Стереометрія є важливою частиною загального курсу геометрії, яка розглядає характеристики просторових фігур. Однією з таких фігур є чотирикутна призма. У даній статті докладніше розкриємо питання, як розраховувати обсяг призми чотирикутної.

Що собою являє призма чотирикутна?

Очевидно, що перш ніж наводити формулу обсягу призми чотирикутної, необхідно дати чітке визначення цієї геометричної фігури. Під такою призмою розуміють тривимірний багатогранник, який обмежений двома довільними однаковими чотирикутниками, що лежать в паралельних площинах, і чотирма паралелограма.

Зазначені паралельні один одному чотирикутники називаються підставами фігури, а чотири паралелограма - це бічні сторони. Тут варто пояснити, що паралелограми також є чотирикутниками, проте підстави не завжди є паралелограма. Приклад неправильного чотирикутника, який цілком може бути підставою призми, показаний нижче на малюнку.

Будь-яка чотирикутна призма складається з 6 сторін, 8 вершин і 12 ребер. Існують чотирикутні призми різних видів. Наприклад, фігура може бути похилій або прямий, неправильної і правильною. Далі в статті покажемо, як можна розраховувати обсяг призми чотирикутної з урахуванням її виду.

Похила призма з неправильним підставою

Це самий несиметричний вигляд чотирикутної призми, тому розрахунок її обсягу буде відносно складним. Визначити обсяг фігури дозволяє такий вираз:

Символом So тут позначена площа підстави. Якщо це підстава являє собою ромб, паралелограм або прямокутник, то розрахувати величину So нескладно. Так, для ромба і паралелограма справедлива формула:

де a - сторона підстави, ha - довжина опущеною на цю сторону з вершини підстави висоти.

Якщо основа являє собою не правильний багатокутник (Див. Вище), то його площа слід розбити на більш прості фігури (Наприклад, трикутники), обчислити їх площі і знайти їх суму.

У формулі для об'єму символом h позначена висота призми. Вона являє собою довжину перпендикулярного відрізка між двома підставами. Оскільки призма є похилій, то розрахунок висоти h слід проводити з використанням довжини бічного ребра b і двогранні кутів між бічними гранями і підставою.

Правильна фігура і її обсяг

Якщо підставою чотирикутної призми є квадрат, а сама постать буде прямий, то вона називається правильною. Слід пояснити, що прямий призма називається тоді, коли всі її бічні сторони є прямокутниками і кожен з них перпендикулярний підставах. Правильна фігура показана нижче.

Обсяг правильної чотирикутної призми може бути обчислений за тією ж формулою, що і обсяг неправильної фігури. Оскільки підставою є квадрат, то його площа обчислюється просто:

Висота призми h дорівнює довжині бічного ребра b (сторона прямокутника). Тоді обсяг правильної призми чотирикутної може бути розрахований за такою формулою:

Правильна призма з квадратною основою називається прямокутним параллелепипедом. Цей паралелепіпед в разі рівності сторін a і b стає кубом. Обсяг останнього розраховується так:

Записані формули для об'єму V свідчать про те, що чим вище симетрія фігури, тим менше лінійних параметрів потрібно для обчислення цієї величини. Так, в разі правильної призми необхідне число параметрів дорівнює двом, а в разі куба - одному.

Завдання з правильною фігурою

Розглянувши питання знаходження обсягу призми чотирикутної з точки зору теорії, можна застосувати отримані знання на практиці.

Відомо, що правильний паралелепіпед має довжину діагоналі підстави, що дорівнює 12 см. Довжина діагоналі його збоку становить 20 см. Необхідно розрахувати обсяг паралелепіпеда.

Позначимо діагональ підстави символом da, а діагональ бічної грані - символом db. Для діагоналі da справедливі вирази:

Що стосується величини db, то вона є діагоналлю прямокутника зі сторонами a і b. Для неї можна записати такі рівності:

db2 \u003d a2 + b2 \u003d\u003e

b \u003d √ (db2 - a2)

Підставляючи в останню рівність знайдене вираз для a, отримаємо:

b \u003d √ (db2 - da2 / 2)

Тепер можна підставити отримані формули в вираз для об'єму правильної фігури:

V \u003d a2 * b \u003d da2 / 2 * √ (db2 - da2 / 2)

Замінивши da і db числами з умови задачі, приходимо до відповіді: V ≈ 1304 см3.

визначення.

Це шестигранник, підставами якого є два рівних квадрата, А бічні грані є рівні прямокутники

бічне ребро - це загальна сторона двох суміжних бічних граней

Висота призми - це відрізок, перпендикулярний підставах призми

Діагональ призми - відрізок, що з'єднує дві вершини підстав, які не належать до однієї грані

діагональна площину - площина, яка проходить через діагональ призми і її бічні ребра

діагональне перетин - межі перетину призми і діагональної площині. Діагональне перетин правильної чотирикутної призми є прямокутник

Перпендикулярне перетин (ортогональное перетин) - це перетин призми і площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам

Елементи правильної чотирикутної призми

На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними буквами:

• Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні і паралельні один одному
• Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C і CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
• Бічна поверхня - сума площ всіх бічних граней призми
• Повна поверхня - сума площ всіх підстав і бічних граней (сума площі бічної поверхні і підстав)
• Бічні ребра AA 1, BB 1, CC 1 і DD 1.
• Діагональ B 1 D
• Діагональ підстави BD
• Діагональне перетин BB 1 D 1 D
• Перпендикулярне перетин A 2 B 2 C 2 D 2.

Властивості правильної чотирикутної призми

• Підставами є два рівних квадрата
• Підстави паралельні один одному
• Бічними гранями є прямокутники
• Бічні грані рівні між собою
• Бічні грані перпендикулярні підставах
• Бічні ребра паралельні між собою і дорівнюють
• Перпендикулярне перетин перпендикулярно всім бічним ребрам і паралельно підставах
• Кути перпендикулярного перетину - прямі
• Діагональне перетин правильної чотирикутної призми є прямокутник
• Перпендикулярне (ортогональное перетин) паралельно підставах

Формули для правильної чотирикутної призми

Вказівки до вирішення завдань

При вирішенні завдань на тему " правильна чотирикутна призма"Мається на увазі, що:

правильна призма - призма в основі якої лежить правильний багатокутник, а бічні ребра перпендикулярні площинах підстави. Тобто правильна чотирикутна призма містить в своїй основі квадрат. (Див. Вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку з завданнями по геометрії (розділ стереометрія - призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі при вирішенні. Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає - пишіть про це в форумі. Для позначення дії добування квадратного кореня в рішеннях задач використовується символ√ .

Завдання.

У правильної чотирикутної призмі площа підстави 144 см 2, а висота 14 см. Знайти діагональ призми і площа повної поверхні.

Рішення.
Правильний чотирикутник - це квадрат.
Відповідно, сторона підстави буде дорівнює

√144 \u003d 12 см.
Звідки діагональ підстави правильної прямокутної призми дорівнюватиме
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи і висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, по теоремі Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√ ((12√2) 2 + 14 2) \u003d 22 см

відповідь: 22 см

завдання

Визначте повну поверхню правильної чотирикутної призми, якщо її діагональ дорівнює 5 см, а діагональ бічної грані дорівнює 4 см.

Рішення.
Оскільки в основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то сторону підстави (позначимо як a) знайдемо по теоремі Піфагора:

A 2 + a 2 \u003d 5 2
2a 2 \u003d 25
a \u003d √12,5

Висота бічної грані (позначимо як h) тоді буде дорівнює:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 \u003d 16
h 2 \u003d 3,5
h \u003d √3,5

Площа повної поверхні буде дорівнює сумі площі бічної поверхні і подвоєної площі підстави

S \u003d 2a 2 + 4ah
S \u003d 25 + 4√12,5 * √3,5
S \u003d 25 + 4√43,75
S \u003d 25 + 4√ (175/4)
S \u003d 25 + 4√ (7 * 25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2.

Відповідь: 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2.

Призма є геометричній об'ємної фігурою, характеристики і властивості якої вивчають в старших класах шкіл. Як правило, при її вивченні розглядають такі величини, як обсяг і площа поверхні. У цій же статті розкриємо декілька інше питання: наведемо методику визначення довжини діагоналей призми на прикладі чотирикутної фігури.

Яка фігура називається призмою?

В геометрії дається наступне визначення призмі: це об'ємна фігура, обмежена двома багатокутними однаковими сторонами, які паралельні один одному, і деяким числом паралелограмів. Малюнок нижче показує приклад призми, відповідний цим визначенням.

Ми бачимо, що два червоних п'ятикутника рівні один одному і знаходяться в двох паралельних площинах. П'ять рожевих паралелограмів з'єднують ці п'ятикутники в цілісний об'єкт - призму. Два п'ятикутника називаються підставами фігури, а її паралелограми - це бічні грані.

Призми бувають прямі і похилі, які також називають прямокутними і косокутність. Різниця між ними полягає в кутах між підставою і бічними гранями. Для прямокутної призми всі ці кути рівні 90 o.

За кількістю сторін або вершин багатокутника в основі говорять про призмах трикутних, п'ятикутних, чотирикутних і так далі. Причому якщо цей багатокутник є правильним, а сама призма прямий, то таку фігуру називають правильною.

Наведена на попередньому малюнку призма є п'ятикутною похилій. Нижче ж зображена п'ятикутна пряма призма, яка є правильною.

Всі обчислення, включаючи методику визначення діагоналей призми, зручно виконувати саме для правильних фігур.

Які елементи характеризують призму?

Елементами фігури називають складові частини, які її утворюють. Саме для призми можна виділити три основні типи елементів:

• вершини;
• грані або сторони;
• ребра.

Гранями вважаються підстави і бічні площини, що представляють паралелограми в загальному випадку. У призмі завжди кожна сторона відноситься до одного з двох типів: або це багатокутник, або паралелограм.

Ребра призми - це ті відрізки, які обмежують кожну сторону фігури. Як і межі, ребра також бувають двох типів: що належать основи і бічної поверхні або відносяться тільки до бічної поверхні. Перших завжди в два рази більше, ніж друге, незалежно від виду призми.

Вершини - це точки перетину трьох ребер призми, два з яких лежать в площині підстави, а третє - належить двом бічних гранях. Всі вершини призми знаходяться в площинах підстав фігури.

Числа описаних елементів пов'язані в єдине рівність, має такий вигляд:

Р \u003d В + С - 2.

Тут Р - кількість ребер, В - вершин, С - сторін. Це рівність називається теоремою Ейлера для поліедра.

На малюнку показана трикутна правильна призма. Кожен може порахувати, що вона має 6 вершин, 5 сторін і 9 ребер. Ці цифри узгоджуються з теоремою Ейлера.

діагоналі призми

Після таких властивостей, як обсяг і площа поверхні, в задачах з геометрії часто зустрічається інформація про довжину тієї чи іншої діагоналі розглянутої фігури, яка або дана, або її потрібно знайти по іншим відомим параметрам. Розглянемо, які бувають діагоналі у призми.

Все діагоналі можна розділити на два типи:

1. Що лежать в площині граней. Вони з'єднують несоседних вершини або багатокутника в основі призми, або паралелограма бічній поверхні. Значення довжин таких діагоналей визначається, виходячи з знання довжин відповідних ребер і кутів між ними. Для визначення діагоналей паралелограма завжди використовуються властивості трикутників.
2. Що лежать всередині обсягу призми. Ці діагоналі з'єднують неоднотіпние вершини двох підстав. Ці діагоналі виявляються повністю всередині фігури. Їх довжини розрахувати дещо складніше, ніж для попереднього типу. Методика розрахунку передбачає врахування довжин ребер і підстави, і паралелограмів. Для прямих і правильних призм розрахунок є відносно простим, оскільки він здійснюється з використанням теореми Піфагора і властивостей тригонометричних функцій.

Діагоналі сторін чотирикутної прямої призми

На малюнку вище зображено чотири однакові прямі призми, і дані параметри їх ребер. На призмах Diagonal A, Diagonal B і Diagonal C штриховий червоною лінією зображені діагоналі трьох різних граней. Оскільки призма є прямою з висотою 5 см, а її основу представлено прямокутником зі сторонами 3 см і 2 см, то відшукати відмічені діагоналі не представляє ніяких труднощів. Для цього необхідно скористатися теоремою Піфагора.

Довжина діагоналі підстави призми (Diagonal A) дорівнює:

D A \u003d √ (3 2 +2 2) \u003d √13 ≈ 3,606 см.

Для бічної грані призми діагональ дорівнює (див. Diagonal B):

D B \u003d √ (3 2 +5 2) \u003d √34 ≈ 5,831 см.

Нарешті, довжина ще однієї бічної діагоналі дорівнює (див. Diagonal C):

D З \u003d √ (2 2 +5 2) \u003d √29 ≈ 5,385 см.

Довжина внутрішньої діагоналі

Тепер розрахуємо довжину діагоналі чотирикутної призми, яка зображена на попередньому малюнку (Diagonal D). Зробити це не так складно, якщо зауважити, що вона є гіпотенузою трикутника, в якому катетами будуть висота призми (5 см) і діагональ D A, зображена на малюнку вгорі ліворуч (Diagonal A). Тоді отримуємо:

D D \u003d √ (D A 2 +5 2) \u003d √ (2 2 +3 2 +5 2) \u003d √38 ≈ 6,164 см.

Правильна призма чотирикутна

Діагональ правильної призми, підставою якої є квадрат, розраховується аналогічним чином, як і в наведеному вище прикладі. Відповідна формула має вигляд:

D \u003d √ (2 * a 2 + c 2).

Де a і c - довжини сторони підстави і бічного ребра, відповідно.

Зауважимо, що при обчисленнях ми використовували тільки теорему Піфагора. Для визначення довжин діагоналей правильних призм з великим числом вершин (п'ятикутні, шестикутні і так далі) вже необхідно застосовувати тригонометричні функції.

В шкільній програмі по курсу стереометрії вивчення об'ємних фігур зазвичай починається з простого геометричного тіла - багатогранника призми. Роль її основ виконують 2 рівних багатокутника, Що лежать в паралельних площинах. Окремим випадком є \u200b\u200bправильна чотирикутна призма. Її основами є 2 однакових правильних чотирикутника, до яких перпендикулярні бічні сторони, які мають форму паралелограма (або прямокутників, якщо призма не схилили).

Як виглядає призма

Правильною чотирикутної призмою називається шестигранник, в підставах якого знаходяться 2 квадрата, а бічні грані представлені прямокутниками. Інша назва для цієї геометричної фігури - прямий паралелепіпед.

Малюнок, на якому зображена чотирикутна призма, показаний нижче.

На зображенні також можна побачити найважливіші елементи, з яких складається геометричне тіло . До них прийнято відносити:

Іноді в задачах з геометрії можна зустріти поняття перетину. Визначення буде звучати так: перетин - це все точки об'ємного тіла, що належать січною площині. Перетин буває перпендикулярним (перетинає ребра фігури під кутом 90 градусів). Для прямокутної призми також розглядається діагональне перетин (максимальна кількість перетинів, яких можна побудувати - 2), що проходить через 2 ребра і діагоналі підстави.

Якщо ж перетин намальовано так, що січна площина не паралельна ні основам, ні бічних гранях, в результаті виходить усічена призма.

Для знаходження наведених призматичних елементів використовуються різні відносини і формули. Частина з них відома з курсу планіметрії (наприклад, для знаходження площі підстави призми досить згадати формулу площі квадрата).

Площа поверхні та об'єм

Щоб визначити обсяг призми за формулою, необхідно знати площу її заснування і висоту:

V \u003d Sосн · h

Так як підставою правильної чотиригранної призми є квадрат зі стороною a,можна записати формулу в більш докладному вигляді:

V \u003d a² · h

Якщо мова йде про кубі - правильної призмі з рівною довжиною, шириною і висотою, обсяг обчислюється так:

Щоб зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні призми, необхідно уявити собі її розгортку.

З креслення видно, що бокова поверхня складена з 4 рівних прямокутників. Її площа обчислюється як твір периметра підстави на висоту фігури:

Sбок \u003d Pосн · h

З урахуванням того, що периметр квадрата дорівнює P \u003d 4a,формула набуває вигляду:

Sбок \u003d 4a · h

Для куба:

Sбок \u003d 4a²

Для обчислення площі повної поверхні призми потрібно до бічної площі додати 2 площі підстав:

Sполн \u003d Sбок + 2Sосн

Стосовно до чотирикутної правильної призмі формула має вигляд:

Sполн \u003d 4a · h + 2a²

Для площі поверхні куба:

Sполн \u003d 6a²

Знаючи обсяг або площа поверхні, можна обчислити окремі елементи геометричного тіла.

Знаходження елементів призми

Часто зустрічаються завдання, в яких дано обсяг або відома величина бічної площі поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи або висоту. У таких випадках формули можна вивести:

• довжина сторони підстави: a \u003d Sбок / 4h \u003d √ (V / h);
• довжина висоти або бокового ребра: h \u003d Sбок / 4a \u003d V / a²;
• площа підстави: Sосн \u003d V / h;
• площа бічної грані: Sбок. гр \u003d Sбок / 4.

Щоб визначити, яку площу має діагональне перетин, необхідно знати довжину діагоналі і висоту фігури. для квадрата d \u003d a√2. З цього слід:

Sдіаг \u003d ah√2

Для обчислення діагоналі призми використовується формула:

dпріз \u003d √ (2a² + h²)

Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.

Приклади завдань з рішеннями

Ось кілька завдань, що зустрічаються в державних підсумкових іспитах з математики.

Завдання 1.

В коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 см. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною підстави в 2 рази більше?

Слід міркувати таким чином. Кількість піску в першій і другій ємності нічого не змінено, т. Е. Його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину підстави за a. У такому випадку для першої коробки обсяг речовини складе:

V₁ \u003d ha² \u003d 10a²

Для другої коробки довжина підстави становить 2a, Але невідома висота рівня піску:

V₂ \u003d h (2a) ² \u003d 4ha²

оскільки V₁ \u003d V₂, Можна прирівняти вирази:

10a² \u003d 4ha²

Після скорочення обох частин рівняння на a² виходить:

В результаті новий рівень піску складе h \u003d 10/4 \u003d 2,5 см.

Завдання 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильна призма. Відомо, що BD \u003d AB₁ \u003d 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.

Щоб було простіше зрозуміти, які саме елементи відомі, можна зобразити фігуру.

Оскільки мова йде про правильну призмі, можна зробити висновок, що в основі знаходиться квадрат з діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна грань теж має форму квадрата, рівного підстави. Виходить, що всі три виміри - довжина, ширина і висота - рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.

Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:

a \u003d d / √2 \u003d 6√2 / √2 \u003d 6

Площа повної поверхні знаходиться за формулою для куба:

Sполн \u003d 6a² \u003d 6 · 6² \u003d 216

Завдання 3.

У кімнаті проводиться ремонт. Відомо, що її стать має форму квадрата з площею 9 квадратних метрів. Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м² коштує 50 рублів?

Оскільки підлогу і стелю є квадратами, т. Е. Правильними чотирикутника, і стіни її перпендикулярні горизонтальних поверхнях, можна зробити висновок, що вона є правильної призмою. Необхідно визначити площу її бічній поверхні.

Довжина кімнати становить a \u003d √9 \u003d 3 м.

Шпалерами буде обклеєна площа Sбок \u003d 4 · 3 · 2,5 \u003d 30 м².

Найменша вартість шпалер для цієї кімнати складе 50 · 30 \u003d 1500 рублів.

Таким чином, для вирішення завдань на прямокутну призму достатньо вміти обчислювати площу і периметр квадрата і прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об'єму та площі поверхні.

Як знайти площу куба

За допомогою цього відеоуроку всі бажаючі зможуть самостійно познайомитися з темою «Поняття многогранника. Призма. Площа поверхні призми ». В ході заняття вчитель розповість про те, що являють собою такі геометричні фігури, як багатогранник і призми, дасть відповідні визначення та пояснить їх суть на конкретних прикладах.

За допомогою цього уроку всі бажаючі зможуть самостійно познайомитися з темою «Поняття многогранника. Призма. Площа поверхні призми ».

визначення. Поверхня, складену з багатокутників і обмежує деякий геометричне тіло, будемо називати багатогранної поверхнею або многогранником.

Розглянемо наступні приклади багатогранників:

1. Тетраедр ABCD - це поверхня, складена з чотирьох трикутників: АВС, ADB, BDC і ADC(Рис. 1).

Мал. 1

2. Паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - це поверхня, складена з шести паралелограмів (рис. 2).

Мал. 2

Основними елементами багатогранника є межі, ребра, вершини.

Грані - це багатокутники, складові багатогранник.

Ребра - це сторони граней.

Вершини - це кінці ребер.

Розглянемо тетраедр ABCD(Рис. 1). Зазначимо його основні елементи.

грані: трикутники АВС, ADB, BDC, ADC.

ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

вершини: А, В, С, D.

Розглянемо паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Рис. 2).

грані: паралелограми АА 1 D 1 D, D 1 DСС 1, ВВ 1 С 1 С, АА 1 В 1 В, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.

ребра: АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1, AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC.

вершини: A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1.

Важливим окремим випадком багатогранника є призма.

АВСА 1 В 1 С 1 (Рис. 3).

Мал. 3

рівні трикутники АВС і А 1 В 1 С 1 розташовані в паралельних площинах α і β так, що ребра АА 1, ВВ 1, СС 1 паралельні.

Тобто АВСА 1 В 1 С 1- трикутна призма, якщо:

1) Трикутники АВС і А 1 В 1 С 1 рівні.

2) Трикутники АВС і А 1 В 1 С 1 розташовані в паралельних площинах α і β: ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Ребра АА 1, ВВ 1, СС 1 паралельні.

АВС і А 1 В 1 С 1 - підстави призми.

АА 1, ВВ 1, СС 1 - бічні ребра призми.

Якщо з довільної точки Н 1 одній площині (наприклад, β) опустити перпендикуляр НН 1 на площину α, то цей перпендикуляр називається висотою призми.

визначення. Якщо бічні ребра перпендикулярні до основ, то призма називається прямий, а в іншому випадку - похилій.

Розглянемо трикутну призму АВСА 1 В 1 С 1 (Рис. 4). Ця призма - пряма. Тобто, її бічні ребра перпендикулярні підставах.

Наприклад, ребро АА 1 перпендикулярно площині АВС. ребро АА 1 є висотою цієї призми.

Мал. 4

Зауважимо, що бічна грань АА 1 В 1 В перпендикулярна до підстав АВС і А 1 В 1 С 1, Так як вона проходить через перпендикуляр АА 1 до підстав.

Тепер розглянемо похилу призму АВСА 1 В 1 С 1 (Рис. 5). Тут бічне ребро НЕ перпендикулярно площині підстави. Якщо опустити з точки А 1 перпендикуляр А 1 Н на АВС, То цей перпендикуляр буде висотою призми. Зауважимо, що відрізок АН - це проекція відрізка АА 1 на площину АВС.

Тоді кут між прямою АА 1 і площиною АВС це кут між прямою АА 1 і її АН проекцією на площину, тобто кут А 1 АН.

Мал. 5

Розглянемо чотирикутну призму ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Рис. 6). Розглянемо, як вона виходить.

1) Чотирикутник ABCD дорівнює чотирикутнику A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Чотирикутники ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Чотирикутники ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1розташовані так, що бічні ребра паралельні, тобто: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

визначення. Діагональ призми - це відрізок, що з'єднує дві вершини призми, що не належать одній грані.

наприклад, АС 1 - діагональ чотирикутної призми ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

визначення. Якщо бічне ребро АА 1 перпендикулярно площині підстави, то така призма називається прямий.

Мал. 6

Окремим випадком чотирикутної призми є відомий нам паралелепіпед. паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1зображений на рис. 7.

Розглянемо, як він улаштований:

1) В підставах лежать рівні фігури. В даному випадку - рівні паралелограми ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Паралелограми ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 лежать в паралельних площинах α і β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Паралелограми ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 розташовані таким чином, що бічні ребра паралельні між собою: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Мал. 7

з точки А 1 опустимо перпендикуляр АН на площину АВС. відрізок А 1 Н є висотою.

Розглянемо, як влаштована шестикутна призма (рис. 8).

1) В основі лежать рівні шестикутники ABCDEF і A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ABCDEF= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Площини шестикутників ABCDEF і A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1паралельні, то є підстави лежать в паралельних площинах: ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Шестикутники ABCDEF і A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1розташовані так, що всі бічні ребра між собою паралельні: АА 1 ║ВВ 1 ... ║FF 1.

Мал. 8

визначення. Якщо яке-небудь бічне ребро перпендикулярно площині підстави, то така шестикутна призма називається прямий.

визначення. Пряма призма називається правильною, якщо її заснування - правильні багатокутники.

Розглянемо правильну трикутну призму АВСА 1 В 1 С 1.

Мал. 9

трикутна призма АВСА 1 В 1 С 1- правильна, це означає, що в підставах лежать правильні трикутники, тобто всі сторони цих трикутників рівні. Також дана призма - пряма. Значить, бічне ребро перпендикулярно площині підстави. А це значить, що всі бічні грані - рівні прямокутники.

Отже, якщо трикутна призма АВСА 1 В 1 С 1- правильна, то:

1) Бічне ребро перпендикулярно площині підстави, тобто є висотою: AA 1 ⊥ АВС.

2) В основі лежить правильний трикутник: Δ АВС - правильний.

визначення. Площею повної поверхні призми називається сума площ всіх її граней. позначається S повн.

визначення. Площею бічної поверхні називається сума площ всіх бічних граней. позначається S-пліч.

Призма має дві підстави. Тоді площа повної поверхні призми:

S повн \u003d S бік + 2S осн.

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми.

Доказ проведемо на прикладі трикутної призми.

дано: АВСА 1 В 1 С 1 - пряма призма, т. Е. АА 1 ⊥ АВС.

АА 1 \u003d h.

довести: S-пліч \u003d Р осн ∙ h.

Мал. 10

Доведення.

трикутна призма АВСА 1 В 1 С 1 - пряма, значить, АА 1 В 1 В, АА 1 З 1 С, ВВ 1 С 1 С -прямокутники.

Знайдемо площу бічної поверхні як суму площ прямокутників АА 1 В 1 В, АА 1 З 1 С, ВВ 1 С 1 С:

S-пліч \u003d АВ ∙ h + ВС ∙ h + СА ∙ h \u003d (AB + ВС + CА) ∙ h \u003d P осн ∙ h.

отримуємо, S-пліч \u003d Р осн ∙ h,що і потрібно було довести.

Ми познайомилися з многогранниками, призмою, її різновидами. Довели теорему про бічної поверхні призми. На наступному уроці ми будемо вирішувати завдання на призму.

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (Базовий і профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с. : Ил.
2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх учбових закладів / Шаригін І. Ф. - М .: Дрофа, 1999. - 208 с .: іл.
3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх установ з поглибленим і профільним вивченням математики / Е. В. Потоскуев, Л. І. Зваліч. - 6-е видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. : Ил.

1. Якласс ().
2. Shkolo.ru ().
3. Стара школа ().
4. WikiHow ().

1. Яку мінімальну кількість граней може мати призма? Скільки вершин, ребер у такий призми?
2. Чи існує призма, яка має в точності 100 ребер?
3. Бічне ребро нахилене до площини основи під кутом 60 °. Знайдіть висоту призми, якщо бічне ребро дорівнює 6 см.
4. У прямій трикутній призмі всі ребра рівні. Площа її бічній поверхні становить 27 см 2. Знайдіть площу повної поверхні призми.