Формули за трансформация за тригонометрични функции. Основни тригонометрични формули

В тригонометрията има много формули.

Много е трудно да ги запомните механично, почти невъзможно. В класната стая много ученици и студенти използват разпечатки върху горните листа на учебниците и тетрадките, плакати по стените, яслите и накрая. Какво ще кажете за изпита?

Ако обаче погледнете по-отблизо тези формули, ще откриете, че всички те са взаимосвързани и имат определена симетрия. Нека ги анализираме по отношение на дефинициите и свойствата. тригонометрични функцииза да определите минимума, който наистина си струва да се запомни.

Група I. Основни идентичности

sin 2 α + cos 2 α = 1;

tgα = ____ sinα cosα; ctgα = ____ cosα sinα ;

tgα · ctgα = 1;

1 + tg 2 α = _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α = _____ 1 sin 2 α.

Тази група съдържа най-простите и популярни формули. Повечето от учениците ги познават. Но ако все още има трудности, тогава, за да запомните първите три формули, мислено си представете правоъгълен триъгълникс хипотенуза равна на единица. Тогава неговите катета ще бъдат равни, съответно, sinα по дефиниция на синуса (отношението на противоположния катет към хипотенузата) и cosα по дефиницията на косинус (отношението на съседния катет към хипотенузата).

Първата формула е теоремата на Питагор за такъв триъгълник - сумата от квадратите на катета е равна на квадрата на хипотенузата (1 2 = 1), втората и третата са дефинициите на допирателната (отношението на противоположния катет към съседния) и котангенса (отношението на съседния катет към противоположния).
Произведението на тангенса и котангенса е 1, тъй като котангенсът, написан като дроб (формула три), е обърната допирателна (формула две). Последното съображение, между другото, дава възможност да се изключат от броя на формулите, които трябва да бъдат запомнени, всички последващи дълги формули с котангенс. Ако има такива трудна задачаЩе срещнете ctgα, просто го заменете с дроб ___ 1 tgαи използвайте формулите за допирателната.

Последните две формули не е необходимо да се запомнят предварително символично. Те са по-рядко срещани. И ако е необходимо, винаги можете да ги отпечатате отново върху чернова. За да направите това, достатъчно е да замените вместо допирателната или контангента на техните дефиниции чрез дроб (формули втора и трета, съответно) и да намалите израза до общ знаменател... Но е важно да запомните, че съществуват такива формули, които свързват квадратите на тангенса и косинуса и квадратите на котангенса и синуса. В противен случай може да не се досетите какви трансформации са необходими за решаване на конкретен проблем.

II група. Формули за събиране

sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;

sin (α - β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ;

cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) = tgα + tgβ _________ 1 - tgα · tgβ;

tg (α - β) =

Припомнете си свойствата на нечетно/четно четност на тригонометричните функции:

sin (−α) = - sin (α); cos (−α) = cos (α); tg (−α) = - tg (α).

От всички тригонометрични функции само косинусът е четна функция и не променя знака си при промяна на знака на аргумента (ъгъла), останалите функции са нечетни. Нечетността на функцията всъщност означава, че знакът минус може да бъде въведен и премахнат извън знака на функцията. Следователно, ако попаднете на тригонометричен израз с разликата от два ъгъла, винаги можете да го разберете като сбор от положителни и отрицателни ъгли.

Например, грях ( х- 30º) = грях ( х+ (−30º)).
След това използваме формулата за сумата от два ъгъла и се справяме със знаците:
грях ( х+ (−30º)) = грех х· Cos (−30º) + cos х Sin (−30º) =
= грях х· Cos30º - cos х· Sin30º.

По този начин всички формули, съдържащи разликата в ъглите, могат просто да бъдат пропуснати по време на първото запаметяване. Тогава си струва да се научите как да ги възстановите общ изгледпърво на чернова, а след това мислено.

Например, тен (α - β) = тен (α + (−β)) = tgα + tg (−β) ___________ 1 - tgα tg (−β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.

Това ще помогне в бъдеще бързо да отгатнете какви трансформации трябва да се приложат за решаване на конкретна задача от тригонометрията.

Sh група. Множество аргументни формули

sin2α = 2 sinα cosα;

cos2α = cos 2 α - sin 2 α;

tg2α = 2tgα _______ 1 - tg 2 α;

sin3α = 3sinα - 4sin 3 α;

cos3α = 4cos 3 α - 3cosα.

Необходимостта от използване на формули за синус и косинус на двоен ъгъл възниква много често, за тангенса също доста често. Тези формули трябва да се знаят наизуст. Освен това няма трудности при запомнянето им. Първо, формулите са кратки. Второ, те са лесни за управление според формулите на предишната група, въз основа на факта, че 2α = α + α.
Например:
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα;
sin2α = 2sinα cosα.

Ако обаче бързо сте научили тези формули, а не предишните, тогава можете да направите обратното: можете да запомните формулата за сумата от два ъгъла, като използвате съответната формула за двоен ъгъл.

Например, ако имате нужда от формула за косинус на сумата от два ъгъла:
1) запомнете формулата за косинуса на двоен ъгъл: cos2 х= cos 2 х- грях 2 х;
2) рисуваме го дълго: защото ( х + х) = cos х Cos х- грях хгрях х;
3) заменете един NSс α, вторият с β: cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ.

Упражнявайте се по същия начин за възстановяване на формулите за синуса на сбора и тангенса на сбора. В критични случаи, като например USE, проверете точността на възстановените формули, като използвате познатото първо тримесечие: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Проверка на предишната формула (получена чрез замяна в ред 3):
нека бъде α = 60 °, β = 30 °, α + β = 90 °,
тогава cos (α + β) = cos90 ° = 0, cosα = cos60 ° = 1/2, cosβ = cos30 ° = √3 _ / 2, sinα = sin60 ° = √3 _ / 2, sinβ = sin30 ° = 1/2;
заместете стойностите във формулата: 0 = (1/2) ( √3_ /2) − (√3_ / 2) (1/2);
0 ≡ 0, не бяха открити грешки.

Формулите за троен ъгъл, според мен, не е необходимо да бъдат специално "натъпкани". Те са доста редки при изпити като изпита. Те лесно се извеждат от формулите, които бяха по-горе, т.к sin3α = sin (2α + α). А за онези ученици, които по някаква причина все още трябва да научат тези формули наизуст, ви съветвам да обърнете внимание на тяхната определена „симетрия“ и да запомните не самите формули, а мнемоничните правила. Например редът, в който са разположени числата в двете формули "33433433" и т.н.

IV група. Сума / разлика - в продукт

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ = 2 sin α - β ____ 2 Cos α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2cos α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ = −2 sin α - β ____ 2грях α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = sin (α + β) ________ cosα cosβ ;

tgα - tgβ = sin (α - β) ________ cosα cosβ .

Използвайки нечетните свойства на функциите синус и тангенс: sin (−α) = - sin (α); tg (−α) = - tg (α),
възможно е да се сведат формулите за разликите на две функции до формули за техните суми. Например,

sin90º - sin30º = sin90º + sin (−30º) = 2 · sin 90º + (−30º) __________ 2 Cos 90º - (−30º) __________ 2 =

2 · sin30º · cos60º = 2 · (1/2) · (1/2) = 1/2.

Така формулите за разликата на синусите и тангентите не трябва да се учат наизуст веднага.
Ситуацията със сбора и разликата на косинусите е по-сложна. Тези формули не са взаимозаменяеми. Но отново, използвайки паритета на косинуса, можете да запомните следните правила.

Сборът cosα + cosβ не може да промени знака си за каквато и да е промяна в знака на ъглите, следователно произведението трябва да се състои и от четни функции, т.е. два косинуса.

Знакът на разликата cosα - cosβ зависи от стойностите на самите функции, което означава, че знакът на произведението трябва да зависи от съотношението на ъглите, следователно продуктът трябва да се състои от нечетни функции, т.е. два синуса.

И все пак тази група формули не е най-лесната за запомняне. Такъв е случаят, когато е по-добре да се тъпче по-малко, но да се проверява повече. За да избегнете грешки във формулата на отговорния изпит, не забравяйте първо да я запишете на чернова и да я проверите по два начина. Първо, чрез замествания β = α и β = −α, след това чрез известните стойности на функциите за прости ъгли. За това е най-добре да вземете 90º и 30º, както беше направено в примера по-горе, защото полусумата и полуразликата на тези стойности отново дават прости ъгли и лесно можете да видите как равенството се превръща в идентичност за правилния вариант. Или, напротив, не се изпълнява, ако сте направили грешка.

Примерпроверка на формулата cosα - cosβ = 2 sin α - β ____ 2грях α + β ____ 2за разликата на косинусите с грешка !

1) Нека β = α, тогава cosα - cosα = 2 sin α - α _____ 2грях α + α _____ 2= 2sin0 sinα = 0 sinα = 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) Нека β = - α, тогава cosα - cos (- α) = 2 sin α - (−α) _______ 2грях α + (−α) _______ 2= 2sinα sin0 = 0 sinα = 0. cosα - cos (- α) = cosα - cosα ≡ 0.

Тези проверки показаха, че функциите във формулата са използвани правилно, но поради факта, че идентичността се оказа от вида 0 ≡ 0, може да се пропусне грешка със знак или коефициент. Правим третата проверка.

3) Нека α = 90º, β = 30º, тогава cos90º - cos30º = 2 · sin 90º - 30º ________ 2грях 90º + 30º ________ 2= 2sin30º · sin60º = 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 = 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Грешката наистина беше в знака и само в знака преди работата.

V група. Продукт - в сума/разлика

sinα sinβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) - cos (α + β));

cosα cosβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα cosβ = 1 _ 2 (Sin (α - β) + sin (α + β)).

Самото име на петата група формули подсказва, че тези формули са обратното на предишната група. Ясно е, че в този случай е по-лесно да възстановите формулата на чернова, отколкото да я научите отново, увеличавайки риска от създаване на "бъркотия в главата". Единственото, върху което има смисъл да се съсредоточим за по -бързо възстановяване на формулата, са следните равенства (проверете ги):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Обмисли пример:трябва да преобразувате продукта sin5 х Cos3 хв сбора от две тригонометрични функции.
Тъй като продуктът включва както синус, така и косинус, ние вземаме от предишната група формулата за сумата от синуси, която вече научихме, и я записваме на чернова.

sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2

Нека 5 х = α + β ____ 2и 3 х = α - β ____ 2, тогава α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5х + 3х = 8х, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5х − 3х = 2х.

Заменяме във формулата на черновата стойностите на ъглите, изразени чрез променливите α и β, със стойностите на ъглите, изразени чрез променливата х.
Получаваме грях8 х+ sin2 х= 2 sin5 х Cos3 х

Разделяме двете части на равенството на 2 и го записваме на чистото копие отдясно наляво sin5 х Cos3 х = 1 _ 2 (грях 8 х+ sin2 х). Отговорът е готов.

Като упражнение:Обяснете защо в учебника има само 3 формули за преобразуване на сбора/разликата в произведението на 6 и обратната (за преобразуване на произведението в сбора или разликата)?

VI група. Формули за намаляване на степента

cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α = 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α = 3cosα + cos3α ____________ 4;

sin 3 α = 3sinα - sin3α ____________ 4.

Първите две формули от тази група са много необходими. Те често се използват при решаване на тригонометрични уравнения, включително ниво единен изпит, както и при изчисляване на интеграли, съдържащи интегранти от тригонометричен тип.

Може да е по-лесно да ги запомните в следващата "едноетажна" форма.
2cos 2 α = 1 + cos2α;
2 sin 2 α = 1 - cos2α,
и винаги можете да разделите на 2 в главата си или върху чернова.

Необходимостта от използване на следните две формули (с кубчета функции) в изпитите е много по-рядко срещана. При различна настройка винаги ще имате време да използвате черновата. В този случай са възможни следните опции:
1) Ако си спомняте последните две формули от III група, използвайте ги, за да изразите sin 3 α и cos 3 α чрез прости трансформации.
2) Ако в последните две формули от тази група забележите елементи на симетрия, които допринасят за тяхното запомняне, тогава запишете „скиците“ на формулите върху черновата и ги проверете по стойностите на главните ъгли.
3) Ако освен факта, че съществуват такива формули за понижаване на степента, не знаете нищо за тях, тогава решавайте проблема на етапи, изхождайки от факта, че sin 3 α = sin 2 α · sinα и други научени формули. Ще са необходими формули за намаляване на степента за квадрат и формула за преобразуване на продукт в сума.

VII група. Половин аргумент

грях α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2; _____

cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2; _____

tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα. _____

Не виждам смисъл да запаметявам тази група формули във вида, в който са представени в учебниците и справочниците. Ако разбирате това α е половината от 2α, тогава това е достатъчно за бързо заключение желаната формулаполовин аргумент, базиран на първите две формули за редукция.

Това важи и за тангенса на полуъгъла, формулата за който се получава чрез разделяне на синусоидния израз на съответния косинус.

Не забравяйте само при изтегляне корен квадратенсложи знак ± .

VIII група. Универсална замяна

sinα = 2tg (α / 2) _________ 1 + тен 2 (α / 2);

cosα = 1 - тен 2 (α / 2) __________ 1 + тен 2 (α / 2);

tgα = 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).

Тези формули могат да бъдат изключително полезни за решаване на тригонометрични задачи от всякакъв вид. Те позволяват прилагането на принципа "един аргумент - една функция", който ви позволява да правите променливи промени, които намаляват сложните тригонометрични изрази до алгебрични. Не без причина тази замяна се нарича универсална.
Трябва да научим първите две формули. Третата може да бъде получена чрез разделяне на първите две една с друга според определението на допирателната tgα = sinα ___ cosα

IX група. Формули за леене.

За да се справите с тази група тригонометрични формули, преминете

X група. Стойности за големи ъгли.

Дадени са стойностите на тригонометричните функции за главните ъгли на първата четвърт

Така че правим изход: Формулите на тригонометрията трябва да се знаят. Колкото по-голям, толкова по-добре. Но за какво да изразходват времето и усилията си - запомнянето на формули или възстановяването им в процеса на решаване на проблеми, всеки трябва да реши сам.

Пример за задача за използване на тригонометрични формули

Решете уравнението sin5 х Cos3 х- sin8 х Cos6 х = 0.

Имаме две различни функции на греха() и cos () и четири! различни аргументи 5 х, 3х, 8хи 6 х... Без предварителни трансформации няма да работи свеждането до най-простите типове тригонометрични уравнения. Затова първо се опитваме да заменим произведенията със сумите или разликите на функциите.
Правим това по същия начин, както в примера по-горе (вижте раздела).

грях (5 х + 3х) + грях (5 х − 3х) = 2 sin5 х Cos3 х
грях8 х+ sin2 х= 2 sin5 х Cos3 х

грях (8 х + 6х) + грях (8 х − 6х) = 2 sin8 х Cos6 х
грях14 х+ sin2 х= 2 sin8 х Cos6 х

Изразявайки произведенията от тези равенства, ние ги заместваме в уравнението. Получаваме:

(грех8 х+ sin2 х) / 2 - (sin14 х+ sin2 х)/2 = 0.

Умножаваме двете страни на уравнението по 2, отваряме скобите и даваме подобни термини

Sin8 х+ sin2 х- грях 14 х- sin2 х = 0;
грях8 х- грях 14 х = 0.

Уравнението стана много по-просто, но го реши по този начин sin8 х= sin14 хследователно 8 х = 14х+ T, където T е периодът, е неправилно, тъй като не знаем значението на този период. Следователно ще използваме факта, че от дясната страна на равенството има 0, с което е лесно да се сравнят факторите във всеки израз.
За разширяване на греха8 х- грях 14 хпо фактори, трябва да преминете от разликата към продукта. За да направите това, можете да използвате формулата за разликата на синусите или отново формулата за сумата на синусите и нечетността на функцията синус (вижте примера в раздела).

грях8 х- грях 14 х= sin8 х+ грях (−14 х) = 2 грях 8х + (−14х) __________ 2 Cos 8х − (−14х) __________ 2 = грях (−3 х) Cos11 х= −sin3 х Cos11 х.

Така че уравнението sin8 х- грях 14 х= 0 е еквивалентно на уравнението sin3 х Cos11 х= 0, което от своя страна е еквивалентно на набора от две най-прости уравнения sin3 х= 0 и cos11 х= 0. Решавайки последното, получаваме две серии от отговори
х 1 = π н/3, нϵZ
х 2 = π / 22 + π к/11, кϵZ

Ако откриете грешка или печатна грешка в текста, моля, съобщете на имейл адрес [защитен с имейл] ... Аз ще бъда много благодарен.

Внимание, © математика... Директното копиране на материали в други сайтове е забранено. Добавете връзки.

Изпълнява се за всички стойности на аргументи (от общия обхват).

Универсални формули за заместване.

С тези формули лесно всеки израз, който съдържа различни тригонометрични функции на един аргумент, се превръща в рационален израз на една функция tg (α / 2):

Формули за преобразуване на суми в продукти и продукти в суми.

Преди това тези формули са били използвани за опростяване на изчисленията. Изчислява се с помощта на логаритмични таблици, а по-късно - слайд правило, тъй като логаритмите са най-подходящи за умножение на числа. Ето защо всеки начален израз беше сведен до форма, която би била удобна за вземане на логаритъма, тоест до произведения, например:

2 грях α грях б = cos (α - б) - cos (α + б);

2 cos α cos б = cos (α - б) + cos (α + б);

2 грях α cos б = грях (α - б) + грях (α + б).

къде е ъгълът, за който по -специално

Формулите за допирателните и котангенсните функции лесно се извеждат от горното.

Формули за намаляване на степента.

sin 2 α = (1 - cos 2α) / 2;	cos 2 α = (1 + cos 2α) / 2;
грях 3α = (3 грα - грях 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Използвайки тези формули тригонометрични уравнениялесно се свеждат до уравнения с повече ниски степени... Формулите за намаляване се извличат по същия начин за повече високи градуси гряхи cos.

Изразяване на тригонометрични функции чрез една от тях със същия аргумент.

Знакът пред корена зависи от четвъртината на ъгъла α .

За решаване на някои проблеми ще бъде полезна таблица с тригонометрични идентичности, която ще направи много по -лесно извършването на трансформации на функции:

Най-простите тригонометрични идентичности

Коефициентът на разделяне на синуса на ъгъла алфа на косинуса на същия ъгъл е равен на тангенса на този ъгъл (Формула 1). Вижте също доказателството за правилността на трансформацията на най -простите тригонометрични идентичности.
Коефициентът на разделяне на косинуса на алфа ъгъла на синуса на същия ъгъл е равен на котангенса на същия ъгъл (Формула 2)
Секант на ъгъла е равно на едноразделено на косинус на същия ъгъл (Формула 3)
Сборът от квадратите на синуса и косинуса на един и същи ъгъл е равен на единица (Формула 4). виж също доказателството за сумата от квадратите на косинуса и синуса.
Сумата от единицата и тангенса на ъгъл е равна на съотношението на единицата към квадрата на косинуса на този ъгъл (Формула 5)
Единицата плюс котангенса на ъгъла е равна на частното от деленето на единицата на квадрата на синуса на този ъгъл (Формула 6)
Произведението на допирателната и котангенса от един и същ ъгъл е равно на единица (Формула 7).

Преобразуване на отрицателни ъгли на тригонометрични функции (четни и нечетни)

За да се отървете от отрицателната стойност на градусната мярка на ъгъла при изчисляване на синуса, косинуса или тангенса, можете да използвате следните тригонометрични трансформации (идентичности) въз основа на принципите на четност или нечетност на тригонометричните функции.

както се вижда, косинуса секансът е дори функция, синус, тангенс и котангенс са нечетни функции.

Синусът на отрицателен ъгъл е равен на отрицателния синус на същия положителен ъгъл (минус синус алфа).
Косинусът "минус алфа" ще даде същата стойност като косинуса на ъгъла алфа.
Тангенсът минус алфа е равен на минус допирателната алфа.

Формули за намаляване на двоен ъгъл (синус, косинус, тангенс и котангенс на двоен ъгъл)

Ако трябва да разделите ъгъл наполовина или обратно, преминете от двоен ъгъл към единичен ъгъл, можете да използвате следните тригонометрични идентичности:

Преобразуване на двоен ъгъл (синус на двоен ъгъл, косинус на двоен ъгъл и тангенс на двоен ъгъл) единично се случва съгласно следните правила:

Синус с двоен ъгълравен на двойното произведение на синуса и косинуса на единичен ъгъл

Косинус на двоен ъгъле равна на разликата между квадрата на косинуса на един ъгъл и квадрата на синуса на този ъгъл

Косинус на двоен ъгълравен на два пъти квадрата на косинуса на единичен ъгъл минус едно

Косинус на двоен ъгълравно на един минус квадрат с двоен синус на един ъгъл

Допирателна с двоен ъгъле равно на дроб, чийто числител е двойната тангенс на единичен ъгъл, а знаменателят е равен на една минус тангенсът на квадрата на единичен ъгъл.

Двоен ъгъл котангенсе равно на дроб, числителят на която е квадрат на котангенса на единичен ъгъл минус едно, а знаменателят е равен на удвоения котангенс на единичен ъгъл

Универсални формули за тригонометрично заместване

Формулите за преобразуване по-долу могат да бъдат полезни, когато трябва да разделите аргумента на тригонометрична функция (sin α, cos α, tan α) на две и да намалите израза до половината от ъгъла. От стойността на α получаваме α / 2.

Тези формули се наричат универсални тригонометрични формули за заместване... Тяхната стойност се крие във факта, че тригонометричният израз с тяхна помощ се свежда до израза на тангенса на половин ъгъл, независимо кои тригонометрични функции ( sin cos tg ctg) първоначално бяха в израза. След това уравнението с тангенса на половината от ъгъла е много по-лесно за решаване.

Тригонометрични трансформации на половин ъгъл

Следват формули за тригонометрично преобразуване на половин ъгъл в цяло число.
Стойността на аргумента на тригонометричната функция α / 2 се намалява до стойността на аргумента на тригонометричната функция α.

Тригонометрични формули за добавяне на ъгли

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Тангенс и котангенс на сбора от ъглиалфа и бета могат да бъдат преобразувани съгласно следните правила за преобразуване на тригонометрични функции:

Тангенс на сбора от ъглие равна на дроб, чийто числител е сумата от допирателната на първия и допирателната на втория ъгъл, а знаменателят е един минус произведението на допирателната на първия ъгъл и допирателната на втория ъгъл.

Тангенс на ъглова разликае равно на дроба, чийто числител е равен на разликата между тангенса на намаления ъгъл и тангенса на извадения ъгъл, а знаменателят е равен на единица плюс произведението на тангентите на тези ъгли.

Котангенс на сумата от ъглие равно на дроб, числителят на която е равен на произведението на котангенсите на тези ъгли плюс едно, а знаменателят е равен на разликата между котангенса на втория ъгъл и котангенса на първия ъгъл.

Ъглова разлика котангенсе равно на дроба, числителят на която е произведението на котангентите на тези ъгли минус едно, а знаменателят е равно на суматакотангенсите на тези ъгли.

Тези тригонометрични идентичности са удобни за използване, когато трябва да изчислите, например, допирателната от 105 градуса (tg 105). Ако го представите като tg (45 + 60), тогава можете да използвате дадените идентични трансформации на тангенса на сумата от ъглите, след което просто замените табличните стойности на тангенса 45 и тангенса 60 градуса.

Формули за преобразуване на сума или разлика за тригонометрични функции

Изразите, представляващи сума от вида sin α + sin β, могат да бъдат трансформирани с помощта на следните формули:

Формули с три ъгъла - конвертирайте sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Понякога е необходимо да се преобразува тройната стойност на ъгъла, така че ъгълът α да стане аргумент на тригонометричната функция вместо 3α.
В този случай можете да използвате формулите за трансформиране на троен ъгъл (идентичности):

Формули за преобразуване на произведението на тригонометрични функции

Ако се наложи да трансформирате произведението на синусите с различни ъгли на косинуси с различни ъгли или дори произведението на синус и косинус, тогава можете да използвате следните тригонометрични идентичности:


В този случай продуктът на синусоидални, косинусни или тангентни функции с различни ъгли ще се преобразува в сума или разлика.

Формули за редукция на тригонометрична функция

Трябва да използвате масата за отливки, както следва. В реда изберете функцията, която ни интересува. Колоната съдържа ъгъла. Например, синусът на ъгъла (α + 90) в пресечната точка на първия ред и първата колона, откриваме, че sin (α + 90) = cos α.

V идентични трансформации тригонометрични изразимогат да се използват следните алгебрични техники: събиране и изваждане на едни и същи членове; изваждането на общия множител от скобите; умножение и деление на една и съща сума; прилагане на съкратени формули за умножение; избор на пълен квадрат; разлагане на квадратен трином; въвеждане на нови променливи с цел опростяване на трансформациите.

Когато преобразувате тригонометрични изрази, които съдържат дроби, можете да използвате свойствата на пропорция, намаляване на дроби или преобразуване на дроби в общ знаменател. Освен това можете да използвате избора на целочислената част на дробата, като умножите числителя и знаменателя на дробата по същата стойност, както и, ако е възможно, да се вземе предвид еднородността на числителя или знаменателя. Ако е необходимо, можете да представите дроб като сбор или разлика от няколко по-прости дроби.

Освен това, когато се прилагат всички необходими методи за преобразуване на тригонометрични изрази, е необходимо постоянно да се вземат предвид приемливи стойностиизрази, които трябва да бъдат преобразувани.

Нека разгледаме няколко примера.

Пример 1.

Изчислете А = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos ( 2x - 7π) / 2) +
+ sin (3π / 2 - x) sin (2x -5π / 2)) 2

Решение.

Това следва от формулите за намаляване:

sin (2x - π) = -sin 2x; cos (3π - x) = -cos x;

sin (2x - 9π / 2) = -cos 2x; cos (x + π / 2) = -sin x;

cos (x - π / 2) = sin x; cos (2x - 7π / 2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) = -cos x; sin (2x - 5π / 2) = -cos 2x.

Откъдето, по силата на формулите за събиране на аргументи и основната тригонометрична идентичност, получаваме

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Отговор: 1.

Пример 2.

Преобразувайте израза М = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - sin (α + β) sin γ + cos γ в произведение.

Решение.

От формулите за добавяне на аргументи и формулите за трансформиране на сумата от тригонометрични функции в произведение след съответното групиране имаме

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) =

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

Отговор: М = 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

Пример 3.

Покажете, че изразът A = cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) има едно и също значение. Намерете тази стойност.

Решение.

Ето два начина за решаване на този проблем. Прилагайки първия метод, като избираме пълен квадрат и използваме съответните основни тригонометрични формули, получаваме

А = (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) =

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Решавайки задачата по втория начин, помислете за A като функция на x от R и изчислете нейната производна. След трансформациите получаваме

A´ = -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) sin (x - π / 6) =

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) =

Sin 2x - (sin (2x + π / 3) + sin (2x - π / 3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π / 3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Следователно, по силата на критерия за постоянство на функция, диференцируема на интервал, заключаваме, че

A (x) ≡ (0) = cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 = (√3 / 2) 2 = 3/4, x € R.

Отговор: A = 3/4 за x € R.

Основните методи за доказване на тригонометрични идентичности са:

а)намаляване на лявата страна на идентичността до правилния начинподходящи трансформации;
б)намаляване на дясната страна на идентичността вляво;
v)редукция на дясната и лявата страна на идентичността до същия вид;
ж)намаляване до нула на разликата между лявата и дясната страна на идентифицираната идентичност.

Пример 4.

Проверете дали cos 3x = -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3).

Решение.

Преобразувайки дясната страна на тази идентичност според съответните тригонометрични формули, имаме

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) =

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Дясната страна на идентичността е намалена до лявата.

Пример 5.

Докажете, че sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ = 2, ако α, β, γ са вътрешни ъгли на някакъв триъгълник.

Решение.

Като се има предвид, че α, β, γ са вътрешни ъгли на някакъв триъгълник, получаваме, че

α + β + γ = π и следователно γ = π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Оригиналното равенство е доказано.

Пример 6.

За да се докаже, че за да бъде един от ъглите α, β, γ на триъгълника равен на 60 °, е необходимо и достатъчно, че sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Решение.

Условието на този проблем предполага доказателство както за необходимост, така и за достатъчност.

Първо, нека докажем трябва.

Може да се покаже, че

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

Следователно, като се вземе предвид, че cos (3/2 60 °) = cos 90 ° = 0, получаваме, че ако един от ъглите α, β или γ е равен на 60 °, тогава

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0 и следователно sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Нека сега докажем адекватностпосоченото условие.

Ако sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, тогава cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0 и следователно

или cos (3α / 2) = 0, или cos (3β / 2) = 0, или cos (3γ / 2) = 0.

Следователно,

или 3α / 2 = π / 2 + πk, т.е. α = π / 3 + 2πk / 3,

или 3β / 2 = π / 2 + πk, т.е. β = π / 3 + 2πk / 3,

или 3γ / 2 = π / 2 + πk,

тези. γ = π / 3 + 2πk / 3, където k ϵ Z.

Тъй като α, β, γ са ъглите на триъгълника, имаме

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Следователно, за α = π / 3 + 2πk / 3 или β = π / 3 + 2πk / 3 или

γ = π / 3 + 2πk / 3 от всички kϵZ, само k = 0 отговаря.

Откъдето следва, че или α = π / 3 = 60 °, или β = π / 3 = 60 °, или γ = π / 3 = 60 °.

Твърдението е доказано.

Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да опростите тригонометричните изрази?
За да получите помощ от преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.