Przykłady na temat równań wykładniczych. Równania potęgowe lub wykładnicze
Nie daj się zastraszyć moimi słowami, spotkałeś się już z tą metodą w 7 klasie, kiedy studiowałeś wielomiany.
Na przykład, jeśli potrzebujesz:
Pogrupujmy: pierwszy i trzeci termin, a także drugi i czwarty.
Oczywiste jest, że pierwszy i trzeci to różnica kwadratów:
a drugi i czwarty mają wspólny czynnik równy trzy:
Wtedy oryginalne wyrażenie jest równoważne z tym:
Gdzie wyjąć wspólny czynnik, nie jest już trudny:
W konsekwencji,
W przybliżeniu tak będziemy postępować przy rozwiązywaniu równań wykładniczych: poszukaj „wspólności” wśród terminów i umieść to poza nawiasami, no cóż - co się stanie, wierzę, że będziemy mieli szczęście =))
Przykład nr 14
Po prawej daleko jest do stopnia siódmego (sprawdzałem!) A po lewej - niewiele lepiej...
Możesz oczywiście "odciąć" mnożnik a od drugiego z pierwszego wyrazu, a potem zająć się wynikiem, ale zróbmy to z tobą ostrożniej.
Nie chcę zajmować się ułamkami, które nieuchronnie wynikają z „podkreślania”, więc czy nie byłoby lepiej, gdybym zniósł?
Wtedy nie będę miał ułamków: jak mówią wilki są karmione, a owce bezpieczne:
Policz wyrażenie w nawiasach.
W magiczny, magiczny sposób okazuje się, że (zaskakujące, choć czego innego możemy się spodziewać?).
Wtedy anulujemy obie strony równania o ten czynnik. Otrzymujemy: skąd.
Oto bardziej skomplikowany przykład (tak naprawdę trochę):
Co za kłopot! Nie mamy tu jednej wspólnej płaszczyzny!
Nie jest do końca jasne, co teraz zrobić.
Zróbmy, co możemy: najpierw przesuńmy „czwórki” na jedną stronę, a „piątki” na drugą:
Teraz przesuńmy „wspólne” w lewo i prawo:
Co teraz?
Jaka jest korzyść z tak głupiej grupy? Na pierwszy rzut oka w ogóle nie widać, ale przyjrzyjmy się głębiej:
Cóż, teraz zrobimy to tak, że po lewej stronie mamy tylko wyrażenie z, a po prawej - wszystko inne.
Jak to robimy?
A oto jak: Najpierw podziel obie strony równania przez (w ten sposób pozbędziemy się stopnia po prawej), a następnie podziel obie strony przez (w ten sposób pozbędziemy się współczynnika liczbowego po lewej).
W końcu otrzymujemy:
Niesamowity!
Po lewej stronie mamy wyrażenie, a po prawej proste.
Wtedy od razu dochodzimy do wniosku, że
Przykład nr 15
przyprowadzę go krótkie rozwiązanie(nie zawracaj sobie głowy wyjaśnieniami), spróbuj sam wymyślić wszystkie „subtelności” rozwiązania.
Teraz ostateczna konsolidacja przekazanego materiału.
Samodzielne rozwiązywanie następujących 7 problemów (z odpowiedziami)
- Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:
- Reprezentujemy pierwsze wyrażenie w postaci:, podziel obie części na i zdobądź to
- , wtedy oryginalne równanie jest przekształcane do postaci: No to teraz podpowiedź - spójrz, gdzie ty i ja już rozwiązaliśmy to równanie!
- Wyobraź sobie, jak, jak i, cóż, podziel obie części przez, aby otrzymać najprostsze równanie wykładnicze.
- Wyjmij wsporniki.
- Wyjmij wsporniki.
Równania eksploracyjne. ŚREDNI POZIOM
Zakładam, że po przeczytaniu pierwszego artykułu, który opowiadał czym są równania wykładnicze i jak je rozwiązywać opanowałeś niezbędne minimum wiedza wymagana do rozwiązywania najprostszych przykładów.
Teraz przeanalizuję inną metodę rozwiązywania równań wykładniczych, to ...
Sposób wprowadzenia nowej zmiennej (lub zamiennika)
Rozwiązuje większość „trudnych” problemów na temat równań wykładniczych (i nie tylko).
Ta metoda jest jedną z najczęściej stosowany w praktyce. Na początek polecam zapoznać się z tematem.
Jak już zrozumiałeś z nazwy, istotą tej metody jest wprowadzenie takiej zmiany zmiennej, aby twoje równanie wykładnicze cudownie przekształciło się w takie, które możesz już łatwo rozwiązać.
Po rozwiązaniu tego bardzo „uproszczonego równania” pozostaje ci tylko dokonać „odwrotnej wymiany”, czyli powrotu z zastąpionego do zastąpionego.
Zilustrujmy to, co właśnie powiedzieliśmy, bardzo prostym przykładem:
Przykład 16. Prosta metoda substytucji
To równanie jest rozwiązywane za pomocą "Prosta wymiana" matematycy nazywają to pogardliwie.
Rzeczywiście, zastąpienie tutaj jest najbardziej oczywiste. Trzeba tylko to zobaczyć
Wtedy pierwotne równanie zmieni się w to:
Jeśli dodatkowo wyobrazisz sobie jak, to jest całkiem jasne, co należy wymienić ...
Oczywiście, .
W co zatem zmieni się pierwotne równanie? A oto co:
Możesz łatwo znaleźć jego korzenie na własną rękę:.
Co powinniśmy teraz zrobić?
Czas wrócić do pierwotnej zmiennej.
Co zapomniałem wskazać?
Mianowicie: przy wymianie pewnego stopnia na nową zmienną (czyli przy zmianie widoku) będę zainteresowany tylko pozytywne korzenie!
Sam możesz łatwo odpowiedzieć, dlaczego.
Tak więc ty i ja nie jesteśmy zainteresowani, ale drugi korzeń jest dla nas całkiem odpowiedni:
Więc gdzie.
Odpowiadać:
Jak widać, w poprzednim przykładzie zamiennik został poproszony o to, aby znalazł się w naszych rękach. Niestety, nie zawsze tak jest.
Nie przechodźmy jednak od razu do smutku, ale poćwiczmy z jeszcze jednym przykładem z dość prostym zamiennikiem
Przykład 17 Prosta metoda substytucji
Oczywiste jest, że najprawdopodobniej będzie musiał zostać wymieniony (jest to najmniejszy ze stopni zawartych w naszym równaniu).
Jednak przed wprowadzeniem zamiennika musimy "przygotować" na to nasze równanie, a mianowicie:,.
Następnie możesz wymienić, w wyniku otrzymuję następujące wyrażenie:
O zgrozo: równanie sześcienne z całkowicie przerażającymi wzorami na jego rozwiązanie (cóż, mówiąc ogólnie).
Ale nie rozpaczajmy od razu, ale zastanówmy się, co robić.
Zaproponuję oszukać: wiemy, że aby uzyskać „fajną” odpowiedź, musimy ją uzyskać w postaci jakiejś potęgi trójki (dlaczego by tak było?).
Spróbujmy odgadnąć przynajmniej jeden pierwiastek z naszego równania (zacznę zgadywać z potęgami trzech).
Pierwsze założenie. To nie jest korzeń. Niestety i ach ...
.
Lewa strona jest równa.
Prawa część: !
Jest! Zgadłeś pierwszy korzeń. Teraz będzie łatwiej!
Czy znasz schemat podziału „narożnego”? Oczywiście wiesz, że używasz go, gdy dzielisz jedną liczbę przez drugą.
Ale niewiele osób wie, że to samo można zrobić z wielomianami.
Jest jedno wielkie twierdzenie:
W odniesieniu do mojej sytuacji mówi mi to, przez co jest podzielne.
Jak przebiega podział? Właśnie tak:
Patrzę, który jednomian muszę pomnożyć, aby uzyskać
Oczywiste jest, że wtedy:
Odejmij wynikowe wyrażenie od, uzyskaj:
Co teraz muszę pomnożyć, aby otrzymać?
Oczywiste jest, że dalej otrzymam:
i ponownie odejmij wynikowe wyrażenie od pozostałego:
Cóż, ostatni krok pomnożę przez i odejmę od pozostałego wyrażenia:
Hurra, podział się skończył! Co zaoszczędziliśmy prywatnie?
Samodzielnie: .
Następnie otrzymaliśmy następującą dekompozycję oryginalnego wielomianu:
Rozwiążmy drugie równanie:
Ma korzenie:
Następnie oryginalne równanie:
ma trzy korzenie:
Oczywiście odrzucimy ostatni korzeń, ponieważ jest mniejszy od zera.
A pierwsze dwa po odwrotnej wymianie dadzą nam dwa pierwiastki:
Odpowiadać: ..
Nie chciałem cię przestraszyć tym przykładem!
Wręcz przeciwnie, moim celem było pokazanie, że chociaż mieliśmy dość prostą zamianę, to jednak doprowadziło to do dość złożonego równania, którego rozwiązanie wymagało od nas pewnych specjalnych umiejętności.
Cóż, nikt nie jest na to odporny. Ale wymiana w tym przypadku była dość oczywista.
Przykład nr 18 (z mniej oczywistym zamiennikiem)
Wcale nie jest jasne, co powinniśmy zrobić: problem polega na tym, że w naszym równaniu istnieją dwie różne podstawy i jednej podstawy nie można uzyskać z drugiej przez podniesienie do żadnego (rozsądnego, naturalnie) stopnia.
Co jednak widzimy?
Obie bazy różnią się tylko znakiem, a ich iloczynem jest różnica kwadratów równa jeden:
Definicja:
Tak więc liczby będące podstawami w naszym przykładzie są sprzężone.
W takim przypadku sprytnym posunięciem byłoby pomnóż obie strony równania przez liczbę sprzężoną.
Na przykład, wtedy lewa strona równanie stanie się równe i właściwe.
Jeśli dokonamy podstawienia, to nasze pierwotne równanie z tobą wygląda tak:
jego korzenie, a pamiętając o tym, otrzymujemy to.
Odpowiadać: , .
Z reguły do rozwiązania większości „szkolnych” równań wykładniczych wystarcza metoda zastępowania.
Następne zadania podwyższony poziom trudności są pobierane z opcji USE.
Trzy zadania o zwiększonej złożoności z opcji egzaminu
Jesteś już wystarczająco kompetentny, aby samodzielnie rozwiązać te przykłady. Dam tylko wymaganą wymianę.
- Rozwiązać równanie:
- Znajdź pierwiastki równania:
- Rozwiązać równanie:. Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania, które należą do segmentu:
A teraz krótkie wyjaśnienia i odpowiedzi:
Przykład nr 19
Tutaj wystarczy nam to zauważyć i.
Wtedy oryginalne równanie będzie równoważne temu:
To równanie jest rozwiązywane przez zastąpienie
Wykonaj dalsze obliczenia samodzielnie.
Ostatecznie twoje zadanie zostanie zredukowane do rozwiązania najprostszego trygonometrycznego (w zależności od sinusa lub cosinusa). Przeanalizujemy rozwiązanie takich przykładów w innych sekcjach.
Przykład nr 20
Możesz nawet obejść się bez wymiany tutaj ...
Wystarczy przesunąć odejmowaną w prawo i przedstawić obie bazy przez potęgi dwójki, a następnie przejść bezpośrednio do równania kwadratowego.
Przykład nr 21
Jest również rozwiązywany w dość standardowy sposób: wyobraź sobie, jak.
Następnie zastępując otrzymujemy równanie kwadratowe: wtedy,
Czy wiesz już, co to jest logarytm? Nie? W takim razie przeczytaj pilnie temat!
Pierwszy korzeń oczywiście nie należy do segmentu, a drugi jest niezrozumiały!
Ale wkrótce się dowiemy!
Od tego czasu (jest to własność logarytmu!)
Odejmij od obu części, to otrzymamy:
Lewa strona może być reprezentowana jako:
pomnóż obie części przez:
można pomnożyć przez, wtedy
Następnie porównajmy:
ponieważ wtedy:
Wtedy drugi pierwiastek należy do wymaganego przedziału
Odpowiadać:
Jak widzisz, dobór pierwiastków równań wykładniczych wymaga dostatecznego głęboka wiedza własności logarytmów więc radzę być jak najbardziej ostrożnym przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.
Jak możesz sobie wyobrazić, w matematyce wszystko jest ze sobą połączone!
Jak mawiał mój nauczyciel matematyki: „Matematyka, podobnie jak historia, nie można czytać z dnia na dzień”.
Z reguły wszystkie trudność w rozwiązywaniu problemów o podwyższonym poziomie złożoności polega właśnie na wyborze pierwiastków równania.
Kolejny przykład na szkolenie ...
Przykład 22
Oczywiste jest, że samo równanie jest dość proste do rozwiązania.
Dokonując podstawienia, sprowadzimy nasze pierwotne równanie do następującego:
Najpierw zastanówmy się pierwszy korzeń.
Porównaj i: od tego czasu. (własność funkcji logarytmicznej, w).
Wtedy jasne jest, że pierwszy pierwiastek też nie należy do naszego przedziału.
Teraz drugi korzeń:. Jasne jest, że (ponieważ funkcja at rośnie).
Pozostaje porównać i.
od tego czasu w tym samym czasie.
W ten sposób mogę „wbić kołek” między a.
Ten kołek to liczba.
Pierwsze wyrażenie jest mniejsze, a drugie większe.
Potem drugie wyrażenie więcej niż pierwszy a korzeń należy do przęsła.
Odpowiadać: .
Na zakończenie spójrzmy na inny przykład równania, w którym podstawienie jest dość niestandardowe.
Przykład nr 23 (Równanie z niestandardowym podstawieniem!)
Zacznijmy od razu, co możesz zrobić, a co - w zasadzie możesz, ale lepiej tego nie robić.
Możesz - reprezentować wszystko mocami trzech, dwóch i sześciu.
Dokąd to prowadzi?
Tak, to do niczego nie doprowadzi: mieszanka stopni, a niektórych z nich trudno będzie się pozbyć.
Co więc jest potrzebne?
Zwróćmy uwagę, że
A co nam to da?
I fakt, że możemy zredukować rozwiązanie tego przykładu do rozwiązania dość prostego równania wykładniczego!
Najpierw przepiszmy nasze równanie jako:
Teraz dzielimy obie strony wynikowego równania przez:
Eureko! Teraz możemy wymienić, otrzymujemy:
Cóż, teraz twoja kolej na rozwiązanie problemów z demonstracją, a ja dam im tylko krótkie uwagi, aby nie zbłądzić! Powodzenia!
Przykład nr 24
Najtrudniejszy!
Nie jest łatwo znaleźć zamiennik tutaj! Niemniej jednak ten przykład można całkowicie rozwiązać za pomocą wybór pełnego kwadratu.
Aby go rozwiązać, wystarczy zauważyć, że:
Oto zamiennik dla Ciebie:
(Należy pamiętać, że tutaj, podczas naszej wymiany, nie możemy porzucić ujemnego korzenia !!! A jak myślisz?)
Teraz, aby rozwiązać ten przykład, musisz rozwiązać dwa równania:
Oba z nich rozwiązuje „standardowa wymiana” (ale druga w jednym przykładzie!)
Przykład nr 25
2. Zanotuj to i dokonaj wymiany.
Przykład nr 26
3. Rozłóż liczbę na czynniki względnie pierwsze i uprość wynikowe wyrażenie.
Przykład nr 27
4. Podziel licznik i mianownik ułamka przez (lub, jeśli wolisz) i zastąp lub.
Przykład nr 28
5. Zauważ, że liczby i są sprzężone.
ROZWIĄZANIE EKSPRESOWYCH RÓWNAŃ METODĄ LOGARYFIKACJI. POZIOM ZAAWANSOWANY
Ponadto rozważmy inny sposób - rozwiązywanie równań wykładniczych metodą logarytmiczną.
Nie mogę powiedzieć, że rozwiązywanie równań wykładniczych tą metodą jest bardzo popularne, ale w niektórych przypadkach tylko to może nas doprowadzić do dobra decyzja nasze równanie.
Jest szczególnie często używany do rozwiązywania tzw. mieszane równania": To znaczy te, w których spotykają się funkcje różnych typów.
Przykład nr 29
w ogólnym przypadku można go rozwiązać tylko logarytmem obu stron (na przykład przez podstawę), w którym pierwotne równanie zamienia się w:
Spójrzmy na następujący przykład:
Oczywiste jest, że zgodnie z ODZ funkcji logarytmicznej jesteśmy zainteresowani tylko.
Wynika to jednak nie tylko z ODZ logarytmu, ale z innego powodu.
Myślę, że nie będzie Ci trudno odgadnąć, który.
Zapiszmy obie strony naszego równania do bazy:
Jak widać, logarytmowanie naszego pierwotnego równania wystarczająco szybko doprowadziło nas do prawidłowej (i pięknej!) odpowiedzi.
Przećwiczmy jeszcze jeden przykład.
Przykład nr 30
Tutaj też nie ma nic złego: logarytmujemy obie strony równania przez podstawę, a następnie otrzymujemy:
Zróbmy wymianę:
Jednak czegoś nam brakuje! Czy zauważyłeś, gdzie popełniłem błąd? W końcu wtedy:
który nie spełnia wymagań (pomyśl, skąd się wziął!)
Odpowiadać:
Spróbuj napisać rozwiązanie poniższych równań wykładniczych:
Teraz sprawdź swoją decyzję przeciwko temu:
Przykład nr 31
Logarytm obu stron do podstawy, biorąc pod uwagę, że:
(drugi korzeń nam nie odpowiada z powodu wymiany)
Przykład nr 32
Podstawa logarytmu:
Przekształćmy wynikowe wyrażenie do następującej postaci:
Równania eksploracyjne. KRÓTKI OPIS I PODSTAWOWE FORMUŁY
Równanie wykładnicze
Równanie postaci:
zwany najprostsze równanie wykładnicze.
Właściwości mocy
Podejścia do rozwiązania
- Rzucanie do tej samej bazy
- Konwersja do tego samego wykładnika
- Zmienna wymiana
- Uproszczenie wyrażenia i zastosowania jednego z powyższych.
Na etapie przygotowań do testu końcowego starsi studenci muszą poszerzyć swoją wiedzę na temat „Równania wykładnicze”. Doświadczenie ostatnich lat pokazuje, że takie zadania powodują pewne trudności dla uczniów. Dlatego uczniowie szkół średnich, niezależnie od poziomu wyszkolenia, muszą gruntownie opanować teorię, zapamiętać formuły i zrozumieć zasadę rozwiązywania takich równań. Absolwenci, którzy nauczyli się radzić sobie z tego typu zadaniami, będą mogli liczyć wysokie noty podczas zdania egzaminu z matematyki.
Przygotuj się na testy egzaminacyjne ze Szkołkowo!
Przeglądając omawiane materiały, wielu uczniów boryka się z problemem znalezienia wzorów potrzebnych do rozwiązania równań. Podręcznik szkolny nie zawsze jest pod ręką, a wybór niezbędnych informacji na dany temat w Internecie zajmuje dużo czasu.
Portal edukacyjny „Szkolkowo” zaprasza uczniów do korzystania z naszej bazy wiedzy. Wdrażamy zupełnie nową metodę przygotowania do testów końcowych. Studiując na naszej stronie, będziesz w stanie zidentyfikować luki w wiedzy i zwrócić uwagę na dokładnie te zadania, które sprawiają największe trudności.
Nauczyciele Szkołkowo zebrali, usystematyzowali i przedstawili wszystko, co niezbędne do odniesienia sukcesu zdanie egzaminu materiał w najprostszej i najbardziej przystępnej formie.
Podstawowe definicje i wzory zostały przedstawione w dziale „Odniesienia teoretyczne”.
Dla lepszego przyswojenia materiału zalecamy ćwiczenie zadań. Uważnie przejrzyj przykłady równań wykładniczych z rozwiązaniem przedstawionym na tej stronie, aby zrozumieć algorytm obliczeniowy. Następnie przejdź do zadań w sekcji „Katalogi”. Możesz zacząć od najłatwiejszych problemów lub przejść od razu do rozwiązywania złożonych równań wykładniczych z kilkoma niewiadomymi lub. Baza ćwiczeń na naszej stronie jest stale uzupełniana i aktualizowana.
Te przykłady ze wskaźnikami, które sprawiły Ci trudności, możesz dodać do swoich Ulubionych. W ten sposób możesz szybko je znaleźć i omówić rozwiązanie z instruktorem.
Aby pomyślnie zdać jednolity egzamin państwowy, codziennie ucz się na portalu Shkolkovo!
Na kanale YouTube naszej witryny, aby być na bieżąco z wszystkimi nowymi lekcjami wideo.
Na początek przypomnijmy podstawowe wzory stopni i ich własności.
Iloczyn liczby a zdarza się n razy, możemy zapisać to wyrażenie jako a a ... a = a n
1.a 0 = 1 (a 0)
3.a n za m = za n + m
4. (a n) m = a nm
5.a n b n = (ab) n
7.a n / za m = za n - m
Równania potęgowe lub wykładnicze- są to równania, w których zmienne są potęgowane (lub wykładniki), a podstawą jest liczba.
Przykłady równań wykładniczych:
W ten przykład liczba 6 to podstawa, zawsze stoi na dole, a zmienna x stopień lub wskaźnik.
Oto kilka przykładów równań wykładniczych.
2 x * 5 = 10
16 x - 4 x - 6 = 0
Spójrzmy teraz, jak rozwiązywane są równania wykładnicze?
Weźmy proste równanie:
2 x = 2 3
Taki przykład można rozwiązać nawet w umyśle. Widać, że x = 3. W końcu, aby lewa i prawa strona były równe, musisz wstawić cyfrę 3 zamiast x.
Zobaczmy teraz, jak to rozwiązanie musi zostać sformalizowane:
2 x = 2 3
x = 3
Aby rozwiązać takie równanie, usunęliśmy identyczne podstawy(czyli dwójki) i zapisałem to, co zostało, to są stopnie. Otrzymaliśmy pożądaną odpowiedź.
Podsumujmy teraz naszą decyzję.
Algorytm rozwiązywania równania wykładniczego:
1. Musisz sprawdzić ten sam czy równanie ma podstawy po prawej i lewej stronie. Jeśli podstawy nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.
2. Gdy podstawy są takie same, zrównać stopnia i rozwiązać powstałe nowe równanie.
Rozwiążmy teraz kilka przykładów:
Zacznijmy od prostych.
Podstawy po lewej i prawej stronie są równe liczbie 2, co oznacza, że możemy odrzucić podstawę i zrównać ich stopnie.
x + 2 = 4 To najprostsze równanie.
x = 4 - 2
x = 2
Odpowiedź: x = 2
W poniższym przykładzie widać, że podstawy są różne, są to 3 i 9.
3 3x - 9x + 8 = 0
Na początek przenosimy dziewięć na prawą stronę, otrzymujemy:
Teraz musisz zrobić te same podstawy. Wiemy, że 9 = 3 2. Użyjmy wzoru na stopnie (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x + 8
Otrzymujemy 9 x + 8 = (3 2) x + 8 = 3 2x + 16
3 3x = 3 2x + 16 teraz widać, że podstawy po lewej i prawej stronie są takie same i równe trzem, więc możemy je odrzucić i zrównać stopnie.
3x = 2x + 16 otrzymało najprostsze równanie
3x - 2x = 16
x = 16
Odpowiedź: x = 16.
Zobacz następujący przykład:
2 2x + 4 - 10 4 x = 2 4
Przede wszystkim przyjrzymy się zasadom, podstawy są różne, dwie i cztery. I potrzebujemy, żeby były takie same. Przekształć czwórkę według wzoru (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Używamy również jednej formuły a n a m = a n + m:
2 2x + 4 = 2 2x 2 4
Dodaj do równania:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Sprowadziliśmy przykład na te same podstawy. Ale przeszkadzają nam inne liczby 10 i 24. Co z nimi zrobić? Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że po lewej stronie powtarzamy 2 2x, oto odpowiedź - 2 2x możemy wyjąć z nawiasów:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Obliczmy wyrażenie w nawiasach:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Podziel całe równanie przez 6:
Wyobraźmy sobie 4 = 2 2:
2 2x = 2 2 podstawy są takie same, odrzucamy je i zrównujemy potęgi.
2x = 2 otrzymujemy najprostsze równanie. Dzielimy to przez 2 otrzymujemy
x = 1
Odpowiedź: x = 1.
Rozwiążmy równanie:
9 x - 12 * 3 x + 27 = 0
Przekształćmy:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Otrzymujemy równanie:
3 2x - 12 3x +27 = 0
Nasze podstawy są takie same, równe 3. W tym przykładzie widać, że pierwsze trzy mają stopień dwa razy (2x) niż drugi (tylko x). W takim przypadku możesz rozwiązać metoda wymiany... Zastąp liczbę najmniejszym stopniem:
Wtedy 3 2x = (3x) 2 = t 2
Zamień wszystkie potęgi na x w równaniu na t:
t 2 - 12t + 27 = 0
Otrzymujemy równanie kwadratowe. Rozwiązujemy przez dyskryminację, otrzymujemy:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3
Wracając do zmiennej x.
Bierzemy t 1:
t 1 = 9 = 3 x
To znaczy,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Znalazłem jeden korzeń. Poszukujemy drugiego, z t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpowiedź: x 1 = 2; x 2 = 1.
Na stronie możesz zadawać interesujące pytania w sekcji POMOC W ROZWIĄZANIU, na pewno Ci odpowiemy.
Dołącz do grupy
Wstecz do przodu
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie do celów informacyjnych i mogą nie przedstawiać wszystkich opcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany ta praca pobierz pełną wersję.
Rodzaj lekcji
: lekcja uogólniania i złożonych zastosowań wiedzy, umiejętności i zdolności na temat „Równania wykładnicze i sposoby ich rozwiązywania”.Cele Lekcji.
Ekwipunek:
komputer i projektor multimedialny.Lekcja wykorzystuje Technologia informacyjna : wsparcie metodyczne na lekcję - prezentacja w programie Microsoft Power Point.
Podczas zajęć
Każda umiejętność jest dana przez pracę
I. Wyznaczanie celów lekcji(Slajd numer 2 )
W tej lekcji podsumujemy i uogólnimy temat „Równania wykładnicze, ich rozwiązania”. Zapoznajmy się z typowymi UŻYWAJ zadań różne lata na ten temat.
Zadania rozwiązywania równań wykładniczych można znaleźć w dowolnej części zadań USE. W części " W " zwykle proponują rozwiązanie najprostszych równań wykładniczych. W części " Z " można znaleźć bardziej złożone równania wykładnicze, których rozwiązanie jest zwykle jednym z etapów zadania.
Na przykład ( Slajd numer 3 ).
- Ujednolicony egzamin państwowy - 2007
Q 4 – Znajdź największą wartość wyrażenia x y, gdzie ( NS; w) - rozwiązanie systemowe:
B 1 - Rozwiąż równania:
ale) NS 6 3NS – 36 6 3NS = 0;
b) 4 NS +1 + 8 4NS= 3.
P 4 – Znajdź znaczenie wyrażenia x + y, gdzie ( NS; w) - rozwiązanie systemowe:
- Ujednolicony egzamin państwowy - 2010
II. Aktualizacja podstawowej wiedzy. Powtórzenie
(Slajdy nr 4 - 6 prezentacje do lekcji)Na ekranie widać wspieranie streszczenie materiał teoretyczny w tym temacie.
Omawiane są następujące zagadnienia:
- Jakie równania się nazywają orientacyjny?
- Wymień główne sposoby ich rozwiązania. Podaj przykłady ich typów ( Slajd numer 4 )
- Które twierdzenie służy do rozwiązania najprostszych równań wykładniczych postaci: i f (x) = a g (x)?
- Jakie są inne metody rozwiązywania równań wykładniczych? ( Slajd numer 5 )
(Rozwiąż proponowane równania dla każdej metody niezależnie i wykonaj autotest za pomocą slajdu)
- Metoda faktoringowa (na podstawie właściwości stopni z te same podstawy, wstęp: z nawiasu wyjmuje się stopień z najmniejszym wykładnikiem).
- Odbiór dzielenia (mnożenia) przez wyrażenie wykładnicze inne niż zero przy rozwiązywaniu jednorodnych równań wykładniczych .
- Rada:
-
Rozwiązywanie równań dwoma ostatnimi metodami z komentarzami
(Slajd numer 6 ).
. 4 NS+ 1 – 2 4 NS– 2 = 124, 4 NS– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 NS– 2 62 = 124,4 NS– 2 = 2, 4 NS– 2 = 4 0,5 , NS– 2 = 0,5, x = 2,5 .
2 2 2x - 3 2 NS 5NS - 5 5 2NS= 0¦: 5 2 NS 0,2 (2/5) 2x - 3 (2/5) NS - 5 = 0,
t = (2/5) x, T > 0, 2T 2 - 3T - 5 = 0,T= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, NS= ?...
III. Rozwiązywanie zadań egzaminu 2010
Uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania zaproponowane na początku lekcji na slajdzie nr 3, korzystając z instrukcji rozwiązania, sprawdzają przebieg rozwiązania i odpowiedzi na nie za pomocą prezentacji ( Slajd numer 7). W toku prac omawiane są opcje i metody rozwiązania, zwraca się uwagę na możliwe błędy w rozwiązaniu.
: a) 7 NS- 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7x = 36. Odpowiadać: ale) NS= 4, b) NS = 2. : 4 NS 2 + 3NS – 2 - 0,5 2x2 + 2NS- 1 = 0. (Można zastąpić 0,5 = 4 - 0,5)Rozwiązanie. ,
NS 2 + 3NS – 2 = -NS 2 - 4NS + 0,5 …
Odpowiadać: NS= -5/2, NS = 1/2.
: 5 5 tg tak+ 4 = 5 -tg tak, cos tak< 0.Wskazanie rozwiązania
... 5 5 tg tak+ 4 = 5 -tg tak¦ 5 tg tak 0,5 5 2g tak+ 4 5 tg y - 1 = 0. Niech NS= 5 tg tak , …
5 tg tak = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.
Od tg tak= -1 i cos tak< 0, to w II ćwiartka współrzędnych
Odpowiadać: w= 3/4 + 2k, k n.
IV. Współpracuj przy tablicy
Rozważane jest zadanie wysokiego poziomu szkolenia - Slajd numer 8... Za pomocą tego slajdu odbywa się dialog między nauczycielem a uczniami, przyczyniając się do opracowania rozwiązania.
- Przy jakim parametrze ale równanie 2 2 NS – 3 2 NS + ale 2 – 4ale= 0 ma dwa pierwiastki?Zostawiać T= 2 NS, gdzie T > 0 ... dostajemy T 2 – 3T + (ale 2 – 4ale) = 0 .
jeden). Ponieważ równanie ma dwa pierwiastki, D> 0;
2). NS T 1,2>0, to T 1 T 2>0, czyli ale 2 – 4ale> 0 (?...).
Odpowiadać: ale(-0,5; 0) lub (4; 4,5).
V. Prace weryfikacyjne
(Slajd numer 9 )Uczniowie występują praca weryfikacyjna na kartkach, ćwiczenie samokontroli i samooceny wykonanej pracy za pomocą prezentacji, afirmującej temat. Samodzielnie ustalają dla siebie program regulowania i korygowania wiedzy na podstawie błędów popełnionych w zeszytach ćwiczeń. Arkusze z wykonanych prac samodzielnych przekazywane są nauczycielowi do weryfikacji.
Podkreślone liczby - Poziom podstawowy, z gwiazdką - zwiększona złożoność.
Rozwiązanie i odpowiedzi.
3. 2 NS– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 NS– 1 76 = 19, 2 NS– 1 = 1/4, 2 NS– 1 = 2 – 2 , NS– 1 = -2,
x = -1.
4 * 0,3 9 x = 2 3 NS 5NS+ 5 25 NS | : 25 NS ,
3 (9/25) x = 2 (3/5) NS+ 5,
3 (9/27) NS = 2 (3/5) NS + 5 = 0,
3 (3/5) 2NS – 2 (3/5) NS - 5 = 0,…, (3/5) NS = -1 (nie pasuje),
(3/5) NS = 5, x = -1.
Vi. Praca domowa
(Slajd numer 10 )- Powtórz § 11, 12.
- Z materiały egzaminacyjne 2008 - 2010 wybór zadań na dany temat i ich rozwiązywanie.
- Prace przesiewowe w domu :
Ta lekcja jest przeznaczona dla tych, którzy dopiero zaczynają uczyć się równań wykładniczych. Jak zawsze zacznijmy od definicji i prostych przykładów.
Jeśli czytasz tę lekcję, podejrzewam, że masz już przynajmniej minimalne pojęcie o najprostszych równaniach - liniowych i kwadratowych: 56x-11 USD = 0 USD; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 = 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 = 0 $ itd. Umiejętność rozwiązywania takich konstrukcji jest absolutnie konieczna, aby nie „ugrzęznąć” w temacie, który będzie teraz omawiany.
A więc równania wykładnicze. Od razu podam kilka przykładów:
\ [((2) ^ (x)) = 4; \ quad ((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25); \ quad ((9) ^ (x)) = - 3 \]
Niektóre z nich mogą Ci się wydawać bardziej skomplikowane, inne wręcz przeciwnie, zbyt proste. Ale wszystkie one mają jedną wspólną cechę: ich zapis zawiera funkcję wykładniczą $ f \ left (x \ right) = ((a) ^ (x)) $. Dlatego wprowadzamy definicję:
Równanie wykładnicze to dowolne równanie, które zawiera funkcję wykładniczą, tj. wyrażenie takie jak $ ((a) ^ (x)) $. Oprócz określonej funkcji takie równania mogą zawierać dowolne inne konstrukcje algebraiczne - wielomiany, pierwiastki, trygonometrię, logarytmy itp.
No cóż. Ustaliliśmy definicję. Teraz pytanie brzmi: jak rozwiązać ten cały syf? Odpowiedź jest prosta i złożona.
Zacznijmy od dobrej wiadomości: z mojego doświadczenia zajęć z wieloma uczniami mogę powiedzieć, że dla większości z nich równania wykładnicze są znacznie łatwiejsze do podania niż te same logarytmy, a tym bardziej trygonometria.
Ale są też złe wieści: czasami autorzy problemów do wszelkiego rodzaju podręczników i egzaminów są „zainspirowani”, a ich mózg rozpalony narkotykami zaczyna wydawać tak okropne równania, że ich rozwiązanie staje się problematyczne nie tylko dla uczniów - nawet wielu nauczycieli dostaje utknąłem na takich problemach.
Nie mówmy jednak o smutnych rzeczach. Wracając do tych trzech równań, które zostały podane na samym początku historii. Spróbujmy rozwiązać każdy z nich.
Pierwsze równanie: $ ((2) ^ (x)) = 4 $. Cóż, do jakiego stopnia liczba 2 powinna zostać podniesiona, aby uzyskać liczbę 4? Prawdopodobnie drugi? W końcu $ ((2) ^ (2)) = 2 \ cdot 2 = 4 $ - i otrzymaliśmy poprawną równość liczbową, tj. naprawdę $ x = 2 $. No cóż, czapeczku, ale to równanie było tak proste, że nawet mój kot mógł je rozwiązać :)
Spójrzmy na następujące równanie:
\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \]
A tutaj sprawa jest już trochę bardziej skomplikowana. Wielu uczniów wie, że $ ((5) ^ (2)) = 25 $ to tabliczka mnożenia. Niektórzy podejrzewają również, że $ ((5) ^ (- 1)) = \ frac (1) (5) $ jest zasadniczo definicją potęg ujemnych (podobną do wzoru $ ((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) $).
Wreszcie tylko nieliczni przypuszczają, że te fakty można połączyć i na wyjściu uzyskać następujący wynik:
\ [\ frac (1) (25) = \ frac (1) (((5) ^ (2))) = ((5) ^ (- 2)) \]
Zatem nasze pierwotne równanie zostanie przepisane w następujący sposób:
\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \ Strzałka w prawo ((5) ^ (2x-3)) = ((5) ^ (- 2)) \]
Ale to już jest całkiem możliwe do rozwiązania! Po lewej stronie w równaniu jest funkcja wykładnicza, po prawej w równaniu funkcja wykładnicza, nie ma nic poza nimi nigdzie indziej. Dlatego możesz „odrzucić” podstawy i głupio zrównać wskaźniki:
Otrzymaliśmy najprostsze równanie liniowe, które każdy uczeń może rozwiązać w zaledwie kilku linijkach. OK, w czterech linijkach:
\ [\ początek (wyrównaj) & 2x-3 = -2 \\ & 2x = 3-2 \\ & 2x = 1 \\ & x = \ frac (1) (2) \\\ koniec (wyrównaj) \]
Jeśli nie rozumiesz, co działo się w ostatnich czterech wierszach, koniecznie wróć do tematu „ równania liniowe”I powtórz to. Ponieważ bez jasnego zrozumienia tego tematu jest za wcześnie, aby zająć się równaniami wykładniczymi.
\ [((9) ^ (x)) = - 3 \]
Jak to rozwiązać? Pierwsza myśl: $ 9 = 3 \ cdot 3 = ((3) ^ (2)) $, więc oryginalne równanie można przepisać w ten sposób:
\ [((\ lewo (((3) ^ (2)) \ prawo)) ^ (x)) = - 3 \]
Wtedy pamiętamy, że podnosząc potęgę do potęgi, wskaźniki są mnożone:
\ [((\ lewo (((3) ^ (2)) \ prawo)) ^ (x)) = ((3) ^ (2x)) \ Strzałka w prawo ((3) ^ (2x)) = - (((() 3) ^ (1)) \]
\ [\ początek (wyrównaj) & 2x = -1 \\ & x = - \ frac (1) (2) \\\ koniec (wyrównaj) \]
A za taką decyzję otrzymamy uczciwie zasłużoną dwójkę. Bo my, ze spokojem Pokemona, wysłaliśmy znak minus przed trójką do stopnia tej właśnie trójki. I nie możesz tego zrobić. I własnie dlatego. Spojrzeć na różne stopnie trojaczki:
\ [\ begin (macierz) ((3) ^ (1)) = 3 & ((3) ^ (- 1)) = \ frac (1) (3) & ((3) ^ (\ frac (1) (2))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (2)) = 9 & ((3) ^ (- 2)) = \ frac (1) (9) & ((3) ^ (\ frac (1) (3))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (3)) = 27 & ((3) ^ (- 3)) = \ frac (1) (27) & (( 3) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (3)) \\\ end (macierz) \]
Komponując tę tabletkę, jak tylko nie byłem zboczony: uważałem stopnie dodatnie i ujemne, a nawet ułamkowe… no, gdzie jest przynajmniej jeden Liczba ujemna? Nie ma go tam! A tak być nie może, bo funkcja wykładnicza $ y = ((a) ^ (x)) $, po pierwsze, zawsze przyjmuje tylko wartości dodatnie (bez względu na to, ile się mnoży lub dzieli przez dwa, nadal będzie dodatnia liczba), a po drugie, podstawa takiej funkcji - liczba $ a $ - jest z definicji liczbą dodatnią!
Jak więc rozwiązać równanie $ ((9) ^ (x)) = - 3 $? Ale w żaden sposób: nie ma korzeni. I w tym sensie równania wykładnicze są bardzo podobne do równań kwadratowych - tam też może nie być pierwiastków. Ale jeśli w równania kwadratowe liczba pierwiastków jest określona przez dyskryminator (dyskryminant dodatni - 2 pierwiastki, ujemny - bez pierwiastków), wtedy w wykładniczych wszystko zależy od tego, co jest po prawej stronie znaku równości.
W ten sposób formułujemy kluczowy wniosek: najprostsze równanie wykładnicze postaci $ ((a) ^ (x)) = b $ ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy $ b \ gt 0 $. Znając ten prosty fakt, możesz łatwo określić, czy proponowane równanie ma pierwiastki, czy nie. Te. czy warto to w ogóle rozwiązać, czy po prostu napisać, że nie ma korzeni.
Ta wiedza pomoże nam niejednokrotnie, gdy musimy rozwiązywać bardziej złożone problemy. W międzyczasie dość tekstów - czas przestudiować podstawowy algorytm rozwiązywania równań wykładniczych.
Jak rozwiązywać równania wykładnicze
Sformułujmy więc problem. Konieczne jest rozwiązanie równania wykładniczego:
\ [((a) ^ (x)) = b, \ quad a, b \ gt 0 \]
Zgodnie z algorytmem „naiwnym”, zgodnie z którym działaliśmy wcześniej, liczbę $b $ należy przedstawić jako potęgę liczby $a $:
Dodatkowo, jeśli zamiast zmiennej $x$ pojawi się jakieś wyrażenie, otrzymamy nowe równanie, które można już rozwiązać. Na przykład:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x)) = 8 \ Rightarrow ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (3)) \ Rightarrow x = 3; \\ & ((3) ^ (- x)) = 81 \ Rightarrow ((3) ^ (- x)) = ((3) ^ (4)) \ Rightarrow -x = 4 \ Rightarrow x = -4; \\ & ((5) ^ (2x)) = 125 \ Rightarrow ((5) ^ (2x)) = ((5) ^ (3)) \ Rightarrow 2x = 3 \ Rightarrow x = \ frac (3) ( 2). \\\ koniec (wyrównaj) \]
I co dziwne, ten schemat działa przez około 90% czasu. A co z pozostałymi 10%? Pozostałe 10% to nieco „schizofreniczne” równania wykładnicze postaci:
\ [((2) ^ (x)) = 3; \ quad ((5) ^ (x)) = 15; \ quad ((4) ^ (2x)) = 11 \]
Cóż, do jakiego stopnia należy podnieść 2, aby uzyskać 3? Najpierw? Ale nie: $ ((2) ^ (1)) = 2 $ - za mało. Druga? Również nie: $ ((2) ^ (2)) = 4 $ - trochę za dużo. Który w takim razie?
Doświadczeni studenci prawdopodobnie już zgadli: w takich przypadkach, gdy nie da się „pięknie” rozwiązać, w sprawę zamieszana jest „ciężka artyleria” – logarytmy. Przypomnę, że za pomocą logarytmów dowolną liczbę dodatnią można przedstawić jako potęgę dowolnej innej liczby dodatniej (z wyjątkiem jednej):
Pamiętasz tę formułę? Kiedy opowiadam moim uczniom o logarytmach, zawsze ostrzegam: ta formuła (jest to również podstawowa tożsamość logarytmiczna lub jak kto woli definicja logarytmu) będzie Cię prześladować przez bardzo długi czas i „wyskoczy” w najbardziej nieoczekiwane miejsca. Cóż, wynurzyła się. Przyjrzyjmy się naszemu równaniu i tej formule:
\ [\ begin (wyrównaj) & ((2) ^ (x)) = 3 \\ & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \\\ end (wyrównaj) \]
Jeśli założymy, że $ a = 3 $ to nasza pierwotna liczba po prawej stronie, a $ b = 2 $ to sama podstawa funkcja wykładnicza, do którego tak bardzo chcemy sprowadzić prawą stronę, otrzymujemy:
\ [\ begin (align) & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \ Rightarrow 3 = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3 )); \\ & ((2) ^ (x)) = 3 \ Strzałka w prawo ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3)) \ Strzałka w prawo x = ( (\ log) _ (2)) 3. \\\ koniec (wyrównaj) \]
Otrzymaliśmy nieco dziwną odpowiedź: $ x = ((\ log) _ (2)) 3 $. W innym zadaniu, z taką odpowiedzią, wielu wątpiłoby i zaczęło dwukrotnie sprawdzać swoje rozwiązanie: a jeśli gdzieś był błąd? Spieszę się wam zadowolić: tu nie ma błędu, a logarytmy u podstaw równań wykładniczych to dość typowa sytuacja. Więc przyzwyczaj się do tego :)
Rozwiążmy teraz przez analogię pozostałe dwa równania:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x)) = 15 \ Rightarrow ((5) ^ (x)) = ((5) ^ (((\ log) _ (5)) 15)) \ Strzałka w prawo x = ((\ log) _ (5)) 15; \\ & ((4) ^ (2x)) = 11 \ Strzałka w prawo ((4) ^ (2x)) = ((4) ^ (((\ log) _ (4)) 11)) \ Strzałka w prawo 2x = ( (\ log) _ (4)) 11 \ Strzałka w prawo x = \ frac (1) (2) ((\ log) _ (4)) 11. \\\ koniec (wyrównaj) \]
To wszystko! Nawiasem mówiąc, ostatnią odpowiedź można napisać inaczej:
Wprowadziliśmy mnożnik do argumentu logarytmicznego. Ale nikt nam nie przeszkadza, aby wprowadzić ten czynnik do bazy:
Co więcej, wszystkie trzy opcje są poprawne - są to po prostu różne formy zapisania tej samej liczby. To, który z nich wybrać i zapisać w tym rozwiązaniu, należy do Ciebie.
W ten sposób nauczyliśmy się rozwiązywać dowolne równania wykładnicze postaci $ ((a) ^ (x)) = b $, gdzie liczby $ a $ i $ b $ są ściśle dodatnie. Jednak trudna rzeczywistość naszego świata jest taka, że takie proste zadania będą Cię spotykać bardzo, bardzo rzadko. Znacznie częściej natkniesz się na coś takiego:
\ [\ początek (wyrównaj) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\ & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2,7) ^ (1-x)) = 0,09. \\\ koniec (wyrównaj) \]
Jak to rozwiązać? Czy można to w ogóle rozwiązać? A jeśli tak, to w jaki sposób?
Nie panikuj. Wszystkie te równania szybko i łatwo sprowadzają się do tych proste formuły które już omówiliśmy. Musisz tylko wiedzieć, żeby zapamiętać kilka technik z kursu algebry. I oczywiście nie ma nigdzie bez zasad pracy ze stopniami. O tym wszystkim opowiem teraz :)
Konwersja równań wykładniczych
Pierwsza rzecz do zapamiętania: każde równanie wykładnicze, bez względu na to, jak złożone może być, musi w jakiś sposób zostać zredukowane do najprostszych równań - tych samych, które już rozważaliśmy i które umiemy rozwiązać. Innymi słowy, schemat rozwiązywania dowolnego równania wykładniczego wygląda tak:
- Zapisz oryginalne równanie. Na przykład: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Zrób jakieś niezrozumiałe bzdury. Lub nawet kilka bzdur o nazwie „przekształć równanie”;
- Na wyjściu uzyskaj najprostsze wyrażenia, takie jak $ ((4) ^ (x)) = 4 $ lub coś innego. Co więcej, jedno oryginalne równanie może dać kilka takich wyrażeń naraz.
Z pierwszym punktem wszystko jest jasne - nawet mój kot może napisać równanie na kartce papieru. Wydaje się, że również z trzecim punktem jest mniej lub bardziej jasny - rozwiązaliśmy już całą masę takich równań powyżej.
Ale co z drugim punktem? Jaki rodzaj transformacji? Na co przekonwertować? I jak?
Cóż, wymyślmy to. Przede wszystkim chciałbym zwrócić uwagę na następujące. Wszystkie równania wykładnicze dzielą się na dwa typy:
- Równanie składa się z funkcji wykładniczych o tej samej podstawie. Przykład: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Formuła zawiera funkcje wykładnicze o różnych podstawach. Przykłady: $ ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) $ i $ ((100) ^ (x-1) ) \ cdot ((2,7) ^ (1-x)) = 0,09 $.
Zacznijmy od równań pierwszego typu - są najłatwiejsze do rozwiązania. A w ich rozwiązaniu pomoże nam taka technika, jak podkreślanie stabilnych wyrażeń.
Podświetlanie stabilnego wyrażenia
Przyjrzyjmy się jeszcze raz temu równaniu:
\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 \]
Co widzimy? Czwórka jest budowana w różnym stopniu. Ale wszystkie te potęgi są prostymi sumami zmiennej $ x $ z innymi liczbami. Dlatego należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami:
\ [\ początek (wyrównaj) & ((a) ^ (x + y)) = ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)); \\ & ((a) ^ (xy)) = ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) = \ frac (((a) ^ (x))) (((a ) ^ (y))). \\\ koniec (wyrównaj) \]
Mówiąc najprościej, dodawanie wykładników można zamienić na iloczyn potęg, a odejmowanie można łatwo zamienić na dzielenie. Spróbujmy zastosować te wzory do potęg z naszego równania:
\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x-1)) = \ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) = ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4); \\ & ((4) ^ (x + 1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot ((4) ^ (1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4. \ \\ koniec (wyrównaj) \]
Przepiszmy oryginalne równanie, biorąc pod uwagę ten fakt, a następnie zbierzmy wszystkie wyrazy po lewej stronie:
\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4 -jedenaście; \\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \ cdot 4 + 11 = 0. \\\ koniec (wyrównaj) \]
Pierwsze cztery wyrazy zawierają element $ ((4) ^ (x)) $ - wyjmijmy go poza nawias:
\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (1+ \ frac (1) (4) -4 \ right) + 11 = 0; \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (4 + 1-16) (4) + 11 = 0; \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ lewo (- \ frac (11) (4) \ prawo) = - 11. \\\ koniec (wyrównaj) \]
Pozostaje podzielić obie strony równania na ułamek $ - \ frac (11) (4) $, tj. zasadniczo pomnóż przez ułamek odwrócony - $ - \ frac (4) (11) $. Otrzymujemy:
\ [\ początek (wyrównaj) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ lewo (- \ frac (11) (4) \ prawo) \ cdot \ lewo (- \ frac (4) (11) \ prawo) ) = - 11 \ cdot \ lewo (- \ frac (4) (11) \ prawo); \\ & ((4) ^ (x)) = 4; \\ & ((4) ^ (x)) = ((4) ^ (1)); \\ & x = 1. \\\ koniec (wyrównaj) \]
To wszystko! Zredukowaliśmy pierwotne równanie do najprostszego i otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.
Jednocześnie w trakcie rozwiązywania znaleźliśmy (a nawet wyjęliśmy z nawiasu) wspólny dzielnik $ ((4) ^ (x)) $ - jest to stabilne wyrażenie. Można ją wyznaczyć jako nową zmienną lub po prostu dokładnie wyrazić i odpowiedzieć na nią. W każdym razie kluczowa zasada rozwiązania jest następująca:
Znajdź w pierwotnym równaniu stabilne wyrażenie zawierające zmienną, którą można łatwo odróżnić od wszystkich funkcji wykładniczych.
Dobrą wiadomością jest to, że praktycznie każde równanie wykładnicze pozwala na tak stabilne wyrażenie.
Ale zła wiadomość jest taka, że takie wyrażenia mogą być trudne i trudne do wybrania. Dlatego przeanalizujemy jeszcze jedno zadanie:
\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 \]
Być może ktoś będzie teraz miał pytanie: „Pasza, czy jesteś ukamienowany? Są tu różne podstawy - 5 i 0,2 ”. Spróbujmy jednak przeliczyć stopień od podstawy 0,2. Na przykład pozbądźmy się ułamka dziesiętnego, przenosząc go do zwykłego:
\ [((0,2) ^ (- x-1)) = ((0,2) ^ (- \ lewo (x + 1 \ prawo)))) = ((\ lewo (\ frac (2) (10 ) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right)) ) \]
Jak widać, wciąż pojawiała się cyfra 5, choć w mianowniku. Jednocześnie wskaźnik został przepisany jako ujemny. A teraz pamiętamy jeden z podstawowe zasady praca ze stopniami:
\ [((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) \ Strzałka w prawo ((\ lewo (\ frac (1) (5) \ prawo)) ^ ( - \ lewo (x + 1 \ prawo))) = ((\ lewo (\ frac (5) (1) \ prawo)) ^ (x + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ ]
Tutaj oczywiście trochę oszukałem. Ponieważ dla pełnego zrozumienia wzór na pozbycie się negatywnych wskaźników musiał być napisany tak:
\ [((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((\ left (\ frac (1) (a) \ right)) ^ (n )) \ Rightarrow ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right)))) = ((\ left (\ frac (5) (1) \ prawo)) ^ (x + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \]
Z drugiej strony nic nie przeszkodziło nam w pracy tylko z jednym ułamkiem:
\ [((\ lewo (\ frac (1) (5) \ prawo)) ^ (- \ lewo (x + 1 \ prawo))) = ((\ lewo (((5) ^ (- 1))) \ prawo)) ^ (- \ lewo (x + 1 \ prawo)))) = ((5) ^ (\ lewo (-1 \ prawo) \ cdot \ lewo (- \ lewo (x + 1 \ prawo) \ prawo) )) = ((5) ^ (x + 1)) \]
Ale w tym przypadku musisz być w stanie podnieść stopień do innego stopnia (pamiętaj: w tym przypadku wskaźniki się sumują). Ale nie trzeba było "odwracać" ułamków - być może niektórym będzie łatwiej :)
W każdym razie oryginalne równanie wykładnicze zostanie przepisane jako:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) = 2; \\ & 2 \ cdot ((5) ^ (x + 2)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) = 1. \\\ koniec (wyrównaj) \]
Okazuje się więc, że pierwotne równanie jest jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż poprzednio rozważane: tutaj nie trzeba nawet wyróżniać stabilnego wyrażenia - wszystko zostało zredukowane samo. Pozostaje tylko pamiętać, że 1 $ = ((5) ^ (0)) $, skąd otrzymujemy:
\ [\ początek (wyrównaj) & ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (0)); \\ & x + 2 = 0; \\ & x = -2. \\\ koniec (wyrównaj) \]
To całe rozwiązanie! Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x = -2 $. Jednocześnie chciałbym zwrócić uwagę na jedną technikę, która znacznie uprościła nam wszystkie obliczenia:
W równaniach wykładniczych należy się pozbyć ułamki dziesiętne, przekonwertuj je na zwykłe. Pozwoli to zobaczyć te same podstawy stopni i znacznie uprości rozwiązanie.
Przejdźmy do więcej złożone równania, w którym występują różne podstawy, które na ogół nie dają się zredukować do siebie za pomocą stopni.
Korzystanie z właściwości stopnia
Przypomnę, że mamy jeszcze dwa szczególnie surowe równania:
\ [\ begin (wyrównaj) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2,7) ^ (1-x)) = 0,09. \\\ koniec (wyrównaj) \]
Główną trudnością jest tutaj to, że nie jest jasne, do czego iz jakiego powodu prowadzić. Gdzie są ustawione wyrażenia? Gdzie są te same podstawy? Nic z tego.
Ale spróbujmy pójść w drugą stronę. Jeśli nie ma gotowych identycznych baz, możesz spróbować je znaleźć, rozkładając na czynniki już istniejące.
Zacznijmy od pierwszego równania:
\ [\ begin (wyrównaj) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & 21 = 7 \ cdot 3 \ Prawostrzałka ((21) ^ (3x)) = ((\ lewo (7 \ cdot 3 \ prawo)) ^ (3x)) = ((7) ^ (3x)) \ cdot ((3) ^ (3x)). \\\ koniec (wyrównaj) \]
Ale możesz zrobić odwrotnie - uzupełnij liczbę 21 z liczb 7 i 3. Jest to szczególnie łatwe do zrobienia po lewej stronie, ponieważ wskaźniki obu stopni są takie same:
\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((\ left (7 \ cdot 3 \ right)) ^ (x + 6)) = ((21)^(x+6)); \\ & ((21) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & x + 6 = 3x; \\ & 2x = 6; \\ & x = 3. \\\ koniec (wyrównaj) \]
To wszystko! Wziąłeś wykładnik poza iloczyn i natychmiast uzyskałeś piękne równanie, które można rozwiązać w kilku linijkach.
Zajmijmy się teraz drugim równaniem. Tutaj wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane:
\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2,7) ^ (1-x)) = 0,09 \]
\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ lewo (\ frac (27) (10) \ prawo)) ^ (1-x)) = \ frac (9) (100) \]
W tym przypadku ułamki okazały się nieredukowalne, ale jeśli coś można zmniejszyć, koniecznie to zmniejsz. Często tworzy to ciekawe podstawy do pracy.
Niestety w naszym kraju tak naprawdę nic się nie pojawiło. Widzimy jednak, że wykładniki po lewej stronie produktu są przeciwne:
Przypomnę: aby pozbyć się znaku minus we wskaźniku, wystarczy „odwrócić” ułamek. Cóż, przepiszmy oryginalne równanie:
\ [\ begin (align) & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ left (\ frac (10) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9 )(100); \\ & ((\ lewo (100 \ cdot \ frac (10) (27) \ prawo)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100); \\ & ((\ lewo (\ frac (1000) (27) \ prawo)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100). \\\ koniec (wyrównaj) \]
W drugim wierszu po prostu przesunęliśmy całkowity wykładnik z iloczynu poza nawias zgodnie z zasadą $ ((a) ^ (x)) \ cdot ((b) ^ (x)) = ((\ left (a \ cdot b \ right)) ^ (x)) $, aw drugim po prostu pomnożyli liczbę 100 przez ułamek.
Teraz zauważ, że liczby po lewej (na dole) i po prawej są nieco podobne. Jak? Tak, to oczywiste: są to potęgi tej samej liczby! Mamy:
\ [\ begin (align) & \ frac (1000) (27) = \ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) = ((\ left (\ frac ( 10) (3) \ prawo)) ^ (3)); \\ & \ frac (9) (100) = \ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) = ((\ lewo (\ frac (3) (10)) \ prawo)) ^ (2)). \\\ koniec (wyrównaj) \]
Zatem nasze równanie zostanie przepisane w następujący sposób:
\ [((\ lewo (((\ lewo (\ frac (10) (3) \ prawo)) ^ (3)) \ prawo)) ^ (x-1)) = ((\ lewo (\ frac (3 ) (10) \ prawo)) ^ (2)) \]
\ [((\ lewo (((\ lewo (\ frac (10) (3) \ prawo)) ^ (3)) \ prawo)) ^ (x-1)) = ((\ lewo (\ frac (10 ) (3) \ prawo)) ^ (3 \ lewo (x-1 \ prawo))) = ((\ lewo (\ frac (10) (3) \ prawo)) ^ (3x-3)) \]
W tym przypadku po prawej stronie możesz również uzyskać stopień o tej samej podstawie, dla którego wystarczy po prostu „odwrócić” ułamek:
\ [((\ lewo (\ frac (3) (10) \ prawo)) ^ (2)) = ((\ lewo (\ frac (10) (3) \ prawo)) ^ (- 2)) \]
Wreszcie nasze równanie przyjmie postać:
\ [\ begin (align) & ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3x-3)) = ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (- 2)); \\ & 3x-3 = -2; \\ & 3x = 1; \\ & x = \ frac (1) (3). \\\ koniec (wyrównaj) \]
To całe rozwiązanie. Jego główna idea sprowadza się do tego, że nawet przy różnych podłożach staramy się za pomocą haka lub oszusta zredukować te podłoża do tego samego. Pomagają nam w tym elementarne przekształcenia równań i zasady pracy ze stopniami.
Ale jakie zasady i kiedy stosować? Jak rozumieć, że w jednym równaniu trzeba przez coś podzielić obie strony, a w drugim - rozłożyć podstawę funkcji wykładniczej?
Odpowiedź na to pytanie przyjdzie z doświadczeniem. Najpierw spróbuj swoich sił w prostych równaniach, a następnie stopniowo komplikuj problemy - a już wkrótce twoje umiejętności wystarczą, aby rozwiązać dowolne równanie wykładnicze z tego samego egzaminu lub dowolnej niezależnej / testowej pracy.
Aby pomóc Ci w tym trudnym zadaniu, sugeruję pobranie zestawu równań dla niezależna decyzja... Wszystkie równania mają odpowiedzi, więc zawsze możesz się sprawdzić.
Ogólnie życzę udanego treningu. I do zobaczenia w następnej lekcji - tam przeanalizujemy naprawdę złożone równania wykładnicze, w których opisane powyżej metody już nie wystarczają. Prosty trening też nie wystarczy :)
Ładowanie...