Termin „logarytm naturalny” został wprowadzony przez Mengoliego w 1659 roku, a następnie przez N. Mercatora w 1668 roku, a londyński nauczyciel John Speidel opublikował tablice logarytmów naturalnych liczb od 1 do 1000 pod tytułem „New Logarithms”.
W języku rosyjskim pierwsze tablice logarytmiczne opublikowano w 1703 roku. Ale we wszystkich tablicach logarytmicznych popełniono błędy w obliczeniach. Pierwsze bezbłędne tablice zostały opublikowane w 1857 roku w Berlinie, opracowane przez niemieckiego matematyka K. Bremikera (1804-1877).
Etap 2
Dalszy rozwój teorii logarytmów wiąże się z szerszym zastosowaniem geometrii analitycznej i rachunku nieskończenie małej. Od tego czasu datuje się ustalenie związku między kwadraturą hiperboli równobocznej a logarytmem naturalnym. Teoria logarytmów tego okresu związana jest z nazwiskami wielu matematyków.
Niemiecki matematyk, astronom i inżynier Nikolaus Mercator w kompozycji
„Logarytmologia” (1668) podaje szereg, który daje rozwinięcie ln (x + 1) in
potęgi x:
To wyrażenie dokładnie odpowiada tokowi jego myśli, chociaż oczywiście nie używał znaków d, ..., ale bardziej nieporęcznych symboli. Wraz z odkryciem szeregu logarytmicznego zmieniła się technika obliczania logarytmów: zaczęto je wyznaczać za pomocą szeregów nieskończonych. W swoich wykładach „Matematyka elementarna z najwyższego punktu widzenia”, czytanych w latach 1907-1908, F. Klein zaproponował użycie wzoru jako punktu wyjścia do konstrukcji teorii logarytmów.
Etap 3
Definicja funkcji logarytmicznej jako funkcji odwrotności
wykładniczy, logarytm jako wskaźnik stopnia danej podstawy
nie została od razu sformułowana. Pisanie Leonarda Eulera (1707-1783)
Wstęp do analizy nieskończoności (1748) służył jako dalszy
rozwój teorii funkcji logarytmicznej. Zatem,
Od wprowadzenia logarytmów minęło 134 lata
(licząc od 1614) zanim matematycy doszli do definicji
pojęcie logarytmu, które jest obecnie podstawą kursu szkolnego.
Rozdział 2. Zbiór nierówności logarytmicznych
2.1. Przejścia ekwiwalentne i uogólniona metoda przedziałów.
Przejścia ekwiwalentne
jeśli a> 1
jeśli 0 <
а <
1
Uogólniona metoda przedziałowa
Ta metoda jest najbardziej wszechstronna do rozwiązywania nierówności niemal każdego rodzaju. Schemat rozwiązania wygląda tak:
1. Zmniejsz nierówność do postaci, w której funkcja znajduje się po lewej stronie 
, a po prawej 0.
2. Znajdź dziedzinę funkcji .
3. Znajdź zera funkcji czyli rozwiązać równanie 
(a rozwiązanie równania jest zwykle łatwiejsze niż rozwiązanie nierówności).
4. Narysuj dziedzinę i zera funkcji na osi liczbowej.
5. Określ znaki funkcji w uzyskanych odstępach czasu.
6. Wybierz przedziały, w których funkcja przyjmuje żądane wartości i zapisz odpowiedź.
Przykład 1.
Rozwiązanie:
Zastosujmy metodę odstępów
gdzie
Dla tych wartości wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmów są dodatnie.
Odpowiedź:
Przykład 2.
Rozwiązanie:
1st sposób . ODZ definiuje nierówność x> 3. Logarytm dla takich x baza 10, otrzymujemy
Ostatnią nierówność można rozwiązać, stosując reguły dekompozycji, tj. porównywanie współczynników do zera. Jednak w tym przypadku łatwo jest wyznaczyć przedziały stałości funkcji
dlatego można zastosować metodę odstępów.
Funkcjonować F(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ jest ciągłe w x> 3 i znika w punktach x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. W ten sposób definiujemy przedziały stałości funkcji F(x):
Odpowiedź:
Drugi sposób . Zastosujmy idee metody interwałów bezpośrednio do pierwotnej nierówności.
Aby to zrobić, pamiętaj, że wyrażenia a b - a c i ( a - 1)(b- 1) mieć jeden znak. Wtedy nasza nierówność dla x> 3 jest równoznaczne z nierównością
lub
Ostatnia nierówność jest rozwiązywana metodą przedziałów
Odpowiedź:
Przykład 3.
Rozwiązanie:
Zastosujmy metodę odstępów
Odpowiedź:
Przykład 4.
Rozwiązanie:
Od 2 x 2 - 3x+ 3> 0 dla wszystkich prawdziwych x, następnie
Do rozwiązania drugiej nierówności używamy metody interwałów
W pierwszej nierówności dokonujemy wymiany
wtedy dochodzimy do nierówności 2y 2 - tak - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те tak które spełniają nierówność -0,5< tak < 1.
Gdzie, od
uzyskujemy nierówność
który jest wykonywany z tymi x dla których 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Teraz, biorąc pod uwagę rozwiązanie drugiej nierówności systemu, w końcu otrzymujemy
Odpowiedź:
Przykład 5.
Rozwiązanie:
Nierówność jest równoważna zbiorowi systemów
lub
Zastosujmy metodę interwałów lub
Odpowiedź:
Przykład 6.
Rozwiązanie:
Nierówność jest równoważna systemowi
Zostawiać
następnie tak > 0,
i pierwsza nierówność
system przybiera formę
lub rozszerzając
trójmian kwadratowy według czynników,
zastosowanie metody interwałów do ostatniej nierówności,
widzimy, że jej rozwiązania spełniają warunek tak> 0 będzie wszystko tak > 4.
Zatem pierwotna nierówność jest równoważna systemowi:
Tak więc rozwiązania nierówności są wszystkim
2.2. Metoda racjonalizacji.
Wcześniej metoda racjonalizacji nierówności nie była rozwiązana, nie była znana. To jest „nowe nowoczesne skuteczna metoda rozwiązania nierówności wykładniczych i logarytmicznych ”(cytat z książki S. I. Kolesnikova)
A nawet jeśli nauczyciel go znał, to była obawa - ale czy on wie? ekspert egzaminacyjny, dlaczego nie dają tego w szkole? Zdarzały się sytuacje, gdy nauczyciel mówił do ucznia: „Gdzie to masz? Usiądź - 2.”
Metoda jest obecnie szeroko promowana. A dla ekspertów jest wytyczne związanych z tą metodą oraz w „Najbardziej kompletnych wydaniach standardowe opcje...” rozwiązanie C3 wykorzystuje tę metodę.
WSPANIAŁA METODA!
"Magiczny stół"
W innych źródłach
Jeśli a> 1 i b> 1, następnie log a b> 0 i (a -1) (b -1)> 0;
Jeśli a> 1 i 0 jeśli 0<a<1 и b
>1, a następnie zarejestruj b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jeśli 0<a<1 и 00 i (a-1) (b-1)> 0. Powyższe rozumowanie jest proste, ale wyraźnie upraszcza rozwiązywanie nierówności logarytmicznych. Przykład 4.
log x (x 2 -3)<0
Rozwiązanie:
Przykład 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Rozwiązanie: Przykład 6.
Aby rozwiązać tę nierówność, zamiast mianownika napiszemy (x-1-1) (x-1), a zamiast licznika napiszemy iloczyn (x-1) (x-3-9 + x ). Przykład 7.
Przykład 8.
2.3. Niestandardowa zamiana. Przykład 1.
Przykład 2.
Przykład 3.
Przykład 4.
Przykład 5.
Przykład 6.
Przykład 7.
log 4 (3 x -1) log 0.25 Zróbmy podstawienie y = 3 x -1; wtedy ta nierówność przybiera formę Log 4 log 0.25 Ponieważ log 0,25 Dokonujemy zmiany t = log 4 y i otrzymujemy nierówność t 2 -2 t + ≥ 0, której rozwiązaniem są przedziały - Tak więc, aby znaleźć wartości y, mamy zbiór dwóch najprostszych nierówności Dlatego pierwotna nierówność jest równoważna zbiorowi dwóch nierówności wykładniczych, Rozwiązaniem pierwszej nierówności tego zbioru jest przedział 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Przykład 8.
Rozwiązanie:
Nierówność jest równoważna systemowi Rozwiązaniem drugiej nierówności, która determinuje DHS, będzie zbiór tych x,
dla którego x > 0.
Aby rozwiązać pierwszą nierówność, dokonujemy podstawienia Wtedy uzyskujemy nierówność lub Zbiór rozwiązań ostatniej nierówności znajduje się metodą interwały: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, dostajemy lub Wiele z nich x które zaspokajają ostatnią nierówność należy do ODZ ( x> 0), zatem jest rozwiązaniem systemu i stąd pierwotna nierówność. Odpowiedź: 2.4. Zadania z pułapkami. Przykład 1.
Rozwiązanie. Wszystkie nierówności ODZ są x spełniają warunek 0 Przykład 2.
log 2 (2 x + 1-x 2)> log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Odpowiedź... (0; 0,5) U.
Odpowiedź :
(3;6)
.
= -log 4 = - (log 4 y -log 4 16) = 2-log 4 y, następnie przepisz ostatnią nierówność jako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Rozwiązaniem tego zbioru są interwały 0<у≤2 и 8≤у<+.
czyli agregaty 
... Zatem pierwotna nierówność obowiązuje dla wszystkich wartości x z przedziałów 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Dlatego wszystkie x z przedziału 0
Wniosek
Nie było łatwo znaleźć specjalne metody rozwiązywania problemów C3 z dużej ilości różnych źródeł edukacyjnych. W trakcie wykonanej pracy mogłem zbadać niestandardowe metody rozwiązywania złożonych nierówności logarytmicznych. Są to: przejścia ekwiwalentne i uogólniona metoda przedziałów, metoda racjonalizacji , niestandardowa substytucja , zadania z pułapkami na ODZ. Te metody są nieobecne w szkolnym programie nauczania.
Wykorzystując różne metody rozwiązałem 27 nierówności zaproponowanych na egzaminie w części C, czyli C3. Te nierówności z rozwiązaniami metodami stały się podstawą zbioru „Nierówności logarytmiczne C3 z rozwiązaniami”, który stał się produktem projektowym mojej pracy. Potwierdziła się hipoteza, którą postawiłem na początku projektu: zadania C3 można skutecznie rozwiązać, znając te metody.
Dodatkowo znalazłem ciekawe fakty dotyczące logarytmów. To było dla mnie interesujące. Moje produkty projektowe przydadzą się zarówno uczniom, jak i nauczycielom.
Wnioski:
Tym samym osiągnięto założony cel projektu, problem został rozwiązany. I zdobyłem najbardziej kompletne i wszechstronne doświadczenie w działaniach projektowych na wszystkich etapach pracy. W trakcie pracy nad projektem mój główny wpływ rozwojowy miał na kompetencje umysłowe, czynności związane z logicznymi operacjami umysłowymi, rozwój kompetencji twórczych, inicjatywę osobistą, odpowiedzialność, wytrwałość, aktywność.
Gwarancja sukcesu przy tworzeniu projektu badawczego dla Stałem się: dużym doświadczeniem szkolnym, umiejętnością wydobywania informacji z różnych źródeł, sprawdzania ich wiarygodności, uszeregowania według ważności.
Oprócz bezpośredniej wiedzy przedmiotowej z matematyki poszerzył swoje umiejętności praktyczne z zakresu informatyki, zdobył nową wiedzę i doświadczenie z zakresu psychologii, nawiązał kontakty z kolegami z klasy, nauczył się współpracy z dorosłymi. W trakcie działań projektowych rozwinięto organizacyjne, intelektualne i komunikacyjne ogólne umiejętności i zdolności edukacyjne.
Literatura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Układy nierówności z jedną zmienną (typowe zadania C3).
2. Malkova A. G. Przygotowanie do egzaminu z matematyki.
3. Samarova SS Rozwiązanie nierówności logarytmicznych.
4. Matematyka. Zbiór prac szkoleniowych pod redakcją A.L. Siemionowa i I.V. Jaszczenko. -M .: MTsNMO, 2009 .-- 72 s. -
Sekcje: Matematyka
Często przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych pojawiają się problemy ze zmienną podstawą logarytmu. A więc nierówność formy
to standardowa nierówność szkolna. Z reguły, aby go rozwiązać, stosuje się przejście do równoważnego zestawu systemów:
Wadą tej metody jest konieczność rozwiązania siedmiu nierówności, nie licząc dwóch układów i jednego zbioru. Już przy danych funkcjach kwadratowych rozwiązanie zbioru może być czasochłonne.
Można zaproponować alternatywny, mniej pracochłonny sposób rozwiązania tej standardowej nierówności. W tym celu bierzemy pod uwagę następujące twierdzenie.
Twierdzenie 1. Niech ciągła rosnąca funkcja na zbiorze X. Wtedy na tym zbiorze znak przyrostu funkcji będzie pokrywał się ze znakiem przyrostu argumentu, czyli , gdzie 
.
Uwaga: jeśli funkcja ciągłego zmniejszania na zbiorze X, to.
Wróćmy do nierówności. Przejdźmy do logarytmu dziesiętnego (możesz przejść do dowolnego o stałej podstawie większej niż jeden).
Teraz możesz użyć twierdzenia, zaznaczając w liczniku przyrost funkcji 
i w mianowniku. Więc to prawda
W rezultacie liczba obliczeń prowadzących do odpowiedzi jest w przybliżeniu o połowę zmniejszona, co nie tylko oszczędza czas, ale także pozwala potencjalnie popełnić mniej błędów arytmetycznych i „niedbałości”.
Przykład 1.
W porównaniu z (1) znajdujemy 
, 
, .
Przechodząc do (2) będziemy mieli:
Przykład 2.
W porównaniu z (1) znajdujemy ,,.
Przechodząc do (2) będziemy mieli:
Przykład 3.
Ponieważ lewa strona nierówności jest funkcją rosnącą dla i 
, to odpowiedź jest ustawiona.
Zbiór przykładów, w których można zastosować Twierdzenie 1, można łatwo rozszerzyć, jeśli weźmiemy pod uwagę Twierdzenie 2.
Niech na planie x funkcje ,,, i na tym zestawie znaki i pokrywają się, tj. wtedy będzie sprawiedliwie.
Przykład 4.
Przykład 5.
Przy standardowym podejściu przykład jest rozwiązywany według schematu: iloczyn jest mniejszy od zera, gdy czynniki mają przeciwne znaki. Te. rozpatrywany jest zbiór dwóch systemów nierówności, w których, jak wskazano na wstępie, każda nierówność dzieli się na siedem kolejnych.
Jeśli weźmiemy pod uwagę Twierdzenie 2, to każdy z czynników, biorąc pod uwagę (2), można zastąpić inną funkcją, która ma ten sam znak w tym przykładzie O.D.Z.
Metoda zastępowania przyrostu funkcji przyrostem argumentu z uwzględnieniem Twierdzenia 2 okazuje się bardzo wygodna przy rozwiązywaniu typowych problemów C3 egzaminu.
Przykład 6.
Przykład 7.
... Oznaczmy. dostajemy
... Zauważ, że zastąpienie oznacza:. Wracając do równania, otrzymujemy
.
Przykład 8.
W twierdzeniach, których używamy, nie ma ograniczeń co do klas funkcji. Na przykład w tym artykule twierdzenia zostały zastosowane do rozwiązywania nierówności logarytmicznych. Kilka następnych przykładów pokaże obiecującą metodę rozwiązywania innych rodzajów nierówności.
Artykuł poświęcony jest analizie 15 zadań z profilu USE w matematyce za rok 2017. W zadaniu tym studentom proponuje się rozwiązanie nierówności, najczęściej logarytmicznych. Chociaż mogą być orientacyjne. W artykule przedstawiono analizę przykładów nierówności logarytmicznych, w tym zawierających zmienną u podstawy logarytmu. Wszystkie przykłady są zaczerpnięte z otwartego banku zadań USE z matematyki (profil), więc takie nierówności prawdopodobnie natkną się na Ciebie na egzaminie jako zadanie 15. Idealne dla tych, którzy chcą nauczyć się, jak rozwiązać zadanie 15 z drugiej części profil UŻYWAJ w krótkim czasie z matematyki, aby uzyskać więcej punktów na egzaminie.
Analiza 15 zadań z egzaminu profilowego z matematyki
| Przykład 1. Rozwiąż nierówność: |
W zadaniach 15 USE w matematyce (profil) często spotyka się nierówności logarytmiczne. Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych rozpoczyna się od określenia zakresu dopuszczalnych wartości. W tym przypadku nie ma zmiennej u podstawy obu logarytmów, jest tylko liczba 11, co znacznie upraszcza zadanie. Dlatego jedynym ograniczeniem, jakie tu mamy, jest to, że oba wyrażenia pod znakiem logarytmu są dodatnie:
Title = "(! LANG: Renderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Pierwsza nierówność w systemie to nierówność kwadratowa. Aby go rozwiązać, naprawdę nie zaszkodziłoby rozłożenie na czynniki lewej strony. Myślę, że wiesz, że każdy trójmian kwadratowy formy 
rozłożone na czynniki w następujący sposób:
gdzie i są pierwiastkami równania. W tym przypadku współczynnik wynosi 1 (jest to współczynnik liczbowy przed). Współczynnik również wynosi 1, a współczynnik to wyraz wolny, to jest -20. Pierwiastki trójmianu najłatwiej określić za pomocą twierdzenia Viety. Równanie, które podaliśmy, więc suma pierwiastków będzie równa współczynnikowi o przeciwnym znaku, czyli -1, a iloczyn tych pierwiastków będzie równy współczynnikowi, czyli -20. Łatwo zgadnąć, że korzenie będą miały -5 i 4.
Teraz lewa strona nierówności może zostać rozłożona na czynniki: title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} x w punktach -5 i 4. Zatem pożądanym rozwiązaniem nierówności jest przedział. Dla tych, którzy nie rozumieją, co tu jest napisane, szczegóły można zobaczyć w filmie, zaczynając od tego momentu. Znajdziesz tam również szczegółowe wyjaśnienie, w jaki sposób rozwiązana jest druga nierówność systemu. To jest rozwiązywane. Co więcej, odpowiedź jest dokładnie taka sama, jak w przypadku pierwszej nierówności systemu. Czyli zestaw opisany powyżej to zakres dopuszczalnych wartości nierówności.
Tak więc, biorąc pod uwagę faktoryzację, pierwotna nierówność przyjmuje postać:
Korzystając ze wzoru, wprowadzamy 11 do potęgi wyrażenia pod znakiem pierwszego logarytmu i przesuwamy drugi logarytm na lewą stronę nierówności, zmieniając jego znak na przeciwny:
Po redukcji otrzymujemy:
Ostatnia nierówność, ze względu na wzrost funkcji, jest równoważna nierówności 
, którego rozwiązaniem jest przedział 
... Pozostaje przeciąć go zakresem dopuszczalnych wartości nierówności, a to będzie odpowiedź na całe zadanie.
Tak więc pożądana odpowiedź na zadanie to:
Wymyśliliśmy to zadanie, teraz przechodzimy do następnego przykładu zadania 15 USE w matematyce (profil).
| Przykład 2. Rozwiąż nierówność:
|
Rozwiązanie rozpoczynamy od określenia zakresu dopuszczalnych wartości tej nierówności. U podstawy każdego logarytmu musi znajdować się liczba dodatnia, która nie jest równa 1. Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu muszą być dodatnie. W mianowniku ułamka nie powinno być zera. Ostatni warunek jest równoważny temu, ponieważ tylko w przeciwnym razie oba logarytmy w mianowniku znikają. Wszystkie te warunki wyznaczają zakres dopuszczalnych wartości tej nierówności, który określa następujący układ nierówności:
Title = "(! LANG: Renderowane przez QuickLaTeX.com">!}
W zakresie poprawnych wartości możemy użyć wzorów przekształcenia logarytmów w celu uproszczenia lewej strony nierówności. Korzystanie z formuły 
pozbądź się mianownika:
Teraz mamy tylko logarytmy podstawowe. To już jest wygodniejsze. Następnie posługujemy się formułą, a także formułą, aby wyrażenie godne chwały sprowadzić do następującej postaci:
W obliczeniach wykorzystaliśmy to, co mieści się w zakresie dopuszczalnych wartości. Używając zamiennika, dochodzimy do wyrażenia:
Używamy jeszcze jednego zamiennika:. W rezultacie dochodzimy do następującego wyniku:
Tak więc stopniowo wracamy do pierwotnych zmiennych. Najpierw do zmiennej:
Ładowanie...